Instantoni - phy

Seminar iz teorije polja
Instantoni
Sanjin Beni¢
Zagreb, 9. rujna 2010
Saºetak
Zbog svoje valne prirode, kvantnomehani£ka £estica (ili kvantnomehani£ka
konguracija polja) moºe tunelirati kroz potencijalnu barijeru.
Instantoni predstavljaju jedan mogu¢i opis tog tuneliranja. Cilj
ovog seminara je vidjeti kako to to£no funkcionira.

Sadrºaj
1 Instantoni u kvantnoj mehanici 1
1.1 Integral po stazama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dvostruka jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Razriježeni instantonski plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Periodi£ni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Instantoni u Yang-Mills teoriji 13
2.1 Topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Instanton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 θ kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Vakuumska energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A Harmoni£ki oscilator 26
B Ra£un K za dvostruku jamu 28
C t'Hooftov simbol 30
Literatura 32
i

1 Instantoni u kvantnoj mehanici
Po£injemo s kvantnom mehanikom samo zato jer je tako najednostavnije. No unato£ tome, od
teorije polja i nismo toliko daleko: kvantna mehanika se zapravo moºe promatrati kao poseban
slu£aj teorije polja. Ideja je da ono ²to predstavlja operator skalarnog polja u (0+1) dimenzionalnoj
teoriji polja interpretiramo kao operator poloºaja u kvantnoj mehanici. Kako poglavlje odmi£e
vidjeti ¢emo kako se ova ideja razvija.
1.1 Integral po stazama
Klasi£an problem moºe se denirati pomo¢u akcije S[q] koja je funkcional poloºaja q
S[q] =
∫ T/2
−T/2
a L(t) je obi£na funkcija poloºaja (preko £ega i ovisi o vremenu)
dtL(t), (1.1)
L = 1 2 m ˙q2 − V (q), (1.2)
odnosno lagranºijan.
Staza kojom se kre¢e klasi£na £estica je ona koja ekstremizira akciju. Kvantnomehani£ka £estica
ne slijedi nuºno klasi£nu stazu. Ako £estica krene iz neke po£etne to£ke q i , ona ¢e evoluirati za
neko vrijeme T ba² u to£ku q f sa vjerojatno²¢u F
F (q f , q i , T ) = 〈q f , +T/2|q i , −T/2〉 = 〈q f |e − i HT |q i 〉
Feynman je pokazao da se gornja amplituda da napisati kao "suma" po svim stazama
∫
F (q f , q i , T ) = N [dq]e iS[q]/ . (1.3)
N je norma koja osigurava dvije stvari: da je mjera [dq] dobro denirana (u smislu da pokupi sve
eventualne divergencije koje se nažu na putu pri ra£unanju), te da osigurava da apsolutni kvadrat
gornjeg izraza ima zna£enje vjerojatnosti. Radi kra¢eg zapisa ispustili smo granice integracije.
U jeziku teorije polja (1.3) stanja |q f,i , ±T/2〉 za veliki T bi bila vakuum polja teorije. Ovdje
imamo posla s integralom po stazama prije nego smo ga usendvi£ili sa £esti£nim vakuumima (pa
da skalarni produkti produciraju iɛ £lanove za propagatore).
1

Wickova rotacija Prije nego idemo ra£unati (1.3) moramo napraviti Wickovu rotaciju. To je
zato ²to ga jedino tako i znamo izvrijedniti. Wickova rotacija se radi i u teoriji perturbacije, samo
u impulsnom prostoru: tamo smo znali gdje su polovi i Wick-rotirali smo tako da ih ne uhvatimo
pod integralnu krivulju. Ovdje to ne znamo, pa je Wickova rotacija ne²to u ²to naprosto vjerujemo.
Njen efekt je kao da smo t zamijenili s it E s tim da su i t i t E realni brojevi (upravo zato to i nije
samo zamjena varijabli). Tada imamo:
∫
F (q f , q i , T E ) = N [dq]e −SE[q]/ , (1.4)
gdje smo sad ba² ozna£ili iT = T E , i gdje je
S E [q] =
∫ TE /2
−T E /2
dt E
[ m
2
( dq
dt E
) 2
+ V (q)
]
. (1.5)
Kada ne bude dvosmisleno (gotovo uvijek), ispu²tati ¢emo rije£ Euklidska. Da se ne zagu²i notacija,
od sad pa na dalje, ispu²tati ¢emo i supskript E.
Funkcionalni razvoj Euklidske akcije Da stvar bude gora, ne samo da znamo izvrijedniti
samo Euklidski integral po stazama, ve¢ ga znamo egzaktno izvrijedniti samo ako u eksponentu
stoji najvi²e kvadratni polinom. Tada imamo posla s beskona£no mnogo Gaussovskih integrala.
Idemo zato razviti akciju do kvadratnog £lana oko nekog q 0 (t)
∫ T/2 ( δS[q]
)
S[q] ≈ S[q 0 ] + dt
+
−T/2 δq(t) 0η(t) 1 ∫ T/2
dtdt ′( δ 2 S[q]
)
2
δq(t)δq(t ′ η(t)η(t ′ )
) 0
Najednostavnije je ovaj izraz shvatiti kao Taylorov red za beskona£no mnogo varijabli (od tuda
integral). Funkcionali su u tom smislu funkcije beskona£no mnogo varijabli. η = q−q 0 su uktuacije
oko q 0 . Akcija je tako kao neka vrsta potencijala, samo zbog toga ²to predstavlja funkcional, ne
razvijamo oko to£ke ve¢ oko cijele funkcije.
Od svih mogu¢ih q-ova koji ulaze u integral po stazama olak²ajmo si posao tako da razvijamo oko
takvog q 0 da vrijedi:
( δS[q]
)
= 0. (1.6)
δq(t) 0
U tom slu£aju treba nam samo druga derivacija izvrijednjena u ekstremalnoj to£ci
( δ 2 S[q]
) [
δq(t)δq(t ′ = m d ) 0 dt
−T/2
d
]
dt ′ + V ′′ (q(t)) δ(t − t ′ ).
2

Nakon parcijalne integracije
²to se formalno moºe shvatiti kao
S[q] ≈ S[q 0 ] + 1 〈η|F |η〉,
2
〈η|F |η〉 =
∫ T/2
−T/2
dtdt ′ 〈η|t〉〈t|F |t ′ 〉〈t ′ |η〉.
F predstavlja tzv. uktuacijski operator, £iji je matri£ni prikaz u bazi |t〉 dijagonalan
〈t|F |t ′ 〉 =
]
[−m d2
dt 2 + V ′′ (q 0 ) δ tt ′,
a skalarni produkti jednostavno η(t) = 〈t|η〉.
Jednadºba (1.6) je jednadºba za klasi£nu stazu £estice. Klasi£na staza ima klasi£nu akciju a
klasi£na akcija je puno ve¢a od minimalne kvantne, tj. . Ali to nije razvoj po maloj Planckovoj
konstanti, to je razvoj po klasi£noj stazi, jer je ideja da promatramo takvu zikalnu situaciju u
kojoj je ogroman broj staza koncentriran oko te klasi£ne, pa bi uktuacije zbilja dale velik doprinos
u integral po svim stazama.
Mjera integrala po stazama se ne mijenja jednostavnom translacijom varijabli (Jacobijan te transformacije
je 1). Stoga
∫
F (q f , q i , T ) = N e −S[q0]/ [dη]e −〈η|F|η〉/2 .
Preostali integral se rje²ava dijagonalizacijom, tj.
F |η n 〉 = λ n |η n 〉,
|η〉 = ∑ n
c n |η n 〉.
Pa je
〈η|F |η〉 = ∑ n
c 2 nλ n .
Moºemo i malo paºljivije denirati mjeru
∫
[dη] =
∫ η(T/2)
η(−T/2)
∫ η(T/2)
∫ ∞
dη(t 1 ) dη(t 2 ) · · · = const ×
η(−T/2)
−∞
∫
dc ∞
√ 1
2π
−∞
dc 2
√
2π
· · ·
O gornjem izrazu treba razmi²ljat ovako: prvo na² integral po stazama je suma po svim mogu¢im
stazama sa ksiranim krajevima. U svakom trenutku t i imamo cijeli skup staza koje treba sumirati.
Te staze sumiramo tako da sumiramo uktuacije svih staza oko neke staze q 0 . Kona£no, umjesto
da sumiramo po cijelom skupu uktuacija u svakom vremenskom trenutku, moºemo sumirati po
amplitudama "normalnih modova" na koje se te uktuacije daju rastaviti. Ograni£enje ksiranih
krajeva postaje rubni uvjet za diferencijalnu jednadºbu kojom ¢emo i traºiti normalne modove.
Faktor √ 2π je proizvoljno uba£en i rezultira konstantom ispred integracije, koju ¢emo ionako
staviti u normu.
Integral po stazama postaje trivijalan
F (q f , q i , T ) = N e −S[q0]/ ∏ n
²to u slu£aju da su svi λ n > 0 postaje
( ∫ ∞
−∞
dc n
√
2π
e −c2 n λn/2) ,
F (q f , q i , T ) = N e −S0/ [det F ] −1/2 , (1.7)
gdje se determinanta shva¢a kao produkt svojstvenih vrijednosti.
3

1.2 Dvostruka jama
Ako bi nas zanimalo koliko kvantna mehanika modicira klasi£nu sliku nekog zikalnog problema,
uzeli bi integral po stazama i razvili akciju oko klasi£nog rje²enja do kvadrati£nog £lana. Rezultat
ovog razvoja bio bi svojevrstan semiklasi£an opis: sistem bi se pona²ao klasi£no uz prisustvo
kvantnih uktuacija. Npr. da stavimo £esticu na dno potencijalne jame ona bi imala energiju
nula. To bi bilo njeno klasi£no pona²anje, ona bi samo sjedila na dnu te jame. No, razvojem
akcije do kvadrati£nog £lana dobili bi harmoni£ki oscilator u potencijalu, ustanovili bi da njegovo
najniºe stanje ima energiju razli£itu od nule (kao ²to i relacije nedodreženosti to nalaºu). To bi
bile kvantne uktuacije. A integral po stazama bi u ovom slu£aju dao samo normu najniºeg stanja
harmoni£kog oscilatora. Ovo ¢emo zapravo kasnije i izra£unati.
Ovakav tip razmatranja u teoriji polja moºe se shvatiti kao resumacija cijele klase dijagrama. U
tom smislu klasi£no pona²anje bi bili drvasti dijagrami 1 ( 0 ), a kvadrati£ni £lan akcije dijagrami do
na jednu petlju ( 1 ). Zna£i da pomo¢u integrala po stazama moºemo promatrati neperturbativne
efekte.
Ako umjesto jednostruke jame imamo dvostruku jamu, £estica ne mora vi²e samo sjediti u jednom
minimumu i uktuirati s 1 potisnu¢em. Sad moºe i tunelirati iz jednog minimuma u drugi.
Tuneliranje je neperturbativni fenomen, isto kao i npr. vezano stanje. Vezana stanja ne moºemo
dobiti ra£unanjem samo jednog Feynmanovog dijagrama, moramo sumirati cijelu klasu dijagrama.
Zato za vezana stanja i rje²avamo Schrödingerovu jednadºbu. Za tuneliranje rje²avamo integral
po stazama. U tom formalizmu, upravo instanton omogu¢uje tuneliranje. Ovdje igramo sli£nu
igru kao gore s harmoni£kim oscilatorom: razvijamo oko klasi£nog rje²enja, ali ovaj puta Euklidske
akcije. To klasi£no rje²enje se zove instanton.
Takožer, za razliku od harmoni£kog oscilatora, ovdje trebamo tuneliraju¢e rubne uvjete: ne zanima
nas vi²e da £estica cijelo vrijeme stoji u istoj to£ci prostora (da je polje u istom minimumu),
ve¢ da nakon nekog vremena tunelira iz jednog minimuma u drugi. Stoga ¢e i klasi£no rje²enje
morati zadovoljiti te rubne uvjete. Sad postaje o£it razlog za²to razvijamo oko Euklidske akcije,
"normalna" akcija nikako ne moºe dati rje²enje s takvim rubnim uvjetima. Ispada da Euklidska
akcija ima upravo takvo klasi£no rje²enje. Nije ni £udo, zato ²to ono ²to je prije predstavljalo
potencijalnu jamu sad postaje potencijalni brijeg s kojeg se £estica samo odkotrlja. Ako njega
nažemo, i zanemarimo kvadratni £lan, tuneliranje iz jednog u drugi minimum je dano faktorom
e −S0/ . Ovo je prva poznata stvar iz uobi£ajenog razmatranja tuneliranja u kvantnoj mehanici (i
razlog zbog £ega se instantone uop¢e povezalo s tuneliranjem): to je eksponencijalno trnu¢i proces.
U Euklidskom smo prostoru i promatramo situaciju klasi£no. Ako potencijal ne ovisi o vremenu,
onda je Euklidska energija (koju pi²emo bez supskripta E)
E = m 2 ˙q2 − V (q)
sa£uvana. Gornju jednadºbu moºemo i staviti u formu pogodnu za integraciju
√ m dq
± √ = dt. (1.8)
2 E + V (q)
1 Ovdje je rije£ "klasi£no" malo zlorabljena, jer ra£unanjem nekog procesa ve¢ na drvastom nivou mi ra£unamo
njegovu amplitudu, £ime je kvantna mehanika u²la u igru. Ali to vrijedi kada se bavimo £esticama. Vakuum je
prostor bez £estica, pa za njega nema kvantne mehanike bez petlji.
4

