Dynamika-Souhrn Vzorců

SOUHRN VZORCŮ Z DYNAMIKY
Označení zkratek: PR=pohybová rovnice;HB=hmotný bod; SHB=soustava hmotných bodů; TT=tuhé
těleso; STT=soustava tuhých těles;
PR pro HB (2. Newtonův zákon):
zrychlení a=a a tj. je vůči rámu
DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
dh
d( m v )
F
= = = ma
. Zápis F znamená F = ∑ F i
,
dt ∆t
∑
x : F = ma = mx ɺɺ
ix
x
Ve složkách při pohybu po neznámé dráze:
∑
y : F = ma = my ɺɺ
iy
y
∑
z : F = ma = mz ɺɺ
iz
z
Hybnost bodového tělesa h = m v. Pro F = 0 je h = const.
(1. Newtonův zákon)
t2
Impuls síly: I = ∫ F( t)
dt = h2 - h1
= m( v2 − v1)
. Použití: Znám F(t), v 1, t 1 , t 2 , dovodím v 2
t1
Jsou-li vazby takového charakteru, že HB koná rotační pohyb kolem stálé osy otáčení o, pak
Moment hybnosti bo
= ( r x mv ) , kde r je průvodič HB od počátku souřadné soustavy
s počátkem na ose rotace o
d
o
Pro HB konající rotační pohyb platí: Mo
= b , Mo
= r x F , zápis znamená Mo
= ∑ M
dt
oi
Impuls momentu
t2
o
=
odt =
o2 o1
t1
L ∫ M b - b . Použití: Znám M o (t), ω 1, t 1 , t 2 dovodím ω 2
B
A A B B
Zákon zachování mechanické energie: E + E = E + E + ∫ F ds . Použití:Přemisťování
k p k p
těles v potenciálovém poli (gravitačním, pružiny apod.). Např. znám v A , počáteční a koncovou
polohu, prošlou dráhu, F tř a -dovodím v B . Při napnutí nebo stlačení pružiny o délku x je změna
potenciální energie pružiny E p =kx 2 /2, při zvednutí tělesa v gravitačním poli o h je změna
potenciální energie gravitačního pole ∆E p =mgh, při poklesu výšky je změna ∆E p =-mgh
D´Alembertův princip pro bodové těleso: V soustavě spojené s pohybujícím se bodovým
S
tělesem je rovnováha mezi působícími akčními silami a silami setrvačnými : F + F = 0 , kde
S F = −ma je výsledná síla setrvačná (doplňková). Čili PR bodového tělesa můžeme také
konstruovat z rovnováhy mezi silami akčními a silami setrvačnými (tzv. kinetostatika).
Pohybové rovnice při složeném pohybu HB:
V případě, že chceme zjistit HB zrychlení vůči pohybujícímu se tělesu, pak vztažná soustava
spojená s tímto pohybujícím se tělesem je neinerciální (její počátek akceleruje nebo soustava
A A A A
rotuje nebo oboje). Pak PR je dána vztahem: F + S F + S F + S F + S F = a A , kde
A
O odstř E C
m
tř
r

S A
F
O
A
odstř
= −ma je setrvačná síla unášivá počátku vztažné neinerciální soustavy,
O
S F = ( A
−mω x ω x r ) je setrvačná síla normálová (odstředivá),
S A
F = −mα xr je
A
setrvačná síla tečná (Eulerova),
S A
A
F
C
= −2mω x v
r
je setrvačná síla Coriolisova, ar
je
relativní zrychlení bodu A vůči neinerciální soustavě. Slovy: V případě neinerciální
soustavy) musíme k silám působícím na HB přidat i síly setrvačné. Použití: Určení
relativního zrychlení při relativním pohybu HB vůči pohybujícímu se tělesu, nalezení
působících sil při definovaném pohybu HB.
=================================================================
Celková hybnost SHB:
DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
∑ i ∑ m
T
, kde v T je rychlost pohybu těžiště. Časová
H = h = v
změna hybnosti SHB je rovna výslednici F všech vnějších sil působících na SHB:
1.impulsová věta pro SHB: ( )
součtem impulsů působících vnějších sil.
