есептер 1.Тлеулесова А (1)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Тілеулесова А.Б., Жайнибекова М.А.

МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ ТӘСІЛДЕРІ

Оқу құралы

Астана, 2019

ӘОЖ 373

КБЖ 74.262.21

М 36

Пікір жазғандар:

Сарсекеев А.С. – педагогика ғылымдарының кандидаты, Еуразия ұлттық

университетінің алгебра және геометрия кафедрасының доценті;

Мухамбетова А.А. – физика-математика ғылымдарының кандидаты,

ҚазЭҚХСУ доценті;

Борамбаева Г.Е. – Астана қаласындағы ФМБ бағытындағы НЗМ жоғары

категориялы математика магистрі.

Мәселе есептерді шешу тәсілдері: орта мектептің оқушылары мен

М 36 мұғалімдеріне, ЖОО түсетін талапкерлерге және ЖОО 5B010900-

математика, 6М0110900-математика магистратура мамандығында

білім алушыларға арналған оқу құралы / Оқу құралының редакторы:

Байтемір Д.Б. – Астана: Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ, 2019. – 186 б.

ISBN 978-601-337-116-0

Бұл оқу құралында мектеп оқулықтарында және әр түрлі мамандықтар

бойынша қабылдау емтихандарында 1999 - 2018 жылдарда ұсынылған есептер

жинақталып, олардың шығару жолдары көрсетілді және өз бетінше орындауға

жаттығулар мен есептер, олардың шешімдері мен жауаптары берілген.

Ұсынылып отырған бұл еңбек оқуға түсушілерге пайда келтіреді деп сене

отырып, оларға ақ тілек, сәт сапар тілейміз!

Сол сияқты, бұл оқу құралы ЖОО-дарының математика

мамандықтарының студенттері мен магистранттарына, жалпы білім беретін

орта және математиканы тереңдетіп оқытатын мектеп оқушылары мен

оқытушыларына пайдалы болады деген сенімдеміз.

ӘОЖ 373

КБЖ 74.262.21

Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің эксперттік

комиссиясының шешімімен, Ғылыми кеңесінің 2018 жылғы 25 желтоқсандағы

мәжілісінің шешімімен баспаға ұсынылды.

Хаттама № 7, 25.12.2018 ж.

ISBN 978-601-337-116-0

© Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ, 2019

© Тлеулесова А.Б., Жайнибекова М.А., 2019

2

МАЗМҰНЫ

Алғы сөз ...................................................................................................... 4

1. Қозғалысқа байланысты есептер.......................................................... 7

1.1. Өз бетінше орындауға арналған жаттығулар.................................... 23

2. Жұмыс пен еңбек өнімділігіне берілетін есептер................................ 37


3. Пайыздық өсім және күрделі пайыздарды табуға арналған есептер.. 61


4. Бүтін санды айнымалыларды табуға байланысты есептер................ 80


5. Пайыздық қоспалар мен концентрацияларға берілген есептер.......... 101


6. Теңсіздіктерді пайдаланып шығаруға арналған есептер..................... 119


7. Қазақтың байырғы есептері................................................................... 129


8. Прогрессияға арналған қызықты есептер............................................ 161


9 Теңдеулер жүйесін құрып шығаруға арналған мәселе есептер........... 168


9.1. Әр түрлі тақырыптағы аралас мәселе есептер................................... 176

Пайдаланылған әдебиеттер....................................................................... 185

3

Алғы сөз

Мектептің математика курсының мазмұны физика-математика

ғылымының, техниканың және халық мәдениетінің күн санап өсіп

дамуына байланысты өзгеріп жетіліп отырады. Орта мектептің

математика курсы мектеп жасындағы балаға арналады, баланың жас

ерекшелігіне, әр сыныптағы білім дәрежесіне, өмір тәжірибесіне,

педагогикалық мақсатқа сай болып келеді. Сонымен қатар математика

курсының мазмұны тағайындалғанда, оның өмірде кездесетін

мәселелерді шешуге жарамды және пайдалы болу жағы да

қарастырылады.

Сөйтіп, мектептің математика курсында математика ғылымының

бай мазмұнынан оқушыға түсінікті және тұрмыс мәселелерін шешуге

керекті материалдар іріктеліп алынады, бірақ оларда ғылымда

қалыптасқан жүйелілік, дәлелділік, дерексіздік т.с. сақталынады. Бұл

жайлар оқушыларға түсінікті болу үшін оқу үрдерісі, көрнекі

құралдар, өмірден алынған мысалдар кең түрде қолданылу арқылы

логикалық дәлелдеу және жүйелі пайымдау жолымен жүргізіледі.

Математика әдістерінің күшейіп кең түрде қолданылатын болуы

түрлі проблемаларды математикасыз шешуге болмайтындығын

көрсетіп отыр. Ол, әрине, мектеп пен мұғалімнің жұмысына

байланысты нәрсе. Сондықтан да кейінгі кезде математик ғалымдар

математика мұғалімдерін мектеп бітіретін оқушыларды

математикалық ғылым жолына салып, бағыт беруге шақырып отыр.

Жаратылыстану ғылымдары математика, физика, химия,

астрономия, биология т.б. табиғаттағы заттарды, құбылыстарды,

заңдылықтарды зерттеп баяндайды. Кейбір жаратылыс ғылымдары ,

атап айтқанда, физика табиғаттағы заттар мен құбылыстарды сапалық

ерекшеліктері, мысалы, массасы, тығыздығы т.с.с. жағынан алып

сипаттайды. Ал математика заттардың мұндай сапалық сипаттарын

оқытпайды. Бірақ математикада басқа ғылымдар сияқты адамдардың

практикалық мұқтаждықтарынан, жер участоктарының ауданы мен

ыдыстардың сыйымдылығын өлшеуден, уақытты есептеуден және

механикалық есептерді шешу барысындағы қажеттіліктерден шыққан.

Олай болса математика бір ғана ғасырдың, елдің, не адамның табысы

ғана емес, адамзаттың ғасырлар бойы іс-тәжірибесінен жинақталып

дамыған, көптеген халықтарға ортақ зерттеулердің нәтижесі болып

табылатын ғылым.

4

Математиканың басқа жаратылыстану ғылымдарынан ерекшелігі

- оның абстрактылығы. Геометрияда сызық ұғымы түсіндірілгенде,

көрнекі құрал ретінде, әр түрлі заттар - керілген жіп, сым т.с.,

көрсетіледі. Арифметикада бір сан, мысалы 5 саны туралы айтылса, ол

әр түрлі заттардың - 5 қарындаштың, не 5 дәптердің санын көрсетуі

мүмкін екендігі ескерілген, тек оларға ортақ бір ғана қасиет – сандық

қасиет қарастырылады.

Математика, осындай абстрактылы болса да, шын дүниемен, яғни

практикамен байланысын үзбейді, табиғаттану ғылымдарында -

физикада, химияда т.б., кең түрде қолданылады.

Ғылыми математикалық терминологияны қалыптастыруда

математика мұғалімінің орны ерекше. 1989 жылы қазақ тілінің

мемлекеттік тіл мәртебесіне ие болуы - өз ана тілімізді арнасына

келтірудегі үлкен қадам десек, оны жүзеге асыру ең алдымен,

мұғалімдердің міндетіне кіруі керек.

Қазақ тілінің ролін көтеру тек қана қазақ тілін оқытатын

мұғалімдердің үлесі емес, бұл барлық басқа пән мұғалімдерінің де

бірінші қатардағы міндеті болуы заңды.

Математикадан сабақ беретін қазақ тілінде оқытатын

мектептердің мұғалімдері, ондағы терминдерді ана тілінде

көрсетілген атаулардан аулақтатып, шұбарламауы керек. Бұлай ету

халқымыздың атадан балаға мұраға қалдырған халықтық

педагогикасында ғасырлар бойы жинақтаған бай тәжірибесіне нұқсан

келтірумен пара-пар. Мұндай тілдің өз пәрменділігімен бірге

оқытылып отырған пәнмен сабақтастығы да әлсірейді.

Қазақ жұрты ежелден малмен күн көріп, дамып келе жатқан

халық. Ендеше, математикадағы мәселе есептердің көпшілігін мал

шаруашылығының іс-әрекеттерімен байланыстырып қайта өзгертіп

құрған жөн.

Физиканың математикамен байланысы көп-ақ. Мектеп курсында

физиканы өткен кезде, кез келген заңдылыққа берілген есепті есептеу

математикасыз жүзеге аспайтыны белгілі.

5-6 сыныптар математикасында тікелей физикамен байланысты жол,

жылдамдық және уақыт туралы есептер көп. Осы типтес есептерді

еркін меңгеріп шығара алған оқушылардың келесі басқыш сыныптарда

физика пәнін меңгерулеріне әжептәуір көмегін тигізері сөзсіз. 5

сыныпта тік бұрышты дұрыс паралелипипедтің көлемін анықтаудың

формуласы V abc бар. Осы формуланы физикада қарастырылатын

5

салмақты p V

анықтау формуласымен байланыстыра есептер

құрастыруға әбден болады.

Мәселен, мал фермаларының жанындағы жерді қазып, жүгерінің

көк балаусасының таптап ашытатын сүрлем жасайтын шұңқырдың

пішіні-параллелепипед тәрізді болады.

Мұнда жүгері балаусасының меншікті тығыздығын кесте арқылы

іздеп тауып, сол шұңқырдың көлемін тік төртбұрыштың

параллелипипед көлемі формуласы арқылы есептеп шығарып

алғаннан кейін, сонда сақтаулы көкбалаусаның салмағын анықтауға

болады.

Осы сыныптардың оқулықтарында астрономиямен де

байланыстырылған есептер кездестіреміз. Ғарыш кемесінің

жылдамдығы мен ұшу уақытын біле отырып, оның берілген уақыт

ішінде ғарыштың белгілі бір қашықтығына дейінгі жолын километр

есебімен анықтай алады. Мұндай есептердің мазмұнына байланысты

оқушылар ғарыш туралы, Жерден тысқары планеталар бар екені

туралы ең алғашқы бастама ұғымдардан хабардар болады. Мұндай

есептерді шығарту оқушылар санасында, ұғымында бастапқы

политехникалық білімдердің іздерін қалауымызға септігін тигізеді.

Осы сыныптарда арнайы тұрмыстық қызмет көрсету

еңбектерінен сабақтар жүргізіле бастауы шәкірттердің білім аумағын

анағұрлым кеңейте түседі. Онда оқушылар тамақтар даярлау, киім

тігу, электр аппараттарымен алғашқы элементар дағдыларға үйренеді.

Осы аталғандардың барлығында да математиканың араласпайтын жері

жоқ.

Еңбек сабақтарында оқушылар үй тұрмысында қолданылатын,

электр энергиясымен жұмыс істейтін приборлардың (үстелшам, электр

тігін машинасы, тоңазытқыш, теледидар, желдеткіш т.б.) қызметінен

де хабардар болады. Оқушылар ол құралдардың қандай ток күшіне,

кернеуіне, кедергісіне лайықталып жасалғанын, жұмыс істеу уақытын

тиімді пайдалану, оларды қалай қолданудың нақтылы ережелерінен

мағлұмат алады. Олардың жұмысын реттеуші шкалалармен таныс

болуын қамтамасыз етуде де математикалық өлшем бірліктерге

жүгінуге тура келеді.

Жалпы математиканы меңгеруде өмірмен тығыз байланыстыра

отырып сабақтардың берілуін ұйымдастыра өткізудің маңызы өте зор.

Күнделікті тіршілікте табиғат заңдарын ашып, оны халық игілігіне

жарату, еліміздің экономикасын, әл-ауқатын жақсарту және

әлеуметтік зерттеулердің бәрін де математикалық ойлаусыз мүмкін

6

емес. Оқушылардың математикалық қабілеті зор, білімі жүйелі болуы

үшін мектеп математикасының теоремаларын дәлелдеп,

формулаларын қорытып шығарумен қатар, олардың өмірде жиі

кездесетін есептерді, яғни мәтінді есептерді шығара білгені жөн деп

есептейміз.

1. Қозғалысқа байланысты есептер

Қозғалысқа байланысты берілетін есептерге теңдеулер жүйесін

құрғанда қажетті шамалар әдетте төмендегідей болып келеді:

арақашықтық, біз оны s әрпімен белгілейміз; бірқалыпты

жылдамдықпен қозғалып келе жатқан денелердің жылдамдығы u , v,

w....

немесе индексті әріптер v

1, v2,....

, уақытты, әдетте, t, T әріптерімен

белгілейміз. Егер қозғалыстағы денелер бірқалыпты үдеумен қозғалса,

бұл жағдайда үдеуді a деп белгілейміз.

Мүмкін болатын ескертпелер:

Жекеленген аймақтардағы қозғалыс бірқалыпты қозғалыс

болып есептеледі; сонымен қатар жүрілген жол S vt

формуласымен есептеледі.

Қозғалыстағы дененің бұрылуы кенеттен болған қозғалыс

ретінде қарастырылады, яғни уақытты есепке алмаймыз;

сонымен қатар бұл жағдайда жылдамдық та кенеттен өзгереді.

Егер дене өзен ағысымен жылжыса, онда оның жағаға

қарағандағы жылдамдығы w , дененің тоқтап тұрған судағы

жылдамдығы u -ды өзен ағысының жылдамдығы v -ға

қосқанға тең: w u v , ал егер дене өзен ағысына қарама –

қарсы жылжыса, онда оның жағаға қарағандағы жылдамдығы

w u v. Егер есеп шарты бойынша кеме емес, бөрене сияқты

дене болса, онда оның жылдамдығы өзен жылдамдығымен

бірдей болып есептеледі.

Кейде бірқалыпты қозғалысқа байланысты есептерде екі дененің

бір- біріне қарама-қарсы жүруі немесе бірінің артынан бірі қууы

беріледі. Айталық, бастапқы арақашықтықты s,

ал денелердің

жылдамдықтарын сәйкесінше v 1,v2

делік, онда:

7

екі дененің бір–біріне қарама - қарсы жүріп отырып, кездескендегі

уақыты

s

v 1

v 2

-ге тең болады;

екі дененің бір жаққа қарай қозғалғандағы, яғни v1 v2

болғанда

біріншісінің екіншісін қуып жету уақыты

s

v 1

v 2

-ге тең болады;

егер екі дене радиусы R-ге тең шеңбер бойымен v 1,v2

тұрақты

жылдамдықпен әртүрлі бағытта қозғалса, онда олардың кездесуге

дейінгі уақыты

2R

t формуласымен есептеледі;

1

2

егер екі дене радиусы R-ге тең шеңбер бойымен v 1,v2

( v1 v2)

тұрақты жылдамдықпен бір бағытта қозғалса, онда олардың

кездесуге дейінгі уақыты

2R

t формуласымен есептеледі;

1

егер бірқалыпты үдемелі қозғалысқа байланысты есептерді

шығарсақ, онда байланыстыратын уақытты t , жүріп өткен

арақашықтықты s , бастапқы жылдамдықты v

0 , үдеуді a және

жылдамдықты v деп белгілейміз және мына формулаларды

at

2

пайдаланамыз, s v t , мұндағы : a ,

үдемелі қозғалыс болса, онда 0,

қозғалыс болса, онда 0

0

2

a .

2

( v v ) 0

t

егер бірқалыпты

a ал егер бірқалыпсыз үдемелі

Берілген есептерді шығарудың қажетті шарттарының бірі – сол

есепке келтірлетін көмекші есептерді шығара білу. Мұндай көмекші

есептерді шығару іскерліктері қалыптасқан жағдайда, бар мәселе

негізгі есептің шарттарын қанағаттандыратын қасиеттердің

жиынтығын табуға тіреледі.

Есеп шығарғанда көбінесе синтетикалық әдіс жетекші орын алады.

Синтетикалық әдістің мәні мынадай: негізгі есептің кейбір

мәліметтерін пайдаланып көмекші шамаларды анықтайды, яғни

көмекші қарапайым есептердің бірінші сериясын шығарады. Сөйтіп,

негізгі есептегі ізделінетін шаманы тапқанша, осы процесті

жалғастыра береді.

Синтетикалық әдісті қолдануға мысал келтірейік.

1.1. А және В пункттерінен бір мезгілде велосипедші мен мотоциклші

бір-біріне қарама-қарсы шықты. Пункттердің ара қашықтығы 96

километр. Егер велосипедші 3 сағатта 12 километр жол жүрсе және

4

8

оның жылдамдығы мотоциклші жылдамдығының 3 1 -іне тең болса,

онда олар қанша сағаттан кейін кездеседі?

Шешуі: 1) Велосипедшінің жылдамдығы қандай?

3 4

12 : 12 16 км/сағ.

4

3

2) Мотоциклшінің жылдамдығы қандай?

1

16 : 16 3

48 км/сағ.

3

3) Мотоциклші мен велосипедші бір сағаттың ішінде қанша

қашықтыққа жақындасады?

16 48 64 км.

4) Мотоциклші мен велосипедші қанша уақыттан кейін кездеседі?

96:64=3:2=1,5 сағат.

Жауабы: 1,5 сағат.

Мұнда алдымен бірінші көмекші есеп - велосипедшінің

жылдамдығын, содан кейін бірінші көмекші есептің нәтижесі мен

негізгі есептің мәліметін пайдаланып, екінші көмекші есеп –

мотоциклшінің жылдамдығын таптық. Бірінші және екінші көмекші

есептердің нәтижелерін пайдаланып, үшінші көмекші есепті

тұжырымдап шығардық. Осы соңғы көмекші есептің нәтижесі мен

негізгі есептің мәліметін пайдаланып, ізделетін шаманы таптық.

1.2. А қаласынан В қаласына велосипедші шықты, ал үш сағаттан соң

оған қарама-қарсы В қаласынан мотоциклші шықты. Мотоциклшінің

жылдамдығы велосипедшінің жылдамдығынан үш есе артық.

Велосипедші мен мотоциклші А мен В қаласының қақ ортасында

кездесті. Егер мотоциклші велосипедшіден кейін 3 сағаттан соң емес,

2 сағаттан соң шыққанда, онда ол екеуі А қаласына қарай 15 километр

жақын жерде кездесер еді. А мен В қаласының арақашықтығын тап.

Шешуі: А мен В қаласының арақашықтығын s деп, велосипедші

мен мотоциклшінің жылдамдықтарын сәйкесінше v 1,v2

деп белгілейік.

Есептің осы шарттарын келесі кесте түрінде береміз.

Есептің шарты

Мотоциклшінің

жылдамдығы

велосипедшінің жылдамдығынан 3 есе

артық

Велосипедші мен мотоциклші А мен В

пунктерінің қақ ортасында кездесті, яғни

9

Теңдеу

v

м

3v

s s

2

2

3,

v v

в

м

в

(1)

(2)

мотоциклші В пунктінен 3 сағат кем

шықты.

Егер мотоциклші велосипедшіден соң

шықса, онда олардың кездесуі А

пункітіне қарай 15 километр жақын

жерде болатын еді

s

15

2

v

в

s

15

2

2.

v

м

(3)

(1), (2), (3) теңдеулерді пайдалана отырып, келесі теңдеулер жүйесін

аламыз.

s s

3,

2vв

6vв

s

30 s 30

2;

2vв

6vв

3s

v

d

s 18

v

в

s 9v

10

в

v

в

s

,

9

Осы жүйенің бірінші теңдеуінен алатынымыз v в

, оны екінші

теңдеуге қойып, s шамасын табатын теңдеу аламыз, яғни

s 30

s

2

9

s 30

2

s

6

9

9( s 30) 3( s 30)

2

2s

2s

6s

360

2s

2

s

9

s 180.

Сонымен А мен В-ның арақашықтығы 180 км-ге тең.

Жауабы: 180 км.

1.3. Жағалаудан өзен ағысымен бөрене жүзіп барады. 5 сағат 20 минут

өткен соң, бөрененің артынан моторлы қайық 20 километр жүзіп жетіп

алды. Егер моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы бөрененің

жылдамдығынан 9 км/сағ-қа артық болса, онда бөрененің

жылдамдығы қандай?

Шешуі: Қайықтың меншікті жылдамдығын, яғни тұрған судағы

жылдамдығын v к

( v1 v2) км/сағ деп белгілейік, ал өзен ағысының

жылдамдығын v о км/сағ делік. Есептің шарты бойынша моторлы

қайықтың жылдамдығы өзен ағысының жылдамдығына 9 км/сағ –қа

артық болса, сондықтан: vк

vо

9 ; Моторлы қайық 20 километр

жолды өзен ағысымен ал бөрене сол 20 километр жолды t уақытта

жүзіп өтті Бөрененің жүзіп өткен 20 километр жолына 5 сағ 20 мин =

16 сағ уақыт моторлы қайық жүзіп өткен жолдан артық уақыт кетті,

3

20

v

16

3

яғни .

о

20

v v

жүйесін шешіп табамыз.

к

о

Осылайша есептің нәтижесін келесі теңдеулер

vк

vо

9,

20

20

vо

vк

vо

16

3

v

к

9 v

о

Бірінші теңдеуден v k

v o

9 екенін аламыз. Оны v k

v o

9, екінші

теңдеуге қойып , v 0 -ді табатын теңдеу аламыз;

20 20 16 2

8vo

21v

v 2v

9 3

o

o

o

135

0

Соңғы теңдеуден v 3 екендігін табамыз. Теңдеудің екінші түбірі

o

45

8

v есептің мағынасына келмейді.

o

Өзен ағысының жылдамдығы, сонымен қатар бөрененің жылдамдығы

3км/сағ-қа тең.

Жауабы: 3 км/сағ.

1.4. А және В қалалары өзен жағасына орналасқан. В қаласы А

қаласына қарағанда өзен ағысы бойымен төмен орналасқан.

Таңертеңгі сағат тоғызда А қаласынан В қаласына бөрене ағып келеді.

Осы уақытта В қаласынан А қаласына қайық шығады да 5 сағаттан

соң бөренемен кездесіп қалады. Қайық ары қарай А қаласына дейін

жүзіп барады да кері қарай В қаласына бөренемен бірдей уақытта

жүзіп жетеді. Қайық пен бөрене осы күннің кешкі сағат 21 00 -ге дейін В

қаласына жүзіп келіп үлгереді ме?

Шешуі: Теңдеулер жүйесін жазуға мүмкіндік беретін

математикалық сөйлемді бөліп алып қарастырамыз. Олар екеу:

а) қайық пен бөрененің бір мезгілде шығуы мен 5 сағаттан соң

кездесуі;

ә) қайықтың В қаласына бөренемен бір уақытта келуі.

Бұл есепте белгісіз ретінде іздейтініміз қалалардың арасындағы

арақашықтық деп белгілейік өзен ағысының жылдамдығы және

тұрған судағы қайықтың жылдамдығы, сәйкесінше v

o

, vk

деп

белгілейміз.

Бұл айнымалылар есеп шартын қарапайым түрде жазуға мүмкіндік

береді.

Есеп шарты

Қайық пен бөрене бір

мезгілде шығып 5 сағаттан

соң кездесті

Қайық пен бөрене В қаласына

бір мезгілде жетті

11

.

Теңдеу

s

v ( v v

о

s

v v

к

о

к

v

к

о

5

)

s

v

о

s

v

о

Соңғы теңдеудегі

s

v k

v o

s -қатынасы бөрененің қозғалыс уақытын, ал

v k

-қайықтың өзен ағысына қарсы қозғалыс кездегі уақытын,

-қайықтың өзен ағысымен қозғалғандағы уақытын білдіреді.

Есеп шарты үш белгісізі бар екі теңдеу жазуға мүмкіндік береді

s

v к

5,

v

к

s

v

о

v

к

s

v

о

s

v

о

.

s

v k

v o

Берілген жүйеден үш белгісізді табу мүмкін емес, бірақ бізден

сұрап отырғаны тек қайық пен бөрененің кешкі сағат 21-ге үлгеретін,

үлгермейтіні ғана.

теңдеулер жүйесінен

Бөрененің қозғалыс уақыты

s v о

, v

жеткілікті. Екінші теңдеуді екі жағын да

нәтижесінде алатынымыз 5,

айнымалы шамалар қалады:

v

v

к

к

s

v о

болғандықтан

, өздерін емес, олардың қатынасын тапсақ

s

v к

s

v к

1

v

v

о

к

s

v к

бөліп жібереміз,

1 1

, сонда жүйеде екі

vо

vо

1

1

v v

v

v

к

к

к

о

және . Жүйенің екінші теңдеуінен

о

алатынымыз 1 2.

Есептің мағынасына сәйкес

о

бір ғана мәні келеді, яғни 2 1.

s

v

о

s

v

к

vo

5

: 5 2 1

v 2 1

к

,

v o

v

v

к

Енді

s

v о

v

v

о

к

қатынасының

қатынасын табамыз,

s - қатынасының мәні , яғни шамасының

мәні 12 ден үлкен екенін дәлелдеу қиын емес;

Демек, қайық пен бөрене кешкі сағат 21 00 -де B пунктіне барып

үлгере алмайды.

Жауабы : үлгермейді.

1.5. A қаласынан B қаласына 8 00 сағатта жүрдек пойыз шықты. Осы

уақытта B қаласынан A қаласына қарай жолаушылар және курьерлік

пойыздары шықты. Жолаушылар пойызының жылдамдығы курьерлік

пойыздың жылдамдығынан екі есе кем. Жүрдек пойыз B қаласына 13

сағат 50 минутта жетті, ал жүрдек пойыз курьерлік пойызды осы

күннің 10 сағат 30 минутынан ерте кездестірмейді. Егер жүрдек

пойыздың курьерлік пойызбен, және жүрдек пойыздың жолаушылар

пойызымен кездесу мезетіне бір сағаттан артық уақыт кетпесе, онда

жолаушылар пойызының A қаласына келу уақытын тап.

12

Шешуі: Есеп шартын жазу үшін келесі белгілеулерді енгіземіз: s

(км) қалалар арасындағы ара қашықтық километрмен өлшенеді; vс

(км/сағ) деп жүрдек пойыздың жылдамдығын; v

n

(км/сағ) деп

жолаушылар пойызының жылдамдығын белгілейміз. Сонда курьерлік

пойыздың жылдамдығы 2 vn

(км/сағ) болады. Енді есеп шарттарын

теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесі түрінде жазамыз.

Есеп шарты Теңдеу мен

теңсіздіктер

Жүрдек пойыз B қаласына 13 сағат 50

s 35

минут, яғни 5сағат 50 минуттан кейін келді

v c

6

Жүрдек пойыз курьерлік пойызбен

s 5

таңертеңгі 10 сағат 30 минуттан ерте емес

v c

2vn

2

уақытта кездесті, яғни кем дегенде 2сағат

30 минут

s s

Жүрдек пойызбен курьерлік пойыз және

vc

vn

vc

2vn

жолаушылар пойызымен кездесетін уақыт

1

мезеті бір сағаттан көп емес.

Соңғы теңсіздіктердің құрылуын келесі түрде көрсетуге болады;

s

v c

2v

n

-шамасы қозғалыс басталғаннан жүрдек пойызбен курьерлік

пойызға кездескенге дейінгі уақытты көрсетеді, ал жүрдек пойызбен

жолаушылар пойызының қозғалғанынан кездескенге дейінгі уақыты

s

v c

v

n

. Осы екі қатынас, жүрдек пойызбен курерлік пойыздың

кездесу уақытының айырмасы болып табылады. Есептің берілген

шартындағы теңсіздіктерді оған тең мағыналы теңсіздіктер түрінде

s

v

2v

1

v

c

төмендегідей жазуға болады: ,

13

c

n

5

2

s

vc

v

1

v

n

c

s

vc

2v

1

v

қатынасының мәнін белгілеп алып, оңай түрлендіруден кейін келесі

теңсіздіктер жүйесін аламыз:

vn

2

vc

3

vn

12

vc

2

v

17

v

n

c

6 0,

немесе

vn

2

vc

3

2

vn

3 vc

3

4

c

n

1.

s -

v c

Соңғы теңсіздіктің жалғыз ғана шешімі бар, ол

Есептің берілгені бойынша жолаушылар пойызының A қаласына келу

уақытын табу керек, яғни

v n

v

v

n

c

2

3

s :

s s vc

35 3 35 3

8 .

v v v 6 2 4 4

n

Сонымен, жолаушылар пойызы жолға 8 сағат 45 минут уақытын

жұмсап, A қаласына 16 сағат 45 минутта келіп жетті.

Жауабы: 16 сағат 45 минут.

1.6. Ұзындығы 1 метр бір шеңбердің бойымен екі бағытта тұрақты

жылдамдықпен қозғалып бара жатқан екі дене әрбір 6 секундта

кездесіп тұрады. Егер осы екі дене бір бағытта қозғалса, онда бірінші

дене екіншісіне әрбір 48 секундта жетіп алып отыратын еді. Осы екі

дененің сызықты жылдамдықтарын табыңыз.

Шешуі: Бірінші және екінші дененің жылдамдықтарын сәйкесінше

v

1

м / с , v

2

м/

с деп белгілейік. Онда есеп шарты бойынша келесі

теңдеулер жүйесін аламыз:

1

v1

v2

1

v v

1

2

6,

48,

1

v

1

v2

,

6

1

v

1

v2

.

48

v 3

1

32

7

2

96

Бұл теңдеулерден ,

c

n

v екендігі шығады.

Жауабы : м / с,

.

.

3

32

7

96

м / с.

1.7. Шоссенің бір нүктесінен бастап үш спортшы машинасымен бір

мезгілде, шеңбер бойымен бір бағытта, бірқалыпты жылдамдықпен

жарысып келе жатыр. Бірінші спорт машинасымен «алға» шарты

басталғанда, яғни бесінші айналым басталғанда старт нүктесіне

қарама-қарсы беттегі диаметральді нүктеде екінші спортшыны

машинамен қуып жетті, ал енді жарты сағаттан соң «алға» шарты

басталғаннан бергі уақытта үшінші спортшыны екінші рет қуып жетті.

Ал екінші спортшы үшінші спортшыны «алға» шарты басталғаннан

кейінгі 3 сағатта бірінші рет қуып жетті. Егер екінші спортшы шеңбер

бойымен әр айналымын кемінде 20 минутта жүріп өтсе, онда бірінші

спортшы бір сағатта шеңбер бойымен неше айналым жасайды?

Шешуі: Сақина бойымен жүрілген жолдың ұзындығын s (км) деп

белгілейік, ал машиналардағы спортшылардың жылдамдығын

сәйкесінше v 1

(км/сағ), v 2

(км/сағ), 3

v (км/сағ) деп белгілейік, v v .

1 2

v3

14

Бірінші машинадағы спортшы екіншіні v1 v2

жылдамдықпен қуып

жетті, үшіншіні v1 v3

жылдамдықпен қуып жетті, ал екінші

машинадағы спортшы үшіншіні v2 v3

жылдамдықпен қуып жетті. Бір

спортшыны екіншісі қуып жеткен мезетте, ол s қашықтықты артық

жүріп өтті деген сөз, яғни екінші рет қуып жетсе 2s

-ке артық тағы

солай кете береді.

Есеп шартын келесі теңдеу мен теңсіздіктер түрінде жазуға болады.

Есептің шарты

Бірінші машинадағы спортшы

бірінші рет екіншіні өзінің

бесінші айналымында старт

нүктесінің диаметраль екі

жағындағы нүктеде қуып жетті,

(яғни 4,5 айналым).

Екінші машинадағы

спортшыны бірінші қуып

жеткеннен соң жарты сағаттан

соң үшіншіні екінші рет қуып

жетеді, (яғни бірінші

машинадағы спортшы

үшіншіден 2 айналым көп

жүрді.)

Екінші машинадағы

спортшы үшіншіні бірінші рет 3

сағаттан соң қуып жетті.

Екінші машинадағы спортшы

бір айналымды 20 минуттан кем

емес уақытта жүріп өтеді.

Теңдеулер мен теңсіздіктер

v

1

s

v

1

2

9

s

2

v

v

2

s

v

2

s

v

9

s

2

v

1

2

3

1

3

1

2s

v v

1

3

3

Есеп шартын пайдалана отырып соңғы теңсіздікті жазған себебіміз, ол

есептің бір мәнді шешімін табу үшін қажетті болып отыр. Есептің

шарты бойынша S , v1 , v2,

v3

белгісіздерін емес, олардың қатынастарын

v1

тапсақ жеткілікті, яғни жаңа белгісіздерді x , y,

z енгіземіз: x ,

s

v2

v3

y , z . Бұл қатынастар әрбір спортшының бір сағатта неше

s s

айналым жасайтынын көрсетеді.

15

Енді осы белгісіздер үшін теңдеулер жүйесі келесі түрге келеді:

2

x y x

9

4x

x

z

9 x

1

y

z

3

Бірінші және үшінші теңдеулерді қосып, шыққан теңдеуден екінші

теңдеуді алып x -ке байланысты келесі квадрат теңдеуді аламыз:

2x 2 15x 27 0.

9

Бұл жерден x -тің екі мәнін табамыз: x

1

; x

2

3. Енді жүйенің

2

7 7

бірінші теңдеуінен y -тің екі мәнін табамыз: y

1

x1

; және

9 2

7 7

y

2

x2

; жүйенің екінші теңдеуіне қарап сәйкес z 1, z2

табамыз;

9 3

7

9

y

1

мәні y 3 теңсііздігін қанағаттандырмайды, сондықтан x

1

;

2

2

7 19

y

1

; z

1

жүйенің шешімі бола алмайды. Ал

2

y 7

2 мәні соңғы

6

3

теңсіздікті қанағаттандырады, бұдан шығатыны x

2

3 берілген

есептің жалғыз шешімі. Демек, бірінші машинадағы спортшы бір

сағатта 3 айналымды жүріп өтеді.

Жауабы: 3 айналым.

1.8. Моторлы қайық ағыспен жүзіп, А пунктінен В пунктінен 1,3

сағатта барады. Моторлы қайық ағысқа қарсы жүзіп, В пунктінен А

пунктіне 1,9 сағатта барады. Ағыс жылдамдығы 2,4 км/сағ. Моторлы

қайықтың меншікті жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: Бұл есепті шығару барысында ең алдымен жолды

формуласына тоқталамыз. Мұнда жол формуласын әр жағдай үшін

жазамыз.

Айталық, v

1 қайықтың, v

2 - өзен жылдамдығы болсын, t 1 - барарға

кеткен, t 2 қайтарға кеткен уақыт.

s ( v v t

1 2)

1

s ( v t

1

v2

)

2

Екеуін теңестіріп алатынымыз

(v ө + v қ ) ∙ 1,3 = () 1,9

16

v ө = 2,4 = v ө + v қ − v ө v қ = (v қ − v ө ) ∙ 19

13

13v ө + 13v қ = 19v қ − 19v ө

32v ө = 6v қ

v ө = 3 16 v қ

v қ = 16 3 ∙ 2,4=12,8

Жауабы: Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығын 12,8 км/сағ.

1.9. Алматыдан Жезқазғанға жүк пойызы шықты. 1,5 сағаттан соң

оның артынан жүк пойызына қарағанда жылдамдығы 5 км/сағ артық

жолаушы пойызы шықты. 15 сағаттан соң жолаушы пойызы жүк

пойызын қуып жеткенімен қоймай, одан 21 километр алда болды. Жүк

пойызының жылдамдығын анықтаңыз.

Шешуі: Жүк пойызының жылдамдығын x км/сағ, ал жолаушы

пойызының жылдамдығын x 5

км/сағ деп белгілейік. 15 сағатта

жолаушы пойызы x 515

километр жол жүреді. Жүк пойызы жолда

16,5 сағат және 16 ,5 x километр жол жүреді. Есептің шартын ескеріп,

мынадай теңдеу құрамыз:

x

515

x16,5

21

15x

75

16,5x

21

1,5

x 54

x 36

. Демек, жүк поезының жылдамдығы 36 км/сағ.


1.10. Үш жүзгіш ақпайтын суда А-дан В-ға дейін және кері қарай жүзу

керек болатын. А мен В-ң арасы 55 метр. Алғашқы болып бірінші

жүзгіш, 5 секундтан кейін – екінші, тағы 5 секундтан кейін – үшінші

жүзгіш жүзді. А мен В-ң арасындағы қандай да бір С нүктесін үшеуі

де А-дан В-ға қарай бір мезгілде өтті. Үшінші жүзгіш В пунктіне жетіп,

кері жүзгенде екінші жүзгішті В пунктімен 9 метр қашықтықта, ал

бірінші жүзгішті В-дан 15 м қашықтықта кездестіреді. Үшінші

жүзгіштің жылдамдығын табыңыз.

Шешуі: v 1

деп бірінші жүзгіштің, v

2

деп екінші жүзгіштің, v

3 деп

үшінші жүзгіштің жылдамдығын белгілейік. |АС| қашықтығын 1-ші

1

v1

1

v

жүзгіш |АС| секунд, екінші жүзгіш |АС| cекунд және үшінші

жүзгіш |АС| cекунд, яғни |AC| x cекунд, |AC| y cекунд және, |AC| z

3

17

1

v

2

cекунд жүздi, мұндағы

жүйесін құруға болады:

1 1 1

x , y , z

v v v

|

AC | (

y z)

5

x z 2( y z)

x 2y

z.(1)

|

AC | (

x z)

10

1

2

18

3

. Сонда мынадай теңдеулер

Екінші жүзгішпен кездескенге дейін үшінші жүзгіш барлығы 55 9 64

м қашықтықты 64 z секундта жүзді.

Екінші жүзгіш үшінші жүзгішпен кездескенге дейін 55 9 46 м

қашықтыққа 5 секунд артық уақыт жұмсады.

Бұдан, 46y 64z

5 (2)

Осылайша, бірінші мен екінші жүзгіштердің кездескенге дейінгі жүзу

уақыттарын салыстырып, мынаны аламыз: 40x 70z

10

4x 7z

1

(3)

(1),(2),(3) z 1

v3 1м

/ с .

Жауабы: v 1 м / с

3

.

1.11. А пунктінен В пунктіне дейінгі арасы 200 километр ара

қашықтықты мотоциклші 6 сағатта жүріп өтті. Алғашқыда ол 15

(км/сағ)-тан артық ( v 1

15)

км/сағ, v

1

жылдамдықпен, сосын v

2

жылдамдықпен жүрді, сонымен қатар әрбір жылдамдықтың қозғалыс

уақыты қозғалыс жылдамдығына пропорционал болып шықты. А

пунктінен шыққан соң 4 сағаттан кейін мотоциклші А пунктінен 120

километр қашықтықта болды. v

1

және v2

-ні анықтаңыз.

Шешуі: Мынадай аралас жүйе құрамыз:

6

x v1

x v2

xv1

(4 x)

v

xv1

(6 x)

v

v1

15,

2

2

120

200

мұндағы x - мотоциклшінің v

1

км/сағат жылдамдықпен жүргендегі

уақыты. (2), (3) теңдеулерінен

xv 6 x)

v xv 4

xv

200120

2v

80 v 40 км/сағ.

1

(

2 1

2

2

2

x v

6 x

40x

6 x

2

(1) –ден v .

1

Осы мәнді (2) теңдеуге апарып қояйық:

40x

x (4 x)

40 120

6 x

2

2

40x 40(24 10x

x ) 720 120

x

80x

2 280x 240 0

2x

2 7x 6 0

(1)

(2)

(3)

7 49 48

x

1/ 2

x

1

2,

x

2

3.

4

40 2

6 2

Табылған мәнді (1) теңдеуге қоямыз: v 20 км/сағ.

80

4

1

Жауабы: 20 км/сағ, 40 км/сағ.

1.12. Автомобиль А пунктінен В пунктіне 42 км/сағ тұрақты

жылдамдықпен жүріп отырды. В пунктінде оның қозғалыс үдеуі

төмендеді де, әрбір сағат сайын оның жылдамдығы a км/сағ-қа

төмендеді, осылайша ол толық тоқтағанға дейін жүріп отырды. Содан

кейін ол бірден бірқалыпты a км/сағ 2 үдеумен қозғала бастады. 3

сағаттан соң автомабильдің қозғалысы бәрінен де В пунктіне жақын

болу үшін а -ның мәні қандай болу керек?

Шешуі: Автомобильдің В пунктінен тоқтағанға дейінгі ара

қашықтығын s 1

(км) деп, ал автомобильдің В пунктінен қозғалып бара

жатқан уақыт мезетін, яғни тоқтағанға дейінгі уақыт мезетін t

1

сағат

делік. s 2

(км) деп автомобильдің қозғалысын жаңартқаннан 3 сағаттан

кейінгі ара қашықтықты белгілейміз. Есеп шартындағы енгізген

айнымалыларды пайдалана отырып, келесі теңдеулер жүйесін кесте

түрінде жазып көрсетуге болады.

Есеп шарты

В пунктінде автомобиль 42 км/сағ жылдамдықпен

қозғалып келеді, бірқалыпты төмен қозғалысқа

түседі де әрбір сағат сайын оның жылдамдығы a

км/сағ-қа төмендеп, осылай тоқтағанша жүреді.

Автомобиль 3 сағат бойына бірқалыпты a км/сағ 2

үдеумен қозғалып барады.

Теңдеу

42

a

t

1

2

at1

s1

42t1

2

3 2

s

2

a

2

Осылайша үш теңдеуден тұратын жүйе аламыз;

42

a

t1

2

at1

s1

42t1

2

9a

s2

2

Осы теңдеулер жүйесінен a , t1,

s1

және s 2

айнымалыларын табу керек.

Ізделінді a үдеуін берілген жүйеден бір мәнді табу мүмкін емес.

19

Дегенмен есеп шартында тағыда бір a -ны табуға мүмкіндік

беретін шарт бар, яғни біз s1 s2

ең кіші мәнге тең болатындай a -ның

мәндерін табуымыз керек.

42

Жүйенің бірінші теңдеуінен алатынымыз t t -дің орнына

жүйенің екінші теңдеуін

қойып, алатынымыз

s

1

a

42 2 9a

s2

.

2a

2

20

1

.

1

a

42 -ны алған нәтижені үшінші теңдеуге

f a s 1

s2

функциясы 0 ;

аралықта ең кіші мәніне a 14 болғанда

жетеді.

Жауабы: 14 км/сағ 2 .

1.13. А және В қалаларының арасы 270 километр. Бір мезгілде екі

қаладан бір-біріне қарама-қарсы екі пойыз шығып 3 сағаттан кейін

кездесті. Пойыздың бірі екіншісіне қарағанда барлық жолға 1,35 сағат

артық уақыт жібереді. Әр пойыздың жылдамдығын анықтаныз.

Шешуі: Бірінші пойыздың жылдамдығын x км/сағ, екінші

пойыздың жылдамдығын y км/сағ деп белгілейік. Есептің шарты

бойынша мынадай теңдеулер жүйесін құрып, шешеміз:

3х

3y

270

270

270

1.35

x y

270 270

x y 90 y 90 x 1, 35

х 90 х

24300 270 x 270 x 121,5x

1,35x

1,35x

х

2

2

661.5 x 24300 0

490х 18000

0

x 245 205

x 40, y 50.

Демек, әр пойыздың жылдамдықтары сәйкесінше 40км/сағ,

50км/сағ.

Жауабы: 40км/сағ, 50км/сағ.

1.14. 7 сағат 20 минут бойы қайық өзен бойымен жоғары өрлей 35

километр жүрді және қайта оралды. Өзен ағысының жылдамдығы 4

км/сағ. Қайықтың өзен ағысымен және өзен ағысына қарсы

жылдамдығын табыңыз.

Шешуі: Қайықтың тынық судағы жылдамдығын x деп алайық.

Сонда қайықтың өзен ағысымен жылдамдығы

ағысына қарсы жылдамдығы x 4

км/сағ.

Есептің шарты бойынша теңдеу құрамыз:

2

x 4

км/сағ, өзен

35 35

x 4 x 4

22

3

105x

420 105x

420 22x

2

11x

2 105x 176

0

105 137

x

1/ 2

x

1

11,

22

352

2

16

11

x . Теріс түбір есеп шартын

қанағаттандырмайтындықтан, жауабы x 11.

Демек, қайықтың өзен ағысымен жылдамдығы 15 км/сағ, ал өзен

ағысына қарсы жылдамдығы 7 км/сағ болады.


1.15. Арасы 36 километр бір ауылдан екінші ауылға бір мезгілде екі

автобус шыққан. Бірінші автобус белгіленген пунктке екінші

автобусқа қарағанда 15 минут ерте жетеді және екінші автобустың

жылдамдығы бірінші автобустан 2 км/сағ кем. Әр автобустың


Шешуі: Есептің шарты бойынша бірінші автобустың

жылдамдығын x , екінші автобустың жылдамдығын 2

белгілейік. Теңдеу құрамыз:

36

x

1

4

36

x 2

2

144x 288 x 2x

144x

2

x 2x 288

0

x 117, x 16, x 18.

