Mechanika I - Statika - Vysoké učení technické v Brně

Obsah1 Úvod. 31.1 Mechanika těles a fyzika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Vědecká metoda - pozorování, usuzování, experiment. . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Srovnání předmětu přírodních a technických věd. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Problémy, řešení problémů, inženýrství. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Mechanika těles jako předmět na fakultě strojní. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Axiomy mechaniky těles se zaměřením na statiku. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.1 Axiom o prostoru a čase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Axiom o hmotnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3 Axiom o energii a zachování energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.4 Axiom o silovém působení. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.5 Axiom o příčinné souvislosti mechanického pohybu a silového působenína těleso T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.6 Axiom o styku těles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 142.1 Konkretizace obecných pojmů z hlediska mechaniky tělesa pojmy mechaniky těles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Interakce a vazba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Interakce, silové působení, síla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Těleso volné, vázané a uvolněné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Silové působení na hmotné objekty. 253.1 Síla a její posuvné účinky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Rozdělení sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Vyjádření sil v kartézské soustavě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Otáčivé účinky síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Moment síly k bodu tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Moment síly k ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Moment silové dvojice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.4 Souvislost momentů síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Typy silových soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 37

OBSAH 24.1 Základní úlohy statiky v případě obecných silových soustav . . . . . . . . . . . . 374.2 Nahrazení silových soustav v daném bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Ekvivalence silových soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Rovnováha silových soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 415.1 Statické podmínky pro obecné silové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Statické podmínky pro centrální silové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Modifikace statických podmínek rovnováhy a ekvivalence . . . . . . . . . . . . . 455.4 Statická určitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Styk těles 486.1 Styk těles a geometrie styku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Silové a kinematické charakteristiky NNTN vazeb. . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3 Uvolňování vazeb NNTN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 Uložení vázaného tělesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.5 Typy statických úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6 Těžiště těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6.1 Určení tíhové síly a polohy těžiště tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6.2 Metody určování polohy těžiště . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.3 Řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807 Vázané těleso s vazbami NNTN 887.1 Řešení statické rovnováhy vázaného tělesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 938.1 Charakteristiky soustav těles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2 Pojmy vztahující se k soustavám těles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.3 Statické řešení soustav těles vázaných stykovými vazbami typu NNTN. . . . . . 988.4 Zvláštní případy soustav těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 Prutové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049 Grafické řešení statických úloh 1099.1 Základní věty grafického řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.1.1 Věta o superpozici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.1.2 Věta o dvou silách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.1.3 Věta o třech silách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.2 Základní grafické konstrukce odvozené z věto dvou a o třech silách a věty o superpozici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.3 Grafické řešení statické rovnováhy vázaného tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.4 Grafické řešení statické rovnováhy soustavy těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310 Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 13010.1 Vazby typu NNTP – vazby s pasivními odpory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.1.1 Experiment, jeho vyhodnocení a zobecnění výsledků . . . . . . . . . . . . 13110.1.2 Obecné závěry vyplývající z experimentů a z praxe . . . . . . . . . . . . 13710.2 Aplikace teorie coulombovského smykového třenía tuhého valení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.2.1 Posuvná vazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.2.2 Těleso uložené v klínové drážce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.2.3 Pásové tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2.4 Radiální čepy – rotační vazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.2.5 Axiální čepy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2.6 Šroubová vazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2.7 Obecná vazba – podpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.3 Statická rovnováha pohyblivě uloženého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.4 Statická rovnováha soustav těles s pasivními vazbami . . . . . . . . . . . . . . . 14810.5 Řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15011 Základy analytické statiky. 17511.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.2 Statická rovnováha těles pomocí principů analytické mechaniky . . . . . . . . . 17611.2.1 Princip virtuální práce pro centrální silové soustavy . . . . . . . . . . . . 17611.2.2 Princip virtuální práce pro obecné silové soustavy . . . . . . . . . . . . . 177

OBSAH 1Vysoké učení technické v BrněFakulta strojního inženýrstvíIng. Zdeněk Florian, CSc. Doc. RNDr. Karel Pellant, CSc. Doc. Ing. Miroslav Suchánek, CSc.TECHNICKÁ MECHANIKA I - STATIKA2004

OBSAH 2PŘEDMLUVASkripta MECHANIKA TĚLES - STATIKA, která byla na Ústavu mechaniky těles, mechatronikya biomechaniky zpracována v rámci soustavy skript MECHANIKA TĚLES, jsou určenapro posluchače strojní fakulty.Jedná se o přepracované vydání skripta MT - Statika z roku 2003. Kapitoly 1,2 a 6-8zpracoval Ing. Z. Florian, CSc., kapitoly 3-5 a 11 Doc. RNDr. K. Pellant, CSc a kapitoly 9, 10a část kapitoly 6, týkající se tíhové síly Doc. M. Suchánek, CSc.Statika je předmětem problémovým. Snahou autorů bylo, aby skripta tuto problémovostzmírnila, ale aby současně formovala a rozvíjela současné přístupy. Jestliže se to podařilo alespoňčástečně a skripta se stanou skutečným studijním materiálem pro studium, zkoušku i život,budou autoři spokojeni.Na tento studijní materiál navazuje skriptum MECHANIKA TĚLES Úlohy ze statiky, vněmž jsou metodicky zpracována řešení základních tříd úloh. Snahou autorů je převést i tentostudijní materiál do elektronické formy.Autoři děkují za nepostradatelnou pomoc při zpracování textu a obrázků na počítači Ing. TomášiNávratovi a Ing. Marcele Šlechtové.Brno, listopad 2004Ing. Zdeněk Florian, CSc.Doc. Ing. Karel Pellant, CSc.Doc.Ing. Miroslav Suchánek, CSc.

1. Úvod. 31 Úvod.Studium mechaniky těles začíná předmětem statika. Protože se jedná o úvodní předmět mechanikytěles, připomeneme nejdříve některé souvislosti mechaniky těles s předměty, na kterénavazuje a její začlenění do inženýrského teoretického základu. Na začátku statiky uvedemetaké některé základní poznatky z jiných vědních oborů, které studentům pomohou k snadnějšíorientaci v současných přístupech mechaniky těles a inženýrství vůbec, ale také k snadnějšímupochopení výkladu v předkládaném skriptu.1.1 Mechanika těles a fyzika.Mechanika těles je součástí mechaniky, která patří k nejstaršímčástem fyziky. I když se studenti setkali s fyzikou na nižších stupníchškol a v prvním ročníku na VUT, připomeneme si základní problémya myšlenky, se kterými se ve fyzice setkáváme.Každý student ví, že fyzika je přírodní věda. Každá část přírodyse vyznačuje velkým množstvím prvků různých vlastností a vztahůmezi nimi. Přirozenou vlastností člověka je snaha nalézt základníprvky, vlastnosti a vztahy mezi nimi a tím pochopit a pokud možnoi popsat mnohotvárnost přírody pomocí malého počtu základníchprvků a vztahů mezi prvky.Názorně si můžeme tuto činnost přiblížit pomocí šachové hry.Člověk, který nezná šachy a ocitne se v roli diváka šachů vidí, žehra je velice rozmanitá (hraje se už několik tisíc let a má lidem stáleco říci), ale současně zjišťuje, že šachovnice a figurky jsou stále stejné Obr. 1.1:a také pohyb figurek není nahodilý a figurky se vzájemně ovlivňují.Snahou člověka je poznat základní prvky hry (šachovnici a figurky) a vztahy mezi nimi (pravidlapohybu figurek a vzajemné ovlivňování). Nemuseli jsme použít jako příkladu šachů, ale třebakaretní hry nebo tenisu.V případě fyziky , ale ne jenom fyziky, je to podobné. Velkou hrou je příroda (okolní svět).Člověk si velice brzy všiml jednotlivých částí vzájemně odlišných různými znaky jako napříkladbarvou, velikostí, materiálem, ale také charakterem pohybu. Odtud je už jen krůček k otázkám :Co mají společného různé druhy zvuků? Proč mají předměty různé barvy a kolik je základníchbarev? Proč se jednou prvek pohybuje rychle, jindy pomalu a někdy se vůči člověku nepohybujevůbec? Zodpovězením podobných otázek se člověk snaží z rozmanitých projevů přírody analyzovatvýznamné části a vztahy mezi nimi s nadějí, že opakováním tohoto procesu se přiblížík poznání základních prvků přírody a vztahům mezi nimi.Hledání odpovědí na dílčí otázky na základě pozorování, usuzování a experimentu nazývámevědeckou metodou. Všechny tři části vědecké metody mají velký význam, proto se s nimibudeme blíže zabývat.

1. Úvod. 41.2 Vědecká metoda - pozorování, usuzování, experiment.Pozorování.V předchozí části jsme si připomněli, že příroda se skládá ze vzájemně rozlišitelných částí,říkáme, že příroda je strukturovaná. Jednou ze základních schopností člověka je rozlišovat částipřírody, přírodu pozorovat. Pozorování je přirozenou činností člověka, při níž člověk vědoměrozlišuje části přírody s cílem získat nové informace. Rozlišovací možnosti člověka jsou dánypřirozenými schopnostmi člověka, technickými prostředky a znalostmi, které úroveň rozlišovacíchschopností zvyšují. Úroveň rozlišovacích schopností je obsahem pojmu rozlišovací úroveň.V souvislosti s tímto pojmem si musíme uvědomit, že rozlišovací úroveň je vždy omezenáúrovní rozvoje vědy a techniky v dané době. Rozlišovací úroveň omezenou současnou úrovnívědy a techniky budeme označovat jako objektivní rozlišovací úroveň. Vedle objektivní rozlišovacíúrovně je účelné vymezit absolutní, oborovou, věcnou, individuální a efektivní rozlišovacíúroveň.Absolutní - limitní rozlišovací úroveň, která je prakticky nedosažitelná. Na absolutní rozlišovacíúrovni by člověk rozlišoval vše.Oborová - rozlišovací úroveň charakteristická pro jistý vymezený obor např. strojírenství.Věcná - rozlišovací úroveň pro určité konkrétní případy daného oboru.Individuální - rozlišovací úroveň jedince nebo pracovního kolektivu daná jeho schopnostmia možnostmi.Efektivní - rozlišovací úroveň, která je nejvhodnější z hlediska řešeného problému.Nerespektování rozlišovací úrovně při řešení úloh nebo problémů je základní chybou se zásadnímidůsledky. Rozlišovací úroveň musíme respektovat nejen u pozorování, ale také při usuzovánía experimentu.Usuzování.Usuzování patří do procesů probíhajících ve vědomí člověka. Myslet a usuzovat znamenátotéž. Základními prvky myšlení jsou pojmy a soudy. Soud je slovní vyjádření vztahu mezipojmy, které bezprostředně souvisí s okolím člověka. Úsudek je pochod myšlení, jímž z danýchsoudů vyvozujeme soudy nové, poznatky. Myšlení probíhá v pojmech a vztazích. Důsledkempoužití nevhodného nebo nesprávného pojmu je nesmysl, zmatečný úsudek, což můžeme poznatokamžitě nebo až na základě závažných důsledků, kterými mohou být i havárie. Žádná teorie,tedy ani teorie mechaniky těles, se neobejde bez vymezení pojmů. Vzhledem k chybám, kterýchse studenti v pojmech dopouštějí a důsledkům z nich plynoucích (nesložení zkoušky), budemese pojmem v rozsahu nutném pro mechaniku těles zabývat.Z každodenní praxe víme, že člověk je schopen rozlišovat části okolního světa (věci, zvířata,osoby,.....,prvky) a vztahy mezi nimi. Ze zkušenosti je zřejmé, že celá skupina odlišných věcímůže mít ke člověku, případně jiným prvkům, stejný vztah. (Kuchyňský, konferenční, psací,operační - STŮL). U takové skupiny věcí existuje množina vlastností (zpravidla malá), kteroumá každý prvek této skupiny a která je významná z hlediska určité funkce. Tuto množinu budemenazývat množinou podstatných vlastností a nazveme ji, ale také odpovídající skupinu věcí,jménem. Určení skupiny podstatných vlastností a její pojmenování jsme provedli ve vědomí.Vytvořili jsme POJEM.

1. Úvod. 5Pojem je pojmenovaný objekt ve vědomí člověka, který obsahuje podstatné vlastnosti skupinyprvků. Pojem má své jméno, obsah (množinu podstatných vlastností) a rozsah (množinaprvků obsahujících podstatné vlastnosti). Vytváření pojmů je přirozenou vlastností člověka. Pojmyvznikají na základě přímého nebo zprostředkovaného odrazu objektivní reality a procesůve vědomí člověka.Pojem má složku:objektivní - přímý nebo zprostředkovaný odraz objektivní reality.subjektivní - je vymezen člověkem.společenskou - život člověka je společenský. Člověk sděluje jiným lidem své myšlenky prostřednictvímjazyka. Mají-li být myšlenky jiným lidem srozumitelné, pak jazyk i pojmy musíbýt společné. U pojmu to znamená, že členové společnosti pod určitým jménem majíve vědomí i stejný obsah.Experiment.Vedle pozorování a usuzování k vědecké metodě patří i experiment. Vymezení pojmuexperiment je velmi obtížné, protože název experimentu bývá spojován s různým obsahem.Pojem experiment vymezíme z hlediska vědecké metody.Čím se experiment výrazně odlišuje od dříve popsaných částí vědecké metody?Až dosud jsme uvažovali, že předmětem našeho zájmu je část samotné přírody na nižčlověk buď vůbec nepůsobil nebo působil jen zprostředkovaně. Cílem člověka je určení základníchprvků a vztahů mezi těmito prvky z hlediska určitého děje probíhajícího na vymezené částipřírody. Jestliže se snažíme určit základní prvky a vztahy mezi nimi ze samotné přírody je tovelmi obtížné, protože vedle sledovaného děje probíhají často i jiné děje a procesy, které z hlediskanašeho cíle působí rušivě. Proto člověk daný děj, proces nebude vyšetřovat v přírodníchpodmínkách, ale podmínky upraví tak, aby děj, který je předmětem jeho zájmu na materiálnímobjektu probíhal, ale pokud možno neprobíhaly děje jiné, které působí rušivě. Úprava podmínekmůže být velmi rozsáhlá a často představuje vytvoření nového materiálního objektu.Tedy experimentem nazveme činnost, kterou člověk provádí na materiálním objektu,jenž je upraven nebo vytvořen z hlediska jeho zájmu - poznání základních prvků a vztahů mezinimi - u vymezeného jevu, děje.Vedle pojmu experiment se vyskytují pojmy pokus a měření. Pro tyto pojmy můžemeopět uvést to, co bylo na počátku řečeno o experimentu. Obsahem pojmu pokus budeme rozumětexperiment, který je prováděn na počátku zkoumání jevu, děje, kdy o jeho struktuře toho mocnevíme. Cílem pokusu je získat základní informace umožňující určit nebo upřesnit strategiistudia daného jevu, děje.Měření je činnost při níž se určují kvantitativní údaje.Měřením bývá pojmenován také experiment, který je charakteristický tím, že strukturusledovaného jevu, děje známe, nebo je alespoň vytvořená hypotéza a cílem experimentu je získatkvantitativní údaje k potvrzení vytvořené hypotézy nebo k dalšímu studiu.Pojem experiment se tedy používá v širším a užším smyslu, což je schématicky znázorněnov následující tabulce.

1. Úvod. 6EXPERIMENTStudium jevu, děje na materiálním objektu za podmínek cílevědoměupravených člověkem z hlediska sledovaného cílePOKUS EXPERIMENT MĚŘENÍCíl získat vstupní Cíl vypracování, upře- Cíl získat kvaninformaceumožňu- snění hypotézy struktu- titativní údaje,jící upřesnit stra- ry jevu, děje. V tech- známe-li alespoňtegii studia jevu, nické praxi řešení pro- hypotézu děje,děje. blému. jevu.Tab. 1.11.3 Srovnání předmětu přírodních a technických věd.Základní vlastností přírody je její strukturovanost a základní schopností člověka je strukturovanostpoznávat, určovat a popisovat. Strukturovaností rozumíme tu skutečnost, že se přírodaskládá z prvků, které jsme schopni rozeznávat stejně tak, jako vztahy mezi prvky, na kterýchzávisí průběh různých přírodních dějů. Konkrétní děj neprobíhá v komplexu celé přírody, aleomezuje se na určitou část, přičemž průběh daného děje neovlivňují všechny prvky, ale pouzečást prvků a vztahů, které jsme nazvali podstatnými prvky a vztahy z hlediska daného děje.Podstatné prvky a vztahy mezi prvky vymezené z hlediska určitého děje tvoří strukturu přírodníhoděje.Předmětem přírodní vědy je vymezení, poznání a popis struktury určité skupiny přírodníchdějů, jevů na objektivní rozlišovací úrovni. Vedle věd přírodních máme vědy technické.Předmět a odlišnost předmětu technických věd od předmětu věd přírodních souvisí s poslánímtechniky. Posláním techniky je příprava, návrh, výroba, provoz a likvidace technických objektů,technických děl. Technické dílo je objekt materiální povahy vytvořený člověkem - skupinou lidí,kterou nazveme pracovním týmem, na základě společenské potřeby technického díla. Je vytvořenv konkrétní době, které odpovídá úroveň poznatků vědy a techniky. Realizace technickéhodíla je z časového a ekonomického hlediska omezená.Při tvorbě technického díla člověk tvůrčím způsobem využívá poznatků přírodních věd,tedy znalostí struktury přírodních jevů a dějů souvisejících s tvorbou technického díla a poznatkůtechnických věd. Přesto musí pracovní tým zpravidla řešit řadu problémů. Řešení těchtoproblémů na rozlišovací úrovni odpovídající nalezení a popisu struktury není z ekonomickéhoa časového hlediska možné, proto snahou pracovního týmu je vyřešení problému na rozlišovacíúrovni odpovídající tvorbě daného technického díla. Vyřešením problému získá pracovní tým,případně jeho zveřejněním společnost, nový technický poznatek.Ucelený, uspořádaný a systematizovaný soubor poznatků přírodovědného či technickéhooboru nazýváme teorií oboru. Teorie přírodovědných oborů je vytvářena na objektivní rozlišovacíúrovní. Vytvoření teorie technických oborů odpovídá charakteru řešených problémů danéhooboru. U teorie technických oborů musíme vždy uvažovat rozlišovací úroveň, na které byla teorievytvořena a při řešení problému souvisejících s tvorbou technického díla je nutné využívatteorii rozlišovací úrovně vedoucí k efektivnímu řešení.

1. Úvod. 71.4 Problémy, řešení problémů, inženýrství.Pojem problém jsme v předchozím textu již použili bez bližšího vymezení. Přestože o pojmuproblém má každý student intuitivní představu, budeme se tímto pojmem blíže zabývat, protožesouvisí se situacemi, kdy člověk prokazuje své schopnosti a v případě technických problémůinženýrský přístup.Jestliže analyzujeme lidské činnosti, pak v řadě případů vzniká situace, kdy po určitémpočtu kroků, které jsou typické výkonným charakterem, kdy člověk provádí činnost na základěznámého postupu, dochází k situaci, kdy další postup není známý nebo není jednoznačný.Vzniká problémová situace, kterou člověk musí řešit na základě rozhodnutí. K rozhodnutí můžečlověk přistoupit různě. Můžeme rozlišit tyto přístupy:Administrativní - zavolá šéfa, ať šéf řekne co dál, šéf vytáhne směrnice a řekne co dál - postupujepodle zpracované směrnice.Rutinní - člověk rozhodne na základě řešení předchozích obdobných situací.Tvůrčí - po zvážení všech dostupných informací vědomě a zodpovědně rozhodne pro efektivnínový přístup.Seriozní - po zvážení všech dostupných informací vědomě a zodpovědně rozhodne pro objektivněnejjistější postup.Odvážný - po zvážení všech dostupných informací vědomě a zodpovědně rozhodne pro postupefektivní, nový, u kterého však není jistota úspěšného ukončení činností.Unáhlený - rozhodnutí není provedeno na základě dostatečného množství dostupných informací.Neseriozní - řešitel rozhoduje bez informací, vědomě chybně podvodně, atd.Problém je stav v posloupnosti činností, který člověk musí změnit, protože další činnost- není známá - je nejednoznačná - je známá, ale došlo k porušení podmínek, za kterých jerealizovatelnáV celé civilizované historii lze sledovat dva principiálně odlišné přístupy člověka k řešeníproblémů. Je to způsob řešení problémů přímý a nepřímý. Při přímém řešení se řeší jen formulovanýproblém zvoleným postupem. Vede-li postup k cíli, problém se vyřeší. Nevede-li k cíli,začíná se úplně znovu, jinak. Je to přístup, který označujeme pokus - omyl.U nepřímého řešení, místo formulovaného problému řešíme jiný, snadněji zvládnutelnýproblém. Prostřednictvím jeho získáme řešení primárně formulovaného problému. Je to řešeníoklikou, při němž člověk využívá svých schopností přemýšlet, hodnotit, posuzovat a srovnávatrůzné varianty s cílem dosáhnout řešení s minimálním úsilím. Ve vědeckotechnické oblasti totořešení nazýváme modelováním. Má charakter chytrého, prozíravého, efektivního řešení.Nenítřeba zdůrazňovat, že řešení přístupem pokus - omyl, je v současné technice přijatelný jenu málo významných, jednoduchých a levných technických děl nebo pro řešení dílčího problémus malým počtem možných pokusů. Tímto postupem nelze řešit výstavbu atomových elektráren,vodních děl, dopravních prostředků atd. Zde je třeba v maximální míře využívat modelování.Detailnější popis modelování přesahuje rámec úvodní kapitoly těchto skript. Studenti jej mohounalézt v [1].

1. Úvod. 8Tvorba, provoz a likvidace technického díla se skládá z celého komplexu činností lidí,které na sebe navazují v časové posloupnosti příprava - návrh - výroba - provoz - likvidace.Příprava a hlavně návrhová část technického díla se vyznačuje významnými rozhodnutímiz hlediska kvality technického díla při celkové informační neurčitosti. Na počátku o novémdíle, kromě zadání není známo NIC. Pracovní tým, člověk musí svoji výkonnou, ale předevšímrozhodovací činností technické dílo vytvořit. K rozhodovacím činnostem člověk může přistoupitrůzně, jak je uvedeno na počátku odstavce. Má-li však nové technické dílo být úspěšné, tj. splnitpotřeby společnosti, být konkurence schopné, zaujmout ostatní lidi (společnost), pak musí býtvytvořeno tak, aby pravděpodobnost funkce, novosti a realizovatelnosti se blížila jedné, tedyjistotě. Tohoto lze dosáhnout tehdy, jestliže v rozhodovacích činnostech převažují přístupy -seriozní, odvážný, tvůrčí - a výkonné činnosti jsou charakterizované vysokou kvalitou. Tentopřístup souhrnně označíme - inženýrským přístupem. Jestliže se nyní podíváme na společnéznaky seriozního, odvážného a tvůrčího přístupu zjistíme, že vycházejí ze všech dostupnýchinformací týkajících se daného problému. Součástí dostupných informací je také, a to především,teorie oboru, kterého se daný problém týká.1.5 Mechanika těles jako předmět na fakultě strojní.Začlenění mechaniky těles do studia na strojní fakultě souvisí s cílem studia, tj. získání inženýrskéhovzdělání ve strojním oboru, které umožní studentům po získání praktických zkušenostívytvářet a řídit technická díla. V předchozích odstavcích jsme popsali základní způsoby vytvářenítechnického díla na inženýrské úrovni - modelováním. V celé historii lidstva je řešenívýznamných problémů spojeno s modelováním. Modelový přístup řešení problémů není v určitémčasovém období možný bez znalostí odpovídajících úrovni rozvoje vědy a techniky, tedy- bez přehledu o souboru vědeckých poznatků- bez vytvoření metody myšlení, která je charakteristická pro daný vědní obor (strojírenstvína fakultě strojní)- bez získání detailního přehledu o souboru znalostí, které jsou využívány v oboru (strojírenství).Významnou součástí tohoto souboru je teorie oboru.- bez přehledu základních dat oboruMezi základní předměty teoretického základu strojírenství patří teorie mechaniky těles,která je dále hierarchicky rozdělena podle následující tabulky.Úroveňsložitosti Předměty mechaniky těles v základním studiu na FSpředmětu1 statika kinematika2 dynamika pružnost a pevnost I a II3 předměty specializacíTab. 1.2Jaký je tedy cíl studia mechaniky těles na strojní fakultě?Osvojení přehledu a znalostí teorie mechaniky těles spolu s myšlením, které umožní tytoznalosti využívat při řešení problémů strojírenství modelováním.

1. Úvod. 9Jak už bylo uvedeno v předchozích odstavcích, osvojení teorie a myšlení určitého oborunení možné bez vymezení základních pojmů. (Pojem je základním prvkem myšlení.) Teorii oboru- ucelený, uspořádaný, systematizovaný soubor poznaků, který umožňuje logickými operacemizískávat nové informace a poznatky - si člověk lépe osvojí, jestliže zná systém jejího vytvářenía uspořádání. Pro získání přehledu si dále uvedeme základní způsoby vytváření teorie.Základními způsoby vytváření teorie jsou dogmatický, axiomatický, hypotetický a postulátový.Dogmatický: Vychází ze základních vět a operací, které umožňují vytváření vět nových. Základnívěty a operace jsou dány AUTORITOU, o které nelze pochybovat.Axiomatický: Vychází ze základních vět a logicko-matematických operací pomocí nichž vytvářínové věty a tvrzení. Základní věty musí tvořit axiomatický systém. Věty a tvrzení odvozenáz axiomů jsou dokazatelné. (Axiomatickým způsobem jsou vytvářeny teorie oborůmatematiky.)Hypotetický: Vychází z pozorování a studia dějů a jevů. Pravděpodobnostní výklad daného dějenebo jevu nazýváme hypotézou. Po ověření dané hypotézy vědeckými prostředky se hypotézastává poznatkem. Její formalizované vyjádření nazveme větou. Po získání určitéhomnožství poznatků provádíme jejich utřídění, formalizaci, systematizování a kompletizaci- VÝSTAVBU TEORIE. (Tento způsob je charakteristický pro teorie přírodních a technickýchvěd).Postulátový: Pro postulátový systém platí totéž, co pro hypotetický s tím rozdílem, že hypotézavychází z objektivní reality, je evidentní, případně demonstrovatelná. Postulát vycházíz intuice člověka.Při vytváření přírodovědných i technických teorií se uplatňuje především hypotetický a postulátovýzpůsob. Axiomatický systém je charakteristický pro vytváření teorií matematickýchdisciplín např. teorie eukleidovské geometrie.Důležitou úlohu při systematizování poznatků vědeckého oboru má způsob popisu nalezenýchpoznatků. V případě mechaniky těles jediným možným je matematický popis. Vzhledemk tomu, že statika tvoří nejstarší část mechaniky těles, je soubor základních poznatků zcelamatematicky formalizovaný a proto teorii statiky můžeme vytvořit axiomatickým způsobem.Axiomy v tomto případě mají charakter základních vět, jejichž pravdivost byla mnohokrátověřena. Vytvořený axiomatický systém odpovídá strojírenské rozlišovací úrovni. Má-li souboraxiomů splňovat podmínky axiomatického systému, musí být:Úplný - obsahuje všechny axiomy nutné pro odvození všech vět a tvrzení dané teorie.Bezrozporný - věty a tvrzení odvozené z tohoto systému nesmí být rozporné.Nezávislý - žádný z axiomů nelze odvodit ze zbylých axiomů. Tato podmínka je splněna na odpovídajícírozlišovací úrovni.Teorie statiky v tomto skriptu je vytvořena axiomaticky, s možností jejího využití přiřešení problémů strojírenství modelováním. Poznatky statiky jsou popsány matematicky a většinaúloh a příkladů je řešena výpočtovým nebo grafickým způsobem. Znalost matematiky,odpovídající studiu na střední škole a v prvním ročníku na VUT, je vyžadována. Neznalostmatematiky v uvedeném rozsahu má pro studenta závažné důsledky - nesložení zkoušky.Z dříve uvedených souvislostí je zřejmé, že vytváření žádné teorie se neobejde bez vymezenía upřesnění pojmů. Proto po uvedení axiomů budeme pokračovat základními pojmy.

1. Úvod. 101.6 Axiomy mechaniky těles se zaměřením na statiku.1.6.1 Axiom o prostoru a čase.a) Prostor je trojrozměrný, spojitý, izotropní, euklidovský, inerciální a absolutní.b) Čas je skalární, spojitá, ve všech bodech prostoru shodná, kladná rovnoměrně rostoucíveličina, charakterizující současnost a následnost jevů v prostoru.1.6.2 Axiom o hmotnosti.Každému prvku tělesa lze přiřadit hmotnost jako skalární veličinu charakterizující gravitačnía setrvačné vlastnosti prvku.1.6.3 Axiom o energii a zachování energie.Energie je skalární veličina, která vyjadřuje míru změny děje. U uzavřených systémů jeenergie konstantní.1.6.4 Axiom o silovém působení.a) Silové působení v δ okolí bodu A, které je z hlediska silového působení nepodstatné, jevektorová veličina — síla ⃗ F vázaná k bodu A. Síla ⃗ F má vlastnosti vektoru vázaného kbodu.Obr. 1.2:

1. Úvod. 11b) Působení síly F ⃗ v bodě A tělesa lze z hlediska pohybové ekvivalence vyjádřit v libovolnémbodě B silou F ⃗ a momentem M ⃗ B = BA ⃗ × F ⃗ .Obr. 1.3:c) Působení soustavy sil π 1 = {A i , ⃗ F i } na těleso T je pohybově ekvivalentní s působenímsoustavy π 2 = {A j , ⃗ F j } jestliže platí:n∑⃗F i = F ⃗ v 1 = F ⃗ v 2 =i=1m∑⃗F j (1.1)j=1n∑⃗M Bi = ⃗ M 1 V B = ⃗ M 2 V B =m∑⃗M Bj (1.2)i=1j=1Obr. 1.4:kde B je bod E 3 .

1. Úvod. 121.6.5 Axiom o příčinné souvislosti mechanického pohybu a silového působení natěleso T.Pohyb tělesa jako celku.a) Těleso zůstává v klidu nebo v rovnoměrném pohybu, pokud není vnějšími okolnostminuceno tento stav změnit.b) Příčinná souvislost pohybu tělesa T jako celku a silového působení je vyjádřena vztahy:d(m⃗v)dt=n∑⃗F ii=1d(J⃗ω)dt=n∑i=1⃗M i (1.3)c) Existuje-li mezi dvěma tělesy T 1 a T 2 silové působení v δ okolí stykového bodu A ≡(A 1 , A 2 ) , které je z hlediska silového působení nepodstatné a vyjádříme-li silové působeníT 1 na T 2 silou F ⃗ }12T 2 na T 1 silou F ⃗ =⇒ pak platí F12 ⃗ = −F ⃗ 21 v A ≡ (A 1 , A 2 )21Obr. 1.5:Deformace.d) Existuje příčinná souvislost mezi silovým působením a deformací tělesa. Tuto souvislostnelze explicitně jednoduše vyjádřit. Její vyjádření je předmětem pružnosti a pevnosti.Porušování spojitosti.e) Existuje příčinná souvislost mezi silovým působením a porušováním spojitosti tělesa.Vyšetřování a popis této souvislosti je předmětem pružnosti a pevnosti.

1. Úvod. 131.6.6 Axiom o styku těles.V bodech styku těles je pohyba) omezen ve směru normály v důsledku neprostupnosti tělesb) je ovlivněn v tečném směru, míra ovlivnění závisí napodmínkách ve stykuc) je závislý na dodávání energie do styku, která je nevratnáObr. 1.6:Obrázek ke kapitole 3

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 142 Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku.Hmota - Základní filosofická kategorie, jejímž obsahem je objektivní realita jako protiklad vědomíčlověka. Základními atributy existence hmoty jsou prostor, čas, pohyb. Konkretizacíhmoty na strojírenské rozlišovací úrovni je hmotný objekt, který je účelově vymezen zájmemlidí z hlediska řešeného problému.Prostor - Obsah pojmu prostor je na objektivní rozlišovací úrovni stále předmětem zájmuvědců, kteří se snaží odpovědět na otázky týkající se konečnosti, zakřivení, dimenze atd.Na strojírenské rozlišovací úrovni je obsah pojmu prostor předmětem axiomu A1a.Prostor je trojrozměrný, spojitý, izotropní, eukleidovský a absolutní.- absolutní - lze vždy vymezit hmotný útvar, který určuje základní těleso se kterým můžemespojit základní souřadnicový systém (základním tělesem u strojů je rám nebo základstroje).- trojrozměrný - báze prostoru má dimenzi tři. Každý bod prostoru vzhledem k základnímuprostoru (vztažnému prostoru) je jednoznačně určen třemi souřadnicemi. Viz obr. 2.1b.- izotropní - vlastnosti hmotného objektu jsou nezávislé na orientaci v prostoru.- eukleidovský - platí v něm axiomy eukleidovské geometrie (vzdálenost dvou bodů, úheldvou přímek atd. určíme vztahy eukleidovské geometrie viz obr. 2.1a).- inerciální - rovnice popisující mechanický pohyb jsou nezávislé na pohybu základníhoprostoru.- spojitý - principiálně lze rozlišit libovolně blízké dva body.Obr. 2.1:

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 15Čas - Obsah pojmu čas na strojírenské rozlišovací úrovni je vymezen axiomem A1b.Čas je skalární, spojitá, ve všech bodech prostoru shodná, kladně,rovnoměrně rostoucí veličina charakterizující současnost a následnostjevů a dějů.- skalární veličina - je vyjádřena jedinou mírou nezávislou na prostorové orientaci.- spojitá - principiálně lze rozlišit libovolně blízké časové okamžiky.- shodná ve všech bodech prostoru - míra času je nezávislá na poloze v prostoru.- kladně rovnoměrně rostoucí - čas postupuje vždy od minulosti do budoucnosti ve stálémrytmu.- současnost a následnost dějů - můžeme rozlišit, zda jeden děj předcházel nebo následovalděj druhý.Pohyb - Obsahem pojmu pohyb na objektivní rozlišovací úrovni jsou časoprostorové změny naobjektu. Pohyb z filosofického hlediska se dále hierarchicky dělí, přičemž nejjednoduššíformou je mechanický pohyb.Mechanický pohyb - je nejjednodušší formou pohybu hmoty, při které nedochází ke změně molekulárnístruktury a nejedná se o pohyb biologický ani společenský.Mechanický klid - je pohybový stav, charakterizovaný změnou vzdálenosti tělesa k základnímutělesu podle vztahu l = v.t + l 0 , přičemž v = konst. a nenastává rotace - rovnoměrný přímočarýpohyb nebo těleso pouze rotuje kolem pevné osy souměrnosti konstantní úhlovourychlostí.Mechanický jev - je každý jev v objektivní realitě, který je možné vyjádřit mechanickým pohybem,tedy časovou změnou vzdáleností - mezi hmotnými objekty - na hmotných objektech- změnou příslušnosti k hmotnému útvaru.Subjekt - Člověk - Člověk, který má vědomí s vůlí.Objekt - Obsahem pojmu objekt je vše, co je předmětem zájmu subjektu - člověka.Těleso - je reálný objekt, u kterého je hmota ve formě látky v tuhém skupenství s možnostídeformace.Interakce - je vzájemné ovlivňování, které jsme schopni popsat veličinami na vymezené rozlišovacíúrovní. Aby interakce mohla nastat musí mezi hmotnými objekty existovat spojení.Vazba - spojení, které umožňuje interakci a je popsáno veličinami na vymezené rozlišovacíúrovni.Veličina - Obsahem pojmu veličina je vyjádření vymezených vlastností objektu z kvalitativníhoa kvantitativního hlediska ve formalizovaném tvaru.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 16Obsah uvedených pojmů byl vymezen nejstručnějším možným způsobem. V kapitole 1. jsmevymezili řadu důležitých pojmů jako např. rozlišovací úroveň, experiment, technické dílo atd.Názvy těchto pojmů jsou vytištěné kurzivou a podtržené. Vymezení těchto pojmů nebudemeopakovat. Detailnější popis přesahuje rámec těchto skript a není nezbytně nutný na počátkustudia mechaniky, je však uveden v [1]. Seznámení s ním je vhodné pro pochopení širšíchsouvislostí mechaniky a dalších oborů.2.1 Konkretizace obecných pojmů z hlediska mechaniky tělesa pojmy mechaniky těles.Mechanický pohyb - nejjednodušší forma pohybu. Z hlediska mechaniky těles se dělí na tytosložky - pohyb tělesa jako celku, deformace, porušení spojitosti, oddělování části tělesa.Viz obr. 2.2 a-d.Obr. 2.2:a) složkou pohybu tělesa jako celku rozumíme část mechanického pohybu, při které se měnívzdálenost bodů tělesa vzhledem k souřadnicovému systému spojenému se základním

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 17tělesem, ale nemění se vzdálenost libovolných dvou bodů a úhel libovolných tří bodůtělesa.b) Deformací rozumíme složku mechanického pohybu, která je charakteristická změnouvzdálenosti libovolných dvou bodů, resp. změnou úhlu libovolných tří bodů tělesa, přineuvažování pohybu tělesa jako celku.c) Ke změně spojitosti tělesa došlo, jestliže existují dva body A, B tělesa T takové, že včase t 1 jsou všechny body spojnice AB prvky tělesa T a v čase t 2 existuje bod spojniceA ′ B ′ , který není prvkem T, přičemž na dané rozlišovací úrovni je AB = A ′ B ′ .d) Ke změně příslušnosti k tělesu dochází, jestliže v časovém intervalu došlo k odděleníčásti tělesa T.Těleso - reálný objekt, jehož hmota je ve formě látky v tuhém skupenství. Na strojírenské rozlišovacíúrovni je charakteristické těmito vlastnostmi.1. Tvoří celek - tím budeme rozumět, že každá část tělesa je současně vlastností celéhotělesa.2. Je soudržné - to znamená, že oddělení části tělesa vyžaduje úsilí, které je nevratné.(Oddělení a opětovné připojení má za následek změnu vlastností)3. Je neprostupné - zaujímá-li těleso T prostorovou oblast, pak tuto oblast nemůže současnězaujímat jiné těleso T .4. Je vymezitelné údaji - o geometrii, materiálu, o vazbách a interakcích s okolím.5. Je deformovatelné - nastane-li interakce tělesa T s okolím, která je významná z hlediskamechanického pohybu, pak dochází vždy k deformaci tělesa.Uvážíme-li uvedené vlastnosti, snadno zjistíme, že každé těleso podle běžné představytyto vlastnosti má a jen si je běžně neuvědomujeme. V mechanice těles tyto vlastnosti musímevědomě uvažovat. V návaznosti na znalosti fyziky si v souvislosti s reálným tělesem uvědomujeme,že na objektivní rozlišovací úrovni je reálné těleso soustavou elementárních částic, jejichžstruktura určuje vlastnosti tělesa.V mechanice těles o vnitřní struktuře víme, ale na rozlišovací úrovni strojírenstvíje nerozlišitelná a není předmětem zájmu.V předmětech mechaniky těles na strojní fakultě se budeme zabývat technickými tělesy.Jsou to tělesa, která mají charakter prvků technických děl, což znamená, že jsou pro lidi potřebná,jsou předmětem jejich zájmu, lidmi cílevědomě vytvořená, vyrobitelná a funkční. Ztechnických těles se zaměříme na tělesa typická pro strojírenství (např. spalovací motor, převodovka,válcovací stolice - soustavy těles, hřídel, spojka, ozubené kolo - tělesa). Pokud ve výkladunehrozí nebezpečí chybného vysvětlení budeme přívlastky ”technické” a ”strojírenské” v názvutechnické těleso a strojírenské těleso vynechávat. Reálnému tělesu z hlediska zájmu přiřadímetěleso abstraktní.Abstraktní těleso - je abstraktní objekt - spojitá, neprostupná ohraničená oblast prostoru E 3 ,jejímuž každému bodu jsou přiřazeny charakteristiky silového působení polí a povrchovýmbodům jsou přiřazeny charakteristiky styku.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 18Ve strojírenství se běžně vyskytuje pole gravitačních a pole setrvačných sil. Pak jedinoumateriálovou charakteristikou je jeho hustota . Hodnoty hustoty základních strojírenskýchmateriálů jsou uvedeny v tabulce . Jejich znalost se vyžaduje.materiál kgm −3ocel 7, 85.10 3litina 7, 30.10 3hliník 2, 70.10 3měď 8, 90.10 3zinek 7, 10.10 3olovo 11, 30.10 3Tab. 2.1Obdobně jako u pojmu technické těleso, pokud nehrozí nebezpečí chybného výkladu přívlastkyreálné a abstraktní těleso budeme vynechávat.Tuhé těleso - Každé reálné těleso je deformovatelné. Obsahem pojmu tuhé těleso je těleso, jehoždeformace z hlediska řešeného problému je nepodstatná. V případě teorie se jedná ověty a tvrzení odvozená za předpokladu nepodstatné deformace.Dokonale tuhé těleso - Přívlastek ”dokonale” u tuhého tělesa nemá smysl, proto pojem dokonaletuhé těleso nebudeme používat.POZOR!!! Výrok: ” Tuhé těleso je těleso, které se nedeformuje ”, je nepravdivý asvědčí o nepochopení pojmu tuhé těleso nebo o nedostatečném osvojení obsahu pojmu tuhétěleso studentem, což je nepřípustné.Prvek tělesa - je každá oddělitelná část tělesa, která má vlastnosti 1-5 tělesa.Soustava těles - je soubor těles, vázaných vazbami, které jsou významné z hlediska mechanickéhopohybu a tvoří celek.2.2 Interakce a vazba.Vymezíme-li v objektivní realitě dva hmotné objekty H 1 , H 2 a sledujeme-li jejich vzájemnévztahy, můžeme zjistit, že na dané rozlišovací úrovni se tyto objekty- vzájemně ovlivňují - jsou vzájemně vázané- vzájemně se neovlivňují - jsou volnéMíru vzájemného ovlivňování můžeme vyjádřit slovně; malé - velké, významné - nevýznamné,slabé - silné, s malým dosahem - s velkým dosahem atd. Z hlediska úrovně vědy atechniky je toto vyjádření nedostatečné a snažíme se je nahradit vyjádřením veličinami. Pakhovoříme o interakci hmotných objektů.Interakce je vzájemné ovlivňování objektů, které je vymezeno veličinami.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 19Interakce mezi objekty může nastat, jestliže mezi objekty existuje spojení. Spojení, kteréje vymezeno veličinami nazveme vazbou. Jestliže ve vazbě dochází k interakci mezi hmotnýmiobjekty, pak dochází k přenosu látky, energie a informace.Vazba je spojení hmotných objektů, které umožňuje jejich interakci a je vymezenoveličinami.Existence vazby mezi hmotnými objekty H 1 a H 2 neznamená, že interakce právě probíhá,je však nutnou podmínkou možné interakce. Podle toho zda nastává či nenastává interakceprostřednictvím vazby, budeme v mechanice těles rozlišovat vazby:- funkční - vazba existuje a interakce v daném okamžiku probíhá- nefunkční - vazba existuje, interakce je možná, ale v daném okamžiku neprobíhá.POZOR!!! Pro nefunkční vazbu nebudeme používat název pasivní, který označujejinou vlastnost vazby.Interakce hmotných objektů mohou mít nejrůznější charakter stejně jako vazby, kteréinterakce umožňují. V mechanice těles se zabýváme pouze mechanickými vazbami a interakcemi,prostřednictvím nichž dochází k mechanickému pohybu.2.3 Interakce, silové působení, síla.V předchozím odstavci jsme vymezili pojem interakce na úrovni vědy a techniky. Interakci,která je významná z hlediska mechanického pohybu nazýváme silovou interakcí. Silovou interakci,která nastává mezi tělesy označíme v mechanice těles názvem silové působení. Základnívlastností tělesa je jeho deformovatelnost, nastane-li mezi tělesy silové působení, pak docházík přenosu energie ve stykovém útvaru, který je z geometrického hlediska prostorovým neboplošným útvarem. Pokud velikost tohoto útvaru je nepodstatná z hlediska silového působení ařešeného problému, pak silové působení nazveme SILOU. Viz axiom A4a a obr. 2.3.Silové působení v nepodstatném δ okolí bodu A tělesa je vektorová veličina —síla ⃗ F vázaná k bodu A.Silové působení je vázáno na plošnou oblast, síla na bod této oblasti. Otázkou zůstává, kterýbod vybrat? Silové působení můžeme vyjádřit silou, pouze v případě, že styková oblast jenepodstatná. Pak je také nepodstatné, který bod oblasti zvolíme.Z předchozího vyplývá, že silové působení, síla vyjadřuje interakci hmotných objektů,která je podstatná z hlediska mechanického pohybu. Mechanický pohyb hmotných objektů jevýznamně ovlivněn mechanickými vazbami. Odtud plyne, že silové působení závisí na počtu acharakteru vazeb, kterými je objekt vázán k jiným reálným objektům. Vzhledem k tomu, žepředmětem našeho zájmu je těleso a na počátku studia mechaniky těles, těleso spojité, budemese dále zabývat uložením tělesa z hlediska pohybu tělesa jako celku, deformace a silovéhopůsobení na těleso.Uložením tělesa rozumíme soustavu stykových vazeb, kterými je těleso vázáno.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 20Obr. 2.3:2.4 Těleso volné, vázané a uvolněné.Každé reálné těleso je vázáno ke svému okolí různými typy vazeb. Dále se omezíme pouze navazby, které významně ovlivňují pohyb tělesa jako celku a deformaci. Jsou to všechny vazby,které zprostředkují silovou interakci, jejíž mírou je silové působení na těleso.Pro tyto vazby, které nazýváme mechanické, platí:Každé mechanické vazbě, která podstatně ovlivňuje pohyb tělesa jako celkua deformaci, lze přiřadit silovou soustavu, která je vyjádřením a mírou změnymechanického pohybu, způsobené touto vazbou.V souladu se skutečností, můžeme konstatovat, že mechanické vazby ovlivňují pohybtělesa jako celku a deformaci, přičemž toto ovlivnění může být podstatné nebo nepodstatné zhlediska řešeného problému.Rozlišení mechanických vazeb a jim odpovídajících silových soustav na podstatnéa nepodstatné je NEJVÝZNAMNĚJŠÍ etapou řešení problémů modelováním.V dalším výkladu budeme předpokládat, že vazby z hlediska řešeného problému a přípravyna řešení problémů praxe jsou podstatné. Jestliže se zamyslíme nad uvedenými souvislostmia každodenní praxí, pak zjistíme, že v běžném životě nebývá zvykem uvažovat mechanickouvazbu a silové působení ve vzájemné souvislosti. Zpravidla uvažujeme pouze jednu stránkutohoto vztahu (silně vytištěná).gravitační síla ←→ gravitační vazba viz obr. 1.6 str. 13elektromagnetická síla ←→ elektromagnetická vazbasetrvačná síla ←→ vazba, která se projevuje setrvačnými účinky - setrvačná vazbastyková síla ←→ styková vazbaZa povšimnutí stojí, že účinky gravitační, elektromagnetické a setrvačné vazby vyjadřujemesilovým působením, ale stykovou vazbu hodnotíme z důsledků styku. Z uvedeného jezřejmé, že vazby stykem mají z hlediska mechanického pohybu zvláštní vlastnosti, které jsoudány ostře vymezeným povrchem a neprostupností těles. Proto mechanické vazby dělíme nadva základní typy:- vazby silové, — které mechanický pohyb ovlivňují- vazby stykem, — které mechanický pohyb ovlivňují a omezují

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 21Ovlivnění a omezení chápeme z hlediska mechanického pohybu takto: Představme si tělesov základním prostoru, které je v počátečním okamžiku t 0 v klidu a uvažujme tyto případy(viz obr. 2.4)a) těleso volné(vazby jsou nerozlišitelné)b) těleso v gravitačním polizemském (směr ⃗g je totožnýs osou y) viz obr. 2.4bc) těleso je v elektromagnetickémpoli podle obr. 2.4cd) těleso v gravitačníma elektromagnetickémpoli viz obr. 2.4d- těleso zůstává v klidu- těleso se pohybuje rovnoměrnězrychleným pohybemve směru osy y.- těleso se pohybuje vesměru osy x, charakterpohybu závisí na charakteruelektromagnetickéhopole.- výsledný pohyb tělesa jeurčen složením pohybů c)a d).Obr. 2.4:Je-li těleso vázáno silovými vazbami, pak mechanický pohyb tělesa je možný,ale závislý na charakteru silových vazeb - pohyb je ovlivněn.e) těleso je ve styku sezákladním tělesem, kterése nepohybuje viz obr. 2.5af) těleso je ve styku se základnímtělesem a nacházíse v gravitačním polizemském viz obr. 2.5b- těleso je v klidu- těleso zůstává v klidu,vazba stykem omezuje pohybtělesa jako celku vesměru osy y.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 22g) těleso je ve styku se základnímtělesem a nacházíse v gravitačním polizemském a elektromagnetickémpoli viz obr. 2.5c- těleso se pohybuje ve směruosy x. Charakter pohybuzávisí na charakteru elektromagnetickéhopole a silovýchpodmínkách ve styku.Pohyb tělesa jako celku jestykovou vazbou ve směruosy y omezen a ve směruosy x je ovlivněn oběmavazbami.Je-li těleso vázáno stykovou vazbou, pak pohyb tělesa jako celku v místě stykuve směru normály je omezen v důsledku neprostupnosti tělesa. V tečném směruje ovlivněn. Viz obr. 2.5.Obr. 2.5:Soustava stykových vazeb nebo vazba se složitou geometrií styku omezuje nejenpohyb tělesa jeko celku, ale také deformaci viz obr. 2.6.Obr. 2.6:

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 23K silovým vazbám vedle vazeb silovými poli patřítaké vazby stykem tělesa s prostředím (kapalina, plyn). Přistyku tělesa s prostředím nedochází k omezení mechanickéhopohybu, protože prostředí se přizpůsobuje poloze atvaru tělesa - pohyb pouze ovlivňuje. Viz obr. 2.7.Těleso může být ke svému okolí vázáno soustavouvazeb různých typů. Podle významu této soustavy vazeb zhlediska pohybu tělesa jako celku a deformace rozlišujeme:Těleso volné -Obr. 2.7:mechanické vazby (silové a stykem) tělesa s okolím jsou nerozlišitelné.Těleso s nepodstatnými vazbami - mechanické vazby tělesa s okolím jsou rozlišitelné, ale z hlediskařešeného problému nepodstatné.Těleso vázané - těleso je s okolí vázáno buď silovými nebo stykovými, případně silovými i stykovýmivazbami, které jsou z hlediska řešeného problému podstatné.Podíl stykových a silových vazeb je významnou charakteristikou oborového zaměřenímechaniky těles. V nebeské mechanice jsou zcela dominantní vazby silové - gravitační. Stykvesmírných těles je mimořádnou situací ve vesmíru s velmi malou pravděpodobností. Pro nebeskoumechaniku jsou charakteristické vazby silové.Ve strojírenství, pro stroje a zařízení je typický velký počet součástí, které jsou ve stykua jen omezený počet silových vazeb. Pro strojírenství je tedy charakteristické, že dominantníjsou vazby stykem, i když v současném strojírenství je tendence ke zvyšování počtu silovýchvazeb (hydraulika, pneumatické soustavy, lineární elektromotory atd.). Vazby stykem jsou všakstále ve strojírenství primární.Vztah mezi mechanickými vazbami, kterými je těleso vázáno a silovým působením natěleso, vymezený z hlediska mechanického pohybu, je základním vztahem silového přístupu,kterým výklad mechaniky těles začínáme. V souvislosti se silovým přístupem vysvětlíme základní,zdánlivě jednoduchou, ale myšlenkově obtížnou operaci, kterou nazýváme uvolněnímvázaného tělesa. K uvolnění vázaného tělesa je třeba myšlenkově nahradit mechanické vazbytělesa s okolím silovým působením, silami při zachování funkce tělesa v mechanice těles pohybutělesa jako celku a deformací. Uvolňování je abstraktní operací probíhající ve vědomí člověka.Výsledkem uvolnění vázaného tělesa je uvolněné těleso, na které působí soustavaúplně a neúplně určených sil, při zachování pohybového stavu tělesa.V mechanice těles jako teoretické discilíně se obtížnost uvolňování zvyšuje tím, že kreálnému tělesu přiřazujeme abstraktní těleso popsané systémem veličin a operace uvolňováníse realizuje na tomto abstraktním tělese. Na základě znalostí z fyziky umíme popsat silovépůsobení u některých silových vazeb (např. gravitační) veličinami. Interakci tělesa s okolím,prostřednictvím těchto vazeb, někdy vyjadřujeme v zadání úloh silovým působením bez bližšíspecifikace určení těchto veličin.

