Mechanika I - Statika - Vysoké učení technické v Brně

6. Styk těles 81T1 Střednice homogenního tenkého drátu konstantního průměru d jezakřivena do tvaru kruhového oblouku obr. 6.30. Určete polohu těžiště,je-li dán poloměr zakřivení střednice R a středový úhel 2α.x = R cos ϕ; ds = R dϕ∫∫x ds R 2 α cos ϕ dϕγx T = ∫ds = −αα∫R dϕγ−α= R sin αα; y T = z T = 0 (symetrie)Obr. 6.30:T2 Určete polohu těžiště homogenního tenkého drátu konstantního průměru d, jehož střednicemá tvar půlkružnice. Pro řešení využijte Pappus-Guldinovu větu, výsledek zkontrolujte pomocívztahu odvozeného v T1 .Rotací půlkružnice kolem osy y vznikne plášť koule. Podle první Pappus-Guldinovy větyje plocha pláště rotačně symetrické plochy (zde koule) dána součinem délky tvořící křivky (zdepůlkružnice) a délky dráhy, kterou při rotaci opíše její těžiště. Pak ze vztahu S = 2πx T · πR =T3 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové výseče(obr. 6.31). Určete polohu těžiště ve střednicové rovině desky, je-lidán poloměr r a středový úhel 2α.4πR 2 lze určit polohu těžiště půlkružnice x T = 2R. πx = ρ cos ϕ; dS = ρ dρ dϕ; y T = z T = 0 (symetrie)∫α∫ R∫x dS ρ 2 dρ cos ϕ dϕΓx T = ∫dS = −α 0= 2 α∫ R∫3 Rsin ααΓρdρdϕ−α 0Obr. 6.31:T4 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové úseče. Určete polohu těžiště vestřednicové rovině desky, je-li dán poloměr r a středový úhel 2α. Při řešení využijte výsledekřešení úlohy T3 .Kruhovou úseč obdržíme oddělením trojúhelníku od kruhové výseče. Souřadnice jejíhotěžiště2∑x Ti · S i 2i=1x T = =R sin α · α 3 α R2 + 2R cos α · 3 (−R2 sin α cos α)= 2 2∑α RS 2 − R 2 sin α cos α3 R sin 3 αα − sin α cos αii=1