10 Dynamika -Linearni Kmity

164
10-Lineární kmitání
iii)
počáteční fázi a závislost výchylky na čase x=x(t).
Určete periodu kmitu.
Obr. 10. 5
Řešení: V rovnovážné poloze je direkční síla od pružiny rovna složce tíže do směru
mg sinα
nakloněné roviny tj. xst
= l0 − l1
= . Položíme počátek do rovnovážné polohy a
k
orientujeme osu x ve směru vzhůru nakloněné roviny. Jestliže hmotný bod posuneme
z rovnovážné polohy o délku x směrem vzhůru, dojde ke zmenšení direkční síly o hodnotu kx.
Pohybová rovnice tedy bude mít tvar:
k( l0 − l1
) − kx − mg sinα
= mx
ɺɺ
Tj. platí:
k
ɺɺ+ x x = 0
(a)
m
Řešení pohybové rovnice (a) předpokládáme ve tvaru:
k
x( t) = xm
⋅ cos( Ω0t
+ ϕ
0 ) , kde Ω
0
= je vlastní frekvence, x m je maximální výchylka
m
kmitů a ϕ 0 je počáteční fáze.
Počáteční podmínka: v čase t = 0 : x0 = ∆x a v0
= 0.
x0
⎫
x0 = xm
⋅ cos ϕ0 , tedy cosϕ0
= > 0 ⎪
xm
⎬ ϕ0
= 0.
v0 = −Ω0 ⋅ xm
⋅ sin ϕ0 , tedy sinϕ0
= 0 ⎪
⎭
Pro ϕ
0
= 0 je cosϕ 0
= 1 a tedy xm
= ∆x
.
k
x( t) = xm
cos ⋅t,
m
k 50
Ω
0
= = = ⋅
−3
m 100⋅10
x = ⋅ ⋅
ad iii) perioda kmitu:
2 π
T = ,
Ω
−2
4,5 10 cos 22 t.
0
2π
T = = 0, 29 s.
22
10. 3 Volné kmity tlumené
−1
22 rad s ,
Vlastní kmity tlumené nastávají v případě, že kromě direkční síly F=-kx působí síly odporu
prostředí F
o
. Přitom se hlavně jedná o Stokesovo tlumení tj. síly viskózní v kapalinách.
Coulombovo tření (které je úměrné kolmému tlaku a které je doprovázeno rychlým
opotřebením pohybujících se součástí) bývá u kmitajících soustav eliminováno mazáním,
164