Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Замечание. На самом деле можно улучшить оценку для второго собственногочисла до α+β, но мы ограничимся доказательством более слабогоутверждения.Доказательство Чтобы оценить второе собственное значение симметричнойматрицы, надо ограничить квадратичную форму на ортогональноедополнение к первому собственному вектору e 0 = (1, . . . , 1) и взять её максимумна единичном шаре. Другими словами, модуль второго собственногочисла матрицы ˜H ˜G ˜H есть максимум выражения|f ⊤ ˜H ˜G ˜Hf|по всем векторам f длины nD, имеющим единичную длину и ортогональных0 (то есть имеющих нулевую сумму координат). Чтобы оценить это выражение,разложим f в сумму f = f ‖ +f ⊥ следующим образом: координатыf ‖одинаковы в каждой из ‘галактик’ (копий графа H), а для f ⊥ на каждойкопии графа H сумма координат равна нулю. Чтобы оценить значениеквадратичной формы на произвольном векторе f ⊥ e 0 , мы отдельно изуимдействие матриц ˜G и ˜H на векторы f ‖ и f ⊥ :(a)˜Hg = d · g, поскольку внутри каждой копии H веса (координаты) вектораg одинаковы, и каждый из них распространяется в d соседей втой же галактике.(b) ‖ ˜Hh‖ ≤ βd · ‖h‖, поскольку вектор h в каждой копии H ортогоналенпервому собственному вектору матрицы графа H, а все остальныесобственные векторы этой матрицы не превосходят (по модулю) βd.(Если в каждой компоненте норма оператора не превосходит βd, тоэто верно и для всего оператора.)(c) |g ⊤ ˜Gg| ≤ α‖g‖ 2 ; в самом деле, квадратичная форма в левой части содержитодин ненулевой член для каждого ребра, позаимствованногоиз графа G (теперь это ребро соединяет две вершины из разных галактик).Поэтому выражение внутри знака модуля из левой части равно(ĝ) ⊤ Ĝĝ, где Ĝ — матрица смежности графа G, а ĝ получается из gсклеиванием равных значений в каждой компоненте. При этом суммакоординат в ĝ (как и в исходном векторе f) равна нулю. Поэтомуданное выражение (по предположению о графе G) оценивается какαm‖ĝ‖ 2 , что равно как раз α‖g‖ 2 .Теперь мы можем оценить искомое выражение:|f ⊤ ˜H ˜G ˜Hf| = |(g + h)⊤ ˜H ˜G ˜H(g + h)| ≤≤ |g ⊤ ˜H ˜G ˜Hg| + 2|g⊤ ˜H ˜G ˜Hh| + |h⊤ ˜H ˜G ˜Hh|.Первое из трёх слагаемых равно d 2 |g ⊤ ˜Gg| по свойству (a) и потому не превосходитαd 2 ‖g‖ 2 по (b). Второе слагаемое не превосходит 2·(βd)·d·‖g‖·‖h‖21