Заметки о Ñ€Ð°ÑÑˆÐ¸Ñ€ÑÑ‰Ð¸Ñ Ð³Ñ€Ð°Ñ„Ð°Ñ

свободными, кроме возвратного, который невозможен, так как P несократимо).Поэтому интересующая нас вероятность разбивается на два случая:• мы вернулись в исходную вершину, при этом произошло ровно односовпадение;• мы вернулись в исходную точку, при этом произошло не менее двухсовпадений.Второй случай разбивается на O(k 2 ) вариантов в зависимости от моментовсовпадений (мест в слове P , где они произошли). Вероятность каждоговарианта не более 1/(n−2k) 2 . В самом деле, условная вероятность совпаденияпри фиксированной предыстории (пути до него) не больше k/(n − 2k),так как мы доопределяем перестановку в новой точке и имеется не менееn − 2k равноверороятных вариантов, из которых не более k успехов. Такимобразом вероятность второго случая не превосходит O(k 4 /n 2 ) (можносчитать, что k ≪ n, иначе оценка тривиальна).Осталось показать, что в первом случае вероятность совпадения не превосходит1/(n−2k). Это следует из того, что совпадение произойдёт в заранееизвестном месте, а именно, при движении по последней букве слова Yв разложении P = XY X −1 . Более того, до этого момента все пройденныевершины будут различны.Сейчас мы это докажем, и при этом понадобится использовать непериодичностьслова Y (из определения регулярного слова) Посмотрим намомент, когда мы впервые попадаем в уже пройденную вершину.Этот момент (как мы уже говорили) будет совпадением, поэтому достаточнодоказать, что это случается в конце слова Y . В самом деле:• после этого новые вершины в пути уже не появятся, так как из новыхвершин нужно вернуться в старые, и это будет совпадением;• свободных ходов больше не будет, так как это было бы вторым совпадением;• вынужденных ходов из каждой вершины (за исключением точки ветвения)не более двух, при этом один невозможен (возвращение по толькочто пройденному ребру означало бы, что слово P сократимо);• поэтому движение определяется почти однозначно и состоит из несколькихциклов плюс возврат в исходную вершину (по предположению мытуда возвращаемся);17