A
E
dH = F
dt
H = ∫ F t dt -Změna hybnosti soustavy hmotných bodů je dána
Platí: Vnitřní síly nemají vliv na pohyb SHB. Pokud je soustava hmotných bodů v nějakém
směru izolována od okolí (např. žádné síly nepůsobí ve směru x), pak H = m v = konst.
∑
x i xi
Použití: Dva HB se srazí pružně, pak zákon zachování hybnosti kombinuji se zákonem
zachování energie a určím rychlosti obou bodů po srážce. Pokud se body srazí zcela nepružně
tj. spojí se během srážky do jednoho tělesa, pak rychlost tohoto tělesa určím ze zákona
zachování hybnosti (neznám deformační síly, impuls vnějších sil je však nulový)
dH
Platí: = ma T
- při sledování pohybu SHB ji můžeme nahradit jedním hmotným bodem
dt
ležícím v těžišti T.
∑
Celkový moment hybnosti SHB: B
o
= boi
, časová změna výsledného moment hybnosti
SHB je rovna výslednému momentu M o od všech působících vnějších sil d B = M .
dto
2. impulsová věta- ( )
L t dt
O
= ∫ M
O
-Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů (k
bodu O) je dána součtem impulsů momentů vnějších sil k bodu O. Použití: Dochází-li u
rotující soustavy SHB ke změně vzdálenosti jednotlivých bodů od osy rotace, z konstantní
celkové hybnosti zjistím změnu úhlové rychlosti rotace.
1 2 1 2 1 2
Celková kinetická energie SHB: Ek = ∑ m
jv j
= m vT + ∑ m
jv
jT
Slovy: Kinetická
2 2 2
energie SHB je součtem kinetické energie hmoty soustředěné v těžišti a kinetické energie
rotací jednotlivých bodů kolem těžiště.
==================================================================
DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA
o

Míru pohybu při rotačním pohybu TT kolem stálé osy otáčení o určuje moment hybnosti
2
tělesa B = I ω , kde I = ∫ r dm je moment setrvačnosti tělesa. Pro určení momentu
o
o
o
setrvačnosti TT vzhledem k ose o jdoucí mimo těžiště používáme Steinerovu větu:
2
Io = IT + mroT
. Pro TT platí impulsové věty i vztah pro E k . Použití: Dvě TT jsou v kontaktu a
u jednoho z těles se mění velikost nebo směr momentu hybnosti působením jen vnitřních sil
(např. jedno těleso roztáčí druhé působením třecích sil). Moment vnějších je tedy nulový,
položím B o1 =B o2 a zjistím ω 2 druhého tělesa na konci děje. Ztrátovou energii (práci vnitřních
sil) určím z rozdílu energií E k2 -E k1 .
V dynamice je pohyb TT rovinný, jestliže trajektorie bodů leží v rovnoběžných rovinách,
těleso má rovinu symetrie kolmou na osu rotace bodů a silové zatížení je podle této roviny
symetrické.
Pohybové rovnice při translačním pohybu tělesa:
Vektorový zápis: F = ma , M 0
T
T =
PR ve složkách pro přímočarý translační rovinný pohyb:
∑ Fix
= maTx
, F = iy
maTy
i
i
∑ , ∑( M Ti ) = ( x F i yi
− y F i xi ) = 0
z ∑ .
PR pro křivočarý translační rovinný pohyb ve složkách:
i
i
PR ve složkách pro křivočarý translační rovinný. Zpravidla je vhodné použití přirozených
souřadnic. Pak:
∑ Fin
= maTn
, F = it
maTt
i
i
∑ , vztažný bod T : ( M
Ti ) = 0
b
∑ , kde binormála b = τ x n
Jako vztažný bod u momentové pohybové rovnice lze také použít libovolný bod B
∑ ( M
Bi ) = yT ma
z
T x
− xT maT y
resp. ∑ ( )
i
i
i
M = t ma − n ma
Bi b T T n T T t
≠ T :
kde x T
, y T
jsou kartézské souřadnice resp. t T
,n T
jsou přirozené souřadnice bodu T lokálních
souřadných systémů s počátkem v bodě B.
Použití: Translační složkové rovnice zpravidla používáme pro určení zrychlení těžiště tělesa,
rotační složkovou rovnici pro určení reakcí (např. zjištění prokluzu hnacích kol, zvedání
předních kol u rozjíždějících se automobilů, diskusi překlápění těles apod.)
