Instantoni - phy

More documents

Recommendations

Info

smo prebrojali konguracije koje se razlikuju samo na permutaciju, pa to dijelimo s N! Ako isto napravimo za antiinstantone, integracija kolektivnih koordinata se svodi na N+ ¯N (ωT ) N! ¯N! Integral po stazama Integral po stazama za N instantona i ¯N antiinstantona je oblika N+ ¯N (ωT )N+ ¯N F N ¯N(j 2 , j 1 , T ) = F ho (JKe −S I / ) N! ¯N! δ N− ¯N,j2−j 1 . (1.21) K je faktor koji dolazi od akcije i njene druge derivacije a J je Jacobijan od integracije kolektivnih koordinata. Na koncu, kako svaki instanton vodi na susjedni poloºaj, a antiinstanton vra¢a natrag, razlika u njihovom broju mora dati stvarni pomak, zato na kraju jednadºbe stoji pripadni Kroneckerov simbol. Integral po stazama razriježenog plina je oblika F (j 2 , j 1 , T ) = ∑ N ∑ F N ¯N (j 2 , j 1 , T ) = ∑ ∑ F ho (JKe −S I / ) N ¯N ¯N N+ ¯N (ωT )N+ ¯N N! ¯N! Sume ¢emo lako izra£unati ako ih razveºemo Fourierovom transformacijom F (j 2 , j 1 , T ) = F ho ∫ 2π 0 dθ [∑ 2π N δ ab = ∫ 2π 0 dθ 2π eiθ(a−b) , (e −iθ JKe −S I / ωT ) N ][∑ N! ¯N δ N− ¯N,j2−j 1 . (1.22) (e iθ JKe −S I / ωT ) ¯N ] e ¯N! iθ(j2−j1) ∫ 2π dθ = F ho 0 2π exp(2JKe−S I / ωT cos θ)e iθ(j2−j1) = ( mω ) 1/2 ∫ 2π dθ [ = π 0 2π exp − 1 ] 2 ωT + 2JKe−S I / ωT cos θ e iθ(j2−j1) . Ovo zna£i da su se degenerirana stanja rascijepila u cijeli spektar stanja ∫ 2π lim F = dθe −EθT/ 〈2πj 2 a|θ〉〈θ|2πj 1 a〉, T →∞ 0 E θ = 1 2 ω − 2ωJKe−S I / cos θ, (1.23) sa normom 〈2πj 2 a|θ〉〈θ|2πj 1 a〉 = 1 ( mω ) 1/2e iθ(j 2−j 1) , 2π π odnosno 〈2πja|θ〉 = √ 1 ( mω ) 1/4e iθj . 2π π Harmoni£ki oscilator je uobi£ajeno normiran ( mω ) 1/4, 〈2πja|j〉 = π gdje, iako moºda djeluje zbunjuju¢e, sa |j〉 je ozna£eno svojstveno stanje Hamiltonijana harmoni£kog oscilatora u j-toj jami, a sa |2πja〉 svojstveno stanje operatora poloºaja. Tada se |θ〉 stanje moºe ovako zapisati |θ〉 = √ 1 ∑ e iθj |j〉. (1.24) 2π Potpuno analogan rezultat se moºe izvesti preko aproksimacije £vrste veze poznate iz zike £vrstog stanja. U tom smislu (1.24) su Blochova stanja, a (1.23) Blochove energije. U teoriji polja bi stanje s θ = 0 zvali "pravi" vakuum teorije. 10 j
ƒestica na kruºnici Istina je da θ iz prethodnog paragrafa ima neke sli£nosti s θ £lanom u QCD-u. Istina je i da stanje |θ〉 ima neke veze s QCD vakuumom. No postoji jedan problem: u QCD-u je θ proizvoljan parametar, dok je vakuum gornje teorije deniran s θ = 0. Moºemo li jednostavno modicirati gornju zikalnu situaciju da jo² vi²e li£i QCD-u? Pokazati ¢emo da upravo ograni£enje gibanja £estice na kruºnici daje takva svojstva. Neka se £estica moºe gibati samo po kruºnici, tj. neka je 0 < q < 2πa. lagranºijan je isti kao gore, klasi£na jednaºba je ista, ali druga£iji su rubni uvjeti. Ovdje se poistovje¢uju to£ke 0 i 2πa, pa se poistovje¢uju i kvantna stanja |0a〉 = |2πa〉. No to zna£i da je θ = 0, odnosno da je energija samo jedna E 0 = 1 2 ω − 2ωJKe−S I / dok smo gore smo dobili £itav spektar. S aspekta instantona, sve je isto osim ograni£enja ¯N − N = j 2 − j 1 . Iako smo se vratili u istu zikalnu to£ku