5 Dynamika Bodoveho Telesa

15- Dynamika Bodového TělesaDYNAMIKADynamika-úvodDynamika je třetím oborem technické mechaniky těles. V rámci dynamiky studujemehlavně pohyby a vzájemné interakce mezi tuhými tělesy pohybujícími se jako celeks nenulovým zrychlením. Pro její aplikace je tedy nezbytné kromě zvládnutí popisu silovýchúčinků při jejich působení na tělesa umět popsat i pohybové stavy těles tj. kinematiku.Základními veličinami s kterými se v dynamice pracuje jsou síly, prostor, čas a jako parametrgeometricko- hmotnostní charakteristiky těles. Na závěr kursu dynamiky jsou však takéuvažovány důsledky deformací těles tj. popsán vznik a charakter kmitání reálných těles.Ve statice základní úlohou bylo nalezení vztahů mezi působícími silovými účinky zapředpokladu že zrychlení studovaných těles jsou nulová. Síly zde měly přitom hlavně význammíry interakce mezi tělesy při jejich vzájemném kontaktu. Pro řešení úloh měly ve staticezákladní význam rovnice statické rovnováhy, které umožnily rozhodnout zda při danémsilovém působení a daném uložení jsou studované hmotné objekty (tělesa, soustavy těles)v klidu nebo pohybu s konstantní rychlostí.V dynamice zkoumáme tělesa aniž bychom předem omezovali jejich pohybový stav tj.zrychlení těles jsou obecně různá od nuly, působící síly pak mají hlavně význam jako příčinyzměn pohybového stavu těles. Základní úlohou dynamiky je nalezení vztahů mezi působícímisilovými účinky a vyvolanými pohyby tj. sestavení pohybových rovnic.Z formálního hlediska tvar základních vztahů tj. rovnic statické rovnováhy a rovnicpohybových existuje jistá formální analogie tj. na statiku se můžeme dívat jako na zvláštnípřípad dynamiky. Po matematické stránce se však obě discipliny liší tím, že statika pracuje sesystémy rovnic algebraických, zatímco dynamika se systémy rovnic diferenciálních. Z tohotaké okamžitě vyplývá obtížnost hledání řešení pohybových rovnic, kdy často je možné naléztřešení jen numericky za pomoci počítače. Další odlišností proti statice souvisí s tím, žev některých případech je nutné pracovat i se soustavami neinerciálními tj. se soustavami, kterévůči nehybnému pozorovateli rotují nebo jejich počátek zrychluje. V těchto soustavách pakmusíme kromě „standardních“ působících silových účinků známých ze statiky uvažovat isilové účinky související s neinerciálností vztažné soustavy tj. setrvačné síly a setrvačnéROVNICE STATICKÉ ROVNOVÁHYPOHYBOVÉ ROVNICEΣF i =0 - silová podmínka statickérovnováhyΣM oi =0 - momentová podmínkastatické rovnováhy vzhledem k ose oΣF i =ma – pohybová rovnice protranslační pohyb tělesaΣM oi =I o α - pohybová rovnice prorotační pohyb tělesa kolem stálé osy otáčení-1-

25- Dynamika Bodového Tělesamomenty.Dynamika je tedy svým způsobem jakousi syntézou statiky a kinematiky. Prozvládnutí řešení dynamiky je proto nezbytná znalost základních úloh těchto disciplin, a tozejména zvládnutí procesu uvolnění těles, zjišťování reakčních silových účinků, popispůsobení pasivních odporů a řešení úloh na zjišťování zákonů pohybu při zadaném zrychlení.Z hlediska matematiky jsou nezbytné základní znalosti řešení diferenciálních rovnic.Základní úlohy dynamiky jsou členěny na přímé, kdy hledáme pohyby těles připůsobení zadaných silových účinků, a nepřímé (inverzní, kinetostatické), kdy hledáme síly,které definovaný pohyb způsobily. Pro formulování základních principů dynamiky bylonezbytné zvládnutí přesného měření času (proto principy dynamiky byly formulovány později(17.st.) než principy statiky (jejíž počátky základní principy byly známy již ve starověku).Různé je také pojetí hmoty těles. Ve statice je hmotnost těles chápána pouze jako veličinaurčující gravitační sílu mezi tělesy, v dynamice hmotnost těles je nejen mírou gravitačníchúčinků ale i mírou setrvačných účinků tj. vyjadřuje „odpor“ těles vůči změně rychlosti.Při sestavování pohybových rovnic můžeme postupovat dvěma způsoby. V případěvektorové mechaniky (Newton, D’Alembert, Galileo Galilei – přelom 17. a 18.stol.) skládámevektorově působící síly a momenty a dáváme je do relace s vyvolanými pohyby podle 2.Newtonova zákona, podobně jako ve statice přitom používáme princip uvolňování. Poněkudjiný přístup konstrukce pohybových rovnic používá mechanika analytická (Lagrange, Euler,Leibnitz 2.pol. 18.st.), která vychází ze skalárních veličin (práce, energie apod.) a pohybovérovnice dovozuje z variačních principů. Každý z obou přístupů má své výhody a nevýhody.Předností vektorové mechaniky je její názornost, častými zdroji chyb však bývají znaménkapři zápisu složek vektorů v pohybových rovnicích. Pro složitější soustavy těles jsou takésystémy pohybových rovnic již značně komplikované a jejich řešení vyžaduje použitípočítače. Proto pro složitější soustavy s velkým počtem stupňů volnosti popř. v případech,kdy nás nezajímají hodnoty reakcí, je výhodnější používání metod analytické mechaniky.Z variačních principů analytické mechaniky také vychází v současné době velmi často vestrojírenství používaná numerická metoda konečných prvků ( MKP).-2-

35- Dynamika Bodového Tělesa5 Dynamika hmotného boduZákladní zjednodušení reálných těles je jejich nahrazení hmotným bodem (bodovým tělesem).Z hlediska dynamiky je hmotný bod modelem reálného tělesa, které koná translační pohybpod působením centrální silové soustavy, jejíž výslednice prochází v těžištěm. Rozloženíhmotnosti pak není podstatné, tělesa mohou mít libovolný rozměr, např. za hmotný bodmůžeme považovat auto, velkou loď, letadlo apod. Hmotný bod tedy nemá rozměry, celkováhmotnost je lokalizovaná do těžiště. Pro takto pojatá tělesa platí Newtonovy pohybovézákony, které jsou základem vektorové mechaniky.5.1 Newtonovy pohybové zákonyZákon setrvačnosti (první pohybový zákon):Nepůsobí-li na těleso žádná vnější síla, zůstává těleso v relativním klidu nebo se pohybujerovnoměrně přímočaře. Jde o kvalitativní definici síly jako příčiny změny pohybového stavu.Matematicky můžeme 1. Newtonův zákon vyjádřit pomocí vztahu:Je-li F = 0 je v = konst .(5.1)Pro charakterizaci pohybového stavu při translačním pohybu („mírou pohybu“) Newtonzavedl pojem hybnosti jako součin hmotnosti tělesa a rychlostih=mv . (5.2)Přímočarý rovnoměrný pohyb je tedy charakterizován konstantní hybností. Prvnípohybový zákon tedy říká, že bez vnějšího působení zachovává těleso svou hybnost tj.pohybuje se rovnoměrně přímočaře.Zákon síly (druhý pohybový zákon): .Časová změna hybnosti hmotného bodu je úměrná působící síle a má stejný směr jakopůsobící síla. Jde o kvantitativní definici síly, která dává do relace vnější sílu a vyvolanézrychlení. Druhý Newtonův zákon je základním zákonem klasické mechaniky.Působí-li tedy na těleso po dobu ∆t konstantní působící síla F, pakJe-li hmotnost m konstantní, pak∆p∆( m v )F = = . (5.3)∆t∆t∆vF = m(5.4)∆ ta v limitě můžeme psátF = ma , (5.5a)kde a je zrychlení tělesa. Jestliže na bodové tělesio působí více sil, pak výslednice jeurčena vektorovým součtem všech působících sil tj. FV= ∑F i. V tomto obecném případě-3-

