Instantoni - phy

toga po ekvipotencijali:
∆q I (t) = q I (t − ∆t 0 ) − q I (t) = (−∆t 0 ) ∂q I 1
∝
∂t 0 cosh 2 1 2 ω(t − t 0) ,
odnosno nulti mod je "tangenta" na ekvipotencijalnu krivulju u tom prostoru. Gornjem izrazu
je proporcionalan svojstveni vektor η 0 . Primjetimo da ostala dva rje²enja δS/δq = 0 s E = 0
(to su jednostavno rje²enja u kojima £estica cijelo vrijeme stoji u jednoj od jama, tj. q(−T/2) =
q(T/2) = a i q(−T/2) = q(T/2) = −a) nemaju tu parametarsku slobodu. Uostalom, oni su i
rje²enja varijacije "normalne" akcije s "normalnom" energijom nula, pa kad "razvijamo" oko njih
znamo ²to ¢emo dobiti: samo nulto gibanje harmoni£kog oscilatora.
Iako ovo donekle podsje¢a na Higgsov mehanizam (kona£no, sloboda u t 0 je tu zbog simetrije na
translacije u vremenu), ovaj nulti mod se ne moºe interpretirat kao neki Goldstoneov bozon. To
je zato jer Goldstoneov bozon ima kontinuiran spektar (mijenja se s impulsom), a ovdje, kao ²to
¢emo vidjeti, osim nultog moda imamo jo² jedan diskretan mod i tek onda kontinuirani spektar.
S prakti£ne strane, nulti mod je problem jer integracija po njemu vi²e nije Gaussovska:
∫ ∞
−∞
pa ga moramo posebno tretirati
dc 0
√
2π
e − 1
2 λ0c2 0 =
∫ ∞
−∞
dc 0
√
2π
→ ∞,
t 0 → t 0 + dt 0 ⇒ dq = dq I
dt 0 = − dq I
dt 0 dt dt 0,
c 0 → c 0 + dc 0 ⇒ dq = dq
√ m dq I
dc 0 = η 0 dc 0 =
dc 0 S I dt dc 0,
gdje smo prvoj jednadºbi koristili da je q = q I + η, a η ne ovisi o t 0 , a u drugoj eksplicitno stavili
normu. Uz redeniciju c 0 → −c 0 √
SI
dc 0 =
m dt 0.
Slijedi
F (−a, a, T ) = N e −S I / JωT [mω 2 det ′ F ] −1/2 , (1.12)
gdje smo sa det ′ u ra£unanju determinante ispustili nulti mod. Denirana je bezdimenzionalna
veli£ina J = √ S I /2π, c 0 se jo² zove kolektivna koordinata, jer preko t 0 mjeri koliko smo cijeli
instanton pomaknuli u Euklidskom vremenu.
Fizikalno, T se javlja jer smo prosumirali po svim sedlenim to£kama: micanje po njima ne ko²ta
ni²ta akcije, pa u tim modovima nema eksponencijalnog potisnu¢a za tuneliranje. Moºemo re¢i da
nema veze kada se instanton pojavi u Euklidskom vremenu, po²to traje samo trenutak ("instant"):
nije bitno kada se tuneliranje desi, stoga niti vjerojatnost tuneliranja ne moºe o tome ovisiti.
Integral po stazama za jedan instanton Na skali Euklidskog vremena T se uglavnom ni²ta
ne dogaža. ƒestica ili sjedi u jami lijevo ili sjedi u jami desno. Prijelaz se de²ava na skali 1/ω za
kojeg uzimamo da je puno manji od T. Tako za ve¢inu vremena T zbilja moºemo uzeti F ≈ F ho ,
gdje je F ho uktuacijski operator harmoni£kog oscilatora
〈t|F ho |t ′ 〉 =
[−m d2
dt 2 + mω2] δ tt ′. (1.13)
No kako oni ipak nisu jednaki deniramo
Slijedi
[mω 2 det ′ F ] −1/2 = K[det F ho ] −1/2 . (1.14)
F (−a, a, T ) = N e −S I / JKωT [det F ho ] −1/2 .
N [det F ho ] −1/2 je sad jednostavno integral po stazama za harmoni£ki oscilator, i on je izra£unat
u dodatku A. Kona£an rezultat
(
F (−a, a, T ) = e −S I mω
) 1/2e / JKωT
−ωT/2 . (1.15)
π
6