Instantoni - phy

C
t'Hooftov simbol
Ispada da instantonsko rje²enje mije²a Lorentzove i SU(2) indekse. Najbolje se to vidi ako (2.18)
napi²emo preko t'Hooftovog simbola. t'Hooftov simbol sluºi tome da napi²e generatore SO(4)
preko generatora dviju SU(2) na koje se SO(4) da rastaviti. Ako generatore SO(4) ozna£imo s
J µν onda je tradicionalno ove prvo zapisati kao generatore rotacija J a i potiska K a te onda
njihove linearne kombinacije prepoznati kao generatore dviju odvojenih SU(2): A a , B a . t'Hooft
je to jednostavno elegantnije zapisao
gdje je
A a = 1 4 η aµνJ µν , B a = 1 4 ¯η aµνJ µν , (C.1)
η aµν = ε aµν + δ aµ δ ν4 − δ aν δ µ4 , ¯η aµν = ε aµν − δ aµ δ ν4 + δ aν δ µ4 , (C.2)
t'Hooftov simbol. Vrijedi η aµν = −η aνµ .
Gornji zapis je neovisan o speci£noj reprezentaciji SO(4). Za npr. (1/2, 1/2) reprezentaciju
imamo da je
(J µν ) ρσ = −i(δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ ),
(A a ) µν = − i 2 η aµν, (B a ) µν = − i 2 ¯η aµν. (C.3)
Imamo i dvije neekvivalentne spinorne reprezentacije (1/2, 0) i (0, 1/2). Ove reprezentacije £ine
2 × 2 matrice £ije generatore moramo druga£ije ozna£iti Σ µν i ¯Σ µν . Tako za (1/2, 0) imamo
a za (0, 1/2)
A a = 1 4 η aµνΣ µν , B a = 1 4 ¯η aµνΣ µν ,
A a = 1 4 η aµν ¯Σ µν , B a = 1 4 ¯η aµν ¯Σ µν .
Ti generatori se mogu zapisati preko Paulijevih matrica
Σ µν = − i 2 (s µs † ν − δ µν ), ¯Σµν = − i 2 (s† µs ν − δ µν ), (C.4)
gdje je s µ = (iσ, 1). Ispravnost ove denicije se provjerava time da obje matrice zadovoljavaju
SO(4) algebru. Za op¢enite generatore J µν ona glasi
[J µν , J ρσ ] = i(J ρν δ σµ + J µρ δ νσ − J σν δ ρµ − J µσ δ νρ ).
Koriste¢i (C.4) lako je provjeriti da zbilja za (1/2, 0) vrijedi A a = σ a /2, B a = 0, a za (0, 1/2)
obrnuto.
Koriste¢i svojstva
η aµν η aρσ = δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ + ε µνρσ ,
¯η aµν ¯η aρσ = δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ − ε µνρσ ,
lako je pokazati da se (C.1) mogu invertirati. Za specijalan slu£aj (1/2,0) i (0,1/2) reprezentacija,
imamo
Σ µν = 1 2 η aµνσ a , ¯Σµν = 1 2 ¯η aµνσ a . (C.5)
30