45- Dynamika Bodového Tělesapak vztah mezi výslednicí centrální soustavy působících sil a vyvolaným zrychlením můžemezapsat ve tvaru∑Fi= ma (5.5b)Zrychlení hmotného bodu je tedy určeno výslednicí všech působících sil.∑FiObr. 5.1 Působící síly a vyvolané zrychlení hmotného boduDruhý Newtonův zákon (5.5) neplatí v libovolné soustavě souřadnic, ale platí jenv inerciálních soustavách tj. soustavách které ani nerotují a ani jejich počátek se nepohybujeAzrychleně vůči nehybnému pozorovateli. Hodnota zrychlení a bodového tělesa A (kterébychom naměřili v inerciální soustavě při působení vnější síly F) tedy odpovídá absolutnímuzrychlení a zavedenému v kinematice. Příkladem inerciální soustavy je např. soustavaAaspojená se stálicemi. Z hlediska technické mechaniky však takovému požadavku zpravidlavyhovují i soustavy spojené s rámem tj. s povrchem zemským.Zákon akce a reakce (třetí Newtonův zákon):Akce a reakce jsou síly stejně velké, mají společnou nositelku, ale jsou opačně orientované.Každá síla působící na těleso z vnějšku (akce) vyvolává stejně velkou, opačně orientovanousílu (reakci).Poznámka: Zákon akcee a reakce přitom platí jak v případě přímého kontaktu mezi tělesy,tak i pro působení mezi tělesy na dálku prostřednictvím silových polí.5.2 Newtonův gravitační zákonDefinuje velikost přitažlivé síly mezi dvěma tělesy. Tělesa o hmotnostech m 1 , m 2 sevzájemně přitahují silou velikosti FFm1 m2= κ , (5.5)2rkde r je vzdálenost mezi těžišti obou těles.K tomuto zákonu dospěl Newton dedukcí na základě výsledků astronomických pozorování. Pohybuje-li seplaneta rovnoměrně po kruhové dráze kolem Slunce, pak mezi nimi musí působit síla, která leží stále vespojnici těchto dvou těles. Velikost této síly podle 2. Newtonova zákona je úměrná velikosti radiálníhozrychlení a, kterou můžeme vyjádřit pomocí poloměru dráhy r a úhlové frekvence ω-4-

55- Dynamika Bodového Tělesa2 2v 2 4πa = = rω= r , kde T je doba oběhu planety. (a)2r TSíla, kterou působí Slunce na planetu hmotnosti m, má velikost24πF = ma = m r , kde m je hmotnost planety. (b)2T2 3T krDosadíme-li do této rovnice 3.Keplerův zákonna tvarFmkr2= , kde k je konstanta, pak rovnici (a) můžeme přepsat= . (c)Podle zákona akce a reakce planeta také působí na Slunce silou stejně velkou, ale opačně orientovanou.Tato síla má velikost24πMF´ = M2Tr = k´2r, kde M je hmotnost Slunce. (d)F = F , tj.Dále platí ´položíme-liTedy km Mk = k´ ⇒ km = k´M , (e)2 2r rκ = k k´M= m, kde−11κ = 6, 67.10 N . .m 2 . kg -2 je gravitační konstanta.= κ M a rovnici (a) můžeme přepsat na tvarMmF = κ . (f)2rTento výsledek zobecnil Newton pro libovolná dvě tělesa.Tíha tělesa na povrchu Země je výslednicí gravitační síly mezi tělesem a Zemí aodstředivé síly určené rotací Země. Proto je tíha tělesa největší na pólech a nejmenší narovníku. Pro strojírenskou praxi můžeme působení odstředivé síly zanedbat a pro tíhovou(gravitační) sílu F g na povrchu zemském můžeme předpokládat že směřuje do středu země aje rovna hodnotěFgZ= mg0, kde g0 2RZM= κ(5.6)kde κ je gravitační konstanta, M Z je hmotnost Země a R Z je poloměr Země, g 0 je tíhovézrychlení na povrchu Země. Pro hodnotu normálního tíhového zrychlení na povrchuzemském platí g 0 =9.81 m/s 2 . Se zvyšováním nadmořské výšky h se hodnota tíhovéhozrychlení snižuje, protože roste vzdálenost mezi tělesem a středem Země. Ve výšce h je sílatížemMzFgh= κmg2 0∆h( Rz+ h )≐ (5.7)Vydělením vztahů (5.6) a (5.7) pak dostáváme pro změnu tíhového zrychlení vztah2RZg( h)=( R + h)Z2g0(5.8)-5-

65- Dynamika Bodového Tělesa5.3 Sestavování pohybových rovnic pro hmotný bod podle 2. Newtonovazákona5.3.1 Zápis pohybových rovnic pro hmotný bod ve složkáchHledání vztahů mezi působícími silovými účinky a vyvolanými zrychleními těles tj.sestavování pohybových rovnic je jednou ze základních úloh dynamiky. K sestavenípohybových rovnic pro hmotné body používáme 2.Newtonův zákon F = ma , kde F jevýslednice všech sil působících na bodové těleso. Při pohybu volného hmotného bodu, nakterý působí síly obecného směru, nelze obvykle o charakteru pohybu nic říci předem.V takovém případě volíme zpravidla pravoúhlý kartézský souřadný systém O xyz. . Působící síluF rozkládáme na složkyrozkládáme i složky zrychlení naF , F , F ve směru souřadnicových os (obr 5.2) a podobněxyxza , a , a .yzVektorovou pohybovou rovniciObr. 5. 1∑Fi= ma (5.9)pak můžeme rozepsat do třech rovnic složkových:∑x : F = ma = mx ɺɺixx∑y : F = ma = my ɺɺiyy(5.10)∑z : F = ma = mz ɺɺizz-6-

75- Dynamika Bodového TělesaJde o řešení simultánních diferenciálních rovnic druhého řádu. Jejich analytické řešení lzenalézt integrováním každé z rovnic samostatně pouze pro případ, kdy F i jsou konstantní nebojsou-li pouze funkcemi času.Z pravidla v úlohách dynamiky vyšetřujeme pohyby těles na základě daných akčníchsilových účinků. Abychom při zápisu složkových rovnic předešli chybám ve znaménkách, jevhodné účelně volit vztažnou soustavu. Např. pokud pohyb je přímočarý, ztotožníme směrpohybu s některou z os kartézského souřadného systému a volíme kladný směr této osy tak,aby souhlasil se směrem pohybu (ten je určen směrem vektoru rychlosti). V případě nejasnosti(např. směr rychlosti se mění nebo není definovaný), pak kladný směr souřadné osy volíme vesměru odečítání výchylky (např. u harmonického pohybu). Vektor zrychlení pak dopracovního diagramu kreslíme jako vektor souhlasně kolineární se souřadnou osou.V případě, že je jeho skutečná orientace je opačná (tj. pohyb je zpožděný), pak souřadnicevektoru zrychlení nám ve výsledku vyjde záporná.V případě rovinného pohybu bodového tělesa po známé dráze nebo při pohybu boduvázaného k dané křivce je vhodné použít přirozený souřadný systém (vektor zrychlení ležív oskulační rovině a rozkládáme jej tedy jen do dvou složek). Složkové rovnice pak mají tvarpro tečný směr t:2d s∑ it=t= , (5.11)2F ma m dtpro normálový směr n:∑sɺ2Fin= man= m R, (5.12)kde R je poloměr oskulační kružnicea pro směr binormály b: ∑ Fib= 0 . (5.13)Při vyšetřování rotačních pohybů v rovině je někdy pohyb popsán pomocí souřadnicpolárních. Složkové pohybové rovnice pak mají tvarpro příčný směr ϕ: ∑ Fi= ma = m( ρϕ ɺɺ + 2 ɺ ρϕ ɺ ), (5.14)ϕ ϕpro radiální směr ρ:2∑ Fi= ma = m( ɺɺ ρ − ρϕ ɺ ) . (5.15)ρ ρU vázaných těles složkové pohybové rovnice pro směry, v kterých je pohyb možný(zrychlení jsou různá od nuly), budeme dále nazývat hlavní pohybové rovnice. Podobně jakove statice zavádíme pojem vlastní pohybové rovnice pro rovnice které neobsahují reakce.V případě, že hlavní pohybové rovnice obsahují reakce (např. rovnice pro pohyb se smýkánímobsahuje normálovou složku reakce), pak z těchto rovnic pak dostaneme rovnice vlastní,jestliže reakce vyjádříme z ostatních rovnic prostřednictvím zadaných působících sil. Hlavnívýznam vlastních pohybových rovnic je v tom, že z nich již lze přímou integrací řešit pohybtěles.-7-

85- Dynamika Bodového TělesaPoznámka : Pohybové rovnice (5.9) platí i pro tuhá tělesa (nezanedbatelných rozměrů vůčiokolí), jestliže tato tělesa konají čistě translační pohyb.5.3.2 Sestavování pohybových rovnic pro volný a vázaný hmotný bod podle2. Newtonova zákonaPohyb hmotného bodu může být volný nebo vázaný. Volný pohyb nastává, kdyžpohybující se hmotný bod není ve styku s žádným jiným tělesem. V tomto případěuvažujeme v pohybových rovnicích kromě akčních působících sil jen síly od okolí(potenciálové, odpor prostředí apod.) Při sestavování pohybových rovnic pro vázaná tělesatj. tělesa která jsou v neustálém kontaktu s rámem nebo okolními tělesy, postupujemepodobně jako ve statice tj. používáme princip uvolňování (tj. vazby nahrazujeme silovýmiúčinky). Při uvolňování těles přitom dodržujeme pravidla pro orientaci sil (např. tah lana musímířit z tělesa, opora musí mířit do tělesa, reakční moment kolem hran posouvajícího sehranolu musí mířit do tělesa, třecí síla proti směru relativního pohybu apod.). Pohybovérovnice zpravidla zapisujeme i pro složky pohybu, kde je hodnota zrychlení nulová - např. prohranol sesouvající se po nakloněné rovině to je směr kolmý na směr posuvu. To nám umožnízjistit hodnoty reakcí. V případě, že nám po vyřešení systému pohybových rovnic hodnota uněkterého z vypočítaných reakčních silových účinků vyjde záporná, měli bychom u takovéhoreakčního účinku přehodit směr. V případě, že to není možné (např. jestliže síla v laně bymířila do tělesa), není pak předpokládaný pohyb reálný.Příklad 5. 1 Sestavte pohybové rovnice rakety při zapnutých pomocných tažných motorechH, odpor prostředí F D =kv 2 .HF gObr. 5. 2Pohybová rovnice vevektorovém vyjádření je dána vztahemH + FD + Fg = ma-8-

