Instantoni - phy

More documents

Recommendations

Info

N CS je samo generalizirana forma (2.20). S obzirom da je j 4 funkcija polja svako polje ima svoj N CS . No i svako polje koje je transformirano u odnosu na neko po£etno na na£in da je transformacija homotopna trivijalnoj ima isti N CS . Ako transformacija namata N W puta, Chern- Simmonsov broj se mijenja kao N CS → N CS + N W . Upravo zbog toga je to zgodna varijabla za mjerenje periodi£nosti YM potencijala: mijenja se samo ako izažemo iz odrežene klase baºdarnih polja, a ne i ako se mijenjamo unutar nje. 2.3 θ kut Imamo razli£ite klase baºdarnih transformacija, i te klase su vezane uz rubne uvjete, odnosno uz polje na tom rubu. Pa se i samo polje, u odnosu na to kakvo je na rubu, moºe sortirati u mežusobno homotopne klase. A kako polje na rubu predstavlja vakuum, onda ista pri£a vrijedi i za sam vakuum: svaki vakuum ¢emo ozna£iti indeksom grupe homotopije π 3 (S 3 ). Zapravo je vrlo prirodno da grupa homotopije klasicira vakuum; to je stanje koje na neki na£in proºima cijeli prostor, pa su za njega bitna samo globalna svojstva prostora. ƒestice su lokalni objekti, pa su za njih bitna lokalna svojstva prostora: rotacije, translacije itd., pa se £estice klasiciraju po Poincaréovoj grupi. U cijeloj ovoj pri£i postoji jedan problem, a to je da u kona£nici zikalan svijet mora biti invarijantan na sve baºdarne transformacije. Ovo samo zna£i da topolo²ki vakuumi, |n〉 11 , n ∈ Z, ne mogu biti zikalni. Fizikalan vakuum je njihova linearna superpozicija i to takva da se on ne mijenja bilo kojom baºdarnom transformacijom. To je posljedica izjave da YM teorija dopu²ta instantonska rje²enja koja smo intepretirali kao tuneliranja izmežu vakuuma |n〉. θ vakuum To moºemo formalnije napisati. Izjava da je zika invarijantna na sve baºdarne transformacije za specijalan slu£aj kada je ta baºdarna transformacija g 1 = e −α se svodi na [H, U(g 1 )] = 0, gdje je U(g 1 ) reprezentacija g 1 na Hilbertovom prostoru stanja, a H Hamiltonijan SU(2) YM teorije u A 4 = 0 baºdarenju. Ako svojstvena stanja H ozna£imo s |θ〉, onda ¢e U(g 1 )|θ〉 imati istu energiju kao i |θ〉. Pa se ta dva stanja mogu razlikovat samo do na fazu U(g 1 )|θ〉 = e −iθ |θ〉. Zapravo smo stanja i ozna£ili upravo s tom fazom. Stanja koja zadovoljavaju posljednju jednadºbu su dana s |θ〉 = √ 1 ∑ e inθ |n〉, (2.25) 2π (po²to znamo U(g 1 )|n〉 = |n + 1〉) ²to bi onda bio pravi vakuum teorije. Ovdje je vrijedno spomenuti jo² jednu paralelu s kvantnom mehanikom: ulogu koju ovdje igra baºdarna u kvantnomehani£kom problemu igra translaciona simetrija. Recimo za £esticu na kruºici bi tako postojale "male" i "velike" translacije: one zbog kojih ¢e putanja £estice ne¢e i one zbog kojih se ho¢e "namotati" na kruºnicu. Tako se grupa translacije dijeli u svoje klase ekvivalencije dane s π 1 (S 1 ). Kona£no, na isti na£in na koji smo ovdje konstruirali |θ〉 stanja, mogli smo i tamo: prvo po£eti s izjavom da Hamiltonijan komutira s onim translacijama koje su u skladu s simetrijom potencijala. Iz toga konstruirati Blochov uvjet, tj. da svojstveno stanje Hamiltonijana ima samo fazu kao transformaciju na simetriju sistema. I kona£no denirati ta stanja kao linearnu superpoziciju stanja koja su lokalizirana na pojedinoj jami. Ta stanja ¢e biti Blochova stanja ako zadovoljavaju Blochov uvjet, i time je problem rje²en. n 11 Ovo je vrlo skra¢ena notacija za stanje vakuuma polja koje je zapravo funkcional tog polja, s indeksom homotopije n. 22
