Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Применение экспандеров 2: Коды Земора (Zémor codes)Будем называть кодом отображение C : {0, 1} k → {0, 1} n . Образы этогоотображения (n-битные строки C(x)) называют кодовыми словами. Расстоянимкода C называется минимум хэмминговского расстояния междукодовыми словами:dist C = minx≠x ′{dist(C(x), C(x′ ))}Будем обозначать параметры такого кода тройкой чисел (n, k, dist).Если расстояние кода равно dist, говорят, что код позволяет исправлятьe = ⌈ dist−12⌉ ошибок. Это значит, что если в кодовом слове y = C(x)выбрать не более e позиций и заменить соответствующие биты на противоположные,то по полученному слову y ′ можно однозначно восстановитьисходное кодовое слово y и соответствующее x = C −1 (x).В практических приложениях желательно иметь коды с достаточно большойскоростью k/n и по возможности большим кодовым расстоянием. Нетруднополучить следующие оценки. С одной стороны, всякого (n, k, dist)-кода2 k ≤2 nC 0 n + . . . + C ⌈ dist−12 ⌉n(граница Хэмминга). Если мы хотим, чтобы код позволял исправлять δnошибок (и кодовое расстояние было больше 2δn), данное неравенство даётасимптотическую оценку k n≤ (1 − h(δ)) + o(n), где h(p) = −p log p − (1 −p) log(1 − p). С другой стороны, нетрудно показать, что если2 k