Ako odaberemo standardni potencijal dvostruke jame,
V (q) = λ 4 (q2 − a 2 ) 2 , (1.9)
i promatramo situaciju u kojoj £estica (iz Euklidske pri£e) iz stanja mirovanja na vrhu jednog
brijega dolazi do vrha drugog brijega bez da je utro²ila i²ta energije. Tada gornju jednadºbu
rje²ava
q I, Ī(t) = ±a tanh ω 2 (t − t 0), (1.10)
Rje²enje s + predznakom po konvenciji zovemo instanton, a ono s obrnutim predznakom antiinstanton.
t 0 je integracijska konstanta odabrana tako da q I, Ī(t 0 ) = 0. Kao ²to smo i nagovijestili,
q I (−T/2) = a, a q I (T/2) = −a, za T ≫. Uveli smo ω 2 = 2λa 2 /m.
Ova razmatranja su potpuno li²ena dinamike: Euklidsko vrijeme nema nikakav stvaran zikalan
smisao. To je u redu, zato jer ionako na kraju pu²tamo T → ∞; nikakva dinamika nas zapravo i
ne zanima. Sve na ²to moºemo odgovoriti je s kojom vjerojatno²¢u se tuneliranje desilo, ali ne i
kad. Akcija, koja se moºe i napisati u formi koja podsje¢a na WKB ra£un, je
S[q I ] =
∫ a
−a
dq I
√
2mV (qI ) = 2 3 mωa2 , (1.11)
i ista je za instanton i antiinstanton.
U biti, sad imamo gotovu formulu za tuneliranje, no mi ipak ºelimo i¢i korak dalje, bar u ovoj
jednostavnoj slici, i uzeti u obzir uktuacije. No ra£un determinante operatora F u ovom slu£aju
nije tako jednostavan. Problem je u tome ²to ¢e jedna od njegovih svojstvenih vrijednosti biti nula,
pa vi²e ne moºemo primjeniti Gaussovu formulu. To je problem karakteristi£an svim instantonskim
razmatranjima, pa mu je posve¢en cijeli slijede¢i odjeljak.
Nulti mod Instanonsko rje²enje ima degeneraciju s obzirom na njegov "centar", tj. na t 0 . To
zna£i da mi bez obzira koji t 0 uvrstili dobivamo isti rezultat za akciju (1.11). Ako zamislimo
akciju kao nekakav "funkcionalni potencijal" (funkciju beskona£no varijabli), onda to zna£i da
postoje "krivulje" u tom prostoru (ekvipotencijale) po kojima kada se gibamo, ne mijenjamo potencijal.
Grubo govore¢i, ako prva funckionalna derivacija generira ekvipotencijalne krivulje, onda
druga funkcionalna derivacija generira promjenu te ekvipotencijalne krivulje. Ako se "gibamo" po
takvim "to£kama" tako da ostajemo na istoj ekvipotencijalnoj krivulji, onda druga (funkcionalna)
derivacija (u tom "smjeru") akcije mora i²£ezavati. Kako je ona upravo jednaka F-u, onda ¢e taj
F morati sadrºavati nulti mod. Kako je t 0 jedini slobodan parametar postojati ¢e samo jedan
nulti mod. Ovo vrijedi i generalno: koliko ¢e biti nultih modova ovisi o tome koliko ¢e instanton
imati slobodnih parametara.
Nulti mod moºemo jeftino dobiti ako uzmemo ono ²to nam daje δS/δq = 0 i napravimo promjenu
5

toga po ekvipotencijali:
∆q I (t) = q I (t − ∆t 0 ) − q I (t) = (−∆t 0 ) ∂q I 1
∝
∂t 0 cosh 2 1 2 ω(t − t 0) ,
odnosno nulti mod je "tangenta" na ekvipotencijalnu krivulju u tom prostoru. Gornjem izrazu
je proporcionalan svojstveni vektor η 0 . Primjetimo da ostala dva rje²enja δS/δq = 0 s E = 0
(to su jednostavno rje²enja u kojima £estica cijelo vrijeme stoji u jednoj od jama, tj. q(−T/2) =
q(T/2) = a i q(−T/2) = q(T/2) = −a) nemaju tu parametarsku slobodu. Uostalom, oni su i
rje²enja varijacije "normalne" akcije s "normalnom" energijom nula, pa kad "razvijamo" oko njih
znamo ²to ¢emo dobiti: samo nulto gibanje harmoni£kog oscilatora.
Iako ovo donekle podsje¢a na Higgsov mehanizam (kona£no, sloboda u t 0 je tu zbog simetrije na
translacije u vremenu), ovaj nulti mod se ne moºe interpretirat kao neki Goldstoneov bozon. To
je zato jer Goldstoneov bozon ima kontinuiran spektar (mijenja se s impulsom), a ovdje, kao ²to
¢emo vidjeti, osim nultog moda imamo jo² jedan diskretan mod i tek onda kontinuirani spektar.
S prakti£ne strane, nulti mod je problem jer integracija po njemu vi²e nije Gaussovska:
∫ ∞
−∞
pa ga moramo posebno tretirati
dc 0
√
2π
e − 1
2 λ0c2 0 =
∫ ∞
−∞
dc 0
√
2π
→ ∞,
t 0 → t 0 + dt 0 ⇒ dq = dq I
dt 0 = − dq I
dt 0 dt dt 0,
c 0 → c 0 + dc 0 ⇒ dq = dq
√ m dq I
dc 0 = η 0 dc 0 =
dc 0 S I dt dc 0,
gdje smo prvoj jednadºbi koristili da je q = q I + η, a η ne ovisi o t 0 , a u drugoj eksplicitno stavili
normu. Uz redeniciju c 0 → −c 0 √
SI
dc 0 =
m dt 0.
Slijedi
F (−a, a, T ) = N e −S I / JωT [mω 2 det ′ F ] −1/2 , (1.12)
gdje smo sa det ′ u ra£unanju determinante ispustili nulti mod. Denirana je bezdimenzionalna
veli£ina J = √ S I /2π, c 0 se jo² zove kolektivna koordinata, jer preko t 0 mjeri koliko smo cijeli
instanton pomaknuli u Euklidskom vremenu.
Fizikalno, T se javlja jer smo prosumirali po svim sedlenim to£kama: micanje po njima ne ko²ta
ni²ta akcije, pa u tim modovima nema eksponencijalnog potisnu¢a za tuneliranje. Moºemo re¢i da
nema veze kada se instanton pojavi u Euklidskom vremenu, po²to traje samo trenutak ("instant"):
nije bitno kada se tuneliranje desi, stoga niti vjerojatnost tuneliranja ne moºe o tome ovisiti.
Integral po stazama za jedan instanton Na skali Euklidskog vremena T se uglavnom ni²ta
ne dogaža. ƒestica ili sjedi u jami lijevo ili sjedi u jami desno. Prijelaz se de²ava na skali 1/ω za
kojeg uzimamo da je puno manji od T. Tako za ve¢inu vremena T zbilja moºemo uzeti F ≈ F ho ,
gdje je F ho uktuacijski operator harmoni£kog oscilatora
〈t|F ho |t ′ 〉 =
[−m d2
dt 2 + mω2] δ tt ′. (1.13)
No kako oni ipak nisu jednaki deniramo
Slijedi
[mω 2 det ′ F ] −1/2 = K[det F ho ] −1/2 . (1.14)
F (−a, a, T ) = N e −S I / JKωT [det F ho ] −1/2 .
N [det F ho ] −1/2 je sad jednostavno integral po stazama za harmoni£ki oscilator, i on je izra£unat
u dodatku A. Kona£an rezultat
(
F (−a, a, T ) = e −S I mω
) 1/2e / JKωT
−ωT/2 . (1.15)
π
6

1.3 Razriježeni instantonski plin
Ako je T jako veliko, £estica ne¢e samo jednom tunelirati iz jedne jame u drugu. Realno, de²avati
¢e se neprestane oscilacije. Za opis takve situacije trebati ¢e nam vi²e od jednog instantona.
ω je mjera ²irine instantona; ²to je ω manji to je instanton ²iri. No koliko god ω bio mali, odnosno
1/ω veliki mi uvijek moºemo T u£initi puno ve¢im. Na kraju ¢emo i dati jedan primjer u kojem
je ovo zadovoljeno. U tom reºimu moºemo o£ekivati da ¢e se desiti vi²e od jednog tuneliranja,
pa izraz (1.15) ba² i nije ono ²to ºelimo. Vi²e od jednog tuneliranja zna£i nekakvu superpoziciju
instantona koji bi sad omogu¢ili £estici da u nekom velikom T neprestano oscilira izmežu dvije
jame. Ali ta superpozicija nije rje²enje jednadºbe δS/δq = 0 (jer ta jednadºba nije linearna), ali
ako su pojedini instantoni u superpoziciji dovoljno razmaknuti (vi²e od 1/ω) onda je to dobra
aproksimacija. U tom bi smislu instantoni £inili razriježeni plin.
Ako ºelimo rje²enje koje ¢e izgledati kao instantonsko na velikim skalama, a koje ¢e zapravo sadrºavati
superpoziciju N instantona i antiinstantona, tada ta superpozicija mora po£eti i zavr²iti s
instantonom. Zna£i da moramo imati (N + 1)/2 instantona i (N − 1)/2 antinstantona
q N (t) =
(N+1)/2
∑
k=1
(N−1)/2
∑
q I (t − t 2k−1
0 ) +
k=1
q Ī (t − t 2k
0 ), (1.16)
a t k 0-ovi su dani u padaju¢em poretku. Analogno se napi²e i rje²enje koje ¢e izgledati kao antiinstantonsko.
Razriježeni plin bi bio suma ovakvih superpozicija bilo kojeg N.
Integral po stazama za N instantona Za sad smo rje²ili integral po stazama za instantonsko
rje²enje (1.15). Faktor ωT dobiven je zbog toga jer je instantonski centar mogao biti bilo gdje
izmežu −T/2 i T/2. Ako umjesto jednog imamo N instantona i ako taj niz ide kao I-Ī...I onda
samo prvi I moºe biti izmežu −T/2 i T/2. Slijede¢i antiinstanton mora po£eti "najranije" od
centra prvog instantona. Stoga je integral po stazama za N neinteragiraju¢ih instantona ove forme
∫ T/2
F N (−a, a, T ) = F ho (0, 0, T )(JKe −S I / ) N ωdt 1 0
−T/2
= F ho (0, 0, T ) (JKe−S I / ωT ) N
.
N!
∫ T/2
t 1 0
ωdt 2 0 · · ·
∫ T/2
Otkud F ho ? Ako bi ba² pisali integral po stazama onda bi u akciju i²ao q N . Varijabla integracije
q bi do drugog reda sadrºavala lokalne uktuacije oko svakog pojedinog instantona i globalne
uktuacije koje se mogu pridjeliti samo uktuacijama minimuma. Dio akcije s tim £lanom daje
F ho .
Poznati rezultat
t N−1
0
ωdt N 0
Sumiramo po N da dobijemo instantonski plin s bilo kojim brojem instantona
F (−a, a, T ) =
∑
Nneparan
F N (−a, a, T ) = F ho
∑
Nneparan
(JKe −S I / ωT ) N
,
N!
7