2. Základní pojmy mechaniky těles se zaměřenímna statiku. 24Zdánlivá jednoduchost a skutečná náročnost na jednéstraně a závažnost na straně druhé vyžadují, aby operaceuvolňování byla cílevědomě a dlouhodobě rozvíjenák jejímu pochopení a vědomému osvojení. Teprve pak jepro člověka jednoduchá.Po vymezení základních pojmů týkajících se jevů a přístupůpři vyšetřování a popisu mechanického pohybu těles,vztahů mezi vazbami, kterými je těleso vázáno, změnoumechanického pohybu způsobeného těmito vazbamia silovým působením na těleso, můžeme přistoupit k vymezenípředmětu mechaniky a jejímu dalšímu dělení.Obr. 2.8:

3. Silové působení na hmotné objekty. 253 Silové působení na hmotné objekty.3.1 Síla a její posuvné účinkyV této kapitole si popíšeme vlastnosti silových účinků působících na konstrukce a reálné mechanickésoustavy. Zavedeme kvantitativní popis síly jako vektorové veličiny charakterizující míruinterakce (vzájemného působení) mezi tělesy. Účinek síly na hmotný objekt přitom může býtstatický nebo dynamický. Při dynamickém působení se mění pohybový stav studovaného objektutj. dochází ke změně rychlosti jednotlivých bodů tělesa. Jsou li vazby takového charakteru,že vyvolaný pohyb je posuvný (trajektorie všech bodů při tomto pohybu jsou stejné, navzájemposunuté křivky), pak tato změna rychlosti je vyjádřena pomocí 2. Newtonova zákona⃗F =d(m · ⃗v)dtPři statickém účinku sil na hmotný objekt nedochází ke změně pohybového stavu protoževšechny síly působící na objekt jsou v rovnováze a jejich účinek se vzájemně vyruší. Při statickémúčinku sil na dokonale tuhé těleso přitom nedochází k přetvoření tvaru tělesa.(3.4)3.1.1 Rozdělení silPojem síly vznikl generalizací a abstrakcí subjektivního lidského pocitu tahu nebo tlaku. Příklademmůže být působení lana na konzolu Jeho abstrakce je reprezentovaná vektorem (vizobr.3.1), který leží na přímce p (nositelce síly) a prochází bodem tělesa (působištěm). Vzájemnépůsobení těles přitom nemusí být uskutečňováno přímým kontaktem těles, nýbrž i působenímna dálku tj. silovým polem. (např. polem gravitačním). Jak je z názoru popř. z obr. 3.1 zřejmé,pro určení síly jako fyzikální veličiny je nutné zadat místo jejího působení (působiště), směr,smysl působení (orientaci) na určité přímce (nositelce) a konečně velikost síly tj. míru intenzityjejího působení. Síla má tedy charakter vektoru vázaného na bod a její účinky na těleso jsoujednoznačně popsány pomocí působiště, velikosti, směru působení a orientací.Obr. 3.1:Graficky sílu znázorňujeme pomocí orientované úsečky ⃗ F , počátek této úsečky (v případěže se jedná o tahovou sílu) nebo konec této úsečky (v případě že se jedná o tlakovou sílu). Měřícíjednotkou pro vyjádření velikosti síly je [F ] = [kg.m.s 2 ] = [N](Newton). Při znázorňování sílyv rovině délka úsečky vektoru síly v geometrických jednotkách (např.v cm) je úměrná velikostisíly ve fyzikálních jednotkách (např. v Newtonech), šipka určuje smysl působení síly. Všechnysíly příslušející k jednomu a témuž objektu (tělesu, soustavě těles) vytváří silovou soustavu.

3. Silové působení na hmotné objekty. 26Jestliže působiště sil je omezeno na malou plošku, jejíž velikost můžeme oproti plošepovrchu hmotného objektu zanedbat tj. můžeme ji se zanedbatelnou ztrátou přesnosti soustředitdo bodu, pak takové síly budeme nazývat soustředěné (bodové, izolované, osamocené) síly). Vpřípadě, že působení sil není omezeno na bod, pak budeme hovořit o spojitém silovém působení(např. síly na kontaktu pneumatiky s vozovkou, síly v čepech apod.). Podle charakteru oblastikterá je z hlediska spojitého silového působení významná budeme rozeznávat:a) spojité objemové působení- v tomto případě síly působí v objemu tělesa (např. síly gravitační).Spojité objemové působení je určeno, je- li v každém bodě prostorové oblastitělesa Ω známa hodnota měrné objemové síly ⃗o = ⃗o(x, y, z)působící na jednotkový objemtělesa. Např. při působení gravitačního pole Země působí gravitační síly spojitě v celémobjemu tělesa, v případě hustotně homogenního tělesa je velikost měrné objemové sílyrovna ⃗o = ρ · ⃗g , kde ρ je hustota tělesa a ⃗g je gravitační zrychlení. V technické mechanice, kde rozměry těles můžeme považovat za velmi malé vzhledem k Zemi, obvyklepředpokládáme, že g má v celém objemu stejnou velikost g=9,8066m.s-2 a stejný směr.Dalšími objemovými silami mohou být síly setrvačné, elektromagnetické apod. Elementárníobjemová sílad ⃗ F o působící na elementární objem tělesa dV tělesa je vyjádřena vetvaru d ⃗ F o = ⃗o · dVb) plošné silové působení- při vzájemném styku těles se skutečná tělesa deformují a stýkají sev konečné ploše (obr. 3.2). Síly přenášené ve stykových plochách jsou tedy obecně silamiplošnými a působištěm je spojitá plocha G na povrchu tělesa. Plošné silové působení jeurčeno je- li v každé místě plochy známa hodnota síly působící na jednotku plochy tj. tlaku⃗p = ⃗p(x, y, z) , elementární síla působící na elementárníplochu dS je dána d ⃗ F p = ⃗pdSObr. 3.2:c) liniové silové působení- v tomto případě je stykovým útvarem prostorová křivka k (obr.3.3). Liniové silové působení je určeno je- li v každém bodě této křivky známa hodnotaměrné liniové síly (intenzity)⃗q = ⃗q(x, y, z) (tj. síly působící na jednotku délky) . Elementárnísíla působící na elementární část křivky dq je dána d ⃗ F q = ⃗qdl.S liniovým resp. plošným zatížením se zpravidla setkáváme při vzájemném styku těles, alemůže to být také kontakt tělesa s prostředím (např. tlak plynu). V praxi silové zatížení býváspojité podél přímé linie, orientace elementárních sil je přitom kolmá na tuto linii. V prvéfázi zpravidla reálné spojité zatížení musíme nahradit výpočtovým modelem, který je průběhs konečným počtem nespojitostí. Schematicky je to ukázáno na obr.3.4.

3. Silové působení na hmotné objekty. 27Obr. 3.3:Obr. 3.4:Každý po částech spojitý rozložený silový účinek můžeme přitom chápat jako soustavuneohraničeného počtu elementárních silových účinků. Výpočet si ukážeme pro případ působenípodél přímé úsečky délky L. Např. na obr. 3.5Obr. 3.5:je znázorněno zatížení nosníku postupně se navyšující cihlovou stěnou, zatížení nosníkupak můžeme charakterizovat lineárně se zvyšujícím liniovým zatížením q 1 (x) = 2003 x[Nm−1 ] ,reakce od rámu pak konstantním liniovým zatížením q 2 (x) = 75[Nm −1 ] a q 3 = w .Podrobněji

3. Silové působení na hmotné objekty. 28budou plošné síly a liniové síly probírány v dalších částech mechaniky (pružnosti, hydromechanice).Uvedené síly kontaktní a objemové (vyvolané účinkem silového pole), jsou pro sledovanýobjekt silami vnějšími. Síly které působí uvnitř sledovaného objektu (tělesa, soustavy těles) azabezpečují jeho celistvost jsou silami vnitřními. Síly které jsou primární příčinou změny pohybovéhostavu tělesa jsou silami akčními, síly reakční (vazbové) jsou síly, které vznikají ažnásledně v místech kontaktu (tj. ve vazbách) s ostatními členy soustavy.3.1.2 Vyjádření sil v kartézské soustavěPředpokládejme, že na těleso působí v bodě A osamocená síla. Taková osamocená síla je pak vprostoru určenaa) bodem A , který nazýváme působištěm osamělé síly, působiště je určeno souřadnicemix A , y A , z A .b) vlastní silou ⃗ F , která působí v působišti A.Pro analytický popis sil používáme ve statice kartézskou soustavu souřadnic, která vytváří pravoúhlý,pravotočivý souřadnicový systém určený trojicí vzájemně na sebe kolmých jednotkovýchvektorů báze ⃗i,⃗j, ⃗ k souřadnicových os x,y,z . Poloha bodu A (viz obr.3.6) je určena polohovýmObr. 3.6:vektorem ⃗r A = x A⃗i + y A⃗j + z A⃗ k o velikosti rA = √ x 2 A + y2 A + z2 A . Zapisujeme ⃗r A = (x A , y A , z A ). Směr polohového vektoru je určen jednotkovým vektorem e⃗rA = cos α⃗i + cos β⃗j + cos γ ⃗ k kdeα, β, γ jsou směrové úhly vektoru. Směrové úhly odečítáme vždy od kladného směru příslušnéosy směrem k vektoru v nejkratším směru tj. α, β, γ ∈< 0, π >. Hodnoty cos α = x ArA, cos β =y Ar A, cos γ = z ArA, jsou kosiny směrových úhlů. Je zřejmé, že platí cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1,

3. Silové působení na hmotné objekty. 29⃗e rA = (cos α, cos β, cos γ). Pro zadání směru vektoru tedy stačí hodnoty dvou směrových úhlůa interval úhlu třetího, např.α, β, γ ≤ πneboγ ≥ π . Mohou být také zadány 2 směrové kosiny2 2a znaménko kosinu třetího např. cos α, cos β, sign(cos γ).Podobně vektor síly F ⃗ s působištěm A v soustavě O xyz určíme tak, že do působištěsíly umístíme počátek lokální souřadné soustavy se stejným směrem souřadných os jako máglobální souřadná soustava O xyz . Směrové kosiny pro libovolný směr jsou v obou souřadnýchsoustavách stejné. Proto zjistíme-li směrové α F , β F , γ F v lokálním systému, můžeme pak i proglobální souřadný systém psát F ⃗ √= F x⃗i + F y⃗j + F z⃗ k . Velikost síly F = ⃗F · F ⃗ . Velikostsíly je přitom nezávislá na volbě vztažného souřadného systému tj. říkáme že je to invariant.Vektorově sílu zapisujeme F ⃗ = (F x , F y , F z ) = F cos α F , F cos β F , F cos γ F . Skaláry F x , F y , F zjsou souřadnice síly, vektory F ⃗ x = F x⃗i, F ⃗ y = F y⃗j, F ⃗ z = F xz⃗ k, jsou složky síly. Přímka nF jenositelka síly, pro její body platí ⃗r = ⃗r A + λ ⃗e n . Sílu tedy můžeme zapsat F ⃗ = F δ F ⃗e F = F n ⃗e n ,kde F n je souřadnice vzhledem k nositelce (může to být číslo kladné i záporné). Toto zadánísíly se často vyjadřuje tak, že osamocená síla je určena působištěm ⃗r A , velikostí F , směrem⃗e n a orientací (smyslem) . Jednotkový vektor síly určíme ze vztahu⃗e F = ⃗ FF = (FxF ⃗ i + F yF ⃗ j + F zF ⃗ k))=(cos α F⃗i + cos β F⃗j + cos γ F⃗ kNositelka síly bývá často zadávána jako spojnice 2 bodů A a B. Míří-li přitom F ⃗ z bodu A dobodu B . Pak ⃗e F určujeme ze vztahu(xA − x B⃗e F =AB, y A − y BAB, z ) √A − z B, kdeAB = (x A − x B ) 2 + (y A − y B ( 2 (z A − z 2 B )ABPři znázornění síly v rovině sílu F ⃗ zadáváme jako orientovanou úsečku vedenou z bodu A, jejívelikost je nakreslena ve zvoleném měřítku. Měřítko vyjadřuje kolik jednotek síly odpovídá přiznázornění jednotce délky na výkresu. Je-li obrazem síly F ⃗ úsečka l F , pak měřítko m F je m F =l FF. Průmět síly F p do směru p (určeném jednotkovým vektorem ⃗e p ) který svírá s vektoremsíly F ⃗ úhel φ dostaneme pomocí skalárního násobení tj.F p = F ⃗ · ⃗e p = | F ⃗ | · |⃗e p cos φ = | F ⃗ | cos φ .Proto souřadnice síly jsou vlastně průměty vektoru síly F ⃗ do směrů příslušných souřadných os.3.2 Otáčivé účinky sílyMimo možnosti uvádět tělesa do pohybu ve směru síly má síla také schopnost otáčet tělesemtj. uvádět tělesa do rotačního pohybu (viz obr. 3.7). Změna pohybového stavu při rotačnímpohybu je přitom určena vztahem⃗M o = J od (⃗ω)dt(3.5)kde ⃗ M o je moment síly vzhledem k ose rotace o a J o je moment setrvačnosti vzhledem kose rotace a ⃗ω je úhlová rychlost rotace.3.2.1 Moment síly k bodu tělesaMoment síly k bodu resp. kolem osy procházející kolmo na rovinu vytvořenou silou a polohovýmvektorem jejího působiště. Pro tuto schopnost síly otáčet tělesem se používá termín moment

3. Silové působení na hmotné objekty. 30Obr. 3.7:síly k bodu tělesa.Velikost točivého účinku přitom závisí jak na velikosti síly F, tak i na velikostiramene p (viz obr.3.7).Předpokládejme že těleso je uloženo v bodě O (obr. 3.8a) tak, že jeho poloha se nemění.Otáčivý účinek síly ⃗ F s působištěm v bodě A k bodu O pak vyjadřujeme vektorem ⃗ M o = ⃗rx ⃗ F. Moment síly k bodu je přitom vektor vázaný na bod O (k jinému bodu je moment síly ⃗ F jiný,proto používáme pro jeho označení vztažný bod O jako index) a je kolmý na rovinu vytvořenouvektory ⃗r A a ⃗ F a orientovaný na tu stranu roviny, odkud se jeví otáčení v kladném smyslu(soustava vektorů ⃗r A , ⃗ F , ⃗ M o je pravotočivá. Směr vektoru určíme pomocí pravidla pravé rukytak, že prsty ukazují směr otáčení a palec přitom ukazuje orientaci vektoru momentu - obr.3.8b. Moment označujeme kladně (+) pokud má tendenci otáčet těleso proti smyslu otáčeníhodinových ručiček resp. záporným znaménkem (-) pokud má tendenci otáčet tělesem ve smysluotáčení hodinových ručiček (tato dohoda odpovídá kladnému resp. záporné orientaci osy z ).Poznámka: Pro vektorový součin neplatí komutativní zákon tj. ⃗ MO ≠ ⃗ F x ⃗r A(a)Obr. 3.8:(b)Jak vyplývá z definice vektorového součinu, velikost M o = r A · F · sin φ = F · p = F t · r Akde p = r A sin φ, F t = F · sin φ . Jsou-li vektory ⃗r A , ⃗ F určeny souřadnicemi x A , y A , z A , F x , F y , F zpak moment ⃗ M o je vyjádřen ve tvaru známém z vektorového počtu:

3. Silové působení na hmotné objekty. 31⃗i ⃗j ⃗ ∣k ∣∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ y A z ∣∣∣∣ Ax A z ∣∣∣∣A⃗M O =x A y A z A =⃗i− ⃗j+∣∣F y F z ∣⃗ x A y ∣∣∣∣Ak=F x F z ∣ F x F yF x F y F z= (y A F z − z A F y )⃗i + (z A F x − x A F z )⃗j + (x A F y − y A F x ) ⃗ k (3.6)Výrazy v závorkách jsou souřadnicemi vektoru ⃗ M o . Z vlastností vektorového počtu přímoplynou dvě následující věty (tzv. Varignonovy).⃗M O = ⃗r A x ⃗ F = ⃗r A x( ⃗ F x + ⃗ F y + ⃗ F z ) = ⃗r A x ⃗ F x + ⃗r A x ⃗ F y + ⃗r A x ⃗ F z ) (3.7)což můžeme slovy formulovat takto:Moment síly k bodu O je roven součtu (vektorovému) momentů od jejích složek k bodu O.Tato věta se s výhodou používá. Např. jestliže počítáme moment síly ⃗ F k ose z ,(a)Obr. 3.9:(b)nepočítáme podle obr. 3.9a neboť neznáme vzdálenost p, ale výhodněji podle obr. 3.9bObdobně, jestliže v bodě A působí soustava sil ⃗ F 1 . . . ⃗ F n , pak moment od této soustavy můžemenahradit momentem od výslednice tj. platí⃗M O = ⃗r A x ⃗ F v = ⃗r A x ∑ ⃗ Fi = ∑ (⃗r A x ⃗ F i ) = ∑ ⃗ MOi (3.8)což můžeme formulovat takto: Moment od výslednice soustavy sil (se společným působištěmv bodě A) k bodu O je roven součtu (vektorovému) momentů jednotlivých sil k bodu O.Poznámka : Moment je nulový, jestliže velikost F je nula nebo nositelka nF prochází vztažnýmbodem O.3.2.2 Moment síly k oseMoment síly k bodu je vždy kolmý na rovinu obsahující rameno síly a vektor síly. V praxi všakčasto potřebujeme znát i otáčivý účinek síly vzhledem k ose rotace p, která není kolmá navektor působící síly. Předpokládejme, že těleso je uloženo v ose p. Pak se toto těleso (obr.3.10)působením síly ⃗ F s působištěm v A může otáčet kolem osy p. Moment síly k bodu B je určen

3. Silové působení na hmotné objekty. 32vztahem −→MB = −→ rBA x F ⃗ . Z toho je zřejmé, že moment −→MB je závislý na poloze vztažného boduB na ose p. Otáčivý účinek síly k ose p nemůže tedy charakterizovat moment . Musíme tedynalézt takovou složku −→−→MB , která bude pro všechny body B přímky p stejná. Násobíme-li MBskalárně vektorem ⃗e p dostaneme⃗M B .⃗e p =(⃗r A x F ⃗ ) (.⃗e p − ⃗r OB x F ⃗ ) (.⃗e p = ⃗r A x F ⃗ ).⃗e p(neboť ⃗r OB x F ⃗ ).⃗e p = −F ⃗ . (⃗r OB x ⃗e p ) = OObr. 3.10:Veličina −→MB · ⃗e p je tedy stejná pro všechny body ležící na přímce p, je to tedy souřadnicevektoru −→MB vzhledem k ose p. Proto moment síly k ose definujeme takto: Moment síly F ⃗působící v bodě A tělesa, k ose p , je průmětem momentu síly F ⃗ vzhledem k libovolnému boduB ∈ p do osy p⃗M p = ( ⃗ M B .⃗e p ), ⃗ MB .⃗e p =(⃗r A x F ⃗ ).⃗e p = M pMoment síly ⃗ F k ose p je vektor ⃗ M p vázaný k přímce p. Vyjádříme-li jednotlivé vektory⃗r A , ⃗ F , ⃗e p souřadnicemi, pak z vektorového počtu je známo, že smíšený součin (a tedy Mp) můžebýt zapsán ve tvaru∣ x A y A z A ∣∣∣∣∣∣ M p =F x F y F z =∣ cos α p cos β p cos γ p

3. Silové působení na hmotné objekty. 33= F x z A cos β p + F y x A cos γ p + F z y A cos α p − F x y A cos γ p − F y z A cos α p − F z x A cos β p (3.9)Moment síly ⃗ F k počátku O je tedy roven součtu (vektorovému) momentů téže síly ⃗ Fke třem osám kartézského souřadného systému tj. můžeme psát⃗M O = ⃗ M x + ⃗ M y + ⃗ M z (3.10)Souřadnice momentu ⃗ M O do osy x je tedy rovna momentu k ose x ⃗ M x a cyklicky tj. platíUvažujme nyní dva zvláštní případy:M Ox = M x , M Oy = M y , M Oz = M za) Síla F ⃗ je rovnoběžná s osou p, takže potom(⃗M p = ⃗r A x F ⃗).⃗e p =(⃗F x ⃗ep).⃗r A = 0b) Nositelka síly ⃗ F protíná osu p, pak položíme-li počátek souřadnic do společného průsečíku,je r A = 0 a tedy opět M p = 0.Platí tedy: Moment síly ⃗ F k ose p je nulový, když F = 0, nebo když nositelka síly je rovnoběžnás osou p nebo když osu p protíná.3.2.3 Moment silové dvojiceZvláštním případem silové soustavy je soustava dvou sil stejně velkých ale opačně orientovanýchsil. Takové soustavě říkáme silová dvojice (obr.3.11) Silová dvojice má zvláštní vlastnosti, kterévyužíváme v každodenním životě- např. otvírání kohoutku, otáčení volantu apod.Obr. 3.11:

3. Silové působení na hmotné objekty. 34Uvažujme silovou soustavu tvořenou dvěma silami F1 ⃗ aF ⃗ 2 , které jsou stejně velké tj.F 1 = F 2 = F a opačně orientované tj. e⃗F1 = e⃗F2 . Pak platí:⃗F V = F ⃗ 1 + F ⃗ 2 = F ⃗ + (−F) ⃗ = ⃗0Pro výsledný moment sil ⃗ F 1 , ⃗ F 2 k bodu O platí⃗M O = ⃗ M 1 O + ⃗ M 2O = ⃗r 1 x ⃗ F + ⃗r 2 x (− ⃗ F ) = ⃗r x ⃗ FJeho velikost M = F 1 · r · sin φ = konst Z těchto rovnic vyplývá⃗M 0 = ⃗ M A = ⃗ M = −−−→ konst, ⃗ FV = ⃗ OSilová dvojice má tedy vzhledem k libovolnému bodu stejný rotační účinek a nulovýúčinek posuvný. Vektor momentu silové dvojice je tedy vektor volný v prostoru, velikostí jeroven součinu jedné ze sil a kolmé vzdálenosti obou nositelek a jeho orientace je dána pravidlempravé ruky (viz obr. 3.12).Obr. 3.12:lzeVzhledem k tomu, že vektor momentu silové dvojice je vektor volný v prostoru, dvojicí1) libovolně posouvat nebo otáčet v rovině (3.13a)2) libovolně posouvat do rovin navzájem rovnoběžných s rovinou dvojice sil (obr.3.13b)3) vykonat redukci dvojice (tj. nahradit jí jinou dvojicí) tak, aby platilo M = F 1 .p = F 1 ′ .p ′(viz obr.3.14a).Jestliže na těleso působí několik silových dvojic v navzájem rovnoběžných rovinách, můžeme jemyšleně přemístit do bodu jedné roviny a algebraicky sčítat s ohledem na znaménka tj. ⃗ M =∑ ⃗Mi . Jestliže silové dvojice působí v různoběžných rovinách, po přemístění do libovolného

3. Silové působení na hmotné objekty. 35(a)Obr. 3.13:(b)(a)Obr. 3.14:(b)bodu prostoru je můžeme sčítat vektorově. Výsledný moment je ⃗ M = ⃗ M 1 + ⃗ M 2 , přitom silovádvojice tohoto momentu leží v rovině kolmé na ⃗ M (Obr. 3.14d). Působí-li na těleso n silovýchdvojic, pak všechny tyto dvojice můžeme nahradit v libovolném místě tělesa jejich momenty⃗M 1 , ⃗ M 2 , . . . ⃗ Mn . Protože jde o vektory procházející jedním bodem, určíme výsledný momentjejich vektorovým součtem tj.⃗M V = ∑ ⃗ MiPoznámka k označování: ⃗ MB - moment síly ⃗ F k bodu B ⃗ M p - moment síly ⃗ F k ose p⃗M p - moment silové dvojice ( ⃗ F , ⃗ −F ) Při znázorňování silové dvojice v její rovině, tj. v roviněurčené rovnoběžnými nositelkami, užíváme tuto symboliku:kde symbol ⇔ budeme dále používat pro ekvivalenci ať již z hlediska označování veličintak i z hlediska mechanické ekvivalence. Poznámka: Pokud se bude dále vyskytovat názevmoment bez bližšího vymezení (nebude uváděn vztažný bod), bude se vždy jednat o momentsilové dvojice.3.2.4 Souvislost momentů sílyVšechny uvedené momenty mají stejnou fyzikální podstatu a stejný rozměr N.m. Rozdílnáje však geometrická interpretace. V konečném výsledku otáčivý účinek vždy odpovídá dvojici

3. Silové působení na hmotné objekty. 36sil. Souvislost mezi momentem síly k bodu, momentem k ose a momentem silové dvojice siozřejmíme na příkladu dotahování matice klíčem (obr. 3.15).Obr. 3.15:Míra mechanického působení síly ⃗ F k bodu O je dána velikostí ramene klíče, tedy polohovýmvektorem ⃗r nebo kolmým ramenem p od osy otáčení a nositelkou síly ⃗ F . Jestliže sezmění rameno síly ⃗ F (např. prodloužením ramena pomocí trubky), změní se i moment síly kbodu O. Vzhledem k nezbytné vůli potřebné k zasunutí klíče na matici dojde při otáčení klíče kbodovým kontaktům v místech AaB na okrajích matice jak je naznačeno na obr.15. V bodechdotyku AaBS tedy bude působit silová dvojice ( ⃗ F ′ , ⃗ F ′′ ) . Tato silová dvojice vyvolá momentvelikosti M k potřebný na uvolnění matice. Souvislost mezi velikostí sil ( ⃗ F ′ = ⃗ F ′′ ) dvojice sil avelikostí zátěžné síly ⃗ F je dána rovnicí M k = F .p d = F.p. Na matku tedy působí silová dvojicea ta je vektor volný v prostoru. Proto také při povolování matic na kole vozidla musíme začíts povolováním před vyheverováním vozidla (jinak se nám kolo protáčí v ose kola tj. v místěmožného působení momentu silové dvojice M k ).Při přenosu silových působení v technických zařízeních vzniká často moment silové dvojicemezi akční působící silou a silou reakční od rámu. Např. při otáčení volantu jednou rukouvzniká reakční síla v uložení hřídele řízení a způsobuje namáhání uložení. Zároveň vzniklá reakčnísíla vytváří s akční sílou působící na volant nežádoucí silovou dvojici která namáhá hřídelvolantu. Dalším zdrojem namáhání hřídele volantu je od momentu silové dvojice vzniklých tečnýchsložek reakcí mezi koly a vozovkou, který je na hřídel volantu přenesen přes čepy kol apřevodku řízení.3.3 Typy silových soustavSilovou soustavou nazýváme soubor silových účinků (tj. sil a momentů) působících na konkrétníhmotný objekt (těleso, soustava těles). Z hlediska řešení úloh statiky je přitom důležité rozlišenísoustav podle vzájemného směru a polohy sil v prostoru tj. prostorové uspořádání sil. Podlegeometrického uspořádání nositelek v rovině a prostoru silové soustavy rozdělujeme naobecné prostorové resp. rovinné soustavy, kde nositelky jsou mimoběžky resp. různoběžky

4. Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 37centrální prostorové a rovinné soustavy, kdy nositelky se protínají v jednom bodě (soustavavytváří tzv. svazek sil)rovnoběžné prostorové resp. rovinné silové soustavy, kde nositelky jsou rovnoběžky. Zvláštnímpřípadem jsou spojitě rozložené silové soustavy, kde nositelky tvoří spojitou množinurovnoběžných přímek v prostoru resp.v roviněpřímkové silové soustavy, kde všechny síly leží na jedné nositelcePři rozboru silových soustav a jejich účinků na tělesa se přitom zaměříme na tyto úlohy:a) jaký má silová soustava účinek v daném bodě hmotného objektu a jak se dá co nejjednodušejicharakterizovat její silový účinek v daném boděb) jaké jsou podmínky ekvivalence silové soustavy s jinou silovou soustavouc) za jakých podmínek zůstávají hmotné objekty při silovém působení ve stavu mechanickéhoklidu4 Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav.4.1 Základní úlohy statiky v případě obecných silových soustavNa daný hmotný objekt může ovšem působit více silových soustav, přitom každá z nich můžezpůsobovat jiný mechanický pohyb tělesa. Z tohoto pohledu vyplývají ve statice dvě základníúlohya) kdy působící soustavy vyvolají stejný pohyb hmotného objektu - pak hovoříme o statickéekvivalencib) kdy při působení silové soustavy nedojde ke změně pohybového stavu tělesa - pak hovořímeo statické rovnovázeObě úlohy jsou základními úlohami při vyšetřování silových soustav. Podle toho, zda jsoupůsobící silové soustavy úplně nebo neúplně zadány se obě základní úlohy dělí na kontrolunebo řešení statické ekvivalence či rovnováhy. Přitom budeme se budeme zabývat soustavamiosamělých popř. spojitých sil a momentů jejichž vlastnosti jsme uvedli v kapitole 3. Z hlediskaúloh týkajících se konkrétních problémů se přitom soustředíme na to1) jaký má silová soustava účinek v daném bodě tělesa, jak se dá v daném bodě co nejjednodušejinahradit2) jak se dá daná silová soustava co nejvíce zjednodušit (např. jedinou silou)3) jaké jsou podmínky pro ekvivalenci jedné silové soustavy s jinou silovou soustavou4) jaké musí být splněny podmínky, aby těleso při působení dané silové soustavy zůstalonepohyblivé tj. kdy je těleso v rovnováze

4. Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 384.2 Nahrazení silových soustav v daném boděPod pojmem statická ekvivalence 2 silových soustav budeme dále rozumět to, že při jejich působeníbude stejný klidový pohybový stav tělesa nebo soustavy těles (tj. tzv. statická pohybováekvivalence) a stejné hodnoty charakteristik silového působení ve vazbách (tj. tzv. statickávazbová ekvivalence).V určitých případech je účelné přesunout sílu F ⃗ působící v bodě do nového působištěv bodě B, které neleží na nositelce síly F ⃗ . Mluvíme o přenesení síly na rovnoběžku. Úlohumůžeme řešit pomocí axiomu o statické ekvivalenci dvou silových soustav: Dvě silové soustavyjsou staticky ekvivalentní, jestliže se liší o soustavu nulového vektoru (tj. vektor jehož výslednicei výsledný moment je nula). Připojíme-li v bodě B rovnovážnou silovou soustavu F ⃗ +( −F ⃗ ) = 0,jejichž nositelka je rovnoběžná s nositelkou síly F ⃗ působící v bodě A (obr. 4.1), pak síla působícív bodě A a síla −F ⃗ působící v bodě B vytváří doplňkovou silovou dvojici o velikosti M = F d,vektor této silové dvojice je kolmý na F ⃗ . Zbylá síla F ⃗ působící v bodě B vyvolává posuvnýúčinek (např. namáhá hřídel na ohyb). Tento postup se dá zobecnit. Jakoukoliv silovou soustavutvořenou diskrétními silami F ⃗ i s různými působišti A i můžeme tedy převést na soustavu sil sespolečným působištěm a doplňkovými silovými dvojicemi. Síly můžeme sečíst do výslednice F ⃗ Va doplňkové silové dvojice můžeme sečíst do výsledného momentu M ⃗ V O (obr. 4.2).Obr. 4.1:Obr. 4.2:Každou obecnou prostorovou silovou soustavu působící v libovolných bodech tělesa můžemetedy nahradit v dané bodě OekvivalentnsilouF ⃗ V aekvivalentnsilovoudvojicM ⃗ V O . V danémbodě O lze tedy libovolnou silovou soustavu charakterizovat z hlediska posuvných účinkůpomocí silovvsledniceF ⃗ V

4. Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 39⃗F V = ∑ ⃗ Fi (4.11)a z hlediska rotačních účinků pomocí momentové výslednice⃗M V O = ∑ ⃗ Mi O = ∑ ⃗r i x ⃗ F i (4.12)Soustavu vytvořenou z vektorů F ⃗ V a M ⃗ V O budeme dále nazývat výslednicovou silovou soustavouπ V = {F V , M V O }. Obecně vektory F ⃗ V a M⃗V O nejsou ani kolineární ani nejsou na sebe kolmé.Jestliže pro libovolný vztažný bod B pro obecnou silovou soustavu platí, že F ⃗ V . M ⃗ V B = 0,pak je možné provést tzv. úplné nahrazení tj. nalézt takový bod C pro který M{ V C = 0 a výslednicovásoustava je tvořena jen výslednicí procházející tímto bodem tj. π V = ⃗FV , MV ⃗ C = 0 .}Nositelka takto položené výslednice se pak nazývá osa silové soustavy. Vzhledem k tomu, že vpřípadě rovinných soustav jsou vektory sil a momentů na sebe kolmé, pro rovinné soustavy jemožné provést úplné nahrazení vždy.Jestliže nositelky všech sil prochází jedním bodem P tvoří taková skupina sil centrálníprostorovou resp.centrální rovinou soustavu (svazek sil). Pro centrální silové soustavy je výslednýmoment vzhledem k průsečíku nositelek vždy roven nule při libovolných hodnotách působícíchsil. V tomto případě tedy vzhledem ke společnému průsečíku P je{ výslednicová soustava }tvořena také jen jedinou silou procházející průsečíkem nositelek tj.π V = ⃗FV , MV ⃗ P = 0 .Zvláštní případem jsou pak soustavy, pro které F V = 0. V tomto případě je momentovávýslednice } pro všechny } body prostoru stejná a je rovna momentu silové dvojice tj. platí π V ={0, MV ⃗ O ={0, M ⃗ . Takové soustavy pak nazýváme soustavy točivé.4.3 Ekvivalence silových soustavJak vyplývá z předchozího odstavce, libovolnou silovou soustavu působící na hmotný objektje možné redukovat na soustavu síla-silová dvojice v daném bodě.Tato ekvivalentní soustavasíla-silová dvojice úplně charakterizuje účinek původní silové soustavy působící na hmotnýobjekt. Dvě silové soustavy jsou tedy zřejmě staticky ekvivalentní jestliže se shodují jejichredukce do výslednicové soustavy síla-silová dvojice k určitému bodu. Jak vyplývá ze vztahů(4.1) a (4.2), dvě silové soustavy π 1 ={A i , F ⃗ }i i = 1, 2, ...n a π 2 ={A j , F ⃗ }j j = 1, 2, ...mjsou staticky ekvivalentní tehdy a jen tehdy jestliže součet sil (tj. posuvný účinek) a zároveňsoučet momentů (rotační účinek) obou soustav k libovolnému danému bodu B je stejný. Zmatematického hlediska je tedy nutnou a postačující podmínkou pro dvě ekvivalentní soustavyvztah∑ ⃗Fi = F ⃗ V 1 = F ⃗ V 2 = ∑ Fj ⃗ ∩ ∑ Mi ⃗ B = M ⃗ (1)V B = M ⃗ (2)V B = ∑ Mj ⃗ B (4.13)což slovně můžeme vyjádřit větou: Dvě silové soustavy jsou π 1 aπ 2 jsou staticky ekvivalentní,jestliže mají současně stejnou výslednici a stejný výsledný moment k libovolnému bodu B. Vtomto případě obě soustavy při působení na hmotný objekt vyvolávají stejný pohyb objektujako celku tj. stejnou translaci a stejnou rotaci.

4. Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 404.4 Rovnováha silových soustavZvláštním případem je pak případ, kdy výslednicová silová soustava má nulovou výslednici azároveň nulový výsledný moment k libovolnému bodu O tj. platí a zároveň⃗F V = ∑ ⃗ Fi = ⃗0a zároveň ⃗ M V O = ∑ ⃗ Mi O = ⃗0 (4.14)Taková silová soustava tvoří tzv. rovnovážnou silovou soustavu a při jejím působenína těleso je toto těleso v tzv. stavu statické rovnováhy tj. zůstává v klidu nebo v pohyburovnoměrném (tj. s konstantní rychlostí).Poznámka 1: Rovnice statické rovnováhy a statické ekvivalence byly zavedeny pro libovolnývztažný bod. Z toho ovšem vyplývá, že jsou li podmínky statické rovnováhy resp. statickéekvivalence splněny pro jeden bod prostoru, pak jsou splněny i pro libovolné další bodyprostoru..Poznámka 2: Točivou silovou soustavu lze uvést do rovnováhy nikoliv silou ale pouze jensilovou dvojicí.. Naopak svazek sil je možné uvést do rovnováhy jen silou.

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 415 Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu.5.1 Statické podmínky pro obecné silové soustavyPro zjednodušení zápisu si zavedeme pojem silový účinek (silový bivektor) S O , který budezároveň charakterizovat jak posuvný tak i rotační účinek síly na těleso a který vyjádříme jakosloupcovou matici utvořenou ze souřadnic vektorů F ⃗ a M ⃗ o tj.⎡ ⎤F xF yS O =F zM Ox⎢ ⎥⎣ M Oy ⎦M Oz(5.15)Pak pokud S O1 reprezentuje výslednicovou souřadnou soustavu π 1 a S O2 výslednicovousouřadnou soustavu π 2 , pak statickou ekvivalenci resp. statickou rovnováhu můžeme symbolickyvyjádřit ve tvaruS O1 ± S O2 = 0 (5.16)kde znaménko (+) platí pro rovnovážný stav při současném působení obou silových soustav,znaménko (-) pro ekvivalenci obou rovinných soustav. První případ je zpravidla reprezentovánúlohou, kdy soustava p1 představuje soustavu vnějších působících silových účinků a soustava p2je soustavou složenou z reakčních sil a z reakčních momentů. Druhý případ je např. reprezentovánúlohou nalezení výslednicové souřadné soustavy k danému bodu (tj.nalezení charakteristikpůsobících silových účinků v daném bodě).V případě prostorových silových soustav tj. jestliže nositelky sil jsou rozloženy v prostorutedy máme při úloze na statickou ekvivalenci (tj. ke zjištění výslednicové silové soustavyv daném bodě popř. pro ověření ekvivalence 2 silových soustav) k dispozici 6 algebraickýchrovnic:F v (1)x = ∑ F i x = ∑ F j x = F v (2)xF v (1)y = ∑ F i y = ∑ F j y = F v (2)yF v (1)z = ∑ F i z = ∑ F j z = F v (2)zM (1)O V x = ∑ M O i x = ∑ M O j x = M (2)O V xM (1)O V y = ∑ M O i y = ∑ M O j y = M (2)O V yM (1)O V z = ∑ M O i z = ∑ M O j z = M (2)O V z(5.17)Prvé tři rovnice se nazývají silové (složkové) rovnice statické ekvivalence, zbývající třirovnice jsou momentové rovnice statické ekvivalence. Nezávislost statické podmínky na poloze

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 42vztažného bodu a na volbě souřadnicového systému vede k tomu, že pouze k jednomu vztažnémubodu a jednomu souřadnému systému tvoří statické podmínky soustavu 6 nezávislýchalgebraických rovnic. Statické podmínky k dalším bodům a jiným souřadnicovým systémůmnedávají tedy z hlediska studované úlohy nic nového, vše je zahrnuto v podmínce k jednomuvztažnému bodu a k jednomu souřadnému systému. Protože vztažný bod lze volit libovolně,bývá vhodné a účelné jej volit jako počátek souřadnicové systému. Statické podmínky vytvořenéve tvaru (5.3) k počátku souřadnicového systému budeme dále nazývat základní tvar statickýchpodmínek. Označíme - li počet statických silových podmínek ν F a počet momentových podmínekν M , pak pro celkový počet neznámých silových účinků platí:V základním tvaru pro obecnou silovou soustavu jeν = ν F + ν M (5.18)ν = 6, ν F = 3, ν M = 3 (5.19)Rovnice přitom mají jednoduchý fyzikální význam. Vyjadřují, že dvě silové soustavy jsouekvivalentní tehdy, jestliže při působení na stejný hmotný objekt a za přítomnosti stejnýchvazeb vyvolávají stejné pohyby ve směru souřadných os x, y, z a stejnou rotaci vzhledem kosám x, y, z . V případě že nositelky všech sil leží v jedné rovině (x,y) pak takovou soustavusil nazýváme rovinnou soustavou. Pro její nahrazení můžeme pro bod O ležící v rovině (x,y)použít 3 rovnice skalárníF vx (1) = ∑ F ix = ∑ F jx = F vx(2)F v (1)y = ∑ F i y = ∑ F j y = F v (2)yM (1)O v z = ∑ M O i z = ∑ M O j z = M (2)O v z(5.20)Opět prvé dvě rovnice se nazývají rovnice silové, zbývající rovnice je momentová. Leží-livztažný bod O v rovině sil, pak momenty od jednotlivých sil i moment od jejich výslednicejsou vektory kolmé na rovinu sil. Při obecném zatížení jak diskrétními silami tak i spojitýmsilovým zatížením nás často zajímá posuvný resp. rotační účinek v daném bodě tj.řešení úlohyna ekvivalenci k danému bodu. V případě současného působení spojitého silového působení (objemového,plošného a liniového) a diskrétně působících sil příslušnou silovou výslednici určímeze vztahu∫ ∫ ∫⃗F V = ⃗odV + ⃗pdS ⃗qdl + ∑ Fi ⃗ (5.21)ΩΓa momentovou výslednici k bodu B od spojitého silového i diskrétního silového zatížení určímeze vztahu∫⃗M V B =Ω∫(⃗r o x ⃗o)dV +Γγ∫(⃗r p x ⃗p)dS +γ⃗r q x ⃗q)dl + ∑ −−→ BAi x ⃗ F i (5.22)

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 43Př.5.1. Pro spojité zatížení nosníku podle obr.3.5 určete velikost a polohu výslednicesvisle působících gravitačních sil. Řešení: Zatížení nosníku vahou nadloží narůstá se vzdálenostíod levého kraje A podle funkce q 1 (x) = 200 x [N/m]. Pro výslednici tedy podle vztahu platí3∫ L ∫ LF 1 V = dF q1 = q 1 (x) dx =00∫ 30200x dx = 300[N]3Velikost výsledného momentu od spojitého zatížení gravitačními silami vzhledem k bodu Aopět dostaneme integrací momentů od elementárních sil liniového zatížení tj.∫ L ∫ LM 1 V A = x dF q1 = x q 1 (x) dx =00∫ 30x 200 x 200dx =3 3[ x33] 90= 600 [N.m]Uvažovaná soustava sil spojitého liniového zatížení je rovinná. Podle výsledků kapitoly4, takovou soustavu je možné nahradit jedinou silou F ⃗ 1V . Přitom aby výslednicová souřadná }soustava byla staticky ekvivalentní s původní soustavou spojitého zatížení{⃗q 1 (x), M1 ⃗ V A⃗ F1Vmusíme výslednici umístit do takové vzdálenosti x1 od bodu A aby hodnota momentu⃗M F1V A od takto položené výslednice měla stejnou velikost jako momentu M ⃗ 1V A od původníhospojitého zatížení tj. musí platit:F 1 V x 1 = M 1 V A ⇒ x 1 = M 1 V AF 1 V=L∫x q 1 (x)dx0L∫q 1 (x)dx0= 600300= 2 [m] (5.23)Poznámka: V případě nespojitostí zadaných spojitých zatížení, vzhledem k aditivnosti integrálumůžeme naznačené integrace po úsecích podél kterých je zatížení spojité a výsledeknásledně sečíst.Zvláštní případ nastává, jestliže pro silovou a momentovou výslednici soustavy působícína těleso platí:⃗F V = ⃗0 ∩ ⃗ M V = ⃗0 (5.24)Z hlediska pohybového stavu tělesa v tomto případě platím⃗v = −−−→ konst. ∩ J⃗ω = −−−→ konst. (5.25)a říkáme, že těleso je při působení takové silové soustavy ve statické rovnováze. V prostoruvektorové rovnice (5.8) opět reprezentují 6 rovnic algebraických

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 44∑Fi x = 0∑Fi y = 0∑Fi z = 0(5.26)∑MO i x = 0∑MO i y = 0∑MO i z = 0a v rovině 3 rovnice algebraické∑Fi x = 0∑Fi y = 0(5.27)∑MO i z = 0Př. 5.2 Zjistěte při jaké hodnotě konstantního spojitého silového působení w a při jakéšířce d pravé opory nosníku uloženého podle obr (3.5) bude nosník v rovnováze.Řešení: Podle výsledku příkladu 5.1 výslednice tíhového zatížení je rovna F 1V = 300[N] avýsledný moment od tíhového zatížení vzhledem k levému okraji levého nosníku tj. kbodu A je M q1 A = [600 N.m]. Tuto soustavu π 1 = {300[N], 600[N.m]} máme tedy uvéstdo rovnováhy silovou soustavou π 2 skládající se ze dvou liniových zatížení o konstantníchintenzitách q 2 = 75[N/m] resp. q 3 = w = konst. působících na nosnících o šířkách l 2 =0, 5[m] resp. l 3 = d.Velikost výslednice F2V soustavy p2 je podle vztahu (5.6) dána vztahem∫ L∫F 2V = [q 2 (x) + q 3 (x)] dx =0,5(75,0 [N/m]) dx +∫3,0w d x = 37, 5 [N] + w.d (5.28)003,0−dPodobně velikost momentu od výslednicové soustavy p2 vzhledem k bodu A je podlevztahu (5.7)∫ LM 2V A = [x q 2 (x) + x q 3 (x)] dx =0

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 45∫=0,50(75,0 [N/m]) x dx +∫3,03,0−dw x d x = 9, 375 [N.m] +9, 0w2− (3, 0 − d)2 .w2(5.29)Ze silové podmínky pro rovnováhu ve směru osy y tedy platí:+ ↑ ∑ F y = 0 : − 300, 0[N.m] + 37, 5[N.m] + w.d = 0Z momentové podmínky statické rovnováhy tedy dostáváme vztah∑MA = 0 :−600, 0[Nm] + 9, 375[Nm] +9, 0w2− (3, 0 − d)2 .w2= 0Řešením této soustavy 2 rovnic dostáváme hodnoty d = 1, 5[m], w = 175[N/m].5.2 Statické podmínky pro centrální silové soustavyPočet nezávislých rovnic statické rovnováhy v prostoru mu = 6 resp. v rovině mu = 3 rovnicje použitelný jen pro případ obecných prostorových resp. obecných rovinných soustav. Procentrální silové soustavy je momentová podmínky rovnováhy vzhledem k průsečíku nositeleksplněna triviálně tj. moment vzhledem k průsečíku nositelek je roven nule při libovolných hodnotáchpůsobících sil. Z tohoto důvodu jsou v případě centrálních silových soustav momentovérovnice pro úlohu na statickou rovnováhu resp. ekvivalenci nepoužitelné a pro řešení úloh můžemepoužít jen podmínky silové. Úlohy na rovnováhu nebo ekvivalenci mohou tedy obsahovatv prostoru resp. v rovině nejvýše 3 resp. 2 neznámé silové parametry.Poznámka: V případě centrálních silových soustav by sice bylo možné konstruovat nenulovépodmínky vzhledem k jiným bodům než je průsečík nositelek. Je však zřejmé, že tytomomentové podmínky závisí na podmínkách silových a neposkytují tedy další informaceo problému a nelze je tedy použít.5.3 Modifikace statických podmínek rovnováhy a ekvivalenceRovnice statické rovnováhy resp. ekvivalence napsané pomocí vztahů (5.3), (5.4), (5.12) a (5.11)jsou v tzv. základním tvaru platném pro kartézské souřadné systémy. Složkové resp. momentovérovnice však můžeme rozepsat i do os resp. směrů které nejsou osami kartézského souřadnéhosytému tj. nemusí být na sebe kolmé. Platí tedy věty:Kteroukoliv ze silových statických podmínek k osám x,y,z lze zaměnit silovou podmínkouk nezávislé ose p.Kteroukoliv z momentových statických podmínek k osám x,y,z lze zaměnit silovou podmínkounezávislé ose p.Dále obecně platí, že kteroukoliv ze silových statických podmínek k osám x,y,z můžemenahradit rovnicemi momentovými k jiným vztažným bodům popř. k jiným vztažným osám tj.můžeme provést tzv. modifikaci základních statických podmínek. Při aplikaci náhrad silových

5. Podmínky pro statickou ekvivalenci a rovnováhu. 46podmínek podmínkami momentovými však systém rovnic musí zůstat nezávislý. Z tohoto důvoduse např. 6 vztažných os nesmí protínat v jedné přímce, momentové osy nesmí ležet vjedné rovině nebo v rovinách rovnoběžných, při ponechání jedné silové podmínky nově uvažovanévztažné body nesmí ležet na přímce rovnoběžné s osou použitou pro silovou podmínkuapod. Platí tedy:Silové podmínky k osám x,y,z lze zaměnit podmínkami momentovými k nezávislým osám.Opačný postup však již možný není tj. platí:Rovnice momentové nelze nahrazovat podmínky silovými vzhledem k dalším osámTyto věty tedy můžeme pro obecnou prostorovou soustavu shrnout do relací:ν = 6, ν F ≤ 3, ν M ≥ 3, ν F + ν M = 6Pro aplikaci momentových podmínek je účelné vybírat vztažné body cíleně tak, aby bylminimální počet nenulových působících momentů popř. aby se v jednotlivých momentovýchpodmínkách vyskytovalo co nejméně neznámých sil. To vede ke zmenšení počtu neznámýchvyskytujících se v jednotlivých statických rovnicích a vytvořené soustavy rovnic jsou potomsnadněji řešitelné.5.4 Statická určitostZ uvedených statických rovnic nahrazení nebo rovnováhy pro jednotlivé silové soustavy hledámeu působících soustav neznámé parametry silových účinků. Nejčastěji se zabýváme úlohami statickérovnováhy tj. situací kdy je hmotný objekt ve stavu mechanického klidu čili soustavakterá na něj působí je soustavou rovnovážnou. Z rovnic statické rovnováhy přitom můžemeurčit právě tolik neznámých parametrů silových účinků, kolik je k dispozici pro danou soustavupoužitelných podmínek rovnováhy. Termínem neznámé silové účinky přitom zpravidlarozumíme hodnoty velikostí vazebních sil nebo vazebních momentů. Podobně jako tomu bylo usvazku sil, při některých typech zatížení mohou být některé z rovnic statické rovnováhy splněnytriviálně v důsledku zadání. Např. jestliže v některém směru nepůsobí žádné síly, pak je protento směr nepoužitelná silová podmínka podobně v případě zatížení jen od momentů silovýchdvojic jsou nepoužitelné všechny podmínky silové apod. Podle toho tedy musíme snižovat ipočet použitelných statických rovnic (viz př. 5.2 kde byly jen 2 neznámé). Použitelné staticképodmínky jsou tedy pouze všechny nezávislé a netriviální statické podmínky. Porovnáním počtupoužitelných statických rovnic s počtem neznámých parametrů posuzujeme řešitelnost úlohy.Označíme -li n počet nezávislých rovnic statické rovnováhy resp. statické ekvivalence a m početneznámých pak1) úloha je staticky určitá, jestliže je splněna podmínka ν = µ a zároveň ν ≤ µ . Úloha jeřešitelná metodami statiky.2) úloha je staticky neurčitá, jestliže ν < µ to soustava statických podmínek obsahuje méněrovnic než je neznámých. Aby bylo možné všechny neznámé určit, musela by být soustavan statických podmínek doplněna dalším počtem (ν − µ) rovnic, které vyplývají z jinýchfyzikálních zákonů (např. z rovnic pro deformaci těles-viz pružnost a pevnost). Pokudchceme úlohu řešit v rámci statiky, je nutné změnit zadání (např. upravíme počet vazebtak, aby se snížil počet neznámých vazebních silových účinků).

