BINOMNI KOEFICIJENTI

BINOMNI TEOREM
Čitav niz identiteta medu binomnim koeficijentima možemo dobiti iz binomne formule
na slijedeći način:
Promatramo jednakost
(1 + x) n =
(
n
0
)
+
(
n
1
)
x +
(
n
2
)
x 2 + · · · +
kao jednakost polinoma.
Deriviramo li obje strane, dobivamo
( ) ( )
n(1 + x) n−1 n n
= + 2 x + · · · + k
1 2
(
)
n
k
Uvrstimo x = 1 i dobivamo
( ) ( ) ( )
n · 2 n−1 n n n
= + 2 + · · · + n =
1 2 n
(
n
k
)
x k + . . . +
(
n
n
)
x n
( )
x k−1 n
+ . . . + n x n−1 .
n
( )
n∑ n
k
k
A ako obje strane derivirane jednakosti pomnožimo sa x, dobivamo
( )
n∑
nx(1 + x) n−1 n
= k x k .
k
k=1
k=1
() 21. studenog 2011. 21 / 27