gdje suma samo po neparnima ide zbog rubnih uvjeta. Ako ho¢emo F (a, a, T ), tj. da £estica u
svom osciliranju izmežu dviju jama, nakon T, opet zavr²i odakle je i po£ela, onda sumiramo po
parnim N. Kona£ni rezultat je
1
F (±a, a, T ) = F ho
2
= 1 2
( mω
π
[
e JKe−S I / ωT ± e −JKe−S I / ωT ] =
) 1/2 [
e −( 1 2 −JKe−S I / )ωT ± e −( 1 2 +JKe−S I / )ωT ] .
U limesu T → ∞ preºivljavaju dva stanja; |0〉 i |1〉 (vidi dodatak A)
iz £ega se o£itaju njihove energije
norme
i odnos faza
lim
T →∞ F (−a, a, T ) = e−E0T/ 〈±a|0〉〈0|a〉 ± e −E1T/ 〈±a|1〉〈1|a〉,
(1.17)
E 0 = ω 2 − ωJKe−S I / , E 1 = ω 2 + ωJKe−S I / , (1.18)
|〈±a|0〉| 2 = |〈±a|1〉| 2 = 1 2
( mω
) 1/2,
π
〈−a|0〉〈0|a〉 = −〈−a|1〉〈1|a〉 = 1 ( mω
) 1/2.
2 π
S druge strane, znamo da moºemo razvijati oko minimuma obje jame u harmoni£ki oscilator, i
dobiti degenerirane energije E ± = ω/2 i norme
|〈±| ± a〉| 2 =
( mω
) 1/2,
π
gdje smo s |±〉 ozna£ili energijska stanja u lijevoj i desnoj jami. Sad se stanja |0〉 i |1〉 mogu ovako
zapisati
|0〉 = √ 1 (|+〉 + |−〉), |1〉 = √ 1 (|+〉 − |−〉). (1.19)
2 2
Interpretacija je slijede¢a: ako radimo teoriju perturbacije (razvoj) oko jedne jame, ra£unamo
stacionarna stanja i dobiti ¢emo harmoni£ki oscilator. Energije su degenerirane. Tuneliranje cijepa
degeneraciju i stanja harmoni£og oscilatora vi²e nisu stacionarna. Frekvencija oscilacija mežu tim
stanjima je
Ω = E 1 − E 0
= 2JKωe −S I / .
Osnovno stanje pune teorije (koje je stacionarno) je simetri£na linearna kombinacija svojstvenih
stanja. U formalizmu teorije polja to bi bio "pravi" vakuum teorije. Zbog prisutnosti tuneliranja
nema spontanog loma simetrije. U punoj (3 + 1) teoriji polja nau£ili smo na kanonskom primjeru
upravo φ 4 teorije sa "krivim" predznakom mase da je ta teorija spontano slomljena. Za²to
tamo nema tuneliranja? To je zato jer akcija tamo sadrºi jo² i integral po volumenu prostora, pa
je ugrubo akcija proporcionalna volumenu, £ime za beskona£an volumen tuneliranje jednostavno
i²£ezava.
Molekula amonijaka je tipi£an primjer ovakve situacije, imamo atom du²ika koji tunelira kroz barijeru
koja se formira od 3 atoma vodika. Frekvencija tuneliranja je Ω = 24000 MHz. Kako smo
K faktor izra£unali u dodatku B, moºe se dobiti (ako uzmemo a = 10 −10 m) da je ω reda veli£ine
10 12 Hz, pa je vrijeme tuneliranja puno ve¢e od instantonske skale.
Je li instantonski plin zbilja rijedak?
paragrafa je oblika
Eksponencijalni red koji smo sumirali na po£etku ovog
∑
x N /N!
N
8

i on ¢e za neki ksni x rasti sve dok N ne postane reda veli£ine x. To denira kriti£nu gusto¢u
instantona
( N
)
≈ JKωe −S I / ,
T crit
Zbog eksponencijalnog £lana je kriti£na gusto¢a mala, a daljnji £lanovi u razvoju su sve manje i
manje vaºni.
1.4 Periodi£ni potencijal
U pro²lom odjeljku do u detalje je razražen najjednostavniji instantonski ra£un. Ovdje ¢emo ve¢
biti manje rigorozni, npr. ne¢emo izra£unati K, nego ¢emo se osloniti na pro²le rezultate, da uz
²to manje ra£una dožemo do to£ke gdje moºemo dobiti zikalnu predodºbu.
Imamo posla s potencijalom oblika
V (q) = λ(1 − cos q a ).
Ako nema tuneliranja, oko svakog minimuma 2πja osnovna stanja su degenerirana s energijom
ω/2. Valne funkcije su valne funkcije harmoni£kog oscilatora. Tuneliranje razbija degeneraciju i
dobivamo £itav spektar energija. I u ovom slu£aju ¢emo za opis situacije koristiti instantone.
Eksplicitno rje²enje Zapravo ga i ne¢emo trebati, jer ovdje ne¢emo ra£unati K. Rezultat ¢emo
ipak priloºiti da se vidi da je i ovdje instanton lokaliziran.
Zna£i rje²avamo (1.8) s E = 0 za periodi£ni potencijal. Ako odaberemo da za centar instantona
vrijedi tan(q(t 0 )/2a) = 1, rje²enje je dano s
q I, Ī(t) = ±4a arctan[e ω(t−t0) ], (1.20)
gdje smo denirali λ = mω 2 a 2 . Lokaliziranost instantona dopu²ta da se primjeni aproksimacija
razriježenog plina.
Integracija kolektivnih koordinata U periodi£nom potencijalu imamo beskona£no jama i
£estica moºe krenut iz bilo koje 2πja; instanton je tada vodi u 2π(j + 1)a, a antiinstanton u
2π(j − 1)a jamu. Zbog toga multinstantonsko rje²enje ne mora vi²e biti takvo da za instantonom
slijedi antiinstanton. Neka se na po£etku (u −T/2) £estica nalazi u |2πj 1 a〉 stanju, na kraju (u
T/2) neka tunelira u |2πj 2 a〉 stanje, i to pomo¢u N I-jeva i ¯N Ī-jeva. Integracija kolektivnih
koordinata se svodi na to da prebrojimo na koliko mjesta u vremenu T moºe do¢i N I-a, i ¯N Ī-a.
Ako instantonski centri mogu biti bilo gdje, to je kao da stavljamo N instantona u ωT "kutija" (ωT
je kao volumen faznog prostora). To daje faktor (ωT ) N . Ako instantone ne razlikujemo, unutra
9

smo prebrojali konguracije koje se razlikuju samo na permutaciju, pa to dijelimo s N! Ako isto
napravimo za antiinstantone, integracija kolektivnih koordinata se svodi na
N+ ¯N
(ωT )
N! ¯N!
Integral po stazama
Integral po stazama za N instantona i ¯N antiinstantona je oblika
N+ ¯N (ωT )N+ ¯N
F N ¯N(j 2 , j 1 , T ) = F ho (JKe −S I / )
N! ¯N! δ N− ¯N,j2−j 1
. (1.21)
K je faktor koji dolazi od akcije i njene druge derivacije a J je Jacobijan od integracije kolektivnih
koordinata. Na koncu, kako svaki instanton vodi na susjedni poloºaj, a antiinstanton vra¢a natrag,
razlika u njihovom broju mora dati stvarni pomak, zato na kraju jednadºbe stoji pripadni
Kroneckerov simbol.
Integral po stazama razriježenog plina je oblika
F (j 2 , j 1 , T ) = ∑ N
∑
F N ¯N (j 2 , j 1 , T ) = ∑ ∑
F ho (JKe −S I / )
N
¯N
¯N
N+ ¯N (ωT )N+ ¯N
N! ¯N!
Sume ¢emo lako izra£unati ako ih razveºemo Fourierovom transformacijom
F (j 2 , j 1 , T ) = F ho
∫ 2π
0
dθ
[∑
2π
N
δ ab =
∫ 2π
0
dθ
2π eiθ(a−b) ,
(e −iθ JKe −S I / ωT ) N ][∑
N!
¯N
δ N− ¯N,j2−j 1
. (1.22)
(e iθ JKe −S I / ωT ) ¯N ]
e
¯N!
iθ(j2−j1)
∫ 2π
dθ
= F ho
0 2π exp(2JKe−S I / ωT cos θ)e iθ(j2−j1) =
( mω
) 1/2
∫ 2π
dθ
[
=
π 0 2π exp − 1 ]
2 ωT + 2JKe−S I / ωT cos θ e iθ(j2−j1) .
Ovo zna£i da su se degenerirana stanja rascijepila
u cijeli spektar stanja
∫ 2π
lim F = dθe −EθT/ 〈2πj 2 a|θ〉〈θ|2πj 1 a〉,
T →∞
0
E θ = 1 2 ω − 2ωJKe−S I / cos θ, (1.23)
sa normom
〈2πj 2 a|θ〉〈θ|2πj 1 a〉 = 1 ( mω
) 1/2e
iθ(j 2−j 1) ,
2π π
odnosno
〈2πja|θ〉 = √ 1 ( mω
) 1/4e iθj .
2π π
Harmoni£ki oscilator je uobi£ajeno normiran
( mω
) 1/4,
〈2πja|j〉 =
π
gdje, iako moºda djeluje zbunjuju¢e, sa |j〉 je ozna£eno svojstveno stanje Hamiltonijana harmoni£kog
oscilatora u j-toj jami, a sa |2πja〉 svojstveno stanje operatora poloºaja. Tada se |θ〉
stanje moºe ovako zapisati
|θ〉 = √ 1 ∑
e iθj |j〉. (1.24)
2π
Potpuno analogan rezultat se moºe izvesti preko aproksimacije £vrste veze poznate iz zike £vrstog
stanja. U tom smislu (1.24) su Blochova stanja, a (1.23) Blochove energije. U teoriji polja bi stanje
s θ = 0 zvali "pravi" vakuum teorije.
10
j

ƒestica na kruºnici Istina je da θ iz prethodnog paragrafa ima neke sli£nosti s θ £lanom u
QCD-u. Istina je i da stanje |θ〉 ima neke veze s QCD vakuumom. No postoji jedan problem:
u QCD-u je θ proizvoljan parametar, dok je vakuum gornje teorije deniran s θ = 0. Moºemo
li jednostavno modicirati gornju zikalnu situaciju da jo² vi²e li£i QCD-u? Pokazati ¢emo da
upravo ograni£enje gibanja £estice na kruºnici daje takva svojstva.
Neka se £estica moºe gibati samo po kruºnici, tj. neka je 0 < q < 2πa. lagranºijan je isti kao gore,
klasi£na jednaºba je ista, ali druga£iji su rubni uvjeti. Ovdje se poistovje¢uju to£ke 0 i 2πa, pa se
poistovje¢uju i kvantna stanja |0a〉 = |2πa〉. No to zna£i da je θ = 0, odnosno da je energija samo
jedna
E 0 = 1 2 ω − 2ωJKe−S I /
dok smo gore smo dobili £itav spektar.
S aspekta instantona, sve je isto osim ograni£enja ¯N − N = j 2 − j 1 . Iako smo se vratili u istu
zikalnu to£ku tuneliranja je ipak bilo: to je zato ²to smo se oko nje mogli namatati.
Dodavanje totalne derivacije u L ne mijenja klasi£ne jednadºbe, pa time niti bilo koje klasi£no
svojstvo £estice na kruºnici
L = m 2 ˙q2 − V (q) → m 2 ˙q2 − V (q) −
θ ˙q. (1.25)
2πa
θ je ovdje proizvoljan parametar. Ispada da ¢e Euklidska akcija biti S I + iθ ako uvrstimo instantonsko
rje²enje, ili S I −iθ ako uvrstimo antiinstantonsko rje²enje. Energija ¢e opet biti samo jedna,
ali oblika
E θ = 1 2 ω − 2ωJKe−S I / cos θ.
Jo² jednom: za razliku od gornje situacije ovdje imamo odmah samo jedno jedino stanje, jednu
jedinu energiju; kako je θ proizvoljan parametar svaki θ opisuje isti klasi£ni, a druga£iji kvantnomehani£ki
"svijet".
Topologija Nismo jo² ni rije£i rekli o topologiji. To je zato ²to su topolo²ka razmatranja u ovim
kvantnomehani£kim problemima skoro pa trivijalna. Topologijom se bavimo kada nas ne zanima
da li neki objekt izgleda kao kocka, ili kao piramida, ve¢ ima li taj objekt recimo rupu, kao torus.
Neki zikalan sustav je spreman za prou£avanje kada deniramo dinamiku i rubne uvjete. U zici
elementarnih £estica, gdje ra£unamo ²irine raspada i udarne presjeke vi²e se koncentriramo na ovo
prvo; sustav stavljamo u kutiju i ra£unamo Fenymanove dijagrame. Rubni uvjeti su vezani uz
topolo²ka razmatranja, i ako je topologija teorije trivijalna (vidjeti ¢emo ²to to zna£i) to i je put
kojim moramo i¢i. Postoje situacije u kojima stvar nije tako jednostavna, zato ²to sama polja
(ili koordinate u kvantnoj mehanici) na koja name¢emo rubne uvjete su funkcije prostora i (ili)
vremena.
ƒestica na kruºnici je prvi primjer koji izgleda topolo²ki netrivijalan. Da nema instantona,
uvoženje θ £lana u (1.25) bi bilo apsolutno beskorisno. Jedino instanton moºe natjerati £esticu da
tunelira, odnosno da se namata po kruºnici. Na taj na£in mogu postojati vi²e puteva od 0 pa opet
do 0 koji su takvi da se jedan u drugog ne mogu kontinuirano deformirati. Za odgovoriti na pitanja
koliki je mogu¢i broj puteva, koji se putevi jedan u drugog mogu kontinuirano deformirati (ili
koji su putevi homotopni) itd. koristimo topologiju. Prvo pitanje moºemo reformulirati u pitanje
11