6. Styk těles 483) úloha je staticky přeurčená, je-li ν > µ . Soustava je pohyblivá a stanovení důsledkůsilového působení se v tomto případě řeší v rámci dynamiky. Aby proto úlohy tohototypu mohly být řešeny v rámci statiky, je nutné doplnit soustavu působících sil o další sílynebo momenty (tzv. přídavné zátěžné silové účinky), které zabrání případným možnýmpohybům silově. Mohou to však také být souřadnice určující rovnovážné polohy (přídavnéparametry polohové). Přídavných parametrů přitom musí být právě tolik, o kolik je méněneznámých než rovnic.V některých speciálních případech (u tzv. výjimkovém uložení těles) můžou v systému neznámýchmu existovat vnitřní závislosti. Takové případy nastávají jestliže se např. nositelkyneznámých sil protínají v jednom bodě, leží na rovnoběžných nositelkách nebo mají společnounositelku apod. Jiný případ neurčitosti zase může vzniknout tím, že počet neznámých hodnotvelikosti momentů ν M převýší počet použitelných momentových rovnic µ M - např. v rovině přivazbě tělesa dvěmi posuvnými kinematickými dvojicemi a jeho namáhání od dvou silových dvojicmůžeme použít jen jednu podmínku momentovou (momentová podmínka v případě zatíženítělesa silovými dvojicemi je pro všechny vztažné body stejná!) a silové podmínky jsou splněnytriviálně. V těchto výjimkových případech tedy úloha může být staticky neurčitá nebo statickypřeurčená popř. ne všechny neznámé lze určit jednoznačně i při stejném počtu neznámých apočtu základních rovnic statické rovnováhy. Tyto zvláštní případy budou podrobněji rozebrányv kapitole o uložení těles.6 Styk těles6.1 Styk těles a geometrie stykuJak jsme vysvětlili v předchozím textu, pro strojírenské objekty je charakteristické, že to jsousoustavy těles vázaných stykovými a silovými vazbami. Proto převažujícími úlohami mechanikytěles jsou úlohy vztahující se k vázanému tělesu. Ve statice především úlohy týkající seurčení silových soustav působících na nepohyblivě uložené těleso, případně návrh nepohyblivéhostaticky určitého uložení tělesa.Prvním krokem řešení těchto úloh je správné uvolněníjednotlivých vazeb a tělesa. Proto před konkrétnímvýkladem o řešení statických úloh rozebereme podrobněstyk těles, uvolnění stykových vazeb a stykové síly.Uvažujme soustavu dvou těles T a Z těchto vlastnostíviz obr. 6.1. Těleso Z je základním tělesem ve smysluvymezení prostoru na strojírenské rozlišovací úrovňi. Vsouladu s axiomem A1 a odst. 1.6 má tyto vlastnosti - jakocelek je nepohyblivé a nezávislé na mechanickém působeníokolních těles. Ve strojírenství vlastnosti základního tělesaz hlediska řešeného problému má často základ nebo rámstroje, případně těleso s obdobnou funkcí. Těleso Z zaujímáprostorovou oblast Ω z .Obr. 6.1:

6. Styk těles 49Těleso T zaujímající prostorovou oblast Ω T , je ve stykupouze se základním tělesem Z vazbou A. Silové vazby tělesaT s okolím jsou vyjádřeny soustavou sil π. Pohyb tělesaT je omezen pouze vazbou A a ovlivněn vazbou A a silovýmivazbami. Styk těles se uskutečňuje ve stykové útvaruΓ s = Ω T ∩ Ω z , tedy prostorovém útvaru, který současně zaujímajíobě tělesa. Vzhledem k základním vlastnostem tělesa,odst. 3.1, má společná oblast Γ s jen malou, na strojírenskérozlišovací úrovni nerozlišitelnou tloušťku, jako důsledek neprostupnostitěles. U zatíženého styku je Γ s vždy plošnouoblastí. Z modelového hlediska může být jednodušší oblastí -část křivky nebo bod.Obr. 6.2:Popsané vlastnosti styku označíme jako 1. charakteristiku styku.Stykovým útvarem Γ s při styku těles, je oblast, která není oblastí trojrozměrnou.Z uvedených vlastností je zřejmý význam relace:A ∈ Γ s =⇒ A T ∈ Ω T ∧ A Z ∈ Ω Z ∧ A ≡ A T ≡ A Z viz obr. 6.2V bodě A ∈ Γ s zvolíme kartézský souřadnicový systém tak, že:- osa x je totožná s normálou n A stykového útvaru Γ s v A, tedy x ≡ n A a její kladnáorientace je ven z tělesa T (říkáme, že x má orientaci vnější normály)- osy y, z leží v tečné rovině ke Γ s v bodě A.Relativní rychlost bodu A vyjádříme jako rozdíl rychlostí bodů tedy⃗v A = ⃗v AT − ⃗v AZ (6.1)Vzhledem k vlastnostem základního tělesa je ⃗v Az = ⃗0. Odtud můžeme psát⃗v A = ⃗v AT = v x⃗i + v y⃗j + v z⃗ k = vn ⃗i + v t⃗t (6.2)Z neprostupnosti těles vyplývá, že tělesa T a Z nemohou do sebe prostupovat, což znamená,že v každém bodě styku v n ≤ 0. Jestliže v n < 0 pak dochází k oddělení bodůA T a A Z tedy ke zrušení styku v bodě A.Popsané vlastnosti označíme jako 2. charakteristiku styku.Při styku těles v každém bodě A ∈ Γ s , stykového útvaru Γ s platív n = 0Styk těles v bodě A končí, jestliže v n < 0.

6. Styk těles 50Z axiomu o příčinné souvislosti mechanického pohybu a silovéhopůsobení A5 a-d vyplývá: Ovlivní-li nebo omezí-li vazba A mechanickýpohyb tělesa, pak dochází ve vazbě k silovému působenía deformaci tělesa, proto stykový útvar Γ s je plošnou oblastí srozloženým silovým působením ⃗p s . V bodě A ∈ Γ s zavedemeobdobně souřadnicový systém jako při vyšetřování relativní rychlostiv bodě A. Pak pro elementární stykovou sílu dF ⃗ s platí⃗ dF s = ⃗p s dS =dF ⃗ n + ⃗Obr. 6.3:dF t = (p x⃗i + p y⃗j + p z⃗ k)dS = (pn ⃗i + p t⃗t)dS (6.3)Soustava elementárních stykových sil ⃗ dFs pro všechna δ okolí bodů A ∈ Γ s tvoří silovou soustavuπ s . Podle hodnoty stykového tlaku p s v bodech A ∈ Γ s budeme rozeznávat:a) nezatížený styk - styk v bodě A nastal, tedy A ≡ A T ≡ A Z , ale p s = 0b) zatížený styk - styk v bodě A nastal a p s ≠ 0Podle hodnoty p s ve stykovém útvaru budeme rozlišovat:- stykový útvar nezatížený - ve všech bodech A ∈ Γ s stykového útvaru je p s = 0- stykový útvar zatížený - ve všech bodech A ∈ Γ s stykového útvaru je p s ≠ 0- stykový útvar smíšený - na části Γ s je styk nezatížený, ve zbytku Γ s je zatíženýJak jsme již uvedli v důsledku silového působení dochází k deformaci tělesa, proto v případězatíženého styku se tělesa v okolí stykového útvaru vždy deformují. Stykovým útvarem je plošná- obecná, kulová, válcová nebo rovinná oblast. Konkrétní tvar a rozměry Γ s jsou závislé na:- geometrii a poloze těles v okamžiku styku t s- zatížení tělesa- deformačních vlastnostech materiálů stýkajících se těles.V případě nezatíženého styku (p s = 0) k deformaci tělesa v důsledku styku nedochází a protostykový úvar Γ s je určen pouze geometrií a polohou těles v okamžiku styku. Protože povrchtělesa může mít geometricky libovolný tvar, může být stykovým útvarem dvojrozměrná (plošná)nebo jednorozměrná (křivková) oblast, případně bod.Popsané vlastnosti označíme jako 3. charakteristiku styku.Pro stykový útvar Γ s těles platí:V nezatíženém styku je Γ s dána geometrií a polohou těles v okamžiku styku t s .V zatíženém styku je Γ s vždy plošnou oblastí určenouΓ s = Γ s (geometrie, poloha v t s , π ∪ π s , materiál těles)Rozborem styku těles ve strojírenství se zjistilo, že změny stykového útvaru Γ s při stykutěles jsou v mnoha případech nepodstatné. Je to především v těch případech, kdy Γ s (t s ) nezatíženéhostyku je plocha. V řadě případů (např. valivá ložiska) je změna stykového útvarupodstatná. První skupina je jednoduchá v tom, že není třeba uvažovat změny stykové plochy,protože jsou nepodstatné. Proto podle změny stykového útvaru Γ s můžeme styk těles rozdělitna:

6. Styk těles 51neproměnný - změna stykového útvaru z hlediska řešeného problému je nepodstatnáproměnný - změna stykového úvaru je z hlediska řešeného problému podstatnáPopsané vlastnosti styku označíme jako 4. charakteristiku styku.Změna stykového útvaru Γ s může být v průběhu zatěžování tělesa podstatná nebonepodstatná z hlediska řešeného problému. Je-li změna stykového útvaru nepodstatná,pak styk nazveme neproměnným.Z uvedeného vyplývá, že řešení podmínek v každém zatíženém nebo smíšeném styku jekomplexní problém, který vyžaduje respektování pohybových, silových a deformačních hledisek.Je to problém, který se nazývá kontaktním problémem. Jeho řešení je vedle komplexnosticharakteristické ještě vysokou výpočtovou složitostí. Proto kontaktní problémy patří v mechanicetěles k nejnáročnějším. V základním studiu se jich můžeme dotknout jen v nejjednoduššíchpřípadech.Při experimentálním vyšetřování styku reálných těles můžeme zjistit tyto závažné skutečnosti:a) Časový průběh elementární stykové síly dF n od počátkudo konce styku má průběh podle obr. 7.4 , kterývyjadřuje tuto známou skutečnost. Chceme-li od sebeoddálit dvě tělesa, která byla k sobě přitlačená, musímevyvinout úsilí, které způsobí tahové síly ve stykovéploše (jsou orientovány ven z tělesa). Tyto tahové sílyjsou časově proměnné. Jejich velikost závisí na celé řaděfaktorů např. maximální hodnotě tlakové síly, době jejíhopůsobení, relativní rychlosti ve styku, kvalitě acharakteru povrchů, materiálu těles atd. Nejen ve strojírenské,ale i v každodenní praxi můžeme z hlediskavelikosti tahových sil rozlišit dva typy stykových vazeb:Obr. 6.4:Rozebíratelné - tahová síla při rozpojování styku je malá. Na strojírenské rozlišovací úrovninepodstatná.Nerozebíratelné - tahová síla má určitou hodnotu, která je buď funkční nebo může způsobitporušení funkce součásti.Nejjednodušším stykem z hlediska hodnoty stykových sil je tlakový styk, u něhož v průběhutrvání styku jsou podstatné pouze tlakové stykové síly.Popsané vlastnosti styku označíme jako 5. charakteristiku styku.Nejjednodušším stykem z hlediska stykových sil je rozebíratelný tlakový styk,který je charakterizován p n ≤ 0 ve všech bodech stykového útvaru Γ s .b) Geometrie stykového útvaru ovlivňuje kolik a které složky pohybu tělesa jako celku jsoustykovou vazbou omezeny a které složky jsou pouze ovlivněny. Např. u rovinné jednostrannéposuvné vazby viz obr. 6.5 je omezen posuv ve směru osy y a rotace kolem osy z.Posuv ve směru osy x je vazbou A pouze ovlivněn - je geometricky možný. Z každodenní

6. Styk těles 52Obr. 6.5:praxe víme, že posuv ve směru geometricky možného pohybu nastane, působí-li v tomtosměru síla ⃗ F 1 > ⃗0. Pohyb však nastane, jestliže síla ⃗ F 1 dosáhne jistou hodnotu, kterácharakterizuje hranici stability klidu. Působením síly ⃗ F 1 > ⃗0 pohyb tělesa nastal, má-lipokračovat, ⃗ F 1 musí konat práci. Výkon síly ⃗ F 1 , který vyjádříme vztahem ⃗ F 1 · ⃗v x > 0 jez mechanického hlediska mařen ve styku, přeměnou na teplo. Tato změna je nevratná.Práce síly ⃗ F 1 je ve styku přeměněna nevratně na tepelnou enrgii, která nemůže být aktivní.Souhrnně můžeme tyto vlastnosti styku vyjádřit tvrzením.Styk těles je klidově stabilní a energeticky nevratně pasivní.Uvedené tvrzení vyjádřené vztahy označíme jako 6. charakteristiku.Má-li v bodě A ∈ Γ s nastat geometricky možný pohyb ve směru p pak musí platit:⃗F p > ⃗0 a F ⃗ p · ⃗v p > 0 Fp ⃗ ∈ π⃗F p = ∑ Fip ⃗ - složky silové soustavy π ve směru p.Z uvedeného výkladu je zřejmé, proč vazba stykem pohyb tělesa nejen omezuje, ale iovlivňuje. Důsledkem ovlivnění a omezení mechanického pohybu vazbou je charakter rozloženéhosilového působení ve stykovém útvaru Γ s po uvolnění vazby. Silové působení má nejensložku ⃗p Ay ve směru normály v místě styku, ale také v složka ⃗p Ax tečném směru , jako důledekovlivnění mechanického pohybu vazbou. Viz obr. 6.5Nahrazení rozloženého silového působení z hlediska statické ekvivalence výsledným silovýmpůsobením ve vazbě je zobrazeno na obr. 6.5. V praxi při řešení konkrétních problémůmůžeme z hlediska stability styku rozlišit dva typy vazeb. Vazby, u kterých je velikost síly ⃗ F pcharakterizující hranici stability klidu malá , případně na strojírenské rozlišovací úrovni nepodstatnáa také energetická ztráta je nepodstatná. Existuje celá skupina problémů, kterýmise lidé zabývají od nepaměti a jejichž cílem je minimalizace síly ⃗ F p a energetické ztráty vevazbě. Mezi tyto problémy patří konstrukce ložisek, konstrukce ozubených kol atd. Cílem jemaximální pohyblivost vazby. Vedle těchto vazeb existují vazby, u nichž je z funkčního hlediskapožadován klid. Např. brzdy, spojky atd. Z mechanického hlediska uvedené vlastnosti stykubudeme nazývat.Styk neutrální - oblast klidové stability i velikost ztrátové energie jsou natolik malé, že jsouna strojírenské rozlišovací úrovni nepodstatné. Proto pro vazbu s neutrálním stykem platí:Klidový stav geometricky možného pohybu ve směru p nastane, když F ⃗ p = ⃗0 a při pohybuplatí ⃗v dF ⃗ s = 0.Styk pasivní - klidový stav geometricky možného pohybu ve směru p je možný i když F ⃗ p ≠ ⃗0.

6. Styk těles 53Pohyb tělesa nastane, jestliže ⃗ F p > ⃗ F h , kde ⃗ F h je hraniční síla klidové oblasti . Velikostztrátové energie je podstatná. K pohybu tělesa je nutné, aby ⃗ F p konala práci.Vlastnosti styku těles z hlediska relativního pohybu, stykových sil, energetických poměrůve styku jsou v současné době předmětem samostané vědní disciplíny s názvem tribologie. Jeto vědní disciplína, která se dotýká nejrůznějších oborů např. mechaniky, fyziky pevné fáze,hydrodynamiky, termomechaniky, chemie atd. Proto má mezioborový charakter. Není součástímechaniky těles. Mechanice tribologie poskytuje modely a teorie vyjadřující vztah mezi silovýmpůsobením a relativním pohybem ve stykovém útvaru Γ s . Těchto modelů pro konkrétníproblémy existuje v současné době velké množství. Jednotlivé modely se liší rozlišovací úrovní,složitostí použitých algoritmů a rozsahem třídy problémů, pro které je lze použít. V základnímstudiu se můžeme zabývat jen modely a teoriemi, které mají charakter nejjednodušších tribologickýchmodelů.Shrneme-li dosavadní poznatky o vlastnostech styku z hlediska uvolňování stykových vazeb,pak vidíme, že uvolňování reálných stykových vazeb je problém obtížný a náročný, je všakzákladním problémem při silovém přístupu řešení úloh mechaniky těles, proto jej musíme naodpovídající úrovni zvládnout i ve statice.Z pedagogického hlediska a časových možností se omezíme na vazby stykem s nejjednoduššímivlastnostmi, které mohou být u řady problémů modelem styku. Jsou to vazby, kteréoznačíme NNTN a NNTP.Vazba NNTN je styková vazba, jejíž styk je charakterizován:N - neprostupností, N - neproměnností, T - tlakovostí, N - neutrálnostíVazba NNTN je vazbou s nejjednodušším modelem styku, jestližeprostupnost, deformace, spojení těles, hranice klidové stability aztrátová energie ve styku u skutečného styku jsou natolik malé, žejsou z hlediska řešeného problému nepodstatné.Vazba NNTP je styková vazba, jejíž styk je charakterizován:N - neprostupností, N - neproměnností, T - tlakovostí, P - pasivností.Vazba NNTP je vazbou s nejjednodušším modelem styku, jestližeprostupnost, deformace a spojení těles jsou u skutečného stykunepodstatné, ale hranice klidové stability a ztrátová energie vestyku jsou podstatné.Z teorie popisujících pasivní vlastnosti styku se budeme zabývat pouze Coulombovskýmtřením a tuhým valením.Důležitá poznámka:Všeobecně se vazba NNTN označuje jako vazba bez pasivních odporů a vazba NNTP vazbous pasivními odpory. Ostatní vlastnosti - neprostupnost, neproměnnost a tlakovost - styku seexplicitně neuvádějí, ale intuitivně se uvažují. V současném pojetí vědy a techniky je nutnéomezovat intuitivní složky a snažit se o explicitní vyjádření vlastností. To je důvodem zavedeníznaček NNTN a NNTP, kde jednotlivá písmena explicitně označují úroveň vyjádření vlastnostískutečné vazby.

6. Styk těles 546.2 Silové a kinematické charakteristiky NNTN vazeb.Z vymezení neprostupnosti, neproměnnosti, tlakovosti a neutrálního styku vyplývá:1. Neprostupnost - složka relativní rychlosti bodu stykového útvaru A ∈ Γ s ve směru normályv bodě A je nulová v n = 0.2. Neproměnnost - stykový útvar Γ s je určen geometrií těles a polohou těles na počátkustyku. Známe-li geometrii a vzájemnou polohu těles v okamžiku styku je Γ s určeno.3. Tlakovost - v průběhu trvání styku jsou v každém bodě stykového útvaru podstatnépouze elementární tlakové síly. Tedy ⃗p s ≤ ⃗0, je orientován do tělesa.4. Neutrálnost - klidový stav ve směru geometricky možného pohybu p nastane, jestliže⃗F p = ⃗0. Při pohybu je ⃗ F p ⃗v p = 0.Body 1-4 jsou konkrétním vyjádřením axiomu A6 pro nejjednodušší možný typ vazby - vazbyNNTN. Jsou teoretickým základem uvolňování stykových vazeb, který může být použitelnouteorií pro výpočtové modelování, jestliže odchylky řešeného problému od bodů 1-4 jsou nepodstatné.Ve strojírenství se tyto případy běžně vyskytují, pro ně je vazba NNTN výpočtovýmmodelem reálné vazby.Obecně silové působení na stykovém útvaru má charakter rozloženého silového působení,které představuje neohraničený počet neznámých sil dFs ⃗ . Proto i když máme úplně zadanétěleso, soustavu π a známe statické chování tělesa, je určení stykových sil úlohou statickyneurčitou, neboť počet neznámých je větší než počet použitelných statických podmínek, kterýchmůže být pro jedno těleso maximálně 6 (ν ≤ 6). Neznámé parametry silového působení ve stykumůžeme určit ze statických podmínek pouze tehdy, je-li počet neznámých parametrů µ právěroven počtu použitelných statických podmínek ν ≤ 6. Je-li tato podmínka splněna, pak říkáme,že úloha je staticky určitá a to je principiálně možné v těchto případech:1. Těleso je vázáno určitým (malým) počtem NNTN vazeb, kde Γ s je bod.2. Těleso je vázáno vazbami NNTN, kde Γ s je spojitou oblastí. Rozložené silové působení vestyku nahradíme z hlediska statické ekvivalence neúplně určenou silovou a momentovouvýslednicí viz obr. 63c, d , které budeme nazývat stykové výslednice.3. Těleso je vázáno vazbami NNTN, kde Γ s je spojitá oblast s rozloženým silovým působením⃗p s , které na základě zkušeností s experimentálním a výpočtovým řešením kontatníchproblémů aproximujeme funkcí s určitým malým počtem parametrů. Pak cílem statickéhořešení je určit hodnotu parametrů, a tím i tvar funkce, kterou nazýváme stykovou funkcí.Ve statice můžeme řešit úlohy jen staticky určité t.z. neznámé parametry silového působeníurčíme ze statických podmínek. Proto ve statice můžeme řešit pouze úzkou třídu úloh, týkajícíchse stykových výslednic a stykových funkcí staticky určitě uložených těles. Teprve v dalšíchpředmětech můžeme tuto třídu úloh rozšířit, i když v základním studiu, jak jsme již vysvětlili,se nebudeme zabývat kontaktními problémy.Proto si budeme uvědomovat:V základním studiu, jehož je i statika, se omezíme na úlohy o stykovýchvýslednicích a stykových funkcích.

6. Styk těles 55Z výkladu od počátku skript by mělo být zřejmé, že změna mechanického pohybu tělesa asilové působení na těleso tvoří dvě strany jedné mince, protože silové působení je mírou změnymechanického pohybu. Proto styk těles má z mechanického hlediska dvě stránky:- kinematickou - která vystihuje omezení a ovlivnění složek mechanického pohybu stykem- silovou - která popisuje silové působení ve stykuJestliže pro styk můžeme použít model NNTN styku, pak deformace stykového útvaru v průběhuzatěžování je nepodstatná a pohyb tělesa vzhledem k základnímu nebo jinému tělesu je pakjednoznačně určen translačním pohybem libovolného bodu B a rotačním pohybem kolem boduB, což na základě znalostí z fyziky můžeme vyjádřit takto:kde ⃗v c - je rychlost libovolného bodu tělesa T.⃗v c = ⃗v B + ⃗ω B × ⃗ CB (6.4)Pohybový stav tělesa T je tedy určen bivektorem {⃗v, ⃗ω} B , jehož souřadnicový tvar maticovězapíšeme takto:v B =[v x v y v z ω x ω y ω z] TBVe statice se pohybem zabýváme pouze kvalitativně, proto k matici v B přiřadíme logickoumatici pohyblivosti k v takto: je-li prvek v i matice v Bnezávislý geometricky možný k i = 0nezávislý geometricky nemožný k i = 1závislýřídící (geometricky možný) k i = 0řízený (geometricky nemožný) k i = 1Nyní si vysvětlíme závislost složek pohybu tělesa jako celku.Představme si váleček podle obrázku 6,6. Složka pohybu v y = 0 nenígeometricky možná. Složky v x , ω z jsou geometricky možné. Pokud seváleček bude odvalovat, pak složky v x a ω z jsou lineárně závislé, přičemžzávislost můžeme vyjádřit vztahem v x = r · ω z . Pohyb válečkumůžeme popsat pohybem v rovině (x,y), maticí v s = [v x , v y , ω z ] T s .Matice pohyblivosti bude mít tvark v = [ 0 1 1 ] - jestliže řídící je posuv ve směru x, nebok v = [ 1 1 0 ] - jestliže řídící je rotace kolem osy z.Obr. 6.6:Silové působení z hlediska silových výslednic je v souladu s dříve uvedeným a obr. 6.5vyjádřeno ve zvoleném bodě B silovým výslednicovým bivektorem { F ⃗ v , M ⃗ v } B , který můžemevyjádřit v souřadnicovém tvaru maticově takto:[] Tϕ B = F x F y F z M x M y M z - silový výslednicový bivektor (6.5)B

6. Styk těles 56Souřadnice bivektoru ϕ B jsou buď neúplně určené nebo jsou nulové v důsledku vlastností vazbyNNTN. Z podmínky neutrálnosti styku F x v x = 0 vyplývá: Je-li pohyb v daném směru (x)geometricky možný (v x ≠ 0), pak příslušná souřadnice odpovídající silové nebo momentovévýslednice je nulová (F x = 0). Z předchozího výkladu je zřejmé, že pro vazbu NNTN k maticipohyblivosti k v můžeme přiřadit matici silového působení k ϕ takto:Je-lik i = 0 =⇒ k ϕi = 0 ; k i = 1 =⇒ k ϕi = 1k matici k ϕ přiřadíme výslednicový silový bivektor podle vztahuk ϕi = 0 =⇒ ϕ i = 0 ; k ϕi = 1 =⇒ ϕ i ≠ 0nebo ϕ i je závislý na ϕ j ≠ 0.Jako příklad si uvedeme rotační vazbu Složky pohybu tělesa jako celku budou v důsledkuObr. 6.7:stykové vazby závislé v těchto případech:a) Jestliže zvolíme nevhodně souřadnicový systém.b) Jestliže stykový útvar Γ s se skládá z více oblastí, např. šroubová vazba.

6. Styk těles 57Tento případ můžeme chápat jako zvláštní uložení tělesa s více vazbami. Matice k ϕ udáváobecně nenulové souřadnice výslednicového stykového bivektoru, které jsou po uvolnění vazbyneúplně určené. Proto počet jedniček v k ϕ určuje počet neznámých nezávislých parametrů,který označíme µ. Zřejmě platíµ = k T ϕk ϕ (6.6)Jak jsme již uvedli, pohyb tělesa jako celku vzhledem k základnímu tělesu můžeme vyjádřittranslačním pohybem jednoho bodu B tělesa a rotačním pohybem kolem bodu B. Pro libovolnýbod C tělesa pak platí ⃗v C = ⃗v B + ⃗ω B × CB. ⃗ Pohyb tělesa jako celku v prostoru má tedy6 nezávislých složek. Tři složky translačního pohybu libovolného bodu a tři složky rotačníhopohybu kolem tří nezávislých os procházejících daným bodem. Počet nazávislých složek pohybutělesa jako celku nazýváme počtem stupňů volnosti volného tělesa a značíme i v . Pro volné tělesov prostoru i v = 6, v rovině i v = 3. V důsledku neprostupnosti těles stykové vazby pohyb tělesaomezují, odebírají tělesu stupně volnosti. Počet stupňů volnosti odebraných vazbou značímeξ. Vzhledem k zavedení matice k v (k i = 0- složka pohybu geometricky možná, k i = 1- složkapohybu geometricky nemožná) platí:ξ = k T v k v (6.7).Podmínku neutrálnosti vazby můžeme zapsatvektorově ⃗ F · ⃗v + ⃗ M · ⃗ω = 0algebraicky F x v x + F y v y + F z v z + M x ω x + M y ω y + M z ω z + = 0maticově ϕ T ⃗v = ⃗v T ϕ = 0,přičemž pro každý činitel F i v i = 0 resp. M i ω i = 0Odvozené závislosti pro vazby NNTN můžeme shrnout do těchto vět:Pro styk těles NNTN vazbou platí vztahk v = k ϕPočet nezávislých neznámých souřadnic výslednicového stykovéhobivektoru určíme ze vztahu µ = k T ϕk ϕPočet stupňů volnosti odebraných tělesu vazbou určíme ze vztahu ξ = k T v k vZ uvedených vět vyplývá tvrzení: Pro vazbu NNTN je počet stupňůvolnosti odebraných vazbou roven počtu neznámých nezávislých souřadnicvýslednicového bivektoru.ξ = µ

6. Styk těles 586.3 Uvolňování vazeb NNTN.V předchozím odstavci jsme se zabývali kinematickými a silovými charakteristikami vazebNNTN. Uvažovali jsme vazby s jedním stykovým útvarem Γ s a ukázali jsme, že z hlediskapohybu tělesa jako celku je kinematicky styk charakterizován maticí pohyblivosti k v . Pokudjsme ve výkladu popsali vazbu, tak pouze z hlediska probírané látky. Všimněme si nyní několikakonkrétních vazeb, jak jsou nakresleny na obr. 6.8.Obr. 6.8:Z názoru by mělo být zřejmé, že ve všech případech styk umožňuje rotaci tělesa T kolemosy z. Z kinematického hlediska, na rozlišovací úrovni statiky, jsou všechny vazby stejné, protožematice k v je pro všechny případy stejná. Přesto u každé vazby můžeme nalézt odlišnosti, kteréna vyšší rozlišovací úrovni nebo z hlediska funkce zařízení mohou být podstatné. Případy podleobr. a, b, c umožňují sice rotaci, ale možné natočení je ohraničeno. Liší se stykové plochy, cožbude mít za následek rozdílné rozložení stykového tlaku. Vzhledem k různé velikosti stykovéplochy budou rozdílné i maximální stykové tlaky. Liší se i počet stykových ploch. Vazba podleobr. d natočení neomezuje, těleso T se může otáčet dokola. Vazba e neomezuje natočení tělesaT, ale funkce styku je závislá na silové soustavě π působící na těleso T. U vazby podle obr. f jemožné natočení tělesa T nejen ohraničeno, ale také funkce styku je závislá na silové soustavěπ působící na těleso T. Pro některé silové soustavy vazba bude ve funkci, pro jiné nastaneoddělení těles. Vidíme, že matice k v vystihuje jen jistou možnost pohybu a že ke každé vazběexistují další omezení, ať již geometrická nebo silová.Konkrétní provedení vazby podstatně ovlivňuje její funkční vlastnosti, které souvisí s celouřadou okolností funkčního charakteru a nesouvisí jen s mechanikou. Jsou to funkční požadavkyna pohyb, montáž, mazání, opotřebování stykových ploch apod. Vlastní navrhování vazby jeproblém konstrukčního charakteru. Proto komplexní rozbor vazby patří do konstrukčních předmětů- částí strojů a předmětů specializací.Na počátku studia mechaniky, v předmětu statika, se můžeme zabývat jen základnímimechanickými vlastnostmi vazby souvisejícími s funkcí vazby a to:a) Určením možných složek pohybu vázaného tělesa.b) Ohraničením možných složek pohybu v mezních polohách např. vazby a, b, c - úhel α.c) Omezením pohybu z hlediska funkčnosti vazeb vyjádřené stykovými výslednicemi.Určování pohybu ve smyslu bodů a) a b) patří do kinematiky, kde bude také probráno. Vzhledemke vzájemné souvislosti mezi pohybem a silovým působením je nutné již ve statice pohyb

6. Styk těles 59vyšetřovat a to prozatím na úrovni vymezené v předchozím odstavci, kde složky pohybu tělesajako celku, omezené vazbou, kvalitativně popisuje matice k v . Na uvedené rozlišovací úrovni sez kinematického hlediska nezabýváme konkrétním tvarem, rozměry stykových ploch, meznímipolohami a tím, zda může nastat zrušení styku rozpojením těles. Předpokládáme, že styk nastala trvá.Kinematickou stránku reálné vazby pak vystihuje pojem kinematické dvojice, který vymezímetakto:Kinematická dvojice je abstraktní pojem, přiřazený reálné stykovévazbě z hlediska omezení složek pohybu tělesa jako celku vazbou.Je popsán maticí pohyblivosti k v .V tomto smyslu různým konkrétním vazbám je přiřazená stejná kinematická dvojice.Např. všem vazbám podle obr. 6.8 je přiřazena rovinná rotační kinematická dvojice. Názvy aoznačení kinematických dvojic podle počtu a charakteru omezených složek pohybu tělesa jakocelku vazbou jsou uvedeny na obr. 6.9 a 6.10. V souladu s odst. 6.2 jsou tabulky doplněnysilovými a kinematickými charakteristikami a uvolněním jednotlivých vazeb.Základní kinematické dvojice v roviněObr. 6.9:

6. Styk těles 60Základní kinematické dvojice v prostoruObr. 6.10:

6. Styk těles 61K reálné vazbě ze statického hlediska přiřadíme model vazby, jehož kinematické vlastnostinazveme a označíme podle tabulky. Např. rovinná rotační kinematická dvojice. Stejným jménemnazveme také model vazby, ale slovo model v názvu neuvádíme. Tedy rovinná rotační vazba.Vyjimku tvoří podpora a lano, které jsou obecné kinematické dvojice.Z dosavadních úvah vyplývá, že vazba stykem na nejjednodušší úrovni je určena:a) Přiřazenou kinematickou dvojicí, která vyjadřuje omezené složky pohybu tělesa jakocelku vzhledem ke geometrii stykové vazby. Pokud předmětem řešení je posloupnost rovnovážnýchstavů v různých polohách tělesa, případně určení rovnovážné polohy, pak zkinematického hlediska musíme ke kinematické dvojici přiřadit obor existence vazby zgeometrického hlediska. U případů podle obr. 6.8 je to omezení úhlu natočení jistým intervalemgeometrické existence I g = (α l , α p ) s tímto významem. Pokud ϕ ∈ I g má vazbacharakter rotační rovinné kinematické dvojice, v případě, že ϕ = ±α mění se rotačníkinematická dvojice na nepohyblivou. Hodnoty úhlu ϕ = ±α do intervalu I g nepatří.Uvedené vlastnosti vyjádříme větou:U statických úloh, které jsou charakteristické změnou polohy tělesavzhledem ke vztažnému tělesu, je nutné vazby stykem z kinematickéhohlediska určit maticí pohyblivosti a intervalem geometrické existence.b) Stykovými silami reprezentovanými silovou a momentovou výslednicí (stykovým výslednicovýmbivektorem) ⃗ F s , ⃗ M sB , resp. stykovými funkcemi. Z obrázku 6.8 je zřejmé,že provedení vazby může významně ovlivňovat existenci vazby (přiřazenou kinematickoudvojici). Jestliže vazba omezuje pohyb v určitém směru, ale pouze v jednom smyslu,pak funkčnost vazby závisí na soustavě sil π působící na těleso T. Vymezení funkčnostivazby můžeme vyjádřit podmínkami pro hodnoty parametrů výslednicových stykovýchbivektorů, tuto podmínku nazveme stykovou podmínkou.Vazba NNTN je pak ze statického hlediska určena:1. Maticí pohyblivosti k v .2. Výslednicovým stykovým bivektorem { ⃗ F s , ⃗ M s } B , resp. stykovými funkcemi.3. Stykovou podmínkou.V předchozích odstavcích jsme ukázali, že pro nejjednodušší možný styk NNTN platí k v =k ϕ , který dává jednoznačný vztah mezi kinematickou dvojicí a obecně nenulovými souřadnicemivýslednicového stykového bivektoru. K určení styku je však nutné ještě formulovat stykovoupodmínku, která vychází z tlakovosti a neutrálnosti styku, tedy ze vztahů dF An ≤ 0, dF⃗A ·⃗v A =0 pro A ∈ Γ s , při kladné orientaci normály ven z tělesa T. Z uvedených vztahů je třeba určitstykovou podmínku pro výslednicový stykový bivektor.Styková podmínka závisí na konkrétním provedení vazby. Odvození provedeme propodporu a rovinnou jednostrannou posuvnou vazbu.

6. Styk těles 621. Podpora.Uvolnění vazby viz obr. 6.11b. Tělesa se stýkají v bodě A, který je působištěm síly ⃗ F An ≡⃗F Ay . Výslednicový stykový bivektor můžeme vyjádřit k libovolnému bodu, zvolíme bodA, Φ = { ⃗ F An ,⃗0} A . Z podmínky tlakovosti vyplývá ⃗ F A ≤ ⃗0. Styková podmínka podporyse stykem v bodě A je { ⃗ F V , ⃗ M V } A = { ⃗ F A ≤ ⃗0,⃗0}.Momentová výslednice k bodu A je nulová a silová výslednice leží na normále n A a jezáporná. ⃗ F A je orientována do tělesa.Obr. 6.11:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡v x ≠ 000⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢v A = ⎣v y = 0⎦ ⇒ k v = ⎣1⎦ ⇒ k ϕ = ⎣1⎦ ⇒ ϕ A = ⎣ω z ≠ 0000F Ay0⎤⎥⎦ ⇒ uvolnění obr. 6.11b2. Rovinná jednostranná posuvná vazba. Viz obr. 6.12 .Obr. 6.12:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤v x ≠ 0000⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥v A = ⎣v y = 0⎦ ⇒ k v = ⎣1⎦ ⇒ k ϕ = ⎣1⎦ ⇒ ϕ A = ⎣F Ay ⎦ ⇒ uvolnění obr. 6.12dω z = 011M ATělesa se stýkají v úsečce OK. Z neutrálnosti vazby vyplývá, že stykové síly tvoří soustavurovnoběžných sil. Z podmínky tlakovosti vychází souhlasná orientace, tedy elementárnístykové síly tvoří soustavu rovnoběžných souhlasně orientovaných sil v rovině. Silová

6. Styk těles 63výslednice této soustavy ⃗ F A ≠ ⃗0, podle odts. 5.2 existuje osa silové soustavy π s . Její polohujsme označili v obr. 6.12 souřadnicí x o , kterou určíme z podmínky statické ekvivalencesilových soustav π s a π V .F V :∫ l0q n dx = F A M V :∫ l0q n xdx = M A = F A x o ⇒ x o = M AF A=∫ l0∫ l0q n xdxq n dxProtože q n (x) < 0 pro všechna x ∈< 0, l > platí 0 ≤ x ≤ 1 odtud 0 ≥ xq l l n ≥ q na 0 ≤ − xq l n ≤ −q n tedy 0 ≤ − ∫ xq l ndx ≤ − ∫ q n dx odtud∫qn xdxx o = ∫qn dx = −l ∫ xq l ndx− ∫ q n dx⇒ 0 ≤ x ∫ xo= ∫ q l ndxl qn dx ≤ 1 ⇒0 ≤ x o ≤ l tedy x o ∈< 0, l >Má-li být rovinná jednostranná posuvná vazba funkční, a tím i posuvnou kinematickoudvojicí, musí platit:F A < 0 a osa silové soustavy rozloženého silového působení ve stykuprotíná úsečku OK a je k ní kolmá.V souladu s dříve uvedeným můžeme tuto větu vyjádřit takto:Soustavu rozloženého silového působení ve styku můžeme z hlediskastatické ekvivalence nahradit jedinou silou, která je- orientována do tělesa- její nositelka je kolmá k úsečce OK a protíná ji.Vazba podle obr. 6.12 je posuvnou kinematickou dvojicí jen podmíněně, při splnění podmínekF A < 0 a x o ∈< 0, l >. Chceme-li, aby vazba byla posuvnou kinematickou dvojicí nezávislena silovém působení, je nutné vytvořit styk ve dvou rovnoběžných úsečkách, viz tabulka6.1. Úpravou vazby se pohyblivost nezmění, změní se styková podmínka. Upravená vazba nenípodmíněně funkční, je posuvnou kinematickou dvojicí nezávislou na soustavě π.Posuvná vazba v roviněObr. 6.13:Uvolnění rovinné oboustranné posuvné vazby dělá studentům problémy. Detailní rozbortéto vazby ze statického hlediska je v [2] str. 43. Obdobně lze stykové podmínky odvodit pro dalšívazby. Odvození a formulace stykových podmínek pro prostorové vazby je poněkud náročnější.V základním studiu je nebudeme uvádět.

6. Styk těles 646.4 Uložení vázaného tělesa.Až dosud jsme se zabývali tělesem vázaným jedinou vazbou. Uvedli jsme základní kinematickéa silové vlastnosti NNTN vazeb. Odvodili jsme vztah pro počet stupňů volnosti odebranýchstykovou vazbou ξ = k T v k v . Určili jsme, že počet stupňů volnosti volného tělesa v prostoru jei v = 6 a v rovině i v = 3. Počet stupňů volnosti tělesa vázaného jednou stykovou vazbou určímeze vztahui = i v − ξ, 0 < ξ ≤ 6 (6.8)Těleso vázané jednou stykovou vazbou k základnímu tělesu je zvláštním případem, sekterým se ve strojírenské praxi setkáváme zcela výjimečně. Převážně se jedná o tělesa vázanávíce stykovými vazbami, obecně různého typu. V souladu s dříve uvedeným budeme soustavuvšech mechanických vazeb nazývat uložením tělesa, které označíme U. Kinematicky je uloženíurčeno soustavou kinematických dvojic, silově soustavou výslednicových stykových bivektorů.Tedy:Uložení tělesa T je soustavou všech stykových vazeb, kterými je tělesovázáno k okolí. Prvkem uložení je vazba. Uložení je určeno:- kinematicky - soustavou kinematických dvojic- silově - soustavou výslednicových stykových bivektorůU více vazeb je nutné uvažovat další závažnou okolnost - možnost omezování deformace.Přistupujeme-li ke statice jako teorii vycházející z axiomu o nedeformovatelnosti těles, omezenímdeformace se zabývat nemusíme. Uvažujeme-li statiku jako část teoretického základustrojírenství, pak s ohledem na řešení konkrétních problémů na reálném (deformovatelném)tělese je nutné uvážit, zda omezení deformace je, či není podstatné. Ve statice alespoň kvalitativněve smyslu - uložení omezuje, neomezuje deformaci. V případě, že omezuje, pak určímekolik deformačních parametrů je stykovými vazbami omezeno. Kvantitativním vyjádřením deformacese budeme zabývat až v pružnosti pevnosti.Proto si musíme uvědomit:Při rozboru uložení tělesa musíme již ve statice uvažovat deformaci ve smyslumožnosti jejího omezení a počtu omezených deformačních parametrů.Musíme tedy respektovat následující skutečnost:Uložení tělesa omezuje a ovlivňuje pohyb tělesa jako celku a deformaci.Vyjádření pohyblivosti tělesa vázaného více než jednou stykovou vazbou je podstatně složitějšíproblém než v případě jediné stykové vazby. Komplikace spočívá ve vzájemné závislosti složekmechanického pohybu omezených vazbami.Jestliže je těleso podle obr. 6.13a vázáno jedinou podporou, pak dochází k omezení pohybutělesa ve směru osy x. Matice pohyblivosti tělesa je totožná s maticí pohyblivosti vazby A k vT ≡[ Tk vA = 1 0 0]. Pokud je těleso vázáno dvěma vazbami uspořádanými podle obr. 6.13b, pakdochází k omezení pohybu ve směru osy y a rotací kolem osy z. Matice pohyblivosti vázaného[ T [ Ttělesa má tvar k vT = 0 1 1], ale matice pohyblivosti vazeb jsou kvB = k vC = 0 1 0].Na obrázku 6.13c je uložení tělesa pomocí tří podpor, matice pohyblivosti vázaného tělesa[ Tmá tvar k vT = 1 1 1]. Jestliže nyní přidáme ještě jednu podporu, pak pohyblivost (která

6. Styk těles 65Obr. 6.14:popisuje pohyb tělesa jako celku) se nemůže změnit, protože těleso je uloženo nepohyblivě.Nyní vyvstává otázka, zda vazba D (obr. 6.14e) je z hlediska mechanického pohybu funkční?Chceme-li na tuto otázku odpovědět, musíme si na základě zkušenosti a názoru představitdeformované těleso v případě c, viz obr. 6.14d.Obr. 6.15:Z obrázků d) a c) je patrné, že vazba D je funkční a omezuje jeden deformační parametr- posuv bodu D ve směru osy y. Ve statice určování pohyblivosti tělesa a počtu omezenýchdeformačních parametrů můžeme provádět na základě kinematického rozboru, který vychází znázoru a zkušenosti, ne z kinematického řešení.Nyní zformulujeme vztah pro určení pohyblivosti vázaného tělesa na úrovni kinematickéhorozboru.(∑ )i = i v − ξi − η(6.9)kdei v∑ξii - počet stupňů volnosti vázaného tělesa.- počet stupňů volnosti volného tělesa.- počet složek mechanického pohybu odebraných vazbami.η - počet deformačních parametrů omezených stykovými vazbami.∑ξi − η - počet stupňů volnosti odebraných stykovými vazbami.Uložení tělesa podle obr. 6.13 a 6.14d,e tvoří tzv. normální stavy, které jsou charakteristickétím, že při normálním ukládání tělesa stykovými vazbami se nejdříve omezuje pohybtělesa jako celku, až do nepohyblivého uložení tělesa a teprve pak dochází k omezení deformace.