Poznámka: Na pracovním schématu vektor a T je orientujeme ve směru pohybu.
PR pro rotačně symetrické TT rotující kolem pevné osy symetrie procházející těžištěm:
dBT
F = 0,
MT
= =
IT
α
dt
∑ ix ∑ iy ∑ Tz T
Použití: První dvě složkové rovnice
Ve složkách F = 0 , F = 0 , M = I α
používáme ke zjištění zatížení ložisek (např. při obrábění); třetí rovnici pro určení úhlového
zrychlení α.
PR pro TT konající obecný rovinný pohyb: : F=ma T , M T =I T α
Ve složkách při přímočarém pohybu těžiště : F = m a , F = m a , M = I α .
x Tx y Ty Tz T z

Ve složkách při křivočarém pohybu těžiště (včetně pohybu rotačního kolem osy
neprocházející těžištěm) : F
t
= m a
T t
, F
n
= m aT n,
M
T
= IT
α .
Poznámka: Pokud jsou vektory a T a α neznámé veličiny, pak na pracovním schématu je
orientujeme ve směru pohybu. Kinetická energie TT konající obecný rovinný pohyb
1 2 1 2
: Ek
= mv +
ITω
2 2
S
( F + F ) = 0
D´Alembertův princip pro TT:
S
( M
T
+ MT ) = 0
, kde S
S
F = − m aT
, MT
= − IT
α . V
soustavě spojené s pohybujícím se tělesem je rovnováha mezi působícími akčními silovým
účinky a silovými účinky setrvačnými.
Použití:Pracujeme jako ve statice, při sestavování rovnic kinetostatické statické rovnováhy,
do pracovního schématu zakreslíme i setrvačné silové účinky (orientujeme proti smyslu
posunutí a pootočení těles). Vhodné u úloh, kde je zadáno zrychlení a hledáme silové účinky.
PR pro rovinné STT uvolňováním-soustavu „rozpojíme“ a pro každé těleso napíšeme PR,
soustavu rovnic doplníme o kinematické vztahy tak, aby souhlasil počet rovnic a počet
neznámých (vztahy pro pasivní odpory zpravidla vkládáme do konstruovaných PR).
PR pro rovinné STT s 1 0 V - metoda redukce silových a hmotových veličin: Soustava má
1 0 V. Řešíme pohyb myšleného tělesa, které se pohybuje shodně se zvoleným členem, na
který redukujeme. Tento člen přitom může konat budˇ rotační pohyb nebo posuvný pohyb .
Pak platí F red =m red a nebo M red =I red α. Redukované veličiny m red nebo I red určíme z podmínky
E = E
, F red nebo M red z podmínky
[ k
] skutečná
[ k
] redukovaná
N
N
P
P
∑ F
i
r
i ∑ M
i i
i = 1 i = 1
δ A = δ A = δ + δ ϕ ,
r e d
kde F
P
i
s k u t e č n á
, M
P jsou pracovní silové účinky (např. síly tíže v těžištích, pohony motorů působící na
i
kola apod.) působící na soustavu a δr i , δφ i jsou virtuální přemístění v místech působišť
pracovních silových účinků. Virtuální pohyby ve většině případů odpovídají pohybům
skutečným tj. pohybům možným v rámci vazeb-zjistíme tak, že soustavou myšleně pohneme.
Pro soustavy s konstantními převody všechna virtuální přemístění vyjádříme pomocí
přemístění členu na který redukujeme (používáme přitom podmínku valení, vztahy mezi
rychlostmi, variaci závislostí mezi souřadnicemi apod.)
PR pro STT-obecná rovnice dynamiky:
N N N N
P P S S
∑ Fi ri ∑ M
i i ∑ Fi
ri ∑ M
i i
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
δ A = δ + δϕ + δ + δϕ = 0
Soustava se pohybuje tak, že součet virtuálních prací pracovních a setrvačných silových
účinků je v každém okamžiku roven nule.