na koliko mogu¢ih na£ina moºemo kruºnicu omotati oko kruºnice? Odgovor je o£ito beskona£no.
Za drugo pitanje nam treba neki primjer. Jedna putanja moºe biti to£ka a druga putanja staza
jednog instantona. Jedan na£in da saznamo da li su te dvije putanje putanje homotopne je da
jednostavno nacrtamo i jednu i drugu situaciju i vidimo moºemo li instantonsku stazu deformirati
u to£ku. Drugi na£in je da izra£unamo integral
Q = 1
2πa
∫ ∞
−∞
dt dq
dt = 1 (q(∞) − q(−∞)), (1.26)
2πa
²to je zapravo samo izvrijednjavanje razlike u rubnim to£kama. Zbog tog svojstva ovo predstavlja
najjednostavniji primjer tzv. topolo²kog naboja. Tvrdnja je da Q predstavlja broj namatanja
kruºnice na kruºnicu za bilo koju stazu. To je zato jer sve ²to nam treba su rubne to£ke. Da zavr²imo
primjer: instanton nosi topolo²ki naboj +1 (a antiinstanton −1), dok to£ka ima topolo²ki
naboj 0, pa te dvije staze nisu homotopne.
Topolo²ki naboj omogu¢ava klasikaciju staza na topolo²ki trivijalne i one koje to nisu. Kaºemo
da on sve staze dijeli u homotopne klase ekvivalencije. Generalizacija ovih ideja ¢e biti od iznimne
koristi u Yang-Mills teoriji.
12

2 Instantoni u Yang-Mills teoriji
Instantoni u teoriji polja imaju veze s tuneliranjem, ali ipak u ne²to druga£ijem kontekstu nego u
kvantnoj mehanici. Jedna mogu¢a zabuna je da razmi²ljamo o ovom tuneliranju kao o tuneliranju u
prostoru Minkowskog. U smislu kao da je samo prostorvrijeme na neki na£in odvojeno na topolo²ki
netrivijalne sektore, pa da instantoni omogu¢avaju tuneliranje izmežu njih. To nije to£no, prostor
Minkowskog je ravan, trivijalne topologije. Zato nam i ne¢e biti bitno promatramo li prostor
kao veliku kocku, kuglu ili recimo valjak. Ovdje tuneliranje nije prostorno lokaliziran dogažaj, ne
de²ava se u prostoru Minkowskog, ve¢ u prostoru samih polja 1 . Polje proºima cijelo prostorvrijeme,
pa je kvantnomehani£ko stanje dano poznavaju¢i to polje u cijelom prostoru u nekom vremenskom
trenutku. Specijalno, vakuum je takožer dan jednom takvom konguracijom: recimo onom da je
polje svugdje u prostoru nula. U baºdarnoj teoriji, ova izjava je to£na do na baºdarne transformacije:
SU(2) Yang-Mills (YM) teorija ¢e dopu²tati specijalne baºdarne transformacije na koje
tako konstruiran vakuum ne¢e biti invarijantan. Kako ºelimo o£uvati baºdarnu simetriju, zadatak
¢e biti konstruirati vakuum koji ¢e biti invarijantan na sve baºdarne transformacije. Za sada je
najvaºnije usvojiti to da je uloga instantona u teoriji polja takva da ¢e omogu¢iti cijeloj takvoj
vakuumskoj konguraciji polja da se gotovo trenutno prestroji u jednu drugu vakuumsku konguraciju,
a bez da ko²ta i²ta energije.
Pro²lo poglavlje smo zavr²ili s topolo²kim razmatranjima. Ispada da je stra²no korisno instantone
u YM teoriji po£eti prou£avati prou£avanjem topologije same YM teorije. Prije toga kratka
denicija same teorije.
Denicija
Za Euklidska YM polja A µ = −it a A µa denira se akcija
S[A] = − 1 ∫
2g 2 d 4 xTr(F µν F µν ), (2.1)
gdje je
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ + [A µ , A ν ]. (2.2)
Za SU(2) t a = σ a /2 koji zadovoljavaju komutacijske relacije [t a , t b ] = iɛ abc t c . Po ponovljenim
indeksima se sumira, i radi preglednosti svugdje se ispu²ta indeks E za Euklidski prostor. Koristi
se prirodni sustav jedinica: = c = 1.
Baºdarnom transformacijom g(x) = e −Λ(x) , Λ(x) = −it a Λ a (x), se A µ transformira nehomogeno
a F µν homogeno
Euler-Lagrangeova jednadºba
A ′ µ = gA µ g −1 + g∂ µ g −1 , (2.3)
F ′ µν = gF µν g −1 . (2.4)
D µ F µν = ∂ µ F µν + [A µ , F µν ] = 0. (2.5)
Za dualni tenzor ˜F µν
˜Fµν = 1 2 ε µνρσF ρσ , (2.6)
vrijedi identitet
D µ ˜Fµν = 0. (2.7)
1 Polje u jednoj to£ci prostora predstavlja jednu kanonsku varijablu, ba² kao ²to je prije to bio operator poloºaja.
13

Rubni uvjeti Svako polje kona£ne akcije ima F µν = 0 na povr²ini u beskona£nosti. Ako tu
povr²inu zamislimo kao 3-sferu, povr²ina ide kao r 3 , pa F µν mora opadati brºe od 1/r 2 . Moºe se
zamisliti da indeksi µ, ν predstavljaju koordinate u sfernom sustavu. A µ onda mora opadati brºe
od 1/r na rubu, ali do na baºdarnu transformaciju na tom rubu
lim A µ = g∂ µ g −1 . (2.8)
r→∞
Kako je g funkcija samo kuteva na 3-sferi prirodno je za ovakav problem odabrati baºdarenje
A r = 0 2 .
2.1 Topologija
Vidjeli smo u pro²lom poglavlju da je instanton rje²enje netrivijalne topologije. Kako je rubni
uvjet (2.8) direktna veza izmežu baºdarne transformacije i polja, promatranje topologije baºdarnih
transformacija ¢e biti dovoljno da ustanovimo dopu²ta li SU(2) YM teorija instantonska
rje²enja.
Namatanja, ili preslikavanja s kruºnice S 1 na kruºnicu S 1 deniraju grupu koja se zove prva grupa
homotopija π 1 (S 1 ). Kao ²to smo vidjeli postoji beskona£no mnogo na£ina za to u£initi. Razli£ita
namatanja se dijele u klase po broju namatanja: topolo²ki indeks moºe biti bilo koji cijeli broj.
Prva grupa homotopija je upravo to: π 1 (S 1 ) = Z.
Preslikavanje S 3 phy u S3 int ili tre¢a grupa homotopije Za SU(2) YM je sli£na pri£a. Kao
prvo, svaku matricu moºemo jednozna£no povezati s to£kom na grupnoj mnogostrukosti. Za SU(2)
preslikavanje je dano s
g(a) = a 4 + iσa
gdje su a µ ∈ R. SU(2) matrice imaju determinantu 1
a 2 4 + |a| 2 = 1,
pa je grupna mnogostrukost 3-sfera: S 3 int.
Korisno je spomenuti da se op¢enita SU(2) matrica da napisati i kao g = exp(ibσ), gdje je
korespondencija s gornjim izrazom uspostavljena relacijama
a 4 = cos |b|,
a = b sin |b|.
|b|
S druge strane, parametri te mnogostrukosti su funkcije to£ke zikalnog prostora. Ako se opredjelimo
samo na dio prostora u beskona£nosti, ta beskona£nost u 4-dimenzionalnom Euklidskom
prostoru, napisanom recimo u sfernom sustavu, moºe biti opet 3-sfera: S 3 phy. To sad zna£i da g
denira preslikavanje S 3 phy → S3 int. Odgovor na pitanje da li je to preslikavanje topolo²ki trivijalno,
odnosno da li cijelu sferu S 3 phy
kada preslikavamo moºemo "stisnuti" u samo jednu to£ku na sferi
S 3 int, pruºa tre¢a grupa homotopija π 3 (S 3 ), gdje indeks 3 ozna£ava da se radi o 3-sferi na grupnoj
mnogostrukosti, S 3 int (kamo se preslikava), a S 3 sferu u beskona£nosti zikalnog prostora, S 3 phy
(od
kuda se preslikava). Za preslikavanje S 1 → S 1 smo vidjeli da je netrivijalno: svako preslikavanje
moºemo kontinuirano deformirati tako da vidimo koliko smo puta namotali kruºnicu na kruºnicu.
To je neki broj iz Z. Moºe se vidjeti i da je preslikavanje S 2 → S 2 takožer netrivijalno: npr.
kora na naran£i je kao jednom namotana 2-sfera na 2-sferi: nikakvim kontinuiranim transformacijama
ne moºemo skinuti tu koru. Guljenje naran£e nije kontinuirana transformacija. Ispada da
je i π 3 (S 3 ) netrivijalna (nije nula): π 3 (S 3 ) = Z. Na taj na£in moºemo baºdarne transformacije
u beskona£nosti podijeliti na klase ekvivalencije: u svakoj klasi ¢e biti ona preslikavanja koja su
mežusobno homotopna.
2 Povoljnom baºdarnom transformacijom moºemo uvijek maknuti jednu komponentu polja.
14

Topolo²ki naboj Jednom kada imamo to preslikavanje denirano, onda moºemo izra£unati
njegov topolo²ki naboj (poznat i kao Pontryaginov indeks), ba² kao ²to smo radili u pro²lom
poglavlju za S 1 . Sam izraz je, naravno, ne²to kompliciraniji
Q = − 1 ∫
16π 2 d 4 xTr( ˜F µν F µν ). (2.9)
Tvrdnja je da ova veli£ina
• je topolo²ka, tj. ovisi samo o rubu,
• predstavlja broj namatanja S 3 phy
na S 3 int.
Topolo²ki naboj je totalna divergencija Prvu tvrdnju ¢emo dokazati tako da raspi²emo (2.9)
preko A µ
Tr(F µν ˜Fµν ) = Tr[(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) ˜F µν + (A µ A ν − A ν A µ ) ˜F µν ]
,
= Tr[(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) ˜F µν + A µ [A ν , ˜F µν ]]
= Tr[(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) ˜F µν − A µ ∂ ν ˜Fµν ]
= Tr[∂ µ A ν ˜Fµν − ∂ ν (A µ ˜Fµν )]
gdje smo koristili (2.7) i cikli£nost traga. Ako sad ubacimo i ˜Fµν
te iskoristimo
i
slijedi
gdje je
Tr(F µν ˜Fµν ) = ε µνρσ Tr[∂ µ A ν (∂ ρ A σ + A ρ A σ ) − ∂ ν (A µ (∂ ρ A σ + A ρ A σ ))],
ε µνρσ Tr(∂ µ A ν ∂ ρ A σ ) = ε µνρσ Tr[∂ µ (A ν ∂ ρ A σ )],
ε µνρσ Tr[∂ µ (A ν A ρ A σ )] = 3ε µνρσ Tr(∂ µ A ν A ρ A σ ),
− 1
16π 2 Tr(F µν ˜F µν ) = ∂ µ j µ ,
j µ = − 1
8π 2 ε µνρσTr[A ν (∂ ρ A σ + 2 3 A ρA σ )]. (2.10)
Preko Gaussovog teorema Q zbilja ovisi samo o onome ²to se dogaža na rubu
∫
∮
Q = d 4 x∂ µ j µ = dσ µ j µ , (2.11)
£ime smo dokazali prvu tvrdnju.
S 3 phy
Topolo²ki naboj je jednak broju namatanja Ni drugu tvrdnju nije te²ko dokazati. Sve
²to treba napraviti je negdje u (2.11) prepoznati integral koji ra£una Sint. 3 Takav integral nam u
slu£aju da su a µ iz parametrizacije SU(2) treba dati ne²to proporcionalno povr²ini jedini£ne S 3
sfere: 2π 2 . Ispada da je integral koji ra£una taj "volumen grupne mnogostrukosti" dan s
∮
I [g] = dµ(g), (2.12)
gdje je koordinatni zapis "grupne mjere"
dµ(g) = ε abc Tr
(g ∂g−1
S 3 int
∂ξ a
g ∂g−1
∂ξ b
g ∂g−1
∂ξ c
)
dξ 1 dξ 2 dξ 3 . (2.13)
ξ i su koordinate kojima parameriziramo S 3 int, no moºe se pokazati da je I [g]:
15