6. Styk těles 66Vedle případů normálních existují případy výjimkové. Jeden výjimkový případ je zobrazen naobr. 6.14f . Vazby A,B omezují posuvy ve směru os x, y. Vazba C omezuje deformační parametri když těleso je uloženo pohyblivě, může se otáčet kolem osy z. Výjimkové stavy jsou charakteristickétím, že dříve než byly omezeny složky pohybu tělesa jako celku dochází k omezenídeformačních parametrů. Nyní pro jednotlivé případy podle obr. 68 určíme charakter uložení.Poznámka k značení: r.k.d - r......označení kinematické dvojice- k.d....zkratka kinematické dvojicePředpokládáme normální uložení.a) b) c)A − o.k.d − ξ A = 1 B, C − o.k.d − ξ i = 1 A, B, C − o.k.d − ξ i = 1η = 0 η = 0 η = 0i = i v − ( ∑ ξ i − η)i = 3 − 1 = 2 i = 3 − 2 = 1 i = 3 − 3 = 0i = 2, η = 0 i = 1, η = 0 i = 0, η = 0Těleso je uloženo pohyb- Těleso je uloženo pohyb- Těleso je uloženo nepolivěse dvěma stupni vol- livě s jedním stupněm hyblivě bez omezení denosti,bez omezení defor- volnosti, bez omezení de- formačních parametrůmačních parametrůformačních parametrůe) f)A, B, C, D − o.k.d − ξ i = 1 A, B, C − o.k.d − ξ i = 1Vazby omezují více složek pohybu Těleso se může pootočit kolem osy znež je stupňů volnosti volného procházející bodem S → i min = 1∑tělesa v rovině → η ≠ 0ξi = 3 → η = 1i = 3 − (4 − 1) = 0 i = 3 − (3 − 1) = 1i = 0, η = 1 i = 1, η = 1Těleso je uloženo nepohyblivěs jedním omezeným deformačnímparametremTěleso je uloženo pohyblivěs jedním omezeným deformačnímparametremZobecněním jednotlivých případů obdržíme základní stavy, které vázané tělesoz hlediska pohybu jako celku a deformace může nabývat.Normální stavy uložení.i > 0, η = 0 - těleso je uloženo pohyblivě bez omezení deformačních parametrůi = 0, η = 0 - těleso je uloženo nepohyblivě bez omezení deformačních parametrůi = 0, η > 0 - těleso je uloženo nepohyblivě s η omezenými deformačními parametryVýjimkové stavy uložení.i > 0, η > 0 - těleso je uloženo pohyblivě s η omezenými deformačními parametryZ předchozího textu vyplývá, že kinematický rozbor závisí na podkladech na jejichž základěsi vytváříme představu o omezených složkách pohybu tělesa a zkušenostech člověka, který

6. Styk těles 67rozbor provádí. Vzhledem k malým zkušenostem studentů si položme otázku: ”Jestliže se dopustímchyby v určení pohyblivosti v důsledku malých zkušeností, jsem schopen na základěstatického řešení chybu poznat?” Abychom na tuto otázku mohli odpovědět a získali základnípředstavu, provedeme kinematický rozbor a sestavíme statické podmínky pro některé typyuložení tělesa. Předpokládejme, že těleso podle obrázku je ve statické rovnováze. Pak jsmeoprávněni sestavit podmínky statické rovnováhy.Obr. 6.16:a) b) c)A − r.k.d − ξ i = 2 A − r.k.d − ξ i = 2 A − r.k.d − ξ i = 2B − o.k.d − ξ i = 1 B, C − o.k.d − ξ i = 1η = 0 η = 0 η = 1Kinematické dvojice odníma -jí více parametrů než je slo -žek pohybu tělesa jako celku∑ξi = 4, i v = 3 → η = 1i = 3 − 2 = 1 i = 3 − 3 = 0 i = 3 − (4 − 1) = 0i = 1, η = 0 i = 0, η = 0 i = 0, η = 1Uložení tělesa je pohyb - Uložení tělesa je ne - Uložení tělesa je nepohyb -livé bez omezení pohyblivé bez omezení livé s jedním omezenýmdeformačních parametrů deformačních parametrů deformačním parametremPodmínky statické rovnováhy:F x : −F 1 + F Ax = 0 −F 1 + F Ax = 0 F Ax + F C − F 1 = 0F y : F Ay + F 2 = 0 F Ay − F B + F 2 = 0 F Ay − F B + F 2 = 0M zA : F 1 r + F 2 a = 0aF 1 r + F 2 a − F B 2 F a1r + F 2 a − F B 2 Cr = 0µ F = 2, ν = 3 µ F = 3, ν = 3 µ F = 4, ν = 3

6. Styk těles 68Neznámé nezávislé parametry budeme rozlišovat podle charakteru neznámých souřadnic.µ F - silovéµ M - momentovéµ < νad a)µ r - polohové, viz obr. 6.12 − x ouložení je staticky přeurčené. Pak mohou nastat tyto dva případy.(ν − µ) − podmínek statické rovnováhy je identicky splněno.µ < ν Těleso, které je uloženo pohyblivě je ve statické rovnováze.(ν − µ) − podmínek statické rovnováhy je sporných. Těleso,které je uloženo pohyblivě není ve statickérovnováze, proto podmínky statické rovnováhynejsme oprávněni sestavit. K určení silovéhopůsobení je nutné sestavit pohybové rovnice, což jeúloha dynamická. (Ve statice neumíme.)U případů podle obr. 6.15a, je-li F 1 ≠ 0 ∧ F 2 ≠ 0 pak F 1 r + F 2 a ≠ 0 =⇒ Těleso podleobrázku je uloženo pohyblivě a není ve statické rovnováze, není splněn počáteční předpoklad.Silové působení můžeme určit z pohybových rovnic, které ve statice neumímesestavit.µ = ν ∧ µ M + µ r < ν Mad b)µ > ν- je splněna nutná podmínka statické určitosti úlohy.(µ M , µ r určujeme z momentových podmínek rovnováhy, proto µ M + µ r < ν M )Soustava statických rovnic je lineární. Určíme hodnotu determinantu soustavy.1 0 0det(A) =0 1 −1= − a 2 ≠ 0∣0 0 − a ∣2Soustava statických rovnic má právě jedno řešení. Uložení je staticky určité - neznáménezávislé parametry určíme ze statických podmínek.ad c) - uložení je staticky neurčité.Neznámých nezávislých parametrů NP = {F Ax , F Ay , F B , F C } je více než podmínekstatické rovnováhy.Stupeň statické neurčitosti určíme ze vztahu:s = µ − ν

6. Styk těles 69Obr. 6.17:Další dva případy jsou výjimkovéViz obr. 6.16.Kinematický rozbord) e)A, B, C − o.k.d ξ i = 1 A − r.k.d − ξ i = 2B, C − o.k.d ξ i = 1Na základě malých zkušeností se Kinematické dvojice odnímajídopustíme chyby a předpokládáme více parametrů než je složekη = 0 pohybu tělesa jako celku η = 1i = 3 − 3 = 0 i = 3 − (4 − 1) = 0i = 0, η = 0 i = 0, η = 1Těleso je uloženo nepohyblivě Těleso je uloženo nepohyblivěbez omezení deformačníchs jedním omezeným deforparametrůmačním parametremPodmínky rovnováhy:F x : −F 1 + F A = 0 F x : −F 1 + F B + F Ax = 0F y : F C − F B = 0 F y : F Ay − F C + F 2 = 0M zS : F 2 a = 0 M zA : F 1 r + F 2 a − F B r = 0µ F = 3, ν = 3 µ F = 4, ν = 3

6. Styk těles 70ad d)Momentová podmínka rovnováhy je sporná ⇒ ν = 2, těleso se může otáčet kolem osy zprocházející bodem S, tedy i = 1, η = 1. Těleso je uloženo pohyblivě s jedním omezenýmdeformačním parametrem. Uložení tělesa je výjimkové.ad e) Uložení tělesa je staticky neurčité. Vzhledem k tomu, že ⃗ F C a ⃗ F Ay leží na jednénositelce můžeme označit ⃗ F Ay,C = ⃗ F Ay − ⃗ F C . Z podmínek statické rovnováhy neurčímevšechny neznámé nezávislé parametry {F Ax , F Ay , F B , F C }. Můžeme však určit množinumodifikovaných parametrů {F Ax , (F Ay −F C ), F B }. Protože množinu modifikovaných parametrůmůžeme sestavit pouze v případě, že dvě síly nebo složky sil leží na jedné nositelce,nazveme danou úlohu staticky neurčitou výjimkovou. Z uvedených případů je zřejmé, žeurčení pohyblivosti a statické řešení spolu souvisí a chybný předpoklad v kinematickémrozboru na základě statického řešení můžeme opravit.Ze statického hlediska rozlišujeme uložení:Staticky určité - všechny neznámé nezávislé parametry stykových výslednic určíme ze statickýchpodmínek.Staticky neurčité - k určení neznámých nezávislých parametrů statické podmínky nestačí.Staticky neurčité výjimkové - ze statických podmínek nelze určit všechny neznámé nezávisléparametry, lze však určit parametry modifikované.Určení charakteru uložení tělesa je důležitou úlohou mechaniky těles. Určení pohyblivosti aomezení deformace vyžaduje zvládnutí kinematiky a pružnosti. Ve statice, která tyto předmětypředchází, se můžeme omezit jen na ty případy, kdy lze pohyblivost i omezení deformačníchparametrů posoudit spolehlivě z názoru. Určení statického charakteru uložení však vychází zrozboru vlastností statických rovnic a tuto úlohu můžeme řešit ve statice.Souhrnně můžeme konstatovat:Těleso z hlediska uložení a soustavy π úplně určených silových prvků je charakterizováno:− pohyblivostí i ≥ 0− mírou omezení deformace η ≥ 0− je-li i > 0 pak charakterem pohybu z hlediska statické rovnováhySR = 0 - statická rovnováha nastáváSR = 1 - statická rovnováha nenastává− je-li η > 0, i = 0 - mírou statické neurčitosti s = µ − ν− v případě staticky neurčitého uložení výjimkového - míroustatické řešitelnosti s v = µ v − ν, kde µ v je počet modifikovanýchneznámých nezávislých parametrů.Ve statice u tělesa vázaného NNTN vazbami budeme rozlišovat uložení.pohyblivénepohyblivéomezující deformacineomezující deformacizajišťující statickou rovnováhu nezajišťující statickou rovnováhustaticky určitéstaticky neurčiténormálnívýjimkové

6. Styk těles 71Zvládnutí analýzy uložení patří k důležité části úlohy nejen ve statice, ale i v ostatníchpředmětech mechaniky těles. Dnes podstata není v řešení statických podmínek, to zvládnehravě běžný počítač. Důležitá je analýza chování, v tomto případě analýza vlastností uložení.Na závěr shrneme vlastnosti uložení NNTN vazbami, vyplývající z předchozího rozboru.Normální případy.Statická určitostpohyblivost a identické splnění statickýchpodmínek ve směru neomezených složek pohybutělesa jako celkunepohyblivost bez omezení deformaceStatická neurčitost −→ nepohyblivost a omezení deformaceVýjimkové případy.Uložení výjimkové −→ pohyblivost a omezení deformaceUložení staticky neurčitévýjimkové−→ nepohyblivost a omezení deformace,možnost určení modifikovaných parametrůVlastnosti uložení vazbami NNTN můžeme graficky znázornit takto:Obr. 6.18:

6. Styk těles 72Několik příkladů vyjímkového uložení tělesa.Obr. 6.19:Detailní rozbor uložení tělesa je proveden u každé úlohy A[68] - A[84] v [2].Z pedagogického hlediska není vhodné tyto úlohy pouze procházet, ale je nutné je samostatněřešit a řešení pouze zkontrolovat a promyslet.Vzhledem k tomu, že jsme již probrali všechny základní operace a činnosti týkající se silovéhopřístupu řešení úloh statiky, můžeme přistoupit k jejich kategorizaci.6.5 Typy statických úlohZákladní členění úloh a to nejen ve statice je následující- úlohy na statickou analýzu- úlohy na statickou syntézuÚlohy na statickou analýzu a syntézu se liší tím, co je zadáno a co se má řešením určit. Oběskupiny můžeme stručně charakterizovat takto:Úlohy na analýzu⎡⎤Úplně zadané⎛ ⎞StatickéTěleso, uložení tělesa⎜ ⎟a soustava π - úplně=⇒ ⎝chování⎠⎢⎥ tělesa⎣určených silových prvků⎦−⎡⎤Cíl řešení- Posouzení charakteru silovýchsoustav působících na těleso- Určení silového působení vestykových vazbách- Nahrazení silové soustavy působícína těleso staticky⎢⎥⎣ ekvivalentní soustavou. ⎦

6. Styk těles 73Úlohy na syntézuÚlohy na statickou analýzu dělíme na− úlohy o statické kontrole− úlohy o statickém řešeníObr. 6.20:A) Úlohy na analýzu− úlohy týkající se nahrazení úplně zadané silové soustavy jinou silovousoustavou, jejíž neúplně zadané prvky můžeme určit ze statického řešení.Úlohy o statické kontrole:Kontrola statické ekvivalence silových soustav π 1 , π 2 působících na těleso.Na uvolněné nebo vázané těleso působí soustava úplně zadaných silových prvků π 1 nebo π 2 ,které jsou staticky ekvivalentní. Proveďte kontrolu statické ekvivalence silových soustav π 1 a π 2 .Je-li ⃗ F 1 V = ⃗ F 2 V ∧ ⃗ M 1 V B = ⃗ M 2 V B − pak π 1 a π 2 jsou staticky ekvivalentní.Kontrola charakteru silové soustavy.Na těleso T působí úplně zadaná soustava π, která je rovnovážnou silovou soustavou. Zkontrolujterovnovážnost silové soustavy.Je-li ⃗ F V = ⃗0 ∧ ⃗ M V = ⃗0 − pak π je rovnovážnou soustavou.Úlohy o statickém řešení:Určení výsledných stykových sil. Na vázané těleso podle obrázku 72 působí úplně zadaná soustavaπ. Uložení vázaného tělesa má být nepohyblivé staticky určité. Zkontrolujte uložení tělesaa jsou-li splněny podmínky zadání určete výpočtovým způsobem výsledné stykové síly.Na základě kinematického rozboru zkontrolujeme nepohyblivost uložení, je-li splněna uvolnímetěleso, určíme množinu neznámých nezávislých parametrů a sestavíme podmínky statické rovnováhyv souřadnicovém tvaru. Jejich řešením určíme neznámé nezávislé parametry. Viz kapitola7.1.Obr. 6.21:

6. Styk těles 74Nahrazení úplně určené soustavy sil staticky ekvivalentní soustavou sil -zpravidla jedinou silou.Je-li to možné, nahraďte soustavu úplně zadaných sil π 1 jedinou silou. Nutná a postačujícípodmínka pro nahrazení silové soustavy jedinou silou je ⃗ F V ≠ 0 ∧ ⃗ F V · ⃗ MV = 0. Je-li tatopodmínka splněna, pak z podmínky statické ekvivalence musí platit ⃗ F 1 V = ⃗ F 2 V = ⃗ F ek ∧ ⃗ M 1 V B =⃗M 2 V B .B) Úlohy na syntézuÚlohy na syntézu mají ve strojírenství nejrůznější charakter. My se omezíme pouze naúlohy charakteristické pro studium statiky na strojní fakultě, které mohou být zadány takto:Soustava těles podle obrázku má být nepohyblivá staticky určitá. Po eventuálních úpraváchvazeb zaručujících podmínky zadání určete výpočtovým způsobem výsledné stykové síly.Charakter úprav souvisí s tvůrčím přístupem studenta. Řešení je víceznačné, přičemž jednotlivářešení jsou operačně různě náročná.Charakter úloh o syntéze můžeme schématicky znázornit takto:Obr. 6.22:C Úlohy o stabilitěŘešíme-li reálný problém, pak musíme uvažovat odchylky. Posouzení významnosti odchylekz hlediska řešeného problému není jednoduché a v řadě případů je nelze provést pouze nazákladě představy nebo odhadu. Jestliže uvažujeme odchylky, pak je nutné je zahrnout do soustavyúplně určených silových prvků, která pak obsahuje soustavu silových prvků jmenovitýchhodnot π j a soustavu π ′ zahrnující odchylky, tedy π o = π j ∪ π ′ .Počet použitelných statických podmínek určíme:a) v případě že odchylky neuvažujeme ze soustavyb) v případě s odchylkami ze soustavyπ ν = π j ∪ π R =⇒ νπ νo = π j ∪ π R ∪ π ′ =⇒ ν o

6. Styk těles 75Míru statické stability pak určíme ze vztahuq = ν o − ν (6.10)Uložení tělesa je staticky stabilní jestliže q = 0, přičemž rozlišujeme uložení− úplně stabilní − q = 0 ∧ ν o = ν = 6− částečně stabilní − q = 0 ∧ ν o ≠ 6− nestabilní − q ≠ 0Uvedený rozbor je proveden za předpokladu, že pro styk můžeme použít model NNTN styku. Zpříkladu na obrázku je zřejmé, že při uvažování odchylek je nutné také posoudit model styku.Odtud vyplývá, že řešení reálných problémů statiky je vždy komplexní činnost, velmi častointerdisciplinárního charakteru.

6. Styk těles 766.6 Těžiště těles6.6.1 Určení tíhové síly a polohy těžiště tělesaUrčení polohy těžiště a tíhy součástky resp. celé konstrukce je častým a běžným úkolem technicképraxe. Konstrukční návrh je často ovlivněn snahou o docílení takové polohy těžiště, abykonstrukce měla požadované provozní vlastnosti (s tím souvisí např. stabilita konstrukcí, vibracerotorů, chování vozidel při rychlém průjezdu zatáčkou a pod.)Vyjádření silového působení na těleso nacházející se v gravitačním poli Země patří mezizákladní statické úlohy a bylo předmětem předchozího studia. Z fyziky a matematiky (a z praxe)je známo: jestliže zavěsíme těleso na lano upevněné v jeho těžišti, pak těleso pootočené okolotěžiště zůstává v libovolné poloze v klidu (ve statické rovnováze).Vyšetřování polohy těžiště lze tedy provést experimentálně na reálném tělese. Setkáme sepřitom s problémem realizace zavěšení tělesa v těžišti (těžiště je běžně uvnitř tělesa, může být ivně prostorové oblasti Ω, kterou těleso zaujímá), protože lano lze vázat pouze k povrchu tělesa.Dalším problémem je pak volba takové strategie, aby proces experimentálního hledání polohytěžiště měl co nejméně kroků.Významnou roli v řešení hraje potřeba znát polohu těžiště už ve fázi konstrukčního návrhu,kdy těleso ještě reálně neexistuje. Z fyziky a matematiky je známo, že těžiště nějaké oblasti(prostorové 3D, plošné 2D nebo křivkové 1D) je možno při znalosti integrálního počtu určitpoměrně snadno výpočtem.Protože pojmy tíhová síla a těžiště souvisejí se silovým působením (rozloženým v objemutělesa), budeme je dále rozvíjet a zpřesňovat na základě znalostí získaných v předchozíchkapitolách.Oblast Ω, kterou zaujímá těleso, můžemedisjunktně rozdělit na elementárníprostorové podoblasti o objemu dV . Každépodoblasti přiřadíme bod, který daná podoblastobsahuje. Silovou interakci této podoblastis gravitačním polem Země vyjádřímev daném bodě elementární tíhovousilou dF ⃗ G viz obr. 6.23. Vzhledem k vlastnostemgravitačního pole a běžné velikostistrojírenských těles je možno nositelkysoustavy elementárních tíhových sil považovat za rovnoběžné. Mají svislý směr ⃗e s a jsouObr. 6.23:orientovány směrem k Zemi. Na těleso tedy působí soustava π g rovnoběžných a stejně orientovanýchelementárních sil v prostoru dF ⃗ G = ⃗g ρ dV = ⃗o dV = gρ dV · ⃗e s = o dV · ⃗e s = dF G · ⃗e s .Veličina ⃗o(x, y, z) je měrná objemová síla jejíž velikost o(x, y, z) = ρ(x, y, z) · g je obecně unehomogenního tělesa v oblasti Ω proměnná.Zvolíme-li globální souřadnicový systém pevně spojený s tělesem, pak při natáčení tělesaje soustava elementárních tíhových sil π g vzhledem k tomuto s.s. soustavou rotujících rovnoběžnýchsil. Podle kapitoly 5 má každá taková soustava osu, která při libovolném natočení tělesaprochází stále jedním bodem - střediskem soustavy π g označovaným běžně jako těžiště. Podlekapitoly 5 můžeme soustavu π g nahradit staticky ekvivalentní silou ⃗ F G jejíž nositelka je shodnás její osou. Tíhová síla je tedy staticky ekvivalentní náhradou soustavy elementárních tíhových

6. Styk těles 77sil a její nositelka prochází těžištěm tělesa. Tíhovou sílu a polohu těžiště určíme z podmínkystatické ekvivalence silových soustav π g a π G viz obr. 6.23.∫⃗gρdV = ⃗ F g V = ⃗ F G V = ⃗ F G a∫⃗r × ⃗g ρ dV = ⃗ M g V o= ⃗ M G V o= ⃗r T × ⃗ F G (6.11)ΩΩPak tíhová síla F ⃗ G a polohový vektor těžiště v souřadnicovém systému (O,x,y,z) jsou jednoznačněurčeny vztahy∫∫ ∫⃗r g ρ dV⃗F G = dF⃗ΩG = g ρ dV · ⃗e s = F G · ⃗e s a ⃗r T = ∫g ρ dV , (6.12)kde ⃗r T = x T⃗i + y T⃗j + z T⃗ k.ΩΩΩSouřadnice těžištěx T =∫g ρ x dVΩ∫g ρ dV ; y T =Ω∫g ρ y dVΩ∫g ρ dV ; z T =Ω∫g ρ z dVΩ∫g ρ dVΩ(6.13)Vlastnosti těžiště je možno shrnout do těchto bodů:1. Těžiště je bod tělesa, kterým prochází osa soustavy elementárních tíhových sil při libovolnémnatočení tělesa, viz. obr. 6.24.2. Tíhová síla je staticky ekvivalentní se soustavou elementárních tíhových sil. Při libovolnémnatočení tělesa má vzhledem k souřadnicovému systému spojenému se Zemí stejnouvelikost, směr a smysl a její nositelka prochází těžištěm.Obr. 6.24:Po analýze vlastností gravitačního pole Země, materiálů strojírenských těles a vztahůpro určení polohy těžiště můžeme vyslovit věty, které nám určování polohy těžiště v řadě úlohusnadní:

6. Styk těles 781. Vzhledem k nepodstatné proměnnosti hodnoty g(x, y, z) v oblasti Ω je možno gravitačnípole považovat za homogenní a uvažovat, že g(x, y, z) = konst.2. Z hlediska integrace mohou nastat případy, kdy geometrii oblasti Ω lze nebo nelze popsatjedinou integrabilní funkcí Ω(x, y, z). V případě možnosti a potřeby lze oblast Ω rozdělitna konečnou množinu n podoblastí Ω i , které lze popsat funkcemi Ω i (x, y, z), pro kterouplatí Ω = ∪Ω i . Pakn∑ ∫n∑∫⃗r g ρ dVi=1Ω ⃗F G = g ρ dV · ⃗e s a ⃗r T =in∑ ∫(6.14)i=1Ω ig ρ dVi=1Ω i3. Z hlediska proměnnosti ρ(x, y, z) lze těleso považovat za materiálově:a) homogenní ρ(x, y, z) = konst v oblasti Ω.∫⃗F G = g ρ dV · ⃗e s = g ρ V · ⃗e s ; ⃗r T =Ω∫⃗r dVΩ∫dVΩ i∫⃗r dV= ΩV(6.15)b) po částech homogenní ρ i (x, y, z) = konst v podoblastech Ω i .n∑ ∫n∑∫ρ n∑i ⃗r dVi=1 Ω⃗F G = g ρ i dV · ⃗e s = g ρ i V i · ⃗e s ; ⃗r T =in∑ ∫i=1Ωi=1iρ i dVi=1 Ω i=n∑ ∫ρ i ⃗r dVΩ in∑ρ i V ii=1(6.16)i=1c) nehomogenní ρ(x, y, z)4. Jestliže po rozdělení oblasti Ω po částech homogenního tělesa na n homogenních podoblastíΩ i známe polohu těžišť ⃗r Ti a hmotnost m i = ρ i V i jednotlivých podoblastí, pak polohu⃗r T těžiště oblasti Ω určíme ze vztahun∑n∑⃗r Ti ρ i V i ⃗r Ti m ii=1i=1⃗r T = n∑= n∑= 1 n∑m · ⃗r Ti · m i (6.17)ρ i V i m i i=1i=1i=15. Výhodná volba typu souřadnicového systému s přihlédnutím k charakteristické geometriitělesa umožní snížit operační složitost řešení. Zpravidla volímea) kartézský s.s. (O,x,y,z) pro obecný tvar tělesa kdy dV = dx dy dzb) cylindrický s.s. (O,r,ϕ,z) pro osově symetrická tělesa kdy dV = r dr dϕ dzc) sférický s.s. (O,r,ϕ, ψ) pro středově symetrická tělesa kdy dV = r 2 dr dϕ dψ6. Operační složitost řešení lze významně snížit zavedením výpočtových modelů geometrietěles z hlediska jejich rozměrovostia) pokud jsou všechny tři rozměry tělesa řádově stejné je třeba použít 3D model geometriea integraci provádět přes prostorovou oblast Ω, viz obr. 6.25

6. Styk těles 79Obr. 6.25:b) v případě tenkostěnných těles, kdy jeden rozměr(obecně proměnná tloušťka tělesa t(S))je podstatně menší než ostatní dva (rozměrystřednicové plochy), je vhodné použít 2D modelgeometrie kdy dV = t(S) dS a integraceje prováděna přes plošnou oblast Γ střednicovéplochy, viz obr. 6.26Obr. 6.26:c) pokud je jeden z rozměrů tělesa podstatněvětší než ostatní dva (prutová tělesa definovanástřednicí γ délky l a příčným průřezemΨ o obecně proměnné ploše S(l)), jehož rozměryjsou významně menší než délka střednice)je vhodné použít 1D model geometriekdy dV = S(l) dl a integrace je prováděnapodél křivky γ (střednice prutu), viz obr.6.277. Jestliže má homogenní těleso bod, osu neborovinu symetrie, pak těžiště tělesa leží v tomtoútvaru symetrie.Obr. 6.27:6.6.2 Metody určování polohy těžiště8. Těžiště tělesa je jednoznačně určeno průsečíkemos soustavy elementárních tíhových sil prodvě polohy tělesa. Tato skutečnost nám umožnínalézt polohu těžiště experimentálně na základědvou měření, na rozdíl od hledání strategií pokus– omyl.Určení polohy těžiště lze provést některou z následujících metod:1. Integrací podle analytických definičních vztahů. Tento způsob určování těžiště má význampředevším pedagogický, protože je používán pro určování těžiště oblasti ohraničenéjednoduše matematicky popsatelnou plochou nebo křivkou. Poloha těžiště těchto oblastíbyla integrací již určena a proto se jedná o procvičení nebo ověření znalostí řešení určitéhointegrálu – viz řešené úlohy v závěru kapitoly.

6. Styk těles 802. Numerickými integračními metodami. V případech, kdy oblast je ohraničená složitějšíplochou nebo křivkou nebo hranice oblasti není vyjádřena v analytickém tvaru, ale pouzev diskrétních bodech, může být vhodné použití numerických integračních metod, kterév současné době patří k základnímu softwarovému vybavení osobního počitače.3. Rozdělením tělesa na jednoduché podoblasti, jejichž těžiště i hmotnosti byly určeny analytickya jsou známé, viz obr. 6.28. Při určování těžiště celého tělesa využíváme součtovýchvlastností integrálu spočívajících v tom, že integrál součtu (rozdílu) je roven součtu (rozdílu)integrálů – viz řešené úlohy v závěru kapitoly. K tomuto způsobu patří i postup, kdytěleso složitějšího tvaru aproximujeme konečným počtem jednoduchých a přesně definovanýchgeometrických útvarů (prvků), přičemž aproximace tělesa není primární z hlediskaurčení těžiště (např. v MKP).Obr. 6.28:4. Experimentální určení polohy těžiště. Polohu těžiště můžeme určit na základě určení polohydvou různoběžných os tak, jak to bylo popsáno na začátku této kapitoly. V důsledkuobtíží souvisejících s realizací závěsu a určení polohy osy v tělese se tohoto způsobu používápouze pro odhad polohy těžiště (zavěšování břemen při přemísťování těles jeřábem).Můžeme-li těleso vhodně podepřít a změřit sílypůsobící v podporách (obr. 6.29), pak na základěřešení statické rovnováhy vázaného tělesa, kterouse budeme zabývat v následující kapitole, lze určitdvě souřadnice těžiště. Opakováním tohoto postupuv pootočené poloze určíme zbývající souřadnici.6.6.3 Řešené úlohyObr. 6.29:Algoritmus výpočtového řešení polohy těžiště tělesa při použití popsaných výpočtových modelůgeometrie je předveden při řešení následujících praktických úloh.

6. Styk těles 81T1 Střednice homogenního tenkého drátu konstantního průměru d jezakřivena do tvaru kruhového oblouku obr. 6.30. Určete polohu těžiště,je-li dán poloměr zakřivení střednice R a středový úhel 2α.x = R cos ϕ; ds = R dϕ∫∫x ds R 2 α cos ϕ dϕγx T = ∫ds = −αα∫R dϕγ−α= R sin αα; y T = z T = 0 (symetrie)Obr. 6.30:T2 Určete polohu těžiště homogenního tenkého drátu konstantního průměru d, jehož střednicemá tvar půlkružnice. Pro řešení využijte Pappus-Guldinovu větu, výsledek zkontrolujte pomocívztahu odvozeného v T1 .Rotací půlkružnice kolem osy y vznikne plášť koule. Podle první Pappus-Guldinovy větyje plocha pláště rotačně symetrické plochy (zde koule) dána součinem délky tvořící křivky (zdepůlkružnice) a délky dráhy, kterou při rotaci opíše její těžiště. Pak ze vztahu S = 2πx T · πR =T3 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové výseče(obr. 6.31). Určete polohu těžiště ve střednicové rovině desky, je-lidán poloměr r a středový úhel 2α.4πR 2 lze určit polohu těžiště půlkružnice x T = 2R. πx = ρ cos ϕ; dS = ρ dρ dϕ; y T = z T = 0 (symetrie)∫α∫ R∫x dS ρ 2 dρ cos ϕ dϕΓx T = ∫dS = −α 0= 2 α∫ R∫3 Rsin ααΓρdρdϕ−α 0Obr. 6.31:T4 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové úseče. Určete polohu těžiště vestřednicové rovině desky, je-li dán poloměr r a středový úhel 2α. Při řešení využijte výsledekřešení úlohy T3 .Kruhovou úseč obdržíme oddělením trojúhelníku od kruhové výseče. Souřadnice jejíhotěžiště2∑x Ti · S i 2i=1x T = =R sin α · α 3 α R2 + 2R cos α · 3 (−R2 sin α cos α)= 2 2∑α RS 2 − R 2 sin α cos α3 R sin 3 αα − sin α cos αii=1

6. Styk těles 82T5 Určete polohu těžiště půlkruhové homogenní desky konstantní tloušťky t. Pro řešení využijtePappus-Guldinovu větu, výsledek zkontrolujte pomocí vztahu odvozeného v T3 .Rotací půlkruhu kolem osy y vznikne koule. Podle druhé Pappus-Guldinovy věty je objemrotačně symetrického tělesa (zde koule) dán součinem obsahu tvořící plochy (zde půlkruhu) adélky dráhy, kterou při rotaci opíše její těžiště. Pak ze vztahu V = 2πx T · πR2 = 4 2 3 πR3 lze určitpolohu těžiště půlkruhu x T = 4 R3 π . Obr. 6.32:T6 Určete polohu těžiště součásti znázorněné na obrázkuobr. 6.32, která je zhotovena z homogenního tenkého drátukonstantního průměru d.x T =y T =5∑x Ti · l ii=15∑i=15∑y Ti · l ii=15∑i=1l i= − 1116 + 2π Rl i= 1316 + 2π R ; z T =5∑z Ti · l ii=15∑i=1l i= 28 + π R yT7 Střednicová plocha homogenní desky konstantní tloušťkyt, znázorněné na obrázku obr. 6.33 má tvar parabolickéhotrojúhelníka. Určete polohu těžiště desky.x T =∫x dSΓ∫dSΓ∫a∫ ydy x dx= 0 0∫ a ∫ y00dy dx= 3 4 a ; y T =∫y dSΓ∫dSΓ∫a∫ yy dy dx= 0 0∫ a ∫ y00dy dxxay=kx 2dSObr. 6.33:= 3 10 b ; z T = 0dxy dybx

6. Styk těles 83T8 Střednicová plocha homogenní desky konstantní tloušťkyt je znázorněna na obrázku obr. 6.34. Při kontrole využijte výsledekřešení předchozí úlohy.x T =x T =∫ a ∫ b0 y∫ a ∫ b0ydy x dxdy dx2∑x Ti · S i=2∑S ii=1i=1= 3 8 a ; y T =∫ a ∫ b0 y∫ a ∫ ba · a b + 3a · (− )a b2 4 3a b − a b30yy dy dxdy dx= 3 5 b ; z T = 0= 3 8 a ; y T =2∑y Ti · S i=2∑S ii=1i=1y1ay=kxObr. 6.34:b · a b − 3 b · a b2 10 3a b − a b322= 3 5 bbxT9 Určete polohu těžiště tenké homogenní desky konstantnítloušťky t, znázorněné na obrázku obr. 6.35.x T =4∑x Ti · S i=4∑S ii=1i=16π ( R 2r 2√2 r− 1 ) + 3 ( π2 − 1) Obr. 6.36:Obr. 6.35:T10 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantnítloušťky t, znázorněné na obrázku obr. 6.36. Střednicová plochaskořepiny má tvar kulového vrchlíku, určeného poloměrem R aúhlem α.y = R cos ϕ ; ρ = R sin ϕ ; ds = R dϕ ; dS = 2π ρ ds = 2πR 2 sin ϕ dϕα∫2πR 3 sin ϕ cos ϕ dϕ0sin 2 αy T = α∫=2πR 2 2 (1 − cos α) R ; x T = z T = 0sin ϕ dϕ0Pro α = π/2 (plášť polokoule) je y T = R 2 .

6. Styk těles 84T11 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantnítloušťky t, jejíž střednicová plocha má tvar poloviny pláště kužele,charakterizovaného poloměrem r a výškou l (obr. 6.37).r x = R l x ;x T =∫x dSΓ∫dSΓy T,x = 2Rπl x ;∫lRx 2 dxl = 0∫ l0Rx dxldS = πR l= 2 3 l ; y T =x dx∫y dSΓ∫dSΓ∫l= 0Rx 2R x dxl πl∫ l0Rx dxl= 4R3π ; z T = 0Obr. 6.37:T12 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantnítloušťky t, jejíž střednicová plocha má tvar poloviny pláště komoléhojehlanu, charakterizovaného rozměry a, b, l 1 a l 2 (obr.6.38).Obr. 6.38:a x = a d x ; b x = b d x ; y T,d =x T =∫ dc∫ dca+2bda+2bdx 2 dxx dx= 2 3b2a + 2b ; y T,x = y T,ddx ; dS x = (a x + 2b x ) dx = a + 2bdd 3 − c 3d 2 − c 2 ; y T =∫ dcb 2 a+2bx 2 dxd(a+2b) d∫ dca+2bdx dx= 2 3b 2 d 3 − c 3d (a + 2b) d 2 − c 2x dxT13 Určete polohu těžiště tenkého homogenního tělesa konstantnítloušťky t, znázorněného na obrázku obr. 6.39.Obr. 6.39:

6. Styk těles 85x T ==y T =z T =4∑x Ti · S i=4∑S ii=1i=1R · 2R 2 + R · π R22+ R ·4∑y Ti · S i=4∑S ii=1i=1i=14∑z Ti · S i=4∑S ii=1R 2 + πR22− πR2( )− πR2 + 2 R · 4 3 R2= 32 + 3 π+ R4 2 36 + 3 π R) ( )· π R 2+ R · − π R2 + 0 · R 22 4= 20 + 3 π2R 2 + πR2 − πR2 + R2 4 2 36 + 3 π RR · 2 2R2 + ( R + 4 R3 π( )0 · 2R 2 + 0 · π R2 + 0 · − π R2 + R · 2 4 3 R2=2R 2 + πR2 − πR2 + R2 4 2136 + 3 π R Obr. 6.40:T14 Určete polohu těžiště homogenního tělesa tvaru polovinykužele o výšce l a poloměru r, znázorněného na obrázku obr.6.40.y T,Sl = 4 R3 π ; y T,S x= 4 r x x3 π l ; dV = π 2 r2 x dx = π R 22 l 2 x2 dx ; z T = 0∫ ∫l∫∫π Rx dV2x 3 dx2 l 2Ωx T = ∫dV= 0= 3 y T,Sx dVl4 R π R 2x 3 dx3π l 2 l 2∫ l4 l ; y Ω0T = ∫ == R dV ∫π R lπ2Ωx2 l 2 π Rdx22 Ωx2 l 2 dx200T15 Určete polohu těžiště homogenních těles tvaru kulové úseče a kulové výseče, znázorněnýchna obrázku obr. 6.41 a charakterizovaných poloměrem R a úhlem α.h = R − y 0 ; ρ 2 = R 2 − y 2 ;dV = π ρ 2 dy = π ( R 2 − y 2) dy ; x T = z T = 0Obr. 6.41:

6. Styk těles 86Úseč: y T =R∫y 0π y (R 2 − y 2 ) dyR∫y 0π (R 2 − y 2 ) dy==R 44 + y2 02(y 2 02− R 2 )( ) =2y 23 R3 + y 03 0 − R 21+ cos2 α4 2( )cos 2 α− 122+ cos α ( cos 2 α− 1 ) R3 3Pro α = π/2 (polokoule) je y T = 3 8 R.Výseč: y T = 3 4( )1 −cos α2 R =34T16 Určete polohu těžiště osově symetrického homogenníhosloženého tělesa, znázorněného na obrázku obr. 6.42.y T =4∑y Ti · V i=4∑V ii=1i=1( )R −h2 .Obr. 6.42:h2= · 23 πR2 h + ( − 3R) · 28 3 πR3 + 5h · (− π4 12 R2 h ) + h · 2 (−πr2 h)23 πR2 h + 2 3 πR3 − π 12 R2 h − πr 2 hx T = z T = 0T17 Určete polohu těžiště složeného, po částech homogenníhotělesa, znázorněného na obrázku obr. 6.43.Podobně jako v předchozích případech provedeme dekompozicitělesa na jednotlivé základní podoblasti jejichžobjemy a polohy těžišť je možno snadno určit. Pro zvýšenípřehlednosti řešení je vhodné použít zápisu do tabulky.Obr. 6.43:

6. Styk těles 87Podoblast i ρ i V i x Ti y Ti z Ti1 ρ Al 1/4 · R 3 1/2 · R 1/4 · R 1/4 · R2 ρ Al 1/16 · R 3 2/3 · R 7/12 · R 1/4 · R3 ρ Al −π/72 · R 3 1/2 · R 1/4 · R 1/4 · R4 ρ oc 5π/216 · R 3 1/2 · R 1/4 · R 5/12 · R5 ρ Al π/16 · R 3 (1 + 4/3π) · R 4 R/3 π 3/8 · R6 ρ Al −1/32 · R 3 3/2 · R 1/12 · R 3/8 · RSouřadnice těžiště tělesa v daném souřadnicovém systémupak určíme ze vztahůx T =y T =z T =6∑ρ i · x Ti · V i= ρ Al6∑ρ i · V ii=1i=1i=16∑ρ i · y Ti · V i= ρ Al6∑ρ i · V ii=16∑ρ i · z Ti · V i= ρ Al6∑ρ i · V ii=1i=1( 1 + 1 − π + π + 18(24 144 16ρ 1Al + 1 − π + π − 14 16 72 16 32( 1+ 7 − π + 116(192 288ρ 1Al + 1 − π + π − 14 16 72 16 32− 312 64− 112 384( 1+ 1 − π + 3π16(64 288ρ 1Al + 1 − π + π − 14 16 72 16 32− 3128 256)+ ρoc5π)+ ρoc5π216)+ ρoc5π)+ ρoc5π216864)+ ρoc25π)+ ρoc5π2162592432· R· R· R

7. Vázané těleso s vazbami NNTN 887 Vázané těleso s vazbami NNTN7.1 Řešení statické rovnováhy vázaného tělesa.Na základě předchozího výkladu je zřejmé, že pro vázaná tělesa můžeme z hlediska statickérovnováhy řešit úlohu o statickém řešení a návrh nebo úpravu uložení zajišťující staticky určitéuložení tělesa.Vzhledem k závažnosti těchto úloh pro další studium a praxi rozebereme celý postuppodrobněji s názornými ukázkami a formulací postupu z výpočtového hlediska, které je obecnějšía v současné době pro řešení praktických problémů vhodnější než řešení grafické.Variantu úlohy o statickém řešení s grafickým řešením probereme v samostatné kapitole 10.Postup řešení uvedených úloh je konkretizací obecného postupu řešení úloh mechaniky těles aznalostí z předchozích kapitol .Úloha I.1. Zadání:Na těleso T geometricky zadané údaji na obr. 7.1a:- působí soustava úplně zadaných silových prvků (rozloženého silového působení, sil a silovýchdvojic) - síla ⃗ F 1 , silová dvojice určená momentem ⃗ M a tíhová sila.- těleso je vázáno k základnímu tělesu soustavou vazeb, pro které můžeme použít modelstyku NNTN.- dále je zadána požadovaná funkce uložení tělesa. Uložení tělesa má být staticky určité.Úkolem je:a) Zkontrolovat zda požadovaná funkce uložení je splněna. Ve statice je požadovanou funkcízpravidla statická určitost, je-li splněna, pak je těleso ve statické rovnováze.b) V případě, že je těleso ve statické rovnováze, pak určit výsledné stykové síly nebo zadanéstykové funkce.2. Rozbor úlohy:a) Kontrola formální správnosti a úplnosti zadání - Zadání je úplné a správné.b) Klasifikace prostorovosti úlohy nebo přiřazeného modelového objektu. - Ze zadaných hodnotje zřejmé, že úlohu můžeme řešit jako rovinnou.c Označení těles. - Základní těleso označujeme Z nebo v případě, že předmětem řešení jesoustava těles číslem 1. Těleso označujeme T, v případě soustav těles dalšími číslicemi2,3 . . . .d) Vymezení soustavy úplně zadaných silových prvků. π ={⃗F1 , ⃗ M, { ⃗ dF Ω }} { }= ⃗F1 , M, ⃗ FG ⃗e) Označení a klasifikace vazeb. - Vazby označujeme velkými písmeny A,B,C,D . . . .

7. Vázané těleso s vazbami NNTN 89Obr. 7.1:3. Řešení úlohy:a) Kinematický rozbor - určení pohyblivostivazba A− omezuje posuv ve směru osy y a otáčení kolem osy zA - p.k.d − ξ = 2vazba B− omezuje posuv ve směru osy xB - o.k.d − ξ = 1i = i v − ( ∑ ξ i − η)i = 3 - [(2 + 1) - 0 ] =⇒ i = 0, η = 0Těleso je uloženo nepohyblivě bez omezení deformačních parametrů.Nepohyblivost je zajištěna stykovými vazbami.b) Uvolnění tělesa. Viz obr. 7.1b.Vazba A - jednostranná posuvná k.d (viz odst. 6.3) Ve stykovéploše vazby A zvolíme bod, který označíme A.Ve zvoleném bodě vyjádříme silové působení ve stykuv souladu s odst. 7.3 ⃗ F A , ⃗ M A .Vazba B - obecná k.d - ve stykovém bodě vyjádříme silové působenísilou ⃗ F B .Vazby A,B jsou podmíněně funkční. Zvolená orientace sil do tělesa odpovídá funkčnostivazeb. (Pozor - šipky neoznačují smysl sil, ten dosud neznáme, označují pouzepředpokládaný smysl. Smysl sil určíme z podmínek statické rovnováhy. Jestliže souřanicesíly určená z podmínky statické rovnováhy má znaménko + resp. — pak síla mápředpokládaný resp. opačný smysl.

7. Vázané těleso s vazbami NNTN 90c) Statický rozbor:α) Volba souřadnicového systému. Souřadnicový systém zvolíme libovolně,ale z hlediska řešeného problému vhodně.β) Vymezení soustavy neúplně zadaných silových prvků π R , množiny neznámých{nezávislých parametrů a jejich počtu.π R = ⃗FA , F ⃗ } {B resp. ⃗FA , M ⃗ A , F ⃗ }BMnožinu neznámých nezávislých parametrů označíme NP.NP = {F An , M An , F Bn }Počet NP je µ = 3, z toho µ F = 2, µ M = 1.γ) Klasifikace soustavy π ν = π ∪ π R a určení počtu použitelných podmínekstatické{rovnováhy.π ν = ⃗F1 , M, ⃗ FG ⃗ , F ⃗ A , M ⃗ A , F ⃗ }B − silová soustava π ν je rovinnou silovousoustavou, další specifikace není zřejmá. Proto v souladu s dříve uvedeným je početpoužitelných statických podmínek v základním tvaruν = 3, (ν F = 2, ν M = 1).δ) Ověření nutné podmínky statické určitosti.Úloha je staticky určitá, jestliže NP můžeme určit ze statických podmínek,což je splněno jestliže: µ = νUvážíme-li dále strukturu statických rovnic a neznámých nezávislýchparametrů je zřejmé, že silové rovnice rovnováhy obsahují pouzesouřadnice sil. Proto neznámé souřadnice momentů nebo polohovýchparametrů můžeme určit pouze z momentových podmínek, tedy:µ r + µ M ≤ ν MZ uvedené úvahy vyplývá tvar nutné podmínky statické určitosti úlohy:µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν MV případě zadané úlohy je µ = 3, ν = 3, µ M = 1, ν M = 1 =⇒ nutná podmínkastatické určitosti je splněna a má smysl pokračovat ve statickémřešení.d) Sestavení statických rovnicF x : F 1 cos α − F Bn sin β = 0M zCF y : F 1 sin α + F An − F Bn cos β − F G = 0a: −F Bn cos βa − F G2 + F A nd + M An + M = 0e) Rozbor soustavy statických rovnicJedná se o soustavu tří lineárních nehomogenních rovnic o třech neznámých. Tuto soustavuzapíšeme v maticovém tvaru Ax = b, kde

7. Vázané těleso s vazbami NNTN 91⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤F An 0 − sin β 0 −F 1 cos α⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥x = ⎣ F Bn ⎦ A = ⎣1 − cos β 0⎦ b = ⎣F G − F 1 sin α⎦aM An d −a cos β 1 F G − M 2Det A = sin β =⇒ pro β ≠ 0 soustava má jednoznačné řešení. Při řešení na počítači neurčujemesamostatně hodnotu determinantu. Kontrola případné singularity matice A je součástíalgoritmu řešení soustavy lineárních rovnic.f) Řešení soustavy statických rovnic.Vstupní údaje: a, b, c, d, t, α, β, F 1 , M, gVýstupní údaje: F An , F Bn , M AnVýstupní údaje určíme buď s použitím malé výpočetní techniky (kalkulačka) nebo napočítači.4. Zhodnocení výsledků řešení:1) Kontrola funkčnosti vazeb:Vazba A: Je-li F An > 0 - síla orientována do tělesa a x o = M zAF Az∈< 0, c >pak je vazba A funkční.Vazba B: Je funkční je-li F Bn > 0 - síla je orientována do tělesa.Vzhledem k tomu, že úlohu řešíme obecně nemůžeme provést konkrétníhodnocení.5. Formulace závěruÚloha II.Zadání bylo v plném rozsahu splněno. Je-li β ≠ 0 a stykové vazby funkční je těleso podleobrázku uloženo staticky určitě.Řešená úloha má charakter úlohy o statickém řešení, na rozdíl od následující úlohy, kteráse týká úpravy uložení tělesa z hlediska požadované funkce.1. Zadání:Na těleso T geometricky zadané údaji na obr. 7.2a působí soustava úplně zadanýchsilových prvků π = { ⃗ F 1 , ⃗ M}. Uložení tělesa má být nepohyblivé a staticky určité.Upravte stykové vazby tak, aby uložení tělesa splňovalo požadované funkce. Po úpravěurčete vypočtovým způsobem výsledné stykové síly.Obr. 7.2:

7. Vázané těleso s vazbami NNTN 92Úkolem je:a) Navrhnout uložení tělesa požadované funkce.b) Pro navržené uložení určit výpočtovým způsobem výsledné stykové síly.Pro navržené uložení, viz obr. 7.2b, provedeme statické řešení s tím, že stále kontrolujemezda navržené uložení splňuje požadovanou funkci t.j. nepohyblivost a statickou určitost řešenéúlohy. Pokud provádíme úpravy uložení, pak je nutné provést nové statické řešení. Postupstatického řešení pro navržené uložení byl předmětem úlohy I, proto jej nebudeme opakovat.Poznámky k vázanému tělesu:V poznámce uvedeme problémy, které se v úlohách I a II nevyskytují a není vhodné jeuvádět na zvláštní úloze nebo uvedené úlohy zbytěčně komplikovat.1. V úloze I se vyskytuje posuvná k.d, pro kterou jsme určili výsledné silové působení⃗F A , M ⃗ A , viz obr. 7.1b. Stykovým útvarem vazby A v případě rovinného modelu je úsečka.Pro určení rozloženého silového působení q(x) máme dvě podmínky statické ekvivalence.Viz obr. 7.3.F A =∫ c0qdx M A =∫ c0qxdx (7.1)Z těchto podmínek lze určit jen dva neznámé parametry, proto styková funkce q(x) naúrovni statiky může obsahovat jen dva parametry. Dva parametry obsahuje lineární závislostq = ax + b. Po dosazení do vztahu (7.1) obdržíme dvě rovnice pro dvě neznámé.F A =∫ c0(ax + b)dx = a c22 + bc M A =(Po určení a,b dostáváme q = 6 2MA) ( )c 2 c− F A x +2 2FA − 3M Acc∫ c0(ax + b) · x · dx = a c33 + bc2 2(7.2)2. Obsah množiny NP, tvoří ty parametry silového působení, které po uvolnění tělesa neznáme.Pokud pro sílu známe pouze její existenci pak NP = {x, y, F x , F y , F z }nebo {y, z, F x , F y , F z } případně {x, z, F x , F y , F z }, což je důsledkem věty o posouvání sílypo její nositelce. Ze statického hlediska nelze určit polohu síly, ale pouze její nositelku,proto jednu polohovou souřadnici můžeme zvolit.Z předchozího výkladu a úloh je zřejmé, že k řešení statické rovnováhy vázaného tělesa je nutnézískat názor na silové působení a zkušenosti s řešením statické rovnováhy.Detailně vypracované úlohy na statické řešení jsou v [2] úlohy Te[1] - Te[17].

