Lyapunovljeva analiza stabilnosti

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstva realnih simetričnih matricaModalna matrica pozitivno-definitne simetrične matrice.Modalna matrica P pozitivno-definitne simetrične matrice A je ortogonalnamatrica, odnosno P −1 = P T .Dokaz. Modalnu matricu pozitivno-definitne simetrične matrice formiramo odortonormiranih svojstvenih vektora matrice AP = [û 1 û 2 · · · û n ] (2)Na osnovu navedene definicije modalne matrice, treba provjeriti da li vrijedisvojstvo ortogonalne matrice P T P = I. Dobivamo⎡ ⎤⎡⎤û T 1û T P T û T 1 û1 û T 1 û2 · · · û T 1 ûn2P = ⎢ ⎥⎣ . ⎦ [û û T 21 û 2 · · · û n ] = ⎢û1 û T 2 û2 · · · û T 2 ûn⎣.. . ..⎥. ⎦ = I.û T n û 1 û T n û 2 · · · û T n û nû T niz čega zaključujemo da je P ortogonalna matrica. □Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 26 / 42