Dynamika-Přehled Pohybových Rovnic pro Těleso
Dynamika-Přehled Pohybových Rovnic pro Těleso
Dynamika-Přehled Pohybových Rovnic pro Těleso
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Pohybové rovnice tuhého tělesa-souhrn<br />
Pohybové rovnice tělesa při translačním pohybu<br />
Zpravidla používáme jako vztažný bod T . Pak vektorový zápis:<br />
Složkové rovnice-přímočarý translační rovinný:<br />
∑ Fix<br />
= maTx<br />
, Fiy = maTy<br />
i<br />
i<br />
∑ ,: ∑( MTi ) = ( xi Fyi − yiFxi<br />
) = 0<br />
z ∑ .<br />
i<br />
i<br />
F = ma , M 0<br />
Křivočarý translační rovinný po známé dráze (pak je vhodné použití přirozených souřadnic)<br />
∑ Fin<br />
= maTn<br />
, Fit = maTt<br />
i<br />
i<br />
∑ , <strong>pro</strong> vztažný bod T : ( M<br />
Ti ) = 0<br />
b<br />
i<br />
T<br />
T<br />
=<br />
∑ , kde binormála b = τ xn<br />
Jako vztažný bod u momentové pohybové rovnice lze také použít libovolný bod B<br />
∑ ( M<br />
Bi ) = yT ma<br />
z<br />
T x<br />
− xT maT y<br />
resp. ∑ ( )<br />
i<br />
i<br />
M = t ma − n ma<br />
Bi b T T n T T t<br />
≠ T<br />
. Pak:<br />
kde x T<br />
, y T<br />
jsou kartézské souřadnice resp. t T<br />
,n T<br />
jsou přirozené souřadnice bodu T lokálního<br />
souřadného systému s počátkem v bodě B.<br />
Pohybové rovnice tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy rotace-rovinný případ<br />
Při poloze T na ose rotace: Vektorově F = 0 , MT = ITα<br />
Ve složkách<br />
∑ ∑ ∑<br />
F = 0, F = 0, M = I α<br />
ix iy Tz T<br />
Při poloze T mimo osu rotace: Vektorově<br />
F = ma T<br />
, Mo = Io<br />
α<br />
Ve složkách<br />
∑ ∑ ∑<br />
F = −my α − mx ω , F = −mx α − my ω, M = I α<br />
2<br />
ix T T iy T T iz z<br />
Pohybové rovnice tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy rotace-<strong>pro</strong>storový případ<br />
Maticový zápis<br />
∑<br />
∑<br />
O<br />
2<br />
( )<br />
f = m A + Ω r<br />
m = I α + Ω I ω<br />
Pro o ≡ z a souřadný systém spojený s tělesem <strong>pro</strong> složkový zápis platí:<br />
2<br />
F + F + F = −α<br />
y m −ω<br />
x m<br />
x Ax Bx T T<br />
F + F + F = α x m −ω<br />
y m<br />
2<br />
y Ay By T T<br />
F + F = 0<br />
z<br />
Az<br />
M − F l = α D −ω<br />
D<br />
2<br />
x By xz yz<br />
M + F l = α D + ω D<br />
M<br />
2<br />
y Bx yz xz<br />
z<br />
= I α<br />
z<br />
T
Pohybové rovnice tělesa při obecném rovinném pohybu tělesa<br />
Jako vztažný bod zpravidla používáme těžiště T. Pak vektorově:<br />
F = ma<br />
M<br />
T<br />
T<br />
= I α<br />
Při přímočarém pohybu těžiště ve složkách: Fx = ma<br />
Tx<br />
;Fy = ma<br />
Ty<br />
;MTz = ITα<br />
Při křivočarém pohybu těžiště ve složkách: Ft = ma<br />
Tt<br />
;Fn = ma<br />
Tn<br />
;MTb = ITα<br />
Pohybové rovnice tělesa při sférickém pohybu tělesa<br />
f = m ⎡<br />
T<br />
T<br />
) ⎤<br />
Maticový zápis: ⎣<br />
Ωɺ<br />
r + Ω (Ω r<br />
⎦<br />
mO<br />
= I ωɺ<br />
+ Ω I ω<br />
kde O je střed sférického pohybu. Za předpokladu, že je použit souřadný systém<br />
O ξηζ<br />
(orientace souřadných os ve směru hlavních centrálních os) spojený s tělesem, má<br />
složkový zápis (Eulerovy pohybové rovnice) tvar:<br />
( ɺT ω<br />
T<br />
ωz T )<br />
( ɺT ω<br />
T<br />
ω<br />
T )<br />
( ɺT ω<br />
T<br />
ω<br />
T )<br />
F = m v + v − v<br />
ξ ξ η ζ η<br />
F = m v + v − v<br />
η η ζ ξ ξ ζ<br />
F = m v + v − v<br />
ζ ζ ξ η η ξ<br />
,<br />
,<br />
,<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
M = I ωɺ<br />
+ I − I<br />
ξ ξ ξ ζ η η ζ<br />
M = I ωɺ<br />
+ I − I<br />
η η η ξ ζ ξ ζ<br />
M = I ωɺ<br />
+ I − I<br />
ω ω<br />
ω ω<br />
ω ω<br />
ζ ζ ζ η ξ η ξ<br />
ω ω ω ω ω ω<br />
kde vT ξ<br />
= −<br />
ζ<br />
rT η<br />
+<br />
ηr Tζ ,vT η<br />
=<br />
ζ<br />
rT ξ<br />
−<br />
ξ<br />
r<br />
Tζ ,vT ζ<br />
= −<br />
ηrT ξ<br />
+<br />
ξrT<br />
η<br />
v ɺ = − ωɺ r + ωɺ r ,v ɺ = ωɺ r − ωɺ r ,v ɺ<br />
= − ωɺ r + ωɺ<br />
r<br />
Tξ ζ Tη η Tζ Tη ζ Tξ ξ Tζ Tζ η Tξ ξ Tη<br />
Vyřešením sférického pohybu rozumíme určení časových závislostí Eulerových úhlů<br />
ψ ( t), η( t)<br />
a ϕ ( t)<br />
. Proto k pohybovým rovnicím je nutno připojit Eulerovy kinematické<br />
rovnice.<br />
Pohybové rovnice tělesa při obecném <strong>pro</strong>storovém pohybu tělesa:<br />
Řešíme jako dynamiku bodového tělesa ve vztažném bodě a relativní sférický pohyb na<br />
vztažný bod. Pro referenční bod umístěný v T platí:<br />
Maticový zápis f = m a<br />
T<br />
, m = I ω ɺ + Ω I ω<br />
O<br />
Složkový zápis:<br />
F = m a , Mξ = Iξωɺ<br />
ξ<br />
+ ( Iζ − Iη ) ωηωζ<br />
F<br />
F<br />
ξ<br />
η<br />
ζ<br />
= m a<br />
= m a<br />
Tξ<br />
Tη<br />
Tζ<br />
,<br />
,<br />
( )<br />
( )<br />
M = I ωɺ<br />
+ I − I<br />
η η η ξ ζ ξ ζ<br />
M = I ωɺ<br />
+ I − I<br />
ω ω<br />
ω ω<br />
ζ ζ ζ η ξ η ξ<br />
T