10 Dynamika -Linearni Kmity

159
10-Lineární kmitání
10 Lineární kmitání
10.1 –Úvod do kmitání bodů a těles
Reálná tělesa se kterými se setkáváme v technické praxi nejsou dokonale tuhá, ale naopak
více či méně pružná. Proto reálná tělesa popř. soustavy těles modelujeme jako mechanické
soustavy tvořené tuhými hmotnými členy vzájemně spojenými nehmotnými pružinami. Při
působení vnějších sil (buzení) pak mezi jednotlivými členy vznikají v pružinách direkční síly
(namířené proti směru výchylek hmotných členů z rovnovážných poloh), velikost direkčních
sil závisí na velikosti výchylek. Důsledkem působení direkčních sil je vznik kmitavých
pohybů tj. oscilačních pohybů kolem rovnovážných poloh. Pokud nejsou dokonale tuhé vazby
mezi tělesy, pak hovoříme o kmitání tuhých těles neboli hmotných soustav, pokud uvažujeme
časově proměnné elastické deformace samotných těles pak hovoříme o kmitání pružných
těles.
Vzhledem k tomu, že kmitání doprovází chod každého stroje, popis kmitavých pohybů
je důležitým problémem technické praxe a analýza kmitavých pohybů dala vznik samostatné
součásti dynamiky-teorii kmitání.
Většinou jsou kmity nežádoucí, protože s nimi souvisí hlučnost strojů, zvýšení jejich
namáhání a rostoucí opotřebení. V některých případech však vibrace uměle vyvoláváme a
následně využíváme (např. u vibračních pil, zhutňovačů, vibroseisy jako zdroje seismických
vln při naftové prospekci, kmity bubínku a bazilární membrány vyvolávají pohyb nervových
perceptorů a tím sluchový vnímání apod.).
Obecně existují dva typy kmitání-volné a vynucené. Volné kmitání vzniká, jestliže na
tělesa působí pouze elastické síly vracející kmitající těleso po vychýlení do původní
rovnovážné polohy. Vynucené kmity vznikají působením časově závislých vnějších sil,
kmitavé děje ve strojích jsou nejčastěji vyvolávány deterministickým periodickým buzením.
Oba tyto typy kmitů přitom mohou být tlumené i netlumené (do soustav zahrnujeme i
dissipátory energie).
Kmitající soustavy: lineární- odezva je lineárně závislá na buzení, platí princip superpozice;
nelineární – odezva je nelineární (důsledek buď nelineární závislosti velikosti direkční síly na
výchylce, skokové změny ve směru působících třecích sil apod.). Nelineárního kmitání je
možné dosáhnout např. pružinou ve tvaru šroubovice s proměnným průřezem.
Konstanty tuhosti k pružných prvků závisí jak na materiálu, na geometrii průřezu
(šroubové pružiny, tyče, hranoly apod.) a na charakteru pohybu (kmity podélné, torzní,
ohybové (příčné) a krouživě kmitající.
4
πGd
a) šroubová pružina (nejčastější) je k = , kde G je modul ve smyku, d průměr
2
8D L
drátu, D průměr šroubovice, L délka šroubovice
2
Eπ
d
b) podélně kmitající tyč kruhového průřezu k = , kde E je Youngův modul
4l
pružnosti, S průřez tyče, l je délka tyče
c) torzně kmitající tyč (silovým účinkem vracejícím těleso do rovnovážné polohy je
4
Gπ
r
krouticí moment) k =
2l
4
3Eπ
r
e) ohybově kmitající vetknutá tyč k =
3
4l
Po matematické stránce je lineární kmitání popsáno diferenciálními rovnicemi 2. řádu
s konstantními koeficienty, přitom všechny koeficienty musí být kladné. Pohybové rovnice se
zpravidla neřeší, ale po převedení na normovaný tvar se pro řešení použijí standardní vzorce.
159

