BINOMNI KOEFICIJENTI

BINOMNI KOEFICIJENTI
() 21. studenog 2011. 1 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
- definirali smo ih za sve nenegativne brojeve n i r.
( )
n
Za r > n vrijedi = 0.
r
( )
n
Za svaki n ∈ N imamo = 1.
0
( )
n n! n(n − 1) · · · (n − r + 1)
Za n ∈ N i 1 ≤ r ≤ n imamo = = .
r r!(n − r)! r!
Teorem 1
( ) ( )
n n
= ,
r n − r
( ) ( ) ( ) ( )
n
= n n − 1 n n − 1
⇒ r = n .
r r r − 1 r r − 1
() 21. studenog 2011. 2 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 2 (Pascalova formula)
Za n,r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n − 1 vrijedi
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
= +
r r − 1 r
.
() 21. studenog 2011. 3 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 2 (Pascalova formula)
Za n,r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n − 1 vrijedi
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
= +
r r − 1 r
.
Dokaz I:
Neka je S skup od n elemenata, a x ∈ S.
Sve r-kombinacije od S mogu se podijeliti u dvije klase A i B.
U A neka su sve r-kombinacije od S koje sadrže x, a u B sve ostale, tj. one koje ne
sadrže x.
Broj r-kombinacija
( )
od S koje su u A jednak je broju (r − 1)−kombinacija skupa S \ {x},
n − 1
a njih je .
r − 1
Broj kombinacija od S koje su u B jednak je broju r-kombinacija (n − 1)-članog skupa
S \ {x}, a tih je ( )
n−1
r .
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
Prema principu sume = + .
r r − 1 r
() 21. studenog 2011. 3 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 2 Pascalova formula
Za n,r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n − 1 vrijedi
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
= +
r r − 1 r
.
Dokaz II:
( ) ( )
n − 1 n − 1 (n − 1)!
+ =
r − 1 r (r − 1)!(n − r)! + (n − 1)!
r!(n − 1 − r)! =
(
(n − 1)! 1
=
(r − 1)!(n − 1 − r)! n − r + 1 )
( )
(n − 1)!
=
r (r − 1)!(n − 1 − r)! · n
r(n − r) = n
r
() 21. studenog 2011. 4 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
PASCALOV ( ) TROKUT:
0
0
( ) ( )
1
0
( )
1
1
( ) ( )
2
0
2
1
2
2
.
⇔
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Koristeći se Teoremom 2 slijedi da je svaki član Pascalovog trokuta, osim onih u prvom
redu, jednak sumi člana iznad njega i njegovog lijevog susjeda.
() 21. studenog 2011. 5 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 3
Za ∀n ∈ N niz ( (
n
0)
,
n
(
1)
,...,
n
n)
je UNIMODALAN.
Ako je n paran, onda je ( (
n
0)
<
n
(
1)
<
n
) (
2 < . . . < n
) (
n/2 , n
) (
n/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
Ako
(
je n neparan, onda je
n
) (
0 < n
) (
1 < n
( ) ( ) (
2)
< . . . <
n
(n−1)/2 =
n
(n+1)/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
U svakom slučaju, medu brojevima ( (
n
0)
,
n
(
1)
, . . . ,
n
) (
n najveći je n
) (
⌊ = n
) n
2 ⌋ ⌈ . n
2 ⌉
() 21. studenog 2011. 6 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 3
Za ∀n ∈ N niz ( (
n
0)
,
n
(
1)
,...,
n
n)
je UNIMODALAN.
Ako je n paran, onda je ( (
n
0)
<
n
(
1)
<
n
) (
2 < . . . < n
) (
n/2 , n
) (
n/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
Ako
(
je n neparan, onda je
n
) (
0 < n
) (
1 < n
( ) ( ) (
2)
< . . . <
n
(n−1)/2 =
n
(n+1)/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
