BINOMNI KOEFICIJENTI

BINOMNI TEOREM
Teorem 9 (Vandermonedeova konvolucija)
(
(i) n
)( m
) (
0 r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
∑
r)(
0)
=
r
( n m
) (
k=0 k)(
r−k = m+n
)
( r
(ii) n
)( m
) (
0 0 + n
)( m
) (
1 1 + n
)( m
) (
2 2 + . . . + n
)( m
) ∑
n n = n
( n
)( m
(
k=0 k k)
=
m+n
)
n
Specijalno za m = n
( ) 2 ( )
n∑ n 2n
= .
k n
k=0
Dokaz:
(i) Promotrimo jednakost (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m i razvijemo je po binomnom
teoremu. Slijedi
) (
+
n
) (
1 x + n
2)
x 2 + · · · + ( ) ] [( (
n
n x
n m
0)
+
m
(
1)
x +
m
)( 2
n+m
) (
1 x + . . . + n+m
) ]
n+m x
n+m
Prema gornjem razmatranju koeficijent uz x r na lijevoj strani je
[( n
[( 0 n+m
0
( n
0
)( m
) (
r + n m
(
1)(
r−1)
+
n
)( m
(
2 r−2)
+ . . . +
n m
r)(
0)
,
a koeficijent uz x r na desnoj strani je ( )
n+m
r .
Izjednačavajući ta dva koeficijenta dobivamo tvrdnju (i).
Na analogan način se dokaže i tvrdnja (ii).
)
x 2 + · · · + ( m
m)
x
m ] =
() 21. studenog 2011. 20 / 27