Lyapunovljeva analiza stabilnosti

SadržajDefinicije i pojam stabilnosti1 Definicije i pojam stabilnosti2 Lyapunovljeva analiza stabilnosti3 Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 3 / 42

Definicije i pojam stabilnostiDefinicije stabilnostiDefinicije stabilnostiAutonomni nelinearni dinamički sustav reprezentiran je sustavom nelinearnihdiferencijalnih jednadžbi:ẋ = f(x)gdje jef : R n → R n - nelinearna vektorska funkcija,x ∈ R n - vektor stanja sustava.Definicija 1. (Stabilnost) Za ravnotežno stanje x = 0 kažemo da je stabilno akoza neki ε > 0 postoji δ > 0 tako da iz ‖x(t 0 )‖ < δ, slijedi ‖x(t)‖ < ε za svet ≥ t 0 . Inače ravnotežno stanje je nestabilno.Prethodnu definiciju možemo prikazati kompaktnije na slijedeći način∀ε > 0, ∃δ > 0, ‖x(t 0 )‖ < δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε, t ≥ 0.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 4 / 42

Definicije i pojam stabilnostiStabilnost sustava 1. redaStabilnost nelinearnih sustava prvog redaDinamički sustav (x ∈ R)ẋ = f(x)Uvjet stabilnostix · f(x) ≤ 0od diferencijalne forme ...x · ẋ = x · f(x)... do ”uvjeta disipativnosti”( )d 1dt 2 x2 = x · f(x) ≤ 0( )d 1dt 2 x2 = d ( ) 1 dxdx 2 x2 dt = x · ẋAko označimo: V (x) = 1 2 x2 imamo ˙V (x) ≤ 0Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 7 / 42

Definicije i pojam stabilnostiStabilnost sustava 1. redaSvojstva funkcije V (x)1. V (x) > 0 za x ≠ 02. V (x) = 0 ⇔ x = 03. minxV (x) = 0Posljedica V (x) ≥ 0 i ˙V (x) ≤ 0x → 0 za t → ∞Sustav je asimptotski stabilan!1 Za bilo koji početni x(0) = x 0 ≠ 0 imamo V (x 0 ) > 0 u t = 0.2 Zbog ˙V (x) ≤ 0 slijedi da će V (x) kontinuirano opadati tijekom vremenaprema minimalnoj mogućoj vrijednosti: V (x) = 0.3 Posljedica V (x) → 0 je x → 01/2 x 2 −2 −1 0 1 2−x 2201.5−11−20.5−30−4−2 −1 0 1 2xxOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 8 / 42

SadržajLyapunovljeva analiza stabilnosti1 Definicije i pojam stabilnosti2 Lyapunovljeva analiza stabilnosti3 Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 9 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiKarakterizacija stabilnosti primjenom Lyapunovljeve funkcijeGlobalna stabilnost (ẋ = f(x); x, f(x) ∈ R n )Ako imamo skalarnu funkciju V (x) sa kontinuiranim parcijalnim derivacijamaprvog reda tako da vrijediV (x) je pozitivno definitna (V (x) > 0 za x > 0; V (x) = 0 za x = 0)˙V (x) je negativno (semi)definitna ( ˙V (x) ≤ 0 za x > 0; ˙V (x) = 0 za x = 0)V (x) → ∞ kada ‖x‖ → ∞ (V (x) je radijalno neograničena)tada je ravnotežno stanje x = 0 globalno stabilno. Ako je ˙V (x) negativnodefinitna tada je ravnotežno stanje globalno asimptotski stabilno.LaSalleov princip invarijantnosti ( ˙V (x) ≤ 0){}Ako skup R = x ∈ R n | ˙V (x) = 0 ne sadrži druga rješenja osim ravnotežnogstanja x = 0, tada je ravnotežno stanje x = 0 globalno asimptotski stabilno.