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 938 Soustavy těles s vazbami typu NNTN.8.1 Charakteristiky soustav těles.V souladu s výkladem obsahu pojmu soustava v odst. 2.1 , budeme za soustavu těles považovatuspořádání těles vzájemně vázaných vazbami tak, že tělesa se z mechanického hlediska ovlivňujía tvoří celek.To znamená, že pohyb těles, jejich deformace a silové působení mezi tělesy je důsledkemprimárního působení okolí na tělesa soustavy nebo na něm závisí.V souladu s dříve uvedeným budeme za soustavu těles považovatsoustavu reálných, reálně vzájemně vázaných těles. Pro myšlenkovéoperace (úvahy týkající se tvorby a řešení problémů nasoustavách těles) budeme k soustavě těles přiřazovat abstraktníútvary - systémy těles. Protože naším primárním zájmem jsousoustavy, budeme hovořit o soustavách i když pracovat budemepřevážně se systémy, které přiřadíme k těmto soustavám z hlediskařešeného problému.Obr. 8.1:Na rozlišovací úrovni statiky je základním prvkem soustavy těles těleso. Je to nejjednoduššíprvek, který budeme ve statice uvažovat a také uvolňovat. Je samozřejmé, že se můžemezabývat i prvky, které jsou částí tělesa. Ty však budou předmětem našeho zájmu až v pružnostipevnosti. Proto pro předmět statika je základním prvkem těleso.Se soustavami těles se setkáváme všude kolem sebe a již z běžného života a předchozíhovzdělání víme, že soustavy těles jsou nejrůznějšího charakteru. Liší se počtem, tvarem, podstatou,funkcí, . . . těles, různým charakterem vazeb i chováním celé soustavy. Předmětem zájmu vtechnice jsou soustavy s požadovaným funkčním chváním. Jsou to soustavy charakteru technickýchobjektů - technické soustavy. Na počátku studia strojního inženýrství není možné zabývatse detailně přehledem a klasifikací různých typů soustav. To je třeba vytvářet postupně v souladus celkovým rozvojem znalostí. Již ve statice musíme klasifikovat a rozlišovat soustavy podlehledisek, která odpovídají úrovni a obsahu látky v předmětu statika. Soustavy těles budemerozlišovat:1. Podle charakteru vazeb:- soustava těles vázaných silovými vazbami- soustava těles vázaných stykovými vazbami- soustava těles - vazby jsou silové a stykemVe strojírenské praxi se dominantně vyskytují soustavy těles.2. Podle vztahu k základnímu tělesuVolná soustava − vazby soustavy jako celku k základnímu tělesu jsou na danérozlišovací úrovni nepodstatné nebo nerozlišitelné.Vázaná soustava − vazby soustavy jako celku k základnímu tělesu z hlediska řešenéhoproblému jsou podstatné.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 94Pro strojírenství jsou typické vázané soustavy těles, tedy soustavy vázané k základnímutělesu, které je nepohyblivé, což znamená, že žádné silové působení ostatních těles nezměnípohybový stav základního tělesa - mechanický klid.3. Podle pohyblivosti.Pohyblivost vyjadřuje omezení pohybu soustavy stykovými vazbami. Tělesa soustavy se mohouvzhledem k základnímu tělesu různým způsobem pohybovat. Struktura pohybu jednotlivýchtěles soustavy tvoří její pohyblivost. U soustav těles je třeba rozlišovat. Vnější pohyblivost - pohyblivostsoustavy jako celku vzhledem k základnímu tělesu. Vnitřní pohyblivost - pohyblivostjednotlivých těles soustavy vzhledem k ostatním tělesům soustavy.Pohyblivost soustavy má proto vždy dvě stránky, vnější a vnitřní, což vytváří složitou strukturupohyblivostí soustav těles. Ve statice se omezíme na rozlišování dvou základních typůsoustav podle pohyblivosti. Jsou to:Soustava nepohyblivá - soustava, která je jako celek vzhledem k základnímu tělesu v klidu ataké každé těleso soustavy je v klidu. Nepohyblivá soustava je soustava těles, která jevnitřně i vnějškově nepohyblivá.Soustava a všechna tělesa v klidu =⇒ soustava nepohybliváSoustava je v klidu ⇐⇒ Soustava jako celek a všechna tělesa jsou v klidu.Mechanismus - soustava, která je jako celek vázaná k základnímu tělesu nepohyblivě, ale tělesasoustavy jsou vzájemně uložena pohyblivě. Mechanismus obsahuje členy, jejichž pohyb jeurčený, členy jejichž pohyb je určitý a členy, které zprostředkovávají pohyb mezi členy surčeným a požadovaným pohybem. Členy s určeným pohybem nazýváme hnací a členys požadovaným pohybem hnané.4. Podle konfigurace tělesZákladní typy seskupení soustav z binárních členů (tělesa vázaná pouze dvěma vazbami) jsoutyto:Otevřená soustava - soustava skládající se z binárních členů, přičemž pouze jeden člen je vázánk základnímu tělesu. Viz obr. 8.2aVně uzavřená soustava - soustava skládající se z binárních členů, přičemž dvě tělesa jsou vázanáse základním tělesem. Viz obr. 8.2bVnitřně uzavřená soustava - soustava skládající se z binárních členů, přičemž žádný člen nenívázán k základnímu tělesu a soustava tvoří uzavřený obrazec. Viz obr. 8.2c.Ostatní soustavy jsou kombinací uvedených soustav s tím, že něktré členy jsou ternární nebovícenásobné. Viz odst. 8.2.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 95Obr. 8.2:5. Podle statické rovnováhy.Toto hledisko je ve statice zásadní. V odst. 7.1 jsme objasnili pojem statická rovnováha jednohotělesa vázaného k základnímu tělesu, jak z hlediska silového, tak pohybového. Z pohybovéhohlediska výrok ”těleso je ve statické rovnováze ” znamená, že těleso je v mechanickém klidu,tedy stykové výslednice nejsou ovlivněny změnami polohy tělesa.U soustav těles musíme rozlišovat pohyb a stykové výslednicevnější - pohyb soustavy jako celku vzhledem k základnímu tělesu.- stykové výslednice po uvolnění soustavy od základního tělesavnitřní - vzájemný pohyb těles- stykové výslednice mezi tělesyU soustav těles rozlišujeme statickou rovnováhu:vnější - soustava jako celek je ve statické rovnováze, jednotlivá tělesa ve statické rovnováze býtnemusí.vnitřní - jednotlivá tělesa jsou ve statické rovnovázepodmíněnou - soustava jako celek i všechna tělesa jsou ve statické rovnováze.Je-li soustava v podmíněné statické rovnováze, pak platí následující relace.Soustava těles je v podmíněné statické ⇐⇒ Všechna tělesa soustavy jsou ve statickérovnovázerovnovázeSoustava těles je v podmíněné statické ⇐⇒ Soustava těles je ve statické rovnovázerovnovázevnější i vnitřníNepodmíněná statická rovnováha - vnější i vnitřní statická rovnováha jsou na sobě nezávislé.Řízená statická rovnováha - vnitřní a vnější statická rovnováha soustavy jsou na sobě závislé,přičemž jedna je řídicí a druhá řízená.O uvedených typech statické rovnováhy soustav těles je třeba mít zcela jasnou představu, kteroupopíšeme na chování automobilu, jehož vlastnosti z hlediska popisu typů statické rovnováhyvšichni z každodenní praxe známe. Představme si následující situace.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 96a) Automobil stojí se zařazeným rychlostním stupněm a nepohybuje se =⇒ motor je v klidu,žádná část motoru se nepohybuje =⇒ nepohybuje-li se auto, nepohybují se části motorua opačně, nepohybují-li se části motoru, nepohybuje se automobil =⇒ soustava i její částijsou v podmíněné statické rovnováze.b) Automobil se zařazeným rychlostním stupněm, rozepnutou spojkou a motorem v chodu.Pohyblivé části motoru nejsou ve statické rovnováze, ale na řidičovi závisí, zda automobiljako celek bude vzhledem k základnímu tělesu ve statické rovnováze - řízená statickárovnováha.c) Automobil s vyřazeným rychlostním stupněm (jiná soustava), který je jako celek v klidu,ale jednotlivé části motoru se pohybují. Soustava je ve vnější statické rovnováze, alepodmínky vnitřní statické rovnováhy nejsou splněny, přičemž vnější a vnitřní statickárovnováha soustavy jsou nepodmíněné.Jak vyplývá z uvedeného příkladu u technických soustav se můžeme setkat se všemitypy statické rovnováhy. V případě nepodmíněné statické rovnováhy je nutné vyšetřovat vnějšía vnitřní statickou rovnováhu samostatně. U řízených soustav je nutné určit stavy, ve kterýchnastává buď podmíněná nebo nepodmíněná statická rovnováha. Samostatným případemje rovnováha živých organismů, tou se však v mechanice těles strojního zaměření nezabýváme.Ve statice se u soustav těles zaměříme na nejjednodušší typ statické rovnováhy a tou jepodmíněná statická rovnováha. V podmíněné statické rovnováze jsou všechny nepohyblivésoustavy, protože pro nepohyblivou soustavu platí relace:Nepohyblivá soustava ⇐⇒ soustava jako celek a každé těleso soustavy jsou v klidu.Dále zavedeme následující úmluvu:Pokud nebude řečeno jinak, budeme pod názvem statická rovnováha soustavy tělesrozumět podmíněnou statickou rovnováhu.Pro podmíněnou statickou rovnováhu soustavy těles platí:Soustava těles je v podmíněné statické rovnováze tehdy a jen tehdy,je-li každé těleso soustavy ve statické rovnováze.Ve statice budeme téměř výhradně rozlišovat jen:a) Soustavy těles ve statické rovnováze t.j. podmíněné.b) Nerovnovážné soustavy těles - t.j. soustavy, u kterých není ve statické rovnováze alespoňjedno těleso nebo soustava jako celek, případně obojí.Již u jednoho tělesa jsme ukázali, že uložení může být normální nebo výjimkové, podle posloupnostiomezování složek pohybu tělesa jako celku a deformačních parametrů stykovými vazbami.Totéž platí i pro soustavy těles, proto budeme rozlišovat:Normální soustavy těles - stykové vazby nejprve omezují složky pohybu jako celku a pak deformačníparametry.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 97Výjimkové soustavy těles - u výjimkových soustav dochází k omezování deformačních parametrůdříve, než byly omezeny složky pohybu jako celku.Soustavy těles lze rozlišovat podle celé řady dalších hledisek, která budou vymezovánav dalších předmětech.8.2 Pojmy vztahující se k soustavám těles.V tomto odstavci uvedeme v přehledu pojmy, které budeme používat ve statickém řešení soustavtěles.Člen soustavy - těleso nebo více těles vzájemně nepohyblivě spojených, které mají charaktertělesa.Binární člen - těleso vázané k okolním tělesům dvěma vazbami. Viz obr. 8.3aTernární člen - těleso vázaná k okolním tělesům třemi vazbami. Viz obr. 8.3bVícenásobný člen - těleso, které je k okolním tělesům vázáno větším počtem vazeb než třemi.Viz obr. 8.3cDegenerovaný člen - spojovací těleso u vícenásobné rotační nebo sférické vazbyHnací člen - člen mechanismu, jehož pohyb je řídícíHnaný člen - člen mechanismu, jehož pohyb je řízenýZákladní prvek soustavy - tělesoPrvek soustavy - těleso nebo libovolná podsoustava, která má charakter tělesa.Vnitřní vazba - vazba mezi tělesy, z nichž žádné není základním tělesem. Obr. 8.3eVnější vazba - vazba mezi tělesy, přičemž jedno těleso je základním tělesem. Obr. 8.3eVícenásobná vazba - Realizace rotační resp. sférické vazby vyžaduje, aby v místech styku tělesatvořila válcovou resp. kulovou plochu, přičemž z kinematického a silového hlediska jepodstatný střed této plochy. Viz obr. 86. To umožňuje styk více než dvou těles jednouvazbou, zdvojení, ztrojení . . . znásobení rotační resp. sférické vazby. Vícenásobná vazbamůže být realizována podle obr. 86a, ale také pomocí zvlášního válcového resp. kulovéhotělesa, jehož funkcí je realizace spojení těles. Takové těleso nazýváme styčníkovým tělesemnebo degenerovaný člen. Pozor při určování pohyblivosti a uvolňování degenerovaný členzpůsobuje studentům velké potíže. Viz obr. 8.3b.Počet stupňů volnosti soustavy těles - počet všech nezávislých složek pohybů tělesa jako celku,které mohou vykonávat jednotlivá tělesa soustavy. Je mírou pohyblivosti soustavy těles.Zatížený člen - těleso, které je v silové interakci s okolím soustavy. Viz obr. 8.3dNezatížený člen - těleso, které není v silové interakci s okolím soustavy.Staticky nefunkční člen - těleso, jehož odstraněním se nezmění ani pohyblivost vyjádřená počtemstupňů volnosti, ani stykové výslednice mezi tělesy.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 98Uložení soustavy těles - soustava vazeb stykem, kterými je soustava těles vázaná k základnímutělesu.Staticky určitá soustava těles - soustava těles, u které neznámé parametry stykových výslednicmezi tělesy můžeme určit z podmínek statické rovnováhy.Staticky neurčitá soustava těles - soustava těles, u které neznámé nezávislé parametry stykovýchvýslednic nemůžeme určit jen z podmínek statické rovnováhy.Výjimková soustava těles - pohyblivá soustava těles s omezenými deformačními parametry.Obr. 8.3:8.3 Statické řešení soustav těles vázaných stykovými vazbami typuNNTN.Obdobně jako u jednoho vázaného tělesa můžeme úlohy o soustavách těles rozdělit na analýzua syntézu, přičemž základní z hlediska tvorby technických děl je úloha na syntézu, která vpočáteční fázi obsahuje tvůrčí práci. Řešení zpravidla víceznačné úlohy na syntézu vyžadujedokonalé zvládnutí úlohy na analýzu. V první fázi se zaměříme na řešení podmíněné statickérovnováhy úplně zadané soustavy těles.Řešení podmíněné statické rovnováhy soustav těles je principiálně stejné s řešením statickérovnováhy jednoho vázaného tělesa a obsahuje tyto základní kroky:1) Určení pohyblivosti soustavy těles2) Uvolnění těles soustavy3) Kontrolu nutné podmínky statické určitosti4) Sestavení podmínek statické rovnováhy a jejich řešení5) Rozbor výsledků řešeníDříve než uvedeme algoritmus řešení podmíněné statické rovnováhy soustav těles, budemese zabývat odlišnostmi jednotlivých kroků oproti řešení jednoho vázaného tělesa.ad 1) Určení pohyblivosti složitých nebo výjimkových soustav těles vyžaduje samostatnékinematické řešení, proto ve statice nelze analyzovat výjimkové soustavy. Výjimkovost

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 99soustavy těles lze pouze konstatovat na základě rozboru statických rovnic. Pohyblivostnormální soustavy bez degenerovaných těles určíme ze vztahu(∑ )i = (n − 1)i v − ξ − η(8.3)kde:i − počet stupňů volnosti soustavyη − počet omezených deformačních parametrůi v − počet stupňů volnosti volného tělesa∑ξi − počet stupňů volnosti odebraných vazbami(n − 1) − počet těles bez základního tělesaPokud soustava obsahuje degenerované členy pak pohyblivost určíme ze vztahu(∑ )i = (n − 1)i v − ξ − η − kδ (8.4)kde k − počet degenerovaných členůδ = 1 pro degen. člen s vícenásobnou rotační vazbouδ = 3 pro degen. člen s vícenásobnou sférickou vazbouVálcové resp. kulové degenerované těleso má vždy 1 resp. 3 volnosti, které neovlivníObr. 8.4:pohyblivost soustavy, proto je musíme při určování stupňů volnosti soustavy odečíst.ad 2) Uvolnění těles soustavy. Jestliže uvolňujeme vázané těleso od základního tělesa neurčujemesilové výslednice působící na základní těleso. Uvolňujeme-li dvě tělesa soustavymusíme určit výsledné silové působení na obě tělesa, přičemž můžeme postupovat dvěmazpůsoby.Obr. 8.5:

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 1001. Oddělíme tělesa, silové působení vyjádříme neúplně určenými výslednými stykovýmisilami, přičemž smysl sil na obou tělesech libovolně volíme. Viz obr. 8.5. Princip akce areakce zajistíme doplněním podmínek statické rovnováhy vztahy:F 2 A x= −F 3 A xa F 2 A y= −F 3 A y.2. Uvolňování s uvažováním principu akce a reakce, viz obr. 8.6.Obr. 8.6:Oddělíme tělesa, smysl výsledných stykových sil na prvním tělesa zvolíme, na druhé tělesov důsledku principu akce a reakce působí síly s opačným smyslem.Uvolňování vícenásobné rotační vazby. Uvolnění provedeme pro trojnásobnou rotační vazbu.Vícenásobná rotační vazba může být realizována dvojím způsobem, viz obr. 8.7.Vazba odnímá 6 stupňů volnostia není realizovaná degenerovanýmVazba odnímá 8 stupňů volnostia je realizovaná degenerovanýmtělesem tělesem, proto δ = 1Obr. 8.7:

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 101Algoritmus řešení podmíněné statické rovnováhy soustav těles popíšeme na konkrétníúloze.Zadání:Soustava těles podle obrázku má být nepohyblivá staticky určitá. Zkontrolujte podmínkyzadání a v případě, že jsou splněny, určete výpočtovým způsobem výsledné stykové síly.Viz obr. 8.8Zamyšlení:V případě, že soustava je nepohyblivá, je v podmíněné statické rovnováze. Úloha je zadanáabstraktně veličinami.Rozbor zadání:a) Z hlediska úplnosti a správnosti.Soustava je zadaná obecně. Geometrie soustavy, vazby a silové prvky ⃗ F , ⃗ MM jsou zadányúplně a správně.b) Z hlediska prostorového uspořádání soustavy.Úloha je zadaná jako rovinná.c) Volba označení - viz obr. 8.8d) Klasifikace členů2 - binární zatížený člen3 - binární zatížený členSoustava neobsahuje degenerovaný členObr. 8.8:e) Klasifikace vazebA,C - rotační k.d (r.k.d) - ξ i = 2B - posuvná k.d (p.k.d) - ξ i = 2 Žadná vazba není podmíněně funkčníf) Určení pohyblivosti soustavyPočet členů soustavy n = 3, předpokládaný počet omezených deformačních parametrůη = 0.(∑ )i = (n − 1)i v − ξi − η = (3 − 1)3 − (6 − 0) = 0 (8.5)i = 0, η = 0Soustava je uložena nepohyblivě bez omezení deformačních parametrů =⇒ Soustava je pohybověv podmíněné statické rovnováze. Tento výrok byl vysloven na základě kinematickéhorozboru. Jestliže se v průběhu řešení ukáže nepravdivým, je to způsobeno tím, že do rozborujsme nezahrnuli všechny podstatné parametry.Body d), e), f) tvoří kinematický rozbor.Řešení:b) Uvolnění jednotlivých členů soustavy. Členy uvolňujeme s respektováním principu akce areakce.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 102Obr. 8.9:c) Statický rozborI. Určení soustavy úplně zadaných a neúplně určených silových prvků a množiny neznámýchnezávislých parametrů .π = { ⃗ F , ⃗ M} πR = { ⃗ F A , ⃗ F B , ⃗ M B , ⃗ F C }NP = {F A x, F A y, F B n, M B n, F C x, F C y}µ F = 5, µ M = 1, µ = 6II. Určení počtu použitelných podmínek statické rovnováhyπ ν2 , π ν3 − rovinné obecné soustavy =⇒ν i = 3 ν = ∑ ν i = 6; ν F = 4; ν M = 2III. Ověření nutné podmínky statické určitostiµ = ν µ M + µ r ≤ ν M6 = 6 2 + 0 < 4}=⇒Nutná podmínka statické určitostije splněna, má smysl pokračovatve statickém řešeníd) Sestavení podmínek statické rovnováhy:Těleso 2F x : F Ax − F Bn sin β + F cos γ = 0F y : F Ay − F Bn cos γ = 0M zA : −F cos γb − F sin γb coth α − M Bn + F Bn sin βa − F Bn cos βa coth α = 0Těleso 3F x : F Cx + F Bn cos β = 0F y : F Cy + F Bn sin β = 0M zB : M + M Bn + F Cx a + F Cy a coth β = 0

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 103Maticový zápis soustavy rovnic⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤1 0 − sin β 0 0 0 F Ax−F cos γ0 1 − cos β 0 0 0F AyF sin γ0 0 k −1 0 0F Bn0 0 cos β 0 1 0M =F (b cos γ + b sin γ coth α)Bn0⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥⎣0 0 sin β 0 0 1 ⎦ ⎣ F Cx ⎦ ⎣0⎦0 0 0 1 a a coth β F Cy −Mkde k = (a sin β − a cos β coth α)e) Řešení soustavy statických rovnicf) Rozbor řešení:Je-li soustava zadaná číselnými veličinami, pak je nutné provést rozbor výsledků řešení.Z hlediska statiky je úloha ukončena, je-li nalezeno řešení neznámých nezávislých parametrů,což lze provést v případech, kdy úloha je staticky určitá. Ostatní případy vyžadují širšíznalosti (kinematiky, dynamiky, numerické matematiky, pružnosti pevnosti a informatiky) a jemožné je analyzovat až ve vyšších ročnících studia.Poznámka:1) Určujeme-li pohyblivost soustavy pomocí vztahu i = (n − 1)i v − ( ∑ ξ i − η), je nutné siuvědomit, že tento vztah určuje pohyblivost soustavy globálně. Jestliže soustava se skládáz pohyblivé podsoustavy s jedním stupněm volnosti a podsoustavy s jedním omezenýmdeformačním parametrem, pak výsledná pohyblivost soustavy určená uvedeným vztahemje i = 0, η = 0. Chybu poznáme rozborem soustavy statických rovnic.2) U soustavy těles je silové působení přiřazeno tělesu a nelze je přiřadit jinému tělesu.Působí-li síla ⃗ F na těleso 2, nemůžeme ji posunout na těleso 3.U zkoušky ze statiky je u výpočtového řešení soustavy těles postačující sestavení statickýchrovnic, jejich hodnocení z hlediska lineárnosti a úvahy o možných problémech počítačovéhořešení v návaznosti na znalosti matematiky a programování.Konkrétní řešení statické rovnováhy soustav těles je v [2] úlohy ST[1] - ST[10] av kapitole 9 z hlediska porovnání výpočtového a grafického řešení soustav těles.8.4 Zvláštní případy soustav tělesV tomto odstavci stručně uvedeme několik speciálních případů soustav těles ze statického hlediska.Jsou dány zvláštností soustavy statických rovnic, zvláštními požadavky na řešení nebozvláštností samotné soustavy těles.1. Soustavy částečně staticky určité.Staticky neurčitou soustavu těles lze rozdělit na podsoustavu staticky neurčitou a podsoustavustaticky určitou, což se projeví tím, že soustavu statických rovnic můžeme rozdělitna dvě soustavy, přičemž jedna je řešitelná. Z množiny neznámých nezávislých parametrůmůžeme určit alespoň některé prvky.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 1042. Soustavu statických rovnic lze rozdělit na dílčí, samostatně řešitelné podsoustavy.Rozdělení může být výhodné při řešení úloh na malé výpočetní technice, nenívýhodné při řešení na počítačích.3. Vlastní rovnice statické rovnováhy u mechanismů.Jestliže u mechanismů ve statické rovnováze nás nezajímají stykové síly, ale jen vztahy mezisilovými prvky působícími na hnané a hnací těleso, je možné úpravami statických rovnic obdržetzávislost mezi uvedenými veličinami. Tyto úpravy je možné v rozumném amalytickém tvaruprovádět pouze pro jednoduché soustavy těles.8.5 Prutové soustavyPrutové soustavy, kterými se budeme ve statice zabývat, jsou nejjednodušší modelovou soustavouprutových a příhradových konstrukcí. Tuto nejjednoduší modelovou soustavu vymezímesouborem následujících předpokladů:1) Vazby mezi tělesy jsou u prostorových úloh sférické kinematické dvojice a u roviných úlohrotační kinematické dvojice, v obou případech typu NNTN. Viz obr. 8.10.2) Jednotlivá tělesa jsou buď pruty nebo styčníková tělesa.Prutem ze statického hlediska rozumíme modelové těleso, které je jednoznačně určenostřednicí γ, která je spojnicí těžišť příčných průřezů. V prutových soustavách se omezímena pruty přímé, t.j. takové, jejichž střednicí je přímka. V dalších předmětech mechanikytěles prutové předpoklady rozšíříme z hlediska dalších mechanických vlastností.Styčníkové těleso spojuje dva a více prutů, přičemž středy sférických kinematických dvojicu prostorových úloh a středy rotačních kinematických dvojic u rovinných úloh splývají.Tento společný bod nazveme styčníkem. Viz obr. 8.10.3) Okolí prutové soustavy působí silami pouze na styčníková tělesa.4) Uložení k základnímu tělesu je realizováno stykem ve styčníku. U roviných soustav rotačnínebo obecnou kinematickou dvojicí a u prostorových soustav sférickou nebo obecnoukinematickou dvojicí.5) Každý prut prutové soustavy je vázán prostřednictvím styčníkových těles minimálně kedvěma jiným prutům tak, že pruty jsou nepohyblivé. Soustava prutů vytváří nepohyblivéprutové těleso.Poznámka:U prutových soustav zvolíme toto označení:Základní těleso 1Pruty 2 3 . . .Styčníková tělesa (styčníky) budeme označovat A, B, C . . . A,B, C - současně označují vazbu realizovanou styčníkemÚplně zadané silové prvky F I , F II , . . .Obr. 8.10:

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 105Vnější stykové síly ⃗ F A , ⃗ F B , . . . . Vnější stykové síly se vztahují ke kinematickým dvojicím, kterýmije prutové těleso vázáno k základnímu tělesu.Soustavy těles podle obr. 8.11 c, d, e nejsou prutové soustavy, protože u nich nejsou splněnyprutové předpoklady.Obr. 8.11:Vzhledem k tomu, že prut je ze statického hlediska reprezentován střednicí a styčníkovétěleso styčníkem, znázorňujeme prut úsečkou a styčníkové těleso bodem.Styčníky rozlišujeme - vnější- vnitřní - zatížené- nezatíženéVnějším styčníkem je prutová soustava vázaná k základnímu tělesu. Viz obr. 8.11a styčníky A,G.Vnitřní nezatížený styčník váže pruty prutové soustavy. Viz obr. 8.11b styčníky B, C.Vnitřní zatížený styčník váže pruty prutové soustavy a působí v něm úplně určená síla. Vizobr. 8.11a styčníky D, E.Statickou rovnováhou prutové soustavy budeme rozumět podmíněnou statickou rovnováhu,t.z. prutová soustava je ve statické rovnováze, je-li každé těleso a každá podsoustava ve statickérovnováze.Při uvolňování prutů budeme respektovat axiom o vzájemném působení stejným způsobemjako u soustav těles, t.j. uvolníme-li kinematickou dvojici, pak orientaci stykové sílypůsobící na jedno těleso zvolíme a orientace stykové sílu působící na druhé těleso je na základěprincipu akce a reakce opačná.Z uvolnění těles prutové soustavy, která je ve statické rovnováze a prutových předpokladůvyplývají tyto důsledky:

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 106Obr. 8.12:- z uvolnění prutu a podmínek statické rovnováhy vyplývá:Podmínka SR prutu 2⎫F x : −F Ax + F Bx = 0 ⎪⎬F y : −F Ay + F By = 0⎪⎭ =⇒ F Ax = F Bx = F 2F By = F Ay = 0M zA F By · l 2 = 0- Prut přenáší pouze sílu v ose prutu, která představuje jeden neznámý silový parametr.Viz obr. 8.12c. F 2n - souřadnice síly ve směru osy prutu. Obě stykové síly směřujíbuď do prutu nebo z prutu. Síly přenášené pruty nazveme prutovými silami.- Zavedeme orientaci prutové síly vůči prutu takto: Prutovou sílu budeme označovat zakladnou, je-li orientována z prutového tělesa.- Vzhledem k tomu, že uvolnění prutu je jednoduché, nebudeme uvolnění prutů grafickyzobrazovat, ale budeme je provádět pouze v představě.- Z uvolnění styčníkového tělesa (které je ze statického hlediska reprezentováno styčníkem)a podmínky statické rovnováhy vyplývá:- Soustava sil působících na styčník je prostorovou resp. rovinnou soustavou sil se společnýmpůsobištěm.- U vnitřních styčníků známe z uvolnění prutů nositelky prutových sil působících na styčníka všechny parametry úplně zadaného zatížení. Při určování smyslu prutových sil respektujemeaxiom o vzájemném působení.- U vnějších styčníků známe nositelky prutových sil a působiště (u sférické a rotační kinematickédvojice) resp. nositelku (u obecných kinematických dvojic) vnějších stykovýchsil.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 107Z prutového předpokladu 5 vyplývá: Po uvolnění prutové soustavy od základního tělesa obdržímeuvolněnou prutovou soustavu, kterou nazveme prutové těleso. Prvky prutového tělesa sevůči sobě nepohybují, prutová soustava tvoří nepohyblivé prutové těleso.U prutových soustav rozlišujeme vnější, vnitřní a celkovou statickou určitost.Vnější statická určitost prutových soustav se vztahuje k určení vnějších neznámých stykovýchsil uvolněného prutového tělesa z použitelných podmínek statické rovnováhy.Nutnou podmínku vnější statické určitosti můžeme vyjádřit vztahemν = µ Akde µ A - je počet neznámých parametrů vnějších stykových silν - je počet použitelných statických podmínek rovnováhy, kterýurčíme z charakteru soustavy π ν = π ∪ π R - sil působícíchna uvolněné prutové těleso, přičemž π - je soustava úplnězadaných silových prvků a π R - je soustavou neúplněurčených vnějších stykových sil.Vnitřní statická určitost se vztahuje k určení sil v prutech. Uvolníme-li všechna tělesa prutovésoustavy, přičemž pruty uvolníme podle obr. 91c, pak podmínky statické rovnováhypro pruty jsou identicky splněné a použitelné statické podmínky určujeme z charakterusoustav sil působících na styčníková tělesa. U prostorové resp. rovinné prutové soustavypůsobí na uvolněné styčníkové těleso prostorová resp. rovinná soustava sil se společnýmpůsobištěm. Jestliže napíšeme pro všechna styčníková tělesa použitelné podmínky statickérovnováhy, pak z těchto podmínek vhodnými algebraickými úpravami obdržíme podmínkystatické rovnováhy prutového tělesa, t.z. že podmínky statické rovnováhy prutového tělesajsou lineárně závislé se soustavou podmínek statické rovnováhy styčníků. Proto početvšech použitelných podmínek statické rovnováhy pro prostorovou resp. rovinnou prutovousoustavu je 3k resp. 2k a podmínka vnitřní statické určitosti má tvar:3k - 6 = p2k - 3 = p- pro prostorovou prutovou soustavu- pro rovinou prutovou soustavukde k − je počet styčníkůp − počet prutů3k − počet použitelných podmínek statické rovnováhypro prostorovou prutovou soustavu.2k − počet použitelných podmínek statické rovnováhypro rovinnou prutovou soustavu.3k − 6 − počet použitelných podmínek statické rovnováhypro určení sil v prutech u prostorové prutové soustavy.2k − 3 − počet použitelných podmínek staticképro určení sil v prutech u rovinné prutové soustavy.

8. Soustavy těles s vazbami typu NNTN. 108Je-li 3k − 6 < p resp. 2k − 3 < p, pak prutová soustava obsahuje více prutů a tím i více neznámýchprutových sil, než jsme schopni ze statických podmínek určit.Stupeň vnitřní statické neurčitosti pak určíme ze vztahu:s = p − (3k − 6) resp. s = p − (2k − 3)Tvoří-li pruty prutové soustavy trojúhelníkové obrazce, pak je prutová soustava vždyvnitřně staticky určitá.Celková statická určitost prutových soustav se vztahuje k určení všech neznámých nezávislýchparametrů prutové soustavy z použitelných podmínek statické rovnováhy. Obecněvyjádřená nutná podmínka celkové statické určitosti má tvar ν = µ . Z rozboru vnitřní avnější statické určitosti je zřejmé, že celkovou podmínku statické určitosti můžeme vyjádřit vetvaru:3k = p + µ A2k = p + µ A- pro prostorovou prutovou soustavu- pro rovinou prutovou soustavuPostup řešení statické rovnováhy prutových soustav. Prutové soustavy z hlediska tvorbytechnických děl mají historicky velký význam. Teorie prutových soustav je podrobně propracovanáa studenti v literatuře mohou nalézt řadu specifických metod pro konkretní prutovésoustavy. Např. v [3] str. 145 - 155. My se dále omezíme pouze na dvě základní metody.a) Obecná styčníková metoda spočívá v uvolnění všech styčníků a sestavení použitelnýchpodmínek statické rovnováhy, které vytvářejí soustavu lineárních algebraických rovnic,kterou můžeme zapsat maticovou rovnicíAx = b (8.6)kde A− je matice soustavy, která popisuje prutovou soustavu geometrickyx−b−sloupcová matice neznámých parametrůsloupcová matice úplně zadaných silových prvků.V praxi soustavu algebraických lineárních rovnic (9.3) řešíme na počítači. Software nařešení soustavy algebraických lineárních rovnic dnes patří k vybavení programovatelnýchkalkulaček. Proto dnes v praxi převládá obecná styčníková metoda. Po vyřešení neznámýchparametrů musíme provést rozbor výsledků řešení.b) Postupná styčníková metoda spočívá v postupném uvolňování staticky určitě vázanýchstyčníků v dané fázi řešení. Pořadí styčníků pak není libovolné , ale je dáno podmínkou,že na uvolněný styčník působí kromě úplně určených silových prvků neúplně určené silovéprvky pouze se 3 neznámými parametry u prostorové resp.se 2 neznámými parametry urovinné prutové soustavy. Není-li v dané fázi řešení u prutové soustavy staticky určitěvázaný styčník, pak v řešení můžeme pokračovat, podaří-li se nám určit některý z neznámýchparametrů na základě uvolnění podsoustavy. To se nám vždy podařit nemusí a pakje nejjednodušší použít obecnou styčníkovou metodu.

9. Grafické řešení statických úloh 1099 Grafické řešení statických úloh9.1 Základní věty grafického řešeníKromě výpočtového řešení lze některé jednodušší úlohy o statické rovnováze a ekvivalenci řešitefektivně graficky. V tomto odstavci uvedeme základní grafické metody. Algoritmus výpočtovéhořešení statických úloh byl uveden v kapitole 7 o řešení statické rovnováhy vázaného tělesa.Postupy při výpočtové a grafické metodě řešení se odlišují v krocích d - f. Pro grafické řešenímají uvedené kroky tento obsah:d) Grafické zobrazení zadaných číselných veličin. Silové a geometrické veličiny jsou zadányčíselně. Tyto veličiny musíme jednoznačně zobrazit grafickými veličinami. Zobrazení jecharakteristické měřítkem, jehož rozměr je odvozen z rozměru zobrazované veličiny.Měřítka budeme zapisovat ve tvaru:1mm ∼ = 5N čteme 1mm odpovídá 5N1mm ∼ = 0.1m čteme 1mm odpovídá 0.1mGrafická konstrukce, u které nejsou uvedena měřítka, neposkytuje kvantitativní údaje ořešeném problému.e) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení.f) Realizace grafické konstrukce. Grafická konstrukce se nejčastěji skládá z posloupnostitěchto operací: sestrojení průsečíku dvou různoběžek, sestrojení přímky procházející dvěmibody, sestrojení rovnoběžky s danou přímkou, sestrojení přímky procházející daným bodemrovnoběžně s danou přímkou, konstrukce trojúhelníka, sestrojení bodu ležícího nadané přímce v dané vzdálenosti od určeného bodu.g) Zpětné zobrazení grafických veličin na veličiny číselné.Sestrojení grafické konstrukce vyžaduje technické prostředky, které dnes můžeme rozdělit dodvou skupin:a) elementární - papír, tužka, pravítko, kružítko.b) počítačové - počítač vybavený grafickým softwarem a patřičnými grafickými periferiemi.V současné době je dominantní výpočtové řešení, proto se grafickým řešením budemezabývat především z pedagogického hlediska se zaměřením na získání názorné představy, kterougrafické řešení poskytuje lépe než výpočtové. Graficky budeme řešit úlohy jednoduché,nevyžadující speciální grafické konstrukce, s omezením na rovinné úlohy. Vzhledem k tomu, žetechnické prostředky počítačové interaktivní grafiky v současné době jsou ve výuce nedostupné,omezíme se na úlohy řešené tužkou, pravítkem a kružítkem na papíře. Grafické konstrukce, kterýmise budeme zabývat, jsou založeny na jednoduchých geometrických konstrukcích a větácho dvou a o třech silách a větě o superpozici.Při grafických konstrukcích budeme používat následující pojmy:- silový obrazec - silový n-úhelník jako zobecnění silového trojúhelníka viz. obr. 9.1a

9. Grafické řešení statických úloh 110- silový obrazec s pomocnými silami viz. obr. 9.1b- nositelkový obrazec viz. obr. 9.1cObr. 9.1:9.1.1 Věta o superpoziciNechť na vázané těleso působí úplně zadaná silovásoustava π = { ⃗ F 1 , ⃗ F 2 , . . . , ⃗ F n } a uložení tělesa je takové,že po uvolnění stykových vazeb, kdy na uvolněnétěleso působí úplně zadaná soustava π a soustavaneúplně určených stykových sil π R , je splněnanutná podmínka statické určitosti a soustava statickýchrovnic je lineární. Pak soustavu statickýchrovnic můžeme zapsat v maticovém tvaru rovnicí:A x = bObr. 9.2:kde x − je sloupcová matice neznámých parametrů (NP)A − je matice soustavy rovnic, která z geometrického hlediska charakterizujeuložení tělesab − je sloupcová matice obsahující součty souřadnic úplně zadané soustavy π,tedy b = b 1 + b 2 + · · · + b n , kde b i je sloupcový vektor souřadnici-té úplně zadané síly F ⃗ i .Na základě znalostí z lineární algebry můžeme formulovat větu o superpozici:Pokud je matice A regulární pak existuje řešení soustavy rovnic a platí:x = ∑ x i = ∑ A −1 b i = A −1 (b 1 + b 2 + · · · + b n ), kde x i = A −1 b i je vektor stykových silzpůsobený i-tým úplně zadaným silovým prvkem.

9. Grafické řešení statických úloh 111Protože věta o superpozici se využívá především při grafickém řešení, uvedeme jejíslovní formulaci pro grafické řešení:Působí-li na uvolněné těleso soustava úplně zadaných silových prvků π = { F ⃗ 1 , F ⃗ 2 , . . . , F ⃗ n }a soustava neúplně určených stykových sil π R = { F ⃗ A , F ⃗ B }, přičemž soustava statických rovnicje lineární (neproměnný styk), pak stykové síly soustavy π R určíme jako výslednice dílčíchstykových sil. Např. F ⃗ A = ∑ FAi⃗ , kde F ⃗ Ai je dílčí styková síla ve vazbě A vyvolaná i-tou silou⃗F i úplně zadané soustavy sil π.9.1.2 Věta o dvou siláchFormulace věty pro statickou ekvivalenci samostatného působení dvou sil na těleso:Samostatné působení síly ⃗ F 2 na těleso je staticky ekvivalentní se samostatným působením síly⃗F 1 jestliže:- síly působí na stejné nositelce- síly jsou stejně velké a stejně orientované ( ⃗ F 2 = ⃗ F 1 )Formulace věty pro statickou rovnováhu tělesa při současném působení dvou sil:Těleso je při současném působení dvou sil ⃗ F 1 a ⃗ F 2 ve statické rovnováze jestliže:- síly působí na stejné nositelce- síly jsou stejně velké, ale opačně orientované ( ⃗ F 1 + ⃗ F 2 = ⃗0)Grafická interpretace věty o dvou silách je vyjádřena silovým a nositelkovým obrazcem (obr.9.3).silový obrazecnositelkový obrazecObr. 9.3:

9. Grafické řešení statických úloh 1129.1.3 Věta o třech siláchTaké věta o třech silách má dvě varianty. První varianta se týká nahrazení dvou sil z hlediskastatické ekvivalence jedinou silou a druhá varianta věty pojednává o rovnováze uvolněnéhotělesa na které působí jako jediné silové prvky tři síly.Formulace věty pro statickou ekvivalenci:Působení dvou daných sil ⃗ F1 , ⃗ F 2 , určených {A 1 , ⃗ F 1 } a {A 2 , ⃗ F 2 } na těleso T je statickyekvivalentní s působením síly ⃗ F 3 , je-li splněna podmínka statické ekvivalence, kterou můžemevyjádřit ve tvaru:⃗F 1 + ⃗ F 2 = ⃗ F 3 ∧ ⃗r 1 × ⃗ F 1 + ⃗r 2 × ⃗ F 2 = ⃗r 3 × ⃗ F 3Obr. 9.4:Grafická interpretace předchozího vztahu je zřejmá ze silového a nositelkového obrazce (obr.9.4):Samostatné působení síly ⃗ F 3 na těleso je staticky ekvivalentní se společným působením sil ⃗ F 1a ⃗ F 2 jestliže:- nositelky všech tří sil leží v jedné rovině a protínají se v jednom bodě- silový obrazec je uzavřený, přičemž síly ⃗ F 1 a ⃗ F 2 jsou v něm orientovány v jednom smyslua síla ⃗ F 3 ve smyslu opačnémFormulace věty pro statickou rovnováhu tělesa:Působí-li na uvolněné těleso tři síly ⃗ F 1 , ⃗ F 2 a ⃗ F 3 jako jediné silové prvky (obr. 9.5), pak těleso Tbude ve statické rovnováze, budou-li síly ⃗ F 1 , ⃗ F 2 a ⃗ F 3 tvořit rovnovážnou soustavu, což vyjádřímestatickou podmínkou ve tvaru⃗F 1 + ⃗ F 2 + ⃗ F 3 = ⃗0 ∧ ⃗r 1 × ⃗ F 1 + ⃗r 2 × ⃗ F 2 + ⃗r 3 × ⃗ F 3 = ⃗0

9. Grafické řešení statických úloh 113Grafická interpretace předchozího vztahu je zřejmá zesilového a nositelkového obrazce (obr. 9.5):Těleso je při současném působení tří sil ⃗ F 1 , ⃗ F 2 a ⃗ F 3 vestatické rovnováze jestliže:Obr. 9.5:- nositelky všech tří sil leží v jedné rovině a protínají se v jednom bodě- silový obrazec je uzavřený, přičemž síly ⃗ F 1 , ⃗ F2 a ⃗ F 3 jsou v něm orientovány v jednomsmyslu9.2 Základní grafické konstrukce odvozené z věto dvou a o třech silách a věty o superpoziciNa základě věty o třech silách můžeme z hlediska statické ekvivalence nahradit dvě síly F ⃗ 1 a F ⃗ 2působící na těleso jedinou staticky ekvivalentní silou F ⃗ 3 , jejíž nositelka prochází průsečíkemnositelek F ⃗ 1 a F ⃗ 2 . Pokud síly F ⃗ 1 a F ⃗ 2 jsou rovnoběžné je průsečíkem jejich nositelek úběžnýbod (obr. 9.6).Obr. 9.6:Polohu nositelky síly ⃗ F 3 v tomto případě určíme takto:

9. Grafické řešení statických úloh 114K soustavě sil ⃗ F 1 a ⃗ F 2 připojíme libovolnou rovnovážnou soustavu dvou sil ⃗ F p a − ⃗ F p na společnénositelce, která protíná nositelky sil ⃗ F 1 a ⃗ F 2 . Na základě věty o třech silách nahradímesoustavu sil ⃗ F 1 a ⃗ F p staticky ekvivalentní silou ⃗ F v1 a síly − ⃗ F p a ⃗ F 2 staticky ekvivalentní silou⃗F v2 . Další postup je zřejmý z obr. 9.6. Pokud nastane, že ⃗ F v1 = − ⃗ F v2 a jejich nositelky jsou rovnoběžné,vytvářejí tyto síly silovou dvojici, která je staticky ekvivalentní silové dvojici ⃗ F 1 a ⃗ F 2 ,jednoznačně určené ⃗ M (viz. obr. 9.7).Obr. 9.7:Pokud na těleso působí více sil a soustava je rovinná, můžeme na základě postupnéhonahrazování dvou sil staticky ekvivalentní silou původní silovou soustavu nahradit jedinoustaticky ekvivalentní silou (při ⃗ F v ≠ ⃗0) nebo jedinou staticky ekvivalentní dvojicí (při ⃗ F v = ⃗0).Při grafickém řešení určujeme velikost a orientaci staticky ekvivalentní síly v silovém obrazci apolohu nositelky staticky ekvivalentní síly v nositelkovém obrazci. Postup řešení si ukážeme napříkladě nahrazení soustavy čtyř různoběžných sil jedinou silou, viz obr. 9.8 (určení výslednicerůznoběžných sil).Postup řešení:Síly F ⃗ 1 a F ⃗ 2 nahradíme staticky ekvivalentnísilou F ⃗ v1 , jejíž velikost, směr nositelky a orientaciurčíme ze silového trojúhelníka ○1 .Nositelka podle věty o třech silách procházíprůsečíkem nositelek sil F ⃗ 1 a F ⃗ 2 ( bod I). Obdobněnahradíme F ⃗ v1 a F ⃗ 3 staticky ekvivalentnísilou F ⃗ v2 , jejíž velikost, směr nositelkyObr. 9.8:a orientaci určíme ze silového trojúhelníka ○2a nositelka musí procházet průsečíkem nositelek F ⃗ 3 a F ⃗ v1 (bod II). Síly F ⃗ v2 a F ⃗ 4 nahradímestaticky ekvivalentní silou F ⃗ v , která je v důsledku postupného nahrazování staticky ekvivalentníse silami F ⃗ 1 , F2 ⃗ , F3 ⃗ a F ⃗ 4 . Velikost, orientaci a polohu nositelky F ⃗ v určíme ze silového anositelkového obrazce obdobně jako u F ⃗ v1 a F ⃗ v2 . Jestliže nositelky sil jsou rovnoběžné, musímek dané soustavě sil připojit rovnovážnou soustavu. Postup řešení ukážeme na příkladě nahrazenísoustavy tří rovnoběžných souhlasně orientovaných sil jedinou staticky ekvivalentní silou( F ⃗ v ≠ ⃗0), viz. obr. 9.9.