U svakom slučaju, medu brojevima ( (
n
0)
,
n
(
1)
, . . . ,
n
) (
n najveći je n
) (
⌊ = n
) n
2 ⌋ ⌈ . n
2 ⌉
( ) ( )
n n n!/[k!(n − k)!]
Dokaz: / =
k k − 1 n!/[(k − 1)!(n − k + 1)!] = n − k + 1 .
k
( ) ( )
n n
Stoga je ≤ ⇔ k ≤ n − k + 1 ⇔ k ≤ n + 1
k − 1 k
2 .
Ako je n paran k < n + 1
2
a ako je n neparan k < n + 1
2
⇔ k ≤ n 2 ,
⇔ k ≤ n − 1 .
2
() 21. studenog 2011. 6 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 3
Za ∀n ∈ N niz ( (
n
0)
,
n
(
1)
,...,
n
n)
je UNIMODALAN.
Ako je n paran, onda je ( (
n
0)
<
n
(
1)
<
n
) (
2 < . . . < n
) (
n/2 , n
) (
n/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
Ako
(
je n neparan, onda je
n
) (
0 < n
) (
1 < n
( ) ( ) (
2)
< . . . <
n
(n−1)/2 =
n
(n+1)/2 > . . . > n
(
n−1)
>
n
n)
.
U svakom slučaju, medu brojevima ( (
n
0)
,
n
(
1)
, . . . ,
n
) (
n najveći je n
) (
⌊ = n
) n
2 ⌋ ⌈ . n
2 ⌉
Dokaz: Binomni koeficijenti rastu kao što se tvrdi.
Nadalje, k = n − k + 1 ⇔ 2k = n + 1.
Ako je n paran, 2k ≠ n + 1∀k.
Ako je n neparan, 2k = n + 1 za k = n+1
2 .
Stoga su za paran n svi binomni koeficijenti (do sredine) različiti, a za neparan samo su
dva susjedna binomna koeficijenta jednaka: ( n
⌊ n 2 ⌋ )
=
( n
⌈ n 2 ⌉ )
.
Kako je za n paran ⌊ n 2 ⌋ = ⌈ n 2 ⌉ = n 2 , a za n neparan ⌊ n 2 ⌋ = n−1
2
i ⌈ n 2 ⌉ = n+1
2 , slijedi i
posljednja tvrdnja.
() 21. studenog 2011. 7 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 4 (E. Sperner)
Neka je S konačan skup, |S| = n, a A = {A 1,A 2,A 3, . . .} familija podskupova od S tako
da nijedan član te familije ne sadrži nijedan drugi član (tj. ∀i,j A i A j). Tada je
|A ≤ ( )
n
⌊ |. Jednakost se dostiže ako su svi podskupovi iste veličine ⌊
n
n ⌋.
2 ⌋ 2
() 21. studenog 2011. 8 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 4 (E. Sperner)
Neka je S konačan skup, |S| = n, a A = {A 1,A 2,A 3, . . .} familija podskupova od S tako
da nijedan član te familije ne sadrži nijedan drugi član (tj. ∀i,j A i A j). Tada je
|A ≤ ( )
n
⌊ |. Jednakost se dostiže ako su svi podskupovi iste veličine ⌊
n
n ⌋.
2 ⌋ 2
Svaka familija A kao u Spernerovom teoremu zove se antilanac u partitivnom skupu
P(S), za razliku od lanca L u P(S) koji je oblika L = {B 1,B 2, . . .} tako da je
B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ . . . ⊆ S.
() 21. studenog 2011. 8 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 4 (E. Sperner)
Neka je S konačan skup, |S| = n, a A = {A 1,A 2,A 3, . . .} familija podskupova od S tako
da nijedan član te familije ne sadrži nijedan drugi član (tj. ∀i,j A i A j). Tada je
|A ≤ ( )
n
⌊ |. Jednakost se dostiže ako su svi podskupovi iste veličine ⌊
n
n ⌋.
2 ⌋ 2
Svaka familija A kao u Spernerovom teoremu zove se antilanac u partitivnom skupu
P(S), za razliku od lanca L u P(S) koji je oblika L = {B 1,B 2, . . .} tako da je
B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ . . . ⊆ S.
NAPOMENA: Ako je (P, ≤) parcijalno ureden skup, lanac u P je totalno ureden
podskup (tj. svaka dva elementa su usporediva), a antilanac u P je podskup čija nikoja
dva elementa nisu usporediva.
Stoga se Spernerov teorem može i ovako izreći:
() 21. studenog 2011. 8 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 4 (E. Sperner)
