Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice ... - kvhem

Řešení diferenciálních rovnic
Rovnici kontinuity (3.18) můžeme upravit, za předpokladu 2 na následující tvar:
dH(
t)
⎡
dW ( X , H)
⎤
dq x
( x)
= R(
t)
dx − µ L W X H H t
dX
dt ⎢
( , ) + ( )
dH ⎥ (3.19)
⎣
⎦
Při integraci rovnice (3.19) od x = 0 do x = x 1 získáme tvar:
X
1
dH ( t)
⎡
dW ( X , H ) ⎤
q
x
( x1)
= R(
t)
x1
− µ L∫
⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX (3.20)
dt
dH ⎦
0
Úpravou této rovnice pro podmínku x 1 = L získáme rovnici pro průtok na jednotku plochy
hydraulického systému, kterou můžeme psát:
dH ( t)
Q ( t)
= R(
t)
− µ B(
H )
(3.21)
dt
kde: Q - průtok na jednotku plochy Q = q x /L [L.T -1 ]
B(H) - první faktor tvaru hladiny [-]
1
⎡
dW ( X , H ) ⎤
B ( H ) = ∫ ⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX
(3.22)
dH ⎦
0
Druhou integrací rovnice kontinuity - integrací rovnice (3.20) od x = 0 do x = L získáme
tuto rovnici:
L
q
∫
0
x
2
2
L dH ( t)
L
( x)
dx = R(
t)
− µ C(
H )
(3.23)
2 dt 2
kde: C(H) - druhý faktor tvaru hladiny [-]
1
⎡
dW ( X , H ) ⎤
C ( H ) = 2∫
( 1−
X )
⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX
(3.24)
dH ⎦
0
Integrací pohybové rovnice (2.28) v mezích od x = 0 do x = L obdržíme:
2
L
L hL
− h0
∫ qx
( x)
dx = sKH ( t)
P(
H ) − K
(3.25)
2
2
0
2
kde: P(H) - třetí faktor tvaru hladiny [-]
1
∫
P ( H ) = 2 W ( X , H ) dX
(3.26)
0
24