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 10 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 11 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 11 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 11 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 11 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiPrimjer: ẋ = −x + x 3 , LF: V (x) = 1 2 x2f(x) = −x + x 3˙V (x) = xẋ = xf(x) = −x 2 + x 4 = x 2 (x 2 − 1) ≤ 0(x 2 − 1) ≤ 0−1 < x < 1 - domena atrakcijeAnaliza stabilnosti za nelinearne sustave prvog reda je jednostavnaS povećanjem reda sustava analiza stabilnosti postaje sve složenijaNe postoji univerzalna ”receptura” kao u slučaju linearnih sustavaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 12 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiStabilnost sustava 2. redaPrimjer 2:ẋ 1 = x 2 ,ẋ 2 = −2x 1 − x 2 ,LF: V (x) = 7x 2 1 + 2x 1 x 2 + 3x 2 2 , V (x) ≥ 0 ???2x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 − x 2 1 − x2 2V (x) = 7x 2 1 + 3x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 − x 2 1 − x2 2V (x) = 6x 2 1 + 2x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 ≥ 0 - LF je pozitivno definitna˙V (x) = 14x 1 ẋ 1 + 6x 2 ẋ 2 + 2x 1 ẋ 2 + 2ẋ 1 x 2˙V (x) = 14x 1 (x 2 ) + 6x 2 (−2x 1 − x 2 ) + 2x 1 (−2x 1 − x 2 ) + 2(x 2 )x 2˙V (x) = −4x 2 1 − 4x2 2 ≤ 0 - derivacija LF je negativno definitnaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 13 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiStabilnost sustava 2. redaLinearni prigušeni oscilatorDinamički model linearnog prigušenog oscilatoramẍ + γẋ + kx = 0Energija linearnog prigušenog oscilatoraE(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 ≥ 0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + kxẋ = (mẍ + kx) ẋ = −γẋ 2 ≤ 0} {{ }−γẋHurwitzov kriterij stabilnostim > 0, γ > 0, k > 0Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 14 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiStabilnost sustava 2. redaNelinearni prigušeni oscilator (1)Dinamički model nelinearnog prigušenog oscilatora (1)mẍ + γẋ 3 + kx 3 = 0nije mogućalinearizacija!!!Energija nelinearnog prigušenog oscilatora (1)E(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 4 kx4Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + kx 3 ẋ = (mẍ + kx 3 ) ẋ = −γẋ 4} {{ }−γẋ 3Kriterij stabilnostim > 0, γ > 0, k > 0Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 15 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiStabilnost sustava 2. redaNelinearni prigušeni oscilator (2)Dinamički model nelinearnog prigušenog oscilatora (2)mẍ + f(x, ẋ) + g(x) = 0Energija nelinearnog prigušenog oscilatora (2)E(x, ẋ) = 1 ∫ x2 mẋ2 + g(ξ)dξ0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + g(x)ẋ = (mẍ + g(x)) ẋ = −ẋf(x, ẋ)} {{ }−f(x,ẋ)Kriterij stabilnostim > 0, ẋf(x, ẋ) > 0, xg(x) > 0Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 16 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnostiLinearni prigušeni oscilator (još jednom)Linearni prigušeni oscilator - primjena pasivnosti u konstrukciji LFDinamički model linearnog prigušenog oscilatoramẍ + γẋ + kx = 0izlazna varijabla y = ẋKvadratna diferencijalna formaẋ(mẍ + γẋ + kx) = mẍẋ + γẋ 2 + kxẋ == m d ( ) 1 2ẋ2 + γẋ 2 + k d ( ) 1dtdt 2 x2 == d ( 1dt 2 mẋ2 + 1 )2 kx2 + γẋ 2 = 0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatora(d 1dt 2 mẋ2 + 1 )2 kx2 = −γẋ 2} {{ }E(x,ẋ)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 17 / 42

SadržajLyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustava1 Definicije i pojam stabilnosti2 Lyapunovljeva analiza stabilnosti3 Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 18 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSylvesterov teoremKriterij pozitivne definitnosti matrice - Sylvesterov teoremAlgebarski kriterij pozitivne definitnosti matrice A daje nam Sylvesterov teorem:sve vodeće subdeterminante (leading principal minors) matrice A, moraju bitipozitivne∣ ∆ 1 = a 11 > 0, ∆ 2 =∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣> 0, ∆a 21 a 3 =22 a 21 a 22 a 23 > 0, . . .∣ a 31 a 32 a 33do ∆ n = det(A) > 0.Navedeni uvjet ekvivalentan je zahtijevu da svojstvene vrijednosti matrice A budupozitivne.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 21 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicije i svojstva vektorskih normiDefinicije i svojstva vektorskih normiNorma vektora x ∈ R n je funkcija koja preslikava vektorski prostor R n u prostornenegativnih realnih brojeva R + , odnosno ‖ · ‖ : R n → R + .Funkcija ‖ · ‖ naziva se vektorska norma ako vrijede slijedeća svojstva1 ‖x‖ ≥ 0, ∀ x ∈ R n2 ‖x‖ = 0 ⇒ x = 03 ‖αx‖ = |α| ‖x‖, ∀ x ∈ R n , ∀ α ∈ R4 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, ∀ x, y ∈ R n (nejednakost trokuta)Vrijedi:‖x T y‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 22 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicije i svojstva vektorskih normiL p norma vektoraL p norme vektora koje su definirane slijedećim izrazom‖x‖ p =gdje je x = [x 1 x 2 · · · x n ] T .L 1 norma: ‖x‖ 1 =n∑|x i |i=1( n∑i=1( n) 1/2∑L 2 norma: ‖x‖ 2 = |x i | 2 = √ x T xi=1L ∞ norma: ‖x‖ ∞ = max |x i |i|x i | p ) 1p, p ≥ 1 (1)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 23 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstvene vrijednosti pozitivno-definitne simetrične matrice.Svojstvene vrijednosti realne pozitivno-definitne simetrične matrice A supozitivne.Dokaz. Neka je λ i svojstvena vrijednost matrice A dok je u i pripadajućisvojstveni vektor, odnosno: Au i = λ i u i .Pomnožimo li navedenu jednadžbu (s lijeve strane) sa u T i dobivamou T i Au i = λ i u T i u i = λ i ‖u i ‖ 2 .S obzirom da je A pozitivno-definitna, u T i Au i ≥ 0, te da vrijedi ‖u i ‖ 2 ≥ 0,direktno slijedi da mora biti zadovoljeno λ i > 0. □Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 24 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstveni vektori simetrične matrice.Svojstveni vektori realne simetrične matrice A medusobno su ortogonalni.Dokaz. Neka su λ i i λ j dvije različite svojstvene vrijednosti matrice A dok su u i iu j pripadajući svojstveni vektori: Au i = λ i u i i Au j = λ j u j .Slijedi:u T i A T u j = λ i u T i u j .u T i Au j = λ j u T i u j .Zbog simetričnosti, A = A T , oduzimanjem prethodnih jednadžbi dobivamoS obzirom da vrijedi λ j ≠ λ i slijedi(λ j − λ i )u T i u j = 0.u T i u j = 0,čime smo dokazali da svojstveni vektori simetrične matrice formiraju ortogonalnubazu n-dimenzionalnog vektorskog prostora. □Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 25 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstva realnih simetričnih matricaModalna matrica pozitivno-definitne simetrične matrice.Modalna matrica P pozitivno-definitne simetrične matrice A je ortogonalnamatrica, odnosno P −1 = P T .Dokaz. Modalnu matricu pozitivno-definitne simetrične matrice formiramo odortonormiranih svojstvenih vektora matrice AP = [û 1 û 2 · · · û n ] (2)Na osnovu navedene definicije modalne matrice, treba provjeriti da li vrijedisvojstvo ortogonalne matrice P T P = I. Dobivamo⎡ ⎤⎡⎤û T 1û T P T û T 1 û1 û T 1 û2 · · · û T 1 ûn2P = ⎢ ⎥⎣ . ⎦ [û û T 21 û 2 · · · û n ] = ⎢û1 û T 2 û2 · · · û T 2 ûn⎣.. . ..