1

2

x деп

Теріс түбір есеп шартын қанағаттандырмайтындықтан, x 18

,

бұдан автобустың жылдамдығын тапсақ x 2 16

.


1.16. Моторлы қайық 5 сағатта өзен ағысымен 42 километр, өзен

ағысына қарсы 20 километр жүрді. Егер өзен ағысының жылдамдығы

2 км/сағ екені белгілі болса, онда қайықтың меншікті жылдамдығын

табыңыз.

Шешуі: Қайықтың меншікті жылдамдығын x деп белгілейік.

Сонда қайық өзен ағысымен x 2

км/сағ жылдамдықпен өзен ағысына

қарсы x 2

км/сағ жылдамдықпен жүрді. Онда есептің шартын

ескеріп, теңдеуді былайша құрамыз:

42 20

5

x 2 x 2

42x

84

20x

40 5x

5x

2 62x 24 0

2

20

21

62 58

x

1/ 2

, x

1

12, 2

0, 4

10

x . Есептің шартын x 12 түбірі ғана

қанағаттандыратыны айқын.


1.17. Бастапқы жылдамдығын 10 км/сағ арттыру арқылы, жүрдек

пойыз 720 километр жолға кететін уақытты 1 сағатқа қысқартты.

Пойыздың бастапқы жылдамдығын табыңыз.

Шешуі: Пойыздың бастапқы жылдамдығын

белгілейік. Сонда теңдеу былайша құрылады:

720 720

1

x x 10

720x 7200 720x

x

2 10x

2

x 10x 7200

0.

x 5

85 ; x 80, 90

22

x км/сағ деп

1/

2

1

x

2

. Теріс түбір есеп шартын

қанағаттандырмайтындықтан, x 80 . Демек, жүрдек пойыздың

бастапқы жылдамдығы 80 км/сағ.


1.18. А және В пунктерінің арасы темір жол бойынша 66 километр, ал

су бойымен 80,5 километр. А пунктінен пароходтан кейін 4 сағаттан

соң пойыз шығады да В пунктіне 15 минут бұрын жетеді. Егер

пойыздың жылдамдығы пароходтың жылдамдығынан 30 км/сағ артық

болса, әрқайсысының жылдамдықтары қандай?

Шешуі: Пароходтың жылдамдығы x км/сағ, пойыздың

жылдамдығын x 30

км/сағ деп белгілейік. Сонда есептің шарты

15 1

бойынша мынандай теңдеу құрамыз: 15(

мин ) (сағ)

264x

17x

66 17

х 30 4

2

80,5

х

60

510x

322x

9660

17x

2 452x 9660

0

452 928 690

x

1/ 2

; x

1

, x

2

14.

34

17

Теріс түбір есеп шартын қанағаттандырмайтындықтан, x 14

.

Демек, пойыздың жылдамдығы x 30 44 км/сағ, ал пароходтың

жылдамдығы 14 км/сағ.

Жауабы: 44км/сағ; 14км/сағ.

1.19. Ракета моделі Жер бетінен көтерілді және қандай да бір тұрақты

үдеумен қозғалды. Двигатель өшкен кезде ол әлі де бірнеше уақыт

2

10 м / с үдеумен бірқалыпты баяу көтерілуін жалғастырды.

Жіберілгеннен кейін 12 секундтан кейін өзінің траекториясының ең

4

биік нүктесіне жеткен кезде, ракета төмендей бастады. Төмендеу

жылдамдығы 6 м/с болатын парашюттің көмегімен жүргізілді және 20

секундтан кейін ракета Жерге жетті. Ракетаның двигателі қанша уақыт

жұмыс істегенін және оның ракетаға қандай үдеу хабарлағанын білу

керек.

Шешуі: Ізделінді үдеуді x

м

2

с

23

деп, ал ізделінді уақыт аралығын y

секунд деп белгілейміз. Жіберілгеннен кейін y секундтан соң,

ракетаның жылдамдығы xy-ке жетті, одан кейін көтерілу тағы да 12

y

секундқа созылды, алайда ол бірқалыпты баяу үдеумен

қозғалды.

Теңдеу құралық:

2

at

2

xy

12 y 10

0 (1)

s формуласы бойынша, y секундта ракетаның

көтерілгенін, ал бірқалыпты баяу қозғалған уақытта қозғалысты

формуласы бойынша ракетаның тағы да

2 2

x y

2 10

табамыз. Сондықтан, траекторияның ең биік нүктесі

2

xy

2

м

10

2

с

биіктігіне

2

v0

s

2a

биіктікке көтерілгенін

2 2 2

xy x y

2 20

биіктігінде болған. Осы биіктіктен Жер бетіне дейінгі төмендеу 20

секундқа созылды және тұрақты

2

м

с

2 2

x y

20

6 жылдамдықта өтті. Бұдан:

2

xy =120, (2)

м

екендігі шығады, (1) және (2) теңдіктерден 2

с

2

x , y 10c

болады.

Жауабы: 2м/с 2 , 10с.

1.1 Өз бетінше орындауға арналған жаттығулар

1.20. Жолаушы пойызы қатар келе жатқан жүк пойызын басып озады.

Жүк пойызының машинисінің жанынан жолаушы пойызы 10 секундта,

ал жүк пойызы жолаушы пойызының машинисінің жанынан 40

секундта өтеді. Егер екі пойыз бір-біріне қарама-қарсы қозғалса, онда

кездесу ұзақтығы, яғни тепловоздар мен соңғы вагондардан

2

алшақтығы арасындағы уақыт өлшемі 16 секундты құрар еді.

3

Жолаушы пойызының жылдамдығының жүк пойызының

жылдамдығына қатынасын табу керек.

Жауабы: 2.

1.21. А пунктінен В пунктіне мотоциклші және бір мезгілде В

пунктінен А пунктіне қарама-қарсы велосипедші шықты. Бірқалыпты

қозғала отырып, мотоциклші В пунктіне велосипедшімен

кездескеннен кейін 2 сағаттан соң келді, ал велосипедші А пунктіне

осы кездесуден соң 4,5 сағаттан соң келді. Әр қайсысы жолда қанша

уақыт болған?

Жауабы: 5 сағат, 7,5 сағ.

1.22. Арасы 525 километр болатын А пунктінен В пунктіне қарай

мотоциклші шықты. Біраздан соң В-дан А пунктіне қарай автомашина

3

шығып, А мен В-ң ара қашықтығының бөлігін жүріп өткен

мотоциклшімен кездесті. Мотоциклші мен велосипедші әрі қарай

қозғалып, автомашина А пунктіне жеткеннен кейін 3 сағаттан соң

велосипедші В пунктіне жетті. Егер автомашина В-дан өзінің шыққан

нақты уақытынан 1,5 сағат бұрын шықса, онда ол мотоциклшімен А

пунктіне дейін 100 километр қашықтықта кездескен болар еді.

Мотоциклшінің жылдамдығын анықтаңыз. Қозғалыс бірқалыпты.

Жауабы: 50 км/сағ

1.23. Жүргізуші қозғалмайтын эскалатормен 42 секундта, сондай

жылдамдықпен қозғалыстағы эскалатордан 24 секундта түссе,

қозғалыстағы эскалатордың баспалдағында тұрып, қанша секундта

төменге түсер еді?

Жауабы: 56 cекунд.

1.24. Ескекші 16 километр аралықты өзен ағысымен 2 сағатта, ал өзен

ағысына қарсы 8 сағатта жүзіп өтеді. Қайықтың тынық судағы

жылдамдығын және өзен ағысының жылдамдығын анықтаңыз.

Жауабы: 5км/сағ; 3 км/сағ.

1.25. Ауылдан теміржол станциясына қарай шыққан жүргінші

алғашқы сағатта 3 километр жүрген соң, егер ол осы жылдамдықпен

қозғалатын болса, пойызға 40 минут кешігетінін есептеп білді.

Сондықтан қалған жолды 4 км/сағ жылдамдықпен жүріп, станцияға

пойыз кетерден 45 минут бұрын жетті. Ауылдан станцияға дейінгі ара

қашықтықты табыңыз.


1.26. Концентрлі екі шеңбер бойымен екі нүкте бірқалыпты айналып

тұр. Олардың бірі толық айналымды екіншісінен 5 секунд шапшаң

24

7

жасайды, сондықтан 1 минуттың ішінде екі айналымды артық жасап

үлгереді. Қозғалыс барысында шеңбер центрінен сол нүктелерге қарай

бағытталған сәулелер тоғысып кететін. Сәулелер арасындағы

бұрыштың шамасы 1 секундтан кейін қандай болады?

Жауабы: 12 0 не 60 0 .

1.27. Шеңбер бойында жатқан А мен В екі нүктенің арасындағы кіші

доға ұзындығы 150 метрге тең. Егер нүктелер кіші доға бойымен

біріне-бірі қарсы жылжитын болса, онда 10 секундтан кейін кездеседі,

ал егер үлкен доға бойымен жылжитын болса, онда 14 секундтан кейін

кездеседі. А нүктесі бүкіл шеңберді бір айналып шығатын уақыт

ішінде В нүктесі тек 90 метр ғана жүріп үлгеретіні белгілі болса,

нүктелердің қозғалу жылдамдығын және шеңбер ұзындығын

табыңыздар.

Жауабы: 12м/с; 3м/с; 360м.

1.28. Ұзындығы 60 метр шеңбер бойымен бір бағытта екі нүкте

бірқалыпты қозғалып келеді. Олардың бірі екіншісінен толық

айналымды 5 секунд шапшаң жасайды. Сонда әрбір минут сайын

нүктелер дәл келіп қалады. Нүктелердің жылдамдықтарын табыңыз.

Жауабы: 3 м/с; 4м/с.

1.29. Турист өзенде 90 километр қайықпен жүзіп және тағы 10

километр жаяу жүрген. Сонда жаяу жүрген жолына жұмсаған уақыты

қайықпен жүзгендегіге қарағанда, 4 сағат кем болған. Егер де турист

өзенмен қанша уақыт жүзсе, сонша уақыт жаяу жүрген болса, онда ол

қашықтықтар тең болар еді. Ол неше сағат жаяу жүрген және неше

сағат қайықпен жүзген?

Жауабы: 6 сағ; 2 сағ.

1.30. Жаяу адам 10 км жолды белгілі бір жылдамдықпен жүру керек

еді. Бірақ ол жылдамдығын 1 км/сағ-қа арттырып, 10 км жолды 20

минутта тезірек жүріп өтті. Жаяу адамның алғашқы жылдамдығын

табыңыз.


1.31. Моторлы қайық су ағысының бойымен 105 км жүргенде, осы

жолды ағысқа қарсы жүзгендегіден 2 сағ жылдам жүзді. Моторлы

қайықтың тынық судағы жылдамдығы 18 км/сағ болса, су ағысының



1.32. Моторлы қайық су ағысының бойымен 28 км, ағысқа қарсы 25 км

жүзгенде тынық суда 54 км жүзгендегідей уақыт жұмсады. Егер

25

ағыстың жылдамдығы 2 км/сағ болса, моторлы қайықтың тынық

судағы жылдамдығын табыңыз.


1.33. Тұнық судағы жылдамдығы 20 км/сағ-қа тең катер ағысқа қарсы

36 км сағ және өзен ағысының бойымен 22 км жол жүрген. Ол осы

жолдың барлығына 3 сағ уақыт жіберген. Өзен ағысынң жылдамдығын

табыңыз.


1.34. Өзен бойындағы екі пристаньның ара қышықтығы 80 км.

Қайықтың бір пристаннан екінші пристаньға барып қайтуына 8 сағ 20

мин уақыт кетеді. Ағыс жылдамдығы 4 км/сағ деп есептеп, қайықтың

тынық судағы жылдамдығын табыңыз.


1.35.Тынық судағы жылдамдығы 15 км/сағ болатын моторлы қайық

1

өзен ағысының бойымен 139 км жүзіп барып, қайта қайтып келеді.

3

Қайық барлық жолға 20 сағ уақыт жұмсаған болса, өзен ағысының



1.36. Өзен бойындағы екі қаланың ара қашықтығы 80 км. Теплоход бір

қаладан екіншісіне барып қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсады. Өзен

ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың тынық судағы



1.37. Моторлы қайық ағыс бойымен 18 км және ағысқа қарсы 14 км

жүрді, осы жолдың барлығына ол 3 сағ 15 мин жұмсады. Қайықтың

меншікті жылдамдығы 10 км/сағ. Ағыстың жылдамдығын табыңыз.


1.38. А пунктінен өзен ағысымен сал жіберілгеннен кейін 5 сағ 20

минут өткен соң салдың соңынан моторлы қайық шығып, 20 км

жүзгеннен кейін салды қуып жетеді. Егер моторлы қайық салдан 12

км/сағ жылдам жүретін болса, салдың жылдамдығы неге тең?


1.39. Моторлы қайық өзен ағысымен 28 км жүзіп барып, бөгелместен

кері қайтты. Барып қайтуға 7 сағат уақыт кетеді. Өзен ағысының

жылдамдығы 3 км/сағ екендігі белгілі. Қайықтың тынық судағы



26

1.40. Моторлы қайық ағыспен 12 км, ағысқа қарсы 12 км жүрді. Ағысқа

қарсы жүрген жолына ағыспен жүрген жолынан 1 сағат артық уақыт

жіберген. Қайықтың тұнық судағы жылдамдығы 9 км/сағ болса, ағыс



1.41.Турист 160 км-дің 5 бөлігін автомашинамен, ал қалған бөлігін

8

катермен жүріп өтті. Катердің жылдамдығы автомашинаның

жылдамдығынан 20 км/сағ аз. Турист автомашинамен катерге

қарағанда 15 мин артық жүрген. Автомашина мен катердің

жылдамдықтары қандай?

Жауабы: (60; 80); (80; 100).

1.42. Токарь 120 детальді өңдеуі керек еді. Жаңа кескіш қолдану

арқасында ол сағатына 4 детальдан артық өңдеп, берілген тапсырманы

мерзімінен 2 сағ 30 минутке ерте бітірді. Жаңа кескішті қолдана

отырып токарь сағатына неше детальдан өңдеді?

Жауабы: 16.

1.43. Жинақ кассасынан ақша сатушы әуелде өз ақшасының

4 1 бөлігін

алып, екінші рет қалған ақшасының

9 4 бөлігін және 640 теңге алды.

Ақшасын екі рет алғаннан кейін жинақ кітапшасында барлық салған

ақшасының

20 3 бөлігі қалды. Басында салған ақшаның мөлшері қандай

еді?

Жауабы: 2400 теңге.

1.44. Шаңғышының 30 километр ара қашықтықты жүріп өтуі тиіс еді.

Жүруді белгіленген уақытынан 3 минут кешірек бастаған шаңғышы

жоспарланғаннан 1 км/сағ артық жылдамдықпен жүгіріп отырып,

белгіленген жерге дер кезінде келіп жетті. Шаңғышы қандай

жылдамдықпен жүгірді.


1.45. Өзен ағысымен катер 3 сағ. ағысқа қарсы 4,5 сағ. жол жүрді. Катер

жылдамдығы 25 км/сағ болса, онда өзен ағысының жылдамдығы

қандай?


1.46. Бір натурал сан екіншісінен 3-ке артық, ал көбейтіндісі 180-ге тең.

Осы натурал сандарды табыңыз.

Жауабы: 15 және 12.

27

1.47. Катер өзен ағысымен 75 км және ағысқа қарсы 75 км жүрді. Катер

барлық жолға тынық суда 80 км жүретін уақыттан 2 есе артық

жұмсады. Егер ағынның жылдамдығы 5 км/сағ болса, катердің

жылдамдығы неге тең?


1.48. Кварталда 8 көпқабатты үй салынды. Олардың орташа биіктігі 38

м. Егер сегіз үйдің төртеуінің орташа биіктігі 29 м болса, онда қалған

төрт үйдің орташа биіктігі қандай болғаны?

Жауабы: 47 м.

1.49. Катер арасы 96 км А-дан Б-ға өзен ағысы бойынша және

керісінше жүзуге 14 сағ уақыт жіберді. Бір мезгілде катермен бірге А-

дан сал шықты. Катер қайтар жолда А-дан 24 км қашықтықта салды

кезіктірді. Катердің тынық судағы жылдамдығын және су ағысының

жылдамдығын табу керек.



қаладан екіншісіне барып, қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсайды. Өзен






жүзгеннен кейін салды қуып жетті. Егер моторлы қайық салдан 12




кері қайтты. Барып-қайтуға 7 сағат уақыт кетті. Өзен ағысының




1.53. Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км суда жүзді. Барлық жолға

1 сағ уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда

катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз.


1.54. Ара қашықтығы 900 км екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы екі

пойыз шығып, олар жол ортада кездескен. Бірінші пойыз екіншісіден

1 сағ кеш шығып, екінші пойыздың жылдамдығынан 5 км/сағ артық

жылдамдықпен жүрген. Әр поездың жылдамдығын табыңыз.


28

1.55. Велосипедші 49 км жолды 3 сағатта жүріп өтті. Бірақ әрбір келесі

сағатта, алдыңғы сағатқа қарағанда 2 есе аз жол жүрді. Велосипедші

соңғы сағатта қанша жол жүрді?


1.56. Ара қашықтығы 18 км болатын А пунктінен В пунктіне қарай

жаяу жүргінші шықты. Жаяу жүргіншінің артынан 2 сағаттан кейін

велосипедші шығып, екеуі бір мезгілде В пунктіне келеді. Егер

велосипедші жылдамдығы жаяу жүргіншінің жылдамдығынан 4,5

км/сағ артық болса, велосипедшінің жылдамдығын табыңыз.


1.57. Реактивті самолет 0,5 сағатта винтті самолеттің 1 сағатта жүрген

жолынан 200 км артық жүрген. Егер реактивті самолеттің

жылдамдығы винтті самолеттің жылдамдығынан 3 есе артық болса,

әрқайсысының жылдамдығын табыңыз.


1.58. Екі мотоциклші ара қашықтығы 50 километр болатын М және N

пункттерінен бір мезгілде шықты да, 30 минуттан соң кездесті. Егер

олардың біреуі М пунктіне екіншісінің N пунктіне келгенінен 25 мин

ерте жетер болса, әр мотоциклші қандай жылдамдықпен жүрген?


1.59. А және В пункттерінен бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы екі

автомобиль шықты. Екеуі кездескеннен кейін олардың біреуі В

пунктіне 1 сағ 15 минуттан соң, ал екіншісі А пунктіне 48 минуттан

соң келіп жетті. А және В пунктерінің ара қашықтығы 90 км.

Автомобильдердің әрқайсысының жылдамдығын табыңыз.


1.60. Екі қаланың арасын қосатын екі түрлі жол бар. Оның біреуінің

ұзындығы екіншісінен 10 км артық. Бірінші жолмен автомобиль жүріп

келеді, ол екі қаланың арасын жүріп өту үшін 3,5 сағат жұмсайды; ал

екінші машина екінші жолмен екі қаланың арасындағы жолға 2,5 сағат

жұмсайды. Егер бірінші машинаның жылдамдығы екіншісіне

қарағанда 20 км/сағ аз болса, онда машиналардың әрқайсысының



1.61. Жедел поезд семафор алдында 16 минут тоқтатылған. Кестеден

шығып қалмау үшін, ол келесі 80 км аралықты жоспарлағаннан 10

км/сағ артық жылдамдықпен жүрген. Поездың кесте бойынша



29

1.62. Қанат велосипедпен ауылдан көлге дейін барып, кідірместен кері

қайтқан, содан бүкіл жолға 1 сағат уақыты кетті. Ауылдан көлге

дейінгі жылдамдығы 15 км/сағ, ал көлден ауылға дейінгі жылдамдығы

10 км/сағ болды. Көлден ауылға дейінгі ара қашықтықты табыңыз.



еді, бірақ ол жылдамдығын 1 км/сағ арттырып, 10 км жолды 20 мин

тезірек жүріп өтті. Жаяу адамның алғашқы жылдамдығын табыңыз.


1.64. Моторлы қайық өзен ағысымен 40 мин, ағынға қарсы 1 сағат

жүзіп, осы уақытта барлығы 37 км жол жүрді. Егер өзен ағысының

жылдамдығы 1,5 км/сағ болса, онда қайықтың тынық судағы


Жауабы: 22,5 км/сағ.

1.65. Велосипедшіге 15 км қашықтықты жүріп өтуі керек еді.

Белгіленген мерзімінен 15 минутқа кеш шыққандықтан жылдамдығын

2 км/сағ арттыруға тура келді. Сөйтіп велосипедші қандай

жылдамдықпен жүріп өтіп еді.


1.66. Поезд жолда 6 минутқа тоқтады да, өзінің кешігуіне 20 км-лік жол

кесіндісіне жойды. Ол үшін поездың қозғалыс кестесі бойынша

жорамалдаған жылдамдығынан 10 км/сағ артық жылдамдықпен

жүруіне тура келді. Берілген жол кесіндісіндегі поездың кесте

бойынша жорамалдаған жылдамдығын табыңыз.


1.67. Моторлы қайық өзен ағысы бойымен 14 км, ал сонан соң ағысқа

қарсы 9 км қашықтықты жүзіп өту үшін барлығы 5 сағат уақыт

жұмсады. Моторлы қайықтың тынық судағы жылдамдығын 5 км/сағ

деп алып, өзен ағысының жылдамдығын табыңыз.


1.68. Бір мезгілде А және В пунктерінен бір-біріне қарама-қарсы

бағытта жолға шыққан екі велосипедші 2 сағ-тан кейін жолықты. А-

дан В-ға дейінгі қашықтық 42 км-ге тең. Егер бірінші велосипедші

сағатына екіншісіне қарағанда 3 км жолды артық жүріп отырса, онда

олардың әрқайсысының жылдамдығының қандай болғаны?


1.69. Өзен жағасында орналасқан А және В пункттерінің ара

қашықтығы 10 км. А пунктінен шыққан қайық өзен ағысының

бойымен жүзіп В пунктіне келді де, кідірместен кері қайтты. Егер

30

қайықтың тынық судағы жылдамдығы 3 км/сағ болса, онда А-дан В-ға

жету үшін В-дан А-ға жетуге кеткен уақыттан 2 сағ 30 мин кем уақыт

жұмсалар еді. А пунктінен В пунктіне 2 сағ жету үшін қайықтың

тынық судағы жылдамдығының қандай болуы қажет?


1.70. Мотрлы қайық А-дан В пунктіне дейін 2,4 сағ, ал қайтарды 4 сағат

жолға жұмсады. Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы 16 км/сағ

болса, өзен ағысының жылдамдығы қандай?


1.71. Жеңіл машина жүк машинасына қарағанда 2 минут кеш шықты,

оны 10 км жүргенде қуып жетті. Егер жеңіл машина жүк машинасына

қарағанда сағатына 15 км артық жүретін болса, онда машиналардың

жылдамдықтары қанша?


1.72. Темір жолдың екі станциясының арасы 120 км. Бірінші поезд

екіншісіне қарағанды осы аралықты 50 мин жылдам жүріп өтеді.

Бірінші поездың жылдамдығы екіншісінен 12 км/сағ артық.

Поездардыңың жылдамдықтарын табыңыз.


1.73. Қайық 12 км/сағ жылдамдықпен бір айлақтан екінші айлаққа

қарай шықты. Жарты сағаттан кейін сол бағытта 20 км/сағ

жылдамдықпен пароход шықты. Егер пароход қайықтан 1,5 сағат

бұрын келсе, онда айлақтар арасы қанша?



поезд шығып, олар жол ортасында кездескен. Бірінші поезд екіншіден

1 сағат кеш шығып, екінші поездың жылдамдығынан 5 км/сағ артық



1.75. Аэродромнан одан 1600 км қашықтықтағы пунктке бір мезгілде

екі ұшақ ұшып шығады. Бірінші ұшақтың жылдамдығы екіншіге

қарғанда 80 км/сағ-қа артық болғандықтан, ол белгіленген жерге 1

сағат бұрын жетеді. Әр ұшықтың жылдамдығын табыңыз.


1.76. Поездға асыққан жолаушы бірінші сағатта 3,5 км жүргеннен

кейін, осы жылдамдықпен жүре берсе поездға 1 сағат кешігетінін

есептеп білді. Ол қалған жолды 5 км/сағ жылдамдықпен жүріп отырып,

поездға 30 минут ерте келді. Жолаушы қанша километр жүрген?


31

1.77. Велосипедші 30 км аралықты жүруі керек еді. Ол белгіленген

мерзімнен 3 минут кеш шыққандықтан жылдамдығы 1 км/сағ

арттырып, баратын жеріне дәл уақытында келді. Велосипедші қандай

жылдамдықпен жүрді.


1.78. Жүк машинасының 3 сағатта жүрген жолын, жеңіл машина 2

сағатта жүреді. Егер жеңіл машина жылдамдығын 30 км/сағ-қа

кемітсе, онда ол бір сағатта жүк машинадан 10 км кем жүреді.

Машиналардың жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 60 км/сағ, 40 км/сағ





1.80. Пароход өзен ағысымен 3 сағатта жүріп өткен жолын қайтар

жолында 5 сағатта жүріп өткен. Өзен ағысының жылдамдығы 5 км/сағ.

Пароходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз.


1.81. А және В станцияларының арасын жүк поезына қарағанда

жолаушы поезы 36 мин тезірек жүріп өтеді. Егер жолаушы поезының

орташа жылдамдығы 60 км/сағ, ал жүк поезының орташа жылдамдығы

48 км/сағ болса, онда екі станцияның ара қашықтығын табыңыз.


1.82. Егер пароход кездескеннен кейін бірі оңтүстікке, ал екіншісі

батысқа қарай кетті. Екі сағат өткеннен кейін олардың ара қашықтығы

60 км болды. Егер біреуінің жылдамдығы екіншісінен 6 км/сағ артық

боса, онда олардың әрқайсысының жылдамдықтары қандай болғаны?


1.83. Саяхатшы 105 км жолды күніне бірдей жол жүре отырып,

бірнеше күнде жүріп өтті. Егер осы саяхатына тағы да 2 күн қосып

алса, ол күніне 6 км аз жүрген болар еді. Саяхат неше күнге созылды?

Жауабы: 5 күн.

1.84. Мотоциклші 5 сағатта велосипедшіның 4 сағатта жүрген

жолынан 259 км артық жүреді. 10 сағатта велосипедші мотоциклшінің

2 сағатта жүретін жолынан 56 км артық жүрді. Велосипедшінің



1.85. А және В пунктерінен бір мезгілде бір-біріне қарсы мотоциклші

мен велосипедші шықты. Олар В пунктінен 4 км қашықтықта кездесті.

32

Ал мотоциклші В пунктіне жеткен кезде велосипедші А пункітінен 15

км қашықтықта еді. А және В пунктерінің ара қашықтығын табыңыз.


1.86. Екі мотоциклші бір мезгілде бір-біріне қарсы А мен В

пунктерінен шыққан. Олардың ара қашықтығы 600 км. Бірінші

мотоциклші 250 км жер жүргенде екіншісі 200 км жүреді. Бірінші

мотоциклші В-ға екіншінің А-ға жеткен уақытынан 3 сағ бұрын жетеді.

Олар бір қалыпты қозғалады деп есептеп, мотоциклшілердің қозғалыс

жылдамдықтарын табыңыз.


1.87. Бір мезгілде А-дан В-ға және В-дан А-ға қарай бір-біріне қарамақарсы

екі автокөлік шықты. Екеуі кездескеннен кейін әлі де олардың

біреуіне 2 сағаттық, ал екіншісіне 9 сағаттық жол қалған еді. Егер А

8

мен В-ның арасы 210 км болса, онда олардың жылдамдықтары қандай?


1.88. Моторлы қайық су ағысының бойымен 105 км жүргенде, осы

жолды ағысқа қарсы жүзгендегіден 2 сағ жылдам жүзді. Моторлы

қайықтың тынық судағы жылдамдығы 18 км/сағ болса, су ағысының



1.89. Моторлы қайық су ағысының бойымен 28 км, ағысқа қарсы 25 км

жүзгенде тынық суда 54 км жүзгендегідей уақыт жұмсады. Егер

ағыстың жылдамдығы 2 км/сағ болса, моторлы қайықтың тынық

судағы жылдамдығын табыңыз.


1.90. Тұнық судағы жылдамдығы 20 км/сағ-қа тең катер ағысқа қарсы

36 км сағ және өзен ағысының бойымен 22 км жол жүрген. Ол осы

жолдың барлығына 3 сағ уақыт жіберген. Өзен ағысының



1.91. Өзен бойындағы екі пристаньның ара қышықтығы 80 км.

Қайықтың бір пристаннан екінші пристаньға барып қайтуына 8 сағ 20

мин уақыт кетеді. Ағыс жылдамдығы 4 км/сағ деп есептеп, қайықтың

тынық судағы жылдамдығын табыңыз.


1.92. Тынық судағы жылдамдығы 15 км/сағ болатын моторлы қайық

1

өзен ағысының бойымен 139 км жүзіп барып, қайта қайтып келеді.

3

33

Қайық барлық жолға 20 сағ уақыт жұмсаған болса, өзен ағысының




қаладан екіншісіне барып қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсады. Өзен




1.94. Моторлы қайық ағыс бойымен 18 км және ағысқа қарсы 14 км

жүрді, осы жолдың барлығына ол 3 сағ 15 мин жұмсады. Қайықтың

меншікті жылдамдығы 10 км/сағ. Ағыстың жылдамдығын табыңыз.




жүзгеннен кейін салды қуып жетеді. Егер моторлы қайық салдан 12




кері қайтты. Барып қайтуға 7 сағат уақыт кетеді. Өзен ағысының




1.97. Моторлы қайық ағыспен 12 км, ағысқа қарсы 12 км жүрді. Ағысқа

қарсы жүрген жолына ағыспен жүрген жолынан 1 сағат артық уақыт

жіберген. Қайықтың тұнық судағы жылдамдығы 9 км/сағ болса, ағыс



1.98. Турист 160 км-дің

8 5 бөлігін автомашинамен, ал қалған бөлігін

катермен жүріп өтті. Катердің жылдамдығы автомашинаның

жылдамдығынан 20 км/сағ аз. Турист автомашинамен катерге

қарағанда 15 мин артық жүрген. Автомашина мен катердің

жылдамдықтары қандай?

Жауабы: (60; 80); (80; 100).

1.99. Токарь 120 детальді өңдеуі керек еді. Жаңа кескіш қолдану

арқасында ол сағатына 4 детальдан артық өңдеп, берілген тапсырманы

мерзімінен 2 сағ 30 минутқа ерте бітірді. Жаңа кескішті қолдана

отырып токарь сағатына неше детальдан өңдеді?

Жауабы: 16.

34

1.100. Жинақ кассасынан ақша сатушы әуелде өз ақшасының

4 1 бөлігін

алып, екінші рет қалған ақшасының

9 4 бөлігін және 640 теңге алды.

Ақшасын екі рет алғаннан кейін жинақ кітапшасында барлық салған

ақшасының

20 3 бөлігі қалды. Басында салған ақшаның мөлшері қандай

еді?



пойыз шығып, олар жол ортада кездескен. Бірінші пойыз екіншісіден

1 сағ кеш шығып, екінші пойыздың жылдамдығынан 5 км/сағ артық



1.102. Велосипедші 49 км жолды 3 сағатта жүріп өтті. Бірақ әрбір

келесі сағатта, алдыңғы сағатқа қарағанда 2 есе аз жол жүрді.

Велосипедші соңғы сағатта қанша жол жүрді?


1.103. Ара қашықтығы 18 км болатын А пунктінен В пунктіне қарай

жаяу жүргінші шықты. Жаяу жүргіншінің артынан 2 сағаттан кейін

велосипедші шығып, екеуі бір мезгілде В пунктіне келеді. Егер

велосипедші жылдамдығы жаяу жүргіншінің жылдамдығынан 4,5

км/сағ артық болса, велосипедшінің жылдамдығын табыңыз.


1.104. Реактивті самолет 0,5 сағатта винтті самолеттің 1 сағатта жүрген

жолынан 200 км артық жүрген. Егер реактивті самолеттің

жылдамдығы винтті самолеттің жылдамдығынан 3 есе артық болса,

әрқайсысының жылдамдығын табыңыз.


1.105. Екі мотоциклші ара қашықтығы 50 км болатын М және N

пункттерінен бір мезгілде шықты да, 30 минуттан соң кездесті. Егер

олардың біреуі М пунктіне екіншісінің N пунктіне келгенінен 25 мин

ерте жетер болса, әр мотоциклші қандай жылдамдықпен жүрген?


1.106. А және В пункттерінен бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы екі

автомобиль шықты. Екеуі кездескеннен кейін олардың біреуі В

пунктіне 1 сағ 15 минуттан соң, ал екіншісі А пунктіне 48 минуттан

соң келіп жетті. А және В пунктерінің ара қашықтығы 90 км.

Автомобильдердің әрқайсысының жылдамдығын табыңыз.


35

1.107. Екі қаланың арасын қосатын екі түрлі жол бар. Оның біреуінің

ұзындығы екіншісінен 10 км артық. Бірінші жолмен автомобиль жүріп

келеді, ол екі қаланың арасын жүріп өту үшін 3,5 сағат жұмсайды; ал

екінші машина екінші жолмен екі қаланың арасындағы жолға 2,5 сағат

жұмсайды. Егер бірінші машинаның жылдамдығы екіншісіне

қарағанда 20 км/сағ аз болса, онда машиналардың әрқайсысының



1.108. Жедел поезд семафор алдында 16 минут тоқтатылған. Кестеден

шығып қалмау үшін, ол келесі 80 км аралықты жоспарлағаннан 10

км/сағ артық жылдамдықпен жүрген. Поездың кесте бойынша



1.109. Қанат велосипедпен ауылдан көлге дейін барып, кідірместен

кері қайтқан, содан бүкіл жолға 1 сағат уақыты кетті. Ауылдан көлге

дейінгі жылдамдығы 15 км/сағ, ал көлден ауылға дейінгі жылдамдығы

10 км/сағ болды. Көлден ауылға дейінгі ара қашықтықты табыңыз.






1.111. Моторлы қайық өзен ағысымен 40 мин, ағынға қарсы 1 сағат

жүзіп, осы уақытта барлығы 37 км жол жүрді. Егер өзен ағысының

жылдамдығы 1,5 км/сағ болса, онда қайықтың тынық судағы


Жауабы: 22,5 км/сағ.

1.112. Велосипедшіге 15 км қашықтықты жүріп өтуі керек еді.

Белгіленген мерзімінен 15 минутқа кеш шыққандықтан жылдамдығын

2 км/сағ арттыруға тура келді. Сөйтіп велосипедші қандай

жылдамдықпен жүріп өтіп еді.


1.113. Мотоциклші бір қаладан екіншісіне 55 км/сағ жылдамдықпен

жүре отырып 4 сағатта жетті. Егер ол қайтарда 30 км-ге ұзақ басқа

жолмен жүрсе және жылдамдығын барғандағыдан 5 км/сағ-қа азайтса,

жолды қанша уақытта жүріп өтеді?

Жауабы: 5 сағат.

1.114. Екі ауылды мекеннің арақашықтығы 36 км. Велосипедші осы

жолды 3 сағатта өтсе, жаяу адам оны 6 сағатта жүріп өтеді. Егер

36

велосипедші мен жаяу адам бір-біріне қарсы бағытта бір уақытта

шықса, неше сағаттан кейін кездеседі?


2. Жұмыс пен еңбек өнімділігіне берілетін есептер

Жұмысқа берілетін есептердің негізінде құрылатын теңдеулер

жүйесі негізінен келесі шамаларға байланысты болады. Жұмыстың

нақ өзі – А, t- уақыт, N- жұмыстың уақыт бірлігіндегі еңбек өнімділігі.

Осы үш шаманы байланыстыратын теңдеудің түрі A N t.

1. Бітірілуі тиіс жұмысты бірге теңестіріп аламыз;

2. Әр жұмысшының еңбек өнімділігін жеке тауып аламыз, яғни 1/t,

мұндағы t-әр жұмысшының жеке алғанда жұмысты толық бітіре

алу уақыты;

3. Әр жұмысшының жеке жұмыс істеген уақыттағы орындаған

жұмысын табамыз;

4. Әр жұмысшының жеке жасаған жұмысшының қосындысын

жұмыс көлеміне теңестіру арқылы теңдеу құраймыз (егер есептің

шартында жұмысшылар бірге орындаған болса).

Жұмысқа байланысты есептерде жұмысты бір бірлік деп есептейміз.

Егер жұмысшы жұмысты а күнде жасайтын болса, ол бір күнде

жұмыстың 1 бөлігін жасайды. Егер бірінші жұмысшы жұмысты а

а

күнде, екінші жұмысшы b күнде, екеуі бірігіп сол жұмысты x күнде

бітірсе, онда

1

а

1 1

b x

теңдігі орындалады.

Бір құбыр кеспекті t

1 сағатта, екінші құбыр 2

ал үшінші құбыр кеспектегі суды t

3 сағатта ағызып босатады. Олар

бірігіп, осы кеспекті t сағатта толтырса, онда

37

t сағатта толтырады,

1

t

1 1 1

t t t

теңдігі

орындалады.

Сұйықты насоспен тартуға байланысты есептер жиі кездеседі.

Мұндай есептерді нақты бір өзгертулер арқылы жұмысқа берілген

есептердің қатарына қосуға болады. Бұл жағдайда істелінген жұмысты

тартылып алынған судың көлемі ретінде алуға болады.

2.1. Бассейнде бірі – суды толтырып, бірі – суды ағызып жіберетін 2

құбыр жүргізілген. Бассейнге суды толтыру үшін оны ағызғаннан 2

1

2

3

сағат артық уақыт кетеді. Бассейннің үштен бірін суға толтырып, екі

құбырды да ашып қойса, онда бассейнде 8 сағаттан соң су болмайды.

Сонда бірінші құбыр бассейнді неше сағатта толтырады, ал тола

бассейнді екінші құбыр неше сағатта cyын ағызып болады?

Шешуі. V м 3 бассейннің көлемі болсын, суды толтыратын

құбырдың еңбек өнімділігі - x м 3 /сағ суды ағызатын құбырдың еңбек

өнімділігі - y м 3 /сағ. Бассейнге су толтыруға кеткен уақыт -

x V сағат.

Бассейндегі суды ағызуға кеткен уақыт -

y V

V

x

бойынша 2 .

y

V

сағат. Есептің шарты

Суды ағызатын құбырдың еңбек өнімділігі суды толтыратын

құбырдың еңбек өнімділігінен артық, яғни екі құбыр да жұмысқа

қосылғанда бассейннің суы ағып кете бастайды және бассейннің

үштен бірі

V

3

уақытта ағып кетеді, яғни есеп шарты бойынша 8

y x

сағатта. Сонымен, есеп шартын келесі үш белгісізі бар екі теңдеулер

жүйесінен жазуға болады, яғни 2,

Есептегі ізделінді шамалар

V

x

V және

x

V

x

y

x

y

V

бөліктеп алып шығарамыз 2,

V

x

V

y x

24.

V . Теңдеулердегі қатынастан

y

V

x

24.

y

1

x

V

x

t,

y k деп жаңа

x

айнымалыларды енгізіп, келесі екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін

аламыз, яғни

t

t 2,

k

t

24.

k

1

Бірінші теңдеуге

t ға қойып k ға байланысты теңдеу аламыз:

2

4

12k

25k

12

0 k1

; k2

3

4

( x ) k 1

3

Есептің шарты бойынша

3

;

4

y деген түбірді аламыз.

38

Екінші теңдеуге қойып жүйеден t 8 екендігін табамыз, яғни бірінші

құбыр бассейнді 8 сағатта толтырады. Бассейндегі судың ағып кету

V

y

V

x

4

3

уақыты : 8 : 6.

y

x

Жауабы: 8 сағат және 6 сағат.

2.2. Траншеяны қазу үшін әр түрлі маркалы екі экскаватор бөлінді.

Бірінші экскаватордың өз бетінше қазуға кететін уақыты, екіншісіне

қарағанда 3 сағатқа кем.

Екі экскаватор траншеяны бірігіп қазуға жіберген уақытынан осы

кеткен уақыт 4

35 4 есе көп. Әрбір экскаватор өз бетінше қазған жағдайда

кеткен уақытты анықтаңыз.

Шешуі: Ізделінді айнымалы ретінде келесі шамаларды енгіземіз:

A - (м 3 ) шығарылған грунттың көлемі, N

1(м 3 /сағ) және N

2(м 3 /сағ) -

бірінші және екінші экскаватордың еңбек өнімділігі. Бірінші

A

экскаватордың өз бетінше қазуға кеткен уақыты - , ал екінші

экскаваторға кеткен уақыт -

A

.

N 2

Есептің шарты бойынша бұл екі шама

байланысты.

A

N

1

экскаватордың бірге жұмыс істеген

уақыт кетеді, яғни 4

N 1

келесі теңдеумен

A

3 ; ал олардың қосындысы, яғни екі

N

2

A A уақытына 4 4 есе артық

N1 N 2

35

4 A A A

.

35 N N N N

1

2

Есептің шарты келесі теңдеулер жүйесінен тұрады:

A

N

t

t 3

R

t 144 t

t

R 35 1

R

A

N

1

3

N ,

1

2

N1

A

t ,

N 1

1

A

N

2

A

N

144

A

N

1

1

N

1 2 35 N

,

1

2

N

N1

1

N

2

R делік, онда

N

1

Бірінші теңдеуден R -ды t арқылы жазамыз.

39

R орнына қойып табатынымыз 4t 2 12t

315

0 .

t

t 3

Мұндағы, t -ның оң түбірі - бірінші экскаватордың өз бетінше

қазуға кеткен уақыты. Соңғы жүйенің бірінші теңдеуінен R -дың мәні

15 15

екенін көрсету қиын емес, сәйкесінше t сағат. Екінші

21

2

A t

экскаватордың өз бетінше траншея қазуға кеткен уақыты -ны

N

2

R

табамыз, яғни 2

21 сағат.

Жауабы: 7,5сағ; 10,5сағ.

2.3. Бассейнді бірінші құбыр қос құбырды бір мезгілде ашып

толтырғандағы уақыттан екі сағат артық, ал екінші құбыр 4,5 сағат

артық уақыт кетіреді. Әр құбыр жеке - жеке бассейнді неше сағатта

толтырады?

Шешуі: Айталық, екі құбыр бассейнді бір мезгілде x сағатта

толтырсын. Онда теңдеу былайша құрылады:

1 1 1

x 2 x 4,5 x

x x 4,5

x x 2 x 2 x 4,5

x

2

4,5x

x

2

2x

x

2

6,5x

9

x 2 9 , x 3, есептің шартын x 3 түбірі ғана қанағаттандырады.

Демек, бір құбыр 5 сағатта, екінші құбыр 7,5 сағатта толтырады.

Жауабы: 5 сағат, 7,5 сағат.

2.4. Ағаш кесушілердің үш бригадасының жұмысына 36000 теңге

төленді. Бірінші және үшінші бригадаларға төленген ақша екінші

бригадаға төленген ақшадан 2 есе артық, ал екінші және үшінші

бригадаларға төленген ақша бірінші бригадаға төленгеннен 3 есе

артық болса, осы бригадалардың әрқайсысына қанша ақша төленді?

Шешуі: Бірінші бригадаға төленген ақшаны x , екінші бригадаға

төленген ақшаны y , үшінші бригадаға төленген ақшаны z деп

белгілейік. Сонда есептің шарты бойынша мынандай теңдеулер жүйесі

құрылады:

x

y z 36000

x

z 2y

y

z 3x

40

Жүйенің екінші теңдеуінен үшінші теңдеуді алып x -ті y арқылы

өрнектейміз, яғни

3y

x

4

. Содан соң жүйенің бірінші теңдеуінен екінші

теңдеуін азайтып, y -ті табамыз, яғни y 12000

орнына қойып x -ті табамыз, яғни

. Енді y -тің мәнін

312000

x 9000. Бұдан z 2y

x 212000

9000

15000.

4

Жауабы: 9000,12000,15000.

2.5. Бір шеберхана 420 деталь, ал осы мерзімде екінші шеберхана 500

деталь әзірлейді. Бірінші шеберхана жұмысты мерзімінен 4 күн бұрын,

ал екіншісі 7 күн бұрын орындады. Егер екінші шеберхана бірінші

шеберханаға қарағанда күніне 5 деталь артық жасағаны белгілі болса,

онда әр шеберхана күніне неше деталь жасаған?

