Dynamika-Přehled Pohybových Rovnic pro Těleso

Pohybové rovnice tuhého tělesa-souhrn
Pohybové rovnice tělesa při translačním pohybu
Zpravidla používáme jako vztažný bod T . Pak vektorový zápis:
Složkové rovnice-přímočarý translační rovinný:
∑ Fix
= maTx
, Fiy = maTy
i
i
∑ ,: ∑( MTi ) = ( xi Fyi − yiFxi
) = 0
z ∑ .
i
i
F = ma , M 0
Křivočarý translační rovinný po známé dráze (pak je vhodné použití přirozených souřadnic)
∑ Fin
= maTn
, Fit = maTt
i
i
∑ , pro vztažný bod T : ( M
Ti ) = 0
b
i
T
T
=
∑ , kde binormála b = τ xn
Jako vztažný bod u momentové pohybové rovnice lze také použít libovolný bod B
∑ ( M
Bi ) = yT ma
z
T x
− xT maT y
resp. ∑ ( )
i
i
M = t ma − n ma
Bi b T T n T T t
≠ T
. Pak:
kde x T
, y T
jsou kartézské souřadnice resp. t T
,n T
jsou přirozené souřadnice bodu T lokálního
souřadného systému s počátkem v bodě B.
Pohybové rovnice tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy rotace-rovinný případ
Při poloze T na ose rotace: Vektorově F = 0 , MT = ITα
Ve složkách
∑ ∑ ∑
F = 0, F = 0, M = I α
ix iy Tz T
Při poloze T mimo osu rotace: Vektorově
F = ma T
, Mo = Io
α
Ve složkách
∑ ∑ ∑
F = −my α − mx ω , F = −mx α − my ω, M = I α
2
ix T T iy T T iz z
Pohybové rovnice tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy rotace-prostorový případ
Maticový zápis
∑
∑
O
2
( )
f = m A + Ω r
m = I α + Ω I ω
Pro o ≡ z a souřadný systém spojený s tělesem pro složkový zápis platí:
2
F + F + F = −α
y m −ω
x m
x Ax Bx T T
F + F + F = α x m −ω
y m
2
y Ay By T T
F + F = 0
z
Az
M − F l = α D −ω
D
2
x By xz yz
M + F l = α D + ω D
M
2
y Bx yz xz
z
= I α
z
T

Pohybové rovnice tělesa při obecném rovinném pohybu tělesa
Jako vztažný bod zpravidla používáme těžiště T. Pak vektorově:
F = ma
M
T
T
= I α
Při přímočarém pohybu těžiště ve složkách: Fx = ma
Tx
;Fy = ma
Ty
;MTz = ITα
Při křivočarém pohybu těžiště ve složkách: Ft = ma
Tt
;Fn = ma
Tn
;MTb = ITα
Pohybové rovnice tělesa při sférickém pohybu tělesa
f = m ⎡
T
T
) ⎤
Maticový zápis: ⎣
Ωɺ
r + Ω (Ω r
⎦
mO
= I ωɺ
+ Ω I ω
kde O je střed sférického pohybu. Za předpokladu, že je použit souřadný systém
O ξηζ
(orientace souřadných os ve směru hlavních centrálních os) spojený s tělesem, má
složkový zápis (Eulerovy pohybové rovnice) tvar:
( ɺT ω
T
ωz T )
( ɺT ω
T
ω
T )
( ɺT ω
T
ω
T )
F = m v + v − v
ξ ξ η ζ η
F = m v + v − v
η η ζ ξ ξ ζ
F = m v + v − v
ζ ζ ξ η η ξ
,
,
,
( )
( )
( )
M = I ωɺ
+ I − I
ξ ξ ξ ζ η η ζ
M = I ωɺ
+ I − I
η η η ξ ζ ξ ζ
M = I ωɺ
+ I − I
ω ω
ω ω
ω ω
ζ ζ ζ η ξ η ξ
ω ω ω ω ω ω
kde vT ξ
= −
ζ
rT η
+
ηr Tζ ,vT η
=
ζ
rT ξ
−
ξ
r
Tζ ,vT ζ
= −
ηrT ξ
+
ξrT
η
v ɺ = − ωɺ r + ωɺ r ,v ɺ = ωɺ r − ωɺ r ,v ɺ
= − ωɺ r + ωɺ
r
Tξ ζ Tη η Tζ Tη ζ Tξ ξ Tζ Tζ η Tξ ξ Tη
Vyřešením sférického pohybu rozumíme určení časových závislostí Eulerových úhlů
ψ ( t), η( t)
a ϕ ( t)
. Proto k pohybovým rovnicím je nutno připojit Eulerovy kinematické
rovnice.
Pohybové rovnice tělesa při obecném prostorovém pohybu tělesa:
Řešíme jako dynamiku bodového tělesa ve vztažném bodě a relativní sférický pohyb na
vztažný bod. Pro referenční bod umístěný v T platí:
Maticový zápis f = m a
T
, m = I ω ɺ + Ω I ω
O
Složkový zápis:
F = m a , Mξ = Iξωɺ
ξ
+ ( Iζ − Iη ) ωηωζ
F
F
ξ
η
ζ
= m a
= m a
Tξ
Tη
Tζ
,
,
( )
( )
M = I ωɺ
+ I − I
η η η ξ ζ ξ ζ
M = I ωɺ
+ I − I
ω ω
ω ω
ζ ζ ζ η ξ η ξ
T