Neka je S konačan skup, |S| = n, a A = {A 1,A 2,A 3, . . .} familija podskupova od S tako
da nijedan član te familije ne sadrži nijedan drugi član (tj. ∀i,j A i A j). Tada je
|A ≤ ( )
n
⌊ |. Jednakost se dostiže ako su svi podskupovi iste veličine ⌊
n
n ⌋.
2 ⌋ 2
Svaka familija A kao u Spernerovom teoremu zove se antilanac u partitivnom skupu
P(S), za razliku od lanca L u P(S) koji je oblika L = {B 1,B 2, . . .} tako da je
B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ . . . ⊆ S.
NAPOMENA: Ako je (P, ≤) parcijalno ureden skup, lanac u P je totalno ureden
podskup (tj. svaka dva elementa su usporediva), a antilanac u P je podskup čija nikoja
dva elementa nisu usporediva.
Stoga se Spernerov teorem može i ovako izreći:
Teorem (E. Sperner)
Maksimalan antilanac u P(N r) ima ( n
⌊ n 2 ⌋ )
elemenata.
() 21. studenog 2011. 8 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 5
( ) ( )
n n + 1
+
0 1
+ . . . +
(
n + r
r
)
=
(
n + r + 1
r
)
.
( ) ( ) ( )
n + r + 1 n + r n + r
Dokaz I: Iz Teorema 2: = +
r r r − 1
( ) ( ) ( )
n + r n + r − 1 n + r − 1
= +
r − 1 r − 1 r − 2
( ) ( ) ( ) ( )
n + r + 1 n + r n + r − 1 n + r − 1
⇔ = + + .
r r r − 1 r − 2
Rastavljajući opet posljednji član, dobivamo
( ) ( ) ( ) (
n + r + 1 n + r n + r − 1
= +
r r r − 1
+
( )
Sad tako nastavimo dok ne dodemo do člana
n
0
.
n + r − 2
r − 2
) ( )
n + r − 2
+ .
r − 3
() 21. studenog 2011. 9 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 5
( ) ( ) ( ) ( )
n n n + r n + r + 1
+ + . . . + = .
0 1 r r
Dokaz II: Promotrimo problem biranja r objekata od n + r + 1 objekata.
Broj r-kombinacija u kojima nema prvog objekta jednak je ( )
n+r
r jer se svih r bira od
preostalih n + r objekata.
Broj
(
r-kombinacija u kojima se pojavljuje prvi objekt, ali se ne pojavljuje drugi jednak je
n+r−1
)
r−1 (preostalih r − 1 objekata biramo od preostalih n + r − 1.)
Broj r-kombinacija u kojima se pojavljuju prva dva objekta, ali se ne pojavljuje treći
jednak je ( )
n+r−2
r−2 .
Nastavljamo sve dok ne dodemo do toga da brojimo r-kombinacije u kojima se pojavljuje
r objekata, a ne pojavljuje se (r + 1).
Ovdje biramo preostalih 0 objekata od preostalih n.
() 21. studenog 2011. 10 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Općenito, za svaki teorem s binomnim koeficijentima postoje dva dokaza:
1. preko svojstva binomnih koeficijenata
2. kombinatorno.
() 21. studenog 2011. 11 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Korolar 1
( ) ( )
k k + 1
+
k k
( ) (
n ∑n−k
+ . . . + =
k
j=0
k + j
k
) ( )
n + 1
= .
k + 1
() 21. studenog 2011. 12 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Korolar 1
( ) ( )
k k + 1
+
k k
( ) (
n ∑n−k
+ . . . + =
k
j=0
k + j
k
) ( )
n + 1
= .
k + 1
( ) ( )
k + j k + j
Dokaz: Teorem 1 povlači = pa suma na desnoj strani postaje
k j
( ) ( ) ( ) ( )
k k + 1 k + (n − k) ∑n−k
k + j
+ + . . . +
= .
0 1
n − k
j
Ovo je suma iz Teorema 5 uz zamjenu k ↔ n, r ↔ n − k, pa je onda ona jednaka
(
) ( ) ( )
k + (n − k) + 1 n + 1 n + 1
= = .
n − k n − k k + 1
j=0
() 21. studenog 2011. 12 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 6
( )( ) ( )( ) ( )( )
n r n n − k n n − r + k
= =
.
r k k r − k r − k k
() 21. studenog 2011. 13 / 27