160
10-Lineární kmitání
10. 2 Volné kmity netlumené
Nejprve se omezíme na analýzu pohybu jednoho tělesa pohybujících se v jednom směru tj.
na jeden stupeň volnosti. Nechť se hmotný bod pohybuje ve směru osy x působením síly
od pružiny (obr. 10.1)
Obr. 10. 1
F x
= − k.
x , (10.1)
kde x je výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy, k je konstanta (tuhost pružiny).
Jestliže těleso uvolníme (obr. 10.2), pak pohybovou rovnici pak můžeme napsat ve tvaru:
..
m x
Rovnici (10.2.) můžeme také napsat ve tvaru:
kde
..
+ k x = 0 . (10.2)
x+ Ω = , (10.3)
2
0
x 0
k
Ω
0
= (10.4)
m
je vlastní úhlová frekvence vyjádřená v rad/s. Řešení rovnice (10.2) můžeme hledat na bázi
harmonických funkcí (sinus, kosinus, komplexní exponenciela). Např. při použití funkce sinus
má řešení tvar
( ) sin ( Ω ϕ )
x t = C t + , (10.4)
0 0
kde C je amplituda (tj. maximální hodnota) výchylky a φ 0 je počáteční fáze určující
výchylku v čase t = 0 . Hodnoty C, φ 0 zpravidla určujeme z počátečních podmínek.
160

161
10-Lineární kmitání
C sinφ 0
C
T 0
Obr. 10. 3
Důležitá je perioda (doba kmitu) harmonického pohybuT 0
, což je nejkratší doba, po
které se děj opakuje
2π
m
T0
= = 2π
. (10.5)
Ω k
0
Kmitočet (frekvence) f
0
je převrácená hodnota periody
Řešením rovnice (10.3) je však i funkce
f
1
Ω
0
0
= = [Hz]. (10.6)
T0
2π
x = Asin
Ω t + B cos Ω t . (10.7)
0 0
Ze vztahu pro sinus součtu dvou úhlů ihned vyplývá pro t=0 vztah
Tj. platí
A = C cos ϕ , B = C sinϕ
. (10.8)
0 0
B
= + ϕ = . (10.9)
2 2
C A B ,
0
arctg A
Poznámka: Pro studium přenosových vlastností kmitajících soustav je vhodné řešení rovnice
harmonického pohybu předpokládat ve tvaru
i 0t
kde C
∗ = Ce ϕ je komplexní amplituda.
i 0t
{ C ∗ e Ω
}
x = Im
(10.10)
161

162
10-Lineární kmitání
Uvažujme uspořádání podle obr 10.3, při kterém nastává tzv. statický průhyb
mg
pružiny x st = .
k
x st
Obr. 10.3
Pro počátek v koncovém bodě volné pružiny pohybové rovnice mají tvar
− k x + m g = m ɺɺ x
(10.11a)
mg
V rovnovážné poloze x R =x st je zrychlení ɺɺ x = 0 tj. platí xR = xst
= . Posuneme-li
k
počátek do této rovnovážné polohy tj. provedeme transformaci y = x − xR
pak dostáváme
vztah
tj. platí
mg
−ky − k + mg = − ky = my ɺɺ (10.11b)
k
ɺɺ y + Ω = , (10.11c)
2
0
y 0
což je stejná rovnice jako rovnice (10.2). Kmitání tedy nastává kolem rovnovážné polohy
odpovídající posunutí od původní polohy (určené délkou nezatížené pružiny l 0 ) o statický
průhyb. Z toho plyne: V případě působení konstantního silového účinku tedy nedochází ke
změně vlastní frekvence, řešení je stejné jako bez působení konstantního silového působení,
pouze je nutné provést posunutí počátku do rovnovážné polohy.
V případě působení více pružin takový systém zpravidla nahrazujeme pružinou
jedinou. V případě, že je n pružin řazeno sériově (jedna nad druhou, ale ze stejné strany od
tělesa), pak můžeme celkovou tuhost vypočítat podle vztahu
1 1 1 1
= + + ...
(10.12a)
k k1 k2
k n
tento vztah dostaneme na základě uvolnění spojů mezi pružinami . Např. ve spoji pružin 1 a 2
platí Fd
= k1x1 = k2 x2
. Stejně velká síla musí být ve spoji mezi první pružinou a rámem. Při
zaměnění 2 pružin za jednu ekvivalentní musí být síla působící na těleso stejná tj. musí
1 1 1
platit Fd
= k12 x12
. Uvážením x12 = x1 + x2
dostaneme vztah = + . Podobně v případě
k12 k1 k2
paralelního systému řazení pružin (pružiny vedle sebe nebo sestava pružina – těleso-pružina)
platí
162