95- Dynamika Bodového Tělesa2 2 2Pro velikost odporové síly platí F D =k ( xɺ + yɺ + zɺ ) a pro hodnotuxɺ yɺ zɺ souřadnic F D x= F Dcosα= F D , FD y= FD cos β = FD, FD z= FD cos γ = FD.vvvOrientujeme-li souřadnou soustavu tak, aby vektor rychlosti rakety směřoval z 1.kvadrantu,pak ve složkách pak platí:2 2 2x: − k xɺ ( xɺ + yɺ + zɺ) + Hx= mx ɺɺ2 2 2y: − k yɺ ( xɺ + yɺ + zɺ) − Fg + Hy= my ɺɺ2 2 2z: − k zɺ ( xɺ+ yɺ+ zɺ ) + Hz= mz ɺɺŘešením uvedené soustavy diferenciálních rovnic bychom dostali průběhy x(t), y(t), z(t), jimižby byla vyjádřena trajektorie v parametrickém tvaru. Vzhledem k tomu, že se jedná osoustavu simultánních, nelineárních diferenciálních rovnic 2.řádu, prakticky by bylo možnédosáhnout jejich řešení jen přibližnými metodami.Je-li pohybující se hmotný bod ve stálém styku s jiným tělesem, pak jde o pohybvázaný. V pohybových rovnicích pro uvolněné těleso pak kromě akčních sil uvažujeme ireakce vazeb. Jejich směr a orientaci přitom získáme metodou uvolňování, stejnýmzpůsobem jako ve statice. Uvolněný hmotný bod pak vyšetřujeme jako pohyb volný,k působícím silám přidáme i síly vazební. Jestliže z pohybové rovnice nezískámekompletní informace o pohybu, použijeme pro jeho úplný popis kinematické vztahy.Přitom orientace os souřadného systému použitého pro kinematické rovnice musí býtstejná jako souřadného systému použitého při konstrukci pohybových rovnic.Poznámka :Jestliže neznáme velikost a smysl některých souřadnic vektorů v nebo a , pak jez důvodu matematické jednoduchosti považujeme za kladně orientované tj. ve směru ospoužitého souřadného systému.Příklad 5. 2 Určete zrychlení hmotného bodu posouvajícího se po horizontální rovině připůsobení vnější síly o velikosti F působící pod úhlem α (obr.5.4), součinitel smykového třeníje f .Obr. 5. 3Řešení:Vektorová pohybová rovnice:F + T + N + G = ma .-9-

105- Dynamika Bodového TělesaRozložíme-li sílu na složku kolmou a tečnou k rovině pak ve složkách platíx : F cosα − T = may : F sinα + N − G = 0Pro normálovou sílu pak vychází: N = G − F sinα . Uvážíme-li že třecí síla: T = Nfdostáváme pro zrychleníF cosα−( G − F sinα) fa =.mPříklad 5. 3 Sestavte pohybovou rovnici hmotného bodu o hmotnosti m, který se posouvá ponakloněné rovině s úhlem sklonu α . Na bod působí vnější síla F v působící pod úhlemsvírajícím s nakloněnou rovinou úhel β, součinitel smykového tření je f (obr. 5.5) .Obr. 5. 4Řešení:Vektorová pohybová rovnice:G + F + N + F = a (a)vv tmx : F cos β − mg sinα− F = ma(b)tFvcos β − mg sinα− Nf = ma(c)Zrychlení ve směru osy y je rovno 0:y : Fvsin β + mg cosα − N = 0 ⇒ N = Fvsin β + G ⋅ cosαDosazením do (c) dostaneme vlastní pohybovou rovnici:v( β β ) ( α α )F cos − f sin − mg sin + f cos = ma(d)-10-

115- Dynamika Bodového TělesaPříklad 5. 4 Jakou silou F l je namáháno lano klece výtahu při rozjíždění a) směremnahoru; b) při rozjíždění směrem dolů; c) při zastavování klece při pohybu směrem dolů.Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a hodnota zrychlení (tj. jeho velikost) je vždy2a = 3 m/s ?Řešení: Vazbu lanem nahradíme silou F l . Ve všech 3 případech je zápis vektorovépohybové rovnice stejný tj. Fl+ G = ma . Kladný směr osy y volíme vždy podle směrupohybu, ve složkové rovnici pro směr y přiřazujeme znaménka souřadnic vektorů podleorientace průmětů do osy. Paka) Při rozjíždění ve směru nahoru jesouřadnice zrychlení a y =3 m/s 2y : Fl − G = may ⇒ Fl = m ⋅ g + may = m( g + ay)l( )F = 500 ⋅ 10 + 3 = 6500 NF lObr. 5.6aF lb) Při rozjíždění směrem dolů volíme směr osy y vesměru pohybu tj. dolů. Souřadnice vektoru zrychleníje opět a y =3 m/s 2 :y : − F + G = m a ⇒ F = mg − ma = m g − al( )( )l y l y yF = 500 ⋅ 10 − 3 = 3500 NyObr. 5.6 bc) Při zastavování pohybu směrem dolůje y-ová souřadnice zrychlení a y = - 3 m/s 2 :y : − F + G = m a ⇒ F = mg − ma = m g − al( )( )l y l y yF = 500 ⋅ 10 − ( − 3) = 6500 NaF lyObr.5.6c-11-

125- Dynamika Bodového TělesaPříklad 5. 5 Hmotný bod je zavěšen na nehmotném vlákně délky l. Určete dobu kyvu T k azávislost síly v laně na okamžité výchylce.Řešení: Jde o vyšetření pohybu hmotného bodu po vázané křivce – kružnici o poloměru l .Použijeme polární souřadnice s tím, že ρ=const.=lF lF gVektorová pohybová rovnice: Fg + Fl = ma . Použijeme polární souřadnice. Pak platív příčném směru ϕ : -mgsinφ= ma ϕ =m lϕɺɺa v radiálním směru ρ : -F l + mgcosφ=ma ρ = - m lPrvní ze složkových rovnic je vlastní pohybová rovnice (nejsou v ní neznámé složky reakcí) amůžeme ji využít pro určení kinematických závislostí. Po úpravách dostávámegɺɺ ϕ + sinϕ= 0lVzhledem k φ(t) jde o nelineární rovnici. Pro malé výchylky však můžeme předpokládatsin ϕ ≐ ϕ , takže původní rovnice se zjednoduší nagɺɺ ϕ + ϕ = 0lTo je rovnice harmonického pohybu. Pro řešení tedy můžeme psátφ=C.sin (ωt+γ).Dosazením do původní rovnice dostáváme2 gπ lΩ = , takže doba kyvu matematického kyvadla T k= = πlΩ gChceme-li určit sílu ve vlákně, vyjdeme ze složkové pohybové rovnice ve směruradiálním. Z ní dostáváme2F = ml ɺ ϕ + mg cosϕ.lObr. 5. 72ϕɺ-12-

135- Dynamika Bodového TělesaObvykle nás zajímá síla F l v závislosti na poloze. Ze zákona zachování mechanickéenergie vyplývá:m ( v 2 − v 20 ) = − mgl ( cos ϕ 0 − cos ϕ ) .2Při počáteční hodnotě rychlosti v 0 a počáteční výchylce ϕ 0 pak uvážením vztahu v=lϕɺdostáváme2⎡v⎤0Fl= m ⎢ − 2g cosϕ0+ 3gcosϕ⎥ .⎣ l⎦Poznámka. 1: V pohybových rovnicích jsou dvě neznámé tj. F l a ϕɺɺ. Závislosti φ(t) aϕɺ ( t ) určíme s uvážením počátečních podmínek integrací ϕɺɺ tj. nejsou to další neznámé.Poznámka 2: Kyvadlo umístěné v kostele (tím byla dosažena dlouhá doba kyvu a tímpoměrně vysoká přesnost) bylo používáno pro určování gravitačního zrychlení g.Příklad 5. 6 Zjistěte závislost na rychlosti na čase t a závislost rychlosti na vzdálenosti x,2jestliže se hmotný bod pohybuje tak, že kromě odporu prostředí F = k +k v nepůsobíF odpv 0odp 1 2žádné jiné síly a počáteční rychlost bodu je v o . Zjistěte na jaké dráze l z se těleso zastaví (obr.5.8)axObr. 5. 8Vektorová pohybová rovnice: F odp =max: -k 1 –k 2 v 2 = ma xPokud se zajímáme o závislost rychlosti na vzdálenosti pak použijeme vztah známý21 d ( v )z kinematiky tj.k + k vx∫01 22a22−md( v )=2( dx)2dv2dx = −m∫k + k vPakvv01 22= . Pak2dxv 22( k1 + k2v)2( + )dv −m⇒ x = − m∫= ln22(k + k v ) 2kk k v2k2x−2 m1 2 0 11v( x ) = ( k + k v )e − kkv01 22 1 2 0Pro zjištění dráhy na které se těleso zastaví položíme horní mez rovnu nule:02dv −mk1lz = − m∫= ln222v02(k1 +k2 v ) k1+ k2 v0-13-