⎥. ⎦ = I.û T n û 1 û T n û 2 · · · û T n û nû T niz čega zaključujemo da je P ortogonalna matrica. □Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 26 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaSvojstva realnih simetričnih matricaSvojstva realnih simetričnih matricaTransformacija kongruencije (congruent transformation).S obzirom da je modalna matrica pozitivno-definitne simetrične matriceortogonalna, slijedi da dijagonalizaciju matrice A, primjenom transformacijesličnosti P −1 AP = Λ, možemo prikazati na slijedeći načinP T AP = Λ, (3)jer vrijedi P T = P −1 .Transformacija (3) naziva se transformacija kongruencije (congruenttransformation).Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 27 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDijagonalizacija kvadratne formeDijagonalizacija kvadratne formeKvadratnu formu Q = x T Ax, gdje je A pozitivno-definitna simetrična matrica,moguće je transformirati u oblik linearne kombinacije kvadratnih članova pomoćulinearne transformacije x = Py, gdje je P ortogonalna modalna matrica (2).Primjenimo li navedenu transformaciju dobivamoQ = x T Ax = y T P T APy = y T Λy =gdje su λ i pozitivne svojstvene vrijednosti matrice A.n∑λ i yi 2 , (4)i=1Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 28 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOcjena kvadratne formeOcjena kvadratne formeAko su λ 1 , λ 2 , ..., λ n vlastite vrijednosti realne simetrične matrice A, dok suλ m {A} = min{λ 1 , λ 2 , ..., λ n }, λ M {A} = max{λ 1 , λ 2 , ..., λ n },minimalna i maksimalna svojstvena vrijednost matrice A, tada za svaki realnivektor x vrijediλ m {A}‖x‖ 2 ≤ x T Ax ≤ λ M {A}‖x‖ 2 (5)gdje je ‖x‖ 2 = x T x kvadrat Euklidske L 2 norme vektora.Dokaz. Transformacija x = Py, gdje je P ortogonalna modalna matrica (2), imasvojstvo‖x‖ 2 = x T x = y T P T Py = y T y = ‖y‖ 2 , (6)gdje smo iskoristili svojstvo unitarne matrice P T P = I.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 29 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOcjena kvadratne formeOcjena kvadratne formeNadalje, na osnovu (4) slijede nejednakostiodnosnon∑n∑λ i yi 2 ≤ λ M {A} yi 2 = λ M {A}‖y‖ 2 , (7)i=1i=1i=1n∑n∑λ i yi 2 ≥ λ m {A} yi 2 = λ m {A}‖y‖ 2 , (8)i=1λ m {A}‖y‖ 2 ≤ x T Ax = y T Λy ≤ λ M {A}‖y‖ 2 . (9)Uvrstimo li u prethodni izraz jednakost ‖y‖ 2 = ‖x‖ 2 koja proizlazi iz (6),dobivamoλ m {A}‖x‖ 2 ≤ x T Ax ≤ λ M {A}‖x‖ 2 , (10)čime smo dokazali ocjenu kvadratne forme (5). □Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 30 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaInducirana norma matriceInducirana norma matriceInduciranu normu matrice definiramo indirektno preko norme vektora.Pretpostavimo da imamo ovisnost dva vektora preko linearne transformacije,y = Ax. Kvadrat