163
10-Lineární kmitání
k = k1 + k2 + ... k n
(10.12b)
Vztah vyplývá z uvolnění v místě spojení pružin s tělesem (výchylky všech pružin jsou
stejné)
Příklad 10.1 Vypočtěte dobu kmitu závaží hmotnosti
pružinám. Tuhosti pružin jsou
4 −1
k = 2,8 ⋅ N ⋅ m (obr.10.4).
3
10
4 −1
k = 2⋅
N ⋅m
,
1
10
m = 58 kg , připojeného ke třem
4 −1
k = 2,5 ⋅ N ⋅ m ,
2
10
Obr. 10. 4
Řešení:
Při kmitavém pohybu se pružina nad závažím
prodlouží (resp. zkrátí) a o stejnou délku se zkrátí
(resp. prodlouží) pod závažím. Všechny pružiny se
tedy snaží vrátit těleso do původní rovnovážné
polohy. Direkční síly se sčítají. Výsledná direkční
síla při výchylce x :
F = F + F + F
1
1
F = k ⋅ x, kde k = k1
+ k2
+ k
Doba kmitu:
2
F = k ⋅ x + k
T
T
T
0
0
0
=
0
2
3
⋅ x + k ⋅ x
2π
m
= = 2π
ω k
3
2
58⋅
4 ⋅π
( 2 + 2,5 + 2,8)
= 0,177105 s
−1
=
⋅10
4
3
2
m ⋅ 4 ⋅π
k
Poznámka: V případě že použité pružiny by neměly stejné klidové délky, pak délku
ekvivalentní pružiny nahrazující první dvě pružiny dostaneme ze
1
vztahu k12 ( x − l012 ) = k1 ( x − l01 ) + k2 ( x − l02
) tj. l012 = ( k1l01 + k2l02
) . Pro ekvivalentní
k
délku pružiny nahrazující systém 3 pružin pak platí l0 = l012 + l03
.
Příklad 10. 2. Hmotný bod G 0 o hmotnosti m na pružině o tuhosti k je umístěn na nakloněné
rovině s úhlem sklonu α (obr. 10.5). Klidová délka nestlačené pružiny je l0 = 11,5 cm ,
klidová délka pružiny stlačené silou tíže je l 1 . Pružinu odlehčíme o hodnotu ∆ x = + 4,5 cm a
12
bod uvolníme s nulovou počáteční rychlostí.
Tření zanedbejte.
i) Zjistěte diferenciální
rovnici pohybu závaží na nakloněné rovině.
ii) Určete hodnotu vlastní
frekvence, maximální
amplitudy kmitů a
Obr. 10. 4
163

164
10-Lineární kmitání
iii)
počáteční fázi a závislost výchylky na čase x=x(t).
Určete periodu kmitu.
Obr. 10. 5
Řešení: V rovnovážné poloze je direkční síla od pružiny rovna složce tíže do směru
mg sinα
nakloněné roviny tj. xst
= l0 − l1
= . Položíme počátek do rovnovážné polohy a
k
orientujeme osu x ve směru vzhůru nakloněné roviny. Jestliže hmotný bod posuneme
z rovnovážné polohy o délku x směrem vzhůru, dojde ke zmenšení direkční síly o hodnotu kx.
Pohybová rovnice tedy bude mít tvar:
k( l0 − l1
) − kx − mg sinα
= mx
ɺɺ
Tj. platí:
k
ɺɺ+ x x = 0
(a)
m
Řešení pohybové rovnice (a) předpokládáme ve tvaru:
k
x( t) = xm
⋅ cos( Ω0t
+ ϕ
0 ) , kde Ω
0
= je vlastní frekvence, x m je maximální výchylka
m
kmitů a ϕ 0 je počáteční fáze.
Počáteční podmínka: v čase t = 0 : x0 = ∆x a v0
= 0.
x0
⎫
x0 = xm
⋅ cos ϕ0 , tedy cosϕ0
= > 0 ⎪
xm
⎬ ϕ0
= 0.
v0 = −Ω0 ⋅ xm
⋅ sin ϕ0 , tedy sinϕ0
= 0 ⎪
⎭
Pro ϕ
0
= 0 je cosϕ 0
= 1 a tedy xm
= ∆x
.
k
x( t) = xm
cos ⋅t,
m
k 50
Ω
0
= = = ⋅
−3
m 100⋅10
x = ⋅ ⋅
ad iii) perioda kmitu:
2 π
T = ,
Ω
−2
4,5 10 cos 22 t.
0
2π
T = = 0, 29 s.
22
10. 3 Volné kmity tlumené
−1
22 rad s ,
Vlastní kmity tlumené nastávají v případě, že kromě direkční síly F=-kx působí síly odporu
prostředí F
o
. Přitom se hlavně jedná o Stokesovo tlumení tj. síly viskózní v kapalinách.
Coulombovo tření (které je úměrné kolmému tlaku a které je doprovázeno rychlým
opotřebením pohybujících se součástí) bývá u kmitajících soustav eliminováno mazáním,
164

