Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

(мы заменили среднее геометрическое на среднее арифметическое). Сделанныевыше наблюдения позволяют оценить снизу |E(S i , T i+1 )| величиной|T i+1 | · (δd/2), а |S i | оценить сверху (1 − ε)( δ 2− γ)n/(2d). Получаем(δd/2)|T i+1 | ≤ (1 − ε)( δ 2 − γ)nm|T i+1 | + dγ |S i| + |T i+1 |,2Поскольку n = md, это неравенство можно переписать в виде|T i+1 ||S i |Утверждение доказано.≤γ/2δ/2 − γ/2 − (1 − ε(δ/2 − γ)) < 1Другие Интересные конструкции экспандерных кодов можно найти в[Spi]; см. также обзор [Gu]. Подробнее о коде Земора см. [Zem].Применение экспандеров 3: Надёжные схемы из функциональныхэлементовВ этом разделе мы обсуждаем задачу построения надёжных схем изфункциональных элементов. Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиемсхемы из функциональных элементов, вычисляющей булеву функциюf : B n → B. Мы будем предполагать, что зафиксирован некоторыйконечный полный базис булевых функций B, и каждой внутренней вершинесхемы сопоставляется некоторая функция g ∈ B, причём арность g совпадаетс входной степенью вершины (строго говоря, нужно ещё зафиксироватьсоответствие между входящими рёбрами и аргументами g). Входным вершинамсхемы (вершинам с входной степенью 0) сопоставляются x 1 , . . . , x n(аргументы функции, которую должна вычислять схема.Пусть задана схема из N функциональных элементов, вычисляющаянекоторую функцию f : B n → B. Рассмотрим работу данной схемы ‘сошибками’. Будем предполагать, что каждый из функциональных элементовнезависимо от других элементов (и от входов схемы) с некоторой веротяностьюε ‘ломается’, становится ‘сбойным’. Будем называть данное распределениесбоев ε-случайным. Мы считаем, что сбойные элементы схемыпереходят во власть злонамеренного противника, который по своему произволуопределяет их выходы. При этом выходы на остальных (несбойных)функциональных элементах определяются по обычным правилам.Определение Схема из функциональных элементов (ε, δ)-надёжно вычисляетфункцию f, если для любого набора входных значений, при ε-случайном выборе сбойных элементов, с вероятностью не менее (1−δ) схемавыдаёт правильное значение функции, как бы ни действовал противник.Теорема[фон Нейманн] Для произвольного полного базиса булевых функцийB, для всех достаточно малых ε найдётся δ = O(ε) такое, что всякаябулева функция может быть вычислена (ε, δ)-надёжной схемой в данномбазисе.38