• invarijantna na homotopne deformacije unutar S 3 int,
• neovisna o koordinatnom sustavu,
• I [gg ′ ] = I [g] + I [g ′ ] 3 ,
i ove tvrdnje koristimo bez dokaza. Ako u (2.12) ubacimo g(a) = a 4 + iσa uz a 4 = √ 1 − a 2 ispada
da je I [g] = 24π 2 .
Vratimo se sad na (2.11). Rekli smo da je na rubu F µν = 0, pa je ε µνρσ ∂ ρ A σ = −ε µνρσ A ρ A σ , pa
je
Q = 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr[A ν A ρ A σ ]. (2.14)
S 3 phy
Ako gore ubacimo asimptotsku formu A µ
Q = 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr[g∂ ν g −1 g∂ ρ g −1 g∂ σ g −1 ]
Sphy
3
= 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr
(g ∂g−1
S 3 phy
∂ξ a
g ∂g−1
∂ξ b
)
g ∂g−1 ∂ξa ∂ξ b ∂ξ c
.
∂ξ c ∂x ν ∂x ρ ∂x σ
Deformirajmo sada S 3 phy
u C 3 phy, tj. hiperkocku. Od njenih 8 stranica koncentrirajmo se na stranicu
x 4 → −∞. Na njoj imamo
Kako je
a
slijedi da je
− 1
24π 2 ∫
dx 1 dx 2 dx 3 ε ijk Tr
(g ∂g−1
∂ξ a
g ∂g−1
∂ξ b
∂ξ a ∂ξ b ∂ξ
(
c
∂ξ
)
ε ijk = ε abc det
∂x i ∂x j ∂x k ∂x
( ∂x
)
dx 1 dx 2 dx 3 = det dξ 1 dξ 2 dξ 3 ,
∂ξ
Q ∝ I [g],
)
g ∂g−1 ∂ξa ∂ξ b ∂ξ c
.
∂ξ c ∂x i ∂x j ∂x k
pa ra£unaju¢i Q zbilja ra£unamo koliko ¢e se puta S 3 phy
namotati na S 3 int.
Npr. trivijalna transformacija g (0) = 1 ima Q = 0. Transformacija g (1) = (x 4 + ixσ)/r je jedini£na
transformacija. To je kao da smo jednom "namotali" S 3 phy
na S 3 int, pa ona ima Q = 1. Iako je
norma (2.8) upravo odabrana da to tako ispadne, to vi²e nije proizvoljno za neke druge transformacije
kao npr. g (N) = (g (1) ) N koja daje Q = N.
Schwarzova nejednakost
Za skalarni produkt
∫
(F, F ) = − d 4 xT r(F µν F µν ),
vrijedi Schwarzova nejednakost
[
(F, F )( ˜F , ˜F )
] 1/2
≥ |( ˜F , F )|.
Kako je (F, F ) = ( ˜F , ˜F ), onda slijedi da je (F, F ) ≥ |( ˜F , F )|, odnosno
S ≥ 8π2 |Q|. (2.15)
g2 3 Odnosno I [g] £ini reprezentaciju π 3 (S 3 ). Jo² jedna stvar: u praksi se zapravo brojem namatanja naziva
veli£ina N W = I /24π 2 , dok je Q striktno topolo²ki naboj. Ideja je da je broj namatanja vezan uz to kako se
element baºdarne grupe preslikava na rub zikalnog prostora, a topolo²ki naboj da je svojstvo samog polja.
16

Baºdarna transformacija na rubu nije baºdarno invarijantna Zamislimo prostor, £iji rub
predstavlja sfera u beskona£nosti S 3 . Zamislimo vakuum, deniran vakuumom polja A µ = 0 u
cijelom prostoru, pa i na rubu. Tada je F µν = 0 i S[A] = 0. Baºdarne transformacije ne bi smjele
izmjeniti ovu sliku, pa idemo napraviti baºdarnu transformaciju, ali samo na Sphy. 3 Iako samo polje
vi²e nije nula
lim A µ = g∂ µ g −1 (2.16)
r→∞
na rubu, F µν ostaje 0. To i ima smisla po²to je samo F µν zikalan.
Ako uzmemo ba² g (1) kao baºdarnu transformaciju, za nju znamo da ima Q = 1 pa zbog (2.15)
akcija vi²e ne moºe biti nula.
Kako je to mogu¢e: kona£na akcija zna£i da F µν ne moºe biti nula svugdje unutar S 3 phy
iako na
tom dijelu prostora nismo radili nikakve transformacije. Matemati£ki, dobili smo kontradikciju.
Fizikalno, (2.9) je rubni uvjet na polje koje ima kona£nu akciju, pa vidimo da mijenjanjem uvjeta
na rubu mijenjamo sliku problema. No ako je to tako, onda sam taj rubni uvjet, jednom kada je
denirana konguracija polja u zikalnom prostoru, ne moºe biti baºdarno invarijantan, bar ne na
sve baºdarne transformacije. To je razrije²enje matemati£ke kontradikcije. Ovo nije tako trivijalno
za shvatiti jer mi smo navikli razmi²ljati ovako: £injenica da imamo baºdarne transformacije kao
simetrije teorije zna£i da moºemo promatrati samo dio prostora i njega transformirati bez da utje£emo
na ziku. To i dalje stoji, jer sam rub nije dio zikalnog prostora; to je samo neka dovoljno
velika umjetna barijera kojom smo ograni£ili prostor u kojem promatramo neku zikalnu pojavu:
rubni uvjet a priori ne mora biti baºdarno invarijantan 4 .
Obrat gornje situacije je da krenemo od polja A µ koje ima Q ≠ 0. Neka je na rubu denirano s
g (1) ∂ µ [g (1) ] −1 . Moºemo li na to polje napraviti baºdarnu transformaciju g ′ koja je tako odabrana
da je A ′ µ = 0? Time bi i Q = 0 £ime bi naru²ili baºdarnu invarijantnost njegovog izraza. Naizgled,
ponovno kontradikcija. Poanta je u tome da je funkcija g denirana samo na S 3 , ona ne mora biti
limes neke funkcije koja je kontinuirana u cijelom prostoru. S druge strane, po²to ºelimo da je g ′
deniran u cijelom prostoru (da bi mogli A µ transformirati u cijelom prostoru) onda ona u svakoj
to£ci, pa i u r → 0 mora biti kona£na. Ako je u r = 0 kona£na onda je kontinuirano povezana s
jedinicom. ’to zna£i da g ′ nuºno ne namata, pa i ne moºe promijeniti Q. Konkretno, g ′ u ishodi²tu
mora biti obi£an broj, neovisan o kutevima (iz sferne parametrizacije), dok g (1) u r → 0 zapravo
nije ni dobro denirana. Tj. u limesu r = 0 divergira, pa je u toj to£ci ne moºemo invertirati.
Ispada da je g (1) baºdarna transformacija koja nije u istoj klasi s transformacijama koje smijemo
napraviti. Kako to? A koje to transformacije smijemo napraviti? Odgovor na to pruºa upravo
(2.9): kako smo po£eli s A µ = 0 nakon transformacije moramo s njim i zavr²iti, pa su dozvoljene
transformacije one homotopne trivijalnoj. Te transformacije imaju topolo²ki naboj 0: s njim
moºemo ozna£iti sve vakuume homotopne s A µ = 0.
4 Jo² jedan na£in da se gleda na ovo je da se kaºe da topolo²ka struja (2.12) nije baºdarno invarijantna.
17

2.2 Instanton
Rje²enje u jednom baºdarenju g (1) ima Q = 1, koje polje odgovara toj situaciji? Na S phy
3
znamo kako ono izgleda. Pretpostavimo da je generalno oblika
A µ = g (1) (∂ µ [g (1) ] −1 )f(r 2 ). (2.17)
f bi mogli na¢i tako da ovaj ansatz uvrstimo u jednadºbe gibanja (2.5). Ali ako nas zanima samo
rje²enje minimalne akcije vidimo da se jednakost u (2.13) postiºe kada je
F µν = ± ˜F µν 5 .
Ovakve konguracije automatski zadovoljavaju jednadºbu gibanja zbog identiteta (2.7) Tako da
umjesto da rje²avamo jednadºbu drugog, rje²avamo jednadºbu prvog reda: traºimo one konguracije
koje su same sebi dualne ili same sebi antidualne 6 . Ove prve ¢emo zvati instanton, a druge
antiinstanton. Kako uzimamo Q = 1 odmah znamo i akciju S = (8π 2 /g 2 ) 7 .
Uz notaciju s µ = (iσ, 1) (2.17) se moºe napisati u ne²to standardnijem obliku
A µ = −2iΣ µν
x ν
r 2 f(r2 ),
gdje je Σ µν = −Σ νµ = −i(s µ s † ν − δ µν )/2. Σ µν zapravo razapinju SO(4) algebru, ne²to vi²e o tome
sakupljeno je u dodatku C. Ovakav A µ sad moºemo uvrstiti u (2.2). Derivaciju polja je lako dobiti
f(r 2 )
∂ µ A ν = −2iΣ νρ ∂ µ (x ρ
r 2 ) = 1 r 2 [δ µν + 2x µν (f ′ − 1 r 2 f)],
gdje je f ′ = df/dr 2 . Komutator se dobije kad se iskoristi SO(4) algebra
Kad se sve skupi
Uz kori²tenje svojstava
[A µ , A ν ] = −4i f 2
r 2 [Σ µν + 1 r 2 (x µx ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )].
F µν = 4i
r 2 {f(1 − f)Σ µν − [f ′ f(1 − f)
−
r 2 ](x µ x ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )}.
dualno polje se moºe dobiti na sli£an na£in
ε µνρσ Σ ρσ = 2Σ µν ,
ε µνρσ Σ στ = −(δ µτ Σ νρ + δ ντ Σ ρµ + δ ρτ Σ µν ),
˜F µν = 4i
r 2 {f ′ r 2 Σ µν + [f ′ f(1 − f)
−
r 2 ](x µ x ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )}.
Uvjet F µν = ˜F µν daje diferencijalnu jednadºbu
£ije je najop¢enitije rje²enje
f ′ −
f(r 2 ) =
f(1 − f)
r 2 = 0.
r2
r 2 + ρ 2 ,
5 Ovakve konguracije postoje samo u Euklidskom prostoru jer je ovdje ˜FE = F E dok u prostoru Minkowskog
vrijedi ˜FM = −F M : tu bi imali ˜F M = ±iF M .
6 Sli£na situacija je bila i u pro²lom poglavlju: nismo rje²avali jednadºbu gibanja ve¢ jednaºbu s Euklidskom
energijom nula, koja je bila prvog reda.
7 To zna£i da ¢e tuneliranje biti forme e −1/α . Ovako ne²to nikako ne moºemo dobiti teorijom smetnje: ona daje
samo razvoje koji su analiti£ki u α, ne²to tipa Taylorov red. Iako e −1/α u okolici nule ima sve derivacije, te su
derivacije jednake nuli: Taylorov red funkcije ne konvergira stvarnom izgledu funkcije.
18