145- Dynamika Bodového TělesaPokud se zajímáme o vývoj rychlosti v čase , pak vyjdeme ze vztahuv2 dvdvk1+k2v = −m ⇒ t = v v( t)2dt∫⇒ =−m( k +k v )Příklad 5. 7vo1 21= ( k + k v )e − kk2t−2 m1 2 0 1Sáně s nákladem mají hmotnost 23.0 kg a jsou taženy silou F=kt, kde k=20 N/s.Vypočtěte rychlost saní v 2 pro čas t 2 =2s, počáteční rychlost saní je v 0 =0,9 m.s -1 , součinitelsmykového tření saní f=0,3.Obr. 5. 9Řešení: I když sáně nesplňují podmínku pro hmotný bod (působící silová soustava nenícentrální), jejich pohyb je translační. Proto pro sestavení pohybových rovnic můžemepoužít 2.Newtonův zákon:F + G + F + F =an tmUvážíme-li pro třecí sílu vztah Ftx : F − F f + m g sin30° = man= f F , pak ve složkách platíny : Fn− m g cos 30° = 0Řešením dostáváme pro normálovou složku reakceF = mg cos 30° = ( 23 ) 9, 81cos 30° = 195,4 N .nF − F f + m g sin30° 20t − 58, 6 + 112,8a = = = 0, 87t + 2,35 m/sm60.Vzhledem k tomu, že zrychlení je funkce času, rychlost saní získáme integrací vztahudv = a dtn2Zrychlení: ( )v2∫ ∫( 0 87 2 35)dv = , t + , dt0.3 0v20, 43t 2, 35t 0,3= + + vPro t 2 =2 s tedy dostáváme v 2 = 6,72 m/sPozn. 1. Ověřte tento výsledek pomocí zákona zachování mechanické energie-14-

155- Dynamika Bodového TělesaPozn. 2. Součinitel tření při pohybu na sněhu silně závisí na teplotě (s poklesem teploty jehohodnota roste). Zanedbáním této skutečnosti bylo jednou z příčin tragédie výpravy W. Scotak pólu. Zvýhodňuje to také těžší sjezdaře na lyžích, pod kterými dochází vzhledem k vyššíhodnotě tíže k vyššímu ohřevu mezi lyží a sněhem což má za následek snížení součinitelesmykového tření.5.4 Sledování pohybu hmotného bodu v neinerciální vztažné soustavěPři sledování pohybů těles v soustavách, jejichž počátek vůči nehybnému pozorovateliakceleruje nebo které vůči nehybnému pozorovateli rotují (takové soustavy budemenazývat neinerciální), je při konstrukci pohybových rovnic nutné k akčním působícímsilám přidat ještě další doplňkové (setrvačné) síly. Tyto síly setrvačné síly jsou přitomreakcí, kterou se těleso „brání“ proti změně pohybového stavu. Nyní si provedeme diskusivšech možných typů setrvačných sil souvisejících s neinerciálností vztažné soustavy.5.4.1 Setrvačná síla unášivá při akceleraci počátku vztažné soustavyUvažujme vozík o hmotnosti m se pohybující se přímočaře po vodorovných kolejnicích sezanedbatelným třením (obr. 5.10).Obr. 5. 10Působením vnější síly F se vozík pohybuje vůči nehybné soustavě Ox 1 yspojeném se zemí se1zrychlením a 21= a (obr.5.11) . Soustava Ox 1 yje nehybná a platí v ní 2. Newtonův zákon tj.1můžeme psátF = ma (5.16)Pokud bychom pro sledování pohybů těles použili soustavu Ox 2 yspojenou s2vozíčkem, pak v takové soustavě se pozorovateli vozíček jeví jako nehybný tj. a 22 =0.Pravá strana rovnice (5.16) tedy musí být rovna nule. Aby byl dosažen tento rovnovážný stav,musíme k vnější působící síle přidat takovou nějakou doplňkovou sílu, označíme ji S FO. Jakvyplývá z rovnice (5.16), velikost a směr této síly je určena hmotností tělesa a vyvolanýmzrychlením tj. platí SOOFO= − ma, kde a = a je zrychlení počátku O x2y2 pohybující sevztažné soustavy souřadnic. Tato síla má opačný směr než je zrychlení počátku pohybujícíse vztažné soustavy, budeme ji nazývat setrvačnou silou unášivou počátku, do pracovního-15-

165- Dynamika Bodového Tělesaschématu ji budeme zakreslovat jako vektor s působištěm v těžišti. V soustavě Ox 2 ytedy2platíSF FO= 0+ (5.17)V soustavě jejíž počátek zrychluje kromě standardních působících sil musíme tedy uvážit iSOsílu setrvačnou unášivou FO= − ma. Tato síla je přitom úměrná hmotě tělesa avyvolanému zrychlení, její směr je namířen proti zrychlení a její působiště je v těžišti.Zvolíme-li směr pohybu jako kladný směr souřadné osy, pak do příslušné složkovépohybové rovnice ji zapisujeme jako vektor o záporné souřadnici tj. S F = − m a O = − ma .O5.4.2 Sestavování pohybových rovnic pro hmotný bod pomocí D´Alembertova principuSpojíme-li vztažnou souřadnou soustavu s pohybujícím se bodovým tělesem, pak prosestavení pohybové rovnice můžeme použít vztah (5.17), který slovně můžeme vyjádřitpomocí d´Alembertova principu: V soustavě spojené s pohybujícím se tělesem jsou sílysetrvačné v rovnováze s vnějšími působícími silami. Při použití vztažné soustavy spojenés bodovým tělesem můžeme tedy pohybové rovnice popř. působící síly zjišťovat z rovnováhysoučtu působících sil a sil setrvačných. Toto tzv. kinetostatické řešení dynamikých úlohpoužíváme hlavně v případech, kdy je pohyb těles zadán. Vyšetřují se pak akční silové účinkypotřebné pro udržení zadaného pohybu, reakce ve vazbách, vnitřní silové účinky apod.Poznámka: Do složkové pohybové rovnice zapisujeme souřadnici setrvačné síly s FO= − ma stím, že pokud je pohyb zadán (tj. známe velikost a směr zrychlení vzhledem ke směrupohybu), za souřadnici a budeme dosazovat číselně kladnou hodnotu při pohybu zrychleném ahodnotu zápornou při pohybu zpomaleném.Příklad 5.8 Jakou silou F l je namáháno lano klece výtahu při rozjíždění a) směrem nahoru,b) při rozjíždění směrem dolů. Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a zrychlení2a = 3 m/s . Řešte pomocí d'Alembertova principu tj. pomocí souřadné soustavy spojenés kabinou výtahu.Řešení: Vektorová pohybová rovnice jeSFl+ Fg+ FO= 0Směr osy y orientujeme vždy ve směru pohybu,setrvačnou sílu orientujeme vždy proti směrupohybu a do složkové rovnice zapisujeme0− ma = − ma .Pak a) Při rozjíždění směrem nahoru:Oy : F − mg − ma = 0lyF lS F oF g-16-Obr. 5. 14a

175- Dynamika Bodového TělesaPohyb je zrychlený tj. souřadnice zrychlení ve směru y má hodnotudosazení dostávámeF = 500⋅ 10 + 3 = 6500 Nl( )a= 3 m / s . Po0 2b) Při rozjíždění směrem dolů je pohyb opětzrychlený tj. souřadnice zrychlení ve směru y0 2má hodnotu a = 3 m / s .F lOy : − F + mg − ma = 0ll( )F = 500⋅ 10 − 3 = 3500 Ns F oyF gPříklad 5. 9Obr. 5.14bDružice Země o hmotnosti m d =200 kg se pohybuje po kruhové trajektorii v rovině poledníkus oběžnou dobou T d =2 hod, poloměr Země R Z =6378 km. Určete:a) výšku h d družice nad povrchem Země;b) rychlost družice v d ;c) jaká musí být rovina dráhy a jakou výšku h ds musí mít družice, aby byla družicístacionárníObr. 5.15Řešení: Pro úlohu nalezení výšky družice (výška určuje velikost působící gravitační síly)použijeme d´Alembertův princip tj. zavedeme přirozenou soustavu souřadnic spojenous družicí. Vůči takové soustavě se družice nepohybuje tj. musí být rovnováha mezipůsobícími a setrvačnou silou. V daném případě musí tedy být rovnováha mezi silou tíže a-17-

