BINOMNI KOEFICIJENTI

MULTINOMNI TEOREM I KOEFICIJENTI
Teorem 11 (Multinomni teorem)
Neka su k,n ∈ N. Tada ∀x 1, . . . , x k ∈ C vrijedi
(x 1 + x 2 + . . . + x k ) n = ∑ ( )
n
x n 1
1
n 1,n 2, . . . , n xn 2
2 · · · xn k
k
k
pri čemu se sumira po svim k-torkama (n 1, . . . , n k ), n i ≥ 0, i = 1, . . . , k, takvim da je
n 1 + . . . + n k = n.
Dokaz (generalizacija dokaza binomnog teorema):
(x 1 + . . . + x k ) n = (x 1 + . . . + x k )(x 1 + . . . + x k ) · · · (x 1 + . . . + x k ).
Da se oslobodimo svih zagrada, treba izvršiti sva naznačena množenja (njih k n ) i skupiti
istoimene sumande. Svaki sumand je oblika x n 1
1 xn 2
2 · · · xn k
k , gdje su n1, . . . , n k ≥ 0 i
n 1 + . . . + n k = n, jer biramo po jedan x i od svakog od n faktora.
Ustvari, taj član dobivamo tako da biramo x 1 u n 1 faktora, x 2 u n 2 od preostalih n − n 1
faktora,..., x k u n k od preostalih n − n 1 − . . . − n k−1 faktora.
Stoga je prema principu produkta broj pojavljivanja člana x n 1
1 xn 2
2 · · · xn k
k
jednak
( )( )( ) (
)
n n − n 1 n − n 1 − n 2 n − n 1 − . . . − n k−1 n!
· · ·
=
n 1 n 2 n 3 n k n 1!n 2! · · · n k !
() 21. studenog 2011. 26 / 27