gdje je ρ slobodni parametar 8 . Instantonsko rje²enje
A µ = −2iΣ µν
r 2 + ρ 2 . (2.18)
Trebati ¢e nam i izraz za jakost polja
x ν
F µν = 4iΣ µν
ρ 2
(r 2 + ρ 2 ) 2 . (2.19)
Interpretacija u drugom baºdarenju šelimo vidjeti da je instanton ovdje isto ²to i instanton
u kvantnoj mehanici: konguracija polja koja omogu¢ava tuneliranje izmežu razli£itih vakuuma.
Jedan vakuum bi imali u x 4 → −∞, a drugi u x 4 → ∞, pa je potrebno nekako izdvojiti "vremensku"
os. To ¢emo u£initi tako da povr²ina u beskona£nosti izgleda kao hipercilindar. Topolo²ki
naboj (2.14) se tada moºe rastaviti na integral na tri plohe
Q = 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr[A ν A ρ A σ ] =
= 1
24π
∫I,II
2 d 3 xε 4ijk Tr[A i A j A k ] + 1 ∫ ∞ ∮
24π 2 dx 4 dσ i ε iµνρ Tr[A µ A ν A ρ ]
−∞ III
,
gdje su oplo²ja I i II zapravo 2-kugle pa je d 3 x njen volumni element. Oplo²je integriramo na
standardan na£in: po osi hipercilindra i na svakoj to£ci te osi po 2-sferi.
Za ovaj problem je zgodno koristiti baºdarenje u kojem je A 4 = 0: integral po III tada i²£ezava.
To je samo zato jer antisimetri£ni tenzor "tjera" jedan A µ da bude A 4 . Tada je
N ± = 1
24π 2
Q = N + − N − ,
∫
d 3 xε ijk Tr[A i A j A k ], (2.20)
lim
x 4→±∞
gdje smo eksplicitno uzeli u obzir predznak od vektora innitezimalne povr²ine dσ µ , kao i to da je
ε 4ijk = ε ijk .
Koja baºdarna transformacija daje A 4 = 0? Znamo
A ′ 4 = uA 4 u −1 + u∂ 4 u −1 ,
8 Kao t 0 u pro²lom poglavlju.
19

a znamo i
A 4 =
iσx
r 2 + ρ 2 .
Ako napi²emo u = e iβxσ , gdje je β nepoznata funkcija x µ , onda uvjet A ′ 4 = 0 se svodi na diferencijalnu
jednadºbu za β
∂β 1
=
∂x 4 x 2 4 + x2 + ρ 2 ,
koja se trivijalno integrira
β(x, x 4 ) =
1
√
x2 + ρ 2 arctan x 4
√
x2 + ρ 2 + β 0(x), (2.21)
gdje je β 0 konstanta integracije.
Sad ºelimo dobiti A ′ i, ali samo njegovu formu u x 4 → ±∞. U tu svrhu lak²e je krenuti od (2.17)
A i = g (1) (∂ i [g (1) ] −1 )f. Tada je
No u limesu x 4 → ±∞ je f → 1, pa
gdje je
A ′ i = uA i u −1 + u∂ i u −1 = fug (1) ∂ i [ug (1) ] −1 + (1 − f)u∂ i u −1 .
h ± =
lim
x A′ i = h ± ∂ i h −1
± ,
4→±∞
lim
x ug(1) = lim u,
4→±∞ x 4→±∞
jer je lim x4→±∞ g (1) = 1. Uz odabir β 0 (x) = π/2 √ x 2 + ρ 2 imamo
h + = e −α , h − = 1,
gdje je
α = −√ iπσx
x2 + ρ . (2.22)
2
To zna£i da je
a
lim
x A′ i = 0,
4→−∞
lim
x A′ i = e −α ∂ i e α .
4→+∞
Tada je i N − = 0. Moºe se pokazati da je N + = 1 9 .
U ovom smislu instanton vodi vakuum deniran s A i = 0 (Q = 0) u vakuum deniran s A i =
e −α ∂ i e α (Q = 1). Da smo umjesto A i = 0 u x 4 → −∞ krenuli s A i = e −nα ∂ i e nα , a umjesto
A i = e −α ∂ i e α u x 4 → +∞ krenuli s A i = e −mα ∂ i e mα dobili bi Q = m − n i rekli bi da se desilo
tuneliranje iz vakuuma polja |n〉 u vakuum polja |m〉.
Periodi£nost YM potencijalne energije Da jo² malo u£vrstimo posljednju izjavu izra£unati
¢emo YM potencijalnu energiju za instanton. Radimo i dalje u A 4 = 0 baºdarenju, pa je F 44 = 0,
a F 4i = ∂ 4 A i , £ime se akcija (2.1) znatno pojednostavljuje
S[A] = − 1 ∫ [
]
2g 2 d 4 x 2Tr(∂ 4 A i ∂ 4 A i ) + Tr(F ij F ij ) .
9 Postoji brz na£in da se ovo vidi: u ne namata, tj. ima Q u = 0 jer je kontinuirano povezan s jedinicom. Npr.
ako uvedemo parametar t i funkciju u t = exp(itgσx) onda vidimo da je u 0 = 1, a u 1 = u. A topolo²ki naboj je
aditivan ako su uzastopne transformacije multiplikativne, tj. Q ug = Q u + Q g = Q g = 1.
20

Preko kanonskog impulsa
je trivijalno dobiti Hamiltonijan
H = 1 g 2 ∫
Π ai =
pa je potencijalna energija YM teorije
∂L
∂(∂ 4 A ai ) = 1 g 2 ∂ 4A ai ,
[
d 3 x −Tr(∂ 4 A i ∂ 4 A i ) + 1 ]
2 Tr(F ijF ij ) ,
V [A] = 1
2g 2 ∫
d 3 xTr(F ij F ij ) 10 . (2.23)
Potencijalna energija u kvantnoj mehanici je obi£na funkcija poloºaja. Za izra£unati potencijalnu
energiju u jednoj to£ci potrebno je samo dati broj. U teoriji polja potencijalna energija je funkcional
pa umjesto broja dajemo £itavu funkciju. Jedna funkcija moºe biti recimo A i = 0. Potencijalna
energija je u toj "to£ci" nula, pa je opravdano A i = 0 zvati vakuumom. ’to ako u (2.23) stavimo
F µν iz (2.19) transformiran u A 4 = 0 baºdarenje? Kako je potencijalna energija invarijantna na
baºdarne transformacije, imamo
∫
V = −16Tr(Σ ij Σ ij ) d 3 ρ 4
x
(x 2 + x 2 4 + ρ2 ) 4 .
Integral u gornjoj jednadºbi je kona£an, no trag je nula, u ²to se lako moºemo uvjeriti standardnim
manipulacijama s Paulijevim matricama.
Zna£i, prona²li smo jo² jednu "to£ku" u kojoj je potencijalna energija nula. Kako znamo da je
mežu njima barijera? Pa, da barijere nema jedna "to£ka" bi se mogla preslikati u drugu baºdarnim
transformacijama koje su homotopne jedinici (po²to smo po£eli s A µ = 0). Npr. u klasi£noj zici
obi£na klasi£na £estica se iz jedne to£ke u drugu, a koje su na istom potencijalu, giba kontinuirano.
Ista stvar je s klasi£nom teorijom polja: jedna konguracija moºe prelaziti u drugu iste potencijalne
energije jedino kontinuirano. Ali g (1) je jednom namotana na Sphy, 3 ²to zna£i da taj proces nikako
ne moºe biti klasi£ne prirode. Sjetimo se analogije £estice na kruºnici. Transformacija translacije
koja nije homotopna trivijalnoj je npr. ona koja jednom namata. Klasi£na £estica se nikako ne
moºe gibati po takvoj stazi, no kvantna £estica moºe pro¢i kroz barijeru tuneliranjem. Kod YM
potencijala je ista stvar: prijelazak iz jedne u drugu konguraciju se morao desiti tuneliranjem
kroz potencijalnu barijeru.
Zapravo smo mogli po£eti i s nekim poljem razli£itim od nule i onda raditi baºdarne transformacije
koje namataju jednom, dvaput, itd. U potencijalu bi se opet kretali po istim to£kama. Denirajmo
sad Chern-Simmonsov broj
∫
N CS (t) = d 3 xj 4 . (2.24)
10 Potencijalna energija u prostoru Minkowskog ima samo obratni predznak
21

N CS je samo generalizirana forma (2.20). S obzirom da je j 4 funkcija polja svako polje ima
svoj N CS . No i svako polje koje je transformirano u odnosu na neko po£etno na na£in da je
transformacija homotopna trivijalnoj ima isti N CS . Ako transformacija namata N W puta, Chern-
Simmonsov broj se mijenja kao
N CS → N CS + N W .
Upravo zbog toga je to zgodna varijabla za mjerenje periodi£nosti YM potencijala: mijenja se samo
ako izažemo iz odrežene klase baºdarnih polja, a ne i ako se mijenjamo unutar nje.
2.3 θ kut
Imamo razli£ite klase baºdarnih transformacija, i te klase su vezane uz rubne uvjete, odnosno uz
polje na tom rubu. Pa se i samo polje, u odnosu na to kakvo je na rubu, moºe sortirati u mežusobno
homotopne klase. A kako polje na rubu predstavlja vakuum, onda ista pri£a vrijedi i za sam
vakuum: svaki vakuum ¢emo ozna£iti indeksom grupe homotopije π 3 (S 3 ). Zapravo je vrlo prirodno
da grupa homotopije klasicira vakuum; to je stanje koje na neki na£in proºima cijeli prostor, pa
su za njega bitna samo globalna svojstva prostora. ƒestice su lokalni objekti, pa su za njih bitna
lokalna svojstva prostora: rotacije, translacije itd., pa se £estice klasiciraju po Poincaréovoj grupi.
U cijeloj ovoj pri£i postoji jedan problem, a to je da u kona£nici zikalan svijet mora biti invarijantan
na sve baºdarne transformacije. Ovo samo zna£i da topolo²ki vakuumi, |n〉 11 , n ∈ Z, ne mogu
biti zikalni. Fizikalan vakuum je njihova linearna superpozicija i to takva da se on ne mijenja bilo
kojom baºdarnom transformacijom. To je posljedica izjave da YM teorija dopu²ta instantonska
rje²enja koja smo intepretirali kao tuneliranja izmežu vakuuma |n〉.
θ vakuum To moºemo formalnije napisati. Izjava da je zika invarijantna na sve baºdarne
transformacije za specijalan slu£aj kada je ta baºdarna transformacija g 1 = e −α se svodi na
[H, U(g 1 )] = 0,
gdje je U(g 1 ) reprezentacija g 1 na Hilbertovom prostoru stanja, a H Hamiltonijan SU(2) YM
teorije u A 4 = 0 baºdarenju. Ako svojstvena stanja H ozna£imo s |θ〉, onda ¢e U(g 1 )|θ〉 imati istu
energiju kao i |θ〉. Pa se ta dva stanja mogu razlikovat samo do na fazu
U(g 1 )|θ〉 = e −iθ |θ〉.
Zapravo smo stanja i ozna£ili upravo s tom fazom. Stanja koja zadovoljavaju posljednju jednadºbu
su dana s
|θ〉 = √ 1 ∑
e inθ |n〉, (2.25)
2π
(po²to znamo U(g 1 )|n〉 = |n + 1〉) ²to bi onda bio pravi vakuum teorije.
Ovdje je vrijedno spomenuti jo² jednu paralelu s kvantnom mehanikom: ulogu koju ovdje igra
baºdarna u kvantnomehani£kom problemu igra translaciona simetrija. Recimo za £esticu na kruºici
bi tako postojale "male" i "velike" translacije: one zbog kojih ¢e putanja £estice ne¢e i one zbog
kojih se ho¢e "namotati" na kruºnicu. Tako se grupa translacije dijeli u svoje klase ekvivalencije
dane s π 1 (S 1 ). Kona£no, na isti na£in na koji smo ovdje konstruirali |θ〉 stanja, mogli smo i
tamo: prvo po£eti s izjavom da Hamiltonijan komutira s onim translacijama koje su u skladu s
simetrijom potencijala. Iz toga konstruirati Blochov uvjet, tj. da svojstveno stanje Hamiltonijana
ima samo fazu kao transformaciju na simetriju sistema. I kona£no denirati ta stanja kao linearnu
superpoziciju stanja koja su lokalizirana na pojedinoj jami. Ta stanja ¢e biti Blochova stanja ako
zadovoljavaju Blochov uvjet, i time je problem rje²en.
n
11 Ovo je vrlo skra¢ena notacija za stanje vakuuma polja koje je zapravo funkcional tog polja, s indeksom homotopije
n.
22