9. Grafické řešení statických úloh 115Postup řešení:K soustavě tří rovnoběžných sil F1 ⃗ , F2 ⃗ a F ⃗ 3připojíme rovnovážnou soustavu sil { F ⃗ p , −F ⃗ p }na společné nositelce, která protíná nositelkyzadaných sil. Síly F ⃗ 1 a F ⃗ p nahradíme podlevěty o třech silách staticky ekvivalentní silou⃗F v1 , jejíž nositelka prochází průsečíkem nositeleksil F1 ⃗ a F ⃗ p (bod I) a velikost, směr a orientaciurčíme ze silového trojúhelníka ○1 . Síly⃗F v1 a F ⃗ 2 obdobně nahradíme staticky ekvivalentnísilou F ⃗ v2 . Postup opakujeme pro síly F ⃗ v2Obr. 9.9:a F ⃗ 3 . Síla F ⃗ v3 je staticky ekvivalentní silám F ⃗ 1 , F2 ⃗ , F3 ⃗ a F ⃗ p . Na těleso v této fázi řešení působísíly F ⃗ v3 a − F ⃗ p , které podle věty o třech silách nahradíme staticky ekvivalentní silou F ⃗ v , jejížnositelka prochází průsečíkem nositelek sil F ⃗ v3 a − F ⃗ p (bod IV). Velikost, směr a orientaci F ⃗ vurčíme ze silového trojúhelníka ○4 . Síla F ⃗ v je staticky ekvivalentní se soustavou sil F ⃗ 1 , F2 ⃗ , F3 ⃗(viz obr. 9.9).Stejný postup zvolíme i v případě, že síly jsourůznoběžné, ale úhly, které svírají nositelky jsou”malé” (průsečíky nositelek sil se nacházejí mimopracovní plochu). Postup řešení je stejný jakov předchozím případě a je zřejmý ze silového anositelkového obrazce na obr. 9.10.Obr. 9.10:V předchozích grafických konstrukcích jsme řešili úlohy, kdy na těleso působila pouze soustavaúplně zadaných silových prvků π. Dále se budeme zabývat grafickými konstrukcemi charakteristickýmitím, že na těleso působí jak soustava úplně zadaných silových prvků, tak soustavaneúplně určená. Tato situace vzniká po uvolnění tělesa ze stykových vazeb.1. Na těleso T, které je ve statické rovnováze, působí úplně určená soustava π = { F ⃗ v ,⃗0}a neúplně určená soustava π R = { F ⃗ A , FB ⃗ }, kde F ⃗ A , FB ⃗ jsou neúplně zadané silové prvky, prokteré známe: F ⃗ A – působiště, F ⃗ B – nositelku. Je-li F ⃗ v ≠ ⃗0, M ⃗ = ⃗0, pak na těleso působí tři síly⃗F A , FB ⃗ , Fv ⃗ a těleso je ve statické rovnováze.Obr. 9.11:

9. Grafické řešení statických úloh 116Podle věty o třech silách, se nositelky ⃗ F A , ⃗ FB , a ⃗ F v se protínají v jednom bodě a silový obrazecje uzavřen se šipkami v jednom smyslu. V prvním kroku řešení sestrojíme nositelky sil, kteréprocházejí bodem C a v druhém kroku sestrojíme silový obrazec, viz obr. 9.11.2. Soustava π je točivá, určená ⃗ M a soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ F B }, viz obr. 9.12. Pro ⃗ F A , ⃗ F Bstejně jako v předchozím případě známe: ⃗ F A – působiště, ⃗ F B – nositelku. Těleso T je ve statickérovnováze.Obr. 9.12:Silová soustava π je jednoznačně určena momentem M. ⃗ Nejjednodušší silovou soustavou, kterámá uvedené vlastnosti π je silová dvojice. Síly F ⃗ a −F ⃗ jsou stejně velké, opačně orientovanéa leží na rovnoběžných nositelkách Vzdálenost nositelek určíme ze vztahu d = M, přičemžFvelikost F jsme zvolili. Úlohu řešíme s použitím superpozice. Působí-li na těleso síla F ⃗ , určímesíly F ⃗ A a F ⃗ B podle věty o třech silách a označíme je F ⃗ A ′ a F ⃗ B ′ , viz. úloha 1 . Obdobně pro sílu−F ⃗ vyřešíme síly F ⃗ A ′′ a F ⃗ B ′′.Síla F ⃗ A je výslednicí sil F ⃗ A ′ a F ⃗ A ′′ a síla F ⃗ B je výslednicí F ⃗ B ′ a F ⃗ B ′′.Tuto úlohu můžeme výhodně řešit na základě následujícíúvahy. Soustava π působící na těleso je určena momentemM. ⃗ Podmínka statické rovnováhy bude splněna,budou-li síly F ⃗ A a F ⃗ B tvořit silovou dvojici, jejíž momentMd ⃗ = −M, ⃗ tedy je-li nositelka síly F ⃗ A rovnoběžnás nositelkou síly F ⃗ B a prochází bodem A (obr. 9.13).Vzdálenost a nositelek změříme a velikost sil FA ⃗ a F ⃗ Burčíme početně ze vztahu F A = F B = M , orientace sila⃗F A , FB ⃗ je dána podmínkou M ⃗ d = −M. ⃗ Výhoda uvedenéhograficko-početního řešení spočívá v tom, že je jednoduššínež grafické řešení a zachovává názornost grafickéhořešení při určení polohy nositelek a orientace sil.Obr. 9.13:3. Soustava π je určena výslednicovým bivektorem { ⃗ F v , ⃗0} a soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ FB }.Pro ⃗ F A a ⃗ F B známe tyto veličiny: ⃗ F A – směr nositelky, ⃗ F B – nositelkuNa těleso, které je ve statické rovnováze, působí tři síly. Podle věty o třech silách se nositelky

9. Grafické řešení statických úloh 117Obr. 9.14:protínají v jediném bodě A. Další postup je stejný jako u 1 a zřejmý z obr. 9.14.4. Soustava π je určena {⃗0, ⃗ M}, soustava πR = { ⃗ F A , ⃗ FB } Pro ⃗ F A , ⃗ FB známe stejnéveličiny jako v případě 3 : pro ⃗ F A – směr nositelky, pro ⃗ F B – nositelku.Statická rovnováha nastane pouze tehdy, budou-li síly⃗F A , FB ⃗ tvořit silovou dvojici určenou momentem M ⃗ d =−M. ⃗ Tato podmínka je splněna pouze tehdy, když nositelkaF ⃗ B je rovnoběžná se směrem nositelky F ⃗ A (na obr.9.15 je znázorněn případ, kdy statická rovnováha nenímožná). Velikost F ⃗ A , FB ⃗ určíme početně z podmínkyF A · a = F B · a = M. V této rovnici buď F A nebo azvolíme a zbylý parametr vypočítáme.Obr. 9.15:5. Soustava π je určena { ⃗ F v ,⃗0}, soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ FB }. Pro ⃗ F A , ⃗ FB známe tytoveličiny: ⃗ F A – velikost, ⃗ F B – nositelku.Obr. 9.16:Grafická konstrukce je zřejmá z obrázku obr. 9.16. Z něj je zřejmé, že úloha má jedno řešení(jestliže v silovém obrazci F A = d), dvě řešení (jestliže F A > d) nebo reálné řešení neexistuje(v případě F A < d).6. Soustava π je určena {⃗0, ⃗ M}, soustava πR = { ⃗ F A , ⃗ FB }. Pro ⃗ F A , ⃗ FB známe tytoveličiny: ⃗ F A – velikost, ⃗ F B – nositelku.

9. Grafické řešení statických úloh 118Obr. 9.17:Statická rovnováha nastane pokud F ⃗ A a F ⃗ B budou tvořit silovou dvojici určenou momentem⃗M d = −M. ⃗ Nositelka síly F ⃗ A musí být rovnoběžná s nositelkou síly F ⃗ B . Jejich vzdálenosturčíme výpočtem ze vztahu a = M F A. Úloha má dvě řešení viz obr. 9.17b a obr. 9.17c.7.1 Na těleso T, které je ve statické rovnováze, působí úplně určená soustava π = { ⃗ F v ,⃗0}a neúplně určená soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ FB }. Pro neúplně zadané silové prvky známe: ⃗ FA –působiště, ⃗ F B – nositelku. Soustava sil π∪π R , působících na uvolněné těleso, je rovinná soustavasil na rovnoběžných nositelkách.Obr. 9.18:Větu o třech silách nelze v tomto případě použít přímo – nositelky sil se protínají v úběžnémbodě a síly ⃗ F A a ⃗ F B v silovém obrazci nelze určit (pouze ⃗ F A + ⃗ F B = − ⃗ F v ). Při grafickém řešení jeproto nutno zvolit dále popsaný postup. Nejdříve ve smyslu statické ekvivalence nahradíme sílu⃗F v dvěmi libovolnými pomocnými silami ⃗ F p1 a ⃗ F p2 (silový obrazec ○1 ) – nositelky těchto tří sil sev nositelkovém obrazci protínají v jednom bodě I (je to libovolný bod na nositelce síly ⃗ F v – viz.možnost posouvání působišť sil). Na uvolněné těleso nyní působí čtyři síly ( ⃗ F p1 , ⃗ Fp2 , ⃗ FA a ⃗ F B ).Libovolně zvolené dvě a dvě z těchto sil můžeme nahradit jejich staticky ekvivalentními výslednicemi⃗ F v1 a ⃗ F v2 , jejichž nositelky musí splňovat podmínky věty o třech silách (zvolíme např.⃗F p1 + ⃗ F A = ⃗ F v1 a ⃗ F p2 + ⃗ F B = ⃗ F v2 – v nositelkovém obrazci dostáváme průsečíky II a III). Protožetěleso je ve statické rovnováze, musejí síly ⃗ F v1 a ⃗ F v2 (působící na těleso v této fázi řešení) splňovatpodmínku věty o dvou silách t.j. mít společnou nositelku procházející body II a III a musíplatit, že ⃗ F v1 = − ⃗ F v2 . V silovém obrazci ○1 vedeme s touto nositelkou rovnoběžku společným

9. Grafické řešení statických úloh 119bodem sil ⃗ F p1 , a ⃗ F p2 a dostáváme silové obrazce ○3 ( ⃗ F A + ⃗ F p1 = ⃗ F v1 ) a ○2 ( ⃗ F p2 + ⃗ F B = ⃗ F v2 ), vnichž jsou graficky zobrazeny hledané síly ⃗ F A a ⃗ F B .7.2 Soustava π je určena { ⃗ F v , ⃗0} a soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ FB }. Pro ⃗ F A , ⃗ FB známe tytoveličiny: ⃗ F A – nositelku, ⃗ F B – nositelku a π ∪ π R je rovinná soustava rovnoběžných sil. Neznámýmiveličinami jsou velikosti a orientace sil ⃗ F A a ⃗ F B . Cílem této úlohy je staticky ekvivalentnínahrazení síly ⃗ F v dvěmi rovnoběžnými silami ⃗ F A a ⃗ F B na daných nositelkách.Obr. 9.19:Soustava sil { F ⃗ A , FB ⃗ } má být staticky ekvivalentní se silou F ⃗ v . Statickou ekvivalenci nezměníme,jestliže k oběma soustavám připojíme stejnou sílu F ⃗ p , tedy soustava π 1 = { F ⃗ A , FB ⃗ , Fp ⃗ }je staticky ekvivalentní se soustavou π 2 = { F ⃗ v , Fp ⃗ }. Soustavu π 2 = { F ⃗ v , Fp ⃗ } nahradíme statickyekvivalentní silou F ⃗ e 2 1a síly F ⃗ A a F ⃗ p staticky ekvivalentní silou F ⃗ e 1 1, pro kterou podle větyo třech silách známe bod nositelky (II). Síla F ⃗ e 2 1, kterou známe úplně, je staticky ekvivalentníse silami F ⃗ B a F ⃗ e 1 1. Podle věty o třech silách se nositelky sil F ⃗ e 2 1, FB ⃗ , a F ⃗ e 1 1musejí protínat vjednom bodě III. Nositelka síly F ⃗ e 1 1musí procházet body II a III. Protože známe nositelky sil⃗F B , F ⃗ 1e1a sílu F ⃗ e 2 1úplně, můžeme ze silového obrazce určit také F ⃗ B , a F ⃗ e 1 1úplně (viz. silovýobrazec ○2 ). Současně ze silového obrazce ○3 můžeme určit F ⃗ A . Silový obrazec ○3 s nositelkamisil F ⃗ p , FA ⃗ a F ⃗ e 1 1, vyjadřuje statickou ekvivalenci sil F ⃗ p , FA ⃗ se silou F ⃗ e 1 1.8. Soustava π je určena {⃗0, ⃗ M} a soustava πR = { ⃗ F A , ⃗ F B }.Pro ⃗ F A , ⃗ FB známe tyto veličiny: ⃗ F A – nositelku, ⃗ F B – nositelku,přičemž nositelky ⃗ F A a ⃗ F B jsou rovnoběžné (viz obr. 9.20).Statická rovnováha nastane, jestliže ⃗ F A , ⃗ FB tvoří silovou dvojiciurčenou ⃗ M d = − ⃗ M. Velikost sil ⃗ FA , a ⃗ F B určíme ze vztahuF A = F B = M a .Obr. 9.20:9. Soustava π je určena výslednicovým bivektorem { ⃗ F v , ⃗0} a soustava π R = { ⃗ F A , ⃗ F B , ⃗ F C }.Pro ⃗ F A , ⃗ FB , ⃗ FC známe nositelky, které leží v jedné rovině s nositelkou ⃗ F v , neprocházejí jedinýmbodem a nejsou vzájemně rovnoběžné (viz obr. 9.21).Nahradíme-li síly ⃗ F B a ⃗ F C staticky ekvivalentní silou ⃗ F ′ v, pak nositelka ⃗ F ′ v podle věty o třechsilách prochází bodem E. Na těleso T působí tři síly ⃗ F ′ v, ⃗ Fv a ⃗ F A , podle věty o třech silách sejejich nositelky protínají v jediném bodě D. Nositelka síly ⃗ F ′ v prochází body E a D. Sestrojíme

9. Grafické řešení statických úloh 120Obr. 9.21:silový trojúhelník ○1 . Sílu ⃗ F ′ v nahradíme dvěma silami ⃗ F B a ⃗ F C na daných nositelkách. Nositelkasíly ⃗ F ′ v se nazývá Culmannovou přímkou. Stejný výsledek musíme dostat i při jiné výchozí volběsil na začátku řešení (např. ⃗ F A a ⃗ F B nebo ⃗ F A a ⃗ F C ).10. Soustava π je určena {⃗0, ⃗ M} a πR = { ⃗ F A , ⃗ FB , ⃗ FC }. Pro ⃗ F A , ⃗ F B , ⃗ F C známenositelky, které leží v jedné rovině kolmé na nositelku ⃗ M, neprocházejí jediným bodem a nejsouvzájemně rovnoběžné (obr. 9.22).Úlohu můžeme řešit superpozicí jako dvě úlohy 9 prosíly ⃗ F a − ⃗ F , které tvoří silovou dvojici jednoznačně určenou⃗ M. Výhodnější však bude řešení úlohy graficko-početnímzpůsobem. Na základě věty o třech silách nahradímelibovolné dvě ze sil ⃗ F A , ⃗ FB , ⃗ FC jejich staticky ekvivalentnísilou. Například ⃗ F B a ⃗ F C nahradíme statickyekvivalentní silou ⃗ F ′ v. Nositelka síly ⃗ F ′ v prochází bodemE.Podmínka statické rovnováhy bude splněna tehdy,budou-li síly F ⃗ v ′ a F ⃗ A tvořit silovou dvojici určenoumomentem M ⃗ d = −M. ⃗ Tedy nositelka F ⃗ v ′ je rovnoběžnás F ⃗ A a prochází bodem E (viz obr. 9.23).Velikost F ⃗ A a F ⃗ v ′ určíme z podmínky F v ′ = F A =M. Dále určíme síly F ⃗ b B a F ⃗ C tak, že sílu F ⃗ v ′ nahradímestaticky ekvivalentními silami F ⃗ B a F ⃗ C nadaných nositelkách. Velikost a orientace sil F ⃗ B a F ⃗ Curčíme ze silového obrazce.Obr. 9.22:Obr. 9.23:9.3 Grafické řešení statické rovnováhy vázaného tělesaPo formulaci základních vět grafického řešení a výkladu základních grafických konstrukcí můžemepřikročit ke grafickému řešení statické rovnováhy vázaných těles. Budeme vycházet zalgoritmu výpočtového řešení statické rovnováhy vázaného tělesa. Postup při výpočtovém agrafickém řešení se odlišuje v krocích d - f, tyto kroky grafického řešení jsou uvedeny na začátkutéto kapitoly.

9. Grafické řešení statických úloh 121Významně se také bude lišit interpretace uvolnění v důsledku toho, že při grafickémřešení pracujeme s celky (bod, nositelka síly, orientovaná úsečka zobrazující sílu atd.) na rozdílod výpočtového řešení, kde pracujeme s prvky (souřadnice bodu, souřadnice síly atd.).Při uvolnění tělesa pro grafické řešení je třeba znázornit známé geometrické útvary grafickéhozobrazení statické úlohy, které vyplývají z úplně zadané soustavy π a z uložení tělesa. Najejich základě ze statické podmínky rovnováhy, pokud je to možné, určíme neznámé geometrickéútvary, které zpětně zobrazíme na statické veličiny.Vyjádření statické podmínky pro grafické řešení je následující:- silový obrazec je uzavřen- v jednom smyslu, pro statickou rovnováhu tělesa- smysl staticky ekvivalentní síly je opačný ke smyslu ostatních sil, pro statickou ekvivalencisilových soustav- pro obrazec nositelek nelze vyslovit názornou podmínku, kterou musí splňovat nositelkyvšech sil, lze ji však formulovat pro soustavu dvou a tří sil (viz. věty o dvou a třech silách).Poznámka: Skutečnost, že nelze formulovat názornou podmínku, kterou musí splňovat nositelkyvšech sil, je příčinou, proč grafické řešení musíme rozdělit na posloupnost jednoduchých operacízaložených na větách o dvou a třech silách a větě o superpozici.Obr. 9.24:

9. Grafické řešení statických úloh 122Přehled uvolnění jednotlivých rovinných stykových vazeb pro výpočtové a grafické řešeníje znázorněn v tabulce (obr. 9.24).Nyní přistoupíme ke grafickému řešení příkladu z kapitoly 7 (viz obr. 9.25).Ukážeme několik postupů a problémů, které sepři grafickém řešení mohou vyskytovat. Řešení nebudemeprovádět celé, ale zaměříme se pouze na ty kroky,které jsou při grafickém a výpočtovém řešení odlišné.Na těleso působí soustava úplně zadaných silovýchprvků π = { F ⃗ , FG ⃗ , M} ⃗ a soustava neúplněurčená π r = { F ⃗ A , FB ⃗ }. Při řešení neznámých veličinneúplně určených sil můžeme postupovat takto:Obr. 9.25:a) Soustavu π nahradíme jedinou staticky ekvivalentní silou ⃗ F v nebo jedinou silovou dvojicí⃗M v je-li ⃗ F v = ⃗0 (rovinná úloha) a pro ně určíme neznámé veličiny neúplně určených sil.b) Řešení provádíme s využitím superpozice zvlášť pro síly F ⃗ , F ⃗ G a silovou dvojici určenoumomentem M. ⃗ Tato dílčí řešení neznámých veličin neúplně určených sil pak nahradímevýsledným staticky ekvivalentním řešením.ad a) Síly F ⃗ a F ⃗ G nahradíme staticky ekvivalentní silou F ⃗ v. ′ Nejjednodušší silová soustava, kteráje jednoznačně určená momentem M ⃗ je silová dvojice, pro kterou platí M = F 1·b = F 1·b.′Zvolíme-li jednu z veličin F 1 , b pak druhou dopočítáme, například F 1 zvolíme a vzdálenostnositelek b vypočítáme ze vztahu b = M F 1. Smysl síly F ⃗ 1 zvolíme tak, aby silová dvojice⃗F 1 , F ⃗ ′1 měla stejný smysl jako M. ⃗ Síly F ⃗ v ′ a F ⃗ 1 nahradíme staticky ekvivalentní silou⃗F v ′′ a obdobně F ⃗ v ′′ a F ⃗ 1 ′ staticky ekvivalentní silou F ⃗ v .Efektivněji můžeme staticky ekvivalentní síluurčit takto: Síly ⃗ F a ⃗ F G nahradíme stejně jakov předchozím postupu silou ⃗ F ′ v. Protože sílu⃗F 1 můžeme volit, zvolíme ji na nositelce síly ⃗ F ′ vstejně velikou, ale opačně orientovanou k ⃗ F ′ v.Dále určíme vzdálenost c nositelek sil ⃗ F 1 a ⃗ F ′ 1ze vztahu c = M F 1. Síly ⃗ F ′ v a ⃗ F 1 tvoří rovnovážnousoustavu a síla ⃗ F ′ 1 je staticky ekvivalentníse soustavou π (viz obr. 9.26 ).Obr. 9.26:

9. Grafické řešení statických úloh 123Další postup řešení je stejný jako u úlohy3 . Na těleso působí tři síly ⃗ F A , ⃗ FB , ⃗ Fv .Podle věty o třech silách určíme v prvnímkroku nositelky a ve druhém velikosta smysl ⃗ F A , ⃗ FB (viz obr. 9.27 ).Poznámka: Pokud ⃗ F v = ⃗0 a ⃗ M ≠ ⃗0,rovnováha tělesa vázaného jednostrannouposuvnou a obecnou kinematickoudvojicí v zadané konfiguraci vazeb nemůženastat.Obr. 9.27:ad b) Řešení dílčích stykových sil ⃗ F A , ⃗ FB působí-li na těleso pouze ⃗ F nebo ⃗ F G je obdobné jakopři postupu a) pro sílu ⃗ F v . Dále se budeme zabývat řešením dílčích stykových sil ⃗ F A , ⃗ FB ,působí-li na těleso pouze silová dvojice určená momentem ⃗ M. Protože nositelky ⃗ F A , ⃗ FBnejsou rovnoběžné, nelze tyto dílčí stykové síly určit.Nyní musíme zdůvodnit, proč tento postup nevede k řešení. Řešíme-li úlohu zvlášť pro síly⃗F , FG ⃗ a M, ⃗ provádíme řešení superpozicí. Z věty o superpozici víme, že základním předpoklademje linearita úlohy. Vzhledem k tomu, že u stykové síly F ⃗ A neznáme polohu nositelky avelikost, je tato úloha nelineární. Proto postup b) nevede k řešení úlohy.9.4 Grafické řešení statické rovnováhy soustavy tělesV souladu s kapitolou 8 budeme pod pojmem statická rovnováha soustavy těles rozumět podmíněnoustatickou rovnováhu. To znamená, že soustava je ve statické rovnováze tehdy, je-likaždý její prvek a tedy i každá podsoustava ve statické rovnováze. Grafické řešení statické rovnováhysoustavy těles spočívá v posloupnosti grafických řešení neznámých veličin stykových silpůsobících na uvolněné prvky soustavy těles. Neznámé veličiny stykových sil řešíme graficky nazákladě podmínky statické rovnováhy uvolněného členu soustavy těles.Vzhledem k tomu, že podmínka statické rovnováhy pro grafickéřešení má část týkající se nositelek neznámých sil a část týkající se velikostia smyslu neznámých sil a protože neznámé veličiny se vztahujízpravidla ke dvěma prvkům soustavy těles, není posloupnost grafickýchřešení vždy přímá, ale může obsahovat zpětné kroky.Uvažme například soustavu znázorněnou na obr. 9.28a. Člen○2 je binární nezatížený člen, na který působí stykové síly F ⃗ A , FB ⃗ ,u kterých známe působiště. Neznámými veličinami jsou nositelky avelikosti sil. Z věty o dvou silách určíme nositelky, ale nemůžeme určitvelikosti stykových sil F ⃗ A , FB ⃗ . V řešení pokračujeme uvolněním členu○3 . Na člen ○3 působí úplně zadaná síla F ⃗ a neúplně určené stykovésíly F ⃗ B a F ⃗ C . Z řešení neznámých veličin stykových sil působících načlen ○2 známe nositelku síly F ⃗ B . Využitím věty o třech silách určímenositelku síly F ⃗ C a sestrojíme silový obrazec sil působících na člen ○3 Obr. 9.28:(viz obr. 9.28b). Tím jsme určili všechny neznámé veličiny stykovýchsil působících na člen ○3 a můžeme se vrátit zpět na člen ○2 . Vzhledem k tomu, že jsme úplněurčili sílu F ⃗ B , můžeme sestrojit silový obrazec členu ○2 .

9. Grafické řešení statických úloh 124K určení posloupnosti grafického řešení, které vede k určení všech neznámých veličin,můžeme zvolit dvojí přístup – náhodný nebo promyšlený.Při náhodném postupu řešení uvolňujeme náhodně prvky soustavy a na uvolněném prvkuse snažíme z podmínky rovnováhy pro grafické řešení určit neznámé veličiny. Postup uvolňováníjednotlivých prvků může být například podle zvoleného pořadí očíslování členů, které jsmezvolili zcela náhodně.Promyšlený postup je charakteristický analýzou soustavy z hlediska počtu sil, druhuneznámých veličin vztahujících se k jednotlivým tělesům a podsoustavám soustavy. Z těchtohledisek je vhodné všimnout si především binárních nezatížených členů. Pokud soustava takovýčlen obsahuje, pak řešení tímto členem zpravidla začínáme. U binárních nezatížených členůvázaných libovolnou kombinací kinematických dvojic typu kdo, kdr a kdp jsme vždy schopnina základě věty o dvou silách určit nositelky sil (obr. 9.29).Obr. 9.29:Při promyšleném postupu grafického řešení si posloupnost grafických operací, která vedena určení všech neznámých veličin, nejdříve vytvoříme v představě, kterou je možné zobrazitorientovaným grafem. Orientovaný graf zobrazuje posloupnost uvolněných prvků a podsoustavsoustavy těles, na kterých můžeme určit na základě jedné ze dvou částí statické podmínkyrovnováhy v grafickém vyjádření odpovídající neznámé veličiny (velikosti nebo nositelky) stykovýchsil působících na daný prvek resp. podsoustavu. K tomuto vyjádření budeme používatsymboly uvedené v obr. 9.30.Schema uvedené v obr. 9.31 charakterizuje tento postup řešení:Řešení začíná uvolněním členu ○4 a na základě podmínkystatické rovnováhy pro grafické řešení a známých veličin ze zadanésoustavy určíme nositelky stykových sil působících na člen○2 . Dále pokračujeme uvolněním členu ○2 . Z podmínky statickérovnováhy pro grafické řešení a známých veličin ze zadání soustavya určených nositelek stykových sil působících na člen ○4určíme stykové síly působící na člen ○2 . Dále uvolníme člen ○3 .Na základě podmínky statické rovnováhy pro grafické řešení aznámých veličin ze zadání a předchozího řešení určíme úplně istykové síly působící na člen ○3 . Nyní se vrátíme na člen ○4 aurčíme velikost a smysl stykových sil působících na tento člen.Obr. 9.31:Z hlediska postupu při řešení statické rovnováhy soustav těles rozlišujeme čtyři základníúlohy, které si ukážeme na jednoduchých příkladech.První úloha je charakteristická tím, že při vhodné posloupnosti uvolňování prvků můžeme

9. Grafické řešení statických úloh 125Obr. 9.30:na každém uvolněném prvku určit všechny neznámé veličiny (obr. 9.32). Postup můžeme charakterizovatschématem uvedeným na obr. 9.33.

9. Grafické řešení statických úloh 126Postup řešení: - Uvolníme binárnízatížený člen ○2 . Na člen ○2 působítři síly. Úplně zadaná síla ⃗ F ,styková síla ⃗ F B , jejíž nositelka procházíbodem B kolmo na člen ○3a styková síla ⃗ F A , která procházíbodem A. Nositelky sil ⃗ F a ⃗ F B seprotínají v bodě R.Obr. 9.32:Obr. 9.33:Na základě věty o třech silách tímto bodem musí procházettaké nositelka síly ⃗ F A , tedy nositelka síly ⃗ F A je určena body A,R. Protože známe sílu ⃗ F úplně a nositelky sil ⃗ F B a ⃗ F A , sestrojímesilový trojúhelník prvku ○2 .- Uvolníme ternární nezatížený člen ○3 . Na člen ○3 působí styková síla ⃗ F B , kterou známeúplně, síla ⃗ F D , pro kterou známe nositelku a styková síla ⃗ F C , jejíž nositelka prochází bodem C.Na základě věty o třech silách určíme nositelku síly ⃗ F C a sestrojíme silový trojúhelník ○3 .Druhá úloha. Pro grafické řešení této soustavy(obr. 9.34) je charakteristické, že pouvolnění prvků, na žádném prvku nemůžemeurčit všechny neznámé veličiny, ale pouzepostupným určováním neznámých veličin dosáhnemestavu, kdy na prvku ○5 můžemeurčit všechny neznámé veličiny a vhodnýmzpětným postupem je určíme i na ostatníchprvcích. Postup je schematicky znázorněnna obr. 9.35.Postup řešení: - Uvolníme binární nezatíženýčlen ○2 s jednou kinematickou dvojicírotační a jednou posuvnou. Na člen ○2 působístykové síly ⃗ F A a ⃗ F B , přičemž známepůsobiště stykové síly ⃗ F A a směr nositelkysíly ⃗ F B . Na základě věty o dvou silách je nositelkasíly ⃗ F A totožná s nositelkou síly ⃗ F B .Prochází bodem A kolmo k ose posuvu.Obr. 9.34:

9. Grafické řešení statických úloh 127- Uvolníme binární nezatížený člen ○4 sedvěmi rotačními kinematickými dvojicemi. Načlen ○4 působí stykové síly ⃗ F D a ⃗ F C s působištiv bodech C a D. Na základě věty o dvou siláchje nositelka síly ⃗ F C totožná s nositelkou síly ⃗ F Da prochází body C a D.- Uvolníme ternární nezatížený člen ○3 .Známe nositelky stykových sil FB ⃗ a F ⃗ C , kteréObr. 9.35:se protínají v bodě R, a dále známe působištěstykové síly F ⃗ E . Na základě věty o třech silách určíme nositelku síly F ⃗ E , která musí procházetbody R a E.- Uvolníme binární zatížený člen ○5 . Na člen○5 působí tři síly. Úplně zadaná síla ⃗ F a stykové síly⃗F E a ⃗ F G . Protože známe nositelku ⃗ F E a působištěsíly ⃗ F G , můžeme na základě věty o třech silách určitnositelku síly ⃗ F G a sestrojit silový trojúhelník pročlen ○5 a člen ○3 .Třetí úloha. Toto řešení je charakteristické tím, žepro určení všech neznámých veličin musíme uvolnitnejen všechna tělesa, ale také soustavu resp. podsoustavu(obr. 9.36). Postup řešení je schématickyznázorněn v obr. 9.37, kde ○P je uvolněná podsoustavačlenů ○3 a ○4 od základního tělesa.Obr. 9.37:Obr. 9.36:Postup řešení: - Uvolníme binární nezatížený člen ○3 , na který působí styková síla ⃗ F B jejížnositelka prochází bodem B a styková síla ⃗ F D , jejíž nositelka je kolmá na osu vedení. Podlevěty o dvou silách nositelka ⃗ F B je totožná s nositelkou síly ⃗ F D , prochází bodem B a je kolmá

9. Grafické řešení statických úloh 128na osu vedení.-Uvolníme ternární nezatížený člen ○2 , na který působí síla ⃗ F B , pro niž známe nositelku,síla ⃗ F A , jejíž nositelka prochází bodem A kolmo na základní těleso a síla ⃗ F C , jejíž nositelkaprochází bodem C. Podle věty o třech silách určíme nositelku síly ⃗ F C , která prochází bodyS a C.- Uvolníme soustavu, na kterou působí úplně zadaná síla ⃗ F , styková síla ⃗ F A , jejíž nositelkujsme určili a styková síla ⃗ F E na nositelce procházející bodem E. Nositelky ⃗ F A a ⃗ F se protínajív bodě R. Podle věty o třech silách tímto bodem prochází i nositelka síly ⃗ F E a je dána body Ra E. Nyní již můžeme postupně sestrojit silové obrazce pro ○S , ○2 , ○3 a ○4 .Čtvrtá úloha. Je charakteristická využitím věty o superpozici. Postup řešení si ukážeme nagrafickém řešení stykových sil u soustavy podle obr. 9.38. Nejdříve budeme uvažovat, že nasoustavu působí pouze síla F ⃗ a určíme stykové síly, které označíme čárkou. Potom budemeuvažovat pouze působení silové dvojice určené M ⃗ a pro toto působení určíme stykové síly,které označíme dvěmi čárkami.Obr. 9.38:Výsledné stykové síly pro zadané silovépůsobení se budou rovnat vektorovému součtustykových sil s čárkou a se dvěma čárkami.Postup řešení I: - Uvolníme binární nezatíženýčlen ○3 , který je vázán dvěmi rotačními kinematickýmidvojicemi. Na člen ○3 působí stykovésíly ⃗ F B a ⃗ F C s působišti v bodech B a C. Z větyo dvou silách určíme nositelku síly ⃗ F B , která jetotožná s nositelkou síly ⃗ F C a prochází body B aC (viz obr. 9.39).- Uvolníme binární zatížený člen ○2 . Načlen ○2 působí tři síly. Úplně zadaná síla ⃗ F , stykovásíla ⃗ F B , jejíž nositelka prochází body B aC a styková síla ⃗ F A , jejíž nositelka je kolmá naosu vedení. Nositelky síly ⃗ F a ⃗ F B se protínají vbodě R. Podle věty o třech silách tímto bodemmusí procházet také nositelka ⃗ F A , která je kolmána osu vedení. Dále sestrojíme silový trojúhelníkčlenu ○2 a silový obrazec členu ○3 .Obr. 9.39:Uvedený postup můžeme charakterizovat schematem znázorněným na obr. 9.40.

9. Grafické řešení statických úloh 129Postup řešení II: - Uvolníme binární nezatížený člen ○2 , který jevázán jednou rotační a jednou posuvnou kinematickou dvojicí.Obr. 9.40:Na člen ○2 působí dvě síly. Styková síla ⃗ F B , jejížnositelka prochází bodem B a styková síla ⃗ F A , jejížnositelka je kolmá na osu vedení. Na základěvěty o dvou silách nositelka síly ⃗ F A je totožná snositelkou ⃗ F B , prochází bodem B a je kolmá naosu vedení (obr. 9.41).- Uvolníme člen ○3 . Na člen ○3 působí silovádvojice určená ⃗ M a stykové síly ⃗ F B a ⃗ F C . Z podmínkystatické rovnováhy musí ⃗ F B a ⃗ F C vytvářetsilovou dvojici určenou ⃗ M d = − ⃗ M.- Uvedený postup můžeme charakterizovatschématem znázorněným na obr. 9.42.Obr. 9.41:Obr. 9.42:Obr. 9.43:- Grafické určení výsledných stykových sil je znázorněno na obr. 9.43.Řešení všech čtyř úloh byla ukázkou promyšlenéhopostupu řešení. Abychom ukázali rozdíl mezi promyšlenýma náhodným řešením, je na obr. 9.44 uvedenoschematické znázornění náhodného postupu řešenídruhé úlohy. Posloupnost řešení prvků soustavy bylazvolena podle jejich označení, které bylo na počátkuřešení zvoleno zcela náhodně. Srovnání operační složitostináhodného postupu a promyšleného postupu vyznívázcela jednoznačně ve prospěch promyšleného postupuřešení.Obr. 9.44:

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 13010 Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP10.1 Vazby typu NNTP – vazby s pasivními odporyV kapitole 6 byl analyzován styk těles a byly vymezeny dva základní typy styku lišící se silovýmia energetickými podmínkami ve stykovém útvaru ve směru geometricky možného relativníhopohybu, označené jako NNTN a NNTP. Dosud bylo probíráno statické řešení vázaného tělesaa soustav těles s vazbami, pro něž styk NNTN je použitelným výpočtovým modelem reálnéhostyku. Tento model, vycházející z předpokladu dokonale hladkých a tuhých těles, popisujerealitu s dostatečnou přesností pouze pro omezený okruh reálných případů:a) Pro nepohyblivě uložená tělesa a soustavy těles u kterých relativní pohyb ve styku nemůženastat a tedy nemůže dojít ani k jeho ovlivňování.b) Pro tvrdé, tuhé, leštěné a dobře mazané povrchy ve stykových útvarech pohyblivě uloženýchtěles a jejich soustav – hranice klidové stability a mechanická práce potřebná krealizaci pohybu jsou malé a lze je z hlediska silového působení považovat za nevýznamné.Z každodenní praxe však víme, že ve většině případů pohyblivého uložení těles a jejichsoustav relativní pohyb umožněný geometrií styku nastane, až působící hnací síla dosáhne určitéhodnoty. Charakter pohybu je významně ovlivněn podmínkami ve styku a závisí na polozenositelky, velikosti a směru působení této síly. V těchto případech není styk NNTN použitelnýmvýpočtovým modelem (např. řešení pohybu dopravních prostředků – pokud se při náledírealita blíží k vlastnostem ideálně hladkých vazeb, pak je to vyjímečný a zcela nežádoucí stav).Pro popis reálného ovlivňování pohybu je nutno použít model styku NNTP, který zahrnujepodstatné vlastnosti reálného jevu.Je známo, že o podmínkách ve styku těles rozhodují významně takové vlastnosti, kterélze jen obtížně vyjádřit měřitelnými veličinami. Jsou to především:1. Konkrétní tvar a rozměry jednotlivých mikronerovností ve stykovém útvaru Γ s . Obvyklemáme k dispozici jen statistické údaje o technologii opracování a kvalitě povrchu tělesa(drsnosti), avšak konkrétní tvar a rozměry mikronerovností v určitém místě stykuneznáme.2. Mechanické vlastnosti mikroobjemů materiálů těles v kontaktu (typ a struktura materiálu,velikost zrn, existence grafit. částic a jejich tvar a rozložení, póry, oxidy a pod.).3. Lokální elastické a plastické deformace vznikající v mikroobjemech Γ s (podstatné přismýkání) a makroobjemech Γ s a blízkého okolí (podstatné při valení) a porušování mikronerovností(viz. úlomky kovu v oleji po záběhu motoru).4. Vznik studených spojů (mikrosvarů) při lokálním ohřevu a jejich následné porušování.5. Přítomnost jiných látek ve styku (maziva, oxidy, nečistoty).6. Teplota – významně ovlivňuje mechanické vlastnosti materiálů těles i vlastnosti maziv.V průběhu provozu dochází ke změnám, tento proces bývá označován jako zabíhání.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 131Z uvedeného je zřejmé, že obecně se jedná o složitý komplexní problém a že na tétorozlišovací úrovni je jeho praktické řešení nemožné. Cílem statického řešení je však „pouzeurčit, jak uvedené vlastnosti styku ovlivní pohyb tělesa (nebo soustavy těles) jako celku. Ztohoto hlediska je efektivní fenomenologický popis sledovaného jevu t.j. popis toho, jak seexistence lokální deformace a porušování v Γ s a jeho okolí jeví z hlediska ovlivnění pohybutělesa.Shrnutí:a) Podstatou ovlivňování relativního pohybu stýkajících se těles je existence lokální deformacetěles ve stykovém útvaru Γ s a jeho blízkém okolí a porušování mikronerovností v Γ s ,což se ve vztahu k pohybu těles jeví jako odpor proti pohybu.b) Protože toto ovlivňování působí vždy proti relativnímu pohybu v Γ s , nesmí informace orelativním pohybu při řešení nikdy chybět !!Vyšetřováním podmínek ve styku těles se zabývá tribologie. Vzhledem k obtížnosti popisumikrostruktury stykové plochy je v tribologii základem experimentální přístup, zpracovánívýsledků měření a jejich zobecnění. Elementární experimenty, týkající se smýkání a valení těles,byly zmiňovány již při studiu fyziky na střední i vysoké škole. Závažnost problematiky všakvyžaduje, abychom základní znalosti zopakovali, rozšířili a zobecnili na úrovni studia strojníhoinženýrství. Proto znovu podrobněji popíšeme dva experimenty, při nichž je vyšetřovánpřechod hranolu (posuvná vazba) a válce (obecná vazba) z klidu do pohybu na vodorovnépodložce, s cílem analyzovat a určit závislost mezi složkami stykových výslednic.10.1.1 Experiment, jeho vyhodnocení a zobecnění výsledkůPřed vlastní realizací experimentu je nutno naplánovat a připravit vše, co s ním souvisí. Je topředevším:- výroba vzorků z určitých materiálů, určité drsnosti a čistoty kontaktních ploch, zajištěnípodmínek opakovatelnosti experimentu- příprava měřicí techniky- příprava vyhodnocení měření- provedení experimentu za definovaných podmínek- vyhodnocení měření a analýza výsledků- zobecnění výsledků a návrh teorie použitelné pro výpočtové modelováníPrůběh a vyhodnocení experimentu s hranolem:1. V první části experimentu (jeho uspořádání viz obr. 10.1a) při F 1 = konst (přítlačnásíla) a a = konst zkoumáme vliv velikosti hnací síly F na pohybový stav tělesa. Řídícíveličinou je velikost síly ⃗ F , kterou měníme tak, aby hranol přešel z klidu do rovnoměrnéhopřímočarého pohybu. Zvětšujeme (dostatečně pomalu) velikost F = var (akční veličina) aměříme rychlost pohybu hranolu ⃗v. Charakteristické pohybové stavy a výsledky této částiexperimentu jsou znázorněny v obr. 10.1b. Silové poměry ve styku určíme z rovnic statickérovnováhy uvolněného hranolu (na obr. 10.2 je znázorněn pohybový stav v = konst).

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 132Obr. 10.1:a) Při F = F t < F T,o je v = 0 – těleso je v klidu, dosud nebyla překonána hraniceklidové stability. Velikosti sil F a F 1 za klidu jsou na sobě nezávislé a po dosazení dopodmínek SR hranolu je zřejmé, že rovněž velikosti normálné a tečné složky stykovévýslednice na sobě nezávisejí, tedy F t ≠ g(F n )b) Při dosažení F = F T,o byla právě překonána hranice klidu a pohybu – začíná pohybv = 0 + . Přechod z klidu do pohybu je nestabilní. V této fázi pohybu existuje přechodováoblast, v níž se velikost hnací síly F = F T,v , potřebná k udržení dosaženéhorovnoměrného pohybu tělesa rychlostí v = konst ≠ 0, náhle a významně mění.c) Jestliže nastal rovnoměrný makroskopický pohyb v = konst, je velikost hnací sílypotřebná k jeho udržení menší než pro jeho realizaci F = F T,v < F T,o .Rovnice statické rovnováhy:F x : F − F AT = 0 =⇒F AT = FF y : F An − F 1 = 0 =⇒F 1 = F AnM zO : −F a − F 1 b + F An x = 0 =⇒x2. Předchozí měření opakujeme pro a = var(parametrická veličina) abychom zjistili,jak hranici klidové stability a pohybovýstav tělesa ovlivní změna polohy nositelkyhnací síly. Výsledky experimentu lze znázornitgraficky (obr. 10.3c). Pokud je a

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 133stavu. Z výsledků měření, které lze opět znázornit graficky (v obr. 10.1c je znázorněnstav v = konst ≠ 0), vyplývá, že za pohybu existuje závislost F = g(F 1 ) a (po dosazeníze SR hranolu) tedy i závislost mezi normálnou a tečnou složkou stykové výsledniceF T = g(F n ). Výsledky experimentu lze s dostatečnou přesností aproximovat lineární závislostíF T = konst · F n vyjadřující, že třecí síla F T (což je tečná složka stykové výsledniceza pohybu) je veličina úměrná normálné složce F n .Zobecnění výsledků a formulace teorie coulombovského smykového třeníZ výsledků experimentu vyplývá:1. Mezi velikostí hnací síly ⃗ F a pohybem tělesa platí tyto relace:- je-li F < F T o – těleso je v klidu- je-li F = F T o – začíná pohyb tělesa (přechodová oblast mezi klidem a pohybem)- je-li F = F T v – rovnoměrný pohyb tělesa v = konst- je-li F > F T v – nerovnoměrný pohyb tělesa v ≠ konst2. Orientace síly ⃗ F a pohybu tělesa ⃗v jsou vždy shodné. Orientace třecí síly ⃗ F T a pohybutělesa ⃗v jsou vždy opačné.3. Práce hnací síly ⃗ F se mění nevratně na teplo, což se projeví ohřevem okolí styku.4. Přechod z klidu do pohybu je nestabilní. Jakmile pohyb nastane, velikost hnací síly náhleklesá z počáteční hodnoty F = F T o a ustavuje se na hodnotě F = F T v . Tuto skutečnostznáme z praxe, jen si ji ne vždy dostatečně uvědomujeme.Po analýze výsledků experimentu lze usoudit, že rovněž v každém elementu stykovéhoútvaru Γ s hranolu a podložky (posuvná vazba) je při relativním smýkání velikost elementárnítřecí síly závislá na velikosti elementární normálné složky dF T = konst·dF n = f dF n . Veličina f,označovaná jako součinitel smykového tření (pro v = 0 + je to součinitel adheze f o a pro v ≠0 součinitel smykového tření f v , přičemž f o > f v ) v sobě zahrnuje implicitně ty podstatnévlastnosti a podmínky styku v daném elementu Γ s , které nejsou zahrnuty v modelu geometriestyku (uvažujícím rovinné a geometricky dokonalé povrchy). Třecí síla je vždy orientována protipohybu t.j. ⃗e FT = −⃗e v . Předchozí vztahy, formulované pro elementární síly (lokální veličiny),jsou obecně platné pro všechny případy vzájemného smýkání i ve vazbách jiné geometrie Γ s (k.d.obecná, k.d. rotační, pásové tření atd.), zatímco charakter závislostí mezi složkami stykovýchvýslednic (globální veličiny) je geometrií Γ s ovlivněn (viz. jednotlivé k.d. dále uvedené).Závěry:a) Hranol i podložka mají v kontaktu mikroskopicky drsný povrch. Makroskopicky je stykovýútvar Γ s rovinný s velkou stykovou plochou. Důsledkem toho je malý stykový tlak anevýznamná makroskopická deformace Γ s a jeho okolí. Podstatou pasivního odporu přismýkání hranolu je proto deformace a porušování mikronerovností v Γ s .b) Coulombovské smykové tření je definováno pouze za pohybu, za klidu působí v kontaktutečná složka stykové síly, která je nezávislá na složce normálné a je určována ze statickýchpodmínek.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 134c) Coulombovské smykové tření je definováno pro elementární síly. Jsou to lokální veličiny,podmínky ve styku (charakterizované velikostí lokálního součinitele smyk. tření f) semohou místo od místa měnit. Vztah F T = f F n není definičním vztahem pro coulombovskésmykové tření a je použitelný pouze pro některé typy vazeb (obecná, posuvná). V tomtovztahu veličina f představuje globálního součinitele smykového tření a vyjadřuje středníhodnotu součinitele v Γ s . Je zřejmé, že:- hodnota coulombovského součinitele smykového tření f [−] významně závisí na materiálechtěles, drsnosti kontaktních ploch, přítomnosti cizích látek v kontaktu, mazánía teplotě v Γ s- hodnota coulombovského součinitele smykového tření f nezávisí na velikosti přítlačnésíly a na velikosti plochy Γ s . Proto ani velikost třecí síly nezávisí na velikosti plochyΓ s .- hodnoty součinitele smykového tření se pohybují v řádech 10 −2 až 10 −1 (orientačněz technických příruček např. pro ocel-led 0,02 , ocel-bronz 0,1 , ocel-ocel 0,15 , ocelosinek0,3 , ocel-pryž 0,7 , pryž-asfalt 0,8)- při výpočtovém řešení je nutno vždy uvážit možnost odchylek hodnoty součinitelesmykového tření od tabulkových hodnot uváděných v technické literatuřed) Podmínku ⃗e FT = −⃗e v je nutno při řešení vždy respektovat. Proto při uvolnění těles jenutno vždy správně vyznačit směr relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách.Průběh a vyhodnocení experimentu s válcem:Obr. 10.3:1. Podobně jako u hranolu vyšetřujeme v první části experimentu (uspořádání viz. obr.10.14b) při F 1 = konst (přítlačná síla) a a = konst vliv velikosti hnací síly F na pohybovýstav tělesa (viz. obr. 10.14c). Zvětšujeme (dostatečně pomalu) velikost F = var (akčníveličina), sledujeme charakter pohybu válce a měříme jeho parametry. Pohybový stav jev tomto případě závislý nejen na velikosti akční síly F , ale i na vzdálenosti její nositelkyod místa kontaktu. Je-li vzdálenost a < a v pak nastává po překonání hranice klidovéstability smýkání válce po podložce rychlostí v = v A ≠ 0, při a ≥ a v nastává valenív ≠ 0 (při něm relativní rychlost v místě kontaktu A je v A = 0). Bod A je výpočtovýmmodelem Γ s z hlediska geometrie obecné vazby. Mezní hodnotu a = a v budeme vyšetřovatve druhé části experimentu. Výsledky první části experimentu jsou znázorněny v obrázkuobr. 10.14c. Z jejich analýzy lze vyvodit následující závěry:

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 135a) Klidový stav válce:- při a < a v a F < F mez = F T,o válec setrvává v klidu, nebyla překonána hraniceklidové stability a v = 0. Stejně jako u hranolu jsou velikosti sil F a F 1 za kliduna sobě nezávislé a po dosazení do podmínek SR je zřejmé, že rovněž velikostinormálné a tečné složky stykové výslednice na sobě nezávisejí F t ≠ g(F n ).- při a ≥ a v válec setrvává v klidu při F < F mez , přičemž mezní hodnota sílyF mez , odpovídající překonání hranice klidové stability pro valení, je menší nežv předchozím případě smýkání, t.j. F mez < F T,o . Velikosti sil F a F 1 za klidujsou opět na sobě nezávislé a po dosazení do podmínek SR válce rovněž velikostinormálné a tečné složky stykové výslednice na sobě nezávisejí F t ≠ g(F n ).b) Pohyb válce po překonání hranice klidové stability:- při a < a v a dosažení F = F T,o byla právě překonána hranice klidu a pohybu anastává smýkání válce po podložce rychlostí v = v A = 0 + . Stejně jako u hranoluexistuje na hranici klidu a pohybu přechodová oblast, v níž se velikost hnacísíly F = F T,v , potřebná k udržení rovnoměrného pohybu tělesa rychlostí v =v A = konst ≠ 0, významně mění. Jestliže již nastal rovnoměrný makroskopickýpohyb, je velikost hnací síly potřebná k jeho udržení menší než k jeho realizaciF = F T,v < F T,o .Obr. 10.4:- při a ≥ a v a dosažení F = F mez začíná valení válce ω = 0 + (tomu odpovídárychlost obecného bodu válce v = 0 + ). Přitom nedochází k relativnímu pohybuv kontaktním bodě A, t.j. v A = 0. Přechod z klidu do pohybu je rovnoměrný (narozdíl od případu smýkání). Při valení dochází k deformaci těles (válce a podložky)v místě styku. V obr. 10.4a je pro názornost naznačena pouze deformacepodložky. Mezní velikost síly F = F mez je v tomto případě závislá na poloze jejínositelky a. Tato závislost bude vyšetřována v následující části experimentu.Rovnice statické rovnováhy (viz obr. 10.4):F x : F − F At = 0 =⇒F At = FF y : F An − F 1 = 0 =⇒F An = F 1M zA : −F a + F An x = 0 =⇒F An x = F a = konst , =⇒ x = konst = e2. Předchozí měření opakujeme pro a = var abychom zjistili, jak změna polohy nositelkyhnací síly ovlivní hranici klidové stability a pohybový stav tělesa. Výsledky experimentulze znázornit graficky (obr. 10.3c).