185- Dynamika Bodového TělesaSsilou setrvačnou počátku souřadnic tj. musí platit F + F =0 . Zrychlení počátku přirozenéOdsoustavy souřadnic a je v daném případě rovno normálovému zrychlení anv místě polohydružice.a) Podle rovnice (5.8) ve výšce h d na družici působí gravitační síla2g RZmdFg( hd) = .2R + h( )ZdPro velikost setrvačné síly unášivé počátku v daném případě tedy platí:2SF vdO= m d,v = R + h ω = R + hR + h( )Zdkde rychlost družice ( ) ( ) 2 .Podle d´Alembertova principu tedy platíSF + F = 0n:Pro normálový směr tedy platíκMZd2d( R + h )Z⋅ mPo dosazení dostáváme výsledekggOd Z d d Z dO2 2πT22κ ⋅ M .= mωd ( RZ + hd) ⇒3 Z⋅Td g R3 Z⋅Tdhd = − R2 Z= − R2 Z.4π4πh = ⋅d61,7 10 m.b) ( ) ( ) 2 πvd = RZ + hd ωd = RZ + hd= 7040 m/s.Tdc) Podle statiky, dvě síly mohou být v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže jejich nositelkyjsou totožné. Z toho pak vyplývá, že roviny kruhových drah družic Země musí procházetstředem Země. U stacionární družice musí být navíc splněno, že rychlost družice v ss musí býtrovna obvodové rychlosti kruhového pohybu s úhlovou frekvencí rovnající se zemské rotaciω Z tj. musí platit v = ω ( R + h ) . Z toho pak vyplývá, že rovina dráhy totožná s rovinouds Z dsrovníku. Výšku družice určíme podle předchozího vztahu tak, že dosadíme Tds= TZ= 24hodinh2 2g.R3 ZTZds= − R2 Z=35800 km4πPoznámka 1: Úlohu nalezení výšky stacionární družice bychom také řešit tak, že bychompoužili soustavu spojenou s rotující Zemí a uvažovali rovnováhu mezi silo tíže a silouodstředivou.Poznámka 2: Všechny stacionární družice jsou tedy lokalizovány na kružnici nad rovníkem,v současné době již v poměrně velké hustotě.Poznámka 3: U nestacionárních družic s dráhou skloněnou vůči rovině rovníku je relativnírychlost vůči soustavě spojené se Zemí různá od nuly. Na družice pak kromě síly setrvačnéodstředivé působí i síla setrvačná Coriolisova. V důsledku jejího působení dochází ke stáčeníroviny dráhy družice. Podobně ke stáčení roviny dráhy dochází i při pohybu kyvadla.d-18-

195- Dynamika Bodového TělesaPříklad 5. 10 Určete pod jakým úhlem θ má být klopená zatáčka zkušebního závodníhookruhu pro její bezpečný průjezd. Poloměr r=183 m, auto jede v zatáčce konstantní rychlostív=30,48 m/s.Obr. 5. 16Řešení:Pro bezpečný průjezd zatáčkou je nutné, aby tečné složky reakcí mezi vozovkou a bokykol byly nulové tj. aby zatáčka nebyla sklopená ani moc (vozidlo by se sesouvalo vlastnívahou) ani málo (vznikalo by nebezpečí smyku v důsledku působení odstředivé síly).Tečné složky na bocích kol zřejmě nebudou vznikat, jestliže součet odstředivé síly a váhyvozu bude v rovnováze s normálovou složkou reakce N C . V soustavě spojené s vozovkoumá vektorová pohybová rovnice má pak tvarF + N = ag cmVzhledem ke kruhovému pohybu auta je vhodné tto vektorovou rovnici rozepsat dopřirozených souřadnic tj.F = 0 : N cosθ− mg = 0.∑ibc2mv∑ Fin = man : Ncsinθ=rPo převedení mg v 1. rovnici na pravou stranu dostaneme po vydělení obou rovnic:2 2v 30,48tan θ = = = 0, 517 ⇒ θ = 27, 36°.gr 9,81⋅183-19-

205- Dynamika Bodového TělesaPoznámka: Předpokládáme-li nulovou hodnotu tečné složky reakce u vířící kapaliny,dostáváme na základě výsledků tohoto příkladu pro tvar povrchu rotující kapaliny rotační2dy ω xparaboloid-dokažte! [Návod-pro tečnu k povrchu použijte vztah tg Θ = = , kde ω jedx gúhlová rychlost víření kapaliny].Příklad 5. 11 Letadlo letí rychlostí 720 km/h po kruhovém oblouku o poloměrur = 420 m . Jaká odstředivá síla působí na letce hmotnosti m = 72 kg ? Za předpokladu, žepoloměr letu zůstane konstantní určete jakou největší rychlostí může letadlo letět, jestliželetec snese 10x větší zrychlení, než je zrychlení gravitační?Řešení:v = 720 km/hod = 200 m/ssssv2 2v 200⋅Fn= m = 72⋅ = 6857 Nr 420F = 10mg = 10⋅72⋅ 9, 81 = 7063,2 NFmaxnmaxnmaxv= m r2maxF 7063 2 420.omaxr , ⋅= = =m 72203 m/sPříklad 5. 12 Hmotný bod se pohybuje po nakloněné rovině, která přejde ve válcovou oblinupoloměru r. Určete úhel φ k , ve kterém se hmotný bod oddělí od válcové plochy. Počátečnírychlost hmotného bodu je v, délka nakloněné roviny je l a úhel sklonu nakloněné roviny je α,tření zanedbejte.s F tObr. 5. 17s F nN-20-

215- Dynamika Bodového TělesaŘešení: Zavedeme soustavu polárních souřadnic s počátkem ve středu válce. V tétosoustavě musí existovat rovnováha mezi působícími vnějšími silami a silami setrvačnýmiS Sm g + Ν + F + F = 0Z hlediska odpoutání kuličky od válcové plochy je rozhodná složková rovnice ve směruradiálním pro kterou platí:2SS mvρ: N − mg cosϕ+ Fn= 0, kde Fn=rHmotný bod opustí válcovou plochu při takové hodnotě úhlu ϕ= φ k , kdy normálová složkareakce N je rovna nule. Tento stav nastane, jestliže síla odstředivá bude v rovnovázes normálovou složkou tíže tj. bude platit2mvkmg cosϕ k=rRychlost kuličky v místě odpoutání v k od válcové plochy zjistíme ze zákona zachováníenergie:2 2mvkmv02 2− = mgh ⇒ vk= v0 + 2gh,2 2kde h = l sinα + r cosα − r cosϕkDosazením za h dostáváme vztahodkud2( + 2 [ sinα + cosα − cosϕ])0km v g l r rmg cos ϕ0=,rnt2v0 ⎛ l sinα⎞+ 2g⎜ + cosα⎟r rcos ϕk=⎝⎠.3g5.4.3 Setrvačné síly při rotaci vztažné soustavyV technické mechanice jsme však často nuceni pracovat se soustavami spojenýmis rotujícími tělesy. Při sledování pohybů těles v takových soustavách kromě standardníchpůsobících sil musíme uvažovat i setrvačné síly související s neinerciálností rotující vztažnésoustavy. Směry a orientaci jednotlivých typů setrvačných sil souvisejících s rotací vztažnésoustavy si ukážeme na základě pocitů člověka pohybujícího se na plošině rotujícíhokolotoče. Uvažujme 3 případy pohybu kolotoče a člověka A:a ) –kolotoč se otáčí s konstantní úhlovou rychlostí ω, člověk je vůči disku v klidu (obr. 5.11).Na člověka v tomto případě působí síla odstředivá (setrvačná síla normálová) S F A n= - m (ωx(ω x r A )). Pokud by nebylo tření, pak v důsledku působení odstředivé síly by se člověk začalodvalovat rovnoměrně zrychleně ve směru radiálním.-21-

225- Dynamika Bodového TělesaωzySFAnr AAObr. 5. 11xb) kolotoč se roztáčí z klidu s úhlovým zrychlením α. V opačném smyslu než se roztáčíkolotoč začne člověku podrážet nohy ve směru tečném á síla Eulerova (setrvačná sílasAtečná) F = − ma = −m( α x r ) (obr. 5.12).tαzyr AxSFtAObr. 5. 12c) –člověk kráčí od středu po disku rotujícího disku rotujícím s konstantní úhlovou rychlostí ωAve směru radiálním relativní rychlostí vr(obr. 5.13). Dostává se tedy z místa s nižšíobvodovou rychlostí do místa s vyšší obvodovou rychlostí. Ke změně hodnoty rychlosti jepřitom potřeba síla, která bude při pohybu od středu kolotoče člověku podrážet nohy vesměru jeho pravé ruky. Tato síla je setrvačnou silou Coriolisovou S F A C= -(ma C )= - 2m(ωx v A r). V obecné poloze člověka na kolotoči tato síla působí současně se silou odstředivou,její samotné působení je omezeno na okamžik průchodu středem kolotoče-22-

