Instantoni - phy

Wickova rotacija Prije nego idemo ra£unati (1.3) moramo napraviti Wickovu rotaciju. To je
zato ²to ga jedino tako i znamo izvrijedniti. Wickova rotacija se radi i u teoriji perturbacije, samo
u impulsnom prostoru: tamo smo znali gdje su polovi i Wick-rotirali smo tako da ih ne uhvatimo
pod integralnu krivulju. Ovdje to ne znamo, pa je Wickova rotacija ne²to u ²to naprosto vjerujemo.
Njen efekt je kao da smo t zamijenili s it E s tim da su i t i t E realni brojevi (upravo zato to i nije
samo zamjena varijabli). Tada imamo:
∫
F (q f , q i , T E ) = N [dq]e −SE[q]/ , (1.4)
gdje smo sad ba² ozna£ili iT = T E , i gdje je
S E [q] =
∫ TE /2
−T E /2
dt E
[ m
2
( dq
dt E
) 2
+ V (q)
]
. (1.5)
Kada ne bude dvosmisleno (gotovo uvijek), ispu²tati ¢emo rije£ Euklidska. Da se ne zagu²i notacija,
od sad pa na dalje, ispu²tati ¢emo i supskript E.
Funkcionalni razvoj Euklidske akcije Da stvar bude gora, ne samo da znamo izvrijedniti
samo Euklidski integral po stazama, ve¢ ga znamo egzaktno izvrijedniti samo ako u eksponentu
stoji najvi²e kvadratni polinom. Tada imamo posla s beskona£no mnogo Gaussovskih integrala.
Idemo zato razviti akciju do kvadratnog £lana oko nekog q 0 (t)
∫ T/2 ( δS[q]
)
S[q] ≈ S[q 0 ] + dt
+
−T/2 δq(t) 0η(t) 1 ∫ T/2
dtdt ′( δ 2 S[q]
)
2
δq(t)δq(t ′ η(t)η(t ′ )
) 0
Najednostavnije je ovaj izraz shvatiti kao Taylorov red za beskona£no mnogo varijabli (od tuda
integral). Funkcionali su u tom smislu funkcije beskona£no mnogo varijabli. η = q−q 0 su uktuacije
oko q 0 . Akcija je tako kao neka vrsta potencijala, samo zbog toga ²to predstavlja funkcional, ne
razvijamo oko to£ke ve¢ oko cijele funkcije.
Od svih mogu¢ih q-ova koji ulaze u integral po stazama olak²ajmo si posao tako da razvijamo oko
takvog q 0 da vrijedi:
( δS[q]
)
= 0. (1.6)
δq(t) 0
U tom slu£aju treba nam samo druga derivacija izvrijednjena u ekstremalnoj to£ci
( δ 2 S[q]
) [
δq(t)δq(t ′ = m d ) 0 dt
−T/2
d
]
dt ′ + V ′′ (q(t)) δ(t − t ′ ).
2