θ £lan u lagranºijanu
Ra£unamo integral po stazama za |θ〉 vakuum
F θ (T ) = 〈θ|e −HT |θ〉 = 1
2π
∑
e −inθ F (n + m, m, T ).
nm
F je amplituda tuneliranja, kao i u pro²lom poglavlju
F (n + m, m, T ) = 〈n + m|e −HT |m〉 = N
∫
[dA] n e −S[A] ,
gdje indeks n ozna£ava da radimo integral samo po konguracijama koje imaju Q = n+m−m = n.
Iz ovog vidimo da je jedna suma u prvom izrazu slobodna, tj. ∑ m
= 2πδ(0). Slijedi reprezentacija
F θ preko integrala po stazama
F θ (T ) = δ(0)N ∑ ∫
∫
[dA] n e −(S[A]+inθ) = δ(0)N [dA] ∀n e −Sθ[A] . (2.26)
n
Akciju moºemo napisati i u prostoru Minkowskog. Trebamo Wick-rotirati nazad. −S[A] sadrºi
Tr(F F ) E , a on je iste forme i u jednom i drugom prostoru: imamo samo Wickovu rotaciju koja
mijenja mjeru d 4 x E → id 4 x. Ali n sadrºi −Tr( ˜F F ) E ²to daje dodatan +i na +i od mjere, pa
zajedno s minusom u eksponentu daje +1. Sve to skupa sad mora biti jednako iS θ [A] u prostoru
Minkowskog. Eksplicitno
Par primjedbi:
S θ [A] = − 1
2g 2 ∫
d 4 xTr(F µν F µν ) +
θ ∫
16π 2
d 4 xTr( ˜F µν F µν ). (2.27)
• Iako smo radili u A 4 = 0 baºdarenju θ £lan je isti u bilo kojem baºdarenju.
• Nova interakcija je renormalizabilna. To zna£i da smo je mogli odmah i staviti rukom u akciju.
No nova interakcija je i totalna derivacija: jednadºbe gibanja ostaju iste, kao i Feynamnova
pravila. Ona nema nikakvog utjecaja na perturbativnu sliku YM teorije. Ali ako teorija
ima trivijalnu topologiju takav £lan nema nikakvog utjecaja uop¢e. Takav je slu£aj npr. s
QED-om gdje je baºdarna grupa U(1). Elektroslaba teorija je SU(2) × U(1) a QCD SU(3).
Obje ove teorije imaju netrivijalne topologije (netrivijalne grupe homotopije) pa obje teorije
dopu²taju instantonska rje²enja zbog £ega integral uz kut θ ne mora biti nula.
• Nova interakcija lomi T simetriju, pa time i CP. To je zato ²to ˜F F ide kao EB, a E → E,
dok B → −B s obzirom na vremensku inverziju. Ovo zna£i da recimo neutron moºe imati
elektri£ni dipolni moment, jer T simetrija mijenja elektri£ni i magnetni moment jednako
kako mijenja i pripadna polja. Postoje¢a eksperimentalna granica na taj dipolni moment
daje donju granicu na θ kut, θ < 10 −9 .
2.4 Vakuumska energija
Reºim rijetkog instantonskog plina je opravdan jedino ako su instantoni dobro lokalizirani objekti.
Takav je bio slu£aj kod kvantnomehani£kog problema u pro²lom poglavlju. S druge strane, instantoni
u YM teoriji mogu biti bilo koje veli£ine, to diktira parametar ρ. Jedina nada je u tome da u
integral po stazama instantoni raznih veli£ina ulaze s razli£itom "teºinom" pa bi veliki instantoni
mogli biti potisnuti. Kako nije ba² jasno kako ovo eksplicitno vidjeti, nije ni jasno da li je aproksimacija
rijetkog plina opravdana.
Za kraj ¢emo pro¢i ra£un vakuumske energije za rijetki instantonski plin. Na taj na£in moºemo
koristiti neke formule iz pro²log poglavlja.
Kolektivne koordinate Postojanje kolektivnih koordinata je posljedica simetrija sistema. Simetrija
u kvantnomehani£kom problemu je bila vremenska translacija, ²to je rezultiralo jednom kolektivnom
koordinatom koju smo zvali t 0 .
23

YM teorija je uz invarijantnost na baºdarnu grupu invarijantna i na konformnu grupu. Ona pak,
uz Poincaréovu grupu, uklju£uje dilatacije
i specijalne konformne transformacije
x µ → ρx µ
x µ → x µ − c µ x 2
1 − 2c · x + x 2 c 2 .
To je sve skupa 15 parametara konformne grupe. Baºdarna simetrija ne generira nove kolektivne
koordinate jer nije u pravom smislu rije£i simetrija. Ako su dva polja povezana baºdarnom transformacijom
bilo koje daje identi£an opis zikalne situacije. Tek globalno, preko Nötherinog teorema,
ona vodi na zakone sa£uvanja.
Da li sve one od danog instantonskog rje²enja mogu dati novo rje²enje? Pa, ispada da se efekt
specijalnih konformnih transformacija moºe poni²titi baºdarnim transformacijama i translacijama.
U ovo i nije tako te²ko povjerovat s obzirom da je specijalna konformna transformacija sloºena od
inverzije
x µ → x µ
x 2 ,
translacije
x µ → x µ − c µ ,
i jo² jedne inverzije. Naravno, A µ se transformira kao i x µ . Tako da sve u ²to treba povjerovati
je da se moºe prona¢i baºdarna transformacija koja glumi inverz ovih inverzija. Od ²est rotacija,
tri se mogu poni²titi baºdarnim transformacijama. Ovo je pak lako vidjeti. S obzirom da je
SO(4) = SU(2) × SU(2) onda se rotacija polja ne mora raditi s 4 × 4 matricama ve¢ s dvije
2 × 2. Ozna£imo jednu s g a drugu s h. Tada je uzastopno djelovanje rotacije i globalne baºdarne
transformacije u
A µ → gA µ h −1 → ugA µ (uh) −1 .
Pa za g = h vidimo da parametre transformacije u moºemo jednostavno odabrat tako da poni²te
djelovanje rotacije 12 . Tako da imamo 15−4−3 = 8 kolektivnih koordinata. Op¢enito instantonsko
rje²enje bi imalo jo² i neki proizvoljni a µ od translacija
(x − a) ν
A µ = −2iΣ µν
(x − a) 2 + ρ 2 . (2.28)
Infracrvena razmatranja Vjerojatnost tuneliranja u nultom redu je proporcionalna e −8π2 |Q|/g 2 .
Ba² direktno ra£unanje uktuacijske determinante nadilazi ovo izlaganje, pa idemo vidjeti koliko
daleko moºemo dogurati bez toga. Koncentrirati ¢emo se na ra£unanje gusto¢e energije vakuuma.
Negdje u pro²lom poglavlju, kad smo razmatrali nulte modove, dobili smo ovakvu formulu
dc 0 ∝ √ S I dt 0 ,
gdje je t 0 bio slobodan parametar, a c 0 kolektivna koordinata. Ista stvar se i ovdje de²ava. Fluktuacijska
determinanta ¢e sadrºavati 8 nultih modova pa ¢emo imati 8 integracija ovoga tipa.
Primjetimo da je "Jacobijan" te transformacije korijen akcije. U YM teoriji akcija ide kao 1/g 2 ,
pa ¢e svaki nulti mod donijeti faktor 1/g u ukutacijsku determinantu. Sve kolektivne koordinate
treba integrirati. Ako integriramo kolektivnu koordinatu vezanu uz translacije dobiti ¢emo faktor
V T, gdje je V volumen prostora. Integracija kolektivne koordinate vezane uz ostale tri rotacije
daje volumen mnogostrukosti-kako je grupa kompaktna (SU(2)) to je kona£an broj koji moºemo
uklju£iti u normu. No skala ρ, ili veli£ina instantona, je ρ ∈ [0, ∞〉. A to ne moºemo samo direktno
integrirati. Za²to? Pa, zbog renormalizacije: g nije konstanta ve¢ funkcija neke skale µ na kojoj
nas zanimaju zikalne pojave. A kako o£ekujemo da ¢e se instantonska zika odvijati na skali ρ
12 To da baºdarne transformacije djeluju na druga£ije stupnjeve slobode od rotacija ovdje ne igra nikakvu ulogu
jer su u kona£nici te matrice jedne te iste, a parametri samo realni brojevi.
24

onda stavljamo µ = ρ. Ovdje smo s suo£eni s jednim nepremostivim problemom: YM teorije su
asimptotski slobodne, pa se g kao funkcija µ da izra£unati samo tamo gdje je g mali. To bi bila
neka skala M. Ne znamo kako izgleda g u neperturbativnom reºimu. Pa je jedna aproksimacija:
uzmemo g izra£unat u perturbativnom reºimu i koristimo ga i u neperturbativnom.
Druga aproksimacija je ona razriježenog plina. Ona dopu²ta da direktno napi²emo energiju θ
vakuuma E θ
∫
E ∞
θ
V
= −B cos θ dρ e −8π2 /g 2 (ρM)
0 ρ 5 g 8 . (2.29)
(ρM)
Jo² par komentara vezano uz gornji izraz
• Ovaj izraz se treba usporediti s (1.23). Ono ²to je tamo J ovdje je djelomi£no u konstanti B,
a djelomi£no preostali integral. Ekvivalent konstante K, tj. uktuacijska determinanta bez
nultih modova, je isto u B 13 .
• Ekvivalent ω/2 bi ovdje bio beskona£an skup harmoni£kih oscilatora. Moºemo zamisliti da
su tu jo² dodane perturbativne korekcije, tj. integral po stazama se normira na perturbativni
vakuum, al svejedno rezultat je beskona£an. Tu beskona£nost smo u gornjem izrazu oduzeli.
• g je bezdimenzionalan pa moºe biti samo funkcija ρM.
• 1/ρ 5 smo ubacili da lijeva i desna strana pa²u dimenzijski.
Skaliranje g za SU(2) YM je poznata stvar
1
g 2 (ρM) = 1 g 2 0
− 11
12π 2 ln(ρM),
(g 0 konstanta izvrijednjena na skali ρ = M) pa ga moºemo staviti u E θ
E θ
V = −BM 5 cos θ e−8π2 /g 2 0
g 8 0
∫ ∞
0
dρ(ρM) 7/3 (1 − 11g2 0
12π 2 ln(ρM))4 .
Za male ρ integrand je nula jer ρ 7/3 brºe pada od £etvrte potencije logaritma. Ali i brºe raste, pa
za veliki ρ (u infracrvenom) divergira. Integriranjem takve funkcije E θ /V ¢e biti beskona£na.
Je li ovo problem? Ispada da je; npr., preko anomalije skale, moºe se pokazati da je energija
vakuuma povezana s YM kondenzatom 〈F F 〉 koji je kona£na veli£ina i npr. za QCD se mjeri
eksperimentalno. Divergencija je stoga nezikalna i moºemo sumnjati da ovo nije jedini instantonski
ra£un u kojem se susre¢e. Ovo je dugo vremena bio problem u instantonskoj zici, no novija
razmatranja pokazuju da uklju£ivanje instantonskih interakcija rje²ava taj problem. Ideja je da bi
instantonska interakcija zna£ila da se sad uzimaju u obzir £lanovi koje smo zanemarili pri ra£unanju
akcije za N instantona: to su svi oni £lanovi koje dobijemo kad od originalne akcije oduzmemo
N akcija individualnih instantona. Takve interakcije su posebno vaºne ako se pojedini instantoni
prekrivaju, kao ²to je i slu£aj za veliki ρ, pa su u stanju a priori pruºiti potreban grani£nik integralu.
Sam ansambl instantona vi²e nije rezriježeni plin ve¢ teku¢ina. Tako denirana teorija ne
samo da rije²ava problem divergiranja vakuumske energije ve¢ je, jednom kada se uklju£e fermioni,
u stanju objasniti lomljene kiralne simetrije u QCD, a time i pripadne niskoenergetske opservable:
kvarkovski kondenzat, pionsku konstantu vezanja, pionsku masu itd. Za vi²e informacija po tom
pitanju moºe se konzultirati revija Diakonova.
13 Dakle, B o£ito ne¢emo izra£unati.
25

