Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Каждой перестановке π на множестве из n вершин соответствует графстепени 2, в котором проведены рёбра x–π(x) для всех x. Другими словами,элементы A x,π(x) и симметричные им равны 1; если же π(x) = x, то надиагонали стоит 2 (две петли).Совмещая d таких графов, получаем граф степени 2d. Выбирая d перестановокслучайно и независимо, получаем некоторое распределение награфах степени 2d, которое и будем использовать в доказательстве.Мы будем оценивать среднее значение следа A 2k для матрицы A случайновыбранного графа при подходящем k, которое подберём позже. (Чётнаястепень нужна, чтобы степени собственных чисел были положительны.)Удобно поделить матрицу на 2d, чтобы первое собственное число стало равнымединице. Посмотрев на след, получаем оценку на второе собственноечисло λ:1 + (λ/2d) 2k ≤ tr[(A/2d) 2k ]Таким образом, надо доказать существование графа, где правая часть мала.Для этого мы, как и раньше, оцениваем сверху среднее значение правойчасти.Математическое ожидание следа равно сумме математических ожиданийдиагональных элементов. Все они одинаковы, поэтому правая частьравна n, умноженному на вероятность вернуться из данной точки в себя послеk случайных шагов по случайному (в описанном смысле) графу. Такимобразом, надо (как и раньше) показать, что эта вероятность лишь немногопревосходит 1/n.Вероятностное пространство является произведением двух независимыхвыборов. Мы выбираем случайное слово длины 2k в алфавите из 2d буквπ 1 , . . . , π d , π1 −1 , . . . , π−1 d. Отдельно мы выбираем d независимых перестановокπ 1 , . . . , π d множества из n элементов. Нас интересует такое событие:начиная с фиксированной вершины и применяя выбранные перестановки(и/или обратные) в выбранном порядке, мы возвращаемся в исходную вершину.Оценим эту вероятность сначала для каждого слова отдельно, а потомусредним по всем словам. Заметим, что среди слов есть такие, от которыхпосле сокращения ничего не остаётся; для таких слов интересующая нас вероятностьравна 1. Другая ситуация: если после сокращения остаётся слово,в которое никакая буква π i не входит дважды, то вероятность равна 1/n:на последнем шаге условная вероятность вернуться в начало (при любомразвитии событий на предыдущих шагах) равна 1/n, так как предыдущиешаги никак не ограничивают последнюю перестановку. Ещё пример: еслипосле сокращения остаётся слово π 1 π 1 , то вероятность вернуться в исходнуюточку равна 1/n + 1/(n − 1): вероятность вернуться на первом шагеравна 1/n (и тогда это произойдёт и во второй раз); если же на первомшаге мы попали в другую точку, то на втором шаге значение в этой новойточке может быть любым из n − 1 вариантов (кроме неё самой).Мы увидим, что для большинства слов вероятность вернуться близкак 1/n, и потому её среднее значение тоже будет близко к 1/n. Это боль-15