Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Теперь мы можем повторить примерно те же рассуждения, что и выше,но уже с тремя слагаемыми. Применим лемму к блужданию по графу Hи разложим его в сумму (1 − δ)A + δB. Это разложение можно провестив каждой галактике и получить разложение Ĥ = (1 − δ)Â + δ ˆB, где Â —некоторый оператор с нормой не больше 1, а B — то самое полное перемешиваниевнутри галактик, о котором мы говорили выше.Повторяем прежнее рассуждение, но в разложенииU = 1 2Ĝ + 1 − δ Â + δ 2 2 ˆBбудет уже не 8, а 27 слагаемых. В одном из слагаемых (в ˆBĜ ˆB) второе собственноезначение не превосходит 1 − ε, а остальные представляют собойоператоры с нормой не больше 1 с некоторыми скалярными коэффициентами(сумма коэффициентов при этих 27 слагаемых равна единице). Поэтомувторое собственное значение U не больше 1 − εδ 2 /8, что и требовалось доказать.Ниже мы воспользуемся конструкцией подстановочного произведения идоказанной только что теоремой, чтобы получить теорему Рейнгольда. Асейчас мы применим полученные оценки чтобы описать ещё одну явнуюконструкцию алгебраических экспандеров. Прежде всего мы выберем алгебраическийэкспандер H с параметрами (d 50 , d/2, 1/100), а также алгебраическиеэкспандеры G 1 и G 2 с параметрами (d 100 , d, < 1/2) и (d 200 , d, < 1/2)соответственно (такие графы существуют для всех достаточно больших d).Далее построим последовательностьG n = (G ⌊(n−1)/2⌋ ⊗ G ⌈(n−1)/2⌉ ) 50 r○H,Упражнение: Проверьте, что G n является алгебраическим экспандером спараметрами (d 100n , d, < 1−1/50); функция вращения для такого графа G nвычисляется за полиномиальное от n время.Ещё один вариант явного построения экспандеровВсе явные последовательности экспандеров, которые мы строили, формировалисьвокруг ‘затравочного’ экспандера H с подходящими параметрами,который мы находили перебором (длина перебора не зависела от n,так что мы имели право использовать его в полиномиальном по n алгоритме).Сейчас мы опишем алгебраическую конструкцию, которая позволяетстроить нужный нам ‘затравочный’ граф без перебора.Пусть q – простое число. Рассмотрим граф AP q , вершинами которогоявляются все пары (a, b) ∈ Z 2 , а рёбрами соединены такие вершины (a, b),(c, d), чтоac = b + d mod qПолезно представлять себе пару (a, b) точкой аффинной плоскости над Z q ,а (c, d) – прямой с уравнением y = cx−d, которая проходит через эту точку.25