Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice ... - kvhem

Řešení diferenciálních rovnic
a byla řešena zvlášť pro Boussinesqovu první a druhou aproximaci. Pokud dosadíme do
upravené rovnice vzorec σ z BPA, bude mít rovnice dvě různé hodnoty konstanty c 1
závislé na hodnotě výšky hladiny h 0 . Pro hodnoty h 0 > 0, což odpovídá hodnotám faktoru
hladiny σ < 1, bude mít konstanta hodnotu
c
0
1
= h s R K . Pro nulovou hodnotu výšky
hladiny na konci svahu bude mít i konstanta c 1 nulovou hodnotu (h 0 = 0, c 1 = 0). Pokud
budeme řešit konstantu pro BDA zjistíme, že první a druhý člen v závorce je totožný.
Závorka má tedy nulovou hodnotu a pro libovolnou hodnotu h 0 bude i hodnota konstanty
c 1 nulová.
Poloha maximální výšky hladiny na ose x se vypočte z podmínky nulového sklonu hladiny
v x = x H jako:
2 H + c
= σ (3.3)
R K
x H
1
Pro další úpravu rovnice (3.1) nahradíme v = u – c 1 a w = h/v a rovnici upravíme na tvar:
w
2
wdw
= −
− 2σw
+ 1
dv
v
(3.4)
Pokud zjišťujeme podmínky řešení rovnice (3.4), vypočítáváme ve zlomku na levé straně
kvadratickou rovnici, která má reálné kořeny v případě, že σ > 1, a nereálné pro hodnoty
σ < 1. Tento fakt odpovídá změně tvaru hladiny podzemní vody v kritické hodnotě σ = 1.
Pro tyto tři rozdílné hodnoty parametru σ dále řešíme rovnici (3.4) a získáme vzorce pro
výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody při ustáleném proudění.
Pro hodnotu σ = 1 upravíme rovnici (3.4) na tvar:
wdw
dv
= −
( w −1) 2 v
(3.5)
kde v = u – c 1 u = R K ⋅ x w = h/v
Následnou integrací dostaneme:
ln
2
− (3.6)
w −1
( w 2
2
1) − = −ln
v + c2
20