235- Dynamika Bodového TělesaωzyAxv A rSAF cObr. 5. 13Pokud bychom rotující disk umístil na akcelerující vozík, pak v soustavě spojené s diskem bypohyb bodového tělesa A byl obecně popsán pomocí vztahuF + F + F + F + F = ma , (5.17)S S A S A S A AO n t C rAkde arje relativní zrychlení bodového tělesa A vůči soustavě spojené s diskem. Při sledovánítěles v pohybujících soustavách musíme tedy k působícím silám musíme přidat i sílysetrvačné související s neinerciálností vztažné soustavy.5.4.4 Sestavování pohybových rovnic při složeném pohybu hmotného boduPři pohybu hmotného bodu na jiné pohybující se těleso (tj. při složeném pohybu hmmotnéhobodu) můžeme tedy pohybové rovnice sestavovat dvěma způsoby:a) Použijeme soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem (tj. soustavu neinerciální) aAhodnotu relativního zrychlení arvůči pohybujícímu se tělesu nalezneme s uváženímpříslušných sil setrvačných tj. pomocí vztahu (5.17). Např. v případě rotující přímé vidlice(viz obr. 5.18) je zřejmě vhodná soustava Ox2 y, jejíž osa x22 je totožná s rotující vidlicí. Tatosoustava je však podle předchozích odstavců neinerciální, a proto v ní musíme uvážit i sílysetrvačnékdeS FOF + F + F + F + F = a , (5.18a)S S A S A S AO n t CmArO= − ma je setrvačná síla unášivá počátku (je dána zrychlením počátku vztažnésouřadné soustavy - ta je v našem případě nulová),S F = ( A−mω x ω xr ) je setrvačná sílaAnormálová (odstředivá),S AAFt= −mα xr je setrvačná síla tečná (Eulerova),S AFC= −2mω x vrje setrvačná síla Coriolisova. K nalezení setrvačných sil přitom použijeme vztahy pro rozkladrovinného pohybu. Unášivé zrychlení a bodu A rozložíme na zrychlení počátku O souřadnéAuAn-23-

245- Dynamika Bodového TělesasoustavyOaua zrychleníAOaurotačního pohybu bodu A kolem O tj.A Ou=u+ AO O AO AO O A Aa a au= au+ an+ aτ= au+ ω x(ω xr ) + α xr , kde ω a α je úhlová rychlost aúhlové zrychlení rotace soustavy vzhledem k nehybnému pozorovateli. Relativní zrychlenía , můžeme pro případ rotující přímé vidlice přepsat na tvarArAAA AF + ( − mω x ( ω x r )) + ( − mα x r ) + ( − 2 mωx v ) = ma , (5.18b)rrAarx 2y 2AOObr. 5. 18b) Použijem soustavu spojenou s rámem (tj. soustavu inerciální) a sestavíme pohybovourovnici pomocí 2. Newtonova zákonaHodnotuF = ma . (5.19a)Aarpak hledáme rozkladem zrychlení při složeném pohybu tj.AaA A A Aar= aa - au - aC(5.19b)První způsob je vhodný pro určení směru reakcí. Např. můžeme predigovat „roztáčivý“ efektsetrvačné Coriolisovy síly (která zvyšuje tlakovou sílu působící na lopatku turbiny) v případěKaplanovy turbiny s vertikální osou rotace (tzv. reakční turbiny) – viz obr. 5.19. Částicekapaliny vstupují mezi rotující lopatky v radiálním směru, přitom jsou unášeny lopatkamiturbiny. Dochází tedy k přemisťování hmot v radiálním směru při rotačním unášivém pohybu,-24-

255- Dynamika Bodového TělesalopatkyvodaObr. 5.19což vyvolává vznik Coriolisových setrvačných sil, které zvyšují otáčky a tím i účinnostturbiny. Můžeme také předpovídat směry pohybů - např. můžeme určit smysl rotace víru vnálevce na severní a jižní polokouli, předvídat důsledky působení setrvačných sil v přírodě(např. pravé břehy na sever tekoucích sibiřských řek jsou více vymílány), vznik pasátníchvětrů popř. Tornád.AV některých případech je však tento způsob pro numerický výpočet armálo vhodný.-např. Při zkřiveném vztahu rotující vidlice-viz obr. 5.20a a 5.20b.Poznámka 1 : V případě pohybu hmotného bodu po kružnici, je nutné jako vztažnousoustavu uvažovat soustavu polárních nebo přirozených souřadnic (viz obr. 5.20a a 5.20b).Oα 21α 21Obr. 5. 20a-25-Obr. 5. 20b

265- Dynamika Bodového TělesaJestliže počátek neinerciální souřadné soustavy rotuje (obr. 5.20b), pak S F může mít obecnědvě složky tj. sílu unášivou počátku tečnou S FOta sílu unášivou počátku normálovou S FOn(zrychlení počátku O má v tomto případě dvě složky tj.a = a + a ).O O Oτ nPoznámka 2: Vzhledem k tomu, že se nacházíme na Zemi tj. rotujícím tělese, s nenulovou hodnotou Coriolisovysíly bychom se měli setkávat poměrně často. Vzhledem k nízké hodnotě úhlové rotace Země však hodnotaCoriolisovy síly bývá zpravidla v přírodě zanedbatelná. V technické praxi však v některých případech sledujemerelativní pohyby těles po rychle rostoucích vedeních a v těchto případech již hodnoty Coriolisovy sílyzanedbatelné být nemusí. Vliv Coriolisovy síly se mohou také projevit při pohybech na velké vzdálenosti. Např.při výstřelu z děla Berta používaného pro ostřelování Paříže na vzdálenost 110 km byla odchylka zásahuv důsledku Corioloisovy síly 1600 m.Při pohybu setrvačné síly závisí obecně na souřadnicích tj. vytváří silová pole. V některých případechtato pole jsou přitom nerozlišitelná od působení polí potenciálových- např. v rozjíždějícím se výtahu nemůžemerozlišit, zda zrychlení padajících těles je pouze od zvýšené gravitace nebo od akcelerace výtahu. Např. při úlozenalezení doby kyvu matematického kyvadla nacházejícího se v akcelerujícím výtahu směrem vzhůru sezrychlením a můžeme výsledek najít úvahou tak, že výsledekpři působení vertikální gravitační síly Fg = mg zaměníme za vztah Tkvertikální sílyTkg= π odvozený pro nepohybující se výtahlOg + a= π odpovídající působeníl'F = F + − a . Změřením doby kyvu bychom tedy mohli zjistit zrychlení výtahu.g g( m )Pokud bychom měli řešit úlohu nalezení vnitřních silových účinků mezi na sobě položenými tělesy přijejich zrychleném zvedání (viz obr. 5.21), můžeme zřejmě výsledek získat snadno z rovnic statické rovnováhy stím, že ke spojitému zatížení silami tíže bychom přidali spojité zatížení setrvačnými silami unášivými stejnéhosměru. Z hlediska vnitřních silových účinků, za pohybu dochází k jejich změnám nejen důsledku změn hodnotreakcí, ale také v důsledku působení sil setrvačných.Při úloze nalezení úhlu α výstřelu projektilu pro zasažení padajícího objektu A (vypuštěného pod úhlemϕ ze vzdálenosti L současně s výstřelem – viz obr. 5.22), nemusíme řešit obtížně kinematické rovnice pro šikmývrh vzhůru a volný pád. Zavedeme-li totiž soustavu spojenou s padajícím objektem, pak ke gravitační sílepůsobící na střelu musíme přidat sílu setrvačnou unášivou –mg. V takové soustavě je pak zrychlení střely nulové(gravitační síla je v rovnováze se silou setrvačnou unášivou. Zrychlení střely je v takové soustavě nulové tj.střela se v ní pohybuje pohybuje přímočaře, objekt A je nepohyblivý. Při přímočarém pohybu cíl zasáhnemezřejmě tehdy, jestliže položíme α=φ.-26-

275- Dynamika Bodového TělesaKontrolní otázky1) Jak orientujeme směr souřadných os při přímočarém pohybu?2) Co jsou to stacionární družice, jaký je poloměr jejich dráhy?3) Který břeh řeky tekoucí na severní polokouli od jihu k severu je více podemletý?4) Při pohybu tělesa po povrchu Země podél rovníku ve směru rotace zemské, budev důsledku Coriolisovy síly tíhové zrychlení nabývat nižší nebo vyšší hodnotynebo se nezmění ?5) Proč se při rotaci kapaliny částice písku pohybují v blízkosti osy kádinky nikolivpo jejím obvodu?6) Proč vzniká vír v nálevce?7) Co je podstatotou cyklonů a pasátních větrů?8) Proč je výhodné používat při pohybu po kružnici při rozepsání pohybové rovnicedo složek polární souřadnice?9) Při rotaci kádinky s vodou je tvořící křivkou povrchu parabola-dokažte!10) Co je podstatou metody uvolňování?11) Kdy je soustava inerciální?12) Co je to D´Alembertův princip?13) Jaké setrvačné síly mohou vznikat v neinerciálních soustavách14) Jak se změní tíha kádinky s vodou, ponořím-li do kádinky těleso o známémobjemu a známé hustotě ρ, jestliže tělesoa) bude zavěšeno na nitib) odstřihneme od nitic) v důsledku odporové síly bude klesat se známou konstantní rychlostí v maxd) klesne na dno kádinky.15) Člověk běží po obvodu rotujícího kolotoče tak, že jeho absolutní hodnota rychlosti jerovna obvodové rychlosti rotujícího kolotoče. V soustavě spojené s kolotočem tedy nas2člověka působí jednak síla odstředivá F = mωR a jednak v opačném směru sílaCoriolisova s FCObr. 5.21 Obr. 5.22n2= 2 mω . Působí na člověka ještě tečná složka reakce ve směru radiálním?-27-