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 6
( )( ) ( )( ) ( )( )
n r n n − k n n − r + k
= =
.
r k k r − k r − k k
Dokaz: ( )( )
n r
=
r k
=
n!
k!(n − k)! ·
n!
r!(n − r)! ·
Druga jednakost dokazuje se analogno!
r!
k!(r − k)! = n!
(n − r)!(r − k)!k! =
( )( )
(n − k)!
(r − k)![n − k − (r − k)]! = n n − k
.
k r − k
() 21. studenog 2011. 13 / 27

BINOMNI TEOREM
() 21. studenog 2011. 14 / 27

BINOMNI TEOREM
Teorem 7 (Binomni teorem)
Za n ∈ N i sve x, y ∈ C vrijedi
( ) ( ) ( )
(x +y) n = x n n
+ x n−1 n
y + x n−2 y 2 n
+· · ·+ xy n−1 +y n =
1 2
n − 1
( )
n∑ n
x n−k y k .
k
k=0
Dokaz I: Indukcijom po n: n = 1
( ) ( ) ( )
1∑
(x + y) 1 1
= x 1−k y k 1
= x 1 y 0 1
+ x 0 y 1 = x + y.
k 0 1
k=0
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n i dokažimo za n + 1.
() 21. studenog 2011. 15 / 27

BINOMNI TEOREM
Dokaz I:
( )
n∑
(x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n n
= (x + y) x n−k y k
k
k=0
( n∑
( ) ( n∑
( )
n
= x
)x n−k y k n
+ y
)x n−k y k
k
k
k=0 k=0
( ) ( )
( ) ( )
n
n∑
= x n+1 n ∑n−1
+ x n+1−k y k n
+ x n−k y k+1 n
+ y n+1
0 k
k
n
k=1
k=0
( ) ( )
( ) ( )
n
n∑
= x n+1 n
n∑
+ x n+1−k y k n
+ x n+1−k y k n
+
0 k
k − 1
n
k=1
k=1
[( ) ( )]
n∑
= x n+1 n n
+ + x n+1−k y k + y n+1
k k − 1
= x n+1 +
k=1
(
n∑
k=1
Formula je točna za n + 1.
n + 1
k
)
∑n+1
x n+1−k y k + y n+1 = x n+1−k y k .
k=0
y n+1
() 21. studenog 2011. 16 / 27

BINOMNI TEOREM
Dokaz II: Produkt
(x + y) n = (x + y)(x + y) · · · (x + y)
nakon svih naznačenih množenja jednak je zbroju izvjesnih monoma.
Svaki od tih monoma dobiva se tako da se iz svakog od n faktora uzme po jedan član i
tako dobivenih n faktora se pomnože.
Ako je y uzet iz k faktora, onda je x uzet iz n − k faktora pa je riječ o sumandu x n−k y k .
Broj tih faktora jednak je broju načina da se iz n faktora bira k y-a, a taj je ( n
k)
.
Dakle, koefiicjent uz x n−k y k je ( n
k)
.
No, k može varirati od 0 do n pa slijedi binomna formula.
() 21. studenog 2011. 17 / 27

BINOMNI TEOREM
Nekoliko jednostavnih posljedica binomnog teorema:
Teorem 8
(i)
(ii)
(iii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
n∑ n
+ + + . . . + = = 2 n
0 1 2 n k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
− + − . . . + (−1) n n
n∑
= (−1) k n
= 0
0 1 2
n
k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
+ + + . . . = + + + . . . = 2 n−1 .
0 2 4 1 3 5
() 21. studenog 2011. 18 / 27

