Instantoni - phy

B
Ra£un K za dvostruku jamu
Za izra£unati uktuacijsku determinantu, ra£unamo svojstvene vrijednosti F. To se svodi na
rje²avanje Schrödingerove jednadºbe za Pöshl-Teller potencijal
[−m d2
dt 2 + mω2( 3
)]
1 −
2 cosh 2 1 2 ωt η n (t) = λ n η n (t).
(B.1)
Ovaj potencijal ima dva vezana stanja i kontinuum. Bilo bi zbilja previ²e upu²tat se u detaljan
ra£un svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora, pa ¢emo samo citirati rje²enja. ’to se ti£e
vezanih stanja, tu su λ 0 = 0 i λ 1 = 3 4 mω2 . Kako je potencijal lokaliziran u limitu t → ±∞ imamo
ravne valove, samo fazno pomaknute
η p (t) = Ae i(pt+δp) + Be −i(pt+δp) ,
gdje je p 2 = λ m − ω2 . Fazni pomak je dan preko formule
( )( )
1 + ip
e iδp ω
1 + 2ip
ω
= ( )( ). (B.2)
1 − ip ω
1 − 2ip
ω
Fluktuacije na rubovima i²£ezavaju, tj. η(±T/2) = 0, ²to daje kvantizaciju rje²enja
£ime je spektar potpuno odrežen.
Prežimo sad na ra£un faktora K iz (1.14)
K =
p n T + δ pn = nπ, (B.3)
[ det ′ F
det ′ F ho
] −1/2,
gdje smo maknuli prvu svojstvenu vrijednost F ho . Ako izdvojimo jo² i slijede¢i mod (jer je kod F
jedino on jo² diskretan) imamo
det ′ F
det ′ = 3 ∏ ∞
n=1 (p2 n + ω 2 )
∏
F ho 4 ∞
n=3 (k2 n + ω 2 ) ≈ 3 ∞∏ p 2 n + ω 2
4 kn 2 + ω 2 = 3 ∞ 4 exp ∑ ( p
2
ln n + ω 2 )
kn 2 + ω 2 ,
gdje je k n = nπ/T. Iz (B.3) znamo
(
p 2 n =
k n − δ p n
T
n=1
) 2
≈ k
2
n − 2 δ p n
T k n.
n=1
(B.4)
Pa je
( p
2
ln n + ω 2 ) (
kn 2 + ω 2 ≈ ln 1 − 2 δ p n
k
)
n
T kn 2 + ω 2 ≈ −2 δ k n
k n
T kn 2 + ω 2 .
Idemo sad koliko-toliko opravdati aproksimacije u gornja dva reda. Prvi red zapravo i nije tako
stra²an; da, jesmo zanemarili kvadratni £lan s δ pn jer u nazivniku imamo T 2 koji je veliki unato£
tome ²to isti taj T 2 se nalazi u nazivniku k n -a. Ali ako jama Pöshl-Teller potencijala nije previ²e
²iroka onda ni fazni pomak ravnog vala ne¢e biti tako velik. A to ¢e biti ostvareno ako konstanta
vezanja bude mala, odnosno ako ω bude mali. To je poanta: da fazni pomak ovisi o jakosti vezanja,
28