Mechanika I - Statika - Vysoké učení technické v Brně

4. Statická ekvivalence a rovnováha silových soustav. 39⃗F V = ∑ ⃗ Fi (4.11)a z hlediska rotačních účinků pomocí momentové výslednice⃗M V O = ∑ ⃗ Mi O = ∑ ⃗r i x ⃗ F i (4.12)Soustavu vytvořenou z vektorů F ⃗ V a M ⃗ V O budeme dále nazývat výslednicovou silovou soustavouπ V = {F V , M V O }. Obecně vektory F ⃗ V a M⃗V O nejsou ani kolineární ani nejsou na sebe kolmé.Jestliže pro libovolný vztažný bod B pro obecnou silovou soustavu platí, že F ⃗ V . M ⃗ V B = 0,pak je možné provést tzv. úplné nahrazení tj. nalézt takový bod C pro který M{ V C = 0 a výslednicovásoustava je tvořena jen výslednicí procházející tímto bodem tj. π V = ⃗FV , MV ⃗ C = 0 .}Nositelka takto položené výslednice se pak nazývá osa silové soustavy. Vzhledem k tomu, že vpřípadě rovinných soustav jsou vektory sil a momentů na sebe kolmé, pro rovinné soustavy jemožné provést úplné nahrazení vždy.Jestliže nositelky všech sil prochází jedním bodem P tvoří taková skupina sil centrálníprostorovou resp.centrální rovinou soustavu (svazek sil). Pro centrální silové soustavy je výslednýmoment vzhledem k průsečíku nositelek vždy roven nule při libovolných hodnotách působícíchsil. V tomto případě tedy vzhledem ke společnému průsečíku P je{ výslednicová soustava }tvořena také jen jedinou silou procházející průsečíkem nositelek tj.π V = ⃗FV , MV ⃗ P = 0 .Zvláštní případem jsou pak soustavy, pro které F V = 0. V tomto případě je momentovávýslednice } pro všechny } body prostoru stejná a je rovna momentu silové dvojice tj. platí π V ={0, MV ⃗ O ={0, M ⃗ . Takové soustavy pak nazýváme soustavy točivé.4.3 Ekvivalence silových soustavJak vyplývá z předchozího odstavce, libovolnou silovou soustavu působící na hmotný objektje možné redukovat na soustavu síla-silová dvojice v daném bodě.Tato ekvivalentní soustavasíla-silová dvojice úplně charakterizuje účinek původní silové soustavy působící na hmotnýobjekt. Dvě silové soustavy jsou tedy zřejmě staticky ekvivalentní jestliže se shodují jejichredukce do výslednicové soustavy síla-silová dvojice k určitému bodu. Jak vyplývá ze vztahů(4.1) a (4.2), dvě silové soustavy π 1 ={A i , F ⃗ }i i = 1, 2, ...n a π 2 ={A j , F ⃗ }j j = 1, 2, ...mjsou staticky ekvivalentní tehdy a jen tehdy jestliže součet sil (tj. posuvný účinek) a zároveňsoučet momentů (rotační účinek) obou soustav k libovolnému danému bodu B je stejný. Zmatematického hlediska je tedy nutnou a postačující podmínkou pro dvě ekvivalentní soustavyvztah∑ ⃗Fi = F ⃗ V 1 = F ⃗ V 2 = ∑ Fj ⃗ ∩ ∑ Mi ⃗ B = M ⃗ (1)V B = M ⃗ (2)V B = ∑ Mj ⃗ B (4.13)což slovně můžeme vyjádřit větou: Dvě silové soustavy jsou π 1 aπ 2 jsou staticky ekvivalentní,jestliže mají současně stejnou výslednici a stejný výsledný moment k libovolnému bodu B. Vtomto případě obě soustavy při působení na hmotný objekt vyvolávají stejný pohyb objektujako celku tj. stejnou translaci a stejnou rotaci.