BINOMNI TEOREM
Nekoliko jednostavnih posljedica binomnog teorema:
Teorem 8
(i)
(ii)
(iii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
n∑ n
+ + + . . . + = = 2 n
0 1 2 n k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
− + − . . . + (−1) n n
n∑
= (−1) k n
= 0
0 1 2
n
k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
+ + + . . . = + + + . . . = 2 n−1 .
0 2 4 1 3 5
Dokaz:
(i) kombinatorno već dokazan, a može se dokazati i tako da koristimo binomni teorem:
stavimo x = y = 1 u binomnoj formuli.
(ii) x = 1, y = −1 u binomnoj formuli
(iii) parnih podskupova ima jednako mnogo kao i neparnih. Kako je ukupno 2 n
1
podskupova, tvrdnja slijedi iz (i):
2 2n = 2 n−1 .
() 21. studenog 2011. 18 / 27

BINOMNI TEOREM
Teorem 9 (Vandermonedeova konvolucija)
(
(i) n
)( m
) (
0 r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
∑
r)(
0)
=
r
( n m
) (
k=0 k)(
r−k = m+n
)
( r
(ii) n
)( m
) (
0 0 + n
)( m
) (
1 1 + n
)( m
) (
2 2 + . . . + n
)( m
) ∑
n n = n
( n
)( m
(
k=0 k k)
=
m+n
)
n
Specijalno za m = n
( ) 2 ( )
n∑ n 2n
= .
k n
k=0
() 21. studenog 2011. 19 / 27

BINOMNI TEOREM
Teorem 9 (Vandermonedeova konvolucija)
(
(i) n
)( m
) (
0 r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
∑
r)(
0)
=
r
( n m
) (
k=0 k)(
r−k = m+n
)
( r
(ii) n
)( m
) (
0 0 + n
)( m
) (
1 1 + n
)( m
) (
2 2 + . . . + n
)( m
) ∑
n n = n
( n
)( m
(
k=0 k k)
=
m+n
)
n
Specijalno za m = n
( ) 2 ( )
n∑ n 2n
= .
k n
k=0
Dokaz: algebarski
Dva polinoma se množe na slijedeći način:
(a 0 + a 1x + a 2x 2 + . . . + a nx n )(b 0 + b 1x + b 2x 2 + . . . + b nx n ) = a 0b 0 + (a 1b 0 + a 0b 1)x
+(a 0b 2 + a 1b 1 + a 2b 0)x 2 + (a 0b 3 + a 1b 2 + a 2b 1 + a 3b 0)x 3 + . . . + a nb mx n+m
n+m
∑
= (a 0b r + a 1b r−1 + a 2b r−2 + . . . + a rb 0)x r
r=0
() 21. studenog 2011. 19 / 27

BINOMNI TEOREM
Teorem 9 (Vandermonedeova konvolucija)
(
(i) n
)( m
) (
0 r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
∑
r)(
0)
=
r
( n m
) (
k=0 k)(
r−k = m+n
)
( r
(ii) n
)( m
) (
0 0 + n
)( m
) (
1 1 + n
)( m
) (
2 2 + . . . + n
)( m
) ∑
n n = n
( n
)( m
(
k=0 k k)
=
m+n
)
n
Specijalno za m = n
( ) 2 ( )
n∑ n 2n
= .
k n
k=0
Dokaz:
(i) Promotrimo jednakost (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m i razvijemo je po binomnom
teoremu. Slijedi
) (
+
n
) (
1 x + n
2)
x 2 + · · · + ( ) ] [( (
n
n x
n m
0)
+
m
(
1)
x +
m
)( 2
n+m
) (
1 x + . . . + n+m
) ]
n+m x
n+m
Prema gornjem razmatranju koeficijent uz x r na lijevoj strani je
[( n
[( 0 n+m
0
( n
0
)( m
) (
r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
r)(
0)
,
a koeficijent uz x r na desnoj strani je ( )
n+m
r .
Izjednačavajući ta dva koeficijenta dobivamo tvrdnju (i).
Na analogan način se dokaže i tvrdnja (ii).
)
x 2 + · · · + ( m
m)
x
m ] =
() 21. studenog 2011. 20 / 27