165
10-Lineární kmitání
proto jej d8le diskutovat nebudeme. Viskózní tlumení (odporová síla) je úměrné rychlosti
F = b xɺ , kde b je součinitel lineárního tlumení. Pohybová rovnice má tvar
o
Tuto rovnici převedeme na normovaný tvar
mx ɺɺ + bxɺ + kx = 0
(10.13)
k
ɺɺ x + 2δ
xɺ + x = 0 . (10.14)
m
kde
b
δ = je součinitel doznívání.
2m
Obecné řešení (10.14) je dáno ve tvaru
x = C e + C e
λ 1 t λ2
t
= + (10.15a)
1 1
kde C 1 a C 2 jsou integrační konstanty, které se stanoví z počátečních podmínek a λ 1 , λ 1 jsou
kořeny charakteristické rovnice. Tato má tvar
Odtud je řešení dáno vztahy
2
mλ
bλ
k
+ + = 0
(10.15b)
λ
1,
2
2
− b ±
b −
4km
= (10.15c)
2m
Čísla λ i se nazývají vlastní čísla soustavy, podle znaménka pod odmocninou je určen
jejich charakter. V případě čistě reálných hodnot λ i (výraz pod odmocninou je kladný)
výsledný pohyb nebude kmitavý, ale bude probíhat po exponenciále. Pro praxi je proto
mnohem zajímavější případ, když znaménko pod odmocninou bude záporné. V takovém
případě jsou kořeny charakteristické rovnice komplexně sdružené. Řešení rovnice (10.14) pak
má tvar
−δ
t
x C e sin
tlt
( Ω ϕ )
= + , (10.15e)
2 2 2
δ
kde Ωtl
= Ω0 − δ = Ω0 1− bp
je frekvence tlumených kmitů, b p
= je poměrný útlum.
Ω0
Při podkritickém tlumení (b p

166
10-Lineární kmitání
Při kritickém tlumení (b p =1) je frekvence vlastních kmitů rovna nule tj. výsledný děj není
harmonický, amplituda s časem postupně klesá. Podobně při nadkritickém tlumení ( b
p
> 1) je
řešením charakteristické rovnice (10.15b) číslo reálné tj. pohyb je aperiodický, příklad
závislosti výchylky na čase je na obr. 10.6b a 10.6c.
C
=
− t
e δ
T tl
Obr. 10.6a Obr. 10.6b Obr. 10.6c
Poznámka: V případě Stokesova tlumení je řešení opět harmonické, ale amplituda kmitů klesá
s časem lineárně.
10.3 Vynucené kmity
10.3.1 Vynucené kmity buzené harmonickou silou
Pohybová rovnice vynucených kmitů tělesa hmotnosti m, na které působí harmonicky
proměnná síla F( t ) = F0
sinωt
je dána vztahem
2 F( t ) F0
ɺɺ x + 2 δ xɺ + Ω 0
x = = sin t
m m
ω
(10.17)
Pohybová rovnice je tedy nehomogenní diferenciální rovnicí 2.řádu. Řešení x = xh + xp
, kde
partikulární řešení podle tvaru pravé strany hledáme na bázi harmonických funkcí.. Při
podkritickém tlumení (b p

