Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

и затем делаем ещё ход в H. Таким образом, вычисление N для графа G n+1использует два вызова аналогичного вычисления для G n , что приводит кэкспоненциальной оценке по n, и полиномиальной вычислимости функцииN не получается.Однако можно модифицировать конструкцию, используя не предыдущийграф G n , а граф с половинным индексом. Для начала выберем графH с параметрами (d 8 , d, 1/10), а затем построим последовательностьG 0 : (1, d 2 , 1/2)G 1 : (d 8 , d 2 , 1/2)G 2 : (d 16 , d 2 , 1/2). . .G n : (d 8n , d 2 , 1/2). . .Начальные графы G 0 и G 1 построить легко (G 0 — это граф, состоящий изединственной вершины и d 2 петель, граф G 1 можно получить из H размножениемрёбер в d раз, что не меняет собственных чисел). Затем можновоспользоваться рекуррентной формулойG n = (G ⌊(n−1)/2⌋ ⊗ G ⌈(n−1)/2⌉ ) 2 z○H,где ⊗ обозначает тензорное произведение, а z○ — зигзаг-произведение. Тензорноепроизведение в скобках имеет параметры (d 8(n−1) , d 4 , 1/2), после возведенияв квадрат получается (d 8(n−1) , d 8 , 1/4) и после зигзаг произведение(d 8n , d 2 , 1/2) (в силу того же вычисления с 1/4 и 1/10, что и раньше).Преимущество новой конструкции в том, что при вычислении функции‘вращения’ N два рекурсивных вызова относятся к половинным значениямn; глубина рекурсии теперь стала логарифмической по n, и общее времявычисления полиномиально по n.Оценка собственных чисел для сбалансированного подстановочногопроизведенияДокажем немного другую оценку на собственные числа: будем оцениватьне их малость второго собственного числа, а его отделённость от единицы.Для разнообразия будем иметь дело с подстановочным произведением (хотяаналогичная оценка возможна и для зигзаг-произведения).Теорема. Пусть графы G и H являются алгебраическими экспандерамис параметрами (n, D, 1−ε) и (D, d, 1−δ) соответственно. Тогда их сбалансированноеподстановочное произведение G r○H имеет параметры (nD, 2d, 1−εδ 2 /24).Доказательство. Удобно описывать происходящее в терминах блужданий(соответствующих нормализованным матрицам, полученных делениемматрицы смежности на степень графа). Блуждание по взвешенному23