Шешуі: Бірінші шеберхана күніне x деталь, екінші шеберхана

( x 5) деталь жасайды. Есептің шартын ескеріп, мынандай теңдеу

құрамыз:

420 500 420 500

4 7 3

х х 5 х х 5

420x 2100

500x

3x 2 15x

3x

2 95x 2100

0

1/ 2

95

185

,

6

x теріс жауап қанағаттандырмайтындықтан x 15,

демек

бірінші шеберхана 15 деталь, ал екінші шеберхана 20 деталь жасайды.

Жауабы: 15 деталь, 20 деталь.

2.6. Шаруа қожалығында 12000 центнер бидай жиналған. Егер бидай

өнімділігі 25% -ға жоғары болса, онда осындай өнімді себілген жерден

80 гектарға аз жерден алуға болар еді. Қанша гектар жерге бидай

себілген және әрбір гектардан қанша өнім алынды?

Шешуі: x гектар жерге бидай себілген және әр гектардан y

центнер бидай алынған делік. Сонда

ху

12000

ху

12000

(

х 80)

(

у 0,25 у)

12000

(

х 80)

1,25

у 12000

ху

12000

12000

х

1,25xy

100

у 12000

у

12000

1,25

у 100

у 12000 , 15000 100у 12000

,

у

100у 3000 у 30, х 400.

41

Демек, 400 гектар жерге бидай себілген, әр гектардан 30 центнер өнім

алынған.

Жауабы: 400 га, 30 ц.

2.7. Үш экскаватор жұмыс істейді. Қандай да бір жер жұмысын істеу

үшін үш экскаватор бірге жұмыс істеген уақыттан бірінші

экскаваторға 6 сағат артық, екінші экскаваторға 1 сағат артық, ал

үшінші экскаваторға 5 есе артық уақыт керек болады. Осы жұмысты

бітіру үшін әр экскаваторға жеке-жеке қанша уақыт керек?

Шешуі: Берілген жұмысты атқару үшін экскаватор үшін x сағат,

екінші экскаватор үшін y сағат және үшінші экскаватор үшін z сағат

керек болады. Мынадай теңдеулер жүйесін құруға болады:

x

y

z

1

1 1 1

x y z

1

1 1 1

x y z

5

1 1 1

x y z

Жүйедегі (1) және (3) теңдіктерден x 6, ал (2) және (3)

42

6

1

z

5

теңдіктерден y z 1

5 екенін еске аламыз. Алынған теңдеулерден

төмендегі квадрат теңдеуге келеміз:

6 2 35 125

z 35z

600

0 z1/

2

12

40

z

1

7, 5 , z

2

. Теріс түбір есеп шартын

3

қанағаттандырмайтындықтан z 7, 5 Жауабын аламыз. Ендеше,

7,5

6 7,5

5

7,5

1

2,5

5

x (сағат),

y (сағат).

Жауабы: 7,5 сағ., 2,5 сағ.

2.8. Үш жұмысшы қандай да бір мөлшерде деталь жасап шығаруы

керек еді. Алғашқыда жұмысқа тек бірінші жұмысшы кірісіп, ал

біраздан соң оған екінші жұмысшы қосылды. Барлық детальдің

6

1

бөлігі жасалған кезде, жұмысқа үшінші жұмысшы кірісті. Жұмысты

олар бір мезгілде аяқтап, әрқайсысы бірдей мөлшерде деталь

дайындады. Егер үшінші жұмысшы екінші жұмысшыдан 2 сағат аз

жұмыс істегені және бірінші жұмысшы мен екінші жұмысшы бірігіп

үшінші жұмысшыдан 9 сағат бұрын бітіретіні белгілі болса, онда олар

жеке-жеке жұмыс істеген жағдайда қанша детальдан дайындар еді?

Шешуі: Бірінші жұмысшы x сағат, үшінші жұмысшы y сағат,

екінші жұмысшы y 2

сағат жұмыс істейді делік. Барлық детальды

жасау үшін бірінші жұмысшыға 3 x сағат, екінші жұмысшыға

3(

y 2) сағат, ал үшіншіге 3 y сағат уақыт кетер еді. Бір сағатта

бірінші жұмысшы барлық детальдың

бөлігін, үшіншісі

1

3y

сағатта барлық детальдың

6 5

жазамыз:

43

1

3x

бөлігін, екіншісі

1

3( y 2)

бөлігін әзірлейді. Үшеуі де бірігіп істеген y

1

y

3x

-ін дайындағандықтан теңдеуді былай

1 1 5

3( y 2) 3y

6

(1)

Есептің шарты бойынша бірінші және екінші жұмысшы бірігіп істесе

үшінші жұмысшының жеке өзі істеген уақытынан 9 сағат бұрын

бітірер еді. Сондықтан

1

3y

9

1 1

(2)

3x

3( y 2)

Ендеше, (1)-ші теңдеуден

y y 1 5

3x

3( y 2) 3 6

y y 1

3x

3( y 2) 2

2y 2 4y

2xy

3xy

6x

2yy

2

x y

6 2yy

2,

x .

y 6

Енді (2) теңдеуден

3xy

2

3y

9

y 2 x

3y 2 6y

3xy

3xy

6x

9 18

9x

3y 2 3y

18 15x

3yy

1 36

5x

, х-тің орнына мәнін қоямыз

2

6y 2

2

2y

4y

y y 6 5

6 y

3

2

2

y 6y

y 36 6y

10

y 20 y ,

5y

2 32 36 0

3 2

y 9y

2

4y

36 y 4y

36 0

2

y 9

2

y 4y

4 0 y 9

2

y 2 y 2,

y 9

y 3 y

0

y .

Есептің шартын тек y 9 қанағаттандыратыны анық. Демек, үшінші

жұмысшы 9 сағат жұмыс істеген.


2.9. Үш жұмысшы бір жұмысты 8 күнде бітіреді. Бірінші және екінші

жұмысшы осы жұмысты сәйкесінше 48 және 16 күнде бітіретін болса,

онда үшінші жұмысшы берілген жұмысты неше күнде бітіреді?

Шешуі: Үшінші жұмысшы жұмысты x күнде бітіреді делік,

сондықтан төмендегідей теңдеу құрамыз:

1 1 1 1

48 16 x 8

1 1 1 1

x 8 16 48

1 2

x 24 .

x 48


2.10. Бір құбыр кеспекті 24 күнде, екінші құбыр 36 күнде толтырады.

Үшінші құбыр кеспекті 48 күнде ағызып босатады. Үш құбыр бос

кеспекті неше сағатта толтырады?

Шешуі: Үш құбыр кеспекті х күнде толтырады делік, сонда

теңдеу былайша құрылады.

1

x

7

144

Демек, үш құбыр бос кеспекті

1 1 1

24 36 48

144

x 20

7 7

4

7

1

x

4

(сағат).

20 сағатта толтырады.

Жауабы:

4

20 сағ.

7

2.11. Екі бригада өнімді 12 күнде жинап бітіруі керек. Олар бірігіп 8

күн істегеннен кейін бірінші бригада басқа жұмысқа ауысып, қалған

44

жұмысты екінші бригада 7 күнде аяқтады. Осы бригадалар өнімді

жеке-жеке неше күнде жинап бітіреді?

Шешуі: Бірінші бригада барлық өнімді x күнде жинасын, онда ол

1

бір жұмыс күнінде жұмыстың бөлігін, екінші бригада барлық

өнімді y күнде жинасын, онда ол бір жұмыс күнінде жұмыстың

бөлігін орындайды. Екі бригада бірігіп, бір күнде жұмыстың

x

бөлігін орындайды. Екі бригаданың 8 күнде істеген жұмысы -

1 1

8

7

, ал қалған жұмысты екінші бригада 7 аяқтағандықтан, ол

x y

y

- ке тең. Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін құрамыз:

1

1 1

x y 12

1 1 7

8

1

x y y

Жүйедегі (1)-ші теңдеудің мәнін (2) –ші теңдеуге қойып, y -тің мәнін

табамыз

1 7

8

1 y 21

12 y

Енді y -тің мәнін 1 –ші теңдеуге қойып, x -тің мәнін табамыз

1 1 1

x 12 21

.

1

x 28

28

Демек, бірінші бригада барлық өнімді 28 күнде, екінші бригада 21

күнде жинап бітіреді.

Жауабы : 28; 21.

2.12. Екі жұмысшыға белгілі бір тетіктер жасау тапсырылды. Бірінші

жұмысшы 7 сағат, ал екіншісі 4 сағат істегеннен кейін барлық

жұмыстың

9 5 бөлігі біткені белгілі болды. Олар бірігіп тағы да 4 сағат

істегеннен кейін барлық жұмыстың

.

1

18

1

y

1

12

бөлігі қалды. Барлық

тапсырманы әрбір жұмысшы жеке өзі істегенде неше сағатта бітірер

еді?

Шешуі: Барлық жұмысты 1 деп есептейміз. Бірінші жұмысшы

барлық тетікті x сағатта, ал екіншісі y сағатта жасасын. Онда бірінші

жұмысшы 7 сағатта жұмыстың

7 , ал екінші жұмысшы 4 сағатта

x

4

y

45

бөлігін орындайды. Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін

құрамыз:

7

4 5

7 5 4 7

5 4

x y 9

x 9 y

x 9 y

5

1 1 1

1

1 7

4 1 1

7 1

9

x y 18

x y 72

x 72 y

7 1 5 4 49 7 5 4 3 1

7 y 24 .

72 y 9 y 72 y 9 y y 8

1 7 1

x

x 72 24

Табылған мәнді пайдаланып, x -ті табамыз, яғни 18 .

Демек, бірінші жұмысшы тетіктерді 18 сағатта, ал екінші жұмысшы 24

сағатта жасайды.

Жауабы:8; 24.

2.13. Екі жұмысшы бір жұмысты m күнде жасай алады. Егер бірінші

жұмысшы бүкіл жұмыстың

5 3 бөлігін жасап, одан кейін екіншісі қалған

жұмысты істесе, осыған n күн кетер еді. Бүкіл жұмысты жасау үшін

әрбір жұмысшыға қанша күн керек?

Шешуі: Барлық жұмысты 1 деп есептейік. Бірінші жұмысшы

барлық жұмысқа x күн, ал екінші жұмысшы y күн жібереді. Есептің

шарты бойынша мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:

1 1

m 1

x y

3

2

x y n

5

5

5 2 5n

2

x n

y

x

y табылған мәнді жүйенің 1-ші теңдеуіне

3 5 3

апарып, y -тің мәнін табамыз:

1 1 1 y 5n

1

5n

2y

y m 2y

2 5n

my

5mn

0

5n

2y

y m

3

y

1/ 2

Демек,

2

2

(5n

m)

25n

50nm

m

.

4

x

1/ 2

2

2

5n

m 25n

50nm

m

.

6

46

Жауабы:

x

1/ 2

2

2

5n

m 25n

50nm

m

, y

6

1/ 2

2

2

(5n

m)

25n

50nm

m

.

4

2.14. Екі бригада бірігіп, белгілі бір жол аралығын 18 күнде жөндеу

керек еді. Алайда, алдымен жұмысқа тек бірінші бригада ғана кірісіп,

содан кейін қалған жолды жұмыс өнімділігі бірінші бригададан

жоғары екінші бригада бітірді. Нәтижесінде жолды жөндеу мерзімі 40

күнге созылды.Сонымен қатар бірінші бригада барлық жұмыстың

3

2

бөлігін орындады. Егер әр бригада жолды жеке-жеке жөндесе, онда

жолды әрқайсысы қанша күнде жөндер еді?

Шешуі: Айталық, жолды бірінші бригада x күнде, екінші

бригада y күнде жөндесін. Барлық жұмысты 1 деп есептейміз. Сонда

1 1

- бірінші бригаданың жұмыс өнімділігі, - екінші бригаданың

x

жұмыс өнімділігі болады. Демек, 18 күнде бірінші бригаданың

жөндеген жол бөлігі - 18 , ал екінші бригаданың 18 күнде жөндеген

x

жол бөлігі -

18 . Есептің шарты бойынша бірінші бригада барлық

y

жолдың

3 2 бөлігін орындағандықтан, ол жолды

бригада жолдың

3

1

бөлігін орындағандықтан, жолды

жөндейді. Ендеше, теңдеулер жүйесін құрамыз:

18

18

1

x y

2

1

x y 40

3 3

2x y 120

y 120

2x

18 18

1

x 120 2x

18 9

1

x 60 x

2

1080 18x

9x

60x

x

2

x 69x 1080

0

1

24 x

2

, y

1

72, y

2

30.

x , 45

y

2

3

x

күнде, ал екінші

1

3

y

күнде

47

Екінші бригаданың жұмыс өнімділігі бірінші бригадаға қарағанда

жоғары болғандықтан, есептің шартын x 45 , y 30 мәндері

қанағатандырады.

Жауабы: 45, 30.

2.15. Екі автомат белгілі бір тетіктер дайындады. Бірінші автоматтың

3 сағатта дайындаған тетіктері мен екінші автоматтың 2 сағатта

дайындаған тетіктер саны 720 дана болды. Екі автоматтың бірігіп 2

сағатта дайындаған тетіктерінің

1

бөлігі 150 дана құрайды. Әр

автомат 1 сағатта қанша тетіктер дайындады?

Шешуі: Бірінші автомат x тетік, екінші автомат y тетіктер

дайындады. Сонда бірінші автоматтың 3 сағатта дайындайтын

тетіктерінің саны 3 x, екінші автоматтың 2 сағатта дайындайтын

тетіктерінің саны 2 y болады.

Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін құрамыз:

3x

2y

720

1

4

2x

2y 150 x y 300 y

4

3x

2y

720

x 120

Демек, бірінші автомат 1 сағатта 120, екінші автомат 180 тетік

дайындады.

Жауабы: 120, 180.

180


2.16. Бассейнге екі құбыр жүргізілген. Егер су тек екінші құбырдан

ақса, онда ол тек бірінші құбырдан ғана аққаннан гөрі 3 сағат бұрын

3

бассейнді толтырады. Су бірінші құбыр арқылы 5 сағат бойы аққан

4

соң, барып екінші құбырды ашты, және 10 сағаттан кейін бассейн

толды. Бассейнді әр құбыр қанша уақыт толтырды?


2.17. Екі топ жұмысты қатар істеп, бір бөлік жерді 12 сағатта өңдеді,

егер топтардың жұмысты орындау жылдамдықтарының қатынасы 3:2

қатынасындай болса, ол бөлік жерді әр топ жеке-жеке қанша уақыт

істер еді?


48

2.18. Кеспектегі судың

2

3

бөлігін насоспен 7,5 минутта айдап

шығарады. 0,15 сағат жұмыс істегеннен кейін насос тоқтап қалды.

Осыдан кейін, егер кеспекте тағы да 25 м 3 су қалған болса, онда

кеспектің сыйымдылығы қандай болған?

Жауабы: 125 м 3 .

2.19. Екі оператордың әрқайсысы 72 бет қолжазбаны басып шығарған.

Бірінші оператор 6 бет басқан уақытта, екіншісі 5 бет басқан. Егер

бірінші оператор жұмысты екіншіден 1,5 сағат бұрын бітірген болса,

онда әр оператор неше бет басып шығарған?

Жауабы: 8 бет; 9,6 бет.

2.20. Вагон жөндейтін зауыт белгілі мерзімде 330 вагон жөндеп бітіруі

керек еді. Зауыт жоспарын аптасына 3 вагоннан артық орындай отырып,

мерзімінен екі апта бұрын 297 вагон жөндеп бітті. Зауыт аптасына неше

вагон жөндеп отырған?

Жауабы: 33 вагон.

2.21. Бассейіндегі суды бір сағат бойы бірқалыпты ағызғаннан кейін,

онда 400 м 3 су қалған. Ал тағы үш сағаттан кейін 250 м 3 су қалған.

Алғашқыда бассейнде қанша су болған?


2.22. Екі жұмысшы бір жұмысты 12 күнде бітіреді. Егер бірінші

жұмысшы үш күн, ал екінші жұмысшы екі күн жұмыс істесе, онда

жұмыстың

5 1 бөлігі бітеді. Осы жұмысты бірінші жұмысшы неше күнде

бітіреді?


2.23. Арман мен Қанат берілген жұмысты 6 күнде, Арман мен Саят 8

күнде, ал Қанат пен Саят 4 күнде бітіреді. Осы жұмысты Арман жалғыз

өзі неше күнде бітіреді?


2.24. Екі станоктың бірімен бір топ детальдарды, екіншіге қарағанда, үш

күн кейін өңдеп шығарады. Екі станок бірігіп жұмыс істегенде, 20 күнде

3 есе көп өңдеп шығаратыны белгілі. Осы топ детальдарды әр станок

жеке-жеке өңдесе, жұмыс неше күнге созылар еді?

Жауабы: 15 күн, 12 күн.

2.25. Жоспар бойынша бірнеше айдың ішінде кәсіпорын 6000 насос

дайындауы тиіс еді. Еңбек өнімділігін арттырып, кәсіпорын айына

жоспардағыдан 70 насос артық шығарып отырды да, белгіленген

мерзімнен бір ай бұрын тапсырмадан 30 насос артық жасап үлгерген.

6000 насосты неше айдың ішінде жасап шығару белгіленген еді?

Жауабы: 10 ай.

49

2.26. Бірінші жұмысшы 60 тетікті екіншісіне қарағанда 3 сағат ерте жасап

бітірді. Егер екеуі бірігіп 30 тетікті бір сағатта жасайтыны белгілі болса,

онда екінші жұмысшы 90 тетікті неше сағатта жасап бітіреді?

Жауабы: 9 сағ.

2.27. Екі тракторшы тың жерді бірігіп жыртса, жалғыз бірінші

тракторшы жыртқаннан 18 сағат ертерек, ал жалғыз екінші тракторшы

жыртқаннан 32 сағат ертерек бітірген болар еді. Осы тың жерді әрбір

тракторшы жеке-жеке қанша уақытта жыртып бітірер еді?

Жауабы: 42 сағ., 56 сағ.

2.28. Ағаш кесушілер бригадасы 3 күнде 184 куб метр отын

дайындады. Бригада бірінші күні жоспарлағанынан 14 куб метр артық,

ал екінші күні 2 куб метр кем отын дайындады. Үшінші күні бригада

жоспарды 16 куб метрге асыра орындады. Бригада жоспар бойынша

күніне неше куб метр отын дайындауға тиіс?


2.29. Ауыл шаруашылық бірлестігі арпа егілген егістіктен 3570 ц арпа

жинап алды. Егер арпаның әрбір гектарынан алынатын өнімді 8

центнерге өсіруге мүмкіндік болса, онда 3570 ц өнім жинау үшін

бастапқы егіс алқабы қажет болар еді. Бірлестік неше гектар жерге

арпа еккен және өнімділігі қандай болған?

Жауабы: 105га, 34 ц.

2.30. Бір комбайншы екіншісіне қарағанда егістіктің белгілі бір бөлігін

24 сағат ертерек жинайды. Егер екі комбайншы бірігіп істесе, онда бұл

егістікті жалғыз екінші комбайншы жинайтын уақытынан 35 сағат

ертерек жинап біткен болар еді. Әрбір комбайншы егістіктің осы

бөлігін қанша уақытта жинап бітіреді?

Жауабы: 60сағ., 84 сағ.

2.31. Егер екі насос бірге жұмыс істесе ыдысты 4 сағатта суға

толтырады. Егер әрқайсысы жеке-жеке жұмыс істесе, 1-ші насос

ыдысты 2-ге қарағанда 6 сағ аз уақытта толтырады. 1-ші насос жеке

жұмыс істегенде ыдысты қанша сағатта суға толтырады?


2.32. Екі жұмысшы бірлесе жұмыс істеп 7 күнде жұмыстың 75%

атқарды. Олар жұмысты 10 күнде бітіргенімен 2-ші жұмысшы соңғы 2

күн жұмысқа шықпаған болса, әрқайсысы осы жұмысты жеке-жеке

орындағанда қанша уақытта бітіреді?

Жауабы: 14; 28.

2.33. Екі кран бірлесе жұмыс жасай отырып, баржадағы жүкті 6 сағатта

түсіріп болды. Егер олардың біреуі екіншісіне қарағанда жүкті 5 сағат

50

ерте түсіретін болса, онда олардың әрқайсысы жүкті неше сағатта

түсіріп болар еді?


2.34. Екі бригада орындықтар жасады, сонда бірінші бригада 65

орындық, ал екінші бригада 66 орындық жасады. Бірінші бригада бір

күнде екіншіден екі орындық артық, бірақ одан бір күн кем жұмыс

жасады. Екі бригада бірлесе отырып, бір күнде қанша орындық жасады?

Жауабы: 24.

2.35. Бірінші жұмысшы жұмысты 10 күнде бітіреді, ал екінші жұмысшы

сол жұмысты 15 күнде бітіре алады. Екеуі бірлесіп, осы жұмысты неше

күнде бітіреді?

Жауабы:: 6

2.36. Екі құбыр бассейінді 7,5 сағатта толтырады. Бірінші құбыр жеке өзі

бассейінді екінші құбырға қарағанда 8 сағат бұрын толтыра алады.

Бірінші құбыр жеке өзі бассейінді неше сағатта толтырады?


2.37. Бір жылқы мен екі сиырға күн сайын 34 кг шөп беріледі, ал екі

жылқы мен бір сиырға 35 кг шөп беріледі. Күн сайын бір жылқыға қанша

кг және бір сиырға қанша кг шөп беріледі?

Жауабы: 12 кг; 11 кг.

2.38. Трактор бригадасы егістік жерді жоспар бойынша 14 күнде жыртып

болуы керек еді. Бригада күн сайын жоспардағыдан 5 га артық

жыртқандықтан, жер жыртуды екі күн бұрын аяқтады. Егістік жердің

ауданын табыңыз.

Жауабы: 420 га.

2.39. Токарь және оның шәкірті бір кезекте 65 деталь жасап шығарды.

Егер токарь жоспардан 10%, ал шәкірті - 20% артық жасайтын болса,

онда олар 74 деталь жасап шығарады. Жоспар бойынша бір кезекте

токарь және оның шәкірті қанша деталь жасап шығарады?


2.40. Бір уақытта ашылған екі кран бассейннің

6 5 бөлігін 18 минутта

толтырады. Егер оның біреуі екіншісінен бассейінді 18 мин тезірек

толтыратын болса, онда әр кран жеке-жеке бассейінді қанша уақытта

толтыра алады?

Жауабы: 36 мин; 54 мин.

2.41. Қайықшы 16 км қашықтықты өзеннің ағысы бойымен, ағысқа қарсы

жүруге кеткен уақытқа қарағанда 6 сағатқа тезірек жүріп өтеді, сонымен

қатар ағынсыз судағы қайықтың жылдамдығы өзен ағысы

51

жылдамдығынан 2 км/сағ-қа артық. Қайықтың тынық судағы

жылдамдығын және өзен ағысының жылдамдығын табу керек.

Жауабы: 5 км/сағ; 3 км/сағ.

2.42. Ағаш кесушілер бригадасы үш күнде 184 м 3 отын дайындады.

Бригада бірінші күні жоспардағыдан 11 м 3 артық, ал екінші күні

жоспардағыдан 5 м 3 кем отын дайындады. Үшінші күні бригада

жоспарды 16 м 3 -ге асыра орындады. Бригада жоспар бойынша күніне

қанша отын дайындауға тиіс екендігін анықта

Жауабы: 54.

2.43. Турист өзен ағысымен 90 км-ді қайықпен жүзді де, қалған 10 кмді

жаяу жүріп өтті. Оның жаяу жүріп өткен уақыты, қайықпен жүзуге

кеткен уақытынан 4 сағ-қа кем еді. Егер турист қайықпен жүзіп өткен

уақытындай жаяу жүрсе, ал жаяу жүріп өткен уақытындай қайықпен

жүзсе, онда олардың жүрген жолдары біріне-бірі тең болар еді. Турист

қанша уақыт жаяу жүрді және қанша уақыт қайықпен жүзіп өтті.


2.44. Сыйымдылығы 10 мың литрлік ыдысқа екі насос арқылы бензин

құйылады. Екінші насос біріншіге қарағанда минутына 10 л бензин кем

құяды. 10 минутта ыдыс 50%-ке толтырылды. Әр насос қанша литрден

бензин құйды?

Жауабы: 2550 л; 2460 л.

2.45. Токарь 3 күн жұмыс істеп, 208 деталь дайындады. Бірінші күні ол

нормасын орындап, екінші күні норманы 15% асыра орындады, ал

үшінші күні екінші күнге қарағанда 10 детальға артық дайындады.

Токарь әр күн сайын қанша детальдан дайындап еді?

Жауабы: 60; 69; 79.

2.46. Ағаш дайындау жұмысына үш бригада қатысты. Бірінші бригада

барлық жұмысшылардың 36% бөлігі, ал екінші бригада біріншіге

қарағанда 72 адамға артық болды. Қалған 124 жұмысшы үшінші

бригадада еді. Үш бригадада барлығы неше жұмысшы бар?

Жауабы: 700.

2.47. Құрамындағы никельдің мөлшері 5% және 40% болатын

болаттың екі түрлі сорты бар. Құрамындағы никельдің мөлшері 30%

болатын 140 т болат алу үшін екі сорттың әрқайсысының неше

тоннадан алу керек?

Жауабы: 40 т; 100 т.

52

2.48. Екі қапта 140 кг ұн бар. Егер бірінші қаптан 12,5% ұнды

екіншісіне ауыстырып салса, онда екі қаптағы ұн бірдей болады. Әр

қапта қанша кг ұн бар?


2.49. Ағаш кесушілер бригадасы үш күнде 184 куб.метр отын

дайындады. Бригада бірінші күні жоспарлағаннан 14 куб.метр артық,

ал екінші күні 2 куб.метр кем отын дайындады. Үшінші күні бригада

жоспарды 16 куб.метр асыра орындады. Бригада жоспар бойынша

күніне неше куб.метр отын дайындауға тиіс.

Жауабы: 52 куб.метр.

2.50. Құс фермасында қаздар үйрекке қарағанда 2 есе көп. Біраз

уақыттан кейін қаздар саны 20%-ке, ал үйрек саны 30%-ке өсті. Сонда

қаздар мен үйректер саны барлығы 8400-ге өскені анықталды. Құс

фермасында қаздардың және үйректердің саны өскеннен кейін қанша

болды?

Жауабы: 28800 қаз; 15600 үйрек.

2.51. Сауыншы бірінші жылы екі сиырдан барлығы 8100 л сүт алды.

Келесі жылы бірінші сиырдан алатын сүттің мөлшері 15%-ке, ал

екінші сиырдан алатын сүттің мөлшері 10%-ке артты. Сондықтан

сауыншы екінші жылы осы екі сиырдан 9100 л сүт алды. Бірінші жылы

сауыншы әр сиырдан неше литрден сүт алды?

Жауабы: 3800 л; 4300 л.

2.52. Үш жәшікте барлығы 64,2 кг қант бар. Екі жәшіктегі қанттың

мөлшері бірінші жәшіктегінің

4 бөлігіндей, ал үшінші жәшіктегі

5

қанттың мөлшері екіншісіндегінің 42,5%-ін құрайды. Әрбір жәшікте

неше кг қант бар?

Жауабы: 30; 24; 10,2.

2.53. Жер шарында дайындалатын барлық ағаштың 33% құрылыс

2

қажетіне жұмсалады. Құрылысқа жұмсалатыннан 1 есе артық ағаш

отын ретінде пайдаланылады. Қалған 144 миллион тонна ағаш басқа

қажеттерге жұмсалды. Жер шарында барлығы қанша ағаш

дайындалады?

Жауабы: 1200 млн.т.

2.54. Өзен ағысының жылдамдығы 2,2 км/сағ. Катердің өз

жылдамдығы 15,3 км/сағ. Егер өзен ағысымен 3 сағат, ал өзен ағысына

қарсы 4 сағат жүрсе, онда катер қандай жол жүргені?

Жауабы: 104,9 км .

53

3

2.55. Ұшақ Алматыдан Гановверге ұшып келгенде өзінің ұшар

алдындағы салмағының 8%-ін жоғалтады. Егер ұшақтың Ганновердегі

салмағы 11040 кг болса, онда ұшар алдындағы салмағы қандай болған?

Жауабы: 12 т.

2.56. Екі кран бірлесіп баржаның жүгін 6 сағатта түсіреді. Егер әр кран

жеке жұмыс істегенде, біріншісі екіншісінен 5 сағат бұрын түсіретін

болса, онда әр кран баржаны қанша уақытта түсіреді?


2.57. Бір жұмысшы өзінің нормасын 6 сағатта, екіншісі 5 сағатта,

үшіншісі 4 сағатта орындайды. Олар белгілі бір уақыт бірге істеп 750

деталь дайындады. Әрқайсысы қанша деталь әзірледі?

Жауабы: 200, 250, 300.

2.58. Екі бригада ағаш отырғызды. Әр күні бірінші бригада екіншіге

қарағанда 40 ағаш артық отырғыза жүріп, барлығы 270 ағаш

отырғызды. Екінші бригада біріншіге қарағанда 2 күн істеп барлығы

250 ағаш отырғызды. Әр бригада неше күн жұмыс істеді?

Жауабы: 3 күн; 5 күн.

2.59. Бакты екі шүмек бірлесе отырып 3 сағатта толтырады. Бірінші

шүмек бакты екіншіге қарағанда 8 сағат жайырақ толтырады. Бакты әр

шүмек жеке-жеке неше сағатта толтырады?


2.60. Екі бригада орындықтар жасады, сонда бірінші бригада 65

орындық, ал екінші бригада 66 орындық жасады. Бірінші бригада бір

күнде екіншіден екі орындық артық, бірақ одан бір кем жұмыс жасады.

Екі бригада бірлесе отырып бір күнде қанша орындық жасады?

Жауабы: 24.

2.61. Белгілі жұмысты бір ұста 12 күнде, сол жұмысты екінші ұста 6

күнде бітіреді. Екі ұста бірігіп сол жұмысты неше күнде бітіреді?

Жауабы: 4 күнде.

2.62. Мастер үш күнде 48 деталь жасады. Бірінші, екінші, үшінші

күндері жасалған детальдар саны 5, 4 және 3 сандарына пропорционал.

Алғашқы екі күнде мастер қанша деталь жасалған?

Жауабы: 36.

2.63. Қандай да бір жұмысты екі жұмысшы бірігіп 12 күнде бітіре

алады. Бірлесіп 8 күн жұмыс істегенен кейін, біреуі ауырып қалады,

содан екіншісі жалғыз істеп, жұмысты 5 күнде бітірді. Әрқайсысы

жеке-жеке жұмыс жасағанда, бұл жұмысты неше күнде бітірер еді?


54

2.64. Бассейн екі труба арқылы 6 сағатта толтырылады. Бірінші труба

жалғыз өзі екіншісіне қарағанда 5 сағат ерте толтырады. Әрбір труба

жеке-жеке алғанда бассейінді неше сағатта толтырар еді?

Жауабы: 10 сағ. және 15 сағ.

2.65. Екі труба бірігіп бассейінді 6 сағатта толтырады. Бірінші труба

екіншіге қарағанда сағатына 50% артық су ағады. Әр труба жеке-жеке

алғанда бассейінді қанша сағатта толтыра алады?


2.66. Бір бассейінде 200 м 3 су бар да, ал екіншісінде 112 м 3 су бар.

Бассейіндерді толтыру үшін крандарды ашып қойған. Егер екінші

бассейінге, біріншіге қарағанда 22 м 3 су артық құйылатын болса, неше

сағаттан кейін екі бассейін су мөлшері бірдей болады?


2.67. Бассейндегі суды бір сағат бойы қалыпты ағызғаннан кейін, онда

400 м 3 су қалған, ал тағы үш сағаттан кейін 250 м 3 су қалған. Бассейнде

қанша су болған еді?


2.68. Қуаттарды әр түрлі екі насос бірлесе жұмыс істей отырып,

бассейінді 4 сағатта толтырады. Бірінші насосқа бассейінді жартылай

толтыру үшін екінші насосқа бассейіннің

4 3 бөлігін толтыруға кететін

уақыттан 4 сағат артық уақыт қажет. Әр насос жеке жұмыс жасағанда

бассейінді неше сағатта толтырар еді?


3

2.69. Егер екі насос бірге жұмыс істесе ыдысты 4 сағатта суға

толтырады. Егер әрқайсысы жеке-жеке жұмыс істесе, 1-ші насос

ыдысты 2-ге қарағанда 6 сағ аз уақытта толтырады. 1-ші насос жеке

жұмыс істегенде ыдысты қанша сағатта суға толтырады?


2.70. Екі жұмысшы бірлесе жұмыс істеп 7 күнде жұмыстың 75%

атқарды. Олар жұмысты 10 күнде бітіргенімен 2-ші жұмысшы соңғы 2

күн жұмысқа шықпаған болса, әрқайсысы осы жұмысты жеке-жеке

орындағанда қанаш уақытта бітіреді?


2.71. Екі кран бірлесе жұмыс жасай отырып, баржадағы жүкті 6 сағатта

түсіріп болды. Егер олардың біреуі екіншісіне қарағанда жүкті 5 сағат

ерте түсіретін болса, онда олардың әрқайсысы жүкті неше сағатта

түсіріп болар еді?


55

2.72. Тауға көтерілген саяхатшы бірінші сағатта 800 м биіктікке

көтерілді, ал әрбір сағат сайын алдыңғысына қарағанда 25 м-кем

көтерілді. Саяхатшы 5700 м биіктікке неше сағатта шығады?

Жауабы: 8.

2.73. Бірінші жұмысшы жұмысты 10 күнде бітіреді, ал екінші

жұмысшы сол жұмысты 15 күнде бітіре алады. Екеуі бірлесіп, осы

жұмысты неше күнде бітіреді?

Жауабы: 6.

2.74. Екі құбыр бассейінді 7,5 сағатта толтырады. Бірінші құбыр жеке

өзі бассейінді екінші құбырға қарағанда 8 сағат бұрын толтыра алады.

Бірінші құбыр жеке өзі бассейінді неше сағатта толтырады?


2.75. Бір жылқы мен екі сиырға күн сайын 34 кг шөп беріледі, ал екі

жылқы мен бір сиырға 35 кг шөп беріледі. Күн сайын бір жылқыға

қанша кг және бір сиырға қанша кг шөп беріледі?


2.76. Трактор бригадасы егістік жерді жоспар бойынша 14 күнде

жыртып болуы керек еді. Бригада күн сайын жоспардағыдан 5 га артық

жыртқандықтан, жер жыртуды екі күн бұрын аяқтады. Егістік жердің

ауданын табыңыз.


2.77. Токарь және оның шәкірті бір кезекте 65 деталь жасап шығарды.

Егер токарь жоспардан 10%, ал шәкірті - 20% артық жасайтын болса,

онда олар 74 деталь жасап шығарады. Жоспар бойынша бір кезекте

токарь және оның шәкірті қанша деталь жасап шығарады?


2.78. Бір уақытта ашылған екі кран бассейннің

6 5 бөлігін 18 минутта

толтырады. Егер оның біреуі екіншісінен бассейінді 18 мин тезірек

толтыратын болса, онда әр кран жеке-жеке бассейінді қанша уақытта

толтыра алады?

Жауабы: 36 мин; 54 мин.

2.79. Қайықшы 16 км қашықтықты өзеннің ағысы бойымен, ағысқа

қарсы жүруге кеткен уақытқа қарағанда 6 сағатқа тезірек жүріп өтеді,

сонымен қатар ағынсыз судағы қайықтың жылдамдығы өзен ағысы

жылдамдығынан 2 км/сағ-қа артық. Қайықтың тынық судағы

жылдамдығын және өзен ағысының жылдамдығын табу керек.


56

2.80. Егер берілген тік теңбүйірлі үшбұрыштың катетінің біреуін 2 есе

өсіріп, ал екіншісін 2 см кішірейтсек, онда үшбұрыштың ауданы 6 см 2

артар еді. Берілген үшбұрыштың катеттерінің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 6.

2.81. Турист өзен ағысымен 90 км-ді қайықпен жүзді де, қалған 10 кмді

жаяу жүріп өтті. Оның жаяу жүріп өткен уақыты, қайықпен жүзуге

кеткен уақытынан 4 сағ-қа кем еді. Егер турист қайықпен жүзіп өткен

уақытындай жаяу жүрсе, ал жаяу жүріп өткен уақытындай қайықпен

жүзсе, онда олардың жүрген жолдары біріне-бірі тең болар еді. Турист

қанша уақыт жаяу жүрді және қанша уақыт қайықпен жүзіп өтті.


2.82. Үш қыз 48 гүл жинады. Бірінші қыз екінші қызға қарағанда 2 есе

кем, ал үшінші қыздың жинаған гүлдері бірінші және екінші қыздардың

жинаған гүлдерінің қосындысына тең. Қыздардың әрқайсысы неше

гүлден жинаған?

Жауабы: 2,16,24.

2.83. Сыйымдылығы 10 мың литрлік ыдысқа екі насос арқылы бензин

құйылады. Екінші насос біріншіге қарағанда минутына 10 л бензин кем

құяды. 10 минутта ыдыс 50%-ке толтырылды. Әр насос қанша литрден

бензин құйды?

Жауабы: 2550 л; 2460 л.

2.84. Екі жұмысшы бірге жұмыс істей отырып, жұмысты екі күнде

бітірді. Егер бірінші жұмысшы екі күн,ал екінші жұмысшы бір күн

жұмыс істесе, сонда олар барлық жұмыстың 5 істеген болар еді. Осы

6 6

жұмысты жалғыз бірінші жұмысшы қанша күнде бітіреді?

Жауабы: Үш күнде.

І шешу жолы

Шартта көрсетілгендей,екінші жұмысшы 1 күнде жұмыстың 1 бөлігін

6

орындайды. Сондықтан,бірінші жұмысшы 2 күнде 2 жұмыстың

3

бөлігін орындайды,ал барлық жұмысты 3 күнде жасап бітеді.

ІІ шешу жолы

S – барлық жұмыс көлемі(S-ті 1 ретінде алсақ болады)

Айталық x, y – бірінші және екінші жұмысшылардың жұмыс өнімділігі

болсын.

Осылайша осы жүйені аламыз

2x + 2y = S

{

2x + y = 5 4

→ 2x = S (екі еселенген екінші теңсіздіктен біріншіні

S 6

6

есептедік)

57

5

2.85. Екі құбыр бассейнді 4 сағатта толтырады. Бірінші құбыр бассейнді

5 сағатта толтыра алады. Екінші құбыр жалғыз өзі бассейнді қанша

сағатта толтыра алады?


2.86. Тракторшылар ауданы 240 га болатын жерді жыртуға тиіс. Олар екі

жұмыс күнінде жыртылған жердің 80% -ы қалғанынан 2,5 есе кіші.

Қанша күнде траторшылар барлық жерді жыртады?

Жауабы: 6 күнде

2.87. 30 м 3 м 3 суды қамтитын бассейн алғашында босатылды, содан

кейін сол деңгейге қайтадан толтырылды. Мұның барлығына 8 сағат

талап етілді. Егер де бассейнді толтыру кезінде сорғының бассейн

босатылғанға қарағанда сағатына 4 м 3 м 3 кіші екені белгілі болса,

онда бассейнді толтыруға қанша сағат кеткен?

Жауабы: 5 сағат

2.88. Екі экскаватор бірге жұмыс істей отырып шұнқырды 4 сағатта

қаза алады. Жалғыз бірінші экскаватор осы жұмысқа жалғыз екінші

экскаваторға қарағанда 6 сағатқа көбірек уақыт жұмсайды. Әр

экскаватор жеке жұмыс істесе, шұнқыр қазуға қанша уақыт жұмсайды?

Жауабы: 12 сағат және 6 сағат

2.89. Оқушы 480 беттен тұратын кітапті, әр күнде бірдей мөлшердегі

парақтарды оқи отырып, бітірді. Егер ол әр күні 16 бетке көбірек

оқыса, кітапті 5 күнге ертерек бітіретін еді. Оқушы кітапті қанша күнде

оқыған ?

Жауабы: 15 күн

2.90. Шаруа қожалығы тұқымды 4 күнде себу керек еді. Күндік себу

нормасын 12 га артық орындай отырып, олар себуді мерзімінен 1 күнге

ерте бітірді. Шаруа қожалығында күнделікті қанша гектар тұқым сеуіп

отырған?

Жауабы: 48 га

2.91. Бірінші жұмысшы 36 бөлшек, ал екінші жұмысшы 20 бөлшек

жасау керек болатын. Біріншісі екіншісіне қарағанда 2 бөлшек көбірек

жасай отырып, тапсырысты мерзімінен 1 күн ерте бітірді.

Жұмысшылар күніне қанша бөлшектен жасап отырды?

Жауабы: 4 бөлшек және 2 бөлшек

2.92. Үш шөпшапқы 25 га өрістің шөбін шабуға қатысты. Бірінші

шөпшапқы 1 сағатта 3 га, екіншісі біріншісіне қарағанда b-ға кем, ал

үшіншісі біріншісіне қарағанда 2b-ға көп шапты. Алғашқыда бірігіп

бірінші және екінші шөпшапқылар 11 га шапты, сосын қалған ауданды

58

бірінші және үшінші шөпшапқылар бірігіп шапты. Егер үзіліссіз

барлық өріс 4 сағатта шабылса, b мәнін анықтау керек. (0<b<1)

Жауабы: b=0,5.

2.93. Кәсіпорын бірнеше айда 6000 сорғы өндіруі керек болатын.

Еңбек өнімділігін арттыра отырып, кәсіпорын 70 сорғы артық өндіре

бастады және мерзімінен 1 ай бұрын 30 сорғыға артық тапсырманы

орындап бітірді. Қандай уақыт мерзімінде 6030 сорғы өндірілді?

Жауабы: 9 ай.

2.94. Цех технологиялар жақсартуларынан кейін сағатына 4 өнім

артығырақ шығара бастады. Сондықтан цех 6 сағат ішінде алдынғы

жеті сағаттық норманың 1,2-сін орындай бастады. Цех сағатына неше

өнім шығара бастады?

Жауабы: 14 өнім.

2.95. Бір бассейнде 200 м 3 су бар, ал басқасында 112 м 3 . Бассейнді

толтыратын құбыр крандары ашылды. Егер екінші бассейнге 22 м 3

көбірек құйылатын болса,онда қанша сағаттан кейін бассейндердегі

судың мөлшері бірдей болады?

Жауабы: 4 сағаттан кейін.

2.96. Жұмысшылардың әрқайсысы 36 бірдей бөлшек дайындау керек.

Бірінші жұмысшы екінші жұмысшыға қарағанда өзінің тапсырмасын 4

минутқа кеш бастады, алайда олар тапсырманың 1 бірдей уақытта

3

орындады. Бірінші жұмысшы өз тапсырмасын толығымен орындап, 2

минуттық үзілістен кейін жұмысына кірісті. Екінші жұмысшы

тапсырмасын аяқтағанға дейін тағы да 2 бөлшек дайындады. Әр

жұмысшы сағатына қанша бөлшектен өндірді?

Жауабы: 20 өнім сағатына және 18 өнім сағатына.

2.97. 90 тонна жүк тасымалдау үшін бірнеше автомобиль сұралынды.

Әрбір машинаға 0,5 тонна аз жүктелгендігі үшін қосымша 6 көлік

сұралды. Бастапқыда қанша автомобиль сұралған?

Жауабы: 30 автомобиль.

2.98. Екі машинист 5 сағат ішінде 27 беттік есептемені басып

шығарды. Барлық қолжазбаның көлемі 60 баспа бетінен тұратын

есептемені екеуі теңдей басып шығарды және екінші машинист 2,5

сағат аз жұмыс істеді. Әрқайсысы жеке барлық есептемені қанша

сағатта басып шығарады?

Жауабы: 25 және 20 сағат.

Шешуге нұсқау: v 1 және v 2 – бір сағатта машисттердың басып

шығарған беттер саны болса, онда

59

{

30

− 30

v 1

v 2 = 2,5

27

= 5

v 1 +v 2

2.99. Кәсіпорында әртүрлі біліктіліктегі 3 машинист жұмыс істейді.

Біріншісі 2 бетке арттық басып шығарды, ал екінші машинист 2,5

сағатқа кем жұмыс істеді. Олардың әрқайсысы барлық есептемені

қанша сағатта басып шығарады?

Жауабы: 10 бет.

2.100. Екі машинисттің әрқайсысы 72 беттік баяндаманы басып

шығарды. Бірінші машинист 6 бетті басып шығарғанда, екінші

машинист 5 бет басып шығарды. Егер де бірінші машинисттің екіншіге

қарағанда 1,5 сағат ерте бітіргендігі белгілі болса, онда әр машинист

сағатына қанша бет басып шығарды?

Жауабы: 9,6 және 8 бет.