167
10-Lineární kmitání
fáze rychle mění (při nulovém tlumení skokem) o π. Bez tlumení by v rezonanci amplituda
kmitů s časem neustále lineárně narůstala tj. byla by dána vztahem
F
= (10.20a)
0
sr
t sin Ω0t
2Ω0m
Závislost amplitudy resp. fáze vynucených kmitů na frekvenci při stálé hodnotě
amplitudy harmonické budící síly se nazývá amplitudová resp. fázová charakteristika
soustavy, příklady závislosti takových křivek pro různé hodnoty tlumení δ jsou na obr. 10.7.
Pro nulovou budící frekvenci je amplituda odezvy dána vztahem
s
F
k
0
st
= (10.20b)
což je v podstatě případ statiky resp. pevnosti a pružnost, podstatné je ale to, že amplituda
není nulová. Při vykreslování amplitudových křivek provádíme na hodnotu s st normování.
Maximální hodnoty je dosaženo pro netlumené kmitání a pro stav, kdy je budicí
frekvence rovna vlastní netlumené frekvenci. Tento stav se nazývá rezonanční a v provozních
podmínkách je zpravidla snaha se mu vyhnout. V případě málo tlumených soustav je
podrezonanční i v rezonanční oblasti amplituda kmitů větší než jsou statické amplitudy,
tomuto jevu říkáme dynamické zesílení. pro nekonečně velké budicí frekvence se amplituda
kmitání blíží k nule.
ω
ω
Ω0
Ω0
Obr. 10.7
Možnosti jak potlačit (snížit) dynamickou odezvu soustavy při harmonickém buzení jsou v
podstatě zřejmé z charakteru rovnic pro odezvu a lze to provést třemi způsoby
1. Snížit amplitudu budících sil. V praxi to znamená např. stroj co možná nejlépe
vyvážit, maximálně omezit aerodynamické buzení atd.
2. Pokud je snížena amplituda budících sil na minimum, druhá možnost je provést změnu
vlastní frekvence. Zvýšení hmotnosti má za následek snížení vlastní frekvence a zvýšení
167

168
10-Lineární kmitání
tuhosti má za následek zvýšení vlastní frekvence. Cílem je stroj tzv. přeladit tak, aby se
v pásmu provozního buzení nenacházela vlastní frekvence.
3. Třetí možný případ je takový, kdy jsou amplitudy budících sil sníženy na minimální
hodnotu a konstrukčními změnami není možné soustavu přeladit. V tomto případě se do
soustavy přidá tlumič, aby se snížila amplituda vibrací. Tlumič je vhodné umístit do
míst s maximální rychlostí vibrací, aby bylo tlumení co nejvíce účinné.
10.3.2 Vynucené kmity buzené rotující hmotou
V případě nevyváženého rotoru hmotnosti m na kterém je nevývažek hmotnosti m 1 rotující
frekvencí ω je budící silou síla odstředivá (buzení nevývažkem) je pohybová rovnice je dána
vztahem
2 F( t )
2
m1eω
sinωt
0
ɺɺ x + 2δ
xɺ + Ω = =
. (10.21)
m m
Z pohledu aplikace rotorových soustav střed hřídele kmitá v rovině kolmé na spojnici ložisek.
Amplituda budící síly je tedy frekvenčně závislá. Amplituda ustálených vynucených kmitů
středu rotoru (obr. 10.8b) je dána vztahem
s
0
2
m1
eω
=
m ( Ω ω ) ( δω )
2 2 2 2
0
− + 2
(10.22)
Obr. 10.8a
Jak je z amplitudové křivky zřejmé, v nadrezonanční oblasti je kapalinový tlumič neúčinný.
10.3.3 Vynucené kmity buzené pohybujícím se základem
Obr. 10.8b
Jestliže působící síla nepůsobí na těleso
přímo ale přes pružinu popř. i přes tlumič,
pak hovoříme o tzv. kinematickém buzení
od základu. Konkrétním případem může být
buzení při seismické události, tedy při
zemětřesení (proto někdy tomuto buzení
říkáme seismickém buzení). Stejný efekt
však nastává, jestliže se odpružené těleso
pohybuje po „roletě“ povrchu rychlostí v –
168

