BINOMNI KOEFICIJENTI

BINOMNI TEOREM
Nekoliko jednostavnih posljedica binomnog teorema:
Teorem 8
(i)
(ii)
(iii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
n∑ n
+ + + . . . + = = 2 n
0 1 2 n k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
− + − . . . + (−1) n n
n∑
= (−1) k n
= 0
0 1 2
n
k
k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
+ + + . . . = + + + . . . = 2 n−1 .
0 2 4 1 3 5
Dokaz:
(i) kombinatorno već dokazan, a može se dokazati i tako da koristimo binomni teorem:
stavimo x = y = 1 u binomnoj formuli.
(ii) x = 1, y = −1 u binomnoj formuli
(iii) parnih podskupova ima jednako mnogo kao i neparnih. Kako je ukupno 2 n
1
podskupova, tvrdnja slijedi iz (i):
2 2n = 2 n−1 .
() 21. studenog 2011. 18 / 27