2.101. Көлемі 54 м 2 м 3 бассейнді екі құбыр толтырды. Бірінші құбыр

3 сағат, екіншісі 2 сағат ашық болды. Егер бірінші құбыр 1 м 2 м 3 -ты

екіншісіне қарағанда 1 минутқа баяу толтырса, онда бірінші құбырдың

өткізгіштік ықтималдығы нешеге тең?

Н Ұ С Қ А У Л Ы Қ: Бірінші және екінші құбырдың өткізгіштік

ықтималдығын сәйкесінше x м 3 /сағ және y м 3 /сағ деп белгілеп

аламыз, онда мына жүйені аламыз.

3x + 2y = 54

{ 1

x − 1 y = 1

60

Жауабы: 10 м 3 /сағ.

2.102. 12 гектар жерде екі бригада тазалау жұмыстарын жасады.

Алғашында тек бірінші бригада жұмыс істеді, содан кейін екінші

бригада қосылды және олар жұмысты бірге бітірді. Екінші бригада

сағатына 0,8 га жинай отырып,соңында бірінші бригаданың 1 сағат 30

минут уақытында жинайтын ауданды тазалады. Егер де бірінші

бригаданың екіншіге қарағанда 2 есе ұзақ жұмыс істегені белгілі болса,

әр бригада қанша сағат жұмыс істеді?

Жауабы: 6 сағат және 3 сағат.

60

3. Пайыздық өсім және күрделі пайыздарды

табуға арналған есептер

Пайыздық өсімдер мен «күрделі пайыздар» есептеу төмендегі

формулалар мен түсініктерді пайдалану негізінде жасалған.

Айталық, A шамасы t уақытқа тәуелді айнымалы шама, бастапқы

мезетте t 0 болғанда A-ның мәні A

0 , ал қандай да бір t

1

уақыт

мезетінде оның мәні A

1

болсын.

t уақытта A шамасының абсолют өсімі деп A1 A0

айырмасын

1

айтамыз. A шамасының салыстырмалы өсімі деп -

61

A A

1

A

0

0

қатысын

A A

1 0

және A шамасының t

1

уақыттағы пайыздық өсімі деп - 100%

өрнегін айтамыз.

A шамасының пайыздық өсімін p % деп белгілеп, p пайыздық өсіммен

A мәндерін байланыстыратын келесі формуланы аламыз:

A

0 ,

1

A A

A

1

A

0

0

100%

p%

.

Соңғы формуланың келесі түрде жазылуы, яғни

p

p

A 1

) A A A -дің белгілі мәні бойынша A 1

-дің мәнін табуға

1

0

(

0 0

0

100

100

мүмкіндік береді, яғни A-ның t 1

-мезеттегі мәнін табуға болады.

Айталық, t t1

болғанда A шамасының p % пайыздық өсімі белгілі

болсын. Сонда t2 2t1

уақыт мезетінде A 2

A( t 2

)-нің мәнін келесі түрде

p p 2

табамыз A A (1 ) A (1 t уақыт мезетінде A A ) -

; 3

3t1

100 100

p

p

A3 A2

(1 ) A0

(1 )

100 100

2 1

0

)

3

шамасының мәні , ал t n

nt1

p

A )

100

n

n

A0 (1 болады.

A

0

3

( t 2

уақыт мезетінде

Егер t 1

уақытта («бірінші этапта») A шамасы p 1

% -ға өзгерсе де

«екінші этапта» (яғни t2 t1

t0

уақытта) p 2

%-ға, ал үшінші этапта (яғни

t3 t2

t1

уақытта) p 3

% -ға өзгерсе осылайша A шамасының t n

nt1

уақыт

мезетіндегі мәні келесі формуламен есептеледі:

A

n

p1

p2

pn

A0

(1 )(1 )......(1 ).

100 100 100

3.1. 350г тұзды су ерітіндісі дайындалды. Ондағы тұздың судың

массасына қатынасы 2:5 қатынасындай. Ерітінді құрамында неше

грамм тұз бар, неше грамм су бар?

Шешуі: 1) Ерітінді құрамындағы тұз бен су неше бөлік?

1) 2 5 7(бөлік массасы бойынша).

2) Бір бөлік неше грамм? 350 : 7 50 (г).

3) Ерітіндідегі тұз неше грамм? 50 2 100

(г).

4) Ерітіндідегі су неше грамм? 50 5 250 (г).

Сандарды берілген қатынасқа сәйкес бөліктерге бөлу үшін:

1) берілген қатынас мүшелерінің қосындысын табу керек: 2 5 7

350

2) санды табылған қосындыға бөлу керек:

62

;

2 5

;

3) шыққан нәтижені (бөліндіні) қатынас мүшелерінің әрқайсысына

жеке-жеке көбейту керек:

350

350

2 100 ; 5

250 .

2 5

2 5

Жауабы: 100 г, 250 г.

3.2. 50%-дық қышқыл ерітіндісін алу үшін 30г 15% - дық қышқыл

ерітіндісіне 75% - дық сол қышқыл ерітіндісінен қанша қосу керек?

Шешуі:

1) Қосатын ерітінді x г дейік.

2) 50% = 0,5; 15% = 0,15;

75% = 0,75 деп ондық бөлшекке айналдырып алайық.

3) (30 + x) г пайда болған ерітінді.

4) Ондағы қышқыл (30 + x)∙0,5;

5) Ал 30г ерітіндідегі қышқыл 30∙0.15

6) Қосатын ерітінді қышқылы x∙0,75

7) Сонда мынадай теңдеу құрамыз:

(30 + x) ∙0,5 = 30∙0,15 + x∙075

15 + 0,5x = 4,5 + 0,75x

15 – 4,5 = 0,75x – 0,5x

10,5 = 0,25x

x = 10,5 : 0,25

x = 42 г.

Жауабы: 75%-дық ерітіндіден 42 г қосу керек.

3.3. Бір ерітіндіде 30% азот қышқылы, екіншісінде 55% азот

қышқылы бар. 50%-дық 100 литр азот қышқылының ерітіндісін алу

үшін біріншіден қанша, екіншіден қанша алу керек?

Шешуі:

1) 30% = 0,3; 55% = 0,55; 50% = 0,5 деп ондық бөлшекке айналдырып

алайық.

2) Бірінші қышқылдан x литр, оның азоты (0,3x) л

3) Екіншіден (100 – x) литр, оның азоты 0,55 (100 – x) л

4) 100 литр азот қышқылының 100 0.5x 50 литрі азот.

5) Сонда теңдеу төмендегідей:

0,3x + 0,55 (100 – x) = 50

0,3x + 55 – 0,55x =50

55 – 50 = 0,55x – 0,3x

5 =0,25x

x = 5: 0,25 = 20

Жауабы: Біріншіден 20 л, екіншіден 80 л

алу керек.

3.4. 36кг мыс пен мырыш қорытпасының 45% - ы мыс.

Қорытпадағы мыс 60% болу үшін қанша мыс қосу керек?

Шешуі: 1) Қорытпадағы мыс 36∙0,45 = 16,2 кг

2) Қосатын мыс x кг. Сонда қорытпа (36 + x) кг болады

3) Оның мысы ((36 + x)∙0,6) кг болмақ.

4) Теңдеу құрамыз: (36 + x)∙0,6 = 16,2 + x

21,6 + 0,6x = 16,2 + x

21,6 – 16,2 = x – 0,6x

5,4 = 0,4x, осыдан x = 5,4 : 0,4; яғни x = 13,5

Жауабы: 13,5 кг мыс қосу керек.

3.5. 15 литр 10% - дық тұз ерітіндісіне 5% - дық тұз ерітіндісі

араластырылып, 8% - дық ерітінді алынған. Қанша 5% - дық ерітінді

қосылған?

Шешуі:

1) Қосылатын 5% - дық ерітінді x литр. Оның тұзы 0,05x л.

2) 15 литр ерітіндінің тұзы 15∙0,1 = 1,5 л

3) 8% = 0,08; 5% = 0,05

4) 15 литрге x литр ерітінді қосылып 8% - дық ерітінді алынған.

Сонда ((15 + x)∙0,08) л тұзы

5) Теңдеу: (15 + x)∙0,08 = 1,5 + 0,05x

1,2 + 0,08x = 1,5 + 0,05x

0,08x – 0,05x = 1,5 – 1,2

0,03x = 0,3, ендеше x = 0,3 : 0,03 = 10л.

Жауабы: 5% - дық ерітіндіден 10 л

қосу керек.

63

3.6. Теңіз суында 5% тұз бар. 80 кг теңіз суындағы тұз 4% болу

үшін қанша тұщы су құю керек?

Шешуі:

1) 5% = 0,05; 4% = 0,04 деп бөлікке айналдырып алайық.

2) 80кг теңіз суында 80∙0,05 = 4 кг тұз бар екен.

3) x л тұщы су құю керек. Сонда (80 + x)л қоспа болмақ, оның 0,04

бөлігі тұз, ол 4 кг - ға тең

4) Теңдеу құрсақ: (80 + x)∙0,04 = 4

80 + x = 4 : 0,04

80 + x = 100, бұдан x = 20.

Жауабы: 20 л тұщы су

құю керек .

3.7. Құрамындағы йод 1% болатын 300 г қоспа бар. Құрамындағы

йод 10% - дан аспайтын болу үшін осы қоспаға қанша грамм йод

қажет?

Шешуі: 1) 1% = 0,01; 10% = 0,1 деп пайызды бөлікке

айналдырып алу керек.

2) 300г қоспада 300∙0,01 = 3г йод бар

3) 300г қоспаға x г йод қосу керек. Сонда йод (3 + x)г, ал қоспа (300 +

x) г болмақ

4) Сонда жаңа қоспадағы йод 10% - дан яғни 0,1 бөліктен аспау

керек.

5) Сонда мынадай теңсіздік құрамыз

(3 + x) : (300 + x) ≤ 0,1

3 + x ≤ (300 + x)∙0,1

3 + x ≤ 30 + 0,1x

x – 0,1x ≤ 30 – 3

0,9x ≤ 27

x ≤ 30

Жауабы: 0 < x ≤ 30. 30 литрден аспайтын йод керек.

3.8. 3 кг суға 70% - дық күкірт қышқылының 9кг-ы қосылды. Пайда

болған ерітіндінің концентрациясын анықта.

Шешуі: 1) 70% = 0.7 бөлікке айналдырып алайық.

2) 9 кг күкірт қышқылының 70%-ы яғни 0,7 бөлігі күкірт, яғни

9∙0,7 = 6,3 кг күкірт.

3) 9 + 3 = 12 кг пайда болған ерітінді.

64

4) 6,3 : 12 = 0.525

0.525∙100 = 52,5.

Жауабы: Концентрациясы 52,5% .

3.9. 18% - дық 2 кг тұз ерітіндісіне 0,25 кг су араластырған. Сонда тұз

ерітіндісінің жаңа концентрациясын тап.

Шешуі: 1) 18% = 0,18 бөлік.

2) 2кг ерітіндіде 2∙0,18 = 0,36 кг тұз бар

3) 2 + 0,25 = 2,25 кг жаңа қоспа

4) Оның тұзы өзгерген жоқ, 0,36 кг тұз.

5) Сонда жаңа концентрациясы 036 : 2,25 = 0,16

0,16∙100 = 16 .

Жауабы: 16%.

3.10. Тұз концентрациясын 3% - дан 2% - ға азайту үшін 20 кг теңіз

суына қанша тұщы су қосу керек?

Шешуі: 1) 3% = 0,03; 2% = 0,02 бөлікке айналдырып аламыз.

2) 20 кг теңіз суында 20∙0,03 = 0.6 кг тұз.

3) Ал қосылатын тұщы су x л.

4) Сонда (20 + x) л сұйық болды.

5) Оның концентрациясы 2%, яғни оның 0,02 бөлігі тұз. Сонда

(20 + x)∙0,02 = 0,6 осы теңдеуді шешеміз.

20 + x = 0,6 : 0,02, осыдан 20 + x = 30, яғни x = 10.

Жауабы: 10л тұщы су қосу керек.

3.11. 100г ерітіндіде 1% тұз бар. Буланғаннан кейін тұз 2% болды.

2% - дық тұз ерітіндісінің массасын тап.

Шешуі:

1) 1% = 0,01; 2% = 0,02 бөлікке айналдырып аламыз.

2) 100 г ерітіндінің 100∙0,01 = 1г тұзы бар.

3) Буланғанда су буланып ұшып, тұзы қалады екен.

4) Сонда қалған ерітінді x г; оның 0,02 бөлігі тұз.

5) Теңдеу құрып, шешеміз.

х∙0,02 = 1, ендеше x = 1 : 0,02 = 50, x = 50.

Жауабы: 50 г.

3.12. Мекеменің жұмыс істегеніне үш жыл. Мекемеде өнімді

өндіру екінші жылы p % -ға өсті, ал келесі жылы ол екінші жылға

қарағанда 10%

-ға өсті. Егер ол екі жылда жалпы алғанда 48.59%

-ға

65

өссе, онда екінші жылы өнімнің пайыздық өсімінің қанша пайызға

өскенін анықтаңыз.

Шешуі: Өнімнің бірінші, екінші және үшінші жылдары шығарған

өнім санын сәйкесінше A

1

, A2

, A3

деп белгілейік.

Есептің шарты бойынша екінші жылға пайыздық өсім p%

болды, ал

үшінші жылы ( p 10)%

болды. Сәйкесінше пайыздық өсімді анықтауда

бұл шарттар екі теңдеуді береді.

A2

A1

A

1

A3

A2

100%

p%

, 100%

( p 10)%

A

2

Сондай-ақ есептің үшінші шарты бойынша екі жылдағы өндірістік

өнім 48.59%

-ға өскен, яғни үшінші жылы мекеменің өнімін бірінші

жылға қарағанда 48 .59%

артық өндірген.

Бұл шартты келесі теңдеу түрінде жазуға болады.

A

3

A

A

1

1

100%

48.59%

Алынған теңдеулерді келесі жүйе түрінде жазамыз.

A

A

A

2

3

3

.

p

A1

(1 ),

100

p 100

A2

(1 ),

100

78,59

A1

(1 ).

100

Бірінші және екінші теңдеулерді көбейтіп, алатынымыз

(1 p p 100

A

3

A1 )(1 ) .

100 100

Алынған теңдеуді үшінші теңдеумен теңестіріп алатынымыз

p p 10

48,59 2

(1 )(1 ) 1

p 210 p 3859 0,

100 100 100

p 105

11025 3859 105

14884 105

122 .

1

2

1

17 p

2

.

p , 227

Есептің мағынасы бойынша p

1

17

болған түрін аламыз.

Жауабы: 17 % .

3.13. Билеттің бастапқы құны a теңге. Билеттің бағасын түсіргеннен

кейін, сатылған билеттің саны р %- ға өсті, ал түскен пайда q %-ға

көбейді. Билеттің жаңа бағасын табыңыз.

Шешуі: Түскен пайда билеттің бағасы сатылған билеттің санына

пропорционал. Сондықтан, арзандаған билеттің бағасын x деп

.

66

белгілеп және бастапқы билеттің бағасы кезіндегі пайданы 1 деп алсақ,

мынадай теңдеу құрамыз:

p x q 100

q

1 1

x a .

100

a 100 100

p

100 q

x a .

100 p

Ендеше, билеттің жаңа бағасы

67

Жауабы :

a

100

100

q

p

теңге.

3.14. Үш бала орманда 200 саңырауқұлақ жинады. Сабыр барлық

саңырауқұлақтардың 40%-ын, Марат Сабырдың жинағанының 25%-

ын, ал Тимур қалғанын жинады. Тимурдың жинаған

саңырауқұлақтарының санын табыңыз.

Шешуі: Сабыр 200 саңырауқұлақтың 40 %-ын жинағандықтан,

40%

200 80

100%

, ал Мараттың жинаған саңырауқұлақтарының саны

25%

Сабырдың жинағанының 25%-ы болғандықтан, 80 20 .

100%

Сонда Тимур 200 80

20 100

саңырауқұлақ жинаған.

Жауабы:100 саңырауқұлақ

3.15. Мастер шахматта бір мезгілде ойнағанда бірнеше тақтаға сеанс

береді. Сеанстың бірінші жартысында ол ойыншылардың 80%-н ұтты

және екі партия жеңілді. Сеанстың екінші жартысында ол қалған

қарсыластарының 40%-н ұтты, төрт партия жеңілді және қалған екі

партияны теңбе-тең ойнады. Ойын неше тақтада өтті?

Шешуі: Ойын x тақтада жүргізілді. Сеанстың екінші жартысында

x 0,8x

2

партия, яғни 0,2x 2

партия ойнады. Оның ішінде 0,4

0,2x

2

, яғни 0,08x 0,8

партиясын ұтты. Қалған 0,12x 1,2

партиясы 4 ұтылған

және екі теңбе-тең партиядан тұрды.

Сондықтан, 0,12

1,2

6 x 60.

Демек, ойын 60 тақтада ойналды.

Жауабы: 60.

3.16. Бір трактор бригадасы 240 гектар, ал екінші бригада одан 35 %

артық жер жырту керек еді. Екінші бригадаға қарағанда күніне 3 гектар

кем жырта отырып, бірінші бригада екі күн бұрын бітірді. Әр бригада

күніне қанша гектар жер жыртқан?

Шешуі: Есептің шарты бойынша екінші бригада

240 240 0,35 324 га жер жыртты. Екінші бригада күніне x га, бірінші

бригада күніне x 3

га жер жыртқан болсын. Онда теңдеу былай

құрылады:

240 324

2

x 3

x

2

240x

2x

6x

324x

972,

2

x 45x

486 0 x1

27, x2

18 .

Демек, бірінші бригада 27 гектар, екінші бригада 24 гектар немесе

бірінші бригада 18 гектар, екінші бригада 15 гектар жер жыртқан.

Жауабы: 27 га, 24 га немесе 18 га, 15 га.

3.17. Кітап дүкені баспаханаға кітап мұқабасында көрсетілген бағаның

90 %-ын төлейді. Дүкен қанша пайыз пайда түсіреді?

Шешуі: Кітаптың бастапқы құнын x деп белгілейік. Сонда дүкен

баспаханаға 0 ,9x

теңге төлейді. Ал пайданы есептейтін болсақ:

х 0,9х

100

100

, яғни 11,11 % пайда түсіреді.

0,9х

9

Жауабы: 11,11%.

3.18. Дүкенде тауар бағасын екі рет бірдей бағаға арзандатқаннан

кейін, оның бағасы 300 теңгеден 192 теңгеге түсті. Тауардың бағасы

неше пайызға арзандады?

Шешуі: Бірінші арзандатылғаннан кейін тауардың бағасы

x

300

300

100

x x x

300

300

300

300

100

100

100

теңге, екінші арзандатылғаннан кейін тауардың бағасы

теңге болды.

Сонда теңдеу былай құрылады:

x x x

300 300

300

300

192

100

100

100

2

2

3 600 x 10800

0 x 200 x 3600 0 x 180,

x x 20 . Есептің шартын

x 180 түбірі қанағаттандырмайтындықтан, x 20 болады.

Жауабы : 20%.

3.19. Теңіз суында массасы бойынша 5% тұз болады. 15 литр суына

тұздың концентрациясы 1,5 % құрайтын болу үшін қанша тұщы су құю

керек?

Шешуі: Есептің шарты бойынша 15 литр теңіз суында 15 0, 75

тұз бар. Айталық, тұщы судың массасын x литр болсын. Сонда теңдеу

былайша құрылады:

5

100

68

0 ,75

1,5

15

100

x

75 22,5 1,5

x x 35 (литр).

Жауабы: 35 л.

3.20. Жалпы құны 225 теңге тұратын құнды екі аң терісі халықаралық

аукционда 40% пайдамен сатылды. Егер бірінші тері 25% пайдамен,

ал екіншісі 50% пайдамен сатылған болса, ол терілердің әрқайсысы

қанша теңге тұрады?

Шешуі: Айталық, бірінші тері x теңге, екінші тері y теңге болсын.

Екі аң терісі 40% пайдамен сатылғандықтан, екі терінің соңғы бағасы

40

225 225 315

100

теңге болды. Бірінші терінің пайдасымен қоса

есептегендегі құны

қоса есептегендегі құны

25

x x 1, 25x

100

50

y y 1, 5y

100

теңге, екінші терінің пайдасымен

теңге болады. Есептің шарты

бойынша мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:

x

y 225 x

225 y

1,25x

1,5

y 315 1,25225

y

69

1,5

y 315

281,251,25y 1,5

y 315 0,25y

33,75 y 135, y -тің мәнін

орнына қойып, x -ті табамыз, яғни x 90 (теңге).

Жауабы: 90, 135.

3.21. Алюминий мен магнийдің қоспасында 22 кг алюминий бар. Бұл

қоспаға 15 кг магний қосылып, қайта балқытылды. Осыдан шыққан

жаңа қоспаның құрамында магнийдің үлесі 45%-ға өсті. Алғашқы

қоспаның салмағы қандай болған?

Шешуі: Алғашқы қоспаның салмағын x кг, магнийдің салмағын y

кг делік. Сонда жаңа қоспаның салмағы x 15

кг, ал жаңа қоспадағы

магнийдің салмағы ( y 15)

кг болады.

Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін құрайық:

x

y 22

y 15

x 15

45% 100%

x 100%

y

x

x 22

22 15

45%

7 x

15 45%

7

20 x

15

9 x 25

x .

x 15

100%

Демек, алғашқы қоспаның салмағы 25 кг болған.

Жауабы: 25 кг.

3.22. Үшінші санның бірінші санға қатынасы 4:15 қатынасындай, осы

үшінші сан екіншінің 40% құрайды және бірінші сан мен екінші

санның қосындысы 400 – ге тең болса, осы сандардың қосындысын

табыңыз.

Шешуі. Үш сан да белгісіз болғандықтан, оларды сәйкес x, y,

z

деп белгілейік. Бірінші шарт бойынша

z 4

x .

15

4 2

Екінші шарттан, 40% 0,4 болатынын ескеріп, келесі

10 5

2

теңдікке келеміз z y. Енді үшінші шарт xy 400 теңдігін береді.

5

z 4 15

Бірінші теңдеуден x z

x 15 4

2 5

, екінші теңдеуден z y y z

5 2

өрнектеп үшінші теңдеуге қоямыз. Сонда

15 5 15 5 15 10

x y 400 z z 400 z

400 z 400

4 2 4 2

4

25 4400

z 400 z 64 .

4 25

Бұдан

15 15

x z x 64 240 және

4 4

5 5

y z y 64 90 .

2 2

Осыдан x y z 240 90 64 394 .

3.23. Наурыз банктен өз ақшасының, алдымен 1 4

Жауабы: 394.

бөлігін, сонан кейін

қалған ақшасының 4 9

бөлігін, және үшінші рет 6400 тг. алған. Бұдан

кейін оның банкте ең алғашқы ақшасының

70

3

20

бөлігі қалған.

Наурыздың банкте қанша ақшасы болған?

Шешуі. Наурыздың банктегі алғашқы ақшасының мөлшері

белгісіз болғандықтан, соны x деп белгілейік. Бірінші шарттан, яғни x

- тің

1 3

x x x .

4 4

1

4 бөлігін, яғни 1

4 x ақшаны алғанда банкте қалған ақша

Дәл осылай екінші шарт бойынша алынған ақша 3 x 4 1 x, ал банкте

71

4 9 3

қалған ақша 3 x 1 x 5 x , осыдан 6400 тг. алғанда, банкте қалатын

4 3 12

ақша 5 6400

12 x . Екінші жағынан, банкте қалған ақша 3 20 x . Сондықтан

5 3

x6400

x.

12 20

Теңдеуді шешеміз:

5 3 5 3 25 9

x 6400 x x x 6400 x 6400

12 20 12 20 60

25 9 16 6400 60

x 6400 x 6400 x 24000 .

60 60 16

Жауабы: 24000.

3.24. Дүкендегі тауардың бағасын бірінші рет 20% - ке, сонан соң жаңа

бағаны 15% - ке және одан кейінгі жаңа бағаны тағы 10% - ке

төмендеткен. Тауардың соңғы бағасын және оның бағасы жалпы

қанша процентке төмендегенін табыңыз.

Шешуі. Тауардың алғашқы бағасын x деп белгілейік.

1) тәсіл. Егер тауардың бағасы 20% - ке төмендесе, оның жаңа

бағасы оның алғашқы бағасының 80% - тін құрайды. Сондықтан, жаңа

баға x0,8 0,8x

- ке тең. Дәл осылай екінші төмендегенде

0,8x0,85 0,68x

- ке және үшінші төмендегенде 0,68x0,9 0,612 x - ке

тең болады. Сонымен, үш рет төмендегеннен кейін тауардың жаңа

бағасы 0,612x - ке тең.

2) тәсіл. Пропорцияны қолданайық. Төмендеген бағаны y деп

белгілейміз және осы y әрбір пропорцияда қайталанып отырады, яғни

көмекші белгілеу. Сонымен бірінші төмендеуде баға

x

100% 20%

y x 0,2x

,

y

20% 100%

яғни 0,2x - ке төмендеген, бұдан, жаңа баға x 0,2x 0,8x

- ке тең.

Екінші төмендегенде баға

0,8x

100% 15%

y 0,8 x 0,12 x ,

y

15% 100%

яғни 0,12x - ке төмендеген, сондықтан жаңа баға 0,8x 0,12x 0,68x

- ке

тең.

Енді үшінші төмендеу кезінде баға

0,68x

100% 10%

y 0,68 x 0,068 x ,

y

10% 100%

яғни 0,068x - ке төмендеген, сонда, жаңа баға 0,68x 0,068 x 0,612 x - ке

тең.

Енді, алғашқы баға x , ал төмендегеннен кейінгі баға 0,612x болғанда,

бағаның қаншаға төмендегенін табамыз x 0,612 x 0,388 x . Бұдан,

қанша процентке төмендегенін анықтай аламыз

x

100% 0,388x

100%

y 38,8% .

0,388 x y%

x


3.25. Дүкенге ылғалдылығы 99% болатын 100 кг жидек әкелінген.

Сатылмай тұрып қалған жидектің ылғалдылығы бірнеше күннен кейін

98% - ке тең болған. Жидек қанша кг салмағын жоғалтқан?

Шешуі. Жидекті құрамы бойынша екі бөліктеп қарастыруға

болады: құрамында суы жоқ бөлігі және тек қана су бөлігі. Ендеше,

ылғалдылығы 99% болса, онда жидектің құрамында 99% - ті су, ал

қалған 1% - ті суы жоқ бөлігі (мүлде құрғатса да өзгермейтін бөлігі).

Сондықтан, құрамында суы жоқ бөлігінің салмағын анықтайық

100kг

100% 1001

y 1 кг

y

.

1% 100%

Жидектің суы жоқ бөлігі ылғалдылық 99% болғанда, оның 1% - тіне тең

болса, ылғалдылығы 98% болғанда, оның 2% - тіне тең. Сондықтан

1kг

2% 100%

y 50 кг

y

,

100% 2%

72

яғни 50 кг-ға тең салмағын жоғалтады екен.

Жауабы: 50 кг

3.26. Тракторшылар бригадасы белгіленген жер бөлігінің 5 6 ауданын 4

сағ. 15 мин. жыртып шыға алады. Бригада түске дейін 4,5 сағ. жұмыс

істегеннен кейін жыртылмаған жердің ауданы 8 га қалады. Белгіленген

жердің ауданын табыңыз.

Шешуі. Жердің ауданын x деп белгілісек, онда

5 1

1 17

4

4 x x

x

4 4 17 6 51

6 4 y x

5 5

x x

4 5x

10

,

x

y

6 6

яғни белгіленген жер ауданы 51 сағ. уақытта жыртылады. Бұдан 1 –

10

сағатта жердің 10

51 x 1

бөлігі жыртылатынын көреміз. Енді бригада 4 сағ. 2

жұмыс істегенін және 8 га. қалғанын ескерсек, онда

болады. Осы теңдеуден

10 1

x4 8

x

51 2

10 1 10 9 45 45

x4 8 x x 8 x x 8 x 8 x x

51 2 51 2 51 51

45 2 27

8 x x x 8 x 8 108 .

51 27 2

Жауабы: 108 га


3.27. Сыныптағы 28 оқушының 75% -і спортпен айналысуды ұнатады.

Сыныптағы оқушылардың нешеуі спортпен айналысуды ұнатады?

Жауабы: 21.

3.28. Қоспаның 90%-і темір, қалғаны никель. Массасы 51 кг қоспаның

құрамында қанша темір, қанша никель бар?

Жауабы: 45,9 кг темір, 5,1 кг никель.

73

3.29. Компьютерде терілетін шығарма 75 бет. Компьютерде теруші

бірінші күні осы шығарманың 21 бетін терді. Шығарманың неше

проценті терілмей қалды?

Жауабы: 72%.

3.30. Жылдамдығы 84км/сағ поезд 1 сағатта екі қала арасындағы

қашықтықтың 30%- ін жүрді. Екі қала арасындағы қашықтық

неше километр?

Жауабы: 280км.

3.31. Жерге себілген 200 бидай тұқымының 150-і көктеп шықты. Бидай

тұқымының өнімділігі неше процент?

Жауабы: 75%.

3.32. Концентрациясы 25% 1 кг тұзды су ерітіндісін дайындау үшін

неше грамм тұз керек?


3.33. Егер заттың бағасы 850 тенге және 20%-ке қымбаттаса, оның

қымбаттаған бағасы неше теңге?

Жауабы: 1020 тенге.

3.34. Егер заттың бағасы 1800 тенге және ол 30% -ке арзандатылса,

онда оның арзандатылған бағасы неше теңге?


3.35. Тракторшы жыртуға тиісті жердің 76%- ін жыртқанда, 8,4га жер

жыртылмай қалды. Тракторшы барлығы неше гектар жерді

жыртуға тиіс еді?


3.36. Фермер жерінің 4 гектарын мал жайылымына қалдырды да,

қалған 16 гектар жерге бақша өнімдерін екті. Фермер барлық

жердің неше процентіне бақша өнімдерін екті?

Жауабы: 80%.

3.37. Жинақ кассасына жыл бойында 8%- тік өсіммен салынған ақша

жыл соңында 162 мың теңге болды. Жинақ кассасына жыл

бойында неше теңге ақша салынған?

Жауабы: 150 мың тг.

3.38. Катер 15,3 км/сағ меншікті жылдамдықпен ағыс жылдамдығы

2,4 км/сағ өзенде ағыспен 2 сағ жүзіп, А және В айлақтарының

ара қашықтығының 30%-ін жүзді. А және В айлақтарының ара

қашықтығы неше километр?

Жауабы: 118.

74

3.39. Автотуристер барлық жолдың бірінші күні 36%-ін, екінші күні

39%-ін, үшінші күні қалған 180 км жолды жүрді. Авттуристер

барлығы неше километр жол жүрді?

4. 200 Жинақ мың кассасына теңге екі жылдан 5%-тік соң жылдық неше күрделі теңге болады? өсіммен Жауабы: салынған 720 км.

3.40. Екі ерітіндіден қоспа ерітінді даярланды. Бірінші ерітіндінің

массасы 800г, оның 40%-і тұз, екінші ерітіндінің массасы 1,2 кг, оның

15%-і тұз.

Осы екі ерітіндіден даярланған қоспаның неше проценті тұз?

Жауабы: 25%.

3.41. Ас содасының судағы бірінші ерітіндісінің массасы 400 г,

ондағы ас содасы 25%, екінші ерітіндісінің массасы 1,6 кг, ондағы

ас содасы 15%.

Осы екі ерітінді араластырылып, қоспа ерітінді даярланды.

Қоспа ерітіндідегі ас содасы неше процент?

Жауабы: 17%.

3.42. Тік төртбұрыштың ауданы 90 дм 2 , ұзындығы 15 дм. Тік

төртбұрыштың ені ұзындығының неше проценті?

Жауабы: 40 %-ін.

3.43. 700 г йодтың спирттегі ерітіндісінде йод 119 г. Ерітіндінің

концентратциясы неше процент?

Жауабы: 17 %.

3.44. Жинақ кассасына 5%-тік өсіммен салынған ақша бір жылдан

соңы 75600тг болды. Жинақ кассасына неше теңге ақша

салынған?

Жауабы: 72 000 тг.

3.45. Концентрациясы 40%, массасы 300 г қантты су ерітіндісіне 200

г таза су құйылды. Соңғы ерітіндідегі қанттың концентрациясы

неше процент?

Жауабы: 24 %.

3.46. Затты арзандату кезінде әжей немересіне қуыршақ алып берді.

Қуыршақтың бағасы 15 % - ке арзандатылып, 340 тг болды.

Қуыршақтың арзандатылғанға дейінгі бағасы неше теңге?

Жауабы: 400 тг.

3.47. Атай жинақ кассасына 95 000 тг ақша салып, бір жылдан

соң одан 104 500 тг алды. Атай жинақ кассасына салған

ақшасын неше проценттік өсіммен алды?

Жауабы: 10 %.

75

3.48. Концентрациясы 12% тұзды су ерітіндісінде 48 г тұз бар. Осы

ерітіндідегі су неше грамм?


3.49. Токарь осы аптада 300 бөлшек дайындауды межелеген еді. Ол

осы аптада межелеген жоспарын 60 бөлшекті артық дайындады.

Токарь жоспарын неше процентке артық орындады?

Жауабы: 20 %.

3.50. Сатуға әкелінген лотерея билеттерінің 20-сы ұтатын

билеттер, 480- і ұтысы жоқ билеттер. Сатуға әкелінген барлық

билеттердің неше проценті ұтатын билеттер?

Жауабы: 4 %.

3.51. Жез – мыс пен мырыштың қорытпасы. Ондағы мыстың

массасының мырыштың массасына қатынасы 3:2

қатынасындай. Қорытпадағы мыс мырыштан 1,3 кг артық..

Қорытпаның неше проценті мыс?

Жауабы: 60 %.

3.52. Мыстың басқа металдармен қоспасы екі түрлі: біреуінде

мыстың құрамы екіншісінен 70%-ға артық. Құрамында 6 кг

мыс бар бірінші қоспаның бір кесенің құрамында 12 кг мыс бар

екінші қоспаның кесегімен қорытып, құрамында 36 % мыс бар

құйма алынды. Алғашқы қоспалардағы мыстың пайыздық

құрамын анықтаңыз.

Жауабы: 20%, 60%.

3.53. Марат бірінші рет лотореядан 20% ұтты, екінші рет 50%

ұтылды, ал үшінші рет 30% ұтты. Ол жалпы қанша пайызға

ұтылды?

Жауабы: 22%.

3.54. Сатушы сатқан тауарынан 25% пайда келтіреді. Нарық

жағдайына байланысты сатушы тауардың бағасын 25%

арзандатты және оны 405 теңгеден сатты. Алғашқы бағасын

табыңыз.

Жауабы: 432т.

3.55. Екі бидонда 70 литр сүт бар. Егер бірінші бидоннан ондағы

сүттің 12,5%-ын екіншісіне қотарып құйса, онда екі бидондағы

сүттің мөлшері бірдей болады. Әр бидонда неше литр сүт бар?

Жауабы: 40 л, 30 л.

3.56. Кітапханада ағылшын, француз және неміс тілдерінде кітаптар

бар. Ағылшын тіліндегі кітаптар барлық шет тіліндегі

76

кітаптардың 36%-ын, француз тіліндегілер ағылшын

тіліндегінің 75%-ын құрайды, ал қалған 185 кітап – неміс

тіліндегілер. Кітапханада шет тілінде неше кітап бар?

Жауабы: 500.

3.57. Үш санның біріншісі екіншінің 80%-ын құрайды, екіншінің

9

үшіншіге қатынасы 0 ,5 : қатынасындай. Бірінші мен үшіншінің

20

қосындысы екінші саннан 70-ке артық. Осы үш санды табыңыз.

Жауабы: 80; 100; 90.

3.58. Гараждың штатында 54 жүргізуші көрсетілген. Егер гаражда

бар 60 автомашинаның 25% -ы күн сайын профилактикалық

жөндеуден өту үшін қалып қоятын болса, әрбір жүргізушінің

айына (30 күн) бос күні нешеу болады?


3.59. Аяқ киім фабрикасы бірінші аптада айлық жоспардың 20%, ал

екінші аптада бірінші аптада өндірілген өнім санының 120%-ы,

ал үшінші аптада алдыңғы екі аптада өндірілген өнімнің 60%-ын

орындаған. Егер айлық жоспарды орындап шығу үшін айдың

соңғы аптасында 1480 жұп аяқ киім өндіріп шығару керек болса,

айлық жоспардың қандай болғаны?

Жауабы: 5000 жұп.

3.60. Мыс пен мырыш балқымасының 35 килограмм тартатын

кесегінде 45% мыс бар. Осы кесекке массасы қанша мыс

қосқанда, жаңа балқыманың ішінде 60% мыс болады?

Жауабы: 13,5 кг.

3.61. Жалақы мөлшері, екі рет қатарынан өскеннен кейін, 1.875 есеге

артты. Егер екінші рет көтерілген кезде жалақының пайыздық

көрсеткіші біріншіге қарағанда екі есеге көп болса, онда бірінші

рет өскеннен кейін жалақы қанша пайызға өсті?

Жауабы: 25 %-ға.

3.62. Жыл ішінде зауыт өнімді екі рет белгілі бір пайызға арттырып

шығарды. Егер зауыт жылдың басында ай сайын 600 өнімдер

шығарғаны, ал жылдың соңында ай сайын 726 өнімдер шығара

бастағаны белгілі болса, жыл ішінде өнім шығарудың қанша

пайызға артқанын табыңыз.


3.63. Қантты судың үш ерітіндісінен қоспа дайындалды. Бірінші

77

ерітіндінің массасы 700 г, ондағы қант 10%. Екінші ерітіндінің

массасы 250 г, ондағы қант 20%. Үшінші ерітіндінің массасы 350

г, ондағы қант 40%. Қоспа ерітіндінің неше проценті қант?

Жауабы: 20%.

3.64. Массасы 520 г, концентрациясы 30% қантты су ерітіндісіндегі

қант 40% болу үшін одан қанша суды буландыру керек?


3.65. Белгілі бір бақыланған кезеңде күндердің 90 %-ында ауа райы

ашық болды. Гидрометеорологиялық орталық сол кезеңде 100

жағдайдың 76 жағдайында ауа райын дұрыс болжады, сонымен

бірге барлық жағдайдың 80%-ында, күннің ауа райы ашық

болған кезде, Гидрометеорологиялық орталықтың болжамдары

орындалды. Бұлтты ауа райы болған күндер,

Гидрометеорологиялық орталық ауа райын дұрыс болжаған

кездегі болжамдардың қанша бөлігін құрайды?

Жауабы: 20 %.

3.66. Фирма көліктердің 3 топтамасын сатып жіберді. Екінші

топтамада көлік бағасы біріншіге қарағанда 50 %-ға қымбат

болды, бірақ 3 көлікке кем сатылды, сондықтан сатылымнан

түскен ақша мөлшері тиісінше 20 %-ға артты. Үшінші топтамада

бірінші топтамамен салыстырганда, көлік бағасы 1 млн теңгеге

арзан болды, және көліктер 20 %-ға көбірек сатыла тұра,

сатылымнан түсетін ақша 10 %-ға төмендеді. Бірінші

топтамадағы көліктердің саны мен бағасын анықтаңыз.

Жауабы: 15 көлік, 4 млн теңге.

3.67. Дүкенге, барлығы 4,8 тонна, қант және 63 қап құмшекер

әкелінді, айта кететіні құмшекердің қаптарының саны қантқа

қарағанда 25 %-ға көбірек болды. Әр қант қабының салмағы

құмшекердің қабының 3/4-ін құрады. Қанша килограмм қант

және құмшекер әкелінді ?

Шешуі: t - қант қаптарының саны, ал v(кг) - қанттың бір

қабының салмағы. Онда құмшекер қаптарының саны - 1.25t,

ал бір қаптың салмағы - 4/3v. Шарт бойынша:

v*t + 4/3*v*1.25t = 4800

v*t = 1800 - әкелінген қант салмағы;

Әкелінген құмшекер салмағы: 4800 - 1800 = 3000;

Жауабы: 1800 кг, 3000 кг.

3.68. Антикварлық (сирек кездесетін, көне) дүкен екі затты 225

78

теңгеге сатып алған соң, оны сатып, 40 % табыс тапты. Егер

бірінші заттан 25 %, ал екінші заттан 50 % табыс тапса, онда

дүкен әрқайсысын қанша ақшаға сатып алды?

Жауабы: 90 және 135 теңге.

3.69. Жинақ кітапшасына біршама ақша салынғаннан кейін, бір

жылдан соң, салым мөлшері пайыздардың есебінен 20 тенге 16

тиынға өсті. Салушы тағы да 79 тенге 84 тиын қосып, өз

салымын жинақ кітапшасына 1 жылға қалдырды. Мерзімнің

уақыты біткен соң, жинақ кітапшасының мөлшері 628 тенге 16

тиынды құрады. Егер бірінші салымның мөлшері 5 тенгеден кем

болмау керек болса, жинақ кассасы жылына қанша пайыз төлеп

отырды?

Шешуі: a - бастапқы салым, ал p% - жылдық

төленетін пайыздар болсын. Бір жылдан соң ақша мөлшері

a*p/100 тиынға өседі және a*(1+p/100) тиынды құрайды. Оған

7984 тиын қосқаннан кейін тағы бір жылдан соң кітапшаның

мөлшері (a*(1+p/100)+7984)*(1+p/100)-ге тең болады. p/100=t

деп алып, мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:

Екінші теңдікке a=2016/t-ны қойсақ, t 2 -5.08t+0.2016=0 теңдігін

аламыз,

ол жерден t 1 =0.04, t 2 =5.04-ке тең екендігін табамыз. t 2 -нің мәні

теңдеудің шешімін қанағаттандырмайды, себебі a<500 болады.

t 1 =0.04

алсак, a>=500 болады, яғни қанағаттандырады.

Демек, p/100=0.004, ал p = 4%.

79

Жауабы: 4%.

3.70. Банкқа жылдық 50 % өсіммен 3900000 теңге салынды. Әр

алғашқы 4 жылдың соңында, пайыздардың есептелуінен соң,

салушы белгіленген мөлшерде ақша салып отырды. Бесінші

жылдың аяғында пайыздардың қосылуынан кейін, салымның

мөлшері 725 %-ға өскені белгілі болды. Салушы салымға жыл

сайын қандай мөлшерде ақша қосып отырды?


3.71. Тауардың бағасы 40 %-ға төмендеді, ал жалақы мөлшері 20 %-ға

артты. Тауардың бағасының төмендеуінен және жалақы

мөлшерінің өсуінен кейін, тауарды қанша пайызға артық сатып

алуға болады?


Бастапқы жалақы мөлшері - x тенге, ал y - тауар бағасының

шартты өлшемі болсын. Сатып алынған тауарлардың саны x/y

шартты өлшемін құрайды. Бағалардың төмендеуінен кейін

тауардың шартты өлшемі 0.6*y-ке, ал жалақы көтерілгеннен

кейін (1.2) 2* x=1,44*x-ке тең болады. Сол кезде, сол ақшаға сатып

алуға болатын, тауарлардың саны 1.44*x/0.6*y=2.4*x/y шартты

өлшеміне тең болады, яғни бұрынғыдан қарағанда 2.4 есеге көп,

оның өсімі 140 %-ды құрайды.

4. Бүтін санды айнымалыларды табуға байланысты есептер

Ізделінді айнымалының бүтін сан болуы қосымша шарт болып

есептелінеді, яғни ол есептің басқа шарттарын қанағаттандыратын

қандай да бір мәндер жиынынан бір ғана мәнін табуға мүмкіндік

береді.

4.1. Екі таңбалы сан берілген. Оның бірлігінің саны ондығының

санынан 3-ке кем. Осы санның оның цифрларымен кері жазылған

санды көбейтсең 574-ке тең болады. Берілген санды табыңыз.

Шешуі: Ізделінді санның бірлігін x деп, ал ондығын x 3 делік.

Сонда ізделінді екі таңбалы сан 10 х

3

х .

Енді есеп шарты бойынша, ізделінді сан:

2

10

x 3

x10x

x 3 574 x 3x

4 0 x 1, Яғни х 4, теріс түбірі

есептің шартын қанағаттандырмайды. Сондықтан ізделінді сан 41

10 4 1

41.

Тексеру арқылы есептін дұрыс екендігіне көз жеткізуге болады:

41 14

574 .

Жауабы: Ізделінді сан 41.

4.2. Ізделінді үш таңбалы санның соңғы цифры 1. Егер осы санды

соңғы тұрған орнынан бірінші орынға қойсақ, онда алынған сан

ізделінді саннан 90-ға артық. Осы санды табыңыз.

Шешуі: Ізделінді санның жүздігін m деп, ал ондығын n делік.