norme vektora y jednak je‖y‖ 2 = y T y = x T A T Ax ≤ λ M{A T A } ‖x‖ 2 , (11)odnosno‖y‖ ≤√λ M {A T A}‖x‖. (12)Ako sa ‖A‖ 2 označimo tzv. L 2 induciranu normu matrice A√‖A‖ 2 = λ M {A T A}, (13)imamo‖y‖ ≤ ‖A‖ 2 ‖x‖. (14)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 31 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicija inducirane norme matriceDefinicija inducirane norme matriceAko imamo linearno preslikavanje y = Ax, tada inducirana matrična L p normamora zadovoljavati‖y‖ p ≤ ‖A‖ p ‖x‖ p . (15)Induciranu matričnu normu možemo shvatiti kao maksimalno ”pojačanje”linearnog operatora definiranog matricom A.Na osnovu prethodnog izraza možemo postaviti slijedeću definiciju‖Ax‖ p‖A‖ p = sup(16)x≠0 ‖x‖ pOpća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 32 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicija inducirane norme matriceDefinicija inducirane norme matriceDefinicija inducirane norme može se pojednostaviti na slijedeći način.Uvedimo normirani vektorˆx = x α ,α = ‖x‖,tako da je x = αˆx.Uvrstimo li navedeni izraz za x u (16), dobivamo‖Aαˆx‖ p |α| ‖Aˆx‖ p ‖Aˆx‖ p‖A‖ p = sup = sup= sup(17)x≠0 ‖αˆx‖ p x≠0 |α| ‖ˆx‖ p ˆx≠0 ‖ˆx‖ pS obzirom da je ‖ˆx‖ p = 1, definiciju (16) možemo prikazati na slijedeći način‖A‖ p =sup ‖Ax‖ p (18)‖x‖ p=1Ako je p = 2 imamo L 2 normu, i odredivanje inducirane norme po definiciji (18)možemo shvatiti kao maksimizaciju norme ‖Ax‖ po jediničnoj kružnici ‖x‖ = 1.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 33 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicija inducirane norme matriceStandardne inducirane matrične normeL 1 norma definirana je sa‖A‖ 1 = maxjn∑|a ij |, (19)odnosno, kao maksimum sume elemenata po stupcima (max column sum).L 2 norma definirana je sa√‖A‖ 2 = λ M {A T A}, (20)odnosno, kao korijen maksimalne svojstvene vrijednosti matrice A T A.L ∞ norma definirana je sa‖A‖ ∞ = maxii=1n∑|a ij |. (21)odnosno, kao maksimum sume elemenata po retcima (max row sum).j=1Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 34 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicija inducirane norme matriceStandardne inducirane matrične normeTablica: Vektorske norme i odgovarajuće inducirane matrične normep Vektorska norma Inducirana matrična norman∑n∑1 ‖x‖ 1 = |x i | ‖A‖ 1 = max |a ij |ji=1i=1( n) 1/2∑√2 ‖x‖ 2 = |x i | 2 ‖A‖ 2 = λ M {A T A}∞i=1‖x‖ ∞ = maxi|x i | ‖A‖ ∞ = maxin∑|a ij |j=1Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 35 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaDefinicija inducirane norme matriceStandardne inducirane matrične normeInducirane matrične norme općenito zadovoljavaju slijedeća svojstva‖Ax‖ p ≤ ‖A‖ p ‖x‖ p ,∀ x ∈ R n‖A + B‖ p ≤ ‖A‖ p + ‖B‖ p‖AB‖ p ≤ ‖A‖ p ‖B‖ pgdje su matrice A i B odgovarajućih dimenzija.U analizi stabilnosti najčešće se koristi L 2 inducirana norma.Medutim, konkretno izračunavanje L 2 inducirane norme bitno je složenije odizračunavanja L 1 i L ∞ inducirane norme.Stoga su od interesa veze medu različitim induciranim normama, kojeomogućavaju jednostavniju ocjenu L 2 inducirane norme.Jedna takva veza dana je slijedećim izrazom‖A‖ 2 ≤ √ ‖A‖ 1 ‖A‖ ∞ (22)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 