Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

то существует линейный код с параметрами (n, k, d) (граница Варшамова–Гилберта).Данное упражнение показывает, что коды (и даже линейные коды) сопределёнными параметрами существуют. Трудность состоит в том, чтобыполучить эффективную конструкцию такого кода (с полиномиальнымиалгоритмами кодирования и декодирования) для больших k и n. Далее мыприведём конструкцию Земора, позволяющую с помощью экспандеров строитькоды с достаточно хорошим (хотя и заведомо неоптимальным) соотношениемпараметров, для которых есть быстрые алгоритмы кодирования идекодирования.Рассмотрим сбалансированный двудольный граф G = (L, R, E), у которогопо m вершин в левой и правой доле, и степень каждой вершиныравна d. Будем считать, что m × m-матрица смежности данного графа совпадаетс матрицей алгебраического экспандера с параметрами (m, d, α) длянекоторого достатончо малого α.В графе G имеется n = dm рёбер. Далее мы опишем линейный код спараметрами (n, k, dist) (параметры k и dist мы уточним ниже). Преждевсего, каждому ребру графа припишем переменную x i , i = 1, . . . , n. Далеемы припишем каждой вершине графа некоторое семейство линейных уравненийс переменными x i (над полем Z 2 ). Вся эта совокупность уравнений ибудет задавать пространство кодовых слов.Для начала выберем проверочную матрицу H для линейного (d, k ′ , 2δd)-кода с максимальным возможным k ′ (k ′ ≈ d(1 − h(2δ)), см. упражнениевыше). Матрица H имеет размер (d − k ′ ) × d (она состоит из ≈ (dh(2δ))линейно независимых d-битовых строк.) Для фиксированного d такую матрицуможно найти перебором. Далее, сопоставим каждой вершине нашегографа систему уравнений, состоящую в умножении H на вектор-столбец,составленный из x i , приписанных рёбрам, выходящим из данной вершины.Таким образом, каждая вершина даёт k ′ ≈ dh(2δ) уравнений. Общеечисло уравнений, таким образом, составляет примерно 2mdh(2δ). Это значит,что размерность пространства решений этой системы ≈ n−2mdh(2δ) =(1 − 2h(2δ))n (таким образом, скорость кода равна (1 − 2h(2δ)). Остаётсяпонять, сколько ошибок позволяет исправлять данный код.Утверждение Расстояние построенного линейного кода не меньше 2δ(2δ−α)n.Доказательство: Рассмотрим ненулевое кодовое слово ¯x = (x 1 . . . x n ) сминимальным числом единиц (минимальным весом). Обозначим E ′ множестворёбер, соответствующих ненулевым битам этого кодового слова. НазовёмS и T множества вершин из левой и правой долей графа, в которыевходит хотя бы одно ребро из E ′ . Поскольку набор битов ¯x является кодовымсловом, он удовлетворяет уравнениям, приписанным всем вершинамграфа. Но матрица H устроена так, что она может аннулировать толькотакой d-битовый вектор, в котором есть хотя бы 2δd единиц (либо уж всебиты равны нули). Следовательно, в каждую из вершин S и T входит не ме-35