04.04.2015 Views

2 Statika-Operace s vektory

2 Statika-Operace s vektory

2 Statika-Operace s vektory

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

OPERACE S VEKTORY - 7 -<br />

2.1 Skaláry a <strong>vektory</strong>. <strong>Operace</strong> s <strong>vektory</strong><br />

Skalár-veličina charakterizovaná číslem (hmota m, objem V, délka l)<br />

Vektor- veličina mající směr i velikost. V ručně psaném textu budeme používat F . Z hlediska<br />

používat zápis a, b, c...<br />

označování v textu budeme pro velikost vektorů a, b,<br />

c<br />

<br />

Skalární součin (násobení)- výsledkem je skalár c = a.<br />

b <br />

= a x b x +a y b y +a z b z = a b cos φ, kde φ<br />

je úhel mezi oběma <strong>vektory</strong><br />

<br />

Vektorový součet c = a + b<br />

<br />

<br />

- souřadnice vektoru c = ( c<br />

x<br />

,c<br />

y<br />

,c<br />

z<br />

) jsou cy = ay + by<br />

,<br />

cz = az + bz<br />

, cx = ax + bx<br />

.<br />

<br />

<br />

Vektorový součin c = a xb -souřadnice vektoru c = ( c<br />

x<br />

,c<br />

y<br />

,c<br />

z<br />

) vypočítáme buď rozvojem<br />

determinantu tj.<br />

<br />

⎡ i j k ⎤<br />

⎢ ⎥ <br />

<br />

<br />

c = a xb = ⎢ax ay az ⎥ = ( aybz − byaz ) i − ( axbz − bxaz ) j + ( axby − bxay<br />

) k<br />

⎢bx by b ⎥<br />

⎣<br />

z ⎦<br />

nebo pomocí násobení matic<br />

⎡c<br />

⎤ ⎡ 0 −a<br />

x<br />

z ay<br />

⎤ ⎡b<br />

⎤<br />

x<br />

⎢ ⎥ ⎢<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

c = ⎢cy ⎥ = Ab = ⎢ az 0 −ax ⎥ ⎢by<br />

⎥<br />

⎢<br />

c ay<br />

ax<br />

0<br />

⎥<br />

⎢⎣ z ⎥<br />

−<br />

⎦ ⎢⎣<br />

⎥⎦<br />

⎢⎣ bz<br />

⎥⎦<br />

<br />

Skalární násobení- výsledkem je skalár c= a .b <br />

=a x b x +a y b y +a z b z =ab cos φ<br />

Poznámka: Dvojího vyjádření pro skalární součin můžeme použít pro určení úhlu mezi<br />

<strong>vektory</strong><br />

2.2 Vyjádření sil v kartézské soustavě<br />

Předpokládejme, že na těleso působí v bodě A osamocená síla. Taková osamocená síla je pak<br />

v prostoru určena<br />

a) bodem A , který nazýváme působištěm osamělé síly, působiště je určeno souřadnicemi<br />

x A , y A , z A .<br />

b) vlastní silou F , která působí v působišti A<br />

Pro analytický popis sil používáme ve statice kartézskou soustavu souřadnic, která<br />

vytváří pravoúhlý, pravotočivý souřadnicový systém určený trojicí vzájemně na sebe kolmých<br />

<br />

jednotkových vektorů báze i , j ,k souřadnicových os x,y,z. Poloha bodu A (viz obr.3.6) je<br />

<br />

určena polohovým vektorem rA xAi <br />

y <br />

A<br />

j zA<br />

k <br />

= + + o velikosti<br />

2 2 2<br />

rA = xA + yA + zA<br />

.<br />

<br />

Zapisujeme r<br />

A = ( x<br />

A, y<br />

A,z A<br />

) . Směr vektoru síly r <br />

A<br />

je určen jednotkovým vektorem<br />

<br />

erA<br />

= cosα i <br />

+ cos β j + cosγ k<br />

<br />

kde α , β , γ jsou směrové úhly vektoru r A<br />

. Směrové<br />

úhly odečítáme vždy od kladného směru příslušné osy směrem k vektoru v nejkratším směru<br />

tj. α , β , γ ∈< 0,π ><br />

. Hodnoty směrových úhlů určujících daný směr zpravidla určíme


OPERACE S VEKTORY - 8 -<br />

pomocí jejich kosinů. Pro vektor e <br />

r<br />

platí e = ( )<br />

A<br />

r A<br />

cos α ,cos β ,cosγ , kde<br />

xA yA zA<br />

2 2 2<br />

cos α = , cos β = , cos γ<br />

= . Je zřejmé, že platí cos α + cos β + cos γ =<br />

1. Pro<br />

rA rA rA<br />

zadání směru vektoru tedy stačí znát hodnoty dvou směrových úhlů a interval úhlu třetího,<br />