A
Harmoni£ki oscilator
Fluktuacijske determinante su obi£no divergentni objekti, ako bi naivno pristupili njihovom rje²avanju.
Kod harmoni£kog oscilatora to je o£ito, pa je to jedan razlog za²to ¢emo sad napraviti
integral po stazama za njega. Drugi razlog je taj ²to ¢emo na harmoni£ki oscilator normirati ili
renormalizirati uktuacijsku determinantu instantona. Drugim rje£ima, na taj na£in ¢emo joj dati
smisao.
Uz zadani potencijal
V (q) = 1 2 mω2 q 2 ,
rubne uvjete q 0 (±T/2) = 0 moºe zadovoljiti samo rje²enje q(t) = 0 ∀t. Tada je S = 0, integral po
stazama nema eksponencijalnog faktora, a uktuacijski operator u |t〉 bazi je dijagonalan (1.13).
Svojstvene vrijednosti ovog operatora, su
( nπ
) 2
λ n = m + mω 2 ,
T
Ovdje nema nultih modova, ali determinanta ¢e divergirati. Divergencija dolazi jednostavno od
toga ²to imamo produkt po beskona£no mnogo rastu¢ih svojstvenih vrijednosti. Tada bi integral
po stazama bio jednak nuli. To nikako ne moºe biti zikalno.
Evo za²to, sjetimo se izraza s po£etka poglavlja
F (q f , q i , T ) = 〈q f |e −HT/ |q i 〉.
Ubacimo sad gore potpun skup svojstvenih stanja H
H|n〉 = E n |n〉,
i pustimo T → ∞. Od cijelog spektra tada dominira samo osnovno stanje, pa ako je q i = q f
lim F (q i, q i , T ) = e −E0T/ |〈q i |0〉| 2 ,
T →∞
(A.1)
(A.2)
odnosno
E 0 = − lim ln F (q i, q i , T )
T →∞ |〈q i |0〉| 2 . (A.3)
Kad izra£unamo integral po stazama za harmoni£ki oscilator biti ¢emo u stanju o£itat energiju
osnovnog stanja i kvadrat valne funkcije osnovnog stanja. Kod nas je
{ ∏
∞ [ ( nπ
) ]} 2 −1/2 { ∏
∞ (
F ho (0, 0, T ) = N m + mω
2 nπ
) 2 } −1/2 { ∏
∞ [ ( ωT
) 2 ]} −1/2.
= N m
1 +
T
T
nπ
n=1
U zadnjoj jednakosti smo prirodno faktorizirali slobodni integral po stazama. A on nije ni²ta drugo
nego nerelativisti£ki propagatator za slobodnu £esticu,
n=1
n=1
{ ∏
∞ ( nπ
) 2 } −1/2 ( m
) 1/2.
F free (0, 0, T ) = N m
=
T
2πT
Preostali beskona£ni produkt se trivijalno izvrijedni, pa
F ho (0, 0, T ) =
n=1
( mω
) 1/2(sinh
ωT ) −1/2 , (A.4)
2π
26

²to je zbilja
lim F ho(0, 0, T ) =
T →∞
( mω
) 1/2e −ωT/2 ,
π
pa su unutra dobro poznati |〈q i = 0|n = 0〉| 2 = (mω/π) 1/2 i E 0 = ω/2.
27

B
Ra£un K za dvostruku jamu
Za izra£unati uktuacijsku determinantu, ra£unamo svojstvene vrijednosti F. To se svodi na
rje²avanje Schrödingerove jednadºbe za Pöshl-Teller potencijal
[−m d2
dt 2 + mω2( 3
)]
1 −
2 cosh 2 1 2 ωt η n (t) = λ n η n (t).
(B.1)
Ovaj potencijal ima dva vezana stanja i kontinuum. Bilo bi zbilja previ²e upu²tat se u detaljan
ra£un svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora, pa ¢emo samo citirati rje²enja. ’to se ti£e
vezanih stanja, tu su λ 0 = 0 i λ 1 = 3 4 mω2 . Kako je potencijal lokaliziran u limitu t → ±∞ imamo
ravne valove, samo fazno pomaknute
η p (t) = Ae i(pt+δp) + Be −i(pt+δp) ,
gdje je p 2 = λ m − ω2 . Fazni pomak je dan preko formule
( )( )
1 + ip
e iδp ω
1 + 2ip
ω
= ( )( ). (B.2)
1 − ip ω
1 − 2ip
ω
Fluktuacije na rubovima i²£ezavaju, tj. η(±T/2) = 0, ²to daje kvantizaciju rje²enja
£ime je spektar potpuno odrežen.
Prežimo sad na ra£un faktora K iz (1.14)
K =
p n T + δ pn = nπ, (B.3)
[ det ′ F
det ′ F ho
] −1/2,
gdje smo maknuli prvu svojstvenu vrijednost F ho . Ako izdvojimo jo² i slijede¢i mod (jer je kod F
jedino on jo² diskretan) imamo
det ′ F
det ′ = 3 ∏ ∞
n=1 (p2 n + ω 2 )
∏
F ho 4 ∞
n=3 (k2 n + ω 2 ) ≈ 3 ∞∏ p 2 n + ω 2
4 kn 2 + ω 2 = 3 ∞ 4 exp ∑ ( p
2
ln n + ω 2 )
kn 2 + ω 2 ,
gdje je k n = nπ/T. Iz (B.3) znamo
(
p 2 n =
k n − δ p n
T
n=1
) 2
≈ k
2
n − 2 δ p n
T k n.
n=1
(B.4)
Pa je
( p
2
ln n + ω 2 ) (
kn 2 + ω 2 ≈ ln 1 − 2 δ p n
k
)
n
T kn 2 + ω 2 ≈ −2 δ k n
k n
T kn 2 + ω 2 .
Idemo sad koliko-toliko opravdati aproksimacije u gornja dva reda. Prvi red zapravo i nije tako
stra²an; da, jesmo zanemarili kvadratni £lan s δ pn jer u nazivniku imamo T 2 koji je veliki unato£
tome ²to isti taj T 2 se nalazi u nazivniku k n -a. Ali ako jama Pöshl-Teller potencijala nije previ²e
²iroka onda ni fazni pomak ravnog vala ne¢e biti tako velik. A to ¢e biti ostvareno ako konstanta
vezanja bude mala, odnosno ako ω bude mali. To je poanta: da fazni pomak ovisi o jakosti vezanja,
28

i zato njegov kvadratni £lan zanemarujemo. Ako je fazni pomak mali, onda u prvoj aproksimaciji
vrijedi i δ pn ≈ δ kn (vidi (B.3)), kao i razvoj logaritma.
U granici kontinuuma
∑
→ T ∫ ∞
dk,
π
pa ∏ ∞
n=1 (p2 n + ω 2 )
(
∏ ∞
n=3 (k2 n + ω 2 ) = exp − 1 π
Uz jednu parcijalnu integraciju, gornji integral postaje
∫ ∞
0
dk
2kδ ∫ ∞
k
k 2 + ω 2 = −
Iz (B.3) se lako moºe provjeriti da vrijedi
p
0
0
∫ ∞
0
dk
2kδ )
k
k 2 + ω 2 .
dk dδ [ (
k k
) 2 ]
dk ln 1 + .
ω
Kona£an rezultat
Pa je
dδ k
dk = 2
1 + ( )
k 2
+
∫ ∞
0
ω
4
1 + 4 ( k
ω
dk
2kδ k
k 2 = π ln 9.
+ ω2 K = √ 12.
) 2
(B.5)
29

C
t'Hooftov simbol
Ispada da instantonsko rje²enje mije²a Lorentzove i SU(2) indekse. Najbolje se to vidi ako (2.18)
napi²emo preko t'Hooftovog simbola. t'Hooftov simbol sluºi tome da napi²e generatore SO(4)
preko generatora dviju SU(2) na koje se SO(4) da rastaviti. Ako generatore SO(4) ozna£imo s
J µν onda je tradicionalno ove prvo zapisati kao generatore rotacija J a i potiska K a te onda
njihove linearne kombinacije prepoznati kao generatore dviju odvojenih SU(2): A a , B a . t'Hooft
je to jednostavno elegantnije zapisao
gdje je
A a = 1 4 η aµνJ µν , B a = 1 4 ¯η aµνJ µν , (C.1)
η aµν = ε aµν + δ aµ δ ν4 − δ aν δ µ4 , ¯η aµν = ε aµν − δ aµ δ ν4 + δ aν δ µ4 , (C.2)
t'Hooftov simbol. Vrijedi η aµν = −η aνµ .
Gornji zapis je neovisan o speci£noj reprezentaciji SO(4). Za npr. (1/2, 1/2) reprezentaciju
imamo da je
(J µν ) ρσ = −i(δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ ),
(A a ) µν = − i 2 η aµν, (B a ) µν = − i 2 ¯η aµν. (C.3)
Imamo i dvije neekvivalentne spinorne reprezentacije (1/2, 0) i (0, 1/2). Ove reprezentacije £ine
2 × 2 matrice £ije generatore moramo druga£ije ozna£iti Σ µν i ¯Σ µν . Tako za (1/2, 0) imamo
a za (0, 1/2)
A a = 1 4 η aµνΣ µν , B a = 1 4 ¯η aµνΣ µν ,
A a = 1 4 η aµν ¯Σ µν , B a = 1 4 ¯η aµν ¯Σ µν .
Ti generatori se mogu zapisati preko Paulijevih matrica
Σ µν = − i 2 (s µs † ν − δ µν ), ¯Σµν = − i 2 (s† µs ν − δ µν ), (C.4)
gdje je s µ = (iσ, 1). Ispravnost ove denicije se provjerava time da obje matrice zadovoljavaju
SO(4) algebru. Za op¢enite generatore J µν ona glasi
[J µν , J ρσ ] = i(J ρν δ σµ + J µρ δ νσ − J σν δ ρµ − J µσ δ νρ ).
Koriste¢i (C.4) lako je provjeriti da zbilja za (1/2, 0) vrijedi A a = σ a /2, B a = 0, a za (0, 1/2)
obrnuto.
Koriste¢i svojstva
η aµν η aρσ = δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ + ε µνρσ ,
¯η aµν ¯η aρσ = δ µρ δ νσ − δ µσ δ νρ − ε µνρσ ,
lako je pokazati da se (C.1) mogu invertirati. Za specijalan slu£aj (1/2,0) i (0,1/2) reprezentacija,
imamo
Σ µν = 1 2 η aµνσ a , ¯Σµν = 1 2 ¯η aµνσ a . (C.5)
30

Sad smo do²li do to£ke u kojoj posljednju relaciju moºemo uvrstiti u instantonsko rje²enje (2.18)
x ν
A µa = 2η aµν
r 2 + ρ 2 .
Iako nismo eksplicitno izveli antiinstanton ima samo ¯Σ µν umjesto Σ µν , pa je za njega
(C.6)
x ν
A µa = 2¯η aµν
r 2 + ρ 2 .
(C.7)
Ovo je naravno samo druga£iji zapis, ali bolje ilustrira £injenicu kako se izospinski indeksi kod
instantona poveºu s jednom SU(2) podgrupom SO(4), a kod antiinstantona s drugom. Zna£i, u
teoriji s fermionima, lijevi fermioni vezali bi se na instantone a desni na antiinstantone. S obzirom
na eksces instantona u odnosu na antiinstantone to moºe dovesti do neto nesa£uvanja aksijalnog
naboja, pa time i do lomljenja kiralne simetrije. Instantoni predstavljaju iznimno vaºan alat pri
opisu spontanog loma kiralne simetrije QCD-a.
31

Literatura
Evo i literature. Notacija je ve¢inom u skladu s udºbenikom Rajaramana, dok se neki izvodi kao i
dokazi pojedinih tvrdnji mogu prona¢i i u ostalim knjigama i revijama.
R. Rajaraman, Solitons and instantons (Elsevier Science Publishers 1982)
S. Coleman, Aspects of symmetry (Cambridge University Press 1985)
S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Volume 2: Modern Applications (Cambridge
University Press 1996)
H. Forkel - A Primer on Instantons, hep-ph/0009136
S. Vandoren, P. van Nieuwenhuizen - Lectures on instantons, hep-th/0802.1862v1
T. Schäfer, E. V. Shuryak - Instantons in QCD, hep-ph/9610451v3
D. Diakonov - Instantons at Work, Prog. Part. Nucl. Phys. 51, 173 (2003)
Nisam se trudio citirati originalne radove: reference na njih se lako mogu prona¢i u navedenoj
literaturi.
32