Сонда ізделінді үш таңбалы сан mn 1 ( m, n және 1-дің аралығында

80

көбейту таңбасы жоқ: m, n-ондық санау жүйесінің саны және m 0) ,

бұл үштаңбалы санның қысқаша жазылуы

m 10 2 n10

1.

Соңғы сан 1-ді көшіргеннен кейінгі үштаңбалы санның жазылуы

110

m10

n

2

:

Енді есеп шарты бойынша, ізделінді сан соңғы саннан 90 -ға артық:

2

2

m 10 n10

1110

m10

n 90.

Осылайша, екі айнымалы m мен n -ге тәуелді бір теңдеуді алдық; m

мен n ондық санау жүйесінің цифрлары және m 0.Сол жақтағы

сандардың бірліктері оң жақтағы санның бірлігімен бірдей болуы

керек, сондықтан n 1

болады. Енді теңдеуді келесі түрде жазамыз;

2

2

m 10

10

110

m10

90 ,

100 m 10m 100

90 10

90m 180

m 2;

Жауабы: Ізделінді сан 211.

4.3. Автожарысқа «Волга» маркалы, «Москвич» маркалы

автомобильдері бар командалар қатысты. Әр командадағы «Волга»

мен «Москвич» сандары бірдей және ондағы автомобиль саны 7-ден

кем. Егер әр командадағы «Волга» маркалы автомобильдің санын сол

күйінде қалдырып «Москвич» маркалы автомобильді үш есе көбейтсе

онда автожарыстағы барлық Москвичтердің саны Волганың санынан

50-ге көп болады, онда әр командадағы автомобиль саны 12-ден көп

болады. Автожарысқа неше команда қатысқан, және әр командадағы

Волга мен Москвичтер санын табыңыз.

Шешуі: Автожарысқа қатысатын командалар санын N деп

белгілейік, ал әр командадағы «Волга» мен «Москвич» санын

сәйкесінше m және n делік. Есеп шартына келесі теңдеулер мен

теңсіздіктер жүйесі жауап береді.

Есеп шарты

Әрбір командадағы барлық

автомобиль саны 7-ден кем.

Егер әрбір командадағы

«Волганы» сол күйінде

қалдырып, ал Москвич санын 3

есе арттырса, онда Москвичтің

саны Волгаға қарағанда 50-ге

артық .

Теңдеулер, теңсіздіктер

m n 7

3nN

mN 50

m 3n

12

81

Сонымен қатар командадағы

автомобиль саны 12-ден артық.

Теңсіздіктерді зерттейміз m n 7 және m 3n

12 .

Екінші теңсіздіктен біріншіні алсақ, алатынымыз

2n

5 n

5

2

. Бұдан

шығатыны n -нің тең болуға мүмкін мәндері 3 ,4,5,.....

Бірінші

теңсіздіктен шығатыны n 3,4,

5-ке ғана тең болуы мүмкін.

Айталық n 3 болсын. Онда бірінші теңсіздіктен шығатын m 1 ,2, 3

сандарын қабылдауы мүмкін, ал екінші теңсіздіктен шығатын m -нің

мәні 3-тен артық болуы керек. Бұдан шығатын n 3.

Айталық n 4 болсын. Бірінші теңсіздіктен шығатын m -нің

қабылдауға мүмкін мәндері-1 , 2, ал екіншіден - 1 ,2, 3.... мәндері.

Айталық n 5 болсын. Онда бірінші теңсіздіктен шығатын m -нің бір

ғана мәні болуы мүмкін, ол 1.

Осылайша теңсіздіктерді қанағаттандыратын үш санның жұбы

табылды:

n 4;

1

2

m 1

m , n 4;

m , n 5;

Осы табылған сандарды жүйедегі теңдеуге апарып қоямыз да, N -ге

байланысты теңдеу аламыз:

11N 50 , 10N 50 , 14N 50 .

Есептің шарты бойынша N бүтін сан болуы керек, сондықтан N 5

және n 4,

m 2 сандар жұбы есептің жалғыз шешімі болады

Жауабы: Команда- 5, Волга - 2 , Москвич - 4 .

4.4. Квадраттарының айырмасы 133 тең екі бүтін оң сандарды табу

керек.

Шешуі: Есептің шарты бойынша

2 2

x y 133 , x

yx

y 197

1331

x

y 19

x 13 , y 6

x

y 7

немесе x y 133

x 67 , y 66 .

x y 1


4.5. 5-ке еселі x үш орынды санын қандай да бір натурал санның кубы

мен квадраттарының қосындысы түрінде жазуға болады. Осы санды

табыңыз.

82

Шешуі: Айталық, n осындай натурал сан болсын, онда

3 2 2

x n n n n

1. Есептің шарты бойынша x 5-ке еселі болғандықтан,

2

үш орынды сан 0-мен немесе 5 – пен аяқталуы керек. x n n 1

2

теңдігінен x -тің 0-мен аяқталады деген қорытындыға келеміз. ( n n 1

көбейтіндісі n 1,2,6, 7 болғанда 2 цифрымен аяқталады, n 3, 8 болғанда

6 цифрымен аяқталады, n 4,5,9, 10 болғанда 0 цифрымен аяқталады.)

Есептің шартын n 5, n 9 ғана қанағаттандырады. Себебі, n 4

болғанда x екі орынды сан, n 10

болғанда x төрт орынды сан болады.

Сондықтан x 5 2 (5 1)

150 немесе x 9 2 9

1 810 . Шынында да,

150

3 2

3 2

5 5 ; 810 9 9

.

Жауабы: 150; 810.

4.6. Көпбұрыштың диагональ санының оның қабырғаларының санына

қатынасы k -ға тең. Көпбұрыштың қабырғаларының санын және осы

қатынастың шамаларының қабылдайтын мүмкін мәндерінің жиынын

анықтаңыз.

Шешуі: x деп көпбұрыштың қабырғаларының санын белгілейік.

Онда оның C x

x

2

диагоналі, яғни

83

x

x 1

2

x

Есептің шартына сәйкес, мынадай теңдеу құрамыз:

x(

x 1)

x kx

x 3 2k

2

N

2

, 0

k , мұндағы N - кез келген натурал сан.

диагоналі болады.

k болғанда, есептің шешімі болады, және

Жауабы :

x 3 2k

,

N

k .

2

4.7. Күнде бірдей бет оқи отырып, оқушы 480 беттен тұратын кітапты

оқып бітірді. Егер ол күніне 16 беттен артық оқитын болса, онда ол

кітапты мерзімінен 5 күн бұрын бітірер еді. Оқушы кітапты неше күн

оқыды?

Шешуі: x деп күніге оқушының оқыған беттерінің санын

белгілейік. Сонда теңдеуді былай құрамыз:

x

1/

2

8

64 1536

8

40

x 32 .

480 480

5.

x x 16

480 x 16 480 x 5x

2 80

x

x

2

16x 1536

0

, жауап ретінде оң түбірін аламыз, яғни

Енді оқушы кітапты неше күн оқығанын білу үшін 480:32=15 екенін

табамыз.


4.8. Екі атқыштың әрқайсысы 30 атыстан жасады. Нысанада 40 оқтың

тигені анықталды. Егер бірінші атқыштың әрбір тимеген оғы екінші

атқыштың тиген оғынан 5 есе көп болса, онда әрқайсысы нысанаға

қанша оқтан тигізді?

Шешуі: Бірінші атқыштың x оғы нысанаға тиген және 30 x

оғы

нысанаға тимеген, ал екінші атқыштың y оғы тиген және 30 y

оғы

тимеген.

Есептің шартын пайдаланып, мынандай теңдеулер жүйесін құрамыз:

x

y 40

x y

5

30

x 30 y

84

x 25, y 15.

Демек, нысанаға бірінші атқыштың 25, екінші атқыштың 15 оғы тиген.


4.9. Әр түрлі екі натурал сан алынған. Бұл сандарды қосып, көбейтіп,

үлкен саннан кіші санды азайтып және үлкен санды кіші санға бөлсе,

нәтижесі 441-ге тең болады. Осы сандарды табыңыз.

Шешуі: Айталық, а - ең кіші сан, na- үлкен сан болсын

Есептің шарты бойынша теңдеу құрамыз:

na

a

2

2

2

2 2

a

na

na na

a

441 2na

na n 441 na

1 441 3 7 .

n N.

Осыған байланысты теңдеулер жүйесін құрамыз:

2

2

n 3

n 7

2

немесе

2

2 2

a 1

7

a

1

3

n

9

n

49

немесе .

a

6

a

2

Демек, a 9,

na 54 немесе a 2,

na 98.

Жауабы: 6,54; 2,98.

4.10. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 82 см, ал оның ауданы

720см 2 .Үшбұрыштың катеттерін табыңыз.

Шешуі: Үшбұрыштың бір катетін a , екіншісін b деп

белгілейік.Сонда есептің шарты бойынша

а

2

b2 в 82 2

1

а 720

2

Осы теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіздерді табыңыз:

2

в t

2 2

а

в 6724

ав

1440

a 1440

2

1440 2

, в 6724

b в

в

4 6724в

2 2073600 0

деп белгілейік, сонда

2

t 6724t

2073600 0 ,

6724

45212176

8294400 6724

6076

t

324/ 6400, бұдан

2

2

b 2 324 b 18

, b 2 6400 b 80

Сонымен,үшбұрыштың катеттері 18 сантиметр, 80 сантиметр.

Жауабы: 18 см, 80 см.

4.11. Радиусы 12,5 см дөңгелекке ауданы 168 см 2 тік төртбұрышты

іштей сызу талап етіледі. Осы тіктөртбұрыштың қабырғаларын

табыңыз.

Шешуі: Айталық, x - тіктөртбұрыштың бір қабырғасы болсын,

онда

168 - оның екінші қабырғасы болады.

x

Мынадай теңдеу құрамыз:

x

x

x

t

t

t

t

2

1,2

1

2

x

x

2

4

2

2

2

168

x

625 x

t

625 168

312,5

49

576

49

2

2

576 x

25

168

2

x

0

0

97656 ,25 28224

1/ 2

3 / 4

2

2

7

24

85

312,5 263,5

Демек, тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 7 сантиметр, екінші

қабырғасы 24 сантиметрге тең.

Жауабы: 7 см, 24 см.

4.12. Ұзындығы 150 м, ені 110 м тіктөртбұрыштың участоктың ішінде

бірдей қашықтықта тіктөртбұрышты газон орналасқан. Егер газон

,

ауданы участок ауданының

11 4 бөлігін құрайтыны белгілі болса, онда

газонның ұзындығы мен енінің өлшемдері қандай?

Шешуі: Тіктөртбұрышты участоктың ауданы 150 110

16500

(м²) тең. Онда газонның ауданы 16500 6000 м 2 тең. Егер газон мен

участоктың арасын x м деп белгілесек, онда теңдеу былайша

құрылады:

4

11

( 1502x

)(1102x)

6000

16500

520x

4x

2

6000

0

2

x 130x 2625

0

x

1/

2

65 40 , x 25,

x 95.

x 95 есептің шартын қанағаттандырмайды. Сондықтан x 25.

Ендеше

150 2x 150

225

м, ал ені 110 225

60 м.

Жауабы: 100 м, 60 м.

газонның ұзындығы 100

4.13. Үш санның қосындысы 106-ға тең. Бірінші сан екіншіден 5-ке

артық, ал үшінші сан біріншіден 15-ке артық екені белгілі болса,

белгісіз сандардың кішісін табыңыз.

Шешуі: Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін құрамыз:

x

y z 106

x

y 5

z

x 15

Жүйедегі 2-ші теңдеуден 3-інші теңдеуді азайтып, мынадай теңдеулер

жүйесін аламыз:

Жүйедегі (2)-ші және

жүйесін аламыз:

x

y z 106

x

y 5

y z 20

(3)-ші теңдеулерді қосып, жаңа теңдеулер

x

y z 106

x

2y

z 25

.

Осы жүйені шешіп y 27 , x 32 , z 47 болатынын табамыз. Есептің

шартына байланысты белгісіз сандардың ең кішісі 27 саны болады.

Жауабы: 27.

86

4.14. Екі таңбалы натурал сан мен оған кері тәртіппен жазылған екі

таңбалы санның квадраттарының айырмасы 495-ке тең. Осы

сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: Егер x бірліктің цифры болса, ал y ізделінді санның

ондығының цифры болса, онда

2

2

10

x y 10

y x 495

100 x

2

20xy

y

99x

2

2

100

y

99 y

2

2

20xy

x

495

2

495

2 2

x y 5

x

yx

y 51

x

y 5

x

y 1

2x 6 x 3, y 2.

10x y 32, 10y x 23,

демек, сандардың қосындысы 32 23 55 .

Жауабы: 55.

4.15. Екі таңбалы сан өзінің цифрларының қосындысынан үш есе

артық, ал осы қосындының квадраты үш еселенген ізделінді санға тең.

Осы санды табыңыз.

Шешуі: Егер x - бірліктің цифры болса, ал y - ізделінді санның

ондығының цифры болса, онда

10

y x 3x

y

2

x

y 310

y x

Жүйені шешіп, белгісіздерді табамыз:

10

y x 3x

3y

7

y 2x

2 2

2 2

x

2xy

y 30 y 3x

x

y 2xy

3x

30 y 0

7y

x ; 49 2

y 7y

7y

y

2 2 y 3

30 y 0

2 4 2 2

2 2 2

49 y 4y

28 y 42 y 120

y 0 81 2 2

y 162

y 0 y 2y

0

y 0, y 2 x 0, x 7 . Ізделінді сан 10y

x 102

7 27

болады.

Жауабы: 27.

87

4.1. Өз бетінше орындауға арналған жаттығулар

4.16. Квадраттарының айырымы 45 –ке тең екі натурал санды табыңыз.

Жауабы: (23;22), (9;6), (7;2).

4.17. Екі санның айырымы 48-ге тең, ал бұл сандардың арифметикалық

ортасы мен геометриялық ортасының айырымы 18-ге тең. Осы

сандарды табыңыз.

Жауабы: 49;1.

4.18. Екі таңбалы санның цифрларының қосындысы 12-ге тең. Егер

ізделінді санға 36-ны қосса, онда шығатын сан сол цифрлармен кері

тәртіпте жазылар еді. Сол санды табыңыз.

Жауабы: 48.

4.19. Емтихан тапсыратын 108 оқушы шығарма жазды. Оларға 480

парақ қағаз үлестіріліп берілді, сонда әрбір қыз бала әрбір ер баладан

бір парақ қағаз артық алды, ал барлық қыз балалар қанша парақ қағаз

алса, емтихан тапсырушылардың ішіндегі барлық ер балалар да сонша

парақ қағаз алған. Қыз балалар қанша, ер балалар қанша?

Жауабы: 48 қыз, 60 ер бала.

4.20. Үш санның қосындысы 106-ға тең. Бірінші сан екіншіден 5-ке

артық, ал үшінші сан біріншіден 15-ке артық болса, белгісіз сандардың

кішісін табыңыз.

Жауабы: 27.

4.21. Ойда бүтін оң сан бар. Оның жазылуының оң жағына 5 цифрын

тіркеп жазып, осы шыққан жаңа саннан ойдағы санның квадратын

шегерген. Айырманы ойдағы санға бөліп, одан кейін бөліндіден ойдағы

санда шегерген. Сонда бір сан шыққан. Ойдағы қандай сан еді?

Жауабы: 5.

4.22. Егер екі таңбалы санды оның цифрларының қосындысына бөлсе,

онда бөлінді 4-ке тең болып, 3 қалдық қалады. Егер де осы санды оның

цифрларының көбейтіндісіне бөлсе, онда бөлінді 3-ке тең болып, 5

қалдық қалады. Сол санды табыңыз.

Жауабы: 23.

4.23. Мектептің акт залында 500 орындық қатарластырып қойылған, әр

қатардағы орындықтар саны бірдей. Кейін әр қатарға бұрынғысынан 5

орындық артық қойылған, оның есесіне қатар саны 5-ке кеміген.

Осының нәтижесінде акт залындағы жалпы орын саны бұрынғы

орындықтар санының оннан біріндей кеміген. Залда неше қатар болған

және әр қатарда неше орындық болған?

Жауабы: 25 орындық, 20 қатар.

88

4.24. Үш таңбалы сан 2 цифрымен аяқталады. Егер оны санның басына

жазса, енді шыққан санның бастапқыдан 18-і артық болады. Осы санды

табыңыз.

Жауабы: 202.

4.25. Тасшылар бригадасы 432 м 3 тас қаламақшы болып еді, бірақ 4 адам

жұмысқа шықпай қалды. Енді әр жұмысшы бастапқы шамаланғанынан 9

м 3 тас артық қалауға тиісті болған. Бригадада барлығы неше жұмысшы

болған?

Жауабы: 16.

4.26. Автобус ішінде 50 бала бар. Аялдамада автобустан 5 ұл, 5 қыз түсіп

қалғаннан кейін ұлдардың саны қыздардан 3 есе көп болды. Бастапқыда

ұлдардың саны қанша болды?

Жауабы: 35.

4.27. Сатушы сатқан тауарынан 25% пайда келтіреді. Нарық жағдайына

байланысты сатушы тауардың бағасын 25% - ға арзандатты да, оны 405

теңгеден сатты. Тауардың алғашқы бағасын табыңыз.

Жауабы: 432.

4.28. Әкесі мен үш ұлының жастарының қосындысы 56-ға тең. Үш ұлдан

соң шешесі мен үш ұлының жастарының қосындасы 62-ге тең болар еді.

Осыдан үш жыл бұрын әкесі мен шешесінің жастарының қосындысы

олардың жас айырмасынан 10 есе артық болса, онда әкесінің жасы нешеде

болғаны?

Жауабы: 36.

4.29. 700 пакет тауарды машинамен немесе жұмысшының көмегімен

көшіру керек. Машина 60 пакетті 80 теңгеге апарады, ал жұмысшы 20

пакетті 30 теңгеге апарады. Осы жүкті тасу үшін ең кем дегенде қанша

теңге ақша керек болады?

Жауабы: 940.

4.30. Математикадан емтихан тапсырғанда емтиханға қатысушылардың

15-і бір де бір есеп шығара алмаған. 144 адам есептерді шығарғанда қате

жіберген, ал барлық есептерді тура шығарғандар санының атымен есеп

шығара алмағандар санына қатынасы 5:3 болған. Математикадан неше

адам емтихан тапсырған?

Жауабы: 240.

4.31. Екі санның айырмасы 6-ға тең, біріншісінің 30%-і екіншісінің 42%-

не тең. Осы сандарды табыңыз.


4.32. Тізбектес екі натурал санның көбейтіндісі олардың кішісінен 2 есе

үлкен. Осы сандарды табыңыз.

Жауабы: (1; 2).

89

4.33. Тізбектес үш натурал сандардың көбейтіндісі олардың

ортасындағы саннан 3 есе үлкен. Осы сандарды табыңыз.

Жауабы: (1; 2; 3).

4.34. Егер тізбектес 5 бүтін санның алғашқы үшеуінің квадраттарының

қосындысы соңғы екеуінің квадраттарының қосындысына тең екені

белгілі болса, осы сандарды табыңыз.

Жауабы: (10; 11; 12; 13; 14), (-2; -1; 0; 1; 2).

4.35. 160 метрлік канализациялық жүйені іске қосу үшін ұзындығы 800

мм және 1200 мм 150 керамикалық трубалар пайдаланылды. Осы

трубалардың әрқайсысынан қаншадан алынды?

Жауабы: 50; 100.

4.36. Салымшы банкке салынған ақшасының алдымен

4 1 бөлігін,

келесі жолы қалған ақшасының

9 4 бөлігін және 640 теңге алды. Содан

кейін банкте барлық ақшасының

20 3

бөлігі қалды. Алғашқыда банкке

салған ақшасы қанша теңге еді?


4.37. Екі санның геометриялық ортасы кішісінен 12-ге артық, ал сол

сандардың арифметикалық ортасы үлкенінен 24-ке кем. Осы сандарды

табыңыз.


4.38. А нүктесінде тұрған ит өзінен 30 м жерде тұрған түлкіні қуды. Ит

бір секіргенде 2 м, ал түлкі бір секіргенде 1 м жерге барады. Түлкі үш

рет секірген уақытта ит екі рет секіреді. Ит А нүктесінен қандай

қашықтықта түлкіні қуып жетеді.


4.39. 60 тонна жүкті тасу үшін бірнеше жүк тасымалдаушы машинаға

тапсырыс берілген еді. Әрбір жүк машинасына 0,5 тонна кем

тиелгендіктен қосымша тағы да 4 жүк машинасы қажет болды.

Алғашқыда неше жүк машинасына тапсырыс берілген еді?

Жауабы: 20.

4.40. Сыныптағы әр оқушы сыныптағы өз жолдастарын мейраммен

құттықтауды ойлады. 1332 құттықтау ашық хат жолдаған болса,

сыныпта қанша оқушы болғаны?

Жауабы: 37.

4.41. Математикадан бақылау жұмысын жазған сынып оқушыларының

12%-і есептерді мүлде шығара алмады, 32%-і шығарған есептерде

90

қателер жіберді, ал қалған 14 оқушы дұрыс шығарды. Сыныпта қанша

оқушы болды?

Жауабы: 25.

4.42. 45 т жүкті тасымалдау үшін бірнеше жүк машинасына тапсырыс

берілген. Бірақ базадан жүк көтерімділігі 2 т машиналар бөлгендіктен,

бұрынғыдан 6 машина артық алынған. Жүкті неше машина тасыды?

Жауабы: 15.

4.43. Айлақта екі орындық және үш орындық барлығы 6 қайық тұрған

еді. Осы қайықтарға 14 адам орналастыруға болады. Айлақта неше екі

орындық қайық, неше үш орындық қайық қайық тұрған еді.


4.44. Турбазадағы шатырлар мен үйлердің жалпы саны 25. Әр үйде 4

адам, ал әр шатырда 2 адам тұрады. Турбазада барлығы 70 адам

демалып жатқандығы белгілі болса, онда қанша үй және қанша шатыр

бар екендігін табыңыз.

Жауабы: 10 үй, 15 шатыр.

4.45. Оқушылардың екі тобы әрқайсысы 24 теңгеден төлеп, театрға

билет алды. Бірінші топтың әр билеті екінші топтың әр билетінен 20

тиын қымбат болғандықтан, олар екінші топқа қарағанда 10 билет кем

алды. Бірінші топ қанша билет сатып алды?

Жауабы: 30 билет.

4.46. Екі санның қосындысы 2490. Егер оның біреуінің 8,5%-і

екіншісінің 6,5%-не тең болса, онда осы сандарды табыңыз.

Жауабы: 1079; 1411.

4.47. Жұмысшылар бригадасы 360 деталь дайындап шығуы керек еді.

Күніне белгіленген жоспарынан 4 детальды артық жасағандықтан

бригада барлық тапсырманы белгіленген мерзімнен 1 күнге ерте

бітірді. Осы тапсырманы орындауға бригада қанша күн жұмсады?


4.48. Екі орынды санның цифрларының қосындысы 12 тең. Егер осы

санның цифрларының орындарын ауыстырса, онда жаңа құрылған сан

алғашқысынан 18-ге артық болмақ. Алғашқы санды табыңыз.

Жауабы: 57.

4.49. Бір сан екіншісінен 4-ке артық. Ал олардың квадраттарының

айырмасы 56-ға тең. Осы сандарды табыңыз.


4.50. Бір сан екінші саннан 5-ке кем. Кіші сан квадраты мен үлкен сан

квадратының айырмасы 85-ке тең. Осы сандарды табыңыз.

Жауабы: -6 және -11.

91

4.51. Тік төртбұрыш периметрі 26 см, ауданы 36 см 2 . Қабырғалар

ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 4 см және 9 см.

4.52. Тік төртбұрыш ауданы 14 см 2 , ал бір қабырғасы екіншісінен 5 см

артық болса, онда қабырғалар ұзындықтары қандай болғаны?

Жауабы : 2 см және 7 см.

4.53. Ауданы 84 см 2 тік төртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 5 см

ұзын. Қабырғаларын табыңыз.


4.54. Екі санның қосындысы 120, ал айырмасы 5. Осы сандарды табыңыз.

Жауабы: 62,5 және 57,5.

4.55. Екі натурал санның біреуі екіншісінен 4-ке кем, ал көбейтіндісі 192-

ге тең. Осы натурал сандарды табыңыз.


4.56. 135 м-лік сым екі бөлікке бөлінді. Бұл сымның бір бөлігі

екіншісінен 2 есе ұзын. Осы бөліктердің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 45 м; 90 м.

4.57. Үш дәптер және бес блокнотқа 49 теңге төленді. Егер екі дәптер үш

блокноттан 1 теңге қымбат болса, онда дәптер мен блокноттың жекежеке

бағалары қанша?

Жауабы: 8 теңге, 5 теңге.

4.58. Жанат пен Раушан саңырауқұлақтар терді.

-Раушан, сенде қанша саңырауқұлақ бар?-деп сұрады Жанат.

-30 - деді Раушан.

-Ал сенде ше?

-Сенде қанша болса менде сонша, тағы барлық жиналған

саңырауқұлақтың үштен бір бөлігі деп жауап берді Жанат.

Сонда жанатта қанша саңырауқұлақ болғаны?

Жауабы: 60.

4.59. Белгісіз сан мен оның цифрларының қосындысының көбейтіндісі

144 болса, бірлігі ондығынан екіге артық екі таңбалы санды табыңыз.

Жауабы: 24.

4.60. Егер екі еселенген бірінші мен үш еселенген екінші санның

қосындысы 23, ал төрт еселенген екінші сан үш еселенген біріншісінен

8-ге артық болса, онда әрбір сан қаншаға тең?

Жауабы: 4; 5.

4.61. Мектеп бітірушілер бір-біріне суреттерін сыйлады. Егер 870 сурет

алмастырылған болса, мектеп бітірушілер саны қанша болғаны?

Жауабы: 30.

92

4.62. Екі санның геометриялық ортасы, кішісінен 12-ге артық, ал сол

сандардың арифметикалық ортасы үлкенінен 24-ке кем. Осы сандарды

табыңыз.


4.63. 60 тонна жүкті тасу үшін бірнеше машина тапсырыс берілген еді.

Әрбір машинаға 0,5 тонна кем тиегендіктен қосымша тағы да 4 машина

қажет болды. Алғашқыда неше машинаға тапсырыс берілген еді?

Жауабы: 20.

4.64. Әкесіне 50 жас, ал ұлына 20 жас. Бұдан неше жыл бұрын әкесі

ұлынан 3 есе үлкен болып еді?

Жауабы: 5.

4.65. Екі тізбектес натурал санның квадраттарының қосындысы сол

сандардың көбейтіндісінен 57-сі артық. Осы сандарды табыңыз.


4.66. Студент емтиханға дайындық кезінде оқулықтың 120 бетін

оқыды, ал бұл барлық кітаптың 75%-ін құрайды. Оқулықта барлығы

қанша бет бар?

Жауабы: 160.

4.67. Тасбақа өзенге дейін 4 сағат жорғалап барды, сол 4 сағаттың әрбір

келесі сағатында алдында жүрген жолындағыдан екі есе аз жол

жорғалап отырды. Егер оның барлық жүрген жолы 90 м болса, онда

алғашқы бірінші сағатында қанша жол жүргенін табыңыз.


4.68. Екі таңбалы натурал сан мен оған кері тәртіппен жазылған екі

таңбалы санның квадраттарының айырмасы 495-ке тең. Осы


Жауабы: 55.

4.69. Қандай да бір берілген екі таңбалы сан өзінің цифрларының

қосындысынан 9-ы артық, ал сол санның квадраты екінші цифрының

квадратынан 180-і артық. Берілген санның квадраты неге тең?

Жауабы: 196.

4.70. Тізбектес екі натурал санның көбейтіндісі 182-ге тең. Осы


Жауабы: 27.

4.71. Екі санның айырмасы 2, ал олардың квадраттарының айырмасы

16. осы сандарды табыңыз.


93

4.72. Үш таңбалы сан 3 цифрымен аяқталады. Егер осы цифрды солға,

яғни басына апарып қойса, онда үш еселенген санның 1-і артық

болатындай жаңа сан пайда болды. Осы санды табыңыз.

Жауабы: 103.

4.73. Үш күнде 1400 кг картоп сатылды. Бірінші күні екінші күнге

қарағанда 100 кг аз, ал үшінші күні бірінші күні сатылған картоптың

5

3

сатылды. Әрбір күні қанша килограмм картоп сатылды?

Жауабы: 500; 600; 300.

4.74. Тек бір ғана цифрлардын тұратын екі таңбалы жай сандардың

айырмасы толық квадратқа тең болатын болса, онда осы сандарды

табыңыз.


4.75. Ізделінді сан 400-ден артық, ал 500-ден кем. Оның цифрларының

қосындысы 9-ға тең және сол цифрлармен кері тәртіпке жазылған

санның 47 бөлігіне тең екендігі белгілі. Ізделінді санды табыңыз.

36

Жауабы: 423.

4.76. Егер екі таңбалы санның екі цифрының арасында нөлді тіркеп

жазсақ, онда бастапқы берілген саннан 9-есе артық болатын үш

таңбалы сан шығады. Екі таңбалы санды табыңыз.

Жауабы: 45.

4.77. Құрылыс командасы 32 еріктілерден тұрады. Олардың

әрқайсысы бір немесе екі құрылыс мамандығы бойынша: тас қалаушы,

бетоншы, ағаш ұстасы. Ағаш ұстасы мамандығындағы еріктілер,

бетоншы мамандығындағы еріктілерден 2 есе артық және тас қалаушы

мамандығындағы еріктілерден n есе кем 3≤n≤20 (n- бүтін сан).

Командадағы қанша еріктілер тек бір мамандықты біледі. Егер

еріктілер екі мамандықты да меңгерген болса, онда олар ағаш ұсталары

еріктілерден 2-ге артық .

Жауабы: 26.

4.78. Екі бригада да жерқазушылар бірдей құдық қазды. Екінші

бригада біріншіден жарты сағатқа артық жұмыс істеді. Егер бірінші

бригадада 5 адамға артық болса, онда ол жұмысын 2 сағатқа ерте

бітіретін еді. Егер барлығының еңбек өнімділігі бірдей болса, онда әр

бригададағы құдық қазушылардың санын анықтаңыз.

Жауабы: 25 және 26 адам.

4.79. 3(u-3)²+6v²+2w²+3v²w²=33 шартынан барлық u, v, w үш бүтін

сандарын табу.

Жауабы: (6;1;0),(6;-1;0),(0;1;0),(0;-1;0).

94

4.80. Вазада екі түрлі сортты кәмпит жатыр. Бірінші сорт кәмпиті

екінші сорт кәмпитіне қарағанда 20 данаға артық. Бірінші сорттағы бір

кәмпиттің салмағы-2г, ал екінші сорттікі- 3г. Вазадан бірінші сорттың

кәмпитін алды, оның салмағы вазадағы кәмпиттер салмағының

бөлігін құрайды. Одан кейін басқа сорттың 20 кәмпитін алды, оның

салмағы вазада қалған кәмпиттер салмағымен бірдей. Бастапқыда әр

сорттың неше кәмпиттері болды?

Жауабы: 45 кәмпит бірінші сорт және 20 кәмпит екінші сорт.

4.81. Тікелей жолда кезекпен A,B,C,D нүктелері орналасқан. A

нүктесінен B,C және D нүктесіне дейінгі арақашықтық 1:2:4

қатынасында орналасқан. A-дан D-ға дейінгі бағытта, автобустар

бірдей жылдамдықпен келеді. A-дан D-ға дейін әртүрлі уақытта 3 жаяу

жүргінші шықты және бір жол бойымен бірдей жылдамдықпен жүріп

келеді. Бірінші жаяу жүргінші A нүктесінен шығып, B нүктесіне

жеткенге дейін 3 автобус озды. Екінші жаяу жүргінші A нүктесінен

шығып, C нүктесіне жеткенге дейін 4 автобус озды. А нүктесінен

шыққан кезде, автобус А нүктесінен өтпегені белгілі. Үшінші жаяу

жүргінші А нүктесінен шығып , D нүктесіне келді, осы нүктелер

арқылы кезекті автобустар өтті. А -дан D-ға дейін неше автобус үшінші

жаяу жүргіншіден озды?

Жауабы: 8 автобус.

4.82. Белгілі бір мектептің оқушылары саны үш таңбалы сан болып,

орта есеппен әр сыныпта 36 оқушы бар. Егер мектептегі барлық

оқушылар санының жүздік орны мен ондық орындарын алмастырсақ

оқушылар саны бұрынғыдан 180-ге кемиді. Онда осы мектептегі

оқушылар саны ең көп болғанда неше адам?

Жауабы: 972 адам.

Шешуі: Айталық, мектептегі барлық оқушылар саны abc болсын. Онда

abc bac 180,

100

b 10a

c 180,

100a

10b

c

100a

10b

c 100b

10a

c

180,

90a

90b

180,

a b 2.

Онда мектептегі оқушылар саны ең көп болу үшін,

a 9,

b 7

болу

керек, барлық оқушылар санын 97 c деп өрнектейік. Орта есеппен әр

сыныпта 36 оқушы болғандықтан,

97 c

саны 39-ға бөліну керек. 36=4×9,

95

болғандықтан,

97 c

саны 4-ке, 9-ға бөліну керек. c=2 болғанда шартқа

сәйкес келеді.

Жауабы: 972 адам.

4.83. Зауытта бірнеше бірдей пресс аппараты, детальдарды

мөртаңбалайтын құрылғы бар. Сондай-ақ зауыт күніне 6480 бөлшек

шығарады. Қайта қалпына келтіру жұмыстарынан кейін пресс

аппараты бірдей заманауи түріне ауыстырылды да, детальдарды жасау

өнімділігі 3 есеге артты. Енді зауыт күніне 11200 бөлшек шығара

бастады. Бастапқыда неше пресс аппараты болды?

Жауабы: 5.

4.84. Автобаза балаларды туристік демалыс барысында тасымалдау

үшін автобустармен қамтамасыз етті. Балаларды автобустың бір бөлігі

туристік экскурсияға 1 маршрут бойынша, ал алдыңғыдан 4 автобусқа

көп бөлігін екінші маршрут бойынша алып кетті. Бірінші маршрут

бойынша 195 оқушы, ал екінші маршрут бойынша 255 оқушы болды.

Кез-келген екі автобус балаларды бірінші маршрутпен алып барғаны

белгілі болса, ондағы балалар санының айырмасы 1 балаға ғана

болатын, ал әр түрлі маршрутпен екі автобуспен тасымалданатын

балалар санының ең үлкен айырмасы 5-ке тең. Қанша автобус болды?

Жауабы: 18 автобус

4.85. Зауыт P типті 6000 бөлшек және Q типі 2000 бөлшек дайындауға

тапсырыс алды. 214 жұмысшының әрқайсысы зауытқа P типті 5

бөлшек дайындауға кететін уақытында Q типті 3 бөлшек дайындай

алады. Екі бригаданың да жұмыс уақыты бірдей болуы міндетті және

бригаданың әрқайсысы тек бір ғана типтегі бөлшектерді дайындай

алатындай етіп бөлінуі үшін, тапсырысты аз уақыттың ішінде орындау

үшін, зауыттағы жұмыскерлерді қалай 2 бригадаға бөлуге болады?

Жауабы: 137 және 77 адам.

4.86. Бірдей өнімділікпен жұмыс істейтін қырық тоғыз жұмысшы екі

бригадаға бөлінді, олардың әрқайсысы бірдей картоп жинады.

Бірінші бригада екінші бригадаға қарағанда жұмысын 1 сағат кеш

аяқтады. Екі бригада да демалыс үзілісімен жұмыс істеді. Екінші

бригада сағаттан кем емес және сағат артық емес уақыт демалды.

Егер екі бригада да үзіліссіз жұмыс істесе, бірінші бригада картопты

есе артық, ал екінші бригада есе артық жинайтын еді. Әр бригада да

неше жұмысшы бар?

Жауабы: Бірінші бригада 21, екінші бригада 28 адам.

96

4.87. А нүктесінен В нүктесіне дейін теміржол арқылы 20 үлкен және

250 шағын контейнерлерді тасымалдау керек. Бір вагонға

әрқайсысының салмағы 2 тоннаны құрайтын 30 шағын контейнер

кіреді. Үлкен контейнер 9 шағын орынды алады және салмағы 30

тоннаны құрайды. Вагонның тасымалдау қабілеті 80 тонна.

Тасымалдауға жеткілікті барлық контейнерлердің ең аз вагондар

санын табу.

Жауабы: 15 вагон.

4.88. Алты таңбалы санның оң жағындағы бірінші цифр 5. Осы

цифрды оң жағынан алып, сол жағынан бірінші етіп орналастырсақ,

алғашқы саннан 4 есе артық сан аламыз. Алғашқы санды табыңдар?


4.89. Егер екі таңбалы ізделінді санды оның цифрларының

қосындысына бөлгенде бүтін бөлігі 4, ал қалдығы 3 болса, және

ізделінді саннан оның екі еселенген цифрларының қосындысын

азайтқанда айырма 25 болса, онда осы екі таңбалы санды табыңыз.

Жауабы: 47.

4.90. Егер екі таңбалы санды оның цифрларының қосындысына

бөлсек, 6 бүтін 2 қалдық қалады. Егер осы санды цифрларының

көбейтіндісіне бөлсек 5 бүтін 2 қалдық қалады. Екі таңбалы санды

табыңыз.

Жауабы: 32.

4.91. Төрт таңбалы натурал А санының соңғы цифры 1-ге тең.

Мыңдық пен жүздік разрядында тұрған цифрлар арқылы құралған екі

таңбалы сан, ондығында тұрған цифр арқылы жазылған және

бірлігінде тұрған цифр арқылы жазылған сандар арифметикалық

прогрессияның қатар тұрған үш мүшесін құрайды. Көрсетілген

жағдайларды қанағаттандыратын барлық А сандарынан ондығы мен

жүздігі ең аз мәнге ие болатынын табыңыз.

Жауабы: 1791.

4.92. Екі таңбалы сан А-ның цифрларының қосындысы 14-ке тең. Егер

осы санға 46 қоссаң, онда цифрларының қосындысы 6-га тең сан

шығады. А санын табу керек.

Жауабы: 77 немесе 86.

4.93. Алты танбалы санның бірінші цифры 2-ге басталады. Егер осы

цифрды бірінші орнынан ең соңғы орынға ауыстырып, қалған 5

сандардың ретін сақтай отырып жылжытсақ, пайда болған сан

бастапқы саннан 3 есе көп болады. Бастапқы санды тап.


97

4.94. Егер туған жылының цифрларының қосындысы 21-ге тең болса,

ал туған күніне 5355 санын қоссақ онда туған жылының сандары теріс

жазылған сан шығады. Ендеше осы адамның туған жылын анықтау

керек.

Жауабы:1596.

4.95. Егер екі таңбалы санды, цифрларының қосындысына бөлсек 3

бүтін 7 қалдық қалады. Ал осы цифрлардың квадраттарының

қосындысынан осы цифрлардың көбейтіндісін алып тастасақ, онда

бастапқы сан шығады. Екі таңбалы санды тап.

Жауабы: 37.

4.96. Екі таңбалы санның бірінші цифры оның екінші цифрынан 4-ке

артық, ал осы цифрлардың көбейтіндісі 21-ге тең. Осы екі таңбалы

санды табыңдар.

Жауабы: 73

4.97. Бірдей сандарда жазылған екі үш таңбалы санның суммасы, бірақ

керісінше 1252. Бұл сандардың ең үлкенін, егер олардың

әрқайсысының сандарынын суммасы14 болса және сандардың

квадраты 84-ке тең.

Жауабы: 824.

4.98. Үш таңбалы санның цифрларының қосындысы 11-ге тең, ал

цифрларының квадраттарының қосындысы 45-ке тең. Егер ізделінді

саннан 198 –ді алып тастасақ теріс жазылған сол сан шығады. Осы

санды тап.

Жауабы: 452.

4.99. Екі таңбалы санның цифрларының квадраттарының қосындысы

оның цифрларының 3 еселенген көбейтіндісінен 1-ге артық. Бұл екі

таңбалы санды цифрларының қосындысына бөлгенде 7 бүтін сан 6

қалдық қалады. Осы екі таңбалы санды тап.

Жауабы: 83.

4.100. Кітап беттері 559 цифрмен нөмірленген. Егер кітап беттері

оның үшінші бетінен бастап нөмірленсе, кітапта барлығы неше бет

болғаны?

Шешуі: Айталық 1 таңбалы 9-сандарда 9-цифр пайдаланады, 2

таңбалы 90-санда 180-цифр пайдалынады. Кітап 3-ші беттен

нөмірленсе, онда 1 таңбалы сандардан 7-цифр пайдаланылады.

Ендеше 559-187=372, 372-цифр ол 3 таңбалы сандар болады, демек

372:3=124. 124+90+9=223

Жауабы: 223

98

4.101. Мұқағали Мақатаевтың «Қара саздан ұшқан қарлығаш» атты

кітабының беттерін нөмірлеу барысында 552 цифр қолданылды. Бұл

кітап неше беттен тұрады?

Шешуі: Айталық 1 таңбалы 9-санда 9-цифр пайдаланылады, 2

таңбалы 90-санда 180-цифр пайдаланылады. Ендеше 552-189=363,

363-цифр ол 3 таңбалы сандар болады, демек 363:3=121.

121+90+9=220

Жауабы: 220

4.102. Кітап беттерін нөмірлеу үшін 3301 цифр қолданылды. Кітапта

неше бет барын анықтаңыз.

Шешуі: Айталық 1 таңбалы 9-санда 9-цифр пайдаланылады, 2

таңбалы 90-санда 180-цифр пайдаланылады. 3 таңбалы 900 санда

2700 цифр бар. Ендеше 3301-(2700+180+9)=412, 412-цифр ол 4

таңбалы сандар болады, демек 412:4=103. 103+900+90+9=1102.

99

Жауабы: 1102 бет

4.103. Абылай 1-ден 1000-ды қоса алғандағы натурал сандарды жазып

шықты. Ол қанша цифр пайдаланды?

Шешуі: 1 таңбалы 9-санда 9-цифр пайдаланылады, 2 таңбалы

90-санда 180-цифр пайдаланылады. 3 таңбалы 900 санда 2700 цифр

бар. Ендеше 2700+180+9+4= 2893

Жауабы: 2893

4.104. Кітаптің беттерін 1-ден бастап нөмірлеу үшін 2775 цифр

қолданылды. Кітапта қанша бет бар?

Жауабы: 961

4.105. Кітаптің бет санын 1-ден бастап таңбалағанда 282 цифр

қолданылған. Кітап қанша беттен тұрады?

Жауабы: 130

4.106. Көркем әдеби кітаптың парағын нөмірлеу үшін 963 цифр

қажет. Кітап қанша беттен тұратынын тап.

Жауабы: 357



Жауабы: 160



Жауабы: 170










4.112. Абылай 1-ден 1000-ды қоса алғандағы натурал сандарды жазып

шықты. Ол қанша цифр пайдаланды?

Жауабы: 2893

4.113. Барлық беттерін нөмерлеуге 35 цифр қолданылатын кітап

беттерінің санын анықта.

Жауабы: 22

4.114. Дәптердің бетін 1-ден бастап нөмерлеуге 87 цифр кеткен болса,

бұл дәптердің беттерінің санын тап.

Жауабы: 48

4.115. Кітаптың бетін 1-ден бастап нөмерленсе , онда 333 цифрмен

нөмерленген кітапта барлығы неше цифр бар?

Жауабы: 147

4.116. Кітап беттерін нөмерлеу үшін 501 цифр пайдаланылған. Осы

кітапта барлығы неше бет болғаны?

Жауабы: 203

4.117. Кітап беттерін нөмерлеу үшін 513 цифр пайдаланылды. Осы

кітапта барлығы неше бет болғаны?

Жауабы: 207

4.118. Кітап беттерін нөмірлеу барысында 852 цифр қолданылды. Бұл

кітап неше беттен тұрады?

Жауабы: 320

4.119. Кітапта барлығы 645 бет бар. 85-ші беттен 345-ші бетке дейін

нөмірлеуге неше цифр қолданылды?

Жауабы: 768.

100

5. Пайыздық қоспалар мен концентрацияларға

берілген есептер

Концентрация мен пайыздық қоспаларға берілген есептер негізінен

келесі түсініктер мен формулаларды пайдалану арқылы шығарылды.

Айталық үш түрлі A, B және C деген заттар берілсін, және олардың

массасы M

A, M

B

, M

C болсын. Осы үш заттың қосындысынан тұратын

заттың массасы M

A

M

B

M

C болады.