169
10-Lineární kmitání
2π
2π
v
karoserie je podrobena buzení přes pružinu s frekvencí ω = = , kde l je vzdálenost
T l
mezi hrboly (viz obrázek). Řešení lze provést dvěma způsoby. V prvním případě je
výsledkem pohyb tělesa absolutně vzhledem k rámu, který se nepohybuje (absolutní
souřadnice), ve druhém případě je výsledkem relativní pohyb tělesa vzhledem k pohybujícímu
se základu (relativní souřadnice). Jestliže sledujeme pohyb tělesa vzhledem k nehybnému
rámu a amplituda pohybu základu je h, pak pohybová rovnice je dána vztahem
−b( xɺ − x ɺ ) − k( x − x ) = mx ɺɺ . (10.23)
Tuto rovnici lze pro harmonický pohyb základu x z
= h sinωt
upravit na tvar
2
0
z
z
ɺɺ x + 2δ xɺ + Ω x = bhω cosωt + kh sinωt
. (10.24)
Ustálený pohyb je opět popsán řešením partikulárním x
p
= s0
sin( ωt + ϕ )
Amplituda odezvy hmoty m na kinematické buzení
s ( ω ) =
Fázový posun proti pohybu základu je
0
h
Ω +
2
0
( 2δω
)
2 2
( Ω0
− ω ) + ( 2δω)
2
0
2
2 2
⎛ ω ⎞
2bp
⎜ ⎟
Ω0
ϕ = −arctg
⎝ ⎠
2
ω
1−
1 4
Ω
3
2
( − bp
)
(10.25)
(10.26)
h
ω
Pro netlumený pohyb je s = , kde η = . Amplitudová charakteristika je na obr.
2
1 − η
Ω0
10.9. Po překonání rezonanční frekvence Ω tedy amplituda odezvy s frekvencí ω již klesá.
Přitom čím je větší tlumení, tím je toto klesání pomalejší. Proto např. při pružném uložení
náprav (tj. bez tlumičů) je po překonání kritické rychlosti možná jízda po roletě i velkou
rychlostí
V nadrezonanční oblasti při vyšších hodnotách
kapalinového tlumiče b p tedy dochází k vyšším
hodnotám výchylek než u nízkých hodnot tlumení
b p .
Obr. 10.9
169

170
10-Lineární kmitání
10.3.4 Odezva mechanické soustavy na impulsní buzení
Často se setkáváme s případem, že k rozkmitání mechanické soustavy dojde náhlým
přiložením síly, která působí po zanedbatelně krátkou dobu tj. po matematické stránce má
charakter δ-funkce. Jde o rázové buzení, kterému říkáme impulsní buzení. Při podkritickém
tlumení je odezvou na rázové působení zatlumená sinusoida ve tvaru určeném vztahem
(10.15e). Vzhledem k tomu, že spektrum δ-funkce obsahuje všechny frekvence, pak
z principu superposice vyplývá, že Fourierovou transformací odezvy na rázové buzení
můžeme zjišťovat hodnoty odezev soustavy na jednotlivá harmonická buzení tj. můžeme
zjišťovat průběhy amplitudových křivek zmiňovaných v odstavci (10.3.1) na základě
zpracování jednoho měření. Pomocí odezvy na jednotkový impuls lze určit odezvu i na
obecný průběh budící síly F(t) pomocí konvoluce
( )
τ
∫ τ
−δ
( −τ
)
Ω0
τ τ
(10.27)
1 t
y t = F( )e sin ( t − )d
mΩ
10.3.5 Zjišťování frekvenčních charakteristik mechanických soustav
0 0
Frekvenční charakteristiky mechanických soustav zjišťujeme buď z odezvy při buzení
harmonickou silou s proměnnou frekvencí (amplituda budící síly je přitom pro všechny
frekvence stejná) nebo z analýzy odezvy na impulsní buzení. Ke zjištění odezvy přitom
používáme buď aktivní snímače (pracují jako generátory určité elektrické veličiny-náboje,
napětí, proudu) nebo pasivní (potřebují externí napájení, přičemž se hodnota dodávané
elektrické veličiny mění). Přitom snímače mohou měřit absolutně (tj. snímač je spojen přímo
se zkoumaným tělesem) nebo relativně (1 konec je spojen se zkoumaným tělesem a druhý
konec s jiným dalším tělesem). Z hlediska vyhodnocovaných veličin rozeznáváme snímače
kapacitní (sledovaná elektrická veličina je kapacita, mechanická je poloha), odporové
(sledovaná elektrická veličina je odpor, mechanická je přetvoření), laserové (sledovaná
elektrická veličina je napětí, mechanická je okamžitá poloha), indukční (sledovaná elektrická
veličina je napětí, mechanická je rychlost), induktanční (sledovaná elektrická veličina je
napětí, mechanická je poloha) a piezoelektrické (sledovaná elektrická veličina je náboj,
mechanická je zrychlení)
170