Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Соответственно, собственные числа графа равны λ k = ξ k (1) + ξ k (−1) =2 cos(2πk/n), k = 0, 1, . . . , n − 1.Возвращение к примеру 2. Характеры группы Z n 2 однозначно определяютсязначениями на образующих e i (ξ(e i ) может быть равно 1 или−1). Таким образом, мы имеем 2 n линейно независимых характеров ξ b1...b n(b 1 . . . b n – строка битов):ξ b1...b n(a 1 , . . . , a n ) =Cобственные числа графа Кэли равныn∏i=1(−1) aibiλ b1...b n= [число нулей в строке b 1 . . . b n ] − [число единиц в строке b 1 . . . b n ]т.е. собственными числами будут значения n, n − 2, n − 4, . . . , −n (кратностисобственных чисел будут равны соответствующему биномиальному коэффициенту).Ещё один пример: Покажем, как построить экспандер из кода, исправляющегоошибки.Пусть для линейного кода C : {0, 1} k → {0, 1} n расстояние между любымидвумя (несовпадающими) кодовыми словами ε-близко к n/2: Еслиy 1 = C(x 1 ), y 2 = C(x 2 ) (x 1 ≠ x 2 ), то( 1 2 − ε)n ≤ dist(y 1, y 2 ) ≤ ( 1 2 + ε)nТакой код можно получить, например, как конкатенацию алгебро–геометрическогокода и кода Адамара. Поскольку код линейный, в каждом кодовом слове(кроме нулевого) должно быть не менее ( 1 2 − ε)n и не более ( 1 2+ ε)n единиц.Обозначим G порождающую матрицу кода. Это матрица размерностиn × k над Z 2 ; её столбцы образуют базис в пространстве кодовых слов.Обозначим S множество строк матрицы G (n векторов из Z k 2) и рассмотримграф Кэли C(Z k 2, S). Полученный граф состоит из 2 k вершин, и степеньего равна n. Остаётся вычислить его собственные числа. Это делается также, как в Примере 2. Имеется 2 k линейно независимых характеров ξ b1...b k(где b 1 . . . k n – строка битов):ξ b1...b k(a 1 , . . . , a k ) =k∏i=1(−1) aibiДля каждого набора ¯b = (b 1 . . . b k ) сумма значений ξ b1...b k(a 1 , . . . , a k ) по всем(a 1 , . . . , a k ) из S есть в точности сумма битов в кодовом слове C(¯b) (действительно,нужно множить матрицу G на вектор-столбец ¯b и просуммироватьбиты в полученном кодовом слове). Обозначим y(¯b) = G¯b t Таким образом,соответствующие собственные числа графа Кэли равныλ b1...b k= [число нулей в строке y(¯b)]−[число единиц в строке y(¯b)] = n−2[число единиц в строке y(¯b)]28