Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

Для данного кода имеется быстрый алгоритм декодирования. Пусть даннабор битов y = (y 1 , . . . , y n ), который отличается от от некоторого словаx = (x 1 , . . . , x n ) менее чем в n/2000d битов. Мы можем найти x следующимобразом. Параллельно для каждого бита i = 1, . . . , n посчитаем числоравных единице контрольных сумм (равенств, задаваемых проверочнойматрицей), в которые этот бит входит (если все контрольные суммы равнынулю, то набор битов является кодовым словом); если это число большеd/2, меняем данный бит на противоположный. Повторяем эту процедурукоррекции, пока все контрольные суммы не обнулятся.Покажем, что на каждом шаге описанной процедуры хэмминоговскоерасстояние между кодовым словом x и декодируемым словом y уменьшаетсяв Ω(1) раз. Таким образом, через O(log n) итераций все ошибки будутисправлены (т.е. y совпадёт с x, и декодирование будет закончено).Для простоты обозначений рассмотрми случай x = (0, . . . , 0). Мы предполагаем,что число единиц в векторе y не превосходит n/2000d. Нам нужнопоказать, что на каждом шаге описанной процедуры число единиц будетуменьшаться не менее, чем в константу раз. Пусть S – множество номеровбитов y, в которых стоят единицы; представим S в виде объединения:S = S 0 ∪S 1 , где в S 0 – позиции, которые обнулятся на следующем шаге; S 1 –позиции, в которых сохранятся единицы. Наконец, обозначим T множествономеров тех позиций, в которых в начале стояли нули, а после примененияпроцедуры коррекции возникла единица. Наша задача показать, что|S 1 | + |T | ≤ c|S|для некоторой константы c < 1 (не зависящей ни от n, ни от размера S).Сначала покажем, что T содержит менее |S|/2 вершин. Предположимпротивное; выберем из T ровно |S|/2 вершин и назовём это множество T ′ .Применим к S ∪ T свойство расширения экспандера:78 d(|S| + |T ′ |) < |Γ(S ∪ T ′ )| ≤ d|S| + d 2 |T ′ |(второе неравенство следует из того, что у кажой вершины S может быть неболее d различных соседей, а у каждой вершины T — не более d/2 соседейне являющихся при этом соседями S). Сравнивая левую и правую частинеравенства, получаем |T ′ | < |S|/3, что противоречит нашему предположению.Далее, разобъем соседей (из правой доли графа) вершин S на два класса:множество U, у которых имеется ровно по одному соседу в S, и множествоV , у которые есть хотя бы два соседа в S. Посчитаем число рёбер между Sи U ∪ V двумя способами: как число рёбер, выходящих из S, и как числорёбер, выходящих из U и V в S:d|S| ≥ |U| + 2|V |(в каждую вершину V входит не менее двух рёбер из S). Таким образом,4