Қандай да бір A заттың массалық концентрациясы деп C

A

шамасын

айтамыз да, ол келесі формуламен есептеледі

101

C

M

A

;

A

M

A

M

B

M

C

Сәйкесінше қоспадағы B, C заттарының массалық концентрациялары

келесі формулалар мен есептеледі.

C

M

B

;

B

M

A

M

B

M

C

C

M

C

.

C

M

A

M

B

M

C

C

A, CB

, CC

массалық концентрациялары бір-бірімен келесі теңдеу

арқылы байланысты.

C C C 1.

A

B

C

A, B және C заттарының пайыздық құрамы деп, сәйкес

шамаларын айтамыз және олар келесі формулалармен есептелінеді.

p A

% C A

100% , p B

% C B

100%

, p C

% C C

100%

Осындай формулалармен бірнеше қоспалардың да пайыздық

бөліктерін білуге болады.

Заттардың көлемдік концентрацияларын да осындай

формулалармен анықтауға болады, бірақ онда M

A,

M

B

, M

C -ардың

орнына V

A,

VB

, VC

- ларды аламыз. Бұл жағдайда, көлемдік

концентрациялар туралы есеп болғандықтан алдын-ала заттарды

араластырғанда қоспа көлемі компоненттердің көлемінің

қосындысына тең болуы керек.

5.1. 90 литр мұнайда 10% қышқыл бар. Қышқылдың концентрациясы

5% болу үшін қанша таза мұнай қосу керек?

10%

Шешуі: 90 9 литр қышқыл бар. Егер x литр таза мұнай

қоссақ, онда

100%

90

x5%

9

x 90 180 x 90

100%

%, pB

%, pC

%

(литр) болады. Демек,

қышқылдың концентрациясы 5 % болуы үшін 90 литр таза мұнай қосу

керек.

Жауабы: 90л.

p

A

5.2. 950 пробалық алтын мен 800 пробалық мысты 2 кг таза алтынмен

қорытады. Нәтижесінде салмағы 25 кг болатын 906 пробалы жаңа

қорытпа пайда болады. Алғашқы екі қорытпаның салмақтарын

есептеңіз.

Шешуі: P - қорытпаның жалпы салмағы, p - “асыл металдың”

салмағы, t -проба деп белгілеу енгізейік.

102

екені белгілі. Айталық,

бірінші қорытпадан x кг, екінші қорытпадан y кг алынсын. Сонда

мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:

x

0,950 y 0,800 2 25 0,906

x

y 2 25

x 23 y

0,95023

y

0,800y

20,65 0

21,85

0,95

0,8 y 20,65 0

0,15y

1,2

y 8 , x 15

.

Демек, алтынның қорытпасы 15 кг, мыс 8 кг болған.


5.3. Қандай да бір қорытпа біреуінде 1:2 қатынасындай, екіншісінде 2:3

қатынасындай болатын екі металдың қоспасынан тұрады. Құрамында

осы металдар 17:27 қатынасында болатындай етіп осы қоспаның неше

бөлігінен үшінші қорытпаны алуға болады?

Шешуі: Айталық, үшінші қорытпа бірінші қоспаның x бөлігін,

екінші қоспаның y бөлігін құрайды, яғни бірінші қоспадағы x

килограмм қорытпаға екінші қоспадағы y килограмм қорытпа сәйкес

келеді. Сонда x y

килограмм үшінші қорытпада x y килограмм

бірінші металл және

шарты бойынша

1 2 2 3

x y

: x y

3 5 3 5

17

27

2

3

3

x y

5

p

t

P

килограмм екінші металл бар. Есептің

. Ортақ бөлімге келтіріп, оларды y -ке бөліп

төмендегіні аламыз: 5

6

: 10

9

, бұдан . Демек, үшінші

x

y

x

y

қорытпаны алу үшін бірінші қоспаның 9 бөлігін, екінші қоспаның 35

бөлігін алу керек.

Жауабы: 9:35.

17

27

x

y

1

3

9

35

2

5

5.4. Егер 225 килограмм рудадан 34,2 килограмм мыс алуға болатын

болса, онда рудадағы мыстың пайыздық құрамы қандай?

Шешуі: Есептің шарты бойынша пропорция құрамыз:

225

100

34,2 34,2100%

x 15,2%

x

225

.


5.5. Құрамында сәйкес 5% және 40% никелі бар екі түрлі қорытпа бар.

Әрқайсысының құрамында 30% никель болатындай етіп 140 тонна

қорытпадан неше килограмм қорытпа алуға болады?

Шешуі: Бірінші қорытпаны x тонна делік, онда 0,05x

тонна

никель бар. Екінші қорытпаны 140 x

тонна делік, онда 0,40140 x

тонна никель бар.

Жалпы мөлшері 140 тонна қорытпада есептің шарты бойынша 0,30140

тонна никель бар. Сондықтан 0,05x

0,40140

x 0,30140

x 40.

Демек, екінші қорытпада 100 тонна никель болады.


5.6. Біріншісі 0,8 кг, ал екіншісі 0,6 кг сусыз сірке қышқылын құрайтын

екі қоспаны біріктіріп, салмағы 10 кг болатын сірке қышқылының

жаңа қоспасы алынды. Егер бірінші қоспада сірке қышқылының 10%

артық екені белгілі болса, онда аралас қоспадағы бірінші және екінші

қоспалардың салмақтарын есептеңіз.

Шешуі: Айталық, бірінші қоспаның салмағын x кг, екінші

қоспаның салмағы 10 x

кг болсын. Сонда есептің шарты бойынша

келесі теңдеуді құрамыз:

0 2

,8 100

0,6 100

x 10 x

103

. Бұдан 1

4,

деген екі түбірі шығады. Есептің шартын x 2

20 түбірі

қанағаттандырмайтындықтан, x 1

4 түбірін аламыз. Сонымен,

бірінші қоспаның салмағы 4 кг, екінші қоспаның салмағы 6 кг болады.


5.7. Мыс пен мырыштан жасалған 24 килограмм қорытпа суға

8

батырылған кезде өз салмағынан 2 килограмм жоғалтады. Егер,

мыстың суда өзінің салмағының

салмағының

80 60

10

10

x

x 10 x

2

14 %

7

24x

80 0

9

1

11 %

9

-ын, ал мырыштың өз

-ын жоғалтатыны белгілі болса, онда осы

қорытпадағы мыс пен мырыштың мөлшерін анықтаңыз.

x x 2

20

Шешуі: Айталық, мыстың салмағы x кг болсын. Онда мырыштың

1

салмағы 24 x

кг болады. Салмақ жоғалту мыс үшін - x кг және

мырыш үшін -

кг болады. Сондықтан теңдеу былайша құрылады:

24

x 2 x 17

.

Демек, мыстың салмағы 17 кг, ал мырыштың салмағы 7 кг.


5.8. 2 килограмм қорытпаның құрамында күміс пен мыс бар, сонымен

бірге ондағы күміс мыстың

күміс бар?


-ын құрайды. Осы қорытпада қанша

104

2 кг қорытпаның салмағы

мысты құрайды. Сондықтан мынадай пропорция

құруға болады: x 0,25 . Демек, қорытпада 0,25 кг күміс

бар.

1

7


5.09. 3 кг таза күміспен қорытқанда 900 пробалық қорытпа, ал 2 кг 900

пробалық қорытпамен қорытқанда 840 пробалық қорытпа алынатын

күміс пен мыстың қорытпасының салмағы мен пробасын есептеңіз.

Шешуі: Мыс қорытпасында x кг күміс пен y кг мыс болсын. Оны

3 кг таза күміспен қорытып, мынаны аламыз:

Оны 2 кг 900 пробалық қорытпамен қорытып,

аламыз. Жалпы салмағы y x 2

. Сонда 0, 840 болады.

Теңдеулер жүйесін шешелік:

24 x

2 2

100%

14

% 114

%

7 7

x

2

2

14

7

2

114

7

1

9

14

1

4

1

x

7

2

%

7

.

таза күміс

Бұдан қорытпаның салмағы x y 2,4

0,6 3 кг, пробасы 0, 8 болады.

8

9

x 3

0,900

x y 3

x 1,8

x y 2

20,

900 x

x 3

0,900

x y 3 0,1

x 0,9 y 0,3

x

9y

3

x

2,4

x 1,8

0,16

x 0,84 y 0,12

16

x 84 y 12

y

0,6

0,84

x y 2

2,4

3

9

Жауабы: 3 кг, 0,8 кг.


5.11. Теңіз суында 5% тұз бар. Құрамында тұз мөлшері 2% болу үшін

80 кг теңіз суына қанша таза су қосу керек?


5.12. Тығыздығы 2,5 г/см 3 болатын 80см сұйықты тығыздығы 1,5 г/см

болатын 20 см сұйықпен араластырған. Жаңа қоспаның тығздығы 1,6

г/см болуы үшін екінші сұйықтан қанша куб сантиметр қанша сұйық

қосу керек?

Жауабы: 700 см 3 .

5.13. Қоспадағы алтын мен күмістің массаларының қатынасы 7:5 –ке

тең. 48 грамм қоспада қанша алтын, қанша күміс бар?

Жауабы: 28г,20г.

5.14. Теңіз суының құрамында массасы бойынша 5% тұз болады. 30 кг

теңіз суына, ондағы тұздың концентрациясы 1.5% құрайтын болу үшін

қанша тұщы су құю керек?


5.15. Бір бөшкеде спирт пен судың қоспасы 2:3 қатынасындай, ал

екіншісінде – 3:7 қатынасындай. 12 шелек спирт қоспасында спирт пен

су 3:5 болатындай етіп, әр бөшкеден қанша шелек қоспа алуға болады?

Жауабы: 9; 3.

5.16. 30%-дық тұз қышқылы ертіндісін 10%-дықпен араластырғанда

15%-дық 600 грамм ерітінді шыққан.Әр ерітіндіден қанша грамм

алынған?

Жауабы: 150 г, 450 г.

5.17. Мыс пен мырыш балқымасының 35 кг тартатын кесегінде 45 %

мыс бар. Осы кесекке массасы қандай мыс қосқанда, жаңа балқыманың

ішінде 60% мыс болады?

Жауабы:13,5 кг.

5.18. Аңшы мылтығының дәрісі селитра, күкірт және көмірден тұрады.

Күкірт массасының селитра массасына қатынасы 0,2:1,3

қатынасындай, ал көмірдің массасы күкірт пен селитра екеуінің бірге

1

алынған массасының 11 % -ындай. 25 кг дәрі жасап шығару үшін осы

9

заттардың әрқайсысынан қанша кетеді?

Жауабы:3 кг күкірт, 19,5 кг селитра,2,5кг көмір.

5.19. Алтын мен күмістің екі балқымасы бар. Бір балқымадағы ол

металдардың мөлшері 1:2 қатынасындай да, екіншісінде 2:3

105

қатынасындай. Алтын мен күміс 7:12 қатынасында енетіндей 19 г

балқыма шығарып алу үшін, әр балқымадан қанша грамнан алу керек?

Жауабы: 9 г, 10 г.

5.20. Аралар гүл шырынын балға аударғанда, оны едәуір суынан

арылтады. Зерттеулердің көрсетіп отырғанындай, әдетте шырын

құрамында 70 % шамасында су болады, ал одан шығатын балда 17%

ғана су бар. Бір килограмм бал шығарып алу үшін аралар неше

килограмм шырын сорулары тиіс?

Жауабы: 2,77кг.

5.21. Құрамындағы йод 1% болатын 300 г спирт бар. Құрамындағы йод

10%-тен аспайтын болу үшін осы спиртке қанша грамм йод қажет?

Жауабы: 0<x≤300.

5.22. 50%-тік қышқыл ерітіндісін алу үшін 30 г 15%-тік қышқыл

ерітіндісіне 75%-тік сол қышқыл ерітіндісін қосу керек. Қосатын 75%-

тік қышқыл ерітіндісінің мөлшерін табыңыз.


5.23. Бір ерітіндіде 30% (көлемі бойынша) азот қышқылы, ал

екіншісінде 55% азот қышқылы бар. 50%-тік 100 литр азот

қышқылының ерітіндісін алу үшін, бірінші және екінші ерітінділерден

қаншадан алуымыз керек?

Жауабы: 20 л; 80 л.

5.24. Цестернаға 38 л бензин құйғаннан соң, цестернаның 5%-нің

толмағаны байқалды. Цестерна толық толтырулы үшін қанша бензин

құйылуы керек?

Жауабы: 2 л.

5.25. 36 кг мыс пен мырыш қорытпасының 45%-і мыс. Қорытпада

60%-тік мыс болу үшін, қорытпаға қанша мыс қосу керек?

Жауабы: 13,5.

5.26.15 литр 10%-тік тұз ерітіндісіне 5%-тік тұз ерітіндісі

араластырылып, 8%-тік ерітінді алынған. Қанша литр 5%-тік ерітінді

қосылған?


5.27. Қалайы мен қорғасын қорытпасының салмағы 15 кг. Қалайының

3

салмағы қорғасын салмағының -іне тең болса, қорытпадағы қалайы

5

мен қорғасынның әрқайсысының салмағын табыңыз.

Жауабы: 9,375 кг; 5,625 кг.

106

5.28. Құрамында никель 5% және 40% болатын екі сорт болат

сынақтары бар. Құрамында 30% никелі бар 140 т болат алу үшін әр

сорттан қанша болат алу керек?


4

5.29. Массасы 10 кг қоспада никель және бірдей мөлшерде төрт

5

түрлі металл бар. Олардың ішінде темір де бар. Қоспаның құрамында

қанша темір бар?


5.30. Металдардың суда салмағы өзгеретіні белгілі. 36 г мырыштың

судағы салмағы 31 г, ал 23 г қорғасынның судағы салмағы 21 г болды.

Массасы 292 грамнан тұратын мырыш пен қорғасынның

қорытындысының судағы салмағы 261г. Қорытпада қанша мырыш

және қорғасын бар екенін табыңыз.

Жауабы: 108 г мырыш және 184 г қорғасын.

5.31. Алтын мен күмістің екі балқымасы бар. Бір балқымадағы бұл

металдардың мөлшері 2:3 қатынасындай да, ал екіншісінде 3:7

қатынасындай. Алтын мен күміс 5:11 қатынасында енетіндей 8 кг жаңа

балқыма шығарып алу үшін, әр балқымадан қанша алу керек?

Жауабы: 1; 7.

5.32. Бір бөшкеде спирт пен судың қоспасы 2:3 қатынасындай, ал

екіншісі 3:7 қатынасындай. Спирт пен су 3:5 қатынасында енетіндей

12 шелек қоспа алу үшін, әр бөшкеден қанша шелектен алу керек?

Жауабы: 9; 3.

5.33.Теңіз суының құрамында 5% тұз бар (массасы бойынша). 80 кг

теңіз суына, ондағы тұздың мөлшері 4% болу үшін қанша тұщы су құю

керек?


5.34. Жаңа үйдің 200 пәтердің 65% екі бөлмелі , қалғаны үш бөлмелі.

Үш бөлмелі пәтер саны?

Жауабы: 70.

5.35. Жоспарланған жұмыстың 74% жасалған соң жасалмаған 13

станок қалды. Жоспарланған станок саны?

Жауабы: 50 станок.

5.36. Құрамында 750 г қантпен 1250 г судан жасалған сироптағы

қантты процентке айналдырса тәттілігі қандай пайыздағы сироп

болады?


107

5.37. Студенттердің үш тобы 2800 тал отырғызды. Бірінші топ барлық

талдың 40%, ал екіншісі -28 % отырғызды. Үшінші топтың отырғызған

талдарының саны.

Жауабы: 896.

5.38. Жоспар бойынша 66 000ц бидай жиналу керек еді. Бірақ

жұмысшылар жоспардан 4% артық орындады. Барлық бидайдың

салмағы?

Жауабы: 68 640 ц

5.39. Сары майдан 76 % қайнатылған май алынады. 8,5 кг сары майдан

алынатын қайнатылған майдың салмағы қанша?

Жауабы: 6, 46 кг.

5.40. Кептірілген картоп шикі картоптың 14% құрайды. 91 кг кептірілген

картоп алу үшін шикі картоптың алынатын салмағы неше кг?


5.41. Бірінші күні белгіленген жердің 100 га, екінші күні қалған 150 га

жыртылды. Бірінші күні жыртылған жердің ауданын процентке

айналдырса қанша болады?

Жауабы: 40%.

5.42. Оқушылар 120 т металлоломның орнына 138 т жинады.

Белгіленгеннен артық жиналған металлолом проценпен?

Жауабы: 15%

5.43. Бактегі бензиннің 35 % жұмсалған соң жұргізуші бакте 36,4 л

бензин қалғаның байқады. Алғашқыдағы бактағы бензиннің көлемі?


5.44. Никель кенінің құрамында 4% никель бар. Осындай 150т никель

кенінің құрамындағы никельдің салмағы?

Жауабы: 6 т.

5.45. Үш санның қосындысы 480-ге тең. Бірінші сан қосындының 32%,

екінші сан 41% құрайды. Үшінші санның мәні?

Жауабы: 129,6.

5.46. Үш тракторшы 940 га жер жыртты . Белгіленген жердің біріншісі

35,5% , екіншісі 25% жыртты. Үшінші тракторшының жыртқан жерінің

көлемі?

Жауабы: 371,3 га.

5.47. Қала көшелерін жөңдеу барысында асфальтауға жоспарланған

жердің көлемі 5 500 м². Бірақ 5 830м² жерді асфальттау керек.

Асфальттайтын жолдың ұзындығы мен жоспарлаған жолдың

процентпен айырмашылығы?

Жауабы: 6%.

108

5.48. Былтыр кітапханада 88 000 кітап болды. Жыл бойы сатып алған

кітаптардың саны алғашқыға қарағанда 3 % артық болды.

Кітапханадағы барлық кітаптар саны қанша?

Жауабы: 90 640

5.49. 4 кг кептірілген алма мен 6 кг кептірілген алмұрт араластырылды.

Пайда болған қоспадағы алмалардың салмағын процентке айналдырса

қанша болады?

Жауабы: 40%.

5.50. Қорапта қарындаштар салынған. Алғашқыда қораптан

қарындаштардың 50%, кейін қалғанының 40 % алынды. Соңында

корапта 3қарындаш қалды. Алғашқыда қораптағы болған қарындаш

саны?

Жауабы: 10 дана.

5.51. Салмағы 12 килограмм қалайы мен мыстың құймасының 45 %-ті

мысты құрайды. Құрамында 40% мыс бар құйманы алу үшін қанша

таза қалайы қосу қажет?


Бастапқыда құйма кг мысты құрды. – қалайының

қосылған саны болсын. Онда қорытпадағы мыстың пайыздық құрамы

құрайды. Есептің шарты бойынша

теңсіздігін аламыз, бұдан (кг).

5.52. Теңіз суының құрамында 8%-ы (салмақ бойынша) тұзды

құрайды. 30 кг Теңіз суында тұздың мөлшері 5% болу үшін қанша

килограмм тұщы су қосу керек?


5.53. Құрамында 25% қоспа болатын 38 тонна екінші сұрыпты

шикізаттан тазартудан кейін 30 тонна бірінші сұрыпты шикізат

шығады. Бірінші сұрыпты шикізатта қоспалардың проценті қанша?

Жауабы: 5%.

Есептің шарты бойынша екінші сұрыпты шикізатта

(т)

таза шикізаттан

(т) қоспасы бар. Яғни, тазартудан кейін

30т бірінші сұрыпты шикізат

яғни 1,5т қоспасын

құрайды.

5.54. Ылғалдығы 25% болатын 255кг наннан ылғалдығы 15% болатын

қанша килограмм кептірілген нан алуға болатынын анықтау.


109

Нан 55% құрғақ затты құрайды. Яғни 255кг нан

(кг)

құрғақ затты құрайды. Осы құрғақ зат кептірілген нанның жалпы

салмағынан 85%-ын құрайды. Сонда

5.55. Құрамында 75% суы бар массаны алу үшін, құрамында 85% суы

бар 0,5 тонна целлюлозалы массадан қанша килограмм суды

буландыру қажет?


5.56. Жаңа піскен саңырауқұлақтар массасы бойынша 90% суды

құрайды, ал кептірілген саңырауқұлақтар - 20%. 4,5 кг кептірілген

саңырауқұлақтар алу үшін қанша жаңа піскен саңырауқұлақ жинау

керек?


5.57. Жаңа піскен саңырауқұлақтар салмағы бойынша 90% суды

құрайды, ал кептірілген саңырауқұлақтар -12%. 22 кг жаңа пісірілген

саңырауқұлақтардан қанша кептірілген саңырауқұлақ шығады?


5.58. 36 кг мыс және мырыш құймасының 45%-ы мысты құрайды.

Құрамында 60% мыс болатын құйманы алу үшін, құймаға мыстың

қандай массасын қосу керек?


5.59. 2 литр 10 пайыздық сірке қышқылының ерітіндісіне 8 литр таза

су қосты. Алынған ерітіндіде сірке қышқылының проценттік құрамын

анықтау.

Жауабы: 2%.

5.60. Құрамында 39 % тұзы бар ерітіндіге 1000 г су қосқаннан кейін

тұздың концентрациясы 10 %-ға кеміді. Ерітіндідегі тұздың бастапқы

пайыздың концентрациясын тап.

Шешуі: г – ертіндінің бастапқы салмағы болсын. Сонда

бастапқы тұздың концентрациясы мен 1000г су қосқаннан кейінгі

тұздың концентрациясы. Есептің шарты бойынша келесі теңсіздікті

аламыз:

Онда бастапқы проценттік концентрациясы -ті

құрайды.

Жауабы: 13%.

110

5.61. Аквариум ішінара сумен толтырылған. Бір айда судың 40%-ы

буланып кетті, оған қоса ауаның көлемі 60 %-ға артты. Айдың соңында

су аквариум көлемінің қанша бөлігін алады?

Жауабы: 36%.

Аквриум көлемін , ал судың бастапқы көлемін деп алсақ, онда

теңсіздігін аламыз. Бұдан Содан айдың

соңында су көлемі құрйды, яғни 36%.

Аквриум көлемін , ал судың бастапқы көлемін деп алсақ, онда

теңсіздігін аламыз. Бұдан Содан айдың

соңында су көлемі құрйды, яғни 36%.

5.62. Құрамында 2:3 қатынасымен күміс пен алтын құрайтын 200г

құйма бар. Жаңа құйманың құрамында 80% күміс болу үшін бастапқы

құймаға қанша грамм күміс қосу қажет?


5.63. 80г 10 пайыздық ас тұзының ерітіндісі бар колбадан кейбір

бөлігін пробиркаға құйып алып, тұздың пайыздық құрамы үш есе

артпағанға дейін буландырады. Содан соң буландырылған ерітіндіні

қайтадан колбаға төгеді. Нәтижесінде колбадағы тұздың құрамы 2%-

ға артады. Колбадан пробиркаға ертіндінің қанша мөлшері құйып

алынды?


г – құйып алынған ерітінді мөлшері болсын. Буландырғаннан кейін

пробиркада г ерітінді қалды (тұздың мөлшері бастапқыдай қалады).

Оны пробиркадан колбаға құйып алғаннан кейін г ерітінді

болды. Бастапқыда ерітіндіде енді алынған ерітіндінің 12%-ын

құрайтын 8г тұз болды. Яғни, алынған ерітіндінің салмағы г

құрайды. Сонда

г теңсіздігін аламыз.

5.64. Екі 5 литрлік ыдысың әрқайсысында сілтілі ерітінді бар. Бірінші

ыдысты (көлемі бойыншы) 3л р-проценттік ерітінді, ал екінші ыдыста

– 4л 2-проценттік сілті ерітіндісі. 10-процентті сілті ерітіндісін алу

үшін екінші ыдыстан бірінші ыдысқа қаншла литр құйып алу кажет?

Жауабы: л;

. Құйып алынған сұйықтықтың мөлшерін деп белгілеп,

теңсіздігін алу. Осыдан . көлеміне шектеу

шартынан шығады.

111

5.65. Құрамында мысы бар екі құйма берілген. Екінші құйманың

массасы бірінші құймаға қарағанда 3 кг артық. Бірінші құймадағы

мыстың проценттік құрамы - 10%, екіншісінде - 40 %. Екі құйманың

біріктірілгенінен кейін проценттік құрамы 30% болатын бір құйма

алынады. Алынған құйманың массасын анықтау.


Бірінші құйманың салмағын кг деп белгілеп,

теңсіздігін алу. Бұдан , ал алынған

құйманың салмағы 9 кг.

5.66. Су ерітіндісі қышқылында судың құрамы қышқылға қарағанда

18г-ға аз. Оған бастапқыда ерітінді құрамында болатын

1

концентрленген қышқыл массасы массасына тең концентрлі

қышқылды қосса, жаңадан алынған ерітінді 80% концентрленген

қышқылды құраушы еді. Ерітіндінің массасы мен ондағы

концентрленген қышқылдың бастапқы проценттік құрамы қанша?

Жауабы: 36 кг;

75%. - ерітіндідегі қышқылдың мөлшері болсын. Онда г –

ондағы судың мөлшері. Жаңа ертінідіде қышқыл г, ал ерітінді

салмағы г құрайды. Есептің шартынан

теңсіздігін аламыз. Яғни, г. Сонда бастапқы ерітіндідегі

қышқылдың проценттік мөлшері 75% құрайды.

5.67. Тиісінше 10,30 және 5 литр тұз қышқылы бар үш ыдыс берілген.

Екінші ыдыстағы қышқылдың проценттік құрамы бірінші ыдысқа

қарағанда 10%-ке көп. Ал үшінші ыдыстағы қышқыл мөлшері 40%-ға

тең. Екінші ыдыстағы ерітіндінің жарытысын біріншісіне, ал қалған

жартысын үшіншісіне құйып алды. Осыдан кейін бірінші және үшінші

ыдыстағы қышқылдың проценттік мөлшері бірдей болды. Бірінші

ерітінді бастапқыда қышқылдың қанша пайызын құрады?

Жауабы: 46%.

- бірінші ерітіндідегі қыщқылдың проценттік мөлшері болсын.

Онда - екінші ерітіндідегі қышқылдың проценттік мөлшері.

Құйып алынғаннан кейін бірінші ыдыста 25л ерітінді болады, ондағы

л – қышқыл. Ал үшіншіде 20л ерітінді, оның ішінде

3

л қышқыл. Есептің шарты бойынша алынған ерітінділердің

112

концентрацисы бірдей, яғни

. Осы теңсіздікті

шешкенде екендігін аламыз.

5.68. Екі сұрыпты болат бар. Бірінші сұрып 10%, ал екіншісі 30%

никельді құрайды. Құрамында 25% никель болатын 200т болатты алу

үшін, бірінші сұрыпқа қарағанда екінші сұрыпты болатты қанша тоннаға

көбірек алу керек?

Жауабы: 100 т.

Бірінші және екінші сұрыпты болаттын алынған тонн мөлшерін, яғни

белгісіз -ті енгізіп, жиынын алу.

5.69. Мыс пен мырыштың екі құймасы берілген. Бірінші құймада

мырышқа қарағанда мыс екі есе көп, ал екіншіде 5 есе аз. Құрамында

мысқа қарағанда мырышы 2 есе көп болатын жаңа құйма алу үшін неше

есе көп екінші құйма алу керек?

Жауабы: 2 есе.

балқытуға алынған бірінші және екінші ерітіндінің мөлшері.

Бірінші ерітіндіде екіншіде -

Сонда алынған ерітіндіде

мырыш болады. Шарт бойынша

теңсіздігін аламыз.

5.70. Бір құйма оған 1:2 қатынасымен кіретін екі металлдан тұрады, ал

басқа құйма осы металдардың 2:3 қатынасын құрайды. Осы металдардан

тұратын, қатынасы 17:27 болатын жаңа ерітінді алу үшін құймаларды

қандай қатынаста алу қажет?

Жауабы: 9:35.

5.71. Алтын мен күмістің екі құймасы бар. Бірінші құймада осы

металдардың саны 1:2 қатынасында, ал екіншісінде – 2:3 қатынасында

болады. Алтын мен күміс 7:12 қатынасында болатын 19кг құйма алу үшін

бірінші құймадан қанша грамм алу қажет?


5.72. Санжар 300 теңгесінің, 15% жұмсады. Санжар қанша теңгесін

жұмсады?

Жауабы: 45теңге.

5.73. Сыныпта 28 оқушы бар, оның 75% спортпен шұғылданады.

Сыныптағы неше оқушы спортпен шұғылданады?

Жауабы: 21оқушы.

113

5.74. Пойыздың жылдамдығы 84 км/сағ, жеңіл көліктің жылдамдығы

пойыздың жылдамдығының 75% құрады. Жеңіл көліктің жылдамдығы

неге тең?

Жауабы: 63км/сағ.

5.75. Егілген 200 бидай дәнінің 150 көктеді. Бидай дәннің қанша

пайызы көктеді?

Жауабы: 75%.

5.76. 450 кг кеннің 67,5 кг мыс, кеннің неше пайызы мыс?

Жауабы: 15%.

5.77. Фермер 72 га жерге алма ағашын екті, бұл барлық

шаруашылығының 40% құрайды. Фермердің шаруашылығы қанша

гектар алқап ауданды алып жатыр?


5.78. 700 г йодтың спирттік ерітіндісінің 119г йод құрайды.

Ерітіндінің концентрациясы қанша пайыз?

Жауабы: 17%.

5.79. Саяхатшы екінші күні 102 км жүрді, бұл бірінші күнгі жолының

85 % Саяхатшы. бірінші күні қанша километр жүрді?


5.80. Саяхатшы бірінші күні 190 км жүрді. Екінші күні бірінші күнгі

жолының 75% жүрді. Екінші күні саяхатшы неше км жол жүрді?

Жауабы: 142,5 км.

5.81. Саяхатшы бірінші күні 120 км, екінші күні 102 км жол жүрді.

Екінші күнгі жүрген жолы бірінші күнгіжүрген жолының неше

пайызын құрайды?

Жауабы: 85%.

5.82. Дирменде 1т 800кг бидайдан 1 т 458 кг ұн алынды. Ұн бидайдың

қанша пайызын құрайды?

Жауабы: 81%.

5.83. 5% жылдық төленетін банке жыл соңында 75600 теңге алу үшін

, қанша ақша салу керек?


114

5.84. Тоңазтқышты 10% арзандатқан соң 34200 тенге болды.

Тоңазтқыштың алғашқыдағы бағасы қандай болған ?


5.85. Жаңа терілген 50 кг қара өріктен 18 кг кептірілген қара өрік

алынды . Кептірілген қара өрік жаңа терілгеннің қанша пайызын

құрайды?

Жауабы: 36%.

5.86. Егістіктің ауданы 140 га, оның 91 га жеріне картоп егілді. Картоп

қанша пайыз жерді алып жатыр?

Жауабы: 65%.

5.87. Оқушылар 120 ағаш отырғызды, бұл жоспарланғанның 80%,

отырғызылмаған қанша ағаш қалды?

Жауабы: 30 ағаш.

5.88. Мектеп кітапханасында 2890 оқулық бар, бұл кітапханадағы

барлық кітаптың 85% құрайды. Оқулықтар басқа кітаптардан қанша

көп?

Жауабы: 410.

5.89. Теңіз суының 95% су, қалғанын тұз, 6 тонна теңіз суында қанша

тұз бар?

Жауабы: 0,3тонна.

5.90. Сыныпта 30 оқушы бар, бақылау жұмысын оқушылардың 20% -

ы «5»-ке, 50%-ы «4»-ке, жазды. Неше оқушы

115

«5» пен «4» жазды?

Жауабы: 21оқушы

5.91. 450 кг кеннің 67,5 кг мыс, кеннің неше пайызы мыс?

Жауабы: 15%.

5.92. Концентрациясы 12 % ерітіндіде 48г тұз бар. Ерітіндідегі судың

массасы қандай?

Жауабы: 400 гр.

5.93. Жеңіл көлік бірінші сағатта барлық жолдың 12% өтті, осыдан

кейін жүрілмеген 440 км жол қалды. Барлық жолдың ұзындығы

қандай.?


5.94. Бірінші күні бөлінген жердің 38% , ал екінші күні барлық жердің

32,8 %, үшінші күні қалған 7,3 га жерге ағаш отырғызылды. Ағаш

отырғызуға бөлінген жердің ауданы қандай?


5.95. Фабрикадан шығарылатын 40 бұйымның 15-і жаңа үлгіде.

Шығарылатын жаңа үлгідегі бұйым қанша пайыз ?


5.96. Оқушы 300 беттік кітаптың 15% оқып бітірді. Қанша оқитын бет

қалды?


5.97. Оқушылар 120 ағаш отырғызды, бұл жоспарланғанның 80%,

отырғызылмаған қанша ағаш қалды?

Жауабы: 30 ағаш

5.98. Бірінші аптада 96 мотор жөнделіп, айлық жоспардың 68 %

қалды.Жоспар бойынша қанша мотор жөндеу керек ?

Жауабы: 300 мотор

5.99. Бірінші сағатта жеңіл көлік белгіленген жолдың 27 % жүргенде,

жүруге тиісті 146 км жол қалды. Белгіленген жолдың ұзындығын

табыңдар ?


5.100. Жолдың 83% асфальт төселді 51 км жол қалды. Барлық жолдың

ұзындығын анықтаңдар.


5.101. Шалғынның 32% орғанда, оруға тиісті 136 га жер қалды.

Шалғынның алқабын табыңдар?


5.102. Цехтағы құрылғылардың 29% жөндегенде, жөндеуге тиісті 142

құрылғы қалды. Цехта барлығы қанша құрылғы бар?

Жауабы: 200.

5.103. Жазушы қолжазбаның 20% терді, қолжазба 350 беттен тұратын

болса, оған теруге неше бет қалды?


5.104. 300 тонна жанармай дайындалды. Қаңтарда оның 13,5%

қолданылды, қанша жанармай қалды?

Жауабы: 259,5 тонна.

5.105. Бастауыш сыныптың оқушылары барлық оқушылардың 45%

құрайды, жоғары сыныптарда 385 оқушы бар. Мектепте барлығы

қанша оқушы бар?

Жауабы: 700 оқушы.

5.106. Балмұздақтың 60% су, 19% сүт, қалғанын қант құрайды, 2,5 кг

балмұздақ дайындау үшін қанша қант қажет?


5.107. Теңіз суының 95% су, қалғанын тұз, 6 тонна теңіз суында қанша

тұз бар?

Жауабы: 300.

116

5.108. 300 тонна жанармай дайындалды. Қаңтарда оның 13,5% ,

ақпанда 19,5%. Жұмсалды. Ақпанда жұмсалғаннан

қаңтардағыдан қаншаға көп?

Жауабы: 18 тонна.

5.109. Саяхатшы үш күнде 32 км жол жүрді. Бірінші күні ол барлық

2

жолдың 37,5%, екінші күні қалған жолдың жүріп өтті.

Саяхатшы үшінші күні қанша километр жол жүрді?


5.110. Матадан алғашқыда 30%, кейіннен қалғанының 20% қиып

алды. Матаның неше пайызы қалды?

Жауабы: 56%.

5.111. Тонға барлық ақшасының 32%, аяқ киімге 7% жұмсады,

274,5 теңге қалды. Бастапқыда қанша теңге болған?


5.112. Түске дейін 2,8 га жердің шөбін шапты, бұл алқаптың 24%

құрайды. Түскетен кейін тағы 2,1 га жердің шөбін шапты. Күні

бойы қанша пайыз жердің шөбін шапты?

Жауабы: 42%.

5.113. Сатып алушының 240 тенгесі бар, ол көйлекке барлық

ақшасының 45%, ал сағатқа 25% жұмсады. Көйлек сағаттан

қаншаға қымбат тұрады?


5.114. Бірінші сан 80, екіншісі біріншіден 1,5 есе көп, ал үшіншісі

бірінші мен екіншінің қосындысының 20% құрайды. Осы үш

санның арифметикалық ортасын табыңдар.

Жауабы: 80.

5.115. Тракторшылар бригадасы жердің алқабын үш күн жыртты,

бірінші күні барлық жердің 30%, яғни 108 га жерді жыртты.

5

Екінші күні үшінші күнгінің жерді жыртты. Екінші және

7

үшінші күні қанша гектар жер жыртылды?

Жауабы: 105 га, 147 га.

117

5

5.116. Мотоциклші бірінші сағатта барлық жолдың 35%, екінші

сағатта 0,4,ал үшінші сағатта қалған 37,5 км жолды жүріп өтті.

Үш сағатта ол қанша қашықтықты жүріп өтті?


5.117. Үш күнде 48 тенге жұмсалды бірінші күні барлық ақшаның

12,5%, екінші күні қалғанының

5 жұмсады. Үшінші күні қанша

ақша жұмсалды?

Жауабы: 12.

5.118. 420 га жерді орман алып жатыр, осы жердің 63,5% шыршалар,

29% қарағайлар алып жатыр. Шыршалар егілнен жердің ауданы

қарағай егілген жерден қаншаға көп ?


5.119. Әкелінген картоптың алғашқыда 40%, кейіннен қалғанының

30% сатылды. Әкелінген картоптың қанша пайызы қалды ?

Жауабы: 42%.

5.120. Бірінші күні 38% жерге, екінші күні барлық жердің 32,8%

үшінші күні қалған 7,3 га жерге ағаш отырғызылды ? Ағаш

отырғызылатын жердің ауданы қандай?


5.121. Тракторшылар үш күн жер жыртты, бірінші күні егістіктің

7 4 ,

екінші күні 40%, үшінші күні қалған 48 га жерді жыртты.

Егістіктің ауданын табыңдар.


5.122. 3,2 м 3 отынды арамен кесілді, бұл әкелінген отынның 22,4%

құрайды. Әкелінген отынның 33,6% қ ұрау үшін қанша отын

кесу керек?

Жауабы: 48м 3 .

5.123. Бірінші сан 120, екіншісі біріншіден 1,25 есе аз, ал үшіншісі

бірінші мен екіншінің қосындысының 80% құрайды. Осы

сандардың арифметикалық ортасын табыңдар.


5.124. Бақшаның ауданы 80 га, алма ағашы оның 58,5%, ал шие 39%

алып жатыр. Шие ағаштары егілген жері, алма ағаштары егілген

жерден қаншаға кем?


118

7

5.125. Дүкенге әкелінген күріштің 0,9 тоннасын бөліп қаптады, бұл

барлық күріштің 46,8 % құрайды. Әкелінген күріштің 65%

құрау үшін қанша күрішті бөліп қаптау керек?

Жауабы: 1,25 тонна.

5.126. Құрамындағы йод 1% болатын 300 грамм спирт құрамында йод

10% болу үшін осы спиртке қанша грамм йод қосу қажет?


6. Теңсіздіктерді пайдаланып шығаруға арналған есептер

6.1. 4000$ тұратын машина 20 жыл қолданғаннан кейін, күрделі

жөндеуге қойылды. Жөндеу құны 3000$ тұрады. Бұл жөндеуден кейін

жұмсалған шығын кепілдік мерзімі қанша уақыт ішінде ақталады?

Шешуі: Айталық, кепілдік мерзімі x жыл болсын.

4000

Амортизацияға кететін ортажылдық шығын

200$ (егер

машинаны 20 жыл қолданғаннан кейін шығарса).

3000

Сол себепті, x саны 0 200 теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс.

Бұдан x 15 болады.

Жауабы: x 15 .

6.2. Салмағы 20 кг мырыш ванналарында 15º температурада 120 л су

бар. 40º –тан аспайтын, 30º-тан кем емес 80º температурадағы суға

қанша литр су қосымша құйылу керек? Мырыштың меншікті жылу

сыйымдылығы 0,09-ға тең.

Шешуі:

деп қосымша құйылатын су мөлшерін белгілейік.

Мынадай теңсіздіктер жүйесін аламыз:

Бұдан 36,54

x 76,12 .

x

x

20

15

0,09 120

15

80 x 20 30

0,09 (120 x),

20

15

0,09 120

15

80 x 20 40 0,09 (120 x)

40

Жауабы: 36,54

x 76,12 .

6.3. Оқушы өзінің барлық маркаларын өзінің жаңа альбомына

жабыстырғысы келді. Егер ол бір бетке 20 маркадан жабыстырса, онда

20

119

онын маркаларын түгел жабыстыруға альбом беттері жетпейді, ал егер

әр бір бетке 23 маркадан жабыстырса, онда кем дегенде бір беті артық

қалады. Егер оқушыға әр бетінде 21 маркадан жабыстырылған дәл

осындай альбом сыйласақ, онда оқушыда барлығы 500 марка болар еді.

Альбомда неше парақ бар?

Шешуі: Айталық, альбомда m парақ болсын, ал оқушыда N

марка болсын. Теңдеулер және теңсіздіктер жүйесін келесі түрде

құруға болады.

Есеп шарты

Егер оқушы бір параққа 20

маркадан жабыстырса, онда оған

альбом беттері жетпейді.

Егер оқушы әр параққа 23

маркадан жабыстырса, онда кем

дегенде бір бет бос қалады.

Егер оқушаға әр бетіне 21

жабыстырылған дәл осындай

альбом сыйласақ, онда оның

барлық маркасының саны 500-ге

тең болар еді.

Теңдеулер, теңсіздіктер

20m N

23( m 1)

N

21m N 500

Осылайша есеп шарты екі теңсіздік пен бір теңдеуден тұрады.

Теңдеудегі N -ді бөлек өрнектеп алып теңсіздікке қоямыз. Нәтижесінде

екі теңсіздіктен тұратын жүйені аламыз.

20m

500 21m

23(

m 1)

500 21m

m -нің бүтін сан екендігін ескере отырып бірінші теңсіздіктен

табатынымыз m 12 , ал екінші теңсіздіктен табатынымыз m 12

. Екі

нәтижені салыстыра отырып алатынымыз m 12 .

Жауабы: Альбомда 12 бет бар.

6.4. Шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі,

келесісінен бастап шектеусіз гометриялық прогрессияның

мүшелерінің қосындысынан k тұрақты көбейткішімен ажыратылады.

k -ның қандай мәндер қабылдауы мүмкін?

Шешуі: Мынадай жүйе құрамыз:

120

q 1

q 1

1

n

a q

n 1

1 1.

a

q k

q

1 k

1

q 1

k

Екі жағдай ғана болуы мүмкін:

1

k 0

1

k 0

1) 1 k 0 2) 1 k 2.

1

1

1

k

1

k

Жауабы: k 2 .

6.5. Дөңес n - көпбұрышының бір-бірімен тізбектесіп келетін үш

бұрышы 60 0 ,70 0 және 80 0 , ал қалған бұрыштарының шамасы төртінші

мүшесінен бастап, айырмасы 2 0 болатын өспелі арифметикалық

прогрессияның мүшелері болып табылады. n -ді табыңыз.

Шешуі: Көпбұрыштың ішкі бұрыштарымен сыбайлас сыртқы

бұрыштарының қосындысы

0 0 0 0 0

3180

60

70 80 330 .

Сондықтан қалған барлық n 3

сыртқы бұрыштарының

0 0 0

қосындысы 360 330

30 . Бұл n 3

сыртқы бұрыштар айырмасы 2 0 -

қа тең арифметикалық прогрессия құрайды, өйткені осындай

айырмамен ойық бұрыштармен сыбайлас ішкі бұрыштары

арифметикалық прогрессия құрайды. Айталық, n 3

сыртқы

бұрыштардың ең кішісі x болсын.

2х

2

Онда:

n 4 n 0 n n 0

3 30 4 3 30 n 3 x

2

n 3x

0 болғандықтан, n 4n 3 30

2

n 7n 1230

0

2

n 7n 18

0

n 9, n 2

n 9n 2 0 n 2;9

.

Есептің шарты бойынша және ізделінді көпбұрыш 5 қабырғадан аз

болмауы керек болғандықтан, n 5,6,7,8 деген қорытындыға келеміз.

Жауабы: n 5,6,7,8 .

6.6. А пунктінен таңғы сағат 9 00 -да сағатына 12 км жылдамдықпен

велосипедші шықты. Сағ 11 00 -де оның соңынан А-дан бастапқыда 22

км/ сағ жылдамдықпен шыққан мотоциклші біртіндеп жылдамдығын

2 км/сағ жылдамдыққа бәсеңдете қозғалды. Оған қарсы шыққан

жылдамдығы 50 км/ сағ автомашина , А пунктіне қарай қозғалып ,

121

алғашқыда мотоциклшіні, одан кейін велосипедшіні кездестірді.

Автомашина А пунктіне сағат 19 00 - де келіп үлгере ала ма?

Шешуі: Автомашина мотоциклшімен, мотоциклші қозғалғаннан

кейін x сағаттан соң кездесті, яғни велосипедші шығып кеткенен кейін

x 2

сағаттан соң шықты.