285- Dynamika Bodového Tělesa5.5 Základní věty dynamiky hmotného boduPři sledování pohybu těles v potenciálových silových polích je možné pohybové rovniceintegrovat. Slovním vyjádření těchto integrálních vztahů vznikly zákony zachování hybnosti,momentu hybnosti a mechanické energie. Používáme je hlavně v případech, kdy známepohybový stav tělesa na začátku děje a zajímáme se o polohu nebo rychlost na konci děje.Vzhledem k tomu, že příslušné integrace byly prováděny z 2. Newtonova zákona, příslušnéintegrální vztahy platí jen pro soustavy inerciální tj. všechny kinematické veličiny v nichvystupující (např. rychlosti) musí být vztaženy vzhledem k soustavám nepohyblivým.5.4.1 Hybnost a impuls síly, moment hybnosti a impuls momentuJak již bylo zmíněno v úvodu, základní veličinou popisující pohybový stav hmotnéhobodu je hybnost:h = v ⎣ = ⎦ , (5.18)-1m ⎡kg.m.sN.s⎤kde m je hmotnost, v rychlost hmotného bodu.Podle druhého Newtonova zákona v případě, že hmotnost m je konstantní platíh vF = d mddt= dt. (5.19)Veličinou charakterizující časový účinek síly je impuls síly IZ rovnice (5.19) pak vyplývá vztaht2I = ∫ F ( t)dt . (5.20)2 1t1I = h - h =m(v 2 -v 1) . (5.21)Přírůstek hybnosti v určitém časovém intervalu je dán impulsem působících sil v témžečasovém intervalu (věta o změně hybnosti). Známe-li tedy závislost síly na čase tj.F = F( t ) mezi časy t 1 a t 2 , pak můžeme z tohoto vztahu zjistit změnu hybnosti změnurychlosti.Název impuls znamená vlastně náraz. Nárazové síly však mají stálý směr (např. nárazkladiva) a z hlediska jejich velikosti je můžeme zpravidla nahradit střední hodnotou F . Protyto nárazové síly popř. pro děje při kterých je působící síla konstantní pak můžeme ve směrupůsobící síly psátt2∫ ( ) (2 1)(5.22)t1I = F t dt = F t − t = F∆tkde ∆ t je doba trvání nárazu. Známe-li hybnost před a po nárazu a dobu trvání nárazu, pakmůžeme z předchozí rovnice určit velikost působící impulsní síly. Předpoklad konstantníhodnoty impulsní síly někdy také nahrazujeme nějakou jednoduchou závislostí na čase F(t).-28-

295- Dynamika Bodového TělesaPříklad 5. 4 Určete maximální hodnotu úderu kladiva, jestliže těleso o hmotnosti m=5kg jez klidu urychleno nárazem kladiva z nulové rychlosti na hodnotu v 2 =5m/s, doba trvání nárazu−3je ∆ t = τ = 10 sŘešení: Pro náraz kladiva můžeme předpokládat lineární nárůst tlakové síly až do hodnotyF max , následně pak opět lineární pokles tlakové síly (obr. 5.24).FF maxDosazením do vztahu (5.23) pak dostáváme pro výsledný impuls tlakové síly působící natělesoτ / 2 2τ / 2 2kτ6 -2kτI = 2 ∫ kt dt = = mv2⇒ k = 6, 0.10 kg ms I = 2 kt dt mv2k 6, 0.10 kg ms2∫ = = ⇒ =20OK maximální hodnotě tlakové síly dojde za čas 2τ tj. pro její hodnotu dostávámeτFmax= k = , .233 0 10 NObr. 5. 2406 -2Rovnice (5.21) je rovnice vektorová a obvykle ji rozepisujeme do složek ve směrech souřadnicovýchos. Jestliže na těleso nepůsobí z vnějšku žádné síly (těleso je izolováno od okolí), pak výsledný impuls je nulovýa těleso nemění svoji rychlost. To v praxi zřejmě nemůže nikdy nastat (např. nemůžeme odstranit působenígravitačních sil). Můžou však nastat případy, kdy můžeme zanedbat síly působící v určitých směrech neborovinách. Potom hovoříme v daném směru nebo v dané rovině o pseudoizolaci od okolí.Např. při kolmém výstřelu střely s počáteční rychlostí výstřelu v 1y = v s z vozíku jedoucího horizontálněkonstantní rychlostí v v ve směru osy x je při zanedbání odporu prostředí nulová hodnota impulsu ve směru osy xtj. I x =∫F x dt=0. Střela se tedy ve směru x tedy pohybuje pořád stejnou rychlostí jakou měla na začátku tj. jerovna rychlosti vozíku (pohybuje se tedy neustále nachází nad vozíkem). Po návratu do horizontální roviny střeladopadne na vozík ve vzdálenosti ∆x od bodu výstřelu, vzhledem k zákonu zachování mechanické energie musíbýt velikost rychlosti dopadu rovna rychlosti výstřelu v2 y= vs. Vozík dráhu ∆x urazí za časτt∆x∆x∆ t = = .v vsxv-29-

305- Dynamika Bodového TělesaVe směru vertikálním během letu působí na střelu konstantní tíhová síla F y =F g, , její impuls∆t∫I = F dt = F ∆t = m( v −( − v )) = 2mvy g g s s s0výstřeluvvrátit na sedadlo.F ∆t2m. Z doby dopadu střely tedy můžeme určit počáteční rychlostgs= . Podobně jestliže pasažér sedící v autobuse jedoucím s konstantní rychlostí se musí zaseNechť vazby působící na hmotný bod jsou takového charakteru, že bod koná připůsobení vnějších sil kruhový pohyb kolem pevné osy o. Pak po vynásobení vztahu (5.19)vektorově průvodičem r platíd ( r x m v ) d r d ( m v ) d( m v )= x m v + r x = r x = r x F (5.23)dt dt dt dtVýsledný moment působících silM = r x F tedy můžeme vyjádřit vztahemodoMo= b ,(5.24)dtkde bo= ( r x m v ) je moment hybnosti (“míra pohybu” při rotaci hmotného bodu kolem osyo). Pro bodové těleso tedy platí věta o časové změně momentu hybnosti: Časová změnamomentu hybnosti hmotného bodu k určité ose je dána momentem všech působících sil k tétoose. Rovnice (5.24) je pohybovou rovnicí pro hmotný bod konající rotační pohyb kolem stáléosy otáčení o.Podobně jako byl zaveden impuls síly, zavedeme i impuls momentu L o (časový účinekmomentu) vztahemto= ∫ odt=o2 o1t1L M b - b . (5.25)Platí opět věta o změně momentu hybnosti: Přírůstek momentu hybnosti k určité osev uvažovaném časovém intervalu je dán impulsem momentů všech působících sil k téže osev témže časovém intervalu. Pokud L o =const, pak těleso koná pohyb rovnoměrný kruhovýnapř.planety kolem Slunce.Příklad 5. 5 Těleso hmotnosti m=10 kg se začne pohybovat působením konstantní sílyF=150 N.a) S jakým zrychlením se těleso pohybuje.b) Jakou rychlost dosáhne při t=8 s.c) Jakou dráhu přitom vykoná.d) Jak velký je impuls zadané síly.-30-

315- Dynamika Bodového TělesaŘešení:a)F = maF 150a = = = 15,0 m/sm 10Obr. 5. 25b) F = konst. je v1= 0, km/s, ∆t= 8s . Pak podle rovnice(5.25):I = F∆t = mv − mv = mv2 1 2F∆t 150 ⋅8v2= = = 120,0 m/sm 10c) a = konst., proto můžeme použít z kinematiky pro pohyb přímočarý rovnoměrnězrychlený:1 2s = s0 + v0t + at a s0 = v0= 021 2s = at21 15 82s = ⋅ ⋅ = 480 m2d) I = F∆t= 150 ⋅ 8 = 1200 N.sPříklad 5. 6 Určete závislost rychlosti letounu o hmotnosti m=1800kg na čase, jestliželetounu pohybujícího se přímočaře rychlostí 120 m/s je zapnut přídavný motor o síleF=8500N.tvF∫ Fdt = m∫ dv ⇒ v = vo+ t =120+4,7t [m/s]m0 voVětu o změně hybnosti (nebo momentu hybnosti) tedy používáme tehdy, když běhemnějakého děje jsou působící síly konstantní poopř. známe jejich závislost na čase, známe dobupůsobení a zajímáme se o rychlost na konci děje.5.5.2 Práce, energie, výkon-31-