PR pro STT -Lagrangeovy rovnice II při n 0 volnosti :
d ⎛ ∂ L ⎞ ∂ L
− = Q
j
, L = Ek − Ep
d t ⎜
q ⎟
⎝ ∂ ɺ
j ⎠ ∂ q
j
Postup: Nejprve ze všech parametrů r i , φ i popisujících pohyby jednotlivých členů
mechanismu zvolíme základní souřadnice q j (j=1,2…n 0 V) a najdeme vztahy
( ) ϕ ϕ ( )
ri = ri q
j
,
i = i
q
j
. Rychlosti všech pohybů pak vyjádříme pomocí všech qɺ
j
, najdeme

k k ( j )
nepotenciálových silových účinků δ A = ∑Q δ q
= ∑ δ
+
∑
konstantních převodů pro δ ri = δ ri ( δ q
j ) , δϕi = δϕi ( δ q
j )
E = E qɺ . Zobecnělé síly nepotenciálové Q j určíme z virtuální práce pracovních
P
P
∑ j j ∑ Fi ri ∑ Mi δϕ i
. V případě
= = platí mezi virtuálními posunutími
stejné vztahy jako mezi souřadnicemi resp. rychlostmi, u nekonstantních převodů tyto vztahy
najdeme pomocí variací.
k
Vlastní kmity netlumené: ɺɺ x + x = 0 . Řešení x=x 0 sin(Ω 0 t+ϕ 0 ), Ω
0
=
m
k
Vlastní kmity tlumené: ɺɺ x + 2δ
xɺ + x = 0 nastávají v případě, že kromě direkční síly F=-kx
m
b
působí Stokesovo tlumení (viskózní síly v kapalinách) Fo
= −b xɺ , δ = je součinitel
2m
−δ
t
2 2 2 δ
doznívání. Řešení x = xme sin( Ω t + ϕ0
) , kde Ω = Ω0 − δ = Ω0 1− br
, b p
= Ω
Vynucené kmity buzené harmonickou silou:
k
m
2 F( t ) F
ɺɺ x + 2δ
xɺ + Ω0
x = = 0 sin ω t
m m
Řešení x = xh + x
p
,xp
= s0 sin( ωt + ϕ0
). Při podkritickém tlumení ( b
p
〈 1) řešení homogenní
x h po čase zaniká a amplituda vynucených harmonických kmitů je dána řešením partikulárním
F0
x p tj. : s0
=
, kde fázový úhel ϕ mezi výchylkou a budící silou je
2 2 2 2
m ( Ω − ω ) + ( δω )
0
2
2δω
ϕ = −arctg
. Bez tlumení ( δ = 0 ) v rezonanci ( ω = Ω
2 2
0
) amplituda kmitů s časem
Ω0
−ω
F0
neustále narůstá tj. x( t ) = t sin Ω0t
. Pod rezonancí tlumíme zvýšením tuhosti, v oblasti
2Ω0m
rezonancí zvýšeným tlumením, nad rezonancí zvýšením hmotnosti.
Vynucené kmity buzené rotující hmotou m 1 s excentricitou e:
2
2 F( t ) m1eω
sinωt
0
ɺɺ x + 2δ
xɺ
+ Ω = = . Amplituda ustálených vynucených kmitů
m m
2
m1
eω
s0
=
2 2 2 2
m ( Ω − ω ) + ( δω )
0
2
Kinematické buzení hmoty m buzením od pohybujícího se základu s amplitudou pohybu h:
Pohybová rovnice: −b( xɺ − x ɺz ) − k( x − x
z
) = mx ɺɺ . Tuto rovnici lze pro harmonický pohyb
základu
p
0
x = h sinωt
upravit na tvar
z
ɺɺ x + 2δ xɺ
+ Ω x = bhω cosωt + kh sinωt
. Řešení
x = s sin( ωt + ϕ ). Amplituda odezvy na kinematické buzení je
s
0
=
⎛ ω ⎞
h 1+ ⎜ 2bp
⎟
⎝ Ω0
⎠
2 2
2
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎜1− 2b
2 ⎟ + ⎜ p ⎟
Ω Ω
0
0
⎝
⎠
⎝
2
⎠
2
0
⎛ ω ⎞
2bp
⎜ ⎟
Ω0
, fázový posun je ϕ = −arctg
⎝ ⎠
2
ω
1−
1−
4b
2
Ω
0
3
2
( p )
0
Změněn kód pole

h
ω
Pro netlumený pohyb je so
= , kde η = . Po překonání rezonanční frekvence Ω
2
0
1 − η
Ω
0
amplituda odezvy s frekvencí ω již klesá (při pružném uložení nápravy kola je možná jízda po
roletě i velkou rychlostí)