Тең айнымалы және бірқалыпты қозғалыстың формулаларын

пайдаланып, бұл кездесуге дейін А пунктінен мотоциклші

2

2x

x

22

км және велосипедші 12х 2

км қашықтықта

2

болғанын табамыз. Есептің шартына сәйкес

22x

x

2

12

2

x

2 x 10x

24 0 4 x 6.

Ендеше, автомашина мен мотоциклші күндізгі 15 00 және 17 00 сағаттар

арасында кездескен, сонымен бірге А-дан кездескен пунктке дейін ара

2

қашықтық 22 6 6 км қашықтықтан кем болды, яғни 96 км-ден кем

95

болды. Автомашинаға осы ара қашықтықты жабу үшін сағаттан аз

50

уақыт, яғни 2 сағаттан аз уақыт кететін болса, онда автомашина А

пунктіне сағат 19 00 -де жетеді.

Жауабы: үлгереді.

6.7. Өзінің цифрларының қосындысына еселі және осы қосындыға

бөлінген кезде ондығының цифры ізделінді санның жүздігінің

цифрынан 3-ке кем, ал бірліктерінің цифры ізделінді санның бірлігінің

цифрынан 4-ке артық екі орынды санды беретін үш орынды санды

табу керек. Бұдан басқа, ізделінді санның бірінші цифры

цифрларының қосындысының соңғы цифрына тең екендігі белгілі.

Шешуі: Ізделінді санды 100x

10y

z деп белгілейік. Есептің

шартынан, оның цифрларының қосындысы x y z бір мәнді сан емес,

алайда ізделінді сан үш орынды болғандықтан, x y z 27 .

Сондықтан x y z - екі орынды сан, атап айтқанда 10 a немесе

20 a түрінде, мұндағы a нөльден өзгеше кез келген сан, өйткені

есептің шарты бойынша ізделінді үш орынды санның бірінші цифры

оның цифрларының қосындысының соңғы цифрына тең. Сондықтан,

егер, x y z 20 a болса, онда x a және y z 20 болады, бұл

мүмкін емес. Егер де x y z 10 a болса, онда x a және y z 10

. (1)

122


123

екі орынды сан, оның

ондығының цифры ізделінді санның жүздігінің цифрынан 3-ке кем, ал

бірлігінің цифры ізделінді санның бірлігінің цифрынан 4-ке артық.

Сондықтан

100 x 10

y z

x y z

10

(1) және (2) теңдіктерден y

, y - цифр болғандықтан,

10 x

y 0

2

16

x 170

x 19

0

. Теңсіздікті 9-дан аспайтын натурал сандар

бойынша шешіп, шешімнің жиыны (6,7,8,9) болатынын табамыз.

мәніне сәйкес келетін кесте құрамыз:

6 7 8 9

x

y

17

3

25

8

100 x 10 y z

x y z

x

3

z 4 2

10 x

2 16

x 170

x 19

Бұл кестеден x 7 және y 8 болады деген қорытындыға келеміз. y -ті

біле отырып, (1) теңдеуден z 2 екенін табамыз. Сонымен, ізделінді

сан 782 болады.

Жауабы: 782.

6.8. Көлемі 6 литр ыдысқа 4 литр 70%

-дық күкірт қышқылының

ерітіндісі құйылды, осындай көлемдегі екінші ыдысқа 3 литр 90%

-дық

күкірт қышқылының ерітіндісі құйылды. r% -ды күкірт қышқылын алу

үшін екінші ыдыстан бірінші ыдысқа неше литр күкірт қышқылының

ерітіндісін құю керек? Есептің шешімі болатындай r -дің барлық

шешімін табу керек.

Шешуі: Екінші ыдыстан бірінші ыдысқа құйылатын 90% күкірт

қышқылының ерітіндісін x

9x

литр деп белгілейік. Бұл ыдыста енді

литр таза 100% -ды күкірт қышқылы бар. Бастапқыда бірінші ыдыста

7 4 литр таза күкірт қышқылы болды. Бұдан соң x , 90 % -дық күкірт

10

қышқылының ерітіндісін бірінші ыдысқа құйдық, ал онда

7 9

4 x

10 10

x 4

r%

Бұл теңдеуді шешіп екінші ыдыстан бірінші ыдысқа құйылған

ерітіндінің көлемін табамыз;

4( r 70)

x 90 r

;

2

12

3

5

17

7

y

10

Ендігі мәселе r -дің қандай мәндерінде есептің шешімі бар

болатындығында.

Есептің шарты бойынша қосымша құйылатын ерітіндінің көлемі 2

литрден аспауы керек, өйткені бірінші ыдыстың көлемі 6 литр, яғни

0 x 2 . x -тің табылған мәндерін пайдаланып r -дің анықталу

облысын табамыз; 0 2 .

Берілген теңсіздікті шешіп, алатынымыз 70 r 76 .

4( r 70)

2

Жауабы: литр есептің шешімі 70 r 76 ;

90 r

3

6.9. Тік төртбұрыштың бір қабырғасы екінші қабырғасынан 7 см-ге

үлкен. Егер тіктөртбұрыштың ауданы 60 см 2 -тан кіші болған жағдайда

тік төртбұрыш бірінші қабырғасы қандай болуы керек?

Шешуі: Айталық, тік төртбұрыштың бір қабырғасы х болсын,

ендеше есептің шарты бойынша екінші қабырғасы ( х +7) болады. Тік

төртбұрыштың ауданының формуласын пайдаланып, келесі теңсіздікті

жазамыз:

2

x( x 7) 60 x 7x 60 0 ( x 5)(

x 12)

0. Теңсіздікті шешіп,

анықталу облысын ескерсек, онда 0 x 5 екенін аламыз.

Жауабы: 0 x 5.

6.10. Велосипедші А- дан В-ға қарай жүріп кетті. А-дан В-ға дейінгі

арақашықтық 60 км –ге тең; велосипедшінің жылдамдығы тұрақты. Ол

В-да кідірместен, сол жылдамдығымен кері жүріп келе жатып, В-дан

шыққанына 1 сағат өткенде 20 минут аялдайды. Осыдан кейін ол

жылдамдығын 4 км/сағ арттырып, әрі қарай жүре берді. Егер В-дан А-ға

дейінгі қайтар жолда А-дан В-ға дейінгі уақытты артық жұмсамаған

болса, велосипедшінің жылдамдығы қандай аралықтарда болады?

Шешуі: Айталық, велосипедшінің алғашқы жылдамдығы x км/сағ

1

60

болсын. 20 мин сағ. Есептің шартынан t AB

сағат, ал

60 x 1

t BA

1

x 4 3

болғандықтан,

60 1 60 x

1

x 4 3 x

Бұдан,

3

сағат екенін табамыз. Есептің шарты бойынша

16

x 720

x(

x 4)

болады.

4( r 70)

90 r

2

x x

20x

36

0 x 20

0

124

x x 4

0

.

2

3

x

BA

t

AB

Жауабы: .

t

0 x 20


6.11. А және В пункттерінің арасы 100 км. АВ кесіндісінде

орналасқан С елді пункті керекті тауарларды А пунктінен де, В

пунктінен де ала алады, бұл тауардың бір тоннасы А пунктінде 500

тенге, ал В пунктінде ол 4%-ға қымбат, 1 тонна жүктің тасымалдау 1

км қашықтыққа 20 теңге тұрады. Жүкті С пунктіне А пунктінен бе,

әлде В пунктінен әкелген тиімдірек пе?

Жауабы: 0 x 49,5 , x – B пунктіне дейінгі ара қашықтық.

6.12. Ересек адамның салмағы мен көлемін сәйкесінше 70 кг және 50

дм 3 деп алса, тұщы сулы су қоймасының бетінде жүзгіштің денесінің

көлемінің 24%-ы толық тұра алуы үшін құтқаратын белдікке 1 дм 3 –

тен неше пробкалық пластина керек болады. Пробканың тығыздығын

220 г/м 3 деп қабылданған.

Нұсқау: құтқарғыш белдікпен және жүзгіштің судағы демінен

ығыстырылатын судың массасы жүзгіш пен құтқарғыш белдіктің

қосындысының массасынан кем болмауы керек.

Жауабы: x 40 .

6.13. Жолды тегістеуге арналған өзі жүретін тегістегіштің ені аумағы

1

0,85 метр. Егер жолдың әрбір жолағы келесінің енінің бөлігін

жауып отыратын болса, онда ұзындығы 750 м, ені 6,5 м бөлікті екі

рет жүріп өту үшін 6 сағаттың ішінде каток қандай жылдамдықпен

қозғалуы керек

Жауабы: 2,5 x .

6.14. Ыдыстың ішінде 2 түрлі алма бар. Үлкен алманың салмағы 200

грамм, кіші алманың салмағы 120 грамм. Ыдыстың ішінде 1

килограмм алма бар. Ыдыста көп дегенде қанша алма болуы екен?

Жауабы: 7.

6.15. Үш ауыл бір түзу бойына орналаспаған. Біріншіден екінші

арқылы үшіншіге дейінгі қашықтық олардың арасындағы түзу жолдан

4 есе ұзақ; біріншіден үшінші арқылы екіншіге дейінгі қашықтық түзу

жолдан a километр ұзақ, екіншіден бірінші арқылы үшіншіге дейінгі

қашықтық 85 км-ге тең. Ауылдардың бір түзу бойына орналаспаған

4

125

осы аталғандай орны мүмкін болуы үшін, a -ның барлық мүмкін мәні

қандай аралықтардан алынады?

Жауабы: 0 a 68 .

6.16. Бір мерекеде халық алдына шыққан бір топ спортшы тең

қабырғалы үшбұрышты бейнелейтін фигура жасады: үшбұрыш

төбесінде бір спортшы, бұдан кейін екі спортшы, ал келесі қатарда үш

спортшы т.с.с. тұрған. Шамалы уақыттан кейін осы топқа тағы 46

спортшы келіп қосылды да, енді олардың барлығы бірнеше бірдей

қатар түзеп, бірінен кейін бірі тұрып тұтас шаршы құрады. Екінші

фигура қабырғасының бойында, бірінші фигураның

қабырғасындағыға қарағанда, p спортшы кем тұрған. Бірінші

фигураны құрғанда қанша спортшы қатысқан ? p 5 деп алып p -ға

лайықты сан мәнін табыңыз.

Жауабы: p 4 болғанда шешілуі мүмкін, 210 спортшы қатысқан.

6.17. Тік төртбұрыштың қабырғасының ұзындығы енінен 5 см-ге

артық. Ауданы 36 см 2 -тан артық болуы үшін тіктөртбұрыштың

қабырғасы қандай болуы керек?

Жауабы: 4 x .

6.18. Турист, тауға көтеріліп, 1-ші сағатта 800 м биіктікке көтерілді, ал

келесі әрбір сағат сайын алдыңғысынан 25 м төмен көтерілді. Қанша

сағатта ол 5700 м биіктікке көтеріледі?

Жауабы: 8 сағатта.

Турист n сағатта көтерілсін. Сонда ол

биіктікке көтеріледі. Жақша ішінде (n-1)-ші мүшесі болатын

арифметикалық прогрессияның d=25 тең болатын соммасы тұр.

Сәйкесінше Сонда n және n Егер

57 сағатта көтерілетін болса есеп шартын қанағаттандырмайды,

сәйкесінше 8 сағатта көтерілді.

6.19. Арасы 1 м тең А және Б нүктелерінен тікелей бір уақытта 2 дене

қозғала бастайды. 1-ші дене А нүктесінен Б нүктесіне бірқалыпты

қозғала бастайды, ал 2-ші дене сол бағытта бастапқы жылдамдығы 16

м/с қозғалыспен үдемелі қозғала бастайды. 1 с кейін 2-ші дене А

126

нүктесінен арақашықтығы 15 м-ден артық емес, ал тағы 1 с-тан кейін

25 м-ден кем емес. Егер қозғалыстан 3 с-тан кейін 2 дененің аралығы 2

м құрайтын болса, 1-ші дененің жылдамдығын анықтаңыз.

127

Жауабы: 11 м/с және 9 м/с.

6.20. Доллар бағамы 2 ай ішінде 1,5 еседан аспайтындай бірдей

пайызға әр ай сайын өсіп отырады. 1-ші айдың басында сатылған 1

долларға, 2-ші айдың соңында, 1-ші айдың соңына қарағанда 9 центке

төмен сатып алуға болады. 2 ай ішінде теңге бағамы қанша пайызға

төмендеді?


6.21. Тауар бағамы 2 ай ішінде 3 еседен аспайтындай бірдей пайызға

өсіп отырды. 1-ші айдың басында 1000 «Херши» бөтелке соммасына,

1-ші айдың соңына қарағанда, 2-ші айдың соңында 240 бөтелкеге аз

сатып алатын болса, 2 ай ішінде теңгенің сатып алу қабілеті неше

пайызға төмендеді?

Жауабы: 64% көтерілді.

6.22. А пунктінен В пунктіне бірқалыпты жылдамдықпен шыққан

поезд семафорда 16 мин-қа кідірді. Семафордан В пунктіне дейінгі ара

қашықтық 80 км. Егер кідіргеннен кейін поезд жылдамдығын 10 км/сағ

арттырса, қандай бастапқы жылдамдықпен жоспарланған уақыттан

кешікпей В пунктіне жетеді?

Жауабы: 50 км/сағ артық емес.

6.23. Егер жылдамдығын 3 м/с-қа арттырса және 1 сек-тан кем емес, 4

мин. 40 сек-тан артық емес уақыт аралығында 630 м-ге жылдамырақ

жүрсе, түзу сызық бойынша келе жатқан нүктенің жылдамдығы қандай

мәнді қабылдауы мүмкін?

Жауабы: 1,5 м/с-ден 42 м/с-қа дейін.

6.24. Жалпы саны 18 адамнан тұратын 2 бригадаға 3 тәулік бойы 1

адамнан үздіксіз кезекшілік ұйымдастыру тапсырылды. Бірінші 2

тәулікте 1-ші бригада мүшелері өз арасында уақытты тең бөлісіп

күзетті. Ал 2-ші бригадада 3-уі қыз, қалғаны ұлдар, айта кететіні

қыздар 1 сағ-тан күзетсе, ұлдар қалған уақытты өз арасында тең бөліп

алды. Есептей келе 2-ші бригаданың ұлдары мен 1-ші бригаданың

әрбір мүшесінің кезекшілік уақыты 9 сағ-тан кем. Әр бригадада қанша

адамнан бар?

Жауабы: 9 адамнан.

2

3

6.25. Екі А және В сұйықтықтан қоспа дайындау үшін әрқайсысының

сыйымдылығы 15 л болатын ішінде А сұйықтығы 15 л болатын 2 ыдыс

алынды. Кейін соңына дейін 1-ші ыдысқа В сұйықтығын құйып,

араластырды. Содан кейін 2-ші ыдысты 1-ыдыстағы қоспамен

толтырды. Кейін 2-ші ыдыстағы 6 л қоспаны 1-ші ыдысқа құйды.

Содан кейін 1-ші ыдыста А сұйықтығы 2-ші ыдыстан 1 л-ге көп болды.

Бастапқыда 2-ші ыдыста А сұйықтығы қанша литр болды?

Жауабы: 5 л.

6.26. А пунктінен В пунктіне 3 бағытта баруға болады: С п. арқылы, Д

п. арқылы немесе төтесінен баруға болады. Келесі арақашықтықтар

білгілі: АВ=80 км, АС=40 км, АД=30 км, СВ=60 км, ДВ=100 км. А

және В, А және С, А және Д пункттерін байланыстыратын жол-қара

жол, ал С және И, Д және В пункттерін байланыстыратын жол-тас жол.

Қара жолға қарағанда тас жолда жылдамдық 40 км/сағ артық. Егер қара

жолда жылдамдық 15км/сағ-тан артық, бірақ 30 км/сағ-тан аспайтын

болса, А пунктінен В пунктіне жету үшін қай пунктті таңдау қажет?

Жауабы: С пункті арқылы.

6.27. Көлемі 1200 м 3 , 1400 м 3 және 1600 м 3 болатын бассейндерді

келесідей толтыруға болады: 1-ші бассейн - 1 құбырмен, 2-ші бассейн

- 800 м 3 1 құбырмен және 600 м 3 2-ші құбырмен, 3-ші бассейн - 700 м 3

1 құбырмен және 900 м 3 2-ші құбырмен. 1-ші құбырдың өнімділігі 2-

шіге қарағанда 400 м 3 /сағ кем. Егер 2-ші құбырдың өнімділігі 700

м 3 /сағ-тан кем емес, бірақ 1100 м 3 /сағ-тан аспайтын болса, қай бассейн

бірінші толтырады?

Жауабы: 2-ші бассейн.

6.28. Оң қысқармайтын бөлшектің бөлімі алымының квадратынан 1-ге

артық. Егер алымы мен бөлімін 5-ке арттырса, бөлшектің мәні ½-ден

артық болады, ал егер алымы мен бөлімін 2-ге кемітсе бөлшектің мәні

1

-нан үлкен болады. Бөлшектің алымын табыңыз.

10

Жауабы: 3.

6.29. Залда 13 қатарға орындықтар жайғастырған, бірақ соңғы қатарға

бірнеше орындықтар жетпей қалды. Кейін оларды 27 қатарға қайта

орналастырды, және әр қатарда алдыңғысынан 7 орындыққа кем. Және

128

соңғы қатарға 3 орындық жетпей қалды. Барлығы қанша орындық

болды?

Жауабы: 159 орындық.

6.30. 2 жұмысшы 60 бірдей тетік дайындады. Бастапқы 30 тетікті

әрқайсысы тұрақты өнімділікпен жасады және 2-ші жұмысшының

өнімділігі 20%-ға жоғары болды. Одан кейін 1-ші жұмысшы сағатына

2 тетік, ал 2-ші жұмысшы 3 тетікке артық жасады. 1-ші жұмысшы

барлық тапсырманы орындауға 5сағ.30мин-тан кем емес уақыт

жұмсады, ал 2-ші жұмысшы 4сағ.30мин. артық емес уақыт жұмсады.

Жұмыстың 1-ші жартысында 2-ші жұмысшы сағатына қанша тетік

жасады?

Жауабы: 12 тетік.

7. Қазақтың байырғы есептері

7.1. Бiр бойжеткен өзiне көңiлi ауып жүрген жiгiттен:

–Екеуiмiздiң жас айырмашылығымыз тым алшақ емес пе?

Жасыңыз нешеде? – деп сұрайды.

Сонда жiгiт тура жауап бермей:

–Менiң жасым сiздiң қазiргi жасыңыздай болғанда, жасым

сiздiкiнен екi есе артық едi. Сол уақыттағы жасымызды және қазiргi

жасымызды қоссақ 72 болады, – дейдi.

Кiм неше жаста?

Шешуі: Бойжеткеннің жасын x деп белгілейік. Сонда мынадай

теңдеу құруға болады:

8x

144

x 18

x 3x

x x 72

2 2

Бойжеткеннің жасы 18- де, жігіттің жасы

3x

2

- де.


7.2. Қожанасыр қорадан бiр қой шығарып жем берiп жатыр едi,

көршiсi келiп:

– Бағар көбейсiн, қалыңыз қалай? – дейдi.

– Құдайға шүкiр, айтқаныңыз келсiн, –дейдi Қожекең.

27

129

– Қойымның бестен бiрi су iшiп жатыр, үштен бiрi шөпте тұр.

Екеуiнiң айырмасынан үш есе көп қойды жемге байладым, ал мына

қойды бордақылап отырмын.

– Е-е-е, бiраз мал басы бар екен ғой, – дептi көршiсi ризалықпен.

Қожекеңнiң қанша қойы бар?

Шешуі: Қой санын x деп белгілейміз. Сонда

x x x x

( ) 3 1 x

5 3 3 5

8x

6x

1 x

15 15

14x 15 15x

x 15. Қожекеңнің 15 қойы бар.

Жауабы: 15.

7.3. – Әке, сiздiң жасыңыз нешеде? – дейдi бiрде баласы. Сонда әкесi:

– Осы сен-ақ ұмытшақ екенсiң. Сенiң жасың менiң жасымның

бестен екiсi, ал осыдан төрт жыл бұрын менiң қазiргi жасымның үштен

бiрiндей едi ғой, – деп жауап бередi. Баласы нешеде, әкесi қанша

жаста?

Шешуі: Әкесінің жасын х деп белгілейік. Сонда есептің шарты

бойынша теңдеуді былайша құрамыз:

2 4

x

2

x ; 6x 60 5x

; x 60 ; 60 24

5 3

5

Әкесінің жасы 60- та, баласы 24-те.


7.4. Бір адам үш баласына жылқыларды ренішсіз тең етіп бөліп

алыңдар дейді. Тұңғышы өріске барып, жылқының өзіне тиесілі үштен

бірін бөліп алып, айдап кетеді. Одан соң ортаншы ұлы өріске барады.

Барлық жылқы осы екен деп қалған жылқының үштен бірін алады.

Кенже бала келіп қалған малдың өзіне тиесілі үштен бірін алғанда 8

жылқы қалыпты. Үшеуі хабарласса, алған жылқылары тең болмай

шығып, қалған 8 жылқыны бөліп бірдей етіп теңестіріпті. Әр балаға

әуел баста қанша жылқыдан тиді? Соңынан қалай тең бөлді?.

Шешуі: Барлық жылқының санын х деп белгілейік. Сонда

x x 1 x 2 1

( x ) ( x x)

8 x

3 3 3 3 9 3

x 2 4

x x 8 x

3 9 27

130

9x 6x

4x

216 27x

27x 19x

216 8x

216

x 27

Әр балаға әуел баста 9, 6, 4 жылқыдан тиді.

Соңынан әр балаға 9 жылқыдан тең бөлінді, себебі 27 : 3 9 .

Жауабы: 9.

7.5. Бiр ауылдан екiншi ауылға бiр мезгiлде екi жолаушы шығады.

Бiреуiнiң жылдамдығы сағатына 4 шақырым. Ал екiншi адам

бiрқалыпты жүгiрiп отырады, жылдамдығы сағатына 12 шақырым.

Бiрiншi жолаушы ауылға екiншi адамға қарағанда 6 сағат кешiгiп

келдi. Екi ауылдың арасы қанша шақырым?

Шешуі: 1 жолаушы- 4 км/сағ., 2 жолаушы – 12 км/сағ

Екі ауылдың арасын x км деп аламыз.


3x

x 72

2x 72 x 36

Екі ауылдың арасы 36 км.


7.6. Төбеде отырып ойпаңда жайылып жүрген түйесiн санап отырған

байдың қасына Қожанасыр келедi.

–Түйенi түгендеп кетейiн деп келiп едiм, санынан жаңылыса

бердiм, – дейдi бай.

–Бай-еке, өрiсте аяқты малды бiреулеп санамайды. Топтап

санайды, сонда жеңiл болады, – деп Қожекең түйе санауға кiрiседi.

Сәлден кейiн:

–Үштен топтап санап едiм бiр түйе артық қалды, төрттен топтап

едiм екi түйе артылды. Алтыдан топтап едiм, төрт түйе артық шықты,

бестен топтап едiм дәл бөлiндi, – дейдi.

– Әп, бәрекелдi, бұл жердегi түйем түгел екен, – дептi бай

Қожекеңе ризалық бiлдiрiп.

– Бай-еке, барлығы қанша түйеңiз бар? – дейдi Қожа.

– Бұл жердегi түйем, барлық түйемнiң үштен бiрiнiң үштен екiсi, –

дейдi бай.

Байдың барлығы қанша түйесi бар?

Шешуі: Түйенің санын х деп белгілейік.

x 3n

1

131

x x 6

4 12

x 4n

2

x 6n

4

x 5n

Осы шартты қанағаттандыратын сан 70 .

Ендеше, есептің шарты бойынша

2 1

x 70 , 2x 630

3 3

x 315

Байдың 315 түйесі бар.

Жауабы: 315.

7.7. Бір топ торғай ұшып келіп бұталарға қонады. Әрқайсысы бір

бұтаға қонғанда бір торғайға бұта жетпей қалады. Егер әр бұтаға екі

торғай қонса, онда бір бұта артық қалады.Торғай нешеу, бұта қанша?

Шешуі: Торғай санын х, бұта санын у деп белгілейік. Есептің

y

x 1

шарты бойынша

x

2y

1

x 2(

x 11)

x 2x

4 x 4.

y 4 1

3

Сонда торғайдың саны – 4, бұта – 3.

Жауабы: 4; 3.

7.8. Алдар көсе Қожанасырдан жасын сұрайды.

–Қазiргi жасымнан екi мүшел шегерiп, оны екi еселесең, шыққан

сан қазiргi жасыма 7 жыл қосқанға тең, – деп жауап бередi Қожекең.

–Жиренше ақсақал Сiзден тура бiр мүшел үлкен. Екеуiңiздiң

жастарыңызды қосқанда шығатын санның цифрларын өзара қосса

менiң жасымды көрсетедi екен, – дептi Тазша бала.

–Үшеуіңiздiң жастарыңызға бiр мүшел қосып, беске бөлсе менiң

жасым шығады, – дейдi Алдар.

Кiмнiң жасы қаншада?

Шешуі: Қожанасырдың жасын х деп белгілейік. Сонда

2(

x 25) x 7

2x

50 x 7

x 57

Қожанасырдың жасы 57- де, Жиренше одан 1 мүшел үлкен, ендеше

оның жасы 57+13=70- те Тазша баланың жасын есептеу үшін

57+70=127 сандарын қоссақ, 1+2+7=10 болады, яғни Тазша бала 10

127 10 13

жаста. Алдар

30 жаста.

5

Жауабы: 57; 70, 10, 30.

132

7.10. Самаурынға 30 кесе су сияды. Шүмегiн ашқанда кесеге 30 секундта

су толады. Егер самаурынның шүмегiн ашып қойса, су қанша уақытта

ағып бiтедi?

Шешуі: Судың қанша уақытша ағып бітетінін білу үшін

30 30 900 сек. Секундты минутқа айналдырамыз: 900 : 60 15

.Сонымен, самаурындағы су 15 минутта ағып бітеді.

Жауабы: 15 мин.

7.11.Бір кісінің 45 қойы болыпты. Төрт баласына еншілеп бөліп береді.

Біраз уақыт өткенде бірінші баласының қойына 2 қой қосылады, екінші

2 қойды жұмсап жібереді, үшіншісінің қойы екі есе көбейеді, ал төртінші

баласы әкесі берген қойдың жартысын жоғалтады. Сонда төртеуінің

қойының саны бірдей болыпты . Әр балаға неше қой берілген?

Шешуі: Бірінші баласындағы қой санын x , екінші баласындағы

қой санын у үшінші баласынікін – z . төртінші баласынікін- d арқылы

d

белгілейік.Сонда x y z d 45 , x 2 y 2 2z

. Бірінші баланың

2

қойы – 8, екіншісінде – 12, үшіншісінде -5, төртіншісінде 20 қой.

Тексеру: 1. 8+2=10

2. 12-2=10

3. 5 2 10

4. 20 : 2 10.

Жауабы: 8; 12; 5; 20.

7.12. Егіндікте әр сабақта 7 масақ өсіп тұр. Әр масақта 7 дән бар. 7

тышқанның әрқайсысы 7 масақтан жейді. 7 мысықтың әрқайсысы 7

тышқан жейді. Сонда мысық қанша дән жейді.?

Шешуі: 1 тышқанның жегені-7 масақ, 7 масақ7 сабақ=49 масақ,

49масақ 7 дән = 343 дән, 343 7 2401 дән жейді. Ендеше мысық 2401

дән жейді.

Жауабы: 2401.

7.13. Бір шал мен бір жастау адам кездесе кетеді. Амандық-саулық

сұрасқан соң жастауы:

- Ақсақал, жасыңыз нешеде, қай күні туғансыз,- деп сұрайды.

Шал да қуақы адам болса керек, әлгіні сынамақ болып:

– Сегіз мүшелден астым, туған күнімді 25 рет атап өттім, - деп

жауап береді.

– Шалдың жасы нешеде, қай күні туған?

Шешуі: Ақсақал 100 жаста, 25 4 100

, 29 ақпанда туған.

Жауабы: 100, 29.

133

7.14. Бес үйде барлығы 10 қой бар. Дүйсенбайдың қойы

Сейсенбектiкiнен екi есе аз. Жақыптың қойы да Дүйсенбайдың

қойынан екi есе аз. Жұмажанда Жақыптiкiнен екi есе көп қой бар. Ал

Сембайдың қойынан Сейсенбектiкi 4 есе көп. Кiмде қанша қой бар?

Шешуі: Дүйсенбайда x , Сейсенбекте 2 x , Жақыпта ,

x

2

2 x x

x x x 10

2 2

10x 20 x 2

Жұмажанда x , Сембайда қой бар. Есептің шарты бойынша

Ендеше Дүйсенбайда 2 қой, Жұмажанда 2 қой, Жақыпта 1 қой,

Сембайда 1 қой, Сейсенбекте 4 қой бар.

Жауабы: 2; 2; 1; 1; 4.

7.15. Бiр кiсi «Ақша бер», «Ақша бер» деп мазалаған екi баласына 130

теңге ұсынады да:

–Екеуiң бөлiп алыңдар. Тек үлкен ұлдың үлесiнiң үштен бiрi кiшi

ұлдың ақшасының 4 еселегенiндей болсын, – дейдi балаларының

есепке жүйрiктiгiн сынамақ болып. Балалары ақшаны әкесi айтқандай

бөлiп алады. Кiм қанша ақша алды?

Шешуі: Кіші ұлдың үлесін x деп белгілейік. Есептің

x y 130

шарты бойынша 1

y 4x

y 12x

3

x 12x

130 , 13x 130.

x 10 y 12 10

y 120

Демек, үлкен ұл 120 теңге, кіші ұл 10 теңге алды.

Жауабы: 120; 10.

7.16. Қожекең шапан сатып алмақ болып базарға баруға жиналады.

Қалтасында 97 теңге ақшасы бар екен. Кемпiрi: «Маған орамал сатып

аларсыз», – деп 36 теңге бередi.

Сөйтiп базарға кеткен Қожекең құр қол оралады.

– Базарлығың қайда? – дейдi кемпiрi.

– Базарда шапан да, орамал да бар екен. Бiрақ шапан алсам, қалған

ақша орамал бағасының төрттен бiрiндей, ал орамал алсам қалатын

ақша шапан құнының жартысындай болды. Сондықтан екеуiн де

алмадым, – дейдi Қожекең. Шапан қанша теңге тұрады, орамалдың

бағасы қандай?

Шешуі: Орамалдың құнын x , шапанның құнын y деп белгілейік.

134

x

2

Мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:

97+36=133.

1

133 y

266 2(532 4y)

y

4x

532

4y

x

266 1064

8y

y

1

133

x y 266

2x

y

7y

798

2

y 114. x 532 4 114

x 76.

Сонымен, шапан 114 теңге, орамал 76 теңге тұрады.

Жауабы: 114; 76.

7.17. Бiр кiсiнiң 6 бас iрi қара малы бар. Оларға күнiне 10 бума шөп

бередi. Торпаққа бiр бума, тайыншаға 2 бума, ал, сиырға үш бума шөп

тиесiлi.

Сонда бұл кiсiнiң неше сиыры, неше тайыншасы және неше торпағы

бар?

Шешуі: Торпақ санын x , тайынша санын y , сиыр санын z деп алайық.

x y z 6

x

2y

3z

10

Мұндағы, x y z 6 - ірі қара саны, x 2y

3z

10

- бума шөп саны.

Екінші теңдеуден 1- ші теңдеуді алсақ, y 2z

4 теңдеуі шығады.

Бұл теңдеу y 2,

z 1

түбірлері қанағаттандырады.

x 2 1 6 x 3

Демек, бұл кісінің 1 сиыры, 2 тайыншасы, 3 торпағы бар.

Жауабы: 1; 2; 3.

7.18. Көбейту кестесiн жақсы бiлесiң ғой, мына есептi шығара қойшы.

Жасырылған сандарды тауып орнына қой, – дейдi Қожанасыр баласына

жұлдызшалар белгiленген мына суреттi көрсетiп.

Суретке қарай салып баласы:

– Бұл жерде есептiң бiр мәндi ғана жауабы бар. Екi орынды екi

санның көбейтiндiсiне жүзден артық, екi жүзге жетпейтiн санды қосса,

бес орынды сан бiр ғана жағдайда болады ғой. Оп-оңай есептi

жұмбақтағаныңыз қалай?–дептi. Көбейгiш пен көбейткiш қандай сандар?

Шешуі: 99 99

199

10.000

, көбейгіш те, көбейткіште 99.

Жауабы: 99.

7.19. Үйде 40 қой, екi құлынды бие, 4 бұзаулы сиыр бар болатын. Бiр

күнде 10 қойға 1 тай шөп, 1 құлынды биеге 1 тай шөп, екi бұзаулы

135

сиырға 3 тай шөп берiледi. 9 күнде бiр тай шөп рәсуа болып тапталып

қалады.

Мал 108 күн қолға қарады, шөп таусылды. Қанша тай шөп бар едi?

Шешуі: 10 қойға 1 тай шөп жұмсалса, 40 қойға 40 :10 4 тай

шөп, 2 құлынды биеге 2 тай, шөп екі бұзаулы сиырға 2 3 6 тай

шөп беріледі. Барлығы 12 тай шөп жұмсалады ( 4 2 6) , 9 күнде

9 12

108

тай шөп беріледі, 1 тай шөп рәсуа болады. Сонда мал

108 күнде 1296 тай шөп жейді, 108: 9 12

тай шөп рәсуа болады.

Ендеше, 1296+12=1308 тай шөп бар болған.

Жауабы: 1308.

7.20. Мынандай аңыз бар. Бiр көпеске риза болған хан:

–Не сұрайсың? – дептi.

–Маған бiр өгiздiң терiсiндей ғана жердi меншiкке берсеңiз

болғаны, – дейдi көпес.

Оп-оңай құтылғанына қуанған хан келiседi.

Көпес бiр өгiздi сойып терiсiн түсiрiп алады. Одан жiңiшкелеп

таспа тiледi де, сол таспа жеткен жердi қоршап, меншiгi екенiн

жариялайды. ”Көпес жерiн алды ма?” деп сұраған хан нөкерлерiнiң

жауабын естiгенде таң қалып, талып түсе жаздапты.

Өгiз терiсiнiң ауданы 3 шаршы метр. Таспаның енi – 5 мм.

Таспаның ұзындығы қанша, көпес алған жердiң пiшiнi қандай және

ауданы қанша?

Шешуі: 5 мм=0,005 м. 3:

0.005 600 м таспа. Өгіз терісін дөңгелек

деп есептейік. Сонда 2R 600. R 300 R 300: 3.14 95.541401

R 95.5м. Таспаның ұзындығы 600 метр. Терінің ауданын есептеу

үшін, пішіні дөңгелек болғандықтан, дөңгелектің ауданының

2

формуласын пайдаланамыз: s R S 3.1495.541401

28662.42 м 2 .

Өгіздің терісінің пішіні- дөңгелек, ауданы 28662,42 м 2 .

Жауабы: 28662,42 м 2 .

7.21. Қожанасырға хан сыйлыққа бiраз алтын бередi. Сыйлықты алып

хан сарайынан шықса Жиренше, Алдаркөсе, Тазша бала күтiп тұр екен.

– Олжаңызды бөлiсейiк, Қожеке, – дейдi Жиренше.

– Бұларың жөн екен, кәне бөлiп жiберiңдер, – дейдi Қожа.

Сонда Алдар:

– Олжаның тең жартысын және бiр алтынды Жиренше ағаға

бересiз. Қалғанының жартысын және бiр алтынды мен алайын. Одан

қалғанының жартысын және бiр алтынды Тазша алсын, – дейдi.

136

Осы бөлiстен соң Қожекеңнiң қолында бiр алтын қалыпты.

Хан оған қанша алтын берген едi?

Шешуі: Ханның берген алтынын x деп белгілейік.

Сонда есептің шарты бойынша Жиренше -

137

x

2 1

алтын,

x

1 x 1

Алдар - x 1 1

алтын,

2

2 4 2

x x 1

1 x 1

Тазша x 1

1

алтын алады.

2 4 2

2 8 4

x x 1 x 1

Теңдеу былайша құрылады: 1 1 x

2 4 2 8 4

7x 22 8x x 22

Хан Қожанасырға 22 алтын берген.

Жауабы: 22.

7.22. Көгалда жайылып жүрген қозы лақтан екi есе көп. Ал қаздың

саны үйректен үш есе артық. Бәрiнiң аяқтары – 100, бастары 35.

Қозы мен лақ қанша, үйрек пен қаз нешеу?

Шешуі: лақ x , қозы 2 x , үйрек у, қаз 3у

12x

8y

100

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

3x

4y

35

1-теңдеудің екі жағын 4-ке қысқартамыз.

3x

2y

25

3x

4y

35

Екінші теңдеуден бірінші теңдеуді шегерсек,

2у=10у=5.

25 2y

25 2 5 25 10

x 5.

3 3 3

Сонымен, жайылымда 5 лақ, 10 қозы, 5 үйрек, 15 қаз жүр.

Жауабы: 10; 5;5;15.

7.23. Қожанасыр мен Тазша бала келе жатса, қастарынан жетектерiнде

аттары бар жолаушылар өтедi.

– 12 бас, 40 аяқ санадым. Неше кiсi, неше жылқы көрдiк? – дейдi

Тазша бала Қожекеңе.

– Қайдам, мен құлақтарын санап едiм 24 болды, – дейдi Қожа.

Қожекеңдерге неше кiсi, неше жылқы кездестi?

Шешуі: Кісіні x , жылқыны y деп белгілейік. Сонда мынадай

теңдеулер жүйесін құрамыз:

2x

4y

40 x

2y

20

x y 12

x y 12.

Бірінші теңдеуден екінші теңдеуді азайтамыз:

y=8, x =12-y=12-8=4.

Демек, Қожекеңдерге 4 кісі 8 жылқы кездесті.

Жауабы: 4; 8.

7.24. Базарда жұмыртқа сатып тұрған бiр саудагер:

– Түске дейiн жұмыртқаның 1/9-iн саттым, содан қалғанының 1/8-

iн өткiздiм, iле қалғанының 1/7-i өттi, сөйтіп 1/6-i де өтiп кеттi. Тағы

да 5 жұмыртқа саттым. Ал мына қалғаны 260 теңге тұрады, әр

жұмыртқа 13 теңгеден, – дейдi жұмыртқа сатып алушыға. Сатып

алушы:

– Мен қалған жұмыртқаны түп-түгел көтере сатып алайын, тек 1/4-

iн тегiн бер, – дейдi.

Саудагер келiседi.

Барлығы қанша жұмыртқа бар едi?

Саудагер қанша ақша тапты?

Шешуі: Мынадай теңдеу құрамыз:

1 1 1 1 1 1

x x x x x x

9 9 8 9 9 7

1 1 1 1

x x x x 5 20 x

9 9 9 6

x – жұмыртқа саны.

1 1 1 1

x x x x 25 x

9 9 9 9

4

x 25 x.

4х+225=9x. 5x=225. x=45.

9

Барлығы 45 жұмыртқа болған.

260:13=20 жұмыртқа 20 5 . 260-135=195 теңге.

2513=325. Барлығы 195+325=520.

Барлығы 45 жұмыртқа, 520 теңге пайда тапты.

Жауабы: 45; 520.

7.25. Екi бала ақшаларын есептеп отырады. Бiреуi:

1

4

138

– Екеуiмiздiң ақшамызды қосса 37 теңге 50 тиын екен, – дейдi.

Сонда екiншi бала:

– Менің ақшам сенiң ақшаңнан 49 есе көп, – деп мақтанады.

Әр балада қанша ақша болған?

Шешуі: Бірінші балада x , екіншісінде y теңге бар.

Есептің шарты бойынша:

x

y 37,5

49 x + x =37,5 50 x =37,5

49x

y

37,5

x

50

y

0,75 , яғни 75 тиын.

=490,75=36,75 теңге бар.

Демек, бірінші балада 75 тиын, екінші балада 36 теңге 75 тиын

болған.

Жауабы: 75 т; 36,75.


7.26.– Сен маған екі алма берсең, екеуміздің алмамыз тең болады,

- дейді бір бала. Екінші бала:

– Ал сен маған екі алма берсең менікі сенікінен екі есе көп болады,

- дейді.

– Әр балада қанша алма бар?


7.27. Бiр адам екi есектi ертоқымымен бiрге, сатпақ болып базарға

келедi. Бiр есектің ертоқымын 125 теңгеге, екiншiсiнiкiн 25 теңгеге

бағалайды. Алушылар ”ертоқымы анау екен, мынау екен” деп ұзақ

саудаласады. Ақырында бiрiншi есек екiншiсiнен үш есе артық бағаға

сатылады.

Әр есектiң құны қанша?

Жауабы: 25.

7.28. – Қожеке, балаларыңыздың және өзіңiздiң жасыңыз

нешеде? Халық санағын жүргiзiп жүрмiз, – дейдi санақшы

Қожанасырға келiп.

– Тұңғышым 17 жаста, кенжем – 4-те. Ортаншылары – 13-те және

7 жаста, – дейдi Қожа.

139

– Өзiңiздiң жасыңыз нешеде?

– Төрт жылдан кейiн бәрiмiз Алла амандығын берсе жүзге келемiз.

Менiң жасымды өзiң шығарып ал, – дейдi Қожекең әзiлқой мiнезiне

салып.

Санақшы Қожекеңнiң жасын әп-сәтте тауып алыпты.

Қожа неше жаста?

Жауабы: 39.

7.29. – Мектебіңде оқып, дәрісіңді тыңдайтын шәкірттерің нешеу? -

деп сұрапты біреу Пифагордан.

– Шәкірттерімнің жартысы математикамен айналысады, ширегі

музыканы оқиды, жетіден бірі пәлсапалақ ойға беріледі, олардан басқа

тағы да үш шәкіртім бар, - деп жауап береді Пифагор.

Оның қанша шәкірті бар?

Жауабы: 28.

7.30. Бiр топ қазға бiр қаз кездесiп: ”Ассалаумағалейкүм, жүз қаз”,

– дейдi. Сонда алдында ұшып бара жатқан ата қаз: ”Бiз жүз емеспiз.

Бiзге бiздiң санымыздай қазды қоссаң, оған бiздiң жартымызды қоссаң,

оған ширегiмiздi қоссаң және өзiң қосылсаң сонда ғана жүз боламыз”,

– дейдi.

Бiр топ қаздың саны қанша?

Жауабы: 36.

7.31.–Қожеке, өзiңiз үш мүшелге толыпсыз, ал балаңыз неше жаста?

– деп сұрайды бiр танысы.

–Балам үште, – дейдi Қожекең.

Арада бiраз жыл өткен соң баяғы танысы Қожекең мен баласын

көрiп

–Мына балаңыз нешеге келдi? Жiгiт болыпты ғой, – дейдi.

–Ол менен үш есе жас, деп жауап бередi Қожанасыр.

Қожекең нешеде, баласы неше жасқа келген?


7.32. Алдаркөсе бір сараң саудагерді тақырға отырғызуды ойлап

жүреді. Бірде саудагердің қолындағы ақшасын көріп, өз әмиянын

шығарады да:

– Мына әмиянның құдіреті бар. Салған ақша екі есе көбейеді,-

дейді.

Саудагер:

– Мен ақша салайын, - дейді қызығып.

140

– Келістік. Тек ақшаңды үш рет қана салып көбейтіп аласың.

Ақысына әрбір көбейген ақшаңнан маған 24 теңге берсең болғаны, -

дейді Алдар.

Саудагер қуана-қуана келісіп, үшінші рет көбейтіп алған ақшасын

түп-түгел Алдардың қолына ұстатып, көк тиынсыз қалыпты.

Саудагерде қанша ақша болған?


7.33. Ақсақал демалып жантайып жатса, немересi есеп сұрап

мазалай берiптi. Сонда ақсақал:

– Бiр жылда 365 тәулiк бар. Ал ендi қанша сағат, қанша минут және

неше секунд бар екенiн есептеп көршi, –дейдi.

Сонымен бiр жылда неше сағат, минут және секунд бар?

Жауабы: 31536000 сек.

7.34. Қожанасырдың баласы:

– Егер велосипед мiнсем, 15 км/сағ жылдамдықпен келiсiлген

уақытқа бiр сағат қалғанда барамын. Ал жаяу шықсам 10 км/сағ

жылдамдықпен келiсiлген уақыттан бiр сағат өткенде жетемiн, қалай

iстесем екен, – деп ойланып отырады.

Сонда Қожекең:

– Басыңды қатырма. Салт атпен шаршамай тұп-тура межелi

уақытта жетесiң, – дейдi.