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 136a) Pokud je a < a v , nastává smýkání válce po podložce a stejně jako u hranolu velikostsíly F T,o i F T,v nezávisí na poloze nositelky a.b) Při a ≥ a v dochází k valení válce po podložce a naměřené výsledky lze aproximovathyperbolickou závislostí F · a = konst3. Podobně jako u hranolu nás opět zajímá přechod z klidu do pohybu v = 0 + resp. udržovánírovnoměrného pohybu v = konst při smýkání nebo analogické stavy ω = 0 + resp. ω =konst při valení. V obou případech postupně měníme velikost přítlačné síly F 1 = var aurčujeme velikost F potřebnou k realizaci požadovaného pohybového stavu. Z výsledkůměření lze vyvodit následující závěry:- při a < a v za pohybu nastává smýkání (stejně jako u hranolu). Mezi složkami silovéstykové výslednice existuje již uváděná lineární závislost F T = konst · F n = f F n .- při a ≥ a v nastává valení a naměřené výsledky lze aproximovat závislostí F ·aF 1=konst = e. Momentová podmínka SR válce M A −M vA = 0 vyjadřuje rovnováhu mezihnacím momentem M A = F · a a pasivním odporem proti pohybu M vA = F An · e.Veličina e [mm], která vyjadřuje posunutí nositelky normálné složky stykové sílyvzhledem k bodu A, je označována jako rameno valivého odporu.Zobecnění výsledků a formulace teorie tuhého valeníV případě experimentu s válcem měla styková vazba mezi válcem a podložkou charakterpodpory. Poznatky, které jsme na základě experimentu získali, zopakujeme, doplníme a utřídíme.Z analýzy průběhu a výsledků experimentu je zřejmé, že na rozdíl od smýkání je přivalení přechod z klidu do pohybu stabilní. Velikost momentu valivého odporu M ⃗ vA v podpořeA určíme ze vztahu M vA = F An e. Moment valivého odporu je vždy orientován proti pohybut.j. ⃗e MvA = −⃗e ω . Veličina e [mm], označovaná jako rameno valivého odporu, v sobě zahrnujeimplicitně ty vlastnosti styku, které nebyly uváženy v modelu geometrie stýkajících se těles(uvažujícím geometricky dokonalé povrchy a bodový kontakt). Rameno valivého odporu jeobecně závislé na materiálech těles, nerovnostech a na deformaci těles v blízkém okolí jejichstyku. Výpočtový model tuhého valení neuvažuje změnu velikosti e se zatížením t.j. e ≠ g(F n ).Hodnoty ramene valivého odporu se pohybují řádově v mezích 10 −2 až 10 1 [mm] a lze je najít vtechnických příručkách. Některé orientační hodnoty e [mm] uváděné v literatuře: kalená ocel -kalená ocel 0,01 – 0,1 , ocel - ocel 0,5 , ocel - dřevo 0,7 – 0,9 , dřevo - dřevo 0,5 – 1,5 , pneu auto- vozovka 3 – 10 (podle typu vzorku) , pneu bicykl - vozovka 2 – 5 (podle typu vzorku) atd. Přivýpočtovém řešení je nutno vždy uvážit možnost odchylek od tabulkových hodnot uváděnýchv technické literatuře.Závěr:a) Válec i podložka mají v kontaktu mikroskopicky drsný povrch, stykový útvar Γ s o maléstykové ploše můžeme z makroskopického hlediska považovat za bodový. Důsledkem tohoje velký stykový tlak a významná makroskopická deformace Γ s a jeho okolí.b) Podstatou pasivního odporu při smýkání válce, popsaného třecí silou F T = F n f, je předevšímdeformace a porušování mikronerovností. Udržování pohybu je podmíněno dodávánímmechanické energie, která se nevratně mění v teplo.c) Podstatou pasivního odporu při valení válce, popsaného momentem valivého odporuM v = F n e, je především makroskopická deformace podložky a válce v Γ s a jeho okolí.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 137Jestliže dochází k valení, musíme tělesu dodávat mechanickou energii, která se v místěstyku mění nevratně na teplo a zbytkovou energii napjatosti akumulovanou v tělesech.d) Mezi velikostí momentu hnací síly M A = F a k bodu dotyku A a pohybem tělesa přivalení platí tyto relace:- je-li F a < F 1 e (při F < F 1 f o ) – těleso je v klidu ω = 0- je-li F a = F 1 e (při F < F 1 f o ) – začíná valení tělesa ω = 0 +- je-li F a = F 1 e (při F < F 1 f v ) – rovnoměrné valení tělesa ω = konst- je-li F a < F 1 e (při F < F 1 f v ) – nerovnoměrné valení tělesa ω ≠ konste) Pasivní účinky jsou vždy orientovány proti pohybu tělesa.10.1.2 Obecné závěry vyplývající z experimentů a z praxeV historii mechaniky byly popsané experimenty mnohokrát opakovány a o pravdivosti tvrzeníz nich vyvozených se lze přesvědčit improvizovanými pokusy a pozorováním jevů probíhajícíchkolem nás. Prokázaly, že je-li silové působení ve směru geometricky možného pohybu z hlediskařešeného problému podstatné, pak pro popis silových podmínek ve styku, které jsou významnězávislé na charakteru pohybu, musíme použít model NNTP.V úvodní kapitole byly podstatné vlastnosti stykových vazeb NNTP formulovány doaxiomu o styku těles, vyjadřujícího, že relativní pohyb v každém bodě Γ s zatíženého stykutěles:a) je omezen ve směru normály v důsledku neprostupnosti tělesb) jeho ovlivňování v tečném směru závisí na podmínkách ve stykuc) jeho udržení vyžaduje dodávání mechanické práce, která se nevratně mění v teplo.10.2 Aplikace teorie coulombovského smykového třenía tuhého valeníZákladní vztahy silového působení pro nejjednodušší modely NNTP styku t.j. coulombovskétření a tuhé valení jsme vymezili v předchozím odstavci. Dále se budeme zabývat uvolněnímzákladních stykových vazeb s uvážením uvedených modelů styku. Vzhledem k tomu, že silovépůsobení v těchto případech významně závisí na charakteru pohybu, musíme při uvolňovánívazeb uvažovat konstrukční provedení vazby a uložení tělesa, které jsou z hlediska pohybupodstatné.10.2.1 Posuvná vazbaVazba mezi hranolem a podložkou u experimentu měla charakter jednostranné posuvné vazby.V případě jednostranné posuvné vazby může z pohybového hlediska nastat klid nebo smýkánínebo může dojít ke změně charakteru vazby (na obecnou při překlápění hranolu), případně i kezrušení kontaktu. Funkční posuvná vazba odnímá tělesu dva stupně volnosti. Dále jsou uvedena

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 138Obr. 10.5: Uvolnění posuvné vazbyuvolnění tělesa vázaného posuvnou vazbou (obr. 10.5) a odpovídající vztahy a závislosti propohybové stavy klidu v = 0 a smýkání konstantní rychlostí v = konst.Pohybový stavklidsmýkáníPočet odebíraných stupňů volnostiζ = 2Množina NPNP = {F At , F An , x} NP = {F An , x}µ = 3 µ = 2Styková závislostneexistujeF AT = f F AnPodmínky realizace pohybového stavuF = F At < f F Anx < lF An tlakováF = F AT = f F Anx < lF An tlaková

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 139Nositelka výsledné stykové síly svírá s normálouke stykové ploše úhel ϕ tak, že její tečná složkapůsobí proti pohybu. To platí i pro každou elementárnísílu v elementu stykové plochy. Třecí úhel určímeze vztahu ϕ = arctan F ATF An= arctan f, viz obr.10.6.10.2.2 Těleso uložené v klínové drážceZabývejme se případem, kdy je těleso se základnímtělesem vázáno posuvně, přičemž stykovou plochuObr. 10.6:tvoří klínová drážka (vedení stolů obráběcích strojůatd.) viz. obr. 10.7a. Cílem je odvození vztahu propotřebnou velikost hnací síly F ⃗ působící na dané nositelce, má-li se těleso v drážce posouvatkonstantní rychlostí v = konst. Uvažme stejnou hodnotu součinitele smykového tření vobou podoblastech styku f = konst. Geometrická konfigurace a zatížení jsou zřejmé z obrázku.Podmínky statické rovnováhy uvolněného tělesa (viz obr. 10.7b):Obr. 10.7:F x : F n1 cos α 1 − F n2 cos α 2 = 0F y : F n1 sin α 1 + F n2 sin α 2 − F Q = 0F z : −F + (F n1 + F n2 )f = 0Vhodnými algebraickými úpravami obdržíme z první a druhé rovnice rovnováhy obdržímeF n1 = F Qcos α 2sin(α 1 + α 2 )F n2 = F Qcos α 1sin(α 1 + α 2 )Po dosazení do silové podmínky rovnováhy ve směru osy z dostáváme:F = F Q f cos α 1 + cos α 2sin(α 1 + α 2 )Tento vztah lze formálně upravit na tvar F = F Q f T , kde veličina f T = f cos α 1+cos α 2sin(α 1 +α 2je označovánajako součinitel tření v klínové drážce. Je zřejmé, že veličina f T je závislá na součiniteli)smykového tření f a geometrii drážky.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 14010.2.3 Pásové třeníPři pohybu lan, řemenů, ocelových pásů po zakřiveném povrchu těles dochází ve stykovýchplochách ke smýkání, které označujeme jako pásové nebo vláknové tření (viz. smýkání lanapo pevné kladce, pásové brzdy atd.). Vztah pro vláknové tření odvodíme pro dokonale ohebné,neprodlužitelné vlákno pohybující se po vypouklé ploše tělesa konstantní rychlostí. Tíha vláknavzhledem k ostatním silám je nepodstatná. Hodnotu součinitele smykového tření v celém kontaktupředpokládáme konstantní. Při popsaném rovnoměrném pohybu vlákna je každý jehoelement ve statické rovnováze. Vztah pro vláknové tření odvodíme z podmínek statické rovnováhyuvolněného elementu viz obrázek obr. 10.8.Obr. 10.8:F x : (F + dF ) cos dψ 2 − F cos dψ 2 − dF T = 0F y : dF n − (F + dF ) sin dψ 2 − F sin dψ 2 = 0dF T = f dF nPo dosazení cos dψ .= 1, sin dψ 22vyšších řádů obdržíme:}dF − f dF n = 0dF n − F dψ = 0Podmínkou rovnoměrného pohybu pásu je.= dψ , algebraických úpravách a vyloučení diferenciálních veličin2dF − f F dψ = 0F 2 = F 1 e αf∣dF ∣∣∣ = fdψ ∫2Fln F 2F 1= fαJe zřejmé, že poměr sil F 2 /F 1 je závislý pouze na hodnotě součinitele smykového tření f a naúhlu opásání α. Pro F 2 /F 1 < e αf relativní pohyb v kontaktu nenastane, při F 2 /F 1 > e αf nenípohyb pásu rovnoměrný.1

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 14110.2.4 Radiální čepy – rotační vazbaZákladní poznatky o výsledném silovém působení v posuvné vazbě a v podpoře jsme získalivyhodnocením a zobecněním výsledků experimentu, provedeného na úrovni výsledného silovéhopůsobení. Modelovými stykovými útvary Γ s těchto vazeb jsou oblast rovinná resp. bod, realitusmýkání v těchto vazbách lze s dostatečnou přesností popsat s použitím modelu coulombovskéhosmykového tření. Efektivní uvolnění těchto vazeb je prováděno pro výsledné silové působení.Modelovým stykovým útvarem rotační vazby je část válcové plochy, ve které za pohybudochází mezi tělesy ke smýkání. Podstata smýkání je stejná jako u předchozích vazeb, naúrovni coulombovského smykového tření jsme ji popsali při zobecnění výsledků experimentu.Tento výpočtový model je však použitelný pouze pro řešení případů, kdy dochází ke vzájemnémukontaktu těles v Γ s a kdy čep neplave na olejovém filmu (k tomu dochází na začátkurozběhu hřídele, model nelze použít pro kluzná ložiska mazaná tlakovým olejem). Coulombovskésmykové tření použijeme pro řešení silových poměrů v rotační vazbě. Uvolnění objímky jeObr. 10.9:znázorněno na obr. 10.9b. Za předpokladu, že se objímka otáčí konstantní úhlovou rychlostíω = konst, jsme oprávněni pro řešení silových poměrů použít podmínek statické rovnováhy.∫F x : −F cos α + (p n cos ϕ + p T sin ϕ) dS = 0Γ∫sF y : F sin α + (p n sin ϕ − p T cos ϕ) dS = 0Γ∫sM zS : F a − r č p T dS = 0Γ s∫∫přičemž p T = f p n ; M č = r č p T dS = r č f p n dSΓ sΓ s

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 142Veličinu M č , která vyjadřuje výsledný pasivní účinek působícíproti pohybu v rotační vazbě, nazýváme momentem čepovéhotření radiálního čepu.Rotační vazba patří k nejběžnějším a nejvýznamnějšímvazbám ve strojírenství. Vztah pro určení momentu čepovéhotření je jednoduchý, jeho řešení však předpokládá znalost stykovéoblasti Γ s a v ní rozložení normálného tlaku p n (ϕ). Rozloženínormálného tlaku a geometrii stykové oblasti lze určit řešenímkontaktního problému, který patří k složitým úlohám mechanikytěles, přesahujícím rámec základního studia. Pro určení momentučepového tření (v rotační vazbě A, viz obr. 10.10) za podmínekodpovídajících modelu coulombovského smykového tření se používávztahObr. 10.10:M čA = F AT r č = r č F A sin ϕ č = r č f č F A = r č f č√F 2 Ax + F 2 AyOznačení veličin:M čA je moment čepového tření radiálního čepu Af č je součinitel čepového tření radiálního čepu, který závisí na součiniteli tření f a rozloženítlaku p n (ϕ). Hodnota součinitele f č je zpravidla určována experimentálněF Ax , F Ay jsou souřadnice silové stykové výslednice určované z podmínek statické rovnováhyTělesa vázaná rotační vazbou při uvažování styku NNTP mohou být v relativním kliduω = 0 nebo pohybu ω ≠ 0. Dále uvedeme uvolnění pro oba možné pohybové stavy (viz. obr.10.11).Obr. 10.11: Uvolnění rotační vazbyPohybový stavklidsmýkáníPočet odebíraných stupňů volnosti

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 143ζ = 2Množina NPNP = {F Ax , F Ay , M A } NP = {F Ax , F Ay }µ = 3 µ = 2Styková závislostneexistuje M čA = r č f č√F 2 Ax + F 2 Ay10.2.5 Axiální čepyPředpokládejme, že pro popis smýkání ve stykové plošeaxiálního čepu (obr. 10.12) je možno použít model coulombovskéhosmykového tření (dochází ke vzájemnému kontaktutěles v Γ s a čep neplave na olejovém filmu) dF T = f dF n a⃗e FT = −⃗e v . Výsledný pasivní účinek je závislý na rozloženítlaku p n (r) ve stykové ploše. Vzhledem k obtížnosti určenírozložení stykového tlaku (kontaktní problém) se ve strojírenstvípro modelování jeho rozložení běžně používají dáleuvedené vztahy, určené na experimentálním základě a provozníchzkušenostech:p n = konst u nezaběhaných čepůp n · r = konst u zaběhaných čepůa) Nezaběhaný čep:F Qp n =π(r2 2 − r1) = konst2dS = 2π r dr, dF n = 2π r dr p ndM č = dF T r = f dF n r = 2r2 dr F Q fr2 2 − r12M č =∫ r 2r 1dM č = 2F Q fr 2 2 − r 2 1∫ r 2r 1r 2 dr = 2 3 F Q f r3 2 − r 3 1r 2 2 − r 2 1Obr. 10.12:

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 144b) Zaběhaný čep:p n r = konst = K∫ r 2F Q = 2π r dr p n = 2π K (r 2 − r 1 )r 1F Qodtud K = p n r =2π (r 2 − r 1 )dM č = dF T r = f r dF n = f r p n 2π r dr = f r 2π K drM č =∫ r 2dM č = F Q f2(r 2 − r 1 ) (r2 2 − r1) 2 = F Q f r 1 + r 22r 1Z předchozích vztahů je zřejmé, že pasivníodpor, charakterizovaný momentem čepového třeníM č , je závislý na součiniteli smykového tření f,na rozložení stykového tlaku p n a na geometriičepu (čep s vybráním nebo bez něj). Odvozenévztahy lze zobecnit do tvaruM č = F Q f č r čv němž veličina f č , která závisí na součiniteli smykovéhotření a rozložení stykového tlaku p n (r), jeoznačována jako součinitel čepového tření axiálníhočepu a veličina r č závisí na geometrii čepu.10.2.6 Šroubová vazbaCílem výpočtového řešení je určení potřebné velikostimomentu silové dvojice, která vyvolá otáčeníšroubu uloženého v nepohyblivé matici a zatíženéhoosovou silou ⃗ F , konstantní úhlovou rychlostí.Výsledný pasivní účinek je závislý na konkrétnímprovedení profilu závitu, kterým je ovlivněnageometrie styku a rozložení stykového tlaku.Ilustrativní ukázku odvození provedeme pro trapezovýprofil závitu za předpokladu rovnoměrnéhorozložení tlaku ve stykové ploše. Uvolněnístyku elementu šroubu (při zvedání) je znázorněnona obrázku obr. 10.13. Podmínky statickérovnováhy elementu v souřadnicovém tvaru:Obr. 10.13:F x : dF − dF T cos α − dF n sin α = 0F y : −dF Q + dF n cos α − dF T sin α = 0

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 145Po dosazení za dF T = f dF n a jednoduché algebraické úpravě obdržíme:f cos α + sin αdF = dF Qcos α − f sin α = dF f + tan αQ1 − f tan α == dF Qtan ϕ + tan α1 − tan ϕ tan α = dF Q tan(α + ϕ)Analogicky při spouštěnídF = dF Q tan(α − ϕ)Potřebnou velikost hnacího momentu pro rovnoměrné zvedání (index 1) resp. pro rovnoměrnéspouštění (index 2) určíme ze vztahu∫M 1,2 =F Q0r s tan(α ± ϕ) dF Q = r s F Q tan(α ± ϕ)Ze vztahu vyplývá, že je-li α < ϕ, pak tan(α − ϕ) < 0 a M 2 < 0. Při spouštění tedymusí působit hnací silová dvojice M 2 orientovaná ve směru požadované rotace šroubu. Pokudje M 2 = 0 pak pohyb nenastává t.j. nedochází k samovolnému spouštění. V těchto případechšroubovou vazbu označujeme jako samosvornou.10.2.7 Obecná vazba – podporaJe-li těleso vázáno k jinému tělesu vazbou typu podpora, pak v podpoře může nastat klid,smýkání, valení nebo ztráta kontaktu (podmíněná funkčnost podpory). Skutečný pohybový stavtělesa závisí na jeho uložení (charakterizovaném množinou všech jeho stykových vazeb s okolím)a na silovém působení na ně. Jestliže v podpoře nastává smýkání, pak vazba odnímá tělesu jedenstupeň volnosti, v případě valení dva, protože otáčení tělesa kolem osy z a jeho posuv ve směruosy x jsou vzájemně lineárně závislé. Tato závislost je popsána vztahem ⃗v = ⃗ω × ⃗r. Uvolněnítělesa pro jednotlivé pohybové stavy (viz. obr. 10.14) a statické výpočtové řešení provedeme zapředpokladu, že buď je těleso v klidu (v = 0 a ω = 0), nebo se pohybuje konstantní rychlostí(v = konst a ω = 0 resp. v = 0 a ω = konst při smýkání, nebo ω = konst a v = ω r při valení).Obr. 10.14: Uvolnění obecné vazbyPohybový stav

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 146klid smýkání valeníPočet odebíraných stupňů volnostiζ = 1 ζ = 2Množina NPNP = {F At , F An , x} NP = {F An , x} NP = {F An , F At }µ = 3 µ = 2 µ = 2Styková závislostneexistuje F AT = f F An M vA = F An ePodmínky realizace pohybového stavuF < F AT = F An f x < e F At < F AT = F An fF a < F An e = M vA F An tlaková F An tlakováF An tlakováPři uvolňování vazby na začátku výpočtového řešeníještě nevíme, jaký pohybový stav ve vazbě reálně nastane.Je-li z hlediska uložení tělesa možné valení, pak je předpokládáme.Při běžných podmínkách ve styku je valení pravděpodobnějšínež smýkání. Po určení neznámých parametrů musímevždy zkontrolovat splnění podmínky předpokládanéhopohybového stavu – v tomto případě valení. Podmínka valeníObr. 10.15:má tvar F At < F AT = f F An . V případě, že podmínka nenísplněna, musíme řešení opakovat s předpokladem smýkání. Vpřírodě jde výběr reálného pohybového stavu cestou minimamechanické energie potřebné k realizaci pohybu. Reálně nastaneten z geometricky možných pohybových stavů, který pro svoji realizaci potřebuje méněmechanické práce.Je-li v podpoře možné pouze smýkání (viz obr. 10.15 v podpoře A), pak vyosení xnositelky normálné síly je u většiny případů z hlediska řešeného problému nepodstatné a lze jezanedbat.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 14710.3 Statická rovnováha pohyblivě uloženého tělesaPři pohyblivém uložení má těleso i = i v − ( ∑ ζ i − η) > 0 stupňů volnosti. Základní statickouúlohou je řešení SR tělesa pro případy kdy:- nebyla dosažena hranice klidové stability a těleso setrvává v klidu (v = 0, ω = 0)- po překročení hranice klidové stability právě nastal pohyb (v = 0 + , ω = 0 + )- má být udržován rovnoměrný pohyb (v = konst, ω = konst)Analyzujme možné případy pohyblivého uložení tělesa i > 0 (pro jednoduchost se zaměřímena rovinné úlohy):a) Rotační vazba (kdr – ζ = 2 → i = 1) – tento případ byl řešen při výkladu rotační vazby.b) Posuvná vazba (kdp – ζ = 2 → i = 1)- Jednostranná (podmíněně funkční) – tento případ byl řešen při výkladu posuvnévazby.- Oboustranná (vždy funkční) – praktickým případem této vazby je smykadlo (obr.10.16a), používané běžně v praktických strojírenských aplikacích.Obr. 10.16:Cílem statického řešení je určení potřebné velikosti hnací síly ⃗ F působící na danénositelce ve směru požadovaného pohybu, aby bylo dosaženo rovnoměrné posouvánítělesa rychlostí v = konst, analýza možných pohybových stavů tělesa a jejich reálnosti.Velikost hnací síly určíme z podmínek statické rovnováhy za předpokladuf A = f B = f. Z uvolnění tělesa (obr. 10.16b) :F AT = f F An , F BT = f F BnF x : F − F AT − F BT = 0 −→ F = f (F An + F Bn )F y : F An − F Bn = 0 −→ F An = F Bn , F = 2f F BnbM zX : F AT2 − F bB T2 − F Bn l + F a = 0

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 148Po jednoduché algebraické úpravě obržíme:F Bn l = F a, F l2f = F aJe-li:a =l2fa l2f− těleso T se pohybuje rychlostí v = konst− těleso T se pohybuje rychlostí v ≠ konst− těleso T je v klidu v = 0a to při libovolné velikosti síly ⃗ F .Posledně uvedený stav, kdy pro a > l2f je těleso v klidu při libovolné velikosti síly ⃗ F ,je označován jako vzpříčení tělesa. Běžně je stav vzpříčení při provozu mechanismůnežádoucí, existují však případy pozitivního využití tohoto jevu (např. stolařskáztužidla nebo stoupací železa na sloupy el. vedení).c) Obecná vazba typu podpora (kdo – v případě valení ζ = 2 → i = 1, v případě smýkáníζ = 1 → i = 2). Oba případy byly řešeny při výkladu obecné vazby.d) Dvě podpory (ζ = 2, i = 1). Pokud jsou obě podpory zatížené (t.j. funkční) je v oboumožné pouze smýkání (viz obr. 10.15 u výkladu obecné vazby) a vyosení nositelky normálnésíly je u většiny případů z hlediska řešeného problému nepodstatné. Pokud jefunkční jen jedna z podpor, je pravděpodobné překlápění tělesa kolem ní t.j. valení. Přivýpočtovém řešení je nutno vždy provést kontrolu stykových podmínek v jednotlivýchpodporách a rozhodnout o reálnosti předpokládaného pohybového stavu tělesa. Při pokusuo řešení SR tělesa, uloženého pohyblivě na dvou podporách, za klidu t.j. pro v = 0zjistíme, že v tomto případě není splněna nutná podmínka statické určitosti úlohy vyžadujícíaby µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M . Tento poznatek lze zobecnit a konstatovat: zaklidu vede řešení SR tělesa, vázaného více než jednou stykovou vazbou, vždy na statickyneurčitou úlohu.10.4 Statická rovnováha soustav těles s pasivními vazbamiJe zřejmé, že k ovlivňování pohybu pasivními odpory může dojít pouze u pohyblivých soustav(t.j. u mechanismů, diferenciálů ...). Uvažování pasivních odporů při statickém řešení nepohyblivýchsoustav těles (např. prutových soustav) nemá smysl. Na začátku statického řešení jetedy nutno vždy analyzovat pohyblivost soustavy (provést kinematický rozbor).Při výpočtovém řešení SR soustav těles s vazbami s pasivními odpory lze rozlišit třizákladní typy úloh:1. Nenastal pohyb a při působení vnějších silových účinků setrvává pohyblivá soustava tělesv klidu. Nebyla dosud překonána hranice klidové stability a úloha řešení SR soustavy zaklidu je staticky neurčitá.2. Nastává pohyb všech pohyblivě uložených těles v soustavě a pohybový stav všech těles jejednoznačně určen (uložení neobsahuje obecnou vazbu s možností valení nebo smýkání).

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 149Cílem výpočtového řešení je:a) Určit hodnoty NP neúplně zadaných vnějších silových prvků silové soustavy π splňujícíchprávě podmínku SR soustavy těles za pohybu.b) Určit hodnoty NP neúplně zadaných stykových výslednic soustavy π r .c) Ověřit, zda požadovaný (předpokládaný) pohybový stav může reálně nastat (kontrolafunkčnosti jednostranných stykových vazeb).Algoritmus výpočtového řešení:a) Rozbor zadání, kontrola pohyblivosti soustavy těles.b) Určení charakteru relativního pohybu v jednotlivých vazbách a jeho znázornění naosamostatněných tělesech.c) Uvolnění těles při respektování relativního pohybu a orientaci jeho ovlivňování vkaždé stykové vazbě (každý pasivní odpor působí vždy proti relativnímu pohybu).d) Statický rozbor – stanovení množiny NP, použitelných statických podmínek a kontrolasplnění nutné podmínky statické určitosti úlohy.e) Sestavení soustavy statických rovnic pro určení NP, přičemž závislé parametry ZPjsou z rovnic vyloučeny s použitím stykových závislostí.f) Analýza soustavy stat. rovnic z hlediska její řešitelnosti (lineární, nelineární) a vlastnířešení jehož cílem je určení hodnot NP.g) Kontrola splnění stykových podmínek- předpokládané funkčnosti jednostranných vazeb (tlakovosti)- skutečného překonání hranice klidové stability (podmínka realizace pohybu)- skutečné orientace pasivních účinků proti pohybuh) Analýza výsledků výpočtového řešení (je značně obtížnější než při použití modeluvazeb bez pasivních odporů).3. Nastává pohyb a jednoznačně je dán pohybový stav jen některých členů soustavy. U ostatníchtěles mohou, podle skutečných podmínek ve styku, nastat odpovídající pohybovéstavy (valení nebo smýkání), které mohou ovlivnit i pohybový stav zbývajících těles soustavy.Typickým případem je uložení s obecnou vazbou (viz. dále řešené úlohy).Postup výpočtového řešení je v podstatě stejný jako v případě 2. ale:- Na začátku výpočtového řešení skutečný pohybový stav těles neznáme a musíme jejodhadnout. Aby řešení vedlo efektivně k cíli, snažíme se na základě předchozí analýzypředpokládat ten nejpravděpodobnější pohybový stav. S tímto předpokladem úlohuřešíme.- V závěru řešení však vždy musíme ověřit, zda jsou skutečně splněny všechny podmínkyrealizace předpokládaného pohybového stavu (valení nebo smýkání a funkčnostvazeb) a že tento stav pro dané podmínky ve styku reálně nastane. Lze sepřesvědčit, že je realizován pohybový stav s minimální potřebnou velikostí hnacíhosilového prvku.- Jestliže podmínky realizace jsou splněny je řešení správné a končí. Jestliže podmínkyrealizace splněny nejsou a předpoklad z úvodu řešení není potvrzen (předpokládanýpohybový stav není při daných podmínkách ve styku reálný) je nutno předpoklad opohybovém stavu změnit a provést nové řešení s následnou kontrolou.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 15010.5 Řešené úlohyAplikace teorie stykových vazeb typu NNTP a algoritmus výpočtového řešení statické rovnováhypohyblivě uložených těles a jejich soustav jsou podrobně předvedeny při řešení následujícíchpraktických úloh.P1 Po prkně přemosťujícím odpadní žlab pomalu vystupujemuž. Na základě výpočtu predikujte, zda se mu podařípřejít bezpečně na druhou stranu. V případě že ne, určetejeho polohu d v okamžiku, kdy nastane nekontrolovaný pohybprkna. Dáno: délka prkna l = 5000 mm, úhly α = 20 oa β = 30 o , tíha F Q = 800 N, součinitele smykového tření(adheze) f A = f B = 0, 4.Av A=0 +dlQObr. 10.17:• Rozbor zadání:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je jasně formulován. Problém lze modelovata řešit jako rovinný.• Možné pohybové stavy tělesa:Z praktické zkušenosti je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. V klidu setrvá pokud nebudepřekonána hranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastává pohyb. Předpokládaný( a pravděpodobný) charakter pohybu je vyznačen na obr. 10.17.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Stykové vazby A, B typu NNTP jsou podpory. Z hlediska omezování složek pohybu tělesaje podpoře přiřazena kinematická dvojice obecná – k.d.o. Funkčnost podpory je podmíněnatlakovostí stykových sil, tahové síly podpora není schopna realizovat. Nefunkční podpora pohybtělesa neomezuje. V závislosti na silových podmínkách v dané podpoře a na uložení tělesamůže ve funkční podpoře nastat klid, smýkání nebo valení. Podle charakteru realizovanéhorelativního pohybu podpora omezuje odpovídající počet nezávislých pohybových parametrů– stupňů volnosti (za klidu ζ = 3, při valení ζ = 2, při smýkání ζ = 1). Ze znázorněnéhouložení tělesa je zřejmé, že při pohybu tělesa nastane v podporách smýkání, přičemž každá znich odebere ζ i = 1 stupňů volnosti.• Kontrola pohyblivosti uložení tělesa:Pohyblivost tělesa určíme ze vztahu∑i = i v − ( 2 ζ i − η) = 3 − (1 + 1 − 0) = 1Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezenýchcharakteristik deformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – těleso se může volnědeformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení.Poznámka: Pokud není překonána hranice klidové stability tělesa, odebírá každá styková vazbaNNTP stejný počet stupňů volnosti jako vazba pevná. Pro zajištění klidového stavu (souvisí spohybem tělesa jako celku) pod hranicí klidové stability tedy postačuje právě jedna vazba. Dalšífunkční vazby již způsobují omezení druhé složky mechanického pohybu t.jḋeformace tělesa. Vdaném případě jsou za klidu omezeny tři deformační parametry (η = 3). Protože deformačnícharakteristiky ve statice nejsou určovány (je v ní formulován model tuhého tělesa s nepodstatnoudeformací), není taková úloha ve statice řešitelná. Pro řešení problémů jsou ve staticek dispozici pouze použitelné statické podmínky. Určování deformačních charakteristik těles apopis omezení parametrů deformace deformačními podmínkami bude předmětem pružnosti apevnosti.i=1Bv=0B +

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 151Po překonání hranice klidové stability nastane pohyb, který v daném případě není kontrolovanýa jeho rychlost roste. Pro řešení takového stavu nejsou statické podmínky použitelné(jsou formulovány pro rovnoměrný pohyb dv = 0). Při statickém řešení se musíme omezit nadt.stav, kdy rychlost v 0+ = 0 i zrychlenídv 0+ .= 0 jsou ještě zanedbatelně malé, t.jṅa stav nadthranici klidu a pohybu. Určování parametrů pohybu tělesa v závislosti na silovém působeníbude předmětem dynamiky.• Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněnýchstykových vazbách, volba vhodného souřadnicovéhosystému:Při uvolnění tělesa (obr. 10.18) je třeba správně vyznačitpředpokládaný (pravděpodobný) směr relativního pohybuv každé uvolněné stykové vazbě NNTP. Pasívní účinky působívždy proti pohybu !! Důsledkem jejich nesprávné orientaceje zásadní chyba v řešení !!yF BTBxQAF BnF ATF v A=0 An +zObr. 10.18:• Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných (zde neúplně – neznáme polohunositelky) silových prvků π představuje síla ⃗ F Q , soustavu neúplně zadaných výslednic π Rv uvolněných stykových vazbách (neznáme souřadnice sil) představují síly ⃗ F A , ⃗ FB . Množinaneznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π ∪ π R , působící na uvolněné těleso, jeNP = {F An , F Bn , d}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = 2 + 1 + 0 = 3.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovatjako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν =ν F + ν M = 2 + 1 = 3.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3=3 a 1=1.Poznámka: Pokud není překonána hranice klidové stability, jsou složky stykových výslednic nasobě nezávislé. Pak množina NP obsahuje µ = µ f + µ r + µ M = 4 + 2 + 0 = 6. Protože charaktersilové soustavy π ν a použitelné podmínky SR se nemění, není nutná pomínka statické určitostisplněna a míra statické neurčitosti je s = µ − ν = 6 − 3 = 3. Za klidu je tedy úloha třikrátstaticky neurčitá a ve statice ji nelze řešit.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Tyto závislosti popisují vztah mezi nezávislými (NP) a závislými (ZP) parametry stykovýchvýslednic v jednotlivých vazbách za pohybu. V našem případě se jedná o vztahy pro smykovétření (coulombovské)F AT = F An · f A a F BT = F Bn · f B• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí sty-v B=0 +

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 152kových závislostí obdržíme soustavu statických rovnic pro NPF x : F An f A + F Bn (f B cos β − sin β) = 0F y : F An + F Bn (f B sin β + cos β) − F Q = 0M zA : F Bn l [sin α (sin β − f B cos β) + cos α (f B sin β + cos β)] − F Q d cos α = 0• Řešení soustavy statických rovnic:V současné době je na fakultě běžně k dispozici software pro personální počítače, použitelný křešení soustav ať lineárních nebo nelineárních rovnic. Při řešení všech následujících úloh budepředpokládáno jeho využití. Jednodušší úlohy je možno řešit i pomocí kapesní kalkulačky. Vdaném případě je soustava statických rovnic lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešeníobdržíme následující hodnoty NP: F An = 211, 8 N, F Bn = 551, 7 N, d = 3869 mm.• Závěr:Z výpočtového řešení vyplývá, že v daném případě není možné po prkně přejít bezpečně nadruhou stranu překážky. Při překonání vzdálenosti d < l nastává pohyb.P2 Pro známou hodnotu součinitele adheze f o (stejnoupro obě stykové vazby A, B) určete výpočtově krajnírovnovážné polohy (t.j. interval hodnot úhlu α), kdyhomogenní tyč znázorněná na obr. 10.19, setrvá v klidu.Zadané vstupní hodnoty: l = 1000 mm, a = 200 mm,F G = 100 N, f A = f B = 0, 27.• Rozbor zadání, možné pohybové stavy tělesa:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení jeObr. 10.19:zadán. Problém lze řešit jako rovinný. Těleso, které jeuloženo pohyblivě, setrvá v klidu v případě, kdy tečné složky stykových sil budou menší nežtřecí síly. Při malých hodnotách součinitelů smykového tření (adheze) to nemusí být splněno prožádnou polohu tělesa, při určité úrovni součinitelů může existovat množina rovnovážných poloh,charakterizovaná intervalem hodnot úhlu α. V tomto případě nastanou po překročení mezníchrovnovážných poloh dva odlišné pohybové stavy. Po překročení krajní polohy charakterizovanémenší hodnotou úhlu α se tyč smýká po svislé stěně (vazba A) směrem nahoru, zatímco popřekročení krajní polohy charakterizované větší hodnotou úhlu α se tyč smýká směrem dolů.Statické řešení, které je možné pro stav na hranici klidu a pohybu, provedeme pro oba meznípřípady. Takto určíme hledaný interval úhlu α.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Stykové vazby A, B typu NNTP jsou podpory, které můžeme charakterizovat jako kinematickédvojice obecné. Ze znázorněného uložení tělesa je zřejmé, že při pohybu tyče nastane vpodporách smýkání, přičemž každá z nich odebere ζ i = 1 stupňů volnosti.• Kontrola pohyblivosti uložení tělesa:Pohyblivost tělesa určíme ze vztahuA∑i = i v − ( 2 ζ i − η) = 3 − (1 + 1 − 0) = 1Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezenýchcharakteristik deformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – těleso se může volnědeformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení.• Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volbavhodného souřadnicového systému:i=1aBlF G

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 153Uvolnění tyče a výpočtové řešení provedeme postupně pro oba možné případy překročení hraniceklidové stability:a) Uvolnění tyče ve spodní mezní poloze s vyznačením směru relativního pohybu v každéuvolněné stykové vazbě NNTP je znázorněno na obr. 10.20ab) Uvolnění tyče v horní mezní poloze s vyznačením směru relativního pohybu v každéuvolněné stykové vazbě NNTP je znázorněno na obr. 10.20b.yzF Anv=0 +AAF ATaxv=0BB +F BTF BnFGF AnF ATv=0 +AAav=0BB+FFBTBnF G(a)Obr. 10.20:(b)• Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Na uvolněné těleso působí v obou případech dvě silové soustavy: soustavu zadaných (zde neúplně– neznáme polohu nositelky) silových prvků π představuje síla ⃗ F G , soustavu neúplnězadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách (neznáme souřadnice sil) představujísíly ⃗ F A , ⃗ F B . Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π ∪ π R , působícína uvolněné těleso, v obou případech jeNP = {F An , F Bn , α}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = 2 + 1 + 0 = 3.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovatjako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν =ν F + ν M = 2 + 1 = 3.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3=3 a 1=1.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 154ad. a) F x: F An − F Bn (f cos α + sin α) = 0F y : − F An f − F Bn (f sin α − cos α) − F G = 0M zB : F An a (f + tan α) − F G( l2 cos α − a )= 0ad. b) F x: F An + F Bn (f cos α − sin α) = 0F y : F An f + F Bn (f sin α + cos α) − F G = 0M zB : F An a (tan α − f) + F G(a − l 2 cos α )= 0• Řešení soustavy statických rovnic:V daném případě je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešeníobdržíme následující hodnoty NP:ad. a) F An = 137, 6 N, F Bn = 187, 6 N, α = 30 o .ad. b) F An = 60, 3 N, F Bn = 99, 6 N, α = 50, 9 o .• Závěr:Z výpočtového řešení vyplývá, že množina klidových rovnovážných poloh tyče je charakterizovánaintervalem úhlu α ∈ (30 o ; 50, 9 o ).P3 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α, kdy se cívka, znázorněnána obr. 10.21 začne pohybovat. Specifikujte její pohybový stav. Je dáno:R = 200 mm, F G = 1000 N, f A = 0, 15 , e A = 0, 8 mm.• Rozbor zadání:F GZadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. ProblémA lze modelovat a řešit jako rovinný.Obr. 10.21:• Možné pohybové stavy tělesa:Z praktické zkušenosti je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebudepřekonána hranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastává pohyb.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Styková vazba A je typu NNTP. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře Apřiřazena kinematická dvojice obecná – k.d.o. V závislosti na silových podmínkách může připohybu nastat ve stykovém útvaru A smýkání nebo valení. Podle charakteru realizovanéhorelativního pohybu podpora omezuje odpovídající počet stupňů volnosti – při valení ζ = 2, přismýkání ζ = 1. Na začátku výpočtového řešení charakter realizovaného pohybu neznáme, protoje třeba jej kvalifikovaně odhadnout. Pokud se řešením potvrdí, že předpoklad o pohybu bylsprávný, řešení končí. V případě, že podmínka realizace předpokládaného pohybového stavunení splněna, je nutno předpoklad změnit a řešení provést znovu. Praxí máme ověřeno, že popřekonání hranice klidové stability nastane při běžných podmínkách ve styku valení. Podmínkourealizace valení je, aby tečná složka stykové síly, potřebná pro valení, byla menší než třecí sílat.j. F At < F AT (nepřekonána hranice klidové stability pro smýkání).R=0 +sR/2

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 155• Kontrola pohyblivosti uložení tělesa:Za předpokladu valení je pohyblivost tělesai = i v − (ζ − η) = 3 − (2 − 0) = 1Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickourovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = 0 je zřejmýz charakteru uložení – těleso se může volně deformovat. Jedná se tedyo normální stav uložení.zyxR=0 +F GM v AsAR/2F AtF AnObr. 10.22:• Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněné stykovévazbě, volba vhodného souřadnicového systému:Při uvolnění tělesa (obr. 10.22) je třeba správně vyznačit předpokládaný (pravděpodobný) směrrelativního pohybu v uvolněné stykové vazbě NNTP a zavést pasívní účinky, které vždy působíproti pohybu.• Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných silových prvků π představujesíla ⃗ F G (zde neúplně – neznáme směr nositelky síly ⃗ F G v zavedeném s.s.), soustavu neúplnězadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách představuje styková síla ⃗ F A . Množinaneznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π ∪ π R , působící na uvolněné těleso, jeNP = {F An , F At , α}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:• Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = 3 + 0 + 0 = 3.• Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovatjako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy jeν = ν F + ν M = 2 + 1 = 3.• Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3=3 a0 < 1.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:V daném případě se jedná o vztah pro valivý odpor (tuhé valení)M vA = F An · e A• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislého parametru M vA obdržímesoustavu statických rovnic pro NPF x : −F G sin α + F At = 0F y : −F G cos α + F An = 0M zA : F G R sin α − F An e A = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je v daném případě nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešeníobdržíme následující hodnoty NP: F An. = 1000 N, FAt. = 5 N, α = 0, 229 o .

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 156• Závěr:Pomocí vztahu F AT = F An f A je možno určit velikost třecí síly F AT = 150 N. Z kontrolypodmínky valení vyplývá, že relace F At < F AT je splněna a předpokládaný pohybový stavreálně nastane.P4 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α (obr. 10.23), kdy secívka, na kterou je navinuto lano vázané k základnímu tělesu, začnepohybovat. Specifikujte její pohybový stav a porovnejte výsledkys řešením předchozí úlohy. Je dáno: R = 200 mm, F G = 1000 N,f A = 0, 15 , e A = 0, 8 mm.• Rozbor zadání:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován.Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný.Rv=0 +F GsAlanoR/2Obr. 10.23:• Možné pohybové stavy tělesa:Stejně jako v předchozí úloze je těleso uloženo pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebude překonánahranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastane pohyb. Při pohybu se budeodvíjet lano navinuté na cívce, otáčející se cívka se bude smýkat po nakloněné rovině.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Styková vazba A je podpora typu NNTP, vazba B je vazba lanem, kterou lze modelovat jakovazbu NNTN. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře A i lanu B přiřazenakinematická dvojice obecná – k.d.o. Při pohybu může ve vazbě A nastat pouze smýkání, možnostvalení je vyloučena uložením tělesa a charakterem vnějšího silového působení. Možný pohybovýstav tělesa je tak jednoznačně dán.• Kontrola pohyblivosti uložení tělesa:Při smýkání ve vazbě A je pohyblivost tělesa∑i = i v − ( 2 ζ i − η) = 3 − (1 + 1 − 0) = 1Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezenýchcharakteristik deformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – těleso se může volnědeformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení.• Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněné stykovévazbě, volba vhodného souřadnicového systému:Při uvolnění tělesa (obr. 10.24) je třeba správně vyznačit předpokládaný(pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněné stykové vazběNNTP a zavést pasívní účinky, které vždy působí proti pohybu.• Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámýchnezávislých parametrů stykových výslednic:Obr. 10.24:Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných silových prvků π představujesíla F ⃗ G (zde neúplně – neznáme směr nositelky síly F ⃗ G v zavedeném s.s˙), soustavu neúplně zadanýchvýslednic π R v uvolněných stykových vazbách představují stykové síly F ⃗ A a F ⃗ B . Množinaneznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π ∪ π R , působící na uvolněné těleso, jeNP = {F An , F Bn , α}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = 3 + 0 + 0 = 3.i=1yRzxF GsAv A=0 +FAnBBR/2FFATBn

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 157- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovatjako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν =ν F + ν M = 2 + 1 = 3.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3=3 a0 < 1.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:V daném případě se jedná o vztah pro smykové tření (coulombovské)F AT = F An · f A• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislého parametru ⃗ F AT obdržímesoustavu statických rovnic pro NPF x : −F G sin α + F An f A + F Bn = 0F y : −F G cos α + F An = 0M zS : F An f A R − F BnR2 = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je v daném případě nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešeníobdržíme následující hodnoty NP: F An. = 911, 9 N, FBn = 273, 6 N, α = 24, 23 o .• Závěr:Z výsledků provedeného řešení je zřejmé, že realizace pohybu cívky vyžaduje podstatně většíúhel sklonu podložky než v předchozím případě, kdy se mohlo realizovat valení.P5 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α, kdy se dádo pohybu soustava těles, znázorněná na obr. 10.25. Nacívku je navinuto lano, které je vázáno ke kvádru. Specifikujtepohybový stav těles a porovnejte výsledky řešenís výsledky řešení předchozích dvou úloh. Je dáno:R = 200 mm, F G = 1000 N, F Q = 2000 N, f A = 0, 15 ,e A = 0, 8 mm, f C = 0, 1.• Rozbor zadání:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován.Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný.R2F GsBv=0 +lano2R3R/2 C1A Obr. 10.25:F Q2R• Možné pohybové stavy tělesa:Již z názoru je zřejmé, že soustava těles je uložena pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebudepřekonána hranice její klidové stability, po překonávání hranice nastane pohyb. Podle silovýchpodmínek ve stykových vazbách mohou reálně nastat různé pohybové stavy (například přivelkém součiniteli tření ve styku kvádru a podložky může nastat stav, kdy kvádr setrvá vklidu a lano navinuté na cívce se odvíjí, přitom otáčející se cívka se smýká po podložce).Pravděpodobným reálným pohybovým stavem při zadaných hodnotách pasívních účinků můžebýt stav, kdy se lano navíjí na cívku valící se po podložce, přičemž cívka za sebou táhne kvádr.Tento pohybový stav budeme dále předpokládat, na konci výpočtového řešení však musímeprovést kontrolu splnění podmínek jeho realizace, t.j. podmínky valení cívky a tahového silovéhopůsobení v laně.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 158• Specifikace stykových vazeb těles:Stykové vazby A (podpora) a C (jednostranná posuvná vazba) jsou typu NNTP, vazbu B(vazba lanem) lze modelovat jako vazbu NNTN. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa jepodpoře A i lanu B přiřazena kinematická dvojice obecná – k.d.o˙, posuvné vazbě kinematickádvojice posuvná – k.d.p. Při pohybu předpokládáme ve vazbě A valení (ζ A = 2), ve vazbě Csmýkání (ζ C = 2).• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy těles určíme ze vztahu∑i = (n − 1) i v − ( 3 ζ i − η) = 2 · 3 − (2 + 1 + 2 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Počet omezených charakteristikdeformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – obě tělesa se mohou volně deformovat.Jedná se tedy o normální stav uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybuv uvolněných stykových vazbách, volba2 3vhodného souřadnicového systému:R sFNejdříve zvolíme vhodný souřadnicový systém,R/2Qve kterém provedeme řešení. Pak uvolníme jednotlivátělesa soustavy, přičemž v uvolněnýchF GACstykových vazbách typu NNTP vyznačíme směrM vArelativního pohybu a zavedeme pasívní účinky,Obr. 10.26:které vždy působí proti pohybu. Uvolnění jeznázorněno na obr. 10.26. Pro výpočtové řešení použijeme zvolený souřadnicový systém O x y z.yzxBFAnFFAtBnFBn2RBFM CCnF2RCTC +Poznámka: Uvolnění všech těles a řešení SR soustavy musí být provedeno v jejich danýchpolohách a v jednom (společném) souřadnicovém systému. Formulace podmínek SR pro jednotlivátělesa v pootočených polohách nebo v rozdílných souřadnicových systémech nesplňujepodmínky axiomu o vzájemném působení (principu akce a reakce) !!• Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavyπ Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množinaneznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i ∪ π Ri , působících na uvolněnátělesa, je NP = ∪NP iNP = {F An , F At , F Bn , F Cn , M Cn , α}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP jeµ = µ f + µ r + µ M = 5 + 0 + 1 = 6.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 4 + 2 = 6.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 6 = 6 a1 < 2.v=0

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 159• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Styková závislost ve vazbě A (tuhé valení) je popsána vztahem M vA = F An·e A , styková závislostve vazbě C (coulombovské smykové tření) je popsána vztahem F CT = F Cn · f C .• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostíobdržíme soustavu statických rovnic pro NP.Těleso 2: Těleso 3:F x : F At + F Bn − F G sin α = 0 F x : − F Bn + F Cn f C − F Q sin α = 0F y : F An − F G cos α = 0 F y : F An − F G cos α = 0M zS :F At R − F An e A − F BnR2 = 0 M zS : F At R − F An e A − F BnR2 = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následujícíhodnoty NP a ZP:F An = 997, 1 N, F At = 27, 9 N, F AT = 149, 6 N, F Bn = 47, 9 N, F Cn = 1994, 2 N, F CT = 199, 4 N,M Cn = 354, 2 Nm, α = 4, 35 o .• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Z výsledků řešení vyplývá, že podmínka valení F At < F AT ve vazbě A je splněna a vazby Ba C jsou funkční. Podmínky realizace pohybového stavu, předpokládaného na začátku řešeníjsou splněny a řešení končí. Z porovnání s výsledky předchozích dvou úloh představujících dvalimitní případy řešené úlohy (kvádr neovlivňující pohyb cívky resp. nepohyblivě uložený kvádr)vyplývá, že výsledky řešení jsou reálné.P6 Při vykládání z vagonu je těžké rotačně symetrickétěleso spouštěno po podložce tak, jak je to znázorněnona obr. 10.27. Těleso je homogenní a problémse vyznačuje rovinou symetrie z hlediska geometrie astykových vazeb. Určete, jak velkou silou ⃗ F je třebapřidržovat lano, aby pohyb tělesa byl dostatečně pomalýa byly zaručeny požadované podmínky bezpečnosti.Je dáno: R = 600 mm, r = 500 mm, F G =3000 N, α = 30 o , β = 135 o , γ = 75 o , e A = 1, 5 mm,f A = 0, 3 , f B = 0, 3 (vláknové tření mezi lanem aspouštěným tělesem), f B∗ = 0, 2 (vláknové tření mezilanem a základním tělesem).BFlanoB*AF QkonstObr. 10.27:• Rozbor zadání:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém můžeme modelovata řešit jako rovinný.• Možné pohybové stavy tělesa:Je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. Zatímco podložka pohyb tělesa omezuje a ovlivňuje,

