7 Statika-Uložení Tělesa

ULOŽENÍ TĚLESA - 48 -7. Rovnováha tělesa7.1 Základní úlohy statiky při působení soustavy sil na tělesoV případě tělesa jsou působící silové soustavy obecné (tj. nikoliv centrální jakov případě bodového tělesa). Při kontrole statické rovnováhy nebo ekvivalence je volbasouboru statických podmínek libovolný, tento soubor však musí obsahovat všechnypoužitelné podmínky. Splnění statických podmínek rovnováhy je přitom nezávislé na volběsouřadného systému a vztažných bodů pro momenty. Proto je účelné při zahájenínumerického řešení volit souřadný systém vhodně abychom pracovali jen s nezávislýmipodmínkami popř. rovnice obsahovaly co nejmenší počet neznámých. Např. pokud pracujemese soustavou rovnoběžných sil pak jednu z os ztotožníme se směrem nositelek, na nakloněnérovině soustavu orientujeme jednu z os ve směru sklonu nakloněné roviny. Vztažné bodyresp. vztažné osy pro momenty volíme tak, aby těmito body resp. osami procházelo co nejvícesil apod.Podobně jako v případě bodového tělesa při řešení statické rovnováhy či statickéekvivalence určujeme:a) takové doplňkové silové účinky aby stav rovnováhy resp. ekvivalence nastalb) zvláštní polohu tělesa ve které k rovnováze dojdec) doplňkové silové účinky a polohu tělesad) nahrazení působící složité soustavy soustavou co nejjednodušší.Jako neznámé přitom mohou být souřadnice vektorů sil nebo vektorů momentů sil, mohouto však být i směry nebo poloha působiště sil popř. souřadnice rovnovážných poloh.Při grafickém řešení (jen u rovinných úloh) používáme měřítka, u jednotlivých vektorůdodržujeme úhly směrů. Při silovém zatížení soustavou úplně zadaných sil na různoběžnýchnositelkách úlohu začneme hledáním velikosti a polohy výslednice. Přitom vždy 2 sílyposuneme po nositelkách do jejich průsečíku, sestrojíme dílčí výslednici, tuto složíme s dalšísilou atd. až dostaneme konečnou výslednici jako spojnici počátečního a koncového bodu.Z grafického řešení můžeme odměřit velikost a přes měřítko určit její velikost. V případě, žetento koncový bod splývá s bodem počátečním, těleso je při působení takové silové soustavyv rovnováze.V případě působení silové soustavy na rovnoběžných popř. téměř rovnoběžnýchnositelkách používáme pro sčítání sil metodu vláknového obrazce. U metody vláknovéhoobrazce paprsky obepínající libovolnou sílu v plánu sil se na její nositelce protínají v jednombodě. U úlohy na ověření stavu rovnováhy tělesa musí být u metody vláknového obrazceuzavřen jak silový obrazec (7.1b a 7.1d) tak obrazec vláknový (tj. poslední a první vlákno semusí protínat – viz obr. 7.1a a 7.1c). V případě zadání hodnot momentů silových dvojicvynášíme dvojici ve vhodně zvoleném směru a vhodně zvolené poloze nositelek, velikosti sildvojice určujeme z kolmé vzdálenosti nositelek numerickým výpočtem popř. aplikujeme větyo silách a momentech, větu o přenesení síly na rovnoběžnou nositelku apod.48

ULOŽENÍ TĚLESA - 49 -Obr. 7.1a 7.1bObr. 7.1c 7.1dPři grafickém řešení úlohy nalezení velikosti 3 sil na zadaných různoběžkáchpoužíváme specielní postup – Culmanovu přímku.Při numerickém řešení zavedeme vhodně vztažnou souřadnou soustavu a pomocípromítání sil silového obrazce do souřadných os sestavíme složkové rovnice statickérovnováhy, pro generování systému momentových rovnic je někdy vhodné použitíVarignonových vět. Pomocné vztahy (např. vztah pro velikost síly pružiny, hodnotu třecí sílyapod.) zabudujeme již v generovaném systému tj. nezavádíme zbytečně mnoho neznámých.Zkontrolujeme, zda počet neznámých souhlasí s počtem sestavených rovnic. Někdy provýpočet velikosti sil aplikujeme trigonometrické vztahy - úhly jejichž ramena jsou na sebekolmá jsou stejné, kosinovou a sinovou větu, Euklidovy věty o výšce apod.7.2 Uložení tělesa a vazbové reakceKinematická dvojice-styk tělesa s jediným stykovým útvaremVazba těles - spojení těles kinematickými dvojicemi, každá kinematická dvojice snižuje početstupňů volnosti. Při uvolnění tělesa nahrazujeme kinematické dvojice silovými účinky.Vazební rovnice - vztahy pro určité body tělesa charakterizující působení vazby-např.x A =konst.1, y A =konst.2 při uchycení tělesa v rovině k rámu v čepu A. Vazebních rovnice49

