Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Простое подстановочное произведение (replacement product): Построенныйвыше граф в точности и есть простое подстановочное произведениеG и H. В полученном графе nD вершин (n ‘галактик’ по D вершин в каждой);степень каждой вершине равна d + 1 (из каждой вершины выходитодно сплошное и d пунктирных рёбер).Сбалансированное подстановочное произведение (balanced replacementproduct): Отличие состоит лишь в том, что мы берём каждое сплошное реброс кратностью d. таким образом, в полученном графе-произведении изкаждой вершины выходит 2d рёбер: d сплошных и d пунктирных.Зигзаг-произведение (zig-zag product): Вершины у зигзаг-произведениябудут те же, но рёбра совсем другие. Мы берём все пути дины 3 видапунктир – сплошной – пунктири объявляем их рёбрами зигзаг-произведения. Другими словами, каждоесплошное ребро порождает d 2 рёбер зигзаг-произведения (соединяющихпары пунктир-соседей концов сплошного ребра), как показано на рисунке(рёбра зигзаг-произведения кривые):Легко видеть, что все вершины зигзаг-произведения имеют степень d 2 (каждоеиз двух пунктирных рёбер можно выбрать d способами).Опишем матрицу графа, полученного в результате зигзаг-произведения.Для этого мы рассмотрим две матрицы размера nD × nD (координаты соответствуютвершинам графа). Первая матрица ˜H есть матрица графа срёбрами из пунктирных линий, вторая матрица ˜G соответстует графу стеми же вершинами, но с рёбрами из сплошных линий. (Обозначения показывают,что эти матрицы происходят из соответственно первого и второгографов, участвующих в зигзаг-произведении). В ˜H каждый столбец и каждаястрока содержат d единиц, а в ˜G — только одну единицу. Отметим,что ˜G задаёт перестановку на множестве вершин, и её норма равна единице.Ясно, что матрицей зигзаг-произведения будет произведение матриц˜H ˜G ˜H.Далее мы докажем оценки для второго собственного числа зигзаг-произведенияи сбалансированного подстановочного произведения.Зигзаг-произведение: оценка второго собственного числаДокажем, что зигзаг-произведение двух графов, у которых малы вторые(по абсолютной величине) собственные числа, тоже имеет небольшое второесобственное число.Теорема. Зигзаг-произведение алгебраического (n, D, α)-экспандера Gи алгебраического (D, d, β)-экспандера H является алгебраическим экспандеромс параметрами (nD, d 2 , ≤ α + 2β + β 2 ).20