Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice ... - kvhem

Řešení diferenciálních rovnic
2σ
1 (2σ
) − σ
2
c
4
= ln H + arctan
(3.13)
λ2
λ2
Pokud rovnici (3.12) dále řešíme pro případ h = h L , v = v L , odvodíme rovnici pro výpočet
maximální výšky hladiny podzemní vody pro hodnoty σ < 1 ve tvaru:
2
2
⎡2σ
⎛ h
⎞⎤
L
vL
−σ
1 (2σ
−σ
( h − 2σh
v + v ) exp ⎜arctan
− arctan ⎟⎥ ⎦
H =
⎢ ⎜
⎟
(3.14)
L L L L
⎣ λ2
⎝ λ2
λ2
⎠
2 )
V rovnicích (3.5) až (3.14) se vyskytuje proměnná v respektive v L , jejíž hodnoty jsou
závislé na hodnotě konstanty c 1 . Tato konstanta má nulovou hodnotu pro σ = 1 a σ > 1.
V těchto případech lze dosadit do rovnic hodnoty
v = x R K respektive v L
= L R K .
Pokud řešíme rovnice pro σ < 1 je hodnota konstanty c 1 závislá na postupu zvoleného
řešení. Pokud se rovnice řeší pomocí Boussinesqovy druhé aproximace je hodnota
konstanty také nulová a platí výše uvedená substituce. Při použití Boussinesqovy první
aproximace je hodnota konstanty vyjádřená vzorcem c = 1
h0s
R K a tudíž
v
0
= x R K − h s R K a = L R K − h s R K .
v L 0
Hodnotu výšky hladiny na horním konci svahu, h 0 , lze získat řešením rovnice (3.12) pro
okrajové podmínky h = h L , v = v L a následným dosazením x = 0, h = h 0 ,
Po úpravě získáme implicitní vztah:
v0 −
0
= h s R K .
h
2
0
2
v
⎡ 2σ
⎛
− − ⎞⎤
⎢ ⎜ −σ
1 ( s R K ) σ
L
=
exp arctan − arctan
⎟ (3.15)
1+
2σs
R K +
σ
( ) ⎥ ⎥ 2
2
⎢ ⎜
2
2 ⎟
s R K ⎣ 1−σ
⎝ 1−σ
1−
⎠⎦
Tato rovnice může být řešena iteracemi, kdy počáteční hodnotu h 0 pro výpočet v L zvolíme
rovnu nule. Počet iterací potřebných k výpočtu hodnoty h 0 jsou čtyři až deset.
Tvar hladiny podzemní vody můžeme získat řešením rovnice (3.1) metodou Runge-Kutta
čtvrtého řádu (Rektorys, 2000). Jako počáteční hodnoty pro řešení zvolíme hodnoty
maximální výšky hladiny podzemní vody pomocí rovnic (3.8), (3.11) a (3.14) a její polohy
na ose x (3.3).
22