Баласы оның айтқанын iстептi. Баратын жер қанша километр,

аттың жылдамдығы қандай?

Жауабы: 60 км, 12 км/сағ.

7.35. Құрдасы досымен әңгiмелесiп отырады.

– Кеш үйленгенің де, есепке жүйрiк екенiн де маған мәлiм.

Балаларыңның жасы нешеде екенiн жұмбақташы, мен шешiп көрейiн,

– дейдi досына.

–Ал айтайын, балаларымның жасын өзара көбейтiп, содан соң сол

санға әрқайсысының жастарын қоссақ он төрт болады, – дейдi досы.

Құрдасы екi балаңның жасы мынандай деп ойланбай жауап

бередi.

– Қалай дәл таптың, – деп таң қалған досына:

– Екеуiнiң де шiлдеханасында болдым емес пе, деп жалтара жауап

берiптi.

141

Балалардың жасы нешеде?

Жауабы: 2, 4.

7.36. Қоймада салмақтары 15, 16, 18, 19, 20 және 31 келi болатын

6 жәшiк бар едi. Екi адам 5 жәшiктегi тауарды алады. Бiреуiнiң алғаны

екiншiсiнiкiнен екi есе ауыр болып шығады.

Кiм қай жәшiктердi алды, қай жәшiк қоймада қалды?

Жауабы: 20 келілік жәшік қоймада қалды.

7.37. Тойға 80 адам шақырылады. Бiрақ той дастарханы жасалып

болғанда келетiн кiсiнiң саны 100 болатыны анықталады. Той иесi

аспазға келiп:

–Ендi қалай iстеймiз? – дейдi.

–Аға, бұл бiздiң күнде көрiп жүргенiмiз ғой. Абыржымаңыз. 80

тәрелкедегiнi 20 тәрелкеге бөлiп саламыз. Әр тәрелкеден алып 1

тәрелке шығарамыз, сонда бәрi 100 болады, – дейдi.

–Ал, шұжықты қалай жеткiзесiң?–дейдi той иесi.

–Әр кiсiнiң сыбағасынан 15 грамм кемiтемiн. Сөйтiп үлестен

үнемдеп 100 кiсiге жеткiземiн, – дейдi аспаз.

Қанша килограмм шұжық бар едi?


7.38. Үш бала көшеде келе жатады. Көшені қиып өтерде

бағдаршамға бағынбаған бір автомашина кес- кестеп, жол жүру

тәртібін бұзып алдарынан өте шығады. Балалар есер жүргізушінің

мына жүрісіне реніш білдіреді де, біреуі:

- Машинаның нөмірін байқадыңдар ма ? - дейді. Олар нөмірді

естеріне түсіре бастайды.

- Алдыңғы екі сан да бірдей сияқты, - дейді біреуі.

- Соңғы екі сан да бірдей болатын- дейді екіншісі.

- Төрт орынды сан, әйтеуір бір санның квадраты екені анық, -

дейді үшіншісі.

Балалар осылай автомашинаның нөмірін табады. Ал сіз бұл

қандай нөмір деп ойлайсыз?

Жауабы: Автокөлік нөмірі 7744.

7.39. Жаңғақты екi-екiден топтағанда бiреуi артылады. Үш-үштен

жинаса екеуi артық болады, төрттен жинаса үшеуi қалады. Бестен

142

бөлсе төртеуi, алтыдан топтаса бесеуi артылып отырады. Ал жетiден

топтаса қалдықсыз жиналады.

Қанша жаңғақ бар едi?

Жауабы: 117 жаңғақ бар.

7.40. Үш тауық үш күнде үш жұмыртқа табады деп есептейiк.Сонда

алты тауық алты күнде неше жұмыртқа табады? Төрт тауық тоғыз

күнде неше жұмыртқа бередi?

Жауабы: 12.

7.41. Жылқыға жем беру. Біреу алты жылқысына күн сайын он қадақ

сұлы беріп жүреді. Жем жылқысының жасына қарай бөлінеді: биеге –

үш қадақ, құнандарына – екі қадақтан, ал тай басына бір қадақтан жем

береді.

Мал иесі үйіне алыстан келіп, қонақ болып отырған жекжатына

әңгіме арсында өзінің осы тірлігін айтып қалады.

«Сонда бие нешеу, құнан нешеу, тай нешеу болғаны?» – деп, қонақ

жылқы санын іштей есептеуге көшіпті.

Шешуі: Бие санын- x құнан санын - y , ал тай санын- z арқылы

белгілесек, келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

x

y z 6

3x

2y

z 10

Шыққан теңдеулер жүйесін шешсек, z 3, x 1, y 2 мәндерін

аламыз.

Жауабы: Мал иесінде бір бие, екі құнан, үш тай болғаны.

7.42. Бес саулық. Ауыл ақсақалдарының төрт ұлы болыпты.

Олардың үшеуі өз алдына отау тігіп кеткен екен. Ақ сақалды кісі

төртінші баласын үйлендіріп, оның алдына бес саулық салып беруді

ойластырады.

Бір күні ол үш ұлының үйлеріне қонаққа барып, бәрінің қойы

қырық бір бас екенін біліп қайтады да, оларды шақырып алып:

«Әрқайсысың өздеріңдегі қойларды төртке бөліп, бөлінбей қалған

қойларыңды кенже інілеріңе беріңдер» - дейді.

Үш жігіт қойларын әке айтуынша бөліп, бөлінбей қалғанын інісіне

әкеліп береді. Сөйтіп кенже жігіт бес саулыққа ие болады.

- Екеуіңнің қойың менікінен артық еді, енді теңесті, - дейді қой

берген үш жігіттің бірі өзгелеріне. Бұл үш ағайындының қойлары

алғашында қаншадан болған?

143

Шешуі: Қырық бір бас қойдың бесеуін інісіне берсе, үшеуінде

отыз алты бас қой қалады. Ең соңында отыз алты бас қой

қалғандықтан, әрбіреуінде он екі қой болады. Бірінші ағасы a қой,

келесісі b қой, үшіншісі c қой берді делік, сонда

a b c 5,

мұндағы 0 a,

b,

c 4болғандықтан,

1. a 1, b 1, c 3 .

2. a 1, b 2 , c 2 .

Есептің шарты бойынша a b,

c , сондықтан біз екінші жауапты

қабылдаймыз. Демек, 12+1=13, 12+2=14, 12+2=14.

Жауабы: Үш ұлының қойларының саны, сәйкесінше, он үш, он төрт,

он төрт болған.

7.43. Көжектер. Қалың ала боталы даламен келе жатқан аңшы бала екі

інге тап болады. Топыраққа түскен ізге қарап жас аңшы екеуі де қоян

іні екенін бірден біледі. Еңкейіп ін аузына кезек-кезек құлақ тосады.

Әр нәрсені білуге құмар бала әуелі бірінші інге, одан соң екіншісіне

құлаштап қол сұғып, көжектерді санап шығады. Екі іннің оң

жақтағысының көжектері көбірек, ал сол жақтағысынікі азырақ екен.

«Енелері білер ме екен, әлде білмес пе екен?» – деп, ол көжек сандарын

өзгерткісі келді.

«Көбін көбейтіңкіреп қояйын» – деп, бала сол жақтағы індегі бір

көжекті оң жақтағы інге салады. Енді оң жақтағы көжектер саны сол

жақтағысынан үш есе көбейіп кетеді. «Қой, мұнымды біліп қояр, одан

да екі іннің көжектерін теңестіріп кетейін» – деп бала оң жақтағы інге

салған көжекке тағы бір көжек қосып, сол жақтағы інге салады.

Бала үйіне келген соң, мұны шешесіне айтады.

– Бәрі қанша көжек? – деп сұрайды шешесі. – Әуелі әр інде қанша

көжектен жатты екен?

Шешуі: Оң жақтағы көжектер санын y деп, сол жақтағы

көжектер санын x арқылы белгілейік. Сонда келесі теңдеулер жүйесін

аламыз:

y 1

x

1

3

x

1

y 1

Бұл теңдеулер жүйесін шешсек, y 5 , x 3 екендігі шығады.

Жауабы: Оң жақтағы інде бес көжек, сол жақтағы інде үш көжек

болған. Барлық көжектер саны сегіз.

144

7.44. Тазы мен түлкі. Жапан далада бір жігіт аң аулап жүреді. Ойда

жоқ жерде бір шеңгел түбінен қызғылт түлкі ытқи жөнеледі. Аңшының

алғыр тазысы оны бірнеше арқан бойы жерден қуып береді.

Зымырап қашқан түлкі арқан бойы жерге жеткенде, тазы оның қашқан

орнына келеді. Жан сауғалап түлкі тағы сонша жерге ұзағанда тазы

оны қуып жетіп, бас салады.

Аңшы ауылға келіп, достарына түлкіні қалай ұстағанын

қыздырмалатып әңгімелейді. Тазысын мақтайды.

- Түлкі шеңгел түбінен бастап, ұсталғанға дейін қанша арқан бойы

жерге қашты екен?-деп сұрайды достарының біреуі.

- Түлкіні қойшы, тазы қанша арқан бойы қуғанын айтсайшы,-дейді

екіншісі.

- Тазы түлкіден неше есе жүйрік болды екен?-деп үшінші адам

саусақтарын санайды. – Арқан бойы жердің төтелігі бар ғой, төтесін

айтсайшы.

Тазы түлкіден неше есе жүйрік? Ол түлкіні неше арқан бойы жерден

қуып жеткен?

Шешуі: Барлығы жиырма төрт арқан бойы жер бар. Түлкінің

қашқан жолын x деп, тазының қуған жолын y деп алайық. Сонда

y x x

24

2

2 2

y

2x

теңдеулер жүйесін шешсек, x 12, y 24 шығады.

Жауабы: Тазы түлкіден екі есе жүйрік. Ал түлкі барлығы он екі арқан

бойы жерге дейін қашып барған. Олай болса, тазы түлкіні жиырма төрт

арқан бойы жерге дейін қуған.

7.45. Әр түліктен нешеден?

Жеті жасар баласын есепке үйреткісі келген әкесі бір күні:

- Ендігі жеті жылда түйеміз екі есе, жылқымыз үш, сиырымыз

төрт, қойымыз бес есе көбейсе, онда бәрін қосқандағы саны сенің

қазіргі жасыңнан екі есе көп болады екен,- дейді.

- Ол кезде біздің үйдегі жылқының, түйенің, сиырдың, қойдың

әрқайсысы қаншадан болады?-деп бала әкесіне қарайды.

- Оны білу қиын емес. Өзің-ақ табасың,- деп әке баласын

ойландырып тастайды. Көп өтпей-ақ бала өз сұрағының жауабын

айтады.

145

Бұл үйдің түйесінің, жылқысының, сиырының, қойының саны

қанша?

Шешуі: Түйені x , жылқыны y , сиырды z , қойды m деп алайық.

Сонда

2x

3y

4z

5m

14

x , y,

z,

m болғандықтан, x 1

, y 1, z 1, m 1

екені көрініп тұр.

Жауабы: Бұл үйде алғашында бір түйе, бір сиыр, бір қой, бір жылқы

болған.

7.46. Ет алушылар неше адам?

Біреу қасапқа жылқы соятынын көрші қолаңына хабарлайды.

Белгіленген күні ол бордақысын сояды. Әр жерден ет алушылар

келеді. Сойылған малды төңіректеп тұрғандарды көзімен санап

шығып, ол сәл ойланып қалады:

«Бұлардың әрқайсысына бір жіліктен берсем, онда үш жілік ет

артылып қалады. Екі жіліктен сатсам үш адамға ет жетпей қалады.

Енді қандай амалын табамын?». Ет алуға келгендер неше адам?

Шешуі: Жілік санын x деп, адам санын y деп теңдеулер жүйесін

құрастырайық:

x

3 y

2y

x 6

Жүйенің шешімдері x 12, y 9 болады.

Жауабы: тоғыз адам, он екі жілік.

7.47. Жерден жеті қоян тапқандай

Бір аңшы қартайған шағында қақпанын баласыны тапсырады. –

Мына үш қақпан мені қырық жыл асырады, - дейді ол ұлына.

- Бұл үшеуі сенің балаңның баласын да аш қылмайды.

- Жарайды көке, - деп бал үш қақпанды, сонша темір қазықты,

әрқайсысы бір құлаш келетін темір қазықты қабылдап алады.

Бала тұтасқан қалың шеңгелдің ішіне қақпандарын құрып, бетін

шөп-шаламмен жауып қайтып кетеді. Келесі күні таңертең үш

қақпанның біреуіне ғана қоян түседі. Солайша, ертеңіне де бір қоян

алып қайтады.

- Екі күнде әкелгенің екі қоян, жерден жеті қоян тапқандай

қуанасың, балам,- дейді әке бала тіршілігіне көңілі толмай.

- Қалайша, көке, бір қақпанға екі қоян түссе де жеті қоян болмайды

ғой, - дейді бала әке сөзіне таңданып.

146

Әкесі сол күні түнде қақпанды өзі құрып, жиырам бір қоян ұстап

әкеледі. Бала қоян санын үш қақпанға бөліп, әрқайсысына жеті

қояннан түскеніне аң-таң қалады.

- Олай емес... Екінші қақпанға бірінші қақпаннан екі қоян көп, ал

үшіншісіне қарағанда екі қоян кем түсті,-дейді әкесі.

«Қай қақпанға қанша қояннан түсті екен?»-деп бала ойланып

қалады.

Шешуі: Екінші қақпандағы қояндар санын y деп алып, теңдеу

құрастырамыз:

y 2 y y 2 21

Теңдеуді шешсек, y 7 шығады.

Жауабы: Бірінші қақпанға бес қоян, екіншісіне жеті қоян,

үшіншісіне тоғыз қоян түскен.

7.48. Тоғыз жолдың торабындағы кездесу

Талас өзенінің төменгі бойындағы көкмайса жерге тұс-тұстан

тоғыз жол келіп түйіседі. Сондықтан тоғыз жолдың торабы

Тоғызторау деп аталады. Әйтеуір бір жылы сондағы құдық басына

тоғыз аңшы келіп, бір-бірімен түгел қол берісіп амандасып шығады.

- Бәріміз қанша рет қол алыстық? - дейді сонда жолаушылардың

бірі.

Кім білсін, ал мен өзім сегіз адаммен аманадастым, - дейді

жолаушы.

Тоғыз жолаушы бір-біріне қанша рет қол берісті.

Шешуі: Бұл есепте бірінші адам сегіз адаммен амандасады.

Екінші адам жеті адаммен амандаса. Сол сияқты соңғы адам ешкіммен

амандаспайды. Сондықтан келесі теңдеуді шешкен жеткілікті:

8 0

9 x

2

Жауабы: Тоғыз жолаушы бір-біріне 36 рет қол берісті.

7.49. Бау-бау шөп.

Ағаш уықты, киіз туырлықты, ауыл үйінің бас аяғы он жеті бас

малы-жылқысы, сиыры, қойы болыпты. Үйдің ер-азамат болып қалған

баласы дамыл таппай жүріп, қыстау басына мая-мая шөп жинап алады.

Қыс түсіп, мал қолға қараған кезде ол анасынан әр түлікке қанша

баудан шөп салайын, -деп сұрайды.

- Күн сайын әр жылқының алдына алтау, әр сиырға төртеу, қой

басына екі баудан салсаң, мал қыстан қысыла қоймайды, балам.

147

- Жарайды апа, - деп баласы шешесінің айтқанындай етіп, бау-бау

шөпті алып келеді.

- Барлық малға қанша бау шөп салдың, балам?-дейді шеше ұлына.

- Бәріне қырық сегіз бау шөп кетті,-дейді баласы. Барлық жылқыға

қанша бау салсам, барылқ сиырға да сонша бау салдым, апа. Ал жылқы

мен сиырды қоса есептегенде барлығына кеткен бау саны барлық

қойға салынған бау санымен бірдей болады.

- Дұрыс болған екен балам,-дейді шешесі сонда, енді шөпті малдарға

күнде осылай салып тұрғайсың.

Бұл үйдің неше сиыры, неше қойы, неше жылқысы болған?

Шешуі: Жылқының, қойдың, сиырдың санын сәйкесінше, x , y,

z

арқылы белгілейік. Есеп шарттарын ескере отырып, үш белгісізі бар

теңдеулер жүйесін құрамыз:

x

y x 17

6x

4y

2z

48

6x

4y

6x

4y

2z

Теңдеулер жүйесін шешсек, y 3, x 2 , z 12

шығады.

Жауабы: Екі жылқысы, үш сиыры, он екі қойы болған.

7.50. Ешкілі жігіт.

Ертеде бір жарлы жігіт жылдар бойы байға жалданып жүріп,

ірілі-ұсақты біраз ешкі жинап алады. Бұлардың үлкен ешкілерінен

тушалары екі есе, ал шыбыштыры үш есе көп болады. Жігіт қыс бойы

осы ешкілерін көзінің қарашығындай сақтап, аман-есен бағып

шығады. Көктемде шыбыштары – жалқы, тушалары егізден, ал үлкен

ешкілері үшеннен лақ табады. Сөйті енді жарлы жігіттің барлық

ешкілерінің саны алпыс төртке жетеді.

Бұл үйде ең алғашында қанша шыбыш, қанша туша, қанша ешкі

болған?

Шешуі: Үлкен ешкілерін x десек, тушалары 2x

, ал шыбыштары

3x болады. Енді теңдеу құрастырайық:

x 2 2x

3

3x

64

Теңдеудің шешімі x 4.

Жауабы: төрт ешкі, сегіз туша, он екі шыбыш.

148

7.51. Табақ тарту.

Тәттібек дейтін меймандас адам екен. Бір күні оның үйіне бір топ

қонақ келеді. Үй иесі оларды жылы шыраймен қабылдап, төріне

шығарады. Дастарқан жайылады. Шайдан кейін қазанға ет салынады.

Тамақ пісіп, табақ тартылар шақта үй иесі меймандарын көзбен

шолып шығады да, сәл ойланып қалады. Ошақ басында жүрген

жұбайына келіп:

- Екеуара бір табақ тартсақ, онда бір табақ ет жетпей қалады, үшеуара

бір табақ тартсақ, онда бір табақ ет артылып қалады, енді не істесек

екен?-дейді.

Бұл үйдің меймандары қанша? Үйде бар табақ саны қанша?

Шешуі: Табақ санын x десек, адам санын y деп белгілеп,

теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

y

x 1

2

y

x 1

3

Бұл жүйеден y 12, x 5 шығады.

Жауабы: Қонақ саны он екі, табақ саны бесеу.

7.52. Асық саны

Үш бала ойыннан кейін қайтып келе жатады.

- Үшеумізде он-оннан асық бар еді ғой. Енді кімде қанша асық

қалды?-деп сұрайды бойшаңдау бала серіктерінен.

- Онша көп ұтқыза қойған жоқпын,-деп ең кіші бала екі қалтасына

қолын сұғады. Оң қалтамдағы асықтың біреуін сол қалтама салсам,

онда екі қалтамдағы асық теңеледі. Ал егер сол қалтамдағы асықтың

біреуін оң қалтама ауыстырсам, онда оң қалтамдағы асық саны сол

қалтамдағыдан үш есе көп болады.

- Онда сендегі барлық асық менің ұтып алған асығыммен тең

екен, -дейді балалардың үлкені.

- Ең көп ұтылған мен болдым,-дейді сонда ортаншы бала

үлкеніне, менде қалған асық саны сенің барлық ұтып алғаныңның

жартысындай екен.

Ойыннан кейін қай балада қанша асық қалды?

Шешуі: Кіші баланың оң қалтасындағы асық санын y , сол

қалтасындағы асық санын x деп, теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

149

x

1

y 1

y 1

x

1

3

Осы жүйені шешсек, x 3, y 5 шығады. Кіші балада барлығы сегіз

асық қалды. Үлкенінің ұтып алған асықтар саны сегіз, оған алдыңғы

он асығын қоссақ, он сегіз болады.

Жауабы: Үлкенінде он сегіз асық, кішісінде сегіз асық,

ортаншысында төрт асық қалады.

7.53. Қап-қап бидай.

Егіні бітік болып, қырманы қызылға толған диқан барлық

бидайын есік алдындағы тақырға түсіріп алады да, оның біразын екі

ұраға тең бөліп көмуді ойлайды.

Диқан бірінен бірі үш пұт артық сыйатын үш қап дайындайды да,

оның ең кішісін қызына, орташа қапты ұлына береді. Өзі үлкен қапты

алады. Сөйтіп үшеуі есік алдындағы тақырда жатқан таза да құрғақ

бидайды ұраға құюға кіріседі. Әке екі ұраның біреуін иемденеді де,

ұлы мен қызын тап осындай екінші ұраға жібереді.

Өзара бәсекеге түскен үшеуі бірінен-бірі қалыспай өз ұрасына

қапшығымен он реттен астық тасығанда екі ұра да толады. Бұдан кейін

әкесі ұраға сабан шаншып, бетін топырақпен жұқалап көмеді. Мұнысы

астық қызып кетпеу үшін істеген қамы еді.

Бұлардың әрқайсысының қабы неше пұттық? Қай ұраға қанша

пұт астық құйылған және әркім қанша пұт астық тасып төккен?

Шешуі: Ең кіші қапқа x пұт сыяды деп алайық. Сонда бір белгісізі

бар теңдеу шығады:

10x

x 1 10x

2

Бұдан x 1 екенін көріп тұрмыз. Қаптар бір пұттық, ек іпұттық, үш

пұттық екенін таптық. Әр ұраға отыз пұт астық тасылған.

Жауабы: Әкесі отыз пұт, ұлы жиырма пұт, қызы он пұт тасыған.

7.54. Ат пен қашыр

Ескілікті есептердің бірі мынандай болып келеді.

Ауыр жүк артылған ат пен қашыр қара жол үстінде қатар келе

жатады. Үстіне артылған жүгінің шамадан тыс ауыр екенін айтып, ат

қатты налиды

- Сен несіне ренжіп келесің? –дейді оған қашыр.

- Егер сенің үстіңдегі бір қапты менің арқама артса, онда менің

жүгім сенікінен екі есе ауыр болып кетер еді.

150

- Ал егер мен сенің үстіңдегі бір қапты алсам ше? - деп сұрайды

ат.

- Онда екеуміздікі тепе-тең шығар еді,-дейді қашыр.

Айтыңдаршы, данышпандар, ат үстінде және қашыр үстінде

қанша қаптан жүк болды?

Шешуі: Ат үстіндегі қап санын x , қашыр үстіндегі қап санын y

арқылы белгілейік те, теңдеулер жүйесін құрастырайық:

y 1

x

1

2

x

1

y 1

Жүйені шешсек x 5 , y 7 шығады.

Жауабы: Ат үстінде бес қап, қашырда

жеті қап.

7.55. 5 литрлік және 3 литрлік шелекті пайдаланып, бөшкеден 4

литр су құйып ал.

7. 56. және 4 литрлік шелекті пайдаланып, су жүргізетін құбырдан

3 литр су құйып ал.

7.57. Екі құм сағат бар: 7 минуттік және 11 минуттік. Ботқа 15 минут

пісуі керек, сағатты ең кем дегенде неше рет аударып, ботқаны қалай

пісіруге болады?

7.58. Тоғыз литрлік шелекті және төрт литрлік бидонды

пайдаланып, тоғаннан 7 литр су құйып ал.

7.59. Сыйымдылығы 9 және 11 литрлік екі шелекпен, тоғаннан 4 л

су құйып ал.

7.60. Толық 8 литрлік шелектен, үш литрлік және бес литрлік бос

банканың көмегімен 4 л су құйып ал. Суды жерге төгуге болмайды,

басқаша айтқанда, басқа ыдысты пайдалануға болмайды.

7.61. Он екі литрлік бөшкеде квас бар, соны сегіз литрлік және үш

литрлік екіге тең қалай бөлуге болады?

7.62. Литрлік бөшкеде су бар және 7 литрлік, 2 литрлік бос ыдыстар

бар. Екі ыдысқа бес литрден суды қалай тең бөлуге болады?

7.63. Тоғыз литрлік және төрт литрлік екі ыдыс берілген. Осы

ыдыстардың көмегімен бактан алты литр суды қалай алуға болады?

(суды бакқа қайта құюға болмайды).

151

7.64. Бөшкеде 12 шелектен кем емес жанармай бар. Тоғыз шелектік

және бес шелектік бөшкелердің көмегімен 8 шелек жанармай құйып

алуға бола ма?

7.65. Екі құм сағат бар: 3 минуттік және 7 минуттік. Жұмыртқа 11

минут піседі. Берілген сағаттардың көмегімен, осы уақытты қалай

өлшеп алуға болады?

7.66. Үстел үстінде қатарымен бес монета жатыр: ортаңғысы сан жағы

жоғарыда, ал қалғандарында елтаңба жағы жоғары қаратылған.

Көршілес үш монетаны бірге аударуға болады. Осындай бірнеше

аудару арқылы барлық монеталарды сан жағымен қаратуға бола ма?

7.67. Үш кірпі салмағы 5 г, 8 г және 11 г үш тілім ірімшікті бөлді. Түлкі

оларға көмектесе бастады. Түлкі кез келген екі тілімнен 1 г ірімшіктен

жеп қоя алады. Түлкі кірпілерге үш бірдей ірімшіктен қалдыра алама?

7.68. 6 жабық чемодан және оларға 6 кілт бар. Қандай чемоданға

қандай кілт келетіні белгісіз. Барлық чемодандарды ашу үшін, ең кем

дегенде неше әрекет жасау керек?

7.69. Отбасы түнде көпірге жақындады. Әкесі көпірді бір минутте өте

алады, анасы 2, баласы 5, ал әжесі 10 минутте. Оларда бір ғана

шамдары бар. Көпір тек қана екі адамды көтереді. 17 минут ішінде

олар көпірді қалай өтеді?

7.70. Түйе банан өсіреді. Осы жылы ол 3000 банан өсірді. Ал оларды

сатуға болатын жер 1000 км жерде орналасқан. Бір рет барғанда түйе

1000 бананды ғана көтере алады, ал әр километр жолында 1 бананнан

жеп қояды. Түйе қанша банан сата алады?

7.71. Үстел үстінде 37 сіріңке жатыр. Екі ойыншының әрқайсына

кезекпен 5 сіріңкеден артық емес сіріңке алуға болады. Соңғыны алған

ойыншы жеңімпаз болады. Ойынды кім ұтады, ойынды бастаған ба

әлде екінші ойыншы ма?

7.72. Үстел үстінде қатарымен 8 тиын жатыр. Бір жүрген кезде бір

тиынды алып көршілес екі тиыннан өткізіп үшінші тиыннын үстіне

қоясың. Төрт рет жүрген кезде 2 монетасы бар 4 стопка шығу керек.

152

7.73. Екі үйме сіріңкелер бар. Біріншіде 7 сіріңке, екіншіде 5. Бір

жүрген кезде бір үймеден ғана сіріңкелерді алуға болады. Сіріңке

қалмаған ойыншы жеңеді. Кім ойынды жеңеді, ойынды бастаған ба

әлде екінші ойыншы ма?

7.74. Әкесі мен ұлына бірге 65 жас. Әкесіне 25 жас болғанда, ұлы туды.

Әкесі мен ұлының жасы нешеде?

7.75. Арыстан бір қойды 2 күнде жеді, қасқыр 3 күнде, ит 6 күнде. Олар

бірге қосылып қойды неше күнде жеп қояды?

7.76. Үш ұл балада бірнеше алмадан бар. Бірінші ұл қалған екі ұлда

қанша алма болса, сонша алмадан оларға таратады. Сосын екінші ұл

қалған екі ұлдың әрқайсында қанша алма болса, сонша алмадан

таратады және үшінші ұл да әрқасында қанша алма болса сонша

алмадан береді. Содан кейін ұлдардың әрқайсында 8 алмадан болып

шықты. Алғашқыда ұлдардың әрқайсында қанша алмадан болды?

7.77. Мен бір санды ойладым, оған екіні көбейтіп, үшті қосқанда 17

саны шықты. Мен қандай санды ойладым?

7.78. Бір күні шайтан жалқауға табыс табуды ұсынады. “Мына

көпірден өткеннен кейін, сенің ақшаң екі есе өседі – деді ол. Бұл

көпірден қанша рет өтсең де өтуге болады, бірақ әр өткен сайын маған

24 тиыннан беріп отырасың” Жалқау келіседі және үш рет өткеннен

кейін бір тиынсыз қалады. Бастапқыда жалқаудың қанша ақшасы

болды?

7.79. Туристер тобы жорыққа шығады. Бірінші күні жолдың 1/3 өтеді,

екінші күні қалған жолдың 1/3, үшінші күні қалған жаңа жолдың 1/3

өтеді. Нәтижесінде оларға әлі де 32 км жүру қалды. Туристтердің

маршруты неше километр болды?

7.80. Рулетка ойынын ойнап, Асқар ақшасын екі есе ұлғайтты, сосын

10 тг жоғалтты, содан кейін ақшасын 3 есе көбейтіп 12 тг ұтты.

Нәтижесінде Асқарда 60 тг қалды. Ол ойынды қанша ақшамен

бастады?

153

7.81. Қыз бақтан алма жинады. Бақтан шығу үшін ол 4 қақпадан өтуге

мәжбүр болды, әр қақпада жолаушылардың жарты алмаларын алып

қоятын, қатал күзетші күзетіп отырды. Үйге қыз бары жоғы 10 алма

ғана әкелді. Күзетшілерге қанша алмадан тиді?

7.82. Арман, Берік және Сержан маркаларымен алмасты. Берік өзінің 5

маркасын Сержанға берді. Сержан Арманға 4 марка берді, Арман

Берікке 2 марка берді. Нәтижесінде үш балада маркалардың саны тең

болды. Егер үш доста барлығы 30 марка бар болса, бастапқыда

Арманда қанша марка болған?

7.83. Екі батыр кезекпен тоғызбасты айдаһармен соғысады. Олар

кезекпен оның үңгіріне кіріп 1, 2 және 3 бастан шауып тастай алады.

Қалай соғысты бірінші бастаған батырға жеңімпаз атағын алуға

болады ( соңғы басын шауып тастаған)?

7.84. Үймеде 50 тас жатыр. Екеуі кезекпен оған 1-ден 10-ға дейін

тастарды қосады, кім бірінші үймедегі тастар санын 100-ге жеткізеді,

сол жеңімпаз болады. Ол кім болады – бірінші ме әлде екінші ме?

Жеңімпазға қанша жүріс қажет болды?

7.85. Әкесі мерекеге балаларына бір қорап кәмпит сатып алды. Жеңіс

кәмпиттердің жартсын және бір кәмпиттің жартсын алды, Айжан

қалдықтың жартсын және жарты кәмпитті алды. Қанат жаңа

қалдықтың жартсын және жарты кәмпит алды. Мерей қалған

кәмпиттің жартсын және тағы да жарты кәмпитті алды. Содан кейін

қорапта 1 кәмпит қалды. Қорапта қанша кәмпит болды?

7.86. Айбек, Берік, Бектас және Ғалымбек – жолдастар. Олардың біреуі

– дәрігер, екіншісі – журналист, үшіншісі – спортсмен, ал төртіншісі –

құрылысшы. Журналист Айбек және Ғалымбек туралы мақала жазды.

Спортсмен және журналист Берікпен бірге жорыққа шығады. Айбек

және Берік дәрігердің қабылдауында болды. Кімде қандай мамандық?

7.87. Үшеуі әңгімелесіп тұр: Белокуров, Чернов және Рыжов.

Қарашашты Белокуровқа айтады: “Қызық екен, біреуіміз ақ сары

шашты, екіншісі қара шашты, ал үшіншісі жирен шашты, бірақ

154

шаштарымыздың түсі тегімізге сәйкес келмейді”. Әңгімелесіп

тұрғандардың әрқайсының шаштарының түсі қандай?

7.88. Жолаушының бір ешкісі, бір капустасы, бір қасқыры бар. Ол

өзеннің бір жағынан екінші жағына екі орынды қайық арқылы өтуі

керек. Жолаушы ешкіні, капуста және қасқырды өзеннен қалай

өткізеді? Қасқырды ешкімен қалдыра алмайды, ал ешкіні капуста мен

қалдыра алмайтыны белгілі болса.

7.89. Бір аулада төрт жолдас тұрады. Болат және жасы Серіктен үлкен

жүргізуші; Марат және слесарь бокспен шұғылданады; электрик

жолдастардың кішісі; Кешке жақын Асан және токарь, Серік пен

электрикке қарсы домино ойнайды. Жолдастардың әрқайсының

мамандығын анықтаңдар.

7.90. Әуе компаниясы 36 бағыт бойынша халыққа қызмет көрсетеді.

Осы 36 бағыт бір-бірімен әуе жолы арқылы байланысқан, қанша әуе

жолды қамтиді?

7.91. Асан Болат және Талғат бір сыныпта оқиды. Біреуі мектептен

үйіне автобуспен барады, екіншісі трамваймен, ал үшіншісі

троллейбуспен. Бір күні сабақтан кейін Асан досын автобус

аялдамасына шығарып салды. Олардың қасынан троллейбус өтіп бара

жатқанда үшінші досы автобустан айғалады: “Болат, сен мектепте

дәптеріңді ұмытып кеттің!”. Кім немен үйге қайтады?

7.92. Алдияр Нұртастан бір күнсіз тура бір жасқа үлкен. Алдияр 2002

жылы 1 қаңтарда туған. Нұртас қашан туған еді?

7.93. Төрт бала – Алпамыс, Біржан, Ерлан және Дәурен шаңғы

жарысына қатысты, келесі күні кім қандай орын алды - деген сұраққа,

олар былай жауап берді:

Алпамыс: Мен бірінші және соңғы болған жоқпын;

Біржан: Мен соңғы болған жоқпын;

Ерлан: Мен бірінші болдым;

Дәурен: Мен соңғы болдым.

Осы жауаптардың арасында үшеуі шындық, ал біреуі жалған

айтқаны белгілі. Кім шындықты айтты? Кім бірінші болды?

7.94. Оқушылар Асан және Үсен өз сумкаларын таразыға тартты.

Таразы 3 кг және 2 кг көрсетті. Олар таразыға екі сумканы бірге

қойғанда, 6 кг көрсетті. “Бұл қалай? – Асан таңғалды. 2+3 6-ға тең емес

155

қой”. “Сен көріп тұрған жоқсын ба, таразының тілі жылжытылған

ғой”- деп Үсен жауап берді. Шын мәнінде сумкалардың салмағы

қанша?

7.95. Жәшікте шарлар жатыр: 5 қызыл, 7 көк және 1 жасыл. 2 бір түсті

шарларды алып шығу үшін, жәшіктен қанша шарды алу керек?

7.96. Нұржан ұлымен және Бауыржан ұлымен балық аулауға барды.

Нұржан ұлы қанша балық ауласа, сонша балық аулады, ал Бауыржан

өзінің ұлынан 3 есе артық аулады. Барлығы 35 балық ауланды.

Бауыржан қанша балық аулады және оның ұлының есімі қандай?

7.97. Арман және Қанат эскалатормен төмен қарай бара жатты.

Эскалатордың ортасына келгенде, тентек Қанат Арманның бас киімін

жұлып алып, қарама қарсы эскалаторға лақтырып тастады.

Жәбірленген Арман бас киімін қайтарып алу үшін эскалатормен қайта

жоғары жүгіріп, содан соң төменге түсті. Айлакер Қанат Арманнан

ертерек үлгеру үшін эскалатордан төменге қарай жүгіріп, содаң соң

жоғары көтерілді. Кім бірінші үлгерді, егер балалардың жылдамдығы

эскалаторға қарсы тұрақты және қозғалыс бағытына тәуелді болмаса?

7.98. Патша, өз сарайынан жер астынан жол қазуға 2 жұмысшыны

жалдайды. Бір жұмысшы екінші жұмысшыға қарағанда 1 сағаттың

ішінде екі есе артық жол қазады, ал патша екеулеріне, әр сағатқа бірдей

төйлейді, Қайсысы арзандау болып шығады – бір-бірімен кездескенше,

бірлесіп екі жақтан бірге қазса немесе екеуі кезекпен жарты жолдан

қазса.

7.99. 100 кг жүкті көтеретін қайықпен, үш оқушы балық аулауға

барады. Олардың салмақтары 40 кг, 50 кг, 70 кг болса, өзен жағасынан

аралға дейін оқушылар қалай өтуі мүмкін?

7.100. Ниф-ниф және Нуф-нуф торайларында, сәйкесінше 4 және 8

бәліштен болды. Оларға Наф-наф келіп, бәліштен қонақ етуді сұрады.

Бәліштер әрқайсына теңінен бөлінді. Барлық бәліштер желінгеннен

кейін, Наф-наф торайларға ризалығын білдіріп, оларға 6 теңге берді.

Осы ақшаны Ниф-ниф пен Нуф-нуфқа қалай әділетті түрде бөлуге

болады?

7.101. Футбол командасының 11 ойыншысының орташа жасы 22.

Ойын кезінде бір ойыншы ережені бұзған үшін ойынның соңына дейін

алаңнан шығарылды. Алаңда қалған ойыншылардың орташа жасы 21

болды. Алаңнан шығарылған футболисттің жасы нешеде болды?

156

7.102. Марат, Талғат, Серік, Жанат және Қанат мұражайға келді және

кезекке тұрды. Егер Марат кезектің ортасында тұрса, онда ол Серік

және Қанаттың арасында болар еді, ал егер Марат кезектің соңында

тұрса, онда оның қасында Жанат тұруы мүмкін еді. Бірақ Марат

кезекте достарының алдында тұрды. Кезекте балалар қалай тұрды?

7.103. Математикадан мектепішілік олимпиадада қатысушыларға 6

есептен берілді. Әр шығарылған есепке 7 ұпайдан беріледі, ал әр

шығарылмаған есепке 3 ұпайдан алынады. Қатысушы неше есеп

шығарды, егер ол 12 ұпай алса? 2 ұпай? 32 ұпай?

7.104. Отбасында 3 бала: 2 ұл және қыз. Олардың есімдері А, В, Г деген

әріптерден басталады. А және В деген әріптердің біреуінен, бір ұлдың

есімі басталады, ал В және Г әріптерінің арасынан екінші ұлдың есімі

басталады. Қыздың есімі қандай әріптен басталады?

7.105. Төрт адам қол алысып амандасты. Барлығы қанша қол алысу

болды?

7.106. Төрт ағайынды Мерхат, Ербол, Әлішер, Темірлан 1, 2, 3, 4

сыныптарда оқиды. Ербол – үздік оқушы, кіші інілері одан үлгі алуға

тырысады. Әлішер 4 сыныпта оқиды. Мерхат ағасына есеп шығаруға

көмектеседі. Кім қандай сыныпта оқиды?

7.107. Дәулет, Айнұр, Зарина, Рүстем 12 ақпанда, 6 сәуірде, 12

маусымда, 26 маусымда туды. Қызық екен, Рүстем және Айнұр бір

айда туды, ал Зарина және Рүстем әр түрлі айлардың бір күнінде туды.

Дәулет қай айда туды?

7.108. Олимпиаданың жеңімпаздары сахнаға қатармен тұрды. Мектеп

директоры оларды құтықтап, байқады, ең жақсы қатысқан Ерлан, оң

жағынан бесінші болып тұр. Математика мұғалімі Ерланды сол

жағынан тоғызыншы болып тұрғанына назар аударды. Сахнада

барлығы неше оқушы тұрды?

7.109. Ата-аналар жиналысына барлығы 25 оқушының әкелері және

аналары келді. Аналар 20, ал әкелер –10 болды. Неше оқушының атааналар

жиналысына, әкесі де, анасыда келді?

7.110. Математика кабинетіне консультацияға үш оқушы жиналды:

Аружан, Берік және Салтанат. Аружанға сұраққа жауап беруге 5 минут

қажет, Берікке 2 минут, ал Салтанатқа 7 минут. Оқушылар кабинетте

аз уақыт болатындай, мұғалімге консультацияны қалай дұрыс құру

керек?

157

7.111. Санат әпкесі Күләшқа қонаққа келді, Қаланың ішінде қыдырып,

олар аурухананың алдына тоқтады. “Мен жиеніме барып шығамын” –

деді Санат. “Жақсы, -деді Күләш. – Мұнда менің ауру жиенім жоқ,

бүгін мен оған барып шыққанмын. Дүкенге кіріп шығайын.” Күләш

пен ауру жиеннің қандай туыстық қарым-қатынасы бар?

7.112. Жылқы бір арба шөпті 1 айда жеп қояды, ешкі – 2 айда, ал қой 3

айда. Жылқы, ешкі және қой бірге қосылып бір арба шөпті қандай

уақытта жеп қояды?

7.113. 12 адам 12 бөлке нан апара жатыр. Ер адамдар 2 бөлке наннан

апара жатыр, әйел –1/2 бөлке, ал бала ¼ бөлке. Неше ер адам, әйел адам

және балалар болды?

7.114. Өзенде 1 лала гүлдеді. Күн сайын гүлдер саны екі есе өсіп

отырды және 10-шы күні барлық өзен гүлдермен жамылып кетті.

Өзеннің жартысы, қандай күнде гүлдермен жамылды.

7.115. Мектепте сыпайылық күнін өткізгенде 5 а

сыныбының әр ер

баласы өз сыныбындағы қыз баламен қол алысып амандасты. Барлығы

77 қол алысу болды. 5 а

сыныбында қанша оқушы бар болуы мүмкін?

7.116. Мейрам күні Анна мен Бертаға қонақтар келді. Келген

қонақтардың 80% Анна біледі екен. Ал Берта 60%. Әр қонақ осы

қыздардың ең болмаса біреуімен таныс. Мейрамда неше қонақ болды?

7.117. Біреуі қасапханада жылқы соятынын көрші-қолаңына

хабарлайды. Белгіленген күні ол бордақысын сояды. Әр жерден ет

алушылар келеді. Сойылған малды төңіректеп тұрғандарды көзімен

санап шығып, ол сәл ойланып қалды: «Бұлардың әрқайсына жілктен

берсем . үш жілік ет артылып қалады. Екі жіліктен сатсам, үш адамға

ет жетпейді. Енді қандай амалын табайын?» Ет алуға келгендер неше

адам?

7.118. Орал, Ермек және Айнұр 6 сыныпта оқиды. Олардың арасында

үздік математик, үздік шахматист және үздік суретші бар.

а) үздік суретші өзінің портретін салмай, Ермектің портретін

салды;

ә) Айнұр ешқашан шахмат ойынында ұлдардан жеңіліп көрген

жоқ екені белгілі.

Сыныпта кім үздік математик, шахматист және суретші?

7.119. Сегіз лақты және тоғыз қазды бес қораға орналастырыңдар, әр

қорада лақтар да, қаздар да болатындай, ал аяқтар саны 10-ға тең болу

керек.

158

7.120. Үстел үстінде үш бірдей жәшік тұр, біріншісінде екі қара түсті

шарлар бар, екіншісінде – бір қара және бір ақ түсті шарлар,

үшіншісінде – екі ақ шар. Әр жәшікте жазылған: “2 ақ”, “2 қара”, “қара

және ақ”. Жазудың ешқайсысы шындыққа сәйкес келмейтіндігі

белгілі. Бір шарды ғана алып, жазулардың дұрыс орналасуын қалай

анықтаймыз?

7.121. Жазғы лагерьге үш жолдас демалуға келді: Мұрат, Болат және

Қанат. Оларды тегі: Абенов, Смагулов, Қасенов екені белгілі. Мұрат –

Қасенов емес. Болаттың әкесі инженер. Болат 6 сыныпта оқиды.

Қасенов 5 сыныпта оқиды. Абеновтің әкесі мұғалім. Балалардың

әрқайсының тегі қандай?

7.122. Мектепішілік математикалық олимпиадаға 6 сыныптың 9

оқушысы қатысты. Әр шығарылған есепке оқушы 2 ұпай алады, ал әр

шығарылмаған есепке 1 ұпай алынады. Барлығы 10 есеп ұсынылды. 6

сынып оқұшылардың олимпиадаға қатысушылар арасында, кем

дегенде 2 оқушы бірдей ұпай алғандығын дәлелде.

7.123. Үш құрбы ақ, көк, жасыл түсті көйлектерде және сондай түсті

туфли киіп шықты. Тек қана Ажардың көйлегінің түсі, туфлиінің

түсімен бірдей екені белгілі. Мадинаның көйлегі де, туфлиі де ақ түсті

емес. Назым жасыл түсті туфлиде болды. Құрбылардың әрқайсының

көйлегінің және туфлиінің түсін анықтаңдар.

7.124. 1000 метрлік жүгірістің алдында Андос алға ұмтылды, екінші –

Берік, ал үшінші Дәулет болды. Жүгіру кезінде Андос