ULOŽENÍ TĚLESA - 50 -mohou být použity při hledání poloh dalších bodů tělesa, čili snižují počet stupňů volnostitělesa.Vazba k-té třídy odebírá k stupňů volnosti (tj. je pro ně možné napsat k vazebních rovnic).V případě současného působení více vazeb na těleso v rovině platín = − ∑ n k , (7.12a)3kkV případě současného působení více vazeb na těleso v prostoru platín = − ∑ n k(7.12b)6kkkde n k je počet vazeb k-té třídy. Při uvolnění kinematické dvojice k-té třídy zavádíme kneznámých parametrů vazbových reakcí (to mohou být velikosti reakčních sil nebo velikostireakčních momentů) U posuvné kinematické dvojice jako neznámá může být také polohareakční síly, při které je reakční moment nulový. Jednotlivé případy kinematických dvojicv rovině jsou na obr. 7.2. Jednotlivé případy kinematických dvojic v prostoru jsou na obr. 7.8.Platí: V kolika nezávislých směrech (posuvů i rotací) je zabráněno vazbou v pohybu, tolikstupňů volnosti tato vazba odebírá. Jinými slovy: Počet stupňů volnosti dvojice je roven počtunezávislých posuvů a rotací, jež mohou dva členy mezi sebou vzájemně vykonávat.V případě že n ≤ 0 - těleso soustava je nepohyblivé-statická rovnováha je zajištěna vazbami.V případě n=0 je těleso uloženo staticky určitě.V případě že n > 0 - těleso je uloženo pohyblivě. Aby se těleso dostalo do rovnováhy,je nutné dodat doplňkové silové účinky popř. rovnovážný stav může nastat pro specielnípolohy.U posuvné kinematické dvojice jsou 3 možné způsoby uvolnění-a) 2 silami kolmými nastyčnou plochu působícími v libovolných dvou bodech, b) jednou silou působící v určitépoloze x, c) jednou silou působící v libovolně zvoleném bodě a reakčním momentemvzhledem k tomuto zvolenému bodu.Poznámka: Pro vztahy (7.1) a (7.2) na určení počtu stupňů volnosti mohou existovatvýjimkové případy-buď se při daném silovém zatížení některá z vazeb nerealizuje (hlavně ujednostranných vazeb) nebo některé vazební rovnice jsou navzájem závislé (např. přirovnoběžnosti posuvů působících v rámci jedné soustavy).U posuvné kinematické dvojice stačí styk v jedné rovinné ploše (obr. 7.2a) tehdy, jestližepoloha nositelky reakce určená vzdáleností x prochází stykovou plochou tj. když platí0 < x < La reakce je tlaková. Jestliže nositelka neprotíná stykovou plochu, musí být stykové plochydvě (obr. 7.2b)Obr. 7.2a Obr. 7.2b50

ULOŽENÍ TĚLESA - 51 -Příklad 7.1. Vodorovné táhlo působí na páku silou F=500 N. Rozměry páky jsou na obr.7.3a. Vypočtěte sílu, jakou působí na páku opora v C a velikost vazbové reakce v čepu A.Obr. 7.3aObr.7.3b∑Počet stupňů volnosti n = 3( N − 1) − n k = 3. 1 − 1. 1 − 1.2 =0 . Provedeme uvolnění (vizobr. 7.3b) a zavedeme vztažnou soustavu. Pak napíšeme rovnice statické rovnováhy:0500. 0,0966∑ Fix = 0 :FRAx − cos 45 FRC+ 500 = 0 ⇒ FRC= =805 N0,06∑∑F = :F − sin F =0iy = 0RAy − 45RC= 0M = : . .cos − F . ,=iAz00 500 100 15RC0 06 0kFRAy0= 805.sin45 = 569 N ,= =FRAx0= 805.cos45 − 500 = 69 N ,= − =F = F + F=573 N2 2RA RAx RAy51

ULOŽENÍ TĚLESA - 52 -n kMožnýpohybObr. 7.4 Kinematické dvojice v rovině52

ULOŽENÍ TĚLESA - 53 -Obr. 7.7- Základní kinematické dvojice v prostoru53

ULOŽENÍ TĚLESA - 54 -Příklad 7.1 Na kliku rumpálu působí síla F=245 N. Ložisko A přenáší radiální a axiální síly aložisko B jen radiální síly (tj. obě ložiska považujeme za úzká). Vypočítejte hmotnost mzávaží a velikost reakcí v ložiscích v rovnoměrném zdvíhání závaží, jestliže a=0,1 m, b=0,15m, c=0,25 m, d=0,08 m, r=0,1 m, α=70 0 , β=35 0 , hmotnost kliky, ložisek a hřídele zanedbejte.Obr. 7.1Řešení: Na rumpál působí síla od závaží G, reakce v ložiscích F A , F B a zátěžná síla F. Tytosíly vytváří obecnou prostorovou soustavu sil. Vazby odebírají 5 0 volnosti (ložisko A tři,ložisko B dva). Rovnováha je zajištěna silově závažím G. Platí:∑∑∑∑∑F = 0 : A + B − F cosαsin β = 0ix x xF = 0 : A + B − G − F sinα = 0iy y yF = 0 : A − F cosαcos β = 0izzM = 0 : − B ( b + a ) + A a − G( 2a + b ) + Fd sinα = 0Oix y yM = 0 : − B ( b + a ) − A a + Fc cosα cos β − Fd cosα sin β = 0Oiy x x54

ULOŽENÍ TĚLESA - 55 -∑M = 0 : G r − F c sinα = 0OizŘešením dostaneme G=575,5 N resp. m=58,7 kg, A x =_8,6 N (složka této reakce míří tedyopačně než se předpokládalo), A y =68,6 N, B x =56,7 N, B y =682,9 NRámy-tělesa ve tvaru prutu s lomenou osou. Rám vznikne tuhým spojením přímých nosníků,přes spoje jsou přenášeno jak silové tak momentové namáhání.55