36 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOcjena konvergencije Lyapunovljeve funkcijeOcjena konvergencije Lyapunovljeve funkcijeZa pozitivno definitne matrice P i Q vrijede slijedeće ocjene kvadratnih formiλ m {P}‖x‖ 2 ≤ x T Px ≤ λ M {P}‖x‖ 2 , (23)λ m {Q}‖x‖ 2 ≤ x T Qx ≤ λ M {Q}‖x‖ 2 . (24)Primjenimo li navedene ocjene na izrazeV = x T Px,˙V = −x T Qxdobivamo˙V = −x T Qx ≤ −λ m {Q}‖x‖ 2 ≤ − λ m{Q}λ M {P} xT Px ≤ −γV, (25)gdje jeγ = λ m{Q}λ M {P} . (26)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 37 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaOcjena konvergencije Lyapunovljeve funkcijeOcjena konvergencije Lyapunovljeve funkcijeDobili smo skalarnu diferencijalnu nejednadžbučije rješenje je˙V ≤ −γV, (27)V (t) ≤ V (0)e −γt . (28)Nadalje, na osnovu ocjene Lyapunovljeve funkcije (28), možemo naći ocjenukonvergencije norme vektora stanja ‖x(t)‖.Primjenimo li ocjene (23) i (24) na izraz (28), dobivamoλ m {P}‖x‖ 2 ≤ V (t) ≤ V (0)e −γt ≤ λ M {P}‖x(0)‖ 2 e −γt , (29)odnosnogdje je‖x‖ < ε‖x(0)‖ e − γ 2 t (30)ε =√λ M {P}λ m {P} . (31)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 38 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaPretpostavimo da je provedena analiza stabilnosti asimptotski stabilnog linearnogsustavaẋ = Axpomoću Lyapunovljeve funkcijeV = x T Pxte da je matrica P = P T ≥ 0 odredena rješavanjem Lyapunovljeve jednadžbegdje je Q = Q T ≥ 0.A T P + PA = −QNavedena analiza stabilnosti provedena je uz pretpostavku potpunog poznavanjamodela sustava, reprezentiranog matricom A.Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 39 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaPretpostavimo da je realni dinamički model sustava opisan slijedećimjednadžbama stanjaẋ = Ax + f(x), (32)gdje je f(x) neka nepoznata funkcija (koja reprezentira nemodeliranu dinamikusustava) za koju je poznata samo ocjenagdje je k neki poznati konstantni parametar.‖f(x)‖ ≤ k‖x‖, (33)Postavlja se pitanje pod kojim uvjetima će sustav biti asimptotski stabilan, akoznamo matrice A, P, Q, ta parametar k kojim preko (33) ocjenjujemo nepoznatufunkciju f(x).Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 40 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaUzmimo Lyapunovljevu funkciju V = x T Px, te odredimo ˙V˙V = ẋ T Px + x T Pẋ= [Ax + f(x)] T Px + x T P[Ax + f(x)]= x T (A T P + PA)x + f(x) T Px + x T Pf(x)= −x T Qx + 2x T Pf(x). (34)Vidimo da je prvi član na desnoj strani negativno definitan, medutim, drugi članje indefinitan i moramo ga ocjeniti primjenom vektorskih normi.Ocjena prvog člana na desnoj strani:x T Qx ≥ λ m {Q}‖x‖ 2 , ⇒ −x T Qx ≤ −λ m {Q}‖x‖ 2 . (35)Ocjena drugog člana na desnoj strani:x T Pf(x) ≤ ‖x‖ ‖Pf(x)‖ ≤ ‖x‖ ‖P‖ 2 ‖f(x)‖ ≤ k‖P‖ 2 ‖x‖ 2 . (36)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 41 / 42

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaAnaliza stabilnosti perturbiranog sustavaUvrstimo li ocjene (36) i (35) u (34), dobivamo˙V ≤ −(λ m {Q} − 2k‖P‖ 2 )‖x‖ 2 . (37)Da bi sustav bio stabilan, mora biti ˙V ≤ 0, odnosnoiz čega proizlazi konačni uvjet stabilnostiλ m {Q} − 2k‖P‖ 2 > 0, (38)k < λ m{Q}2 ‖P‖ 2. (39)Opća teorija sustava ( ) Lyapunovljeva analiza stabilnosti 42 / 42