Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

сумму сверху:n/(1000d)∑s=1C s n · C 7 8 dsm( ) sd n/(1000d)7ds ∑≤8ms=1≤( ) 7(ne/s) s me78 dsn/(1000d)∑s=1[nes ·( 8me7ds8 ds ( ) sd 7ds≤8m) 78 d · ( 7ds8m )d ] s(1)Мы утверждаем, что данная сумма не превосходит 1/10. Чтобы доказатьэто, мы оценим эту сумму сверху геометрической прогрессией со знаменателем1/20. Таким образом, нам нужно показать, что для каждого s произведениев квадратных скобках в (1) не превосходит 1/20:nes ·( ) 78me7ds8 d ·( 7ds8m) d ( ) d= de 1+ 7 7ds8 d 8 −1 ≤8m≤ O(1) · de 7 8 d ( 71000 n8 · 34 n ) 1 8 d−1 < 1/20(последнее неравенство имеет место для достаточно больших d). Обращаемвнимание: мы использовали условие m ≥ 3n/4.Prob[второе свойство экспандера нарушено] ≤ ∑ S,T( ) sd |T |, (2)m(здесь мы суммируем по всем множествам S ⊂ L таким, что |S| ≤ n/2 иT ⊂ R таким, что |T | = 9 8|S|). Мы оценим (2) сверху:n/2∑( ) sdProb[второе экспандера нарушено] ≤ Cn s · C 9 8 s 9s/8m ·≤ms=1[n/2∑( ) ] d s9s/8(ne/s) · (me/(9s/8)) ·≤ 1/10 (3)ms=1Чтобы получить последнее неравенство, мы оцениваем сумму (3) геометрическойпрогрессией. Для этого достаточно доказать равномерную оценкуна выражение в квадратных скобках:( ) d 9s/8(ne/s) · (me/(9s/8)) · ≤ O(1) ·m( ) d−2 9n/16= O(1) · (3/4) d−2 ≤ 1/203n/4(здесь мы снова использовали, что m ≥ 3/4n). Теорема доказана.Литература: [HLW].2