π<br />

např. α, β,<br />

γ ≤ . Mohou být také zadány 2 směrové kosiny a znaménko kosinu třetího např.<br />

2<br />

cos α,cos β , sign cosγ .<br />

( )<br />

Podobně vektor síly F s působištěm A v soustavě O xyz určíme tak, že do působiště síly<br />

Obr. 2.1<br />

umístíme počátek lokální souřadné soustavy se stejným směrem souřadných os jako má<br />

globální souřadná soustava O xyz . Směrové kosiny pro libovolný směr jsou v obou souřadných<br />

soustavách stejné. Proto zjistíme-li směrové αF , β<br />

F<br />

, γ<br />

F<br />

v lokálním systému, můžeme pak i<br />

pro globální souřadný systém psát F = Fxi + F <br />

y<br />

j + Fzk <br />

. Velikost síly<br />

<br />

T 2 2 2<br />

F = F.<br />

F = F + F + F . Velikost síly je přitom nezávislá na volbě vztažného<br />

x y z<br />

souřadného systému tj. říkáme že je to invariant.<br />

<br />

Vektorově sílu zapisujeme F = ( F<br />

x<br />

,F<br />

y<br />

,F<br />

z<br />

) = ( F cos αF ,F cos βF ,F cos γ<br />

F<br />

) . Skaláry<br />

F<br />

x<br />

,F<br />

y<br />

,F<br />

z<br />

jsou souřadnice síly, <strong>vektory</strong> F x = Fx i ,F y = F <br />

y<br />

j ,F <br />

z = Fz<br />

k <br />

jsou složky síly. Přímka<br />

n F je nositelka síly, pro její body platí r = r A<br />

+ λe<br />

. Sílu tedy můžeme<br />

F<br />

<br />

zapsat F = F δ<br />

F<br />

eF = Fn en<br />

, kde F<br />

n<br />

je souřadnice vzhledem k nositelce (může to být číslo<br />

kladné i záporné). Toto zadání síly se často vyjadřuje tak, že osamocená síla je určena<br />

působištěm r A<br />

, velikostí F , směrem e n<br />

a orientací (smyslem) δ<br />

F<br />

.<br />

Jednotkový vektor síly určíme ze vztahu<br />

<br />

F ⎛<br />

F F <br />

⎞<br />

<br />

x y Fz<br />

eF = = ⎜<br />

i + j + k ⎟<br />

= ( cosαFi + cos βF j +<br />

cos β<br />

Fk<br />

)<br />

F ⎝<br />

F F F<br />


OPERACE S VEKTORY - 9 -<br />

Nositelka síly bývá často zadávána jako spojnice 2 bodů A a B. Míří-li přitom F z bodu A<br />

do bodu B . Pak e F<br />

určujeme ze vztahu<br />

⎛<br />

xB − xA yB − yA zB −<br />

zA<br />

⎞<br />

2 2 2<br />

eF = ⎜<br />

, , ⎟<br />

, kde AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) + ( zB −<br />

zA<br />

)<br />

⎝<br />

AB AB AB<br />

⎠<br />

Při znázornění síly v rovině sílu F zadáváme jako orientovanou úsečku vedenou z bodu A,<br />

její velikost je nakreslena ve zvoleném měřítku. Měřítko vyjadřuje kolik jednotek síly<br />

odpovídá při znázornění jednotce délky na výkresu. Je-li obrazem síly F <br />

úsečka l F, pak<br />

lF<br />

měřítko m F je mF<br />

= . Průmět síly F p do směru p (určeném jednotkovým vektorem e p<br />

)<br />

F<br />

který svírá s vektorem síly F <br />

úhel ϕ dostaneme pomocí skalárního násobení tj.<br />

<br />

F = F.e = F . e cosϕ<br />

=<br />

F cosϕ . Proto souřadnice síly jsou vlastně průměty vektoru síly<br />

p p p<br />

F do směrů příslušných souřadných os.<br />

Vzhledem k tomu, že síla je veličina vektorového charakteru, pro působení sil platí<br />

<br />

pravidla vektorového počtu. Působení dvou sil F1 , F2<br />

můžeme nahradit silou jedinou tj.<br />

výslednicí F <br />

pro kterou platí Fv<br />

= F1 + F2<br />

, velikost<br />

2 2<br />

Fv<br />

= F1 + F1 − 2F1 F1<br />

cosϕ<br />

, kde φ je<br />

úhel mezi oběma silami.<br />

v<br />

Pokud platí<br />

<br />

F ' = κ F , kde κ je skalár, pak F ' je rovnoběžná s F .

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!