θ £lan u lagranºijanu Ra£unamo integral po stazama za |θ〉 vakuum F θ (T ) = 〈θ|e −HT |θ〉 = 1 2π ∑ e −inθ F (n + m, m, T ). nm F je amplituda tuneliranja, kao i u pro²lom poglavlju F (n + m, m, T ) = 〈n + m|e −HT |m〉 = N ∫ [dA] n e −S[A] , gdje indeks n ozna£ava da radimo integral samo po konguracijama koje imaju Q = n+m−m = n. Iz ovog vidimo da je jedna suma u prvom izrazu slobodna, tj. ∑ m = 2πδ(0). Slijedi reprezentacija F θ preko integrala po stazama F θ (T ) = δ(0)N ∑ ∫ ∫ [dA] n e −(S[A]+inθ) = δ(0)N [dA] ∀n e −Sθ[A] . (2.26) n Akciju moºemo napisati i u prostoru Minkowskog. Trebamo Wick-rotirati nazad. −S[A] sadrºi Tr(F F ) E , a on je iste forme i u jednom i drugom prostoru: imamo samo Wickovu rotaciju koja mijenja mjeru d 4 x E → id 4 x. Ali n sadrºi −Tr( ˜F F ) E ²to daje dodatan +i na +i od mjere, pa zajedno s minusom u eksponentu daje +1. Sve to skupa sad mora biti jednako iS θ [A] u prostoru Minkowskog. Eksplicitno Par primjedbi: S θ [A] = − 1 2g 2 ∫ d 4 xTr(F µν F µν ) + θ ∫ 16π 2 d 4 xTr( ˜F µν F µν ). (2.27) • Iako smo radili u A 4 = 0 baºdarenju θ £lan je isti u bilo kojem baºdarenju. • Nova interakcija je renormalizabilna. To zna£i da smo je mogli odmah i staviti rukom u akciju. No nova interakcija je i totalna derivacija: jednadºbe gibanja ostaju iste, kao i Feynamnova pravila. Ona nema nikakvog utjecaja na perturbativnu sliku YM teorije. Ali ako teorija ima trivijalnu topologiju takav £lan nema nikakvog utjecaja uop¢e. Takav je slu£aj npr. s QED-om gdje je baºdarna grupa U(1). Elektroslaba teorija je SU(2) × U(1) a QCD SU(3). Obje ove teorije imaju netrivijalne topologije (netrivijalne grupe homotopije) pa obje teorije dopu²taju instantonska rje²enja zbog £ega integral uz kut θ ne mora biti nula. • Nova interakcija lomi T simetriju, pa time i CP. To je zato ²to ˜F F ide kao EB, a E → E, dok B → −B s obzirom na vremensku inverziju. Ovo zna£i da recimo neutron moºe imati elektri£ni dipolni moment, jer T simetrija mijenja elektri£ni i magnetni moment jednako kako mijenja i pripadna polja. Postoje¢a eksperimentalna granica na taj dipolni moment daje donju granicu na θ kut, θ < 10 −9 . 2.4 Vakuumska energija Reºim rijetkog instantonskog plina je opravdan jedino ako su instantoni dobro lokalizirani objekti. Takav je bio slu£aj kod kvantnomehani£kog problema u pro²lom poglavlju. S druge strane, instantoni u YM teoriji mogu biti bilo koje veli£ine, to diktira parametar ρ. Jedina nada je u tome da u integral po stazama instantoni raznih veli£ina ulaze s razli£itom "teºinom" pa bi veliki instantoni mogli biti potisnuti. Kako nije ba² jasno kako ovo eksplicitno vidjeti, nije ni jasno da li je aproksimacija rijetkog plina opravdana. Za kraj ¢emo pro¢i ra£un vakuumske energije za rijetki instantonski plin. Na taj na£in moºemo koristiti neke formule iz pro²log poglavlja. Kolektivne koordinate Postojanje kolektivnih koordinata je posljedica simetrija sistema. Simetrija u kvantnomehani£kom problemu je bila vremenska translacija, ²to je rezultiralo jednom kolektivnom koordinatom koju smo zvali t 0 . 23
Page 1 and 2: Seminar iz teorije polja Instantoni
Page 3 and 4: 1 Instantoni u kvantnoj mehanici Po
Page 5 and 6: Nakon parcijalne integracije ²to s
Page 7 and 8: Ako odaberemo standardni potencijal
Page 9 and 10: 1.3 Razriježeni instantonski plin
Page 11 and 12: i on ¢e za neki ksni x rasti sve d
Page 13 and 14: ƒestica na kruºnici Istina je da
Page 15 and 16: 2 Instantoni u Yang-Mills teoriji I
Page 17 and 18: Topolo²ki naboj Jednom kada imamo
Page 19 and 20: Baºdarna transformacija na rubu ni
Page 21 and 22: gdje je ρ slobodni parametar 8 . I
Page 23: Preko kanonskog impulsa je trivijal
Page 27 and 28: onda stavljamo µ = ρ. Ovdje smo s
Page 29 and 30: ²to je zbilja lim F ho(0, 0, T ) =
Page 31 and 32: i zato njegov kvadratni £lan zanem
Page 33 and 34: Sad smo do²li do to£ke u kojoj po

Instantoni - phy

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?