tuneliranja je ipak bilo: to je zato ²to smo se oko nje mogli namatati. Dodavanje totalne derivacije u L ne mijenja klasi£ne jednadºbe, pa time niti bilo koje klasi£no svojstvo £estice na kruºnici L = m 2 ˙q2 − V (q) → m 2 ˙q2 − V (q) − θ ˙q. (1.25) 2πa θ je ovdje proizvoljan parametar. Ispada da ¢e Euklidska akcija biti S I + iθ ako uvrstimo instantonsko rje²enje, ili S I −iθ ako uvrstimo antiinstantonsko rje²enje. Energija ¢e opet biti samo jedna, ali oblika E θ = 1 2 ω − 2ωJKe−S I / cos θ. Jo² jednom: za razliku od gornje situacije ovdje imamo odmah samo jedno jedino stanje, jednu jedinu energiju; kako je θ proizvoljan parametar svaki θ opisuje isti klasi£ni, a druga£iji kvantnomehani£ki "svijet". Topologija Nismo jo² ni rije£i rekli o topologiji. To je zato ²to su topolo²ka razmatranja u ovim kvantnomehani£kim problemima skoro pa trivijalna. Topologijom se bavimo kada nas ne zanima da li neki objekt izgleda kao kocka, ili kao piramida, ve¢ ima li taj objekt recimo rupu, kao torus. Neki zikalan sustav je spreman za prou£avanje kada deniramo dinamiku i rubne uvjete. U zici elementarnih £estica, gdje ra£unamo ²irine raspada i udarne presjeke vi²e se koncentriramo na ovo prvo; sustav stavljamo u kutiju i ra£unamo Fenymanove dijagrame. Rubni uvjeti su vezani uz topolo²ka razmatranja, i ako je topologija teorije trivijalna (vidjeti ¢emo ²to to zna£i) to i je put kojim moramo i¢i. Postoje situacije u kojima stvar nije tako jednostavna, zato ²to sama polja (ili koordinate u kvantnoj mehanici) na koja name¢emo rubne uvjete su funkcije prostora i (ili) vremena. ƒestica na kruºnici je prvi primjer koji izgleda topolo²ki netrivijalan. Da nema instantona, uvoženje θ £lana u (1.25) bi bilo apsolutno beskorisno. Jedino instanton moºe natjerati £esticu da tunelira, odnosno da se namata po kruºnici. Na taj na£in mogu postojati vi²e puteva od 0 pa opet do 0 koji su takvi da se jedan u drugog ne mogu kontinuirano deformirati. Za odgovoriti na pitanja koliki je mogu¢i broj puteva, koji se putevi jedan u drugog mogu kontinuirano deformirati (ili koji su putevi homotopni) itd. koristimo topologiju. Prvo pitanje moºemo reformulirati u pitanje 11
Page 1 and 2: Seminar iz teorije polja Instantoni
Page 3 and 4: 1 Instantoni u kvantnoj mehanici Po
Page 5 and 6: Nakon parcijalne integracije ²to s
Page 7 and 8: Ako odaberemo standardni potencijal
Page 9 and 10: 1.3 Razriježeni instantonski plin
Page 11: i on ¢e za neki ksni x rasti sve d
Page 15 and 16: 2 Instantoni u Yang-Mills teoriji I
Page 17 and 18: Topolo²ki naboj Jednom kada imamo
Page 19 and 20: Baºdarna transformacija na rubu ni
Page 21 and 22: gdje je ρ slobodni parametar 8 . I
Page 23 and 24: Preko kanonskog impulsa je trivijal
Page 25 and 26: θ £lan u lagranºijanu Ra£unamo
Page 27 and 28: onda stavljamo µ = ρ. Ovdje smo s
Page 29 and 30: ²to je zbilja lim F ho(0, 0, T ) =
Page 31 and 32: i zato njegov kvadratni £lan zanem
Page 33 and 34: Sad smo do²li do to£ke u kojoj po

Instantoni - phy

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?