325- Dynamika Bodového TělesaAž dosud jsem pohybový stav hmotného bodu charakterizovali vektorovými veličinami tj.zrychlením, hybností či momentem hybnosti. Někdy je však výhodné charakterizovatskalární veličinou. Síla koná práci, když se v důsledku jejího působení mění polohahmotného bodu z polohy A do polohy B, je to tedy dráhový účinek sílyAB .ABA= ∫ F d r (5.26)Poznámka: V rovnici (5.26) se vyskytuje skalární součin vektoru síly F a vektoru přemístěnídr. V případě že působící síly jsou tedy kolmé na přemístění, jejich práce je nulová. Prototaké normálové složky reakcí označujeme za síly nepracovní. Práci tedy koná jentangenciální složka síly vzhledem k dráze.Elementární práci vykonanou vnějšími silami můžeme vyjádřit pomocí skalární veličinykterou budeme dále nazývat kinetickou energií E k .Platí:2dvdv1 d( mv )dA = F. dr = m . dr = m . vdt = md( v.v ) = = dEk(5.27)dt dt 2 2Změna kinetické energie E k při změně polohy tělesa je tedy rovna práci všech sil natěleso působícíchBE − E = ∫ F . d r (5.28)kBkAČasová změna kinetické energie je dána okamžitým výkonem pracovních sil tj.AF.drP = = F. v = Ftv , (5.29)dtkde F t je složka síly ve směru pohybu (ten je dán vektorem rychlosti).Jsou-li vazby takového charakteru, že hmotný bod pod působením vnějších sil konápohyb po kružnici o poloměru r se středem v bodě O, pak dr = r x dϕ , kde dφ je vektorpootočení kolem osy o. Výraz pro práci (5.26) pak můžeme přepsat do tvaruB B B B( ϕ ) ( )∫ ∫ ∫ ∫A = F .d r = F. r x dϕ = r x F .d ϕ = M .dφ, (5.30)A A A Akde M O je výsledný moment působících sil k bodu O. Při kruhovém pohybu bodu je rychlostv= rω a okamžitý výkon je pak dán vztahemOP = MOpω , (5.31)kdeMOpje průmět působícího momentu do osy rotace.Síla je míra interakce mezi tělesy. Přitom tato interakce se může realizovat buďstykem (stykové síly) nebo působením na dálku (síly-gravitační, jaderné, elmg. apod.) Kezměně pohybového stavu těles tedy dochází nejen v důsledku jejich vzájemného kontaktu aletaké v důsledku působení silových polí. Silovým polem přitom nazýváme prostor, ve kterém je-32-

335- Dynamika Bodového Tělesapůsobící síla funkcí jeho polohy tj. v každém bodě prostoru známe hodnotu sílyF = F ( F ,F ,F ) . Jestliže pro silové pole platíx y z∂Fx∂y∂∂Fy= ,∂xFy∂F z= ,∂z∂Fz∂y∂y∂Fy= ,∂z(5.32)pak při přemisťování hmotného bodu vykonaná práce nezávisí na prošlé dráze ale pouze napočáteční a koncové poloze. Takové silové pole pak nazýváme potenciálové (konzervativní).Z rovnic (5.32) pak vyplývá, že sílu pole F můžeme vyjádřit pomocí totálního diferenciáluskalární veličiny tj. potenciálu U. Platí tedy, že lze nalézt takovou skalární funkci U(x,y,z), prokterou platíTuto rovnici můžeme zapsat vektorově∂U ∂U ∂UdU = Fxdx + Fydy + Fzdz = dx + dy + dz∂x ∂y ∂z(5.33)F= grad U (5.34)Místo potenciálové funkce U je zpravidla používána její záporná hodnota –potenciální energie E p =-U. V potenciálovém poli pak práci A při přemístění hmotnéhobodu z polohy A do polohy B můžeme vyjádřit pomocí rozdílu potenciálních energií tj.BB A = − .AB ∫ F r =p−p= ∆p(5.35)AA d E E EPoznámka: Rozdíl potenciálové energie je přitom kladný (tj. ∆E P >0), jestliže při přemístěnímusíme práci vykonávat proti silám pole, záporný (∆E P

345- Dynamika Bodového TělesaJestliže na těleso nepůsobí třecí síly pak při stlačení a následném uvolnění pružiny je celkovázměna ∆E p =0.Obr. 5. 26Jestliže se hmotný bod hmotnosti m přemístí z bodu M 1 do M 2 (obr.5.27), pak je změnapotenciální energie pružiny vyjádřena vztahem1 2 1 2 12Ep= Ep− E ( )2 p= k x12− k x1= k ∆ x . (5.37)2 2 2Obr. 5.27Při pohybu těles v potenciálovém poli se práce potenciálových sil projeví sníženímenergie potenciální a navýšením energie kinetické-34-

355- Dynamika Bodového TělesaPro dvě polohy A a B bodového tělesa tedy platíBB A∫ F . d r = EkB − EkA = −( Ep − Ep)(5.38)AE + E = E + E(5.39)A A B Bk p k pKonají-li při pohybu tělesa práci pouze síly potenciální, pak při přemístění tělesa platí zákonzachování celkové mechanické energie W - součet kinetické a potenciální energie (celkovámechanická energie) konstantní :W=E k +E p =const (5.40)V případě, že při přemísťování bodového tělesa působí kromě sil potenciálových i síly třeníF tř ,, pak tento zákon při přemístění z A do B musíme upravit na tvarBA A B BE + E = E + E − ∫ Ftř. dr (5.41)k p k pPoznámka: Zákon zachování mechanické energie používáme, známe-li pohybový stav tělesana začátku jeho přemisťování v potencálových polích a zajímáme se o polohu nebo rychlostna konci přemístění. Podobně zákon zachování energie můžeme použít pro nalezení dráhy přiznámých působících silách a známém pohybovém stavu na začátku a konci děje.APříklad 5. 7 Určete délku dráhy l z na které se bodové těleso o hmotnost m při působení třecísíly zastaví z počáteční rychlosti v o . Hodnota součinitele smykového tření je f.F třmav 0 v=0,l zxŘešení:Obr. 5. 28-35-

365- Dynamika Bodového Tělesal1z2k o.2∫ Ftřrz0∆ E = mv = − d = m g f l2vo⇒ lz=2 g fKe stejnému výsledku však dospějeme integrací pohybové rovnice:F = m atř1 d( vx)x : − m g f = m ax= m2 dxlz∫00 22 vo∫ x z2v0− 2 g f dx = dv ⇒ l =2g fPříklad 5. 8Těleso o hmotnosti m vystřelíme ze země svisle vzhůru, za čas t d těleso dopadne zpět . Jakáje rychlost výstřelu vva do jaké výšky h těleso vyletí?Řešení:Časový a dráhový účinek síly můžeme kombinovat. Při zanedbání odporu prostředí z rovnostikinetických energií v místě výstřelu a v místě dopadu střely vyplývá, že rychlost dopadu v d serovná rychlosti výstřelu v v . Z impulsu gravitační síly F g t d= =m(v d -(-v v )) pak můžeme určitgtdrychlost výstřelu vv=2.V nejvyšším bodě dráhy dojde k přeměně energie kinetické na potenciální tj.21 2vvEk= m vv= mgh ⇒ h = .2 2g-36-

375- Dynamika Bodového TělesaPříklad 5. 9Kyvadlo má délkul = 1,5 m . Koule kyvadla má hmotnost m = 2 kg. Jakou práci2vykonáme, vychýlíme-li kyvadlo o úhel α =30°? ( g = 10 m/s ). Jaká bude jeho rychlostv max při uvolnění koule, jestliže ji z vychýlené polohy vypustíme s nulovou počátečnírychlostí?.lŘešení:h = l − l cos 30° = l( 1− cos 30° ) = 0,2 mA = m g h = 2 ⋅10 ⋅ 0,2 = 4 JTato práce se přemění na zvýšení energie potenciální∆E p = mgh. Při uvolnění kuličky bude docházetk postupné přeměně potenciální energie na energiikinetickou, v nejnižším bodě dráhy (tj, v rovnovážnépoloze) tedy bude nejvyšší hodnota energie1 2kinetické Ek= m v ( )maxmax= m g h = m g l − l cosα ,2tedyvmax= 2gh= 2 m/sObr. 5.29Příklad 5. 10Jakou rychlostí se bude pohybovat bod o hmotnostiz výšky 5,2 m puštěn rychlostí v0= 6 m/s ?m = 5 kg ve výšce 2m, jestliže jeŘešení:Ze zákona o zachování mech. energie (3.16)platíE + E = E + ETedy.k0 p0k1p1 Obr. 5. 301 2 1 2mv0 + mgh0 = mv1 + mgh12 21 2 2mgh0 − mgh1 = ( mv1 − mv0 ) , tedy21 2 2g( h − h ) = ( v − v ) , ozn. h = h − h2v = 2gh + v ,0 1 1 0 0 12 21 0v = 2gh + v ,21 01( )v = ⋅ ⋅ , − + =22 10 5 2 2 6 10 m/s-37-

385- Dynamika Bodového TělesaKontrolní otázky1) Čím je významný 2.Newtonův zákon2) Jakou soustavu použijeme pro rozklad pohybové rovnice do složek při přímočarémpohybu po nakloněné rovině3) Jakou soustavu použijeme pro rozklad pohybové rovnice do složek při pohybu po kružnici4) Jaká je souvislost kinetické energie a práce5) Jak určujeme hodnotu energie potenciální6) Jaký je charakter impulsních sil-38-