BINOMNI TEOREM
Čitav niz identiteta medu binomnim koeficijentima možemo dobiti iz binomne formule
na slijedeći način:
Promatramo jednakost
(1 + x) n =
(
n
0
)
+
(
n
1
)
x +
(
n
2
)
x 2 + · · · +
kao jednakost polinoma.
Deriviramo li obje strane, dobivamo
( ) ( )
n(1 + x) n−1 n n
= + 2 x + · · · + k
1 2
(
)
n
k
Uvrstimo x = 1 i dobivamo
( ) ( ) ( )
n · 2 n−1 n n n
= + 2 + · · · + n =
1 2 n
(
n
k
)
x k + . . . +
(
n
n
)
x n
( )
x k−1 n
+ . . . + n x n−1 .
n
( )
n∑ n
k
k
A ako obje strane derivirane jednakosti pomnožimo sa x, dobivamo
( )
n∑
nx(1 + x) n−1 n
= k x k .
k
k=1
k=1
() 21. studenog 2011. 21 / 27

BINOMNI TEOREM
Ako pak integriramo obje strane jednakosti
u granicama od 0 do 1, dobivamo
∫ 1
0
(1 + x) n =
(1 + x) n dx =
( )
n∑ n
k
k=0
x k
( )
n∑ ∫
n 1
x k dx
k
k=0
0
() 21. studenog 2011. 22 / 27

BINOMNI TEOREM
Drugi tip identiteta dobivamo tako da u binomnom teoremu uvrstimo razne zgodno
odabrane kompleksne brojeve.
Teorem 10
Neka su n,q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n − 1, r ∈ {0, 1, . . . , q − 1}. Tada je
( ) ( ) ( )
n n n
+ + + . . . = 1 q−1
∑
r r + q r + 2q q
k=0
(
2cos kπ ) n
cos
q
k(n − 2r)π
.
q
() 21. studenog 2011. 23 / 27

BINOMNI TEOREM
Drugi tip identiteta dobivamo tako da u binomnom teoremu uvrstimo razne zgodno
odabrane kompleksne brojeve.
Teorem 10
Neka su n,q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n − 1, r ∈ {0, 1, . . . , q − 1}. Tada je
( ) ( ) ( )
n n n
+ + + . . . = 1 q−1
∑
r r + q r + 2q q
k=0
(
2cos kπ ) n
cos
q
k(n − 2r)π
.
q
Teorem 11 (Binomni red)
Za z ∈ C, |z| ≤ 1 i sve α ∈ R vrijedi
(1 + z α ) =
( )
∞∑ α
z α .
k
k=0
() 21. studenog 2011. 23 / 27

