BINOMNI KOEFICIJENTI

BINOMNI KOEFICIJENTI
Teorem 2 (Pascalova formula)
Za n,r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n − 1 vrijedi
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
= +
r r − 1 r
.
Dokaz I:
Neka je S skup od n elemenata, a x ∈ S.
Sve r-kombinacije od S mogu se podijeliti u dvije klase A i B.
U A neka su sve r-kombinacije od S koje sadrže x, a u B sve ostale, tj. one koje ne
sadrže x.
Broj r-kombinacija
( )
od S koje su u A jednak je broju (r − 1)−kombinacija skupa S \ {x},
n − 1
a njih je .
r − 1
Broj kombinacija od S koje su u B jednak je broju r-kombinacija (n − 1)-članog skupa
S \ {x}, a tih je ( )
n−1
r .
( ) ( ) ( )
n n − 1 n − 1
Prema principu sume = + .
r r − 1 r
() 21. studenog 2011. 3 / 27