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 160lano jeho pohyb pouze ovlivňuje. Při pohybu tělesa může nastat buď smýkání nebo valení. Nazákladě praktické zkušenosti lze předpokládat, že při běžných hodnotách pasívních účinků vpodpoře A nastane s velkou pravděpodobností valení. Ve styku lana působí pásové tření, kterépohyb pouze ovlivní.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Stykové vazbě A, která je typu NNTP, je z hlediska omezování složek pohybu tělesa přiřazenakinematická dvojice obecná. Při valení odebírá ζ = 2 stupně volnosti. Po obdržení výsledkůřešení bude třeba splnění podmínky valení F At < F AT zkontrolovat! Lano B pohyb tělesa pouzeovlivňuje, proto mu neodebírá žádný stupeň volnosti.• Kontrola pohyblivosti uložení tělesa:Za předpokladu valení je pohyblivost tělesa i = i v − (ζ − η) = 3 − (2 − 0) = 1Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezenýchcharakteristik deformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – těleso se může volnědeformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení.• Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volbavhodného souřadnicového systému:Při uvolnění tělesa (obr. 10.28) je třeba vyznačit předpokládaný(pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněnýchstykových vazbách NNTP a správně orientovat pasívníúčinky. Řešení provedeme v souř. systému x y z.zyxFAtFBF B*FGBSkonstNP = {F An , F At , F }• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:M A vAFAnObr. 10.28:- Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = 3 + 0 + 0 = 3.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovatjako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy jeν = ν F + ν M = 2 + 1 = 3.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3 = 3 a0 < 1.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:V daném případě se jedná o vztahy pro valivý odpor ve vazbě A a vláknové tření ve vazbáchB a B*.M vA = F An · e A , F B∗ = F · e γf B∗, F B = F B∗ · e βf B• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislých parametrů M vA a F B∗

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 161obdržíme soustavu statických rovnic pro NP[ ]F x : F G sin α − F · e γf B∗ cos (β − π) + eβf B − FAt = 0F y : F An + F · e γf B∗· sin (β − π) − F G cosα = 0(M zS : F An e A − F At R + F · r · e γf B∗ eβf B− 1 ) = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je v daném případě lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešeníobdržíme následující hodnoty NP: F An = 2303, 8 N, F At = 362, 1 N, F = 320, 2 N.• Závěr:S využitím stykových závislostí je možno dopočítat velikosti sil F B , F B∗ v laně a velikost třecísíly F AT = 691, 1 N. Protože je splněna podmínka valení F At < F AT , byl předpoklad valenítělesa správný a řešení je skončeno.P7 Trám, položený na základním tělese a na podstavci(obr. 10.29), je třeba posunout v naznačeném směru.Určete velikost síly ⃗ F , potřebnou pro dosažení pohybua zkontrolujte pohybový stav soustavy. Překlápění podstavcepři posouvání trámu je nepřípustné. Je dáno: l =5000 mm, t = 150 mm, h = 1000 mm, b = 500 mm,v = 350 mm, F Q = 1000 N, F G = 300 N, f A = 0, 3 ,f B = 0, 2 , f C = f D = 0, 4.Fl/6 1 A l/3ll/2 l/6FQ3v1 CObr. 10.29:• Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budemepředpokládat existenci roviny symetrie a problém budeme řešit jako rovinný.Již z názoru vyplývá, že soustava je uložena pohyblivě. Při pohybu trámu může reálněnastat jeden z více možných pohybových stavů soustavy. Pravděpodobným (a požadovaným)stavem je smýkání trámu po základním tělese a podstavci, který setrvává v klidu. V závislostina silových podmínkách ve stykových vazbách však může nastat stav, při kterém se trám smýkápo základním tělese a podstavec se překlápí (jeho styk se základním tělesem ve vazbě C končía nastává valení vazbách B a D) resp. stav, kdy se podstavec spolu s trámem posouvá pozákladním tělese (relativní pohyb mezi trámem a podstavcem nenastává). Při dalším řešeníbudeme předpokládat první případ pohybového stavu, na konci řešení bude nutno zkontrolovatsplnění jeho stykových podmínek.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Všechny stykové vazby mohou být modelovány jako podpory typu NNTP a můžeme je charakterizovatjako kinematické dvojice obecné. Při předpokládaném charakteru pohybu trámunastane ve vazbách A a B smýkání (odebírají po ζ = 1 stupni volnosti), ve vazbách C a D pohybnenastává. V první fázi řešení můžeme podstavec považovat za součást základního tělesaa zabývat se pouze pohybem trámu.• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:∑Pohyblivost trámu určíme ze vztahu i = i v − ( 2 ζ i − η) = 3 − (1 + 1 − 0) = 1V předpokládaném pohybovém stavu má trám 1 o volnosti, jeho uložení je tedy pohyblivé. Početomezených charakteristik deformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – trám se může volnědeformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení.i=1BF Gb2Dth

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 162• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Jako vhodný byl pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. Uvolnění trámu s vyznačenímsměru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno naobr. 10.30.• Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikacemnožiny neznámých nezávislých parametrů stykovýchvýslednic:Na uvolněné těleso působí úplně zadaná silová soustavavnějších silových prvků π a neúplně zadaná soustava π Rstykových výslednic, působících v uvolněných stykovýchvazbách. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrůjeNP = {F An , F Bn , F } ,F2AF ATv F FBF A=0 + Q BT Fv B=0 +An BnF BTF Bny3 B v B=0 +xzF Gv C=v D=0CFDF CtF DtCn F Dnpo jejich určení bude možno dopočítat složky stykovýchsil ve vazbách C a D.Obr. 10.30:• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 3 + 0 + 0 = 3.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν , působící na uvolněnétěleso, charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínekstatické rovnováhy je ν = ν F + ν M = 2 + 1 = 3.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 3 = 3 a0 < 1.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Významným pasívním účinkem v obou vazbách je smykové tření (coulombovské), popsanéstykovými závislostmi F AT = F An · f A a F BT = F Bn · f B .• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyloučení ZP z použitelných statických podmínek pomocí stykových závislostí dostávámesoustavu statických rovnic pro určení NP.F x : F − F An f A − F Bn f B = 0F y : F An + F Bn − F Q = 0lM zA : −F Q3 + F lBn2 = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je lineární, po dosazení zadaných vstupů a snadném řešení obdržímenásledující hodnoty NP a ZP:F An = 333, 3 N, F Bn = 666, 7 N, F = 233, 3 N, F AT = 100 N, F BT = 133, 3 N.• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládaného

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 163pohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky, požadující aby tečné síly ve stykovýchvazbách C a D byly menší než třecí síly a aby normálné složky v obou vazbách byly tlakové(podmínky funkčnosti).Při vyjímková statické neurčitosti uložení podstavce za klidu (pohyblivé uložení s omezenímdeformace) nelze ve statice určit tečné složky stykových sil v jeho vazbách se základním tělesem.Můžeme určit pouze velikost výsledné tečné síly F vt = F Ct + F Dt (tečné složky stykových silF Ct a F Dt mají společnou nositelku), což pro kontrolu reálnosti klidového stavu podstavce plněpostačuje. Ke kontrole splnění stykových omezení použijeme vztahyF x : F BT − F vt = 0 , F y : −F Bn − F G + F Cn + F Dn = 0 ,M zD : (F Bn + F G ) · b/2 − F BT · h − F Cn · b = 0 ,z nichž po řešení vylývají hodnoty F Cn = 216, 7 N, F Dn = 750 N a F vt = 133, 3 N. Dosazenímdo vztahů pro smykové tření lze určit celkovou třecí sílu F vT = F CT + F DT = 386, 7 N. ProtožeF Cn > 0 a F vt < F vT lze konstatovat, že styková omezení předpokládaného pohybového stavujsou splněna a tento pohybový stav je reálný.P8 Soustava těles, znázorněná na obr. 10.31, má být vklidu. Určete při jakém rozmezí velikosti síly ⃗ F tento požadovanýpohybový stav nastane. Je dáno: l = 800 mm,h = 400 mm, v = 300 mm, R = 200 mm, α = 30 o ,F G2 = 300 N, F G3 = 150 N, f A = 0, 4 , f B = 0, 25 ,e C = 2 mm, f C = 0, 3.• Rozbor zadání:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován.Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný.hFv2V=0 +AF G2lBObr. 10.31:• Možné pohybové stavy těles:Již z názoru je zřejmé, že soustava těles, vázaných stykovými vazbami typu NNTP, je uloženapohyblivě. V klidu setrvá, jestliže velikost vnější síly ⃗ F bude z intervalu F ∈ (F min , F max ).Při velikosti F ≥ F max bude překonána hranice její klidové stability a nastane pohyb směremnahoru, při velikosti F ≤ F min nastane pohyb směrem dolů. Protože za klidu není daný problémve statice řešitelný, budeme postupně řešit stavy na obou hranicích klidové stability.Na počátku výpočtového řešení je třeba (na základě zkušenosti) odhadnout nejpravděpodobnějšícharakter relativního pohybu v jednotlivých vazbách při pohybu soustavy. Nesprávnýúvodní předpoklad pohybového stavu prodlužuje řešení. V daném případě je velmi pravděpodobné,že ve vazbě A nastane smýkání. Vazby B a C jsou typu podpora. Pokud ve vazbě Cnastane valení, nemůže ve vazbě B nastat jiný pohybový stav než smýkání (je to důsledekneprostupnosti těles). Smýkání ve vazbě C je méně pravděpodobné – mohlo by nastat při malémsoučiniteli smykového tření ve vazbě C a velkém součiniteli smykového tření ve vazbě B(v tomto případě by nastal ve vazbě B relativní klid). Při řešení tedy budeme předpokládatsmýkání ve vazbách A a B a valení ve vazbě C.• Specifikace stykových vazeb těles:Styková vazba A je jednostranná posuvná vazba, jíž je přiřazena kinematická dvojice posuvná(k.d.p˙) odebírající ζ = 2 stupně volnosti. Vazbám B a C jsou přiřazeny kinematické dvojiceobecné (k.d.o˙), tyto vazby odebírají ζ = 1 (smýkání) a ζ = 2 (valení) stupňů volnosti.• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy těles určíme ze vztahu3F G3RC1

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 164∑i = (n − 1) i v − ( 3 ζ i − η) = 2 · 3 − (2 + 1 + 2 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Počet omezených charakteristikdeformace η = 0 je zřejmý z charakteru uložení – obě tělesa se mohou volně deformovat.Jedná se tedy o normální stav uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Nejdříve zvolíme vhodný souřadnicový systém O x y z, ve kterém provedeme řešení. Pak uvolnímejednotlivá tělesa soustavy, přičemž v uvolněných stykových vazbách typu NNTP vyznačímesměr relativního pohybu a zavedeme pasívní účinky působící proti pohybu. Uvolnění proprvní předpoklad pohybového stavu (pohyb nahoru) je znázorněno na obr. 10.32a, uvolnění prodruhý předpoklad (pohyb dolů) na obr. 10.32b.zyFxMAA2 3FV=0 +BF ATFFAnG2Av=0B +FFBTBnv=0B+FFBnBTBFM vCG3 =0CC +FCnCtFM A2 3AFAnFFATG2BFV A =0 +BTFBnv=0B +v=0B+FFBnBTBMFvCG3 =0CC +FCnFCt(a)Obr. 10.32:(b)NP = {F An , M An , F Bn , F Cn , F Ct , F }• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 5 + 0 + 1 = 6.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 4 + 2 = 6.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 6 = 6 a1 < 2.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Styková závislost ve vazbách A a B (coulombovské smykové tření) je popsána vztahy F AT =F An · f A a F BT = F Bn · f B , styková závislost ve vazbě C (tuhé valení) je popsána vztahemM vC = F Cn · e C .• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostíobdržíme pro oba předpokládané stavy soustavy statických rovnic pro určení NP.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 165Pohyb nahoruPohyb dolůTěleso 2 : Těleso 2 :F x : − F G2 sin α − F Bn − F An f A + F = 0 F x : − F G2 sin α − F Bn − F An f A + F = 0F y : − F G2 cos α + F An + F Bn f B = 0 F y : − F Bn f B − F G3 cos α + F Cn = 0M zA : F G22 (h sin α − l cos α) + M zA : F G2(h sin α − l cos α) +2+ M An + F Bn (R + l f B ) − F v = 0 + M An + F Bn (R − l f B ) − F v = 0Těleso 3 : Těleso 3 :F x : F Bn − F G3 sin α − F Ct = 0 F x : F Bn − F G3 sin α + F Ct = 0F y : − F Bn f B − F G3 cos α + F Cn = 0 F y : F Bn f B − F G3 cos α + F Cn = 0M zS : F Bn f B R + F Cn e C − F Ct R = 0 M zS : − F Bn f B R − F Cn e C + F Ct R = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustavy statických rovnic jsou nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následujícíhodnoty NP a ZP:Pohyb nahoruF An = 234, 3 N, M An = 136, 8 Nm,F Bn = 102, 1 N, F Cn = 155, 4 N,F Ct = 27, 1 N, F = 345, 8 N, F CT = 46, 6 NPohyb dolůF An = 274, 6 N, M An = 103, 7 Nm,F Bn = 59, 1 N, F Cn = 115, 1 N,F Ct = 15, 9 N, F = 99, 2 N, F CT = 34, 5 N• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Z výsledků řešení vyplývá, že podmínka valení F Ct < F CT ve vazbě C je splněna v obou řešenýchpohybových stavech a řešení končí. Soustava setrvá v klidu, jestliže velikost vnější síly ⃗ F budez intervalu F ∈ (99, 2 , 345, 8).P9 Určete velikost síly F ⃗ potřebnou k dosaženípohybu homogenního válce, znázorněného na obr. 10.33,v naznačeném směru. Na počátku působení hnací síly F ⃗je válec v kontaktu s hranolem, představujícím překážku.Analyzujte možné pohybové stavy válce a hranolu a určete,který z nich reálně nastane, jestliže výška překážkyje h = 10 mm. Dále je dáno: R = 200 mm, b = 200 mm,F G2 = 500 N, F G3 = 50 N, f A = 0, 3 , e A = 2 mm, f B = 0, 3 ,e B = 2 mm, f C = 0, 4. V rámci samostatné přípravy proveďteřešení pro případ h = 20 mm.FR2Av S =0 +SF G21B3CObr. 10.33:• Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budemepředpokládat existenci roviny symetrie a problém budeme řešit jako rovinný.Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě. Při pohybu válce může reálně nastat jedenze tří možných pohybových stavů soustavy. To, který reálně nastane, bude záviset na výšce atíze překážky a vlastnostech styku. Při malé výšce hranolu je pravděpodobné valení válce přesbF G3h

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 166kvádr, který zůstává v klidu. Při velké výšce kvádru zřejmě nastane případ, kdy se válec valípo podložce a tlačí před sebou smýkající se hranol. Může však nastat i případ, kdy na začátkuvalení válce po hranolu dojde k překlápění (t.j. valení) hranolu vázaného k základnímu tělesupodmíněně funkční jednostrannou posuvnou vazbou.Protože zadaná výška hranolu h je malá v porovnání s poloměrem válce R, předpokládejmedále, že nastane první z možných pohybových stavů. Na konci řešení bude třebazkontrolovat splnění stykových podmínek tohoto pohybového stavu.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Při valení válce přes hranol přestává být podpora Afunkční (styk válce s podložkou končí), v podpoře B se realizuje se valení (ζ = 2) a posuvnávazba C se chová jako pevná (nepřekonána hranice klidové stability – ζ = 3)• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu∑i = (n − 1) i v − ( 2 ζ i − η) = 2 · 3 − (2 + 3 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Uvolnění těles ve zvoleném souřadnicovém systému O x y z s vyznačením směru relativníhopohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr. 10.34.NP = {F Bn , F Bt , F Cn , F Ct , M Cn , F }• Kontrola splnění nutné podmínky statickéurčitosti:- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 5 + 0 + 1 = 6.FR2F G2AS =0B +BF BnxzF BtF BnFM B G3vBM vBC3F Bt FCt v C=0F M Cn C =0Obr. 10.34:B +y- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 4 + 2 = 6.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 6 = 6 a1 < 2.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Pasívním účinkem ve vazbě B je valivý odpor, popsaný stykovou závislostí M vB = F Bn · e B .• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislostiobdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Úhel α je určen z geometrie — α = arcsin R−hR .

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 167Těleso 2: Těleso 3:F x : F − F Bt sin α − F Bn cos α = 0 F x : F Bn cos α + F Bt sin α − F Ct = 0F y : F Bn sin α − F Bt cos α − F G2 = 0 F y : − F Bn sin α + F Bt cos α + F Cn − F G3 = 0M zS : F Bn e B − F Bt R = 0 M zB : − F Bn e B + M Cn − F G3 · b/2 − F Ct h = 0• Řešení soustavy statických rovnic:Soustava statických rovnic je lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následujícíhodnoty NP:F Bn = 528 N, F Bt = 5, 3 N, F Cn = 550 N, F Ct = 170 N, M Cn = 7, 755 Nm, F = 170 N.• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládanéhopohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky, požadující aby tečné složky stykovýchsil ve vazbách B a C byly menší než třecí síly. Z hlediska funkčnosti vazeb je třeba, abynormálné složky stykových sil byly tlakové a aby osa soustavy rozloženého silového působení vjednostranné posuvné vazbě C protínala stykový útvar. Ke kontrole splnění uvedených stykovýchomezení použijeme vztahy pro smykové tření a vztah pro určení souřadnice osy soustavyrozloženého silového působení v jednostranné posuvné vazbě x = M CnF Cn. Po dosazení určímehodnoty F BT = 158 N, F CT = 220 N a x = 141 mm. Předpokládaný pohybový stav při výšcehranolu h = 10 mm reálně nastane, protože jeho styková omezení F Bt < F BT , F Ct < F CT ax < b jsou splněna.P10 Soustava těles (vozík), znázorněná na obr. 10.35, semá pohybovat konstantní rychlostí v naznačeném směru.Určete potřebnou velikost síly ⃗ F . Je dáno: l = 1000 mm,v = 400 mm, R = 200 mm, r č = 20 mm, F G2 = 1000 N,f A = f D = 0, 6 , e A = e D = 2, 5 mm, f čB= f čC= 0, 2.Při řešení úlohy uvažujtea) všechny pasívní odporyv1FR2AB3v=konstlF GObr. 10.35:b) všechny pasívní odpory s použitím linearizace vztahu pro čepové tření podle Ponceletac) zanedbání čepového třeníPorovnejte výsledky řešení a posuďte významnost odchylekvyvolaných linearizací vztahu pro čepové tření resp. jeho zanedbáním.• Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budemepředpokládat existenci rovin symetrie úlohy a problém budeme řešit jako rovinný.Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě. V praxi je při pohybu požadováno (a zaběžných podmínek s největší pravděpodobností nastane) otáčení kol a valení v jejich vazbáchse základním tělesem. Tento pohybový stav budeme předpokládat při řešení. Případ zablokováníkol není běžný a nastane když f čB> f ARr č resp. f čC > f D Rr č .r čC 4D

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 168Řešení ad. a):• Specifikace stykových vazeb tělesa:Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Obecné vazby A, D i rotační vazby B, C odebírajíζ i = 2 stupních volnosti. Podmínkou valení v obecných vazbách je F t < F T .• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu∑i = (n − 1) i v − ( 4 ζ i − η) = 3 · 3 − (4 · 2 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívnímiúčinky je znázorněno na obr. 10.36. Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z.2zyxkonst3Fv=konstF ByF CyM MčBčBM MBF čCčCGCF BxBCMF A vAF ByF Cy D M vDAtFF DtAnF DnF Bx FCx F Cx4konstObr. 10.36:• Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavyπ Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množinaneznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i ∪ π Ri , působících na uvolněnátělesa, je NP = ∪NP iNP = {F An , F At , F Bx , F By , F Cx , F Cy , F Dn , F Dt , F }• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 9 + 0 + 0 = 9.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 6 + 3 = 9.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 9 = 9 a0 < 3.

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 169• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Pasívním účinkem ve vazbách A, D je valivý odpor, popsaný stykovými závislostmi M vA =F An · e A resp. M vD = F Dn · e D . V rotačních vazbách B, C (radiální čepy)√působí čepové třenípopsané stykovými závislostmi M čB=√FBx 2 + F By 2 f r resp. M = F 2 čB čB čC Cx + F Cy 2 f r . čC čC• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostíobdržíme soustavu statických rovnic pro NP.Těleso 2 : Těleso 4 :F x : F Bx − F At = 0 F x : F Cx − F Dt = 0F y : F An − F By = 0 F y : F Dn − F Cy = 0√√M zA : − F Bx R + FBx 2 + F By 2 f r + M čB čB zD : − F Cx R + FCx 2 + F Cy 2 f r + čC čC+ F An e A = 0 + F Dn e D = 0Těleso 3:F x : F − F Bx − F Cx = 0F y : F By + F Cy − F G = 0√M zB : −F v − FBx 2 + F By 2 f r − F l√čB čB G2 − FCx 2 + F Cy 2 f r + F čC čC Cy l = 0• Řešení soustavy statických rovnic:V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadanýchvstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP:F An = 483 N, F At = 15, 7 N, F Bx = 15, 7 N, F By = 483 N, F Cx = 16, 8 N, F Cy = 517 N,F Dn = 517 N, F Dt = 16, 8 N, F = 32, 51 N.• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládanéhopohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky valení ve vazbách A F At < F AT a DF Dt < F DT . O jejich splnění se lze snadno přesvědčit.Řešení ad. b):V literatuře jsou udávány vztahy umožňující linearizaci řešeného problému, uváděnéjako Ponceletovy vztahy. Podle nich lze velikost silové stykové výslednice F = √ Fx 2 + Fy2přibližně určit pomocí lineárního vztahu F = . 0, 96 F x + 0, 4 F y (při F x > F y ) resp. vztahuF = . 0, 96 F y + 0, 4 F x (při F y > F x ). Relativní odchylka při určení velikosti síly nepřesáhnehodnotu 4 %. Ve většině případů je tato přesnost postačující.Po náhradě členů, způsobujících nelineritu, obdržíme snadněji řešitelnou soustavu lineárníchrovnic. Po jejím řešení obdržíme následující hodnoty NP:F An = 483, 3 N, F At = 15, 4 N, F Bx = 15, 4 N, F By = 483, 3 N, F Cx = 16, 5 N, F Cy = 516, 7 N,F Dn = 516, 7 N, F Dt = 16, 5 N, F = 31, 95 N.Řešení ad. c):Dále si ukážeme, jak významný vliv na výsledek řešení může mít zanedbání těch pasívníchúčinků, které jsou z hlediska řešeného problému podstatné. Při zanedbání čepového tření vymizí

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 170v soustavě statických rovnic členy, které je popisují. Obdržíme soustavu lineárních rovnic jejímžřešením určíme následující hodnoty NP:F An = 495 N, F At = 6, 2 N, F Bx = 6, 2 N, F By = 495 N, F Cx = 6, 3 N, F Cy = 505 N, F Dn = 505 N,F Dt = 6, 3 N, F = 12, 5 N.• Závěr:Z výsledků výpočtů vyplývá, že linearizace řešeného problému dává velmi přesné výsledky vporovnání s původním nelineárním řešením. Zanedbání čepového tření však vede k podstatnýmodchylkám a to zvláště ve velikosti hnací síly.Z uvedeného případu tedy vyplývá ponaučení: Zanedbání některých pasívních účinků by mělapředcházet důkladná analýza jejich významnosti!P11 Břemeno, znázorněné na obr. 10.37, má být spouštěnobezpečně, t.jṁalou a konstantní rychlostí. Určetepotřebnou velikost síly ⃗ F působící na páku špalíkovébrzdy. Podobně jako při řešení předchozí úlohy posuďtevýznamnost odchylek vyvolaných linearizací vztahů resp.zanedbáním čepového tření. Je dáno: l = 600 mm, h =400 mm, α = 45 o , p = 600 mm, s = 250 mm, v =30 mm, R = 250 mm, r = 200 mm, r č = 25 mm, F G =500 N, f A = 0, 35 , f čC= 0, 2 , f D = 0, 7.• Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles:Obr. 10.37:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budemepředpokládat existenci roviny symetrie úlohy a problém budeme řešit jako rovinný.Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě a pohybový stav jednotlivých těles při spouštěníbřemene je jednoznačně dán. Protože čepové tření při natáčení brzdové páky ve vazbě D avliv neohebnosti lana B jsou naprosto nevýznamné a výsledek řešení prakticky neovlivní (pákase natáčí pouze v rámci opotřebovávání brzdového obložení), můžeme při výpočtovém řešenípro vazbu lanem B a rotační vazbu E použít model typu NNTN. Vliv pasívních účinků vestykových vazbách A, C, D významný je, proto u těchto vazeb použijeme model typu NNTP.• Specifikace stykových vazeb soustavy těles:Obecné vazby B, D odebírají po ζ i = 1 stupni volnosti, posuvná vazba A a rotační vazby C, Epo ζ i = 2 stupních volnosti.• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu∑i = (n − 1) i v − ( 5 ζ i − η) = 3 · 3 − (2 · 1 + 3 · 2 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívnímiúčinky je znázorněno na obrázku obr. 10.38. Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z.hv=konst2AFGl1BFh/24lanovp3DrrčsC1E1RNP = {F An , M An , F Bn , F Cx , F Cy , F Dn , F Ex , F Ey , F }

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 171• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:y2v =konstAzAxMAFFAnFATGFB4FBnObr. 10.38:D EF3v D=konstFFBnM =konstCDT =0čCEDnCFDDnFFFFEyDTFCyExCx- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 8 + 0 + 1 = 9.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 6 + 3 = 9.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 9 = 9 a1 < 3.• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Pasívním účinkem ve vazbách A, D je smykové tření, popsané stykovými závislostmi F AT =F An · f A resp. F DT = F Dn ·√f D . V rotační vazbě C (radiální čep) působí čepové tření popsanéstykovou závislostí M čC= FCx 2 + F Cy 2 f r . čC čC• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislostiobdržíme soustavu statických rovnic pro NP.Těleso 2 : Těleso 4 :F x : F An f A + F Bn − F G sin α = 0 F x : − F sin α + F Dn (sin α − f D cos α) + F Ex = 0F y : F An − F G cos α = 0 F y : − F cos α + F Dn (f D sin α + cos α) − F Ey = 0M zA : F G /2 · (h sin α − l cos α) + M zE : F · p − F Dn (s + f D v) = 0+ F An e A = 0Těleso 3:F x : −F Bn + F Dn (f D cos α − sin α) + F Cx = 0F y : F Cy − F Dn (f D sin α + cos α) = 0√M zC : F Bn r − F Dn f D R − FCx 2 + F Cy 2 f r = 0 čC čC• Řešení soustavy statických rovnic:V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadanýchvstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP:

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 172F An = 353, 6 N, M An = 81, 3 Nm, F Bn = 229, 8 N, F Cx = 283, 0 N, F Cy = 301, 5 N, F Dn =250, 8 N, F Ex = 26, 9 N, F Ey = 221, 4 N, F = 113, 29 N.Pro analýzu významnosti vlivu linearizace vztahu pro čepové tření resp. vlivu jeho případnéhozanedbání na výsledky řešení (hlavně na přesnost určení potřebné velikosti síly ⃗ F ),je třeba provést stejné úpravy soustavy statických rovnic jako při řešení předchozí úlohy. Poúpravě rovnic a řešení obdržíme v prvním případě hodnotu F = 113, 42 N, ve druhém případěF = 118, 62 N.• Závěr:Z výsledků určení potřebné velikosti síly ⃗ F vyplývá, že v tomto případě je vliv čepového třenímálo významný. Jeho zanedbání vede k odchylce menší než 5%.P12 Určete mezní výšku překážky v, kterou připůsobení hnací síly ⃗ F dané velikosti působící nadané nositelce překoná vozík, znázorněný na obrázkuobr. 10.39. Je dáno: l = 1000 mm, h = 400 mm,R = 150 mm, r čB= r čC= 15 mm, F G = 1000 N,f A = f D = 0, 5 , e A = e D = 2, 5 mm, f čB= f čC=0, 1 , F = 1000 N.h/2h/2 RFr č3v=0 +F G24B lC DvA 1EObr. 10.39:• Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles:Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Problém budeme řešit jako rovinný.Analýza možných pohybových stavů při pohybu vozíku po rovné podložce byla provedena přiřešení úlohy P10, analýza pohybu válce přes překážku při řešení úlohy P9. Při řešení této úlohyvyužijeme zkušeností z řešení předchozích úloh. Při přejezdu vozíku přes překážku budemepředpokládat valení kol ve vazbách A a D, styk ve vazbě E končí.• Specifikace stykových vazeb tělesa:Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Obecné vazby A, D i rotační vazby B, C odebírajíζ i = 2 stupních volnosti. Podmínkou valení v obecných vazbách je F t < F T .• Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles:Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu∑i = (n − 1) i v − ( 4 ζ i − η) = 3 · 3 − (4 · 2 − 0) = 1,i=1kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládanýchpohybových stavech těles 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení.• Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodnéhosouřadnicového systému:Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. Uvolnění těles s vyznačením směru relativníhopohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obrázku obr. 10.40.• Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrůstykových výslednic:Silová soustava vnějších silových prvků π i působí pouze na těleso 3, soustavy π Ri stykovýchvýslednic působí na všechna tři uvolněná tělesa. Výsledná množina neznámých nezávislýchparametrů silových soustav π ν i = π i ∪ π Ri je NP = ∪NP iNP = {F An , F At , F Bx , F By , F Cx , F Cy , F Dn , F Dt , v}• Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti:

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 173- Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = 8 + 1 + 0 = 9.- Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i , působící na uvolněnátělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy je ν = ∪ν i = ν F + ν M = 6 + 3 = 9.- Nutná podmínka statické určitosti µ = ν ∧ µ r + µ M ≤ ν M je splněna, protože 9 = 9 a1 < 3.yzx32F4F By FM M CyčB F čC MBBGčCCCMF vDBxF Bx F CxF CxDA M FvA ByF Cy EM čBF At B=0 +F AnObr. 10.40:C =0 +F DtF Dn• Stykové závislosti pro pasívní účinky:Pasívním účinkem ve vazbách A, D je valivý odpor, popsaný stykovými závislostmi M vA =F An · e A resp. M vD = F Dn · e D . V radiálních čepech B, C√působí čepové tření popsané stykovýmizávislostmi M čB=√FBx 2 + F By 2 f r resp. M = F 2 čB čB čC Cx + F Cy 2 f r . čC čC• Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykovýchzávislostí:Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostíobdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Úhel α vyjádříme z geometrie — α = arcsin R−vR .Těleso 2 : Těleso 4 :F x : F Bx − F At = 0 F x : F Cx − F Dn cos α − F Dt sin α = 0F y : F An − F By = 0 F y : F Dn sin α − F Dt cos α − F Cy = 0√√M zA : − F Bx R + FBx 2 + F By 2 f r + M čB čB zC : − F Dt R + FCx 2 + F Cy 2 f r + čC čC+ F An e A = 0 + F Dn e D = 0Těleso 3:F x : F − F Bx − F Cx = 0F y : F By + F Cy − F G = 0M zB : −F h 2 − F Gl2 + F Cy l −√F 2 Bx + F 2 By f čB r čB − √F 2 Cx + F 2 Cy f čC r čC = 0

10. Tělesa a soustavy těles s vazbami typu NNTP 174• Řešení soustavy statických rovnic:V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadanýchvstupních hodnot a řešení obdržíme následující výstupní hodnoty NP:F An = 460, 3 N, F At = 12, 3 N, F Bx = 12, 3 N, F By = 460, 3 N, F Cx = 987, 7 N, F Cy = 539, 7 N,F Dn = 1125, 1 N, F Dt = 30, 0 N, v = 74, 6 mm.• Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr:Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládanéhopohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky valení ve vazbách A F At < F ATa D F Dt < F DT . O jejich splnění se lze snadno přesvědčit po dopočítání velikostí třecích silF AT = 230, 2 N a F DT = 562, 6 N. Řešení úlohy tím končí.

11. Základy analytické statiky. 17511 Základy analytické statiky.Ve všech dřívějších kapitolách jsme rovnice statické rovnováhy hledali ze vztahů mezi silovýmiúčinky tj. hledali jsme případy pro které byl vektorový součet sil a jejich momentů roven nuletj. hledali jsme řešení na bázi vektorového počtu. Proto tyto metody jsou řazeny do tzv. vektorovémechaniky.V analytické mechaniky podmínky rovnováhy budeme diskutovat na základě variace skalárníchveličin, jakými jsou zejména práce a kinetická energie. Uvidíme, že tento postup, vycházejícív podstatě z energetické bilance, umožňuje nalézat podmínky rovnováhy ihned po vyjádřeníjen energetických veličin, což se ukazuje (zejména u složitějších soustav) jako snazší a rychlejší.Metodický postup při řešení úloh statiky metodami analytické mechaniky se podstatně odlišujeod postupů vektorové mechaniky. Proto vyžaduje i zavedení odlišného výpočetního aparátu,jehož přednosti se však uplatní zpravidla až při diskusi rovnic statické rovnováhy u složitějšíchmechanických systémů, zatímco pro jednotlivá těles popř. jednodušší modely soustav těles ukterých se zajímáme i o určení reakcí vazeb bývá vhodnější a také názornější použití metodvektorové mechaniky.11.1 Základní pojmyVšechny základní vztahy budeme odvozovat pro mechanický systém, tvořený soustavou těles,obecně mezi sebou vázaných. U jednotlivých těles používáme pro popis přemístění jednotlivýchbodů těles polohové vektory ⃗a i a pro natočení jednotlivých těles vektory pootočení ⃗ϕ i .Přitom však platí, že má-li soustava n 0 volnosti, jen n těchto parametrů je nezávislých. Protoprovádíme ze všech souřadnic výběr s tím, že soubor těchto n vybraných nezávislých souřadnicq 1 , q 2 , . . . q n budeme nazývat zobecněnými souřadnicemi. Termínem zobecněné souřadnicetedy budeme rozumět nejmenší potřebný soubor nezávislých konfiguračních parametrů (souřadnic,úhlů, délek apod.). Analytické vyjádření vztahů mezi závislými a nezávislými souřadnicemimechanické soustavy nazýváme vazebními podmínkami (vazební rovnice, rovnice vazeb). Přesrovnice vazeb pak můžeme vždy z vybraných nezávislých souřadnic určit polohu všech bodůsoustavy. Přitom budeme dále předpokládat, že vazby mezi tělesy jsou holonomní (tj. pro vazbykteré jsou integrovatelné, v praxi to jsou vazby nezávisející na rychlosti). Vazby tohoto typulze vyjádřit rovnicemi typu⃗r i = ⃗r i (q 1 ,q 2 ,...,q j ,...,q n ,t) (11.7)Základním pojmem analytické mechaniky je virtuální pohyb (malé posunutí nebo pootočení).V případě holonomních vazeb je to jakýkoliv elementární pohyb, který se děje ve shodě svazbami. Budeme jej označovat δ⃗r i ( je označení pro variaci). Skutečné pohyby d⃗r i resp.d ⃗ϕ i v časedt(odpovídající příslušným vazbám, působícím silám a počátečním podmínkám) je jedním z virtuálníchpohybů jen tehdy, jde-li o vazby skleronomní (tj. nezávisející na čase) popř. závislostna čase lze pro krátký časový okamžik dt zanedbat, což v naprosté většině případů je splněno.Pak virtuální posunutí odpovídá pohybům skutečným - viz obr. 1. Můžeme je tedy zjistit tak,že s tělesy v soustavě myšleně ”pohneme” a vyvolaná posunutí nebo pootočení zakreslíme doschématu soustavy.Variací vztahu (1) tedy za uvedených předpokladů můžeme dostat systém N vztahů mezivariacemi virtuálních pohybů a variacemi zobecnělých souřadnic∂ ⃗r iδ q 1 + ∂ ⃗r iδ q 2 + . . . + ∂ ⃗r n∑i∂ ⃗r iδ q n = δ q j (11.8)∂ q 1 ∂ q 2 ∂ q n ∂ q jj = 1

11. Základy analytické statiky. 176. (11.2) Práce vykonávaná silovými účinky při virtuálních budeme dále nazývat virtuálníprací. Pro potřeby analytické mechaniky bude dále účelné používat rozdělení sil podle jejichpracovního efektu. Síly budeme proto dále rozdělovat na síly pracovníF ⃗ p i a síly vazbovéF⃗ Vi . Vazbovými silami budeme přitom dále rozumět pouze nepracovní složky reakcí (např.kolmé složky reakcí), zatímco pracovními silami budou všechny ostatní síly. To znamená, žepracovními silami budou všechny síly akční a z reakcí pouze jejich pracovní složky (např. sílatření, moment čepového tření, moment valivého odporu apod.). Jelikož však reakce konají prácijen tehdy, uvažujeme-li pasivní odpory, je zřejmé, že u systémů bez pasivních odporů pojemvazbové síly splývá s pojmem síly reakční, a tudíž splynou i pojmy sil pracovních a akčních.11.2 Statická rovnováha těles pomocí principů analytické mechaniky11.2.1 Princip virtuální práce pro centrální silové soustavyNechť v bodě B tělesa působí P pracovních vnějších sil Fi⃗ p a S vazbových reakcí F⃗ V i . Jestližeje těleso ve statické rovnováze, je splněna podmínkaP∑i=1⃗F Pi +S∑⃗F j V = 0 (11.9)jUdělíme-li bodu B virtuální pohyb δ⃗r pak soustava sil vykoná virtuální práci(P∑S∑P)∑ S∑˜F P i .δ˜r+ ˜F V j .δ˜r = ˜F P i + .δ˜r (11.10)i=1j=1která s ohledem na vztah (11.3) a obecně nenulovou hodnotu δ⃗r je rovna nule. Odtudplyne princip virtuálních prací o společném působišti: Při statické rovnováze sil působících vdaném bodě tělesa, je algebraický součet virtuálních prací všech sil roven nule. Ze vztahu (11.4)vyplývá dále věta:Použití principu virtuální práce vede vždy na podmínky statické rovnováhypříslušné silové soustavy. Pro vazby těles bez uvažování pasivních odporů platí, že F ⃗Vi jsoukolmé na δ⃗r , takže vztah pro virtuální práci přejde na tvari=1j=1˜F V jP∑˜F P i .δ˜r =i=1P∑i=1F Pixδx +P∑i=1F Piy δy +P∑i=1F Piz δz = 0 (11.11)Jestliže bod B je volným bodem tj. má počet stupňů volnosti n = 3, je i počet nezávislýchvirtuálních pohybů , které bod může konat je roven také 3. Za nezávislé virtuální pohyby volímeδx ≠ 0, δy ≠ 0, δz ≠ 0 . Pak z principu virtuální práce vyplývají podmínky rovnováhy centrálnísilové soustavyP∑i=1F Pix = 0,P∑i=1F Piy = 0,P∑i=1F Piz = 0 (11.12)

11. Základy analytické statiky. 17711.2.2 Princip virtuální práce pro obecné silové soustavyNechť na těleso působí k sil ⃗ F i a dále m momentů silových dvojic ⃗ M j . Jestliže tato obecnásilová soustava je ve statické rovnováze, pak platí opět princip virtuálních prací : Při statickérovnováze obecné silové soustavy působící na těleso je algebraický součet virtuálních prací všechsil a všech momentů roven nule. Tento princip můžeme opět vyjádřit vztahemδA =K∑M∑˜F . iδ˜r i +i=1j=1˜M j .δ⃗ϕ = 0 (11.13)kde δ⃗r i jsou virtuální posuvy působišť sil ⃗ Fi a δ⃗ϕ je virtuální natočení tělesa. Vztah(11.7) se nazývá obecná rovnice statiky. Pro soustavu těles obsahující n členů můžeme psátvztah analogický ke vztahu (11.7)δA =K∑˜F . iδ˜r i +i=1n∑l=1M∑j=1˜M l j .δ⃗ϕ l = 0 (11.14)Jestliže použijeme dříve zavedené zobecněné souřadnice q u (u = 1, 2, . . . , n), pak nezávislýmivirtuálními pohyby jsou δq u . Po vyjádření závislých virtuálních pohybů pomocí základníchvirtuálních pohybů δq u (používáme přitom kinematické vztahy nebo provádíme variace rovnicvazeb) lze princip virtuálních prací vyjádřit symbolicky vztahemn∑{[P u (F i , M j , q 1 , q 2 , ...q n )] δq u } = 0 (11.15)u=1kde výrazy P u (F i , M j , q 1 , q 2 , ...q n ) dostaneme jako koeficienty u δq u po aplikaci vztahů(11.2) do rovnice (11.8). Vzhledem k tomu, že δq u ≠ 0 , vyjadřuje každá hranatá závorkarovnovážnou rovnici silových účinkůP u (F i , M j , q 1 , q 2 , ...q n ) = 0 (11.16)Tento systém rovnic statické rovnováhy neobsahuje neznámé vazbové síly, říkáme muproto hlavní rovnice statické rovnováhy. Vzhledem k tomu, že systém rovnic (11.10) neobsahujereakční silové účinky, není tak rozsáhlý jako v případě systému rovnic statické rovnováhyzískaného metodou uvolňování jednotlivých těles ze soustavy. Pomocí těchto vlastních rovnovážnýchrovnic můžeme zjistit: - přídavné vnější účinky pro uvedení mechanické soustavy dorovnováhy pro danou polohu (vyjádřenou pomocí zobecněných souřadnic) -pro danou soustavusilových účinků takové hodnoty zobecněných souřadnic qu, při nichž statická rovnováha všechpůsobících silových účinků nastane. Vztah (11.10) je důležitý a užitečný proto, že umožňujepřímo určit potřebné neznámé parametry v úloze.. Jinak bychom je museli určovat pomocípodmínek rovnováhy uvolněných jednotlivých členů. Takže výhoda použití metod analytickémechaniky se uplatní výrazněji u soustav těles s větším počtem členů-pokud ovšem není nutnéurčit vazbové reakce, ale jen přídavné vnější silové účinkyPoznámka 1 : Pro vyšetřování všech virtuálních pohybů (posuvů a pootočení) u tělesa nebosoustavy těles je zapotřebí znalostí kinematických řešení těchto mechanických soustav.Proto prozatím budeme využívat principu virtuálních prací u jednoduchých mechanickýchsoustav, u kterých můžeme sestavit potřebné vazební podmínky.

11. Základy analytické statiky. 178Poznámka 2 : U soustav s pasivními odpory vystupují mezi pracovními silami pracovní složkyreakcí (např. třecí síly). Abychom dostali vlastní rovnice statické rovnováhy musíme, tj.rovnice neobsahující reakce, musíme pracovní složky reakcí určit nějakým jiným způsobem,zpravidla uvolňováním.Ve většině příkladů soustavy jsou rovinné a mají jeden stupeň volnosti tj. systém rovnic(11.10) obsahuje jen jednu rovnici. K sestavení podmínek pro zjištění rovnovážného stavu lzedoporučit následující postup :1- určíme počet stupňů volnosti2- do schématu soustavy zakreslíme všechny vnější silové účinky působící na soustavu3- analyzujeme vazby. Není - li některá ideální, příslušnou pracovní složku vazební silovéhoúčinku zahrneme do působících pracovních sil4- Vybereme základní virtuální zobecnělou souřadnici q a provedeme se soustavou myšlenýpohyb o δq. Najdeme odpovídající virtuální posunutí δ⃗r i pro každé i-té působiště pracovníchsil a všechna pootočení δ ⃗ϕ i kolem každé l-té osy působících pracovních momentů.Jednotlivá virtuální posunutí zakreslíme k příslušným působícím silovým účinkům a zakreslímedo schématu.5- Najdeme vztahy mezi příslušnými jednotlivými virtuálními pohyby a virtuálním zobecnělýmpřemístěním najdeme buď z rovnic vazeb x i (q), y i (q)aϕ l (q) pomocí derivování δx i =∂x i (q)δq, δy∂qi = ∂y i(q)δq, δϕ∂ql = ∂ϕ l(q)δq nebo najdeme tyto vztahy pomocí kinematických∂qvztahů (např. z podmínky valení δr = rδϕ , převodu předlohových kol apod.)6 - dosadíme za δx i , δy i aδϕ l do výrazu pro virtuální práciδA = ∑ ⃗ Fi . δ⃗r i + ∑ ⃗ Mj . δ⃗ϕ j = ∑ F ix δx i + ∑ F iy δy i + ∑ M j δϕ j = Q δ q = 0V této rovnici určujeme znaménka jednotlivých členů podle pravidel pro skalární násobení(např. je-li síla opačně orientovaná než příslušné posunutí, příslušná virtuální práce jezáporná) 7- rovnici rovnováhy Q = 0 dostaneme zkrácením vztahu pro virtuální práci o δqPoužití principu virtuálních prací uvedeme na dvou příkladech.Př. 11.1 U ručního zvedáku je břemeno tíhové síly ⃗ F Q zvedáno ozubenou tyčí , poháněnouozubenými koly. Jak velkým momentem musíme působit na ozubené kolo 2? Dáno: F Q , r 2 , r 3 , R 3 .Řešení: Počet stupňů volnosti i = (n − 1)i v − ( ∑ i−1ς i − η) = 3.3 − (3.2 + 2.1) = 1 0 V .Soustava je rovinná a má jeden stupeň volnosti. Za nezávislou souřadnici volíme natočení ϕ 2kola 2 tj. položíme q = ϕ 2 . Ostatní souřadnice natočení kola 3 a posun tyče 4 jsou již závisléa můžeme psát přímo kinematické vztahy: ϕ 2 .r 2 = ϕ 3 .r 3 ay 4 = ϕ 3 .r 3 . Pro nezávislý virtuálnípohyb δϕ 2 jsou závislé virtuální pohybyδϕ 3 = r 2R 3δϕ 2 , δy 4 = r 2R 3r 3 δϕ 2Použijeme princip virtuálních prací pro působící vnější silové účinkyδA = ⃗ F Q .δ⃗y 4 + ⃗ M.δ⃗ϕ 2 = −F Q δy 4 + M δϕ 2 = 0

11. Základy analytické statiky. 179Obr. 11.1:Po dosazení závislého virtuálního posuvu obdržíme po úpravěδA = (−F Qr 2R 3r 3 + M) δ q = 0Vzhledem k tomu, že δq ≠ 0, dostáváme pro hledaný moment na kole 2 pro zvedání nebospouštění břemene výsledek M = r 2R 3r 3 F QPř. 11.2 U šroubového lisu je tlak na předmět vyvozován silovou dvojicí M F,−F⃗ působícína rameni 2l -obr. 11.2. Určete sílu působící na lisovaný předmět. Dáno: F, l, h (stoupáníšroubovice)

11. Základy analytické statiky. 180Obr. 11.2:Řešení: Těleso (šroub 2) je vázáno v prostoru.Počet stupňů volnosti i = (n − 1)i v − ( ∑ i−1ς i − η) = 1.6 − (1.5 + 1.1) = 0 kde n je počet tělesv soustavě včetně rámu. Soustava má při předpokládaném pohybovém stavu tedy 0 0 volnostitj. je nepohyblivá. Odstraníme proto lisovaný předmět a jeho účinek nahradíme silou ⃗ F y . Pakdostáváme novým rozboremi = (n − 1)i v − ( ∑ i−1ς i − η) = 1.6 − (1.5) = 1 0 VSoustava je pak pohyblivá a má jeden stupeň volnosti. Pro určení nyní již ”vnější” síly⃗F y můžeme použít principu virtuální práce, který má tvarδA = ⃗ M F,−F δ ⃗ ψ + ⃗ F y δ⃗y = 2F lδψ − F y δy = 0Za zobecnělou souřadnici q volíme natočení šroubu tj. položíme q = ψ tj. δq = δψ. Projediný závislý virtuální pohyb můžeme použít vazební podmínkuδyh = δψ2π⇒ δy = h2π δψPo dosazení do virtuální práce a úpravě obdržímeδA =()h2F l − F y δq = 02πhVzhledem k tomu, že δq ≠ 0, výraz v závorce 2F l − F y = 0 představuje podmínku2πstatické rovnováhy působících silových účinků. Odtud určíme sílu jakou je předmět lisovánF y = 4πlh F

11. Základy analytické statiky. 181LITERATURA:[1] Ondráček E., Janíček P.: Výpočtové modely v technické praxi SNTL Praha1999,[2] Florian Z., Suchánek M.: Mechanika těles - úlohy ze statiky skripta VUT FSIBrno 1999[3] Hibbeler, R.C.: Engineering Mechanics, Statics and Dynamics Prentice - Hall,Englewood Cliffs, New Jersey 07632[4] Juliš K., Brepta R.: Mechanika I. díl - Statika a kinematika SNTL Praha 1986[5] Šrejtr.: Technická mechanika I - statika SNTL Praha 1957[6] Feyman,R.P., Leighton,R.B., Feymanové prednášky z fyziky I ALFA Bratislava1986 Sands, M.[7] Landau, L.D., Rumer,J.B.: Co je to teorie relativity Albatros Praha 1972