BINOMNI TEOREM
Primjer: Ako u Teoremu 10 stavimo q = 3, r = 1, dobivamo
( ) ( ) ( )
n n n
+ + + . . . = 1 (
)
2 n (n − 2)π
+ 2cos
1 4 7 3
3
pa za n = 15 imamo
( ) ( )
15 15
+ +
1 4
(
15
7
) ( ) (
15
+ +
10
15
15
)
. . . = 1 3
(
2 15 + 2cos 13π )
= 10923.
3
() 21. studenog 2011. 24 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Definicija
Neka su n 1,n 2, . . . , n k ≥ 0 cijeli brojevi i n 1 + n 2 + . . . + n k = n. Multinomni koeficijent
je definiran formulom (
)
n
=
n 1,n 2, . . . , n k
n!
n 1!n 2! . . . n k !
i to je broj permutacija multiskupa s kratnostima elemenata n 1, . . . , n k .
() 21. studenog 2011. 25 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Definicija
Neka su n 1,n 2, . . . , n k ≥ 0 cijeli brojevi i n 1 + n 2 + . . . + n k = n. Multinomni koeficijent
je definiran formulom (
)
n
=
n 1,n 2, . . . , n k
n!
n 1!n 2! . . . n k !
i to je broj permutacija multiskupa s kratnostima elemenata n 1, . . . , n k .
Gornji izraz se može interpretirati kao i broj načina da se n 1 + . . . + n k = n kuglica od
kojih su n 1 njih prve vrste, n 2 druge vrste,..., n k k-te vrste, poredaju u niz.
Uz gornje oznake imamo da je ( ) (
n
r = n
r,n−r)
.
() 21. studenog 2011. 25 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 11 (Multinomni teorem)
Neka su k,n ∈ N. Tada ∀x 1, . . . , x k ∈ C vrijedi
(x 1 + x 2 + . . . + x k ) n = ∑ ( )
n
x n 1
1
n 1,n 2, . . . , n xn 2
2 · · · xn k
k
k
pri čemu se sumira po svim k-torkama (n 1, . . . , n k ), n i ≥ 0, i = 1, . . . , k, takvim da je
n 1 + . . . + n k = n.
() 21. studenog 2011. 26 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 11 (Multinomni teorem)
Neka su k,n ∈ N. Tada ∀x 1, . . . , x k ∈ C vrijedi
(x 1 + x 2 + . . . + x k ) n = ∑ ( )
n
x n 1
1
n 1,n 2, . . . , n xn 2
2 · · · xn k
k
k
pri čemu se sumira po svim k-torkama (n 1, . . . , n k ), n i ≥ 0, i = 1, . . . , k, takvim da je
n 1 + . . . + n k = n.
Dokaz (generalizacija dokaza binomnog teorema):
(x 1 + . . . + x k ) n = (x 1 + . . . + x k )(x 1 + . . . + x k ) · · · (x 1 + . . . + x k ).
Da se oslobodimo svih zagrada, treba izvršiti sva naznačena množenja (njih k n ) i skupiti
istoimene sumande. Svaki sumand je oblika x n 1
1 xn 2
2 · · · xn k
k , gdje su n1, . . . , n k ≥ 0 i
n 1 + . . . + n k = n, jer biramo po jedan x i od svakog od n faktora.
Ustvari, taj član dobivamo tako da biramo x 1 u n 1 faktora, x 2 u n 2 od preostalih n − n 1
faktora,..., x k u n k od preostalih n − n 1 − . . . − n k−1 faktora.
Stoga je prema principu produkta broj pojavljivanja člana x n 1
1 xn 2
2 · · · xn k
k
jednak
( )( )( ) (
)
n n − n 1 n − n 1 − n 2 n − n 1 − . . . − n k−1 n!
· · ·
=
n 1 n 2 n 3 n k n 1!n 2! · · · n k !
() 21. studenog 2011. 26 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 12
Broj različitih sumanada u razvoju izraza (x 1 + x 2 + . . . + x k ) n po multinomnom teoremu
jednak je ( )
n + k − 1
.
n
() 21. studenog 2011. 27 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 12
Broj različitih sumanada u razvoju izraza (x 1 + x 2 + . . . + x k ) n po multinomnom teoremu
jednak je ( )
n + k − 1
.
n
Teorem 13
Suma svih ( )
k+n−1
n različitih multinomnih koeficijenata čiji je gornji broj n, a dolje ima k
brojeva je k n . Drugim riječima
( )
∑ n
= k n .
n 1, . . . , n k
n 1 ,...,n k ≥0,n 1 +...+n k =n
() 21. studenog 2011. 27 / 27

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 12
Broj različitih sumanada u razvoju izraza (x 1 + x 2 + . . . + x k ) n po multinomnom teoremu
jednak je ( )
n + k − 1
.
n
Teorem 13
Suma svih ( )
k+n−1
n različitih multinomnih koeficijenata čiji je gornji broj n, a dolje ima k
brojeva je k n . Drugim riječima
( )
∑ n
= k n .
n 1, . . . , n k
n 1 ,...,n k ≥0,n 1 +...+n k =n
Dokaz: Stavimo li u multinomnu formulu x 1 = x 2 = . . . = x k = 1, dobivamo
( )
∑
k n = (1 + 1 + . . . + 1) n n
=
.
n 1, . . . , n k
n 1 ,...,n k ≥0,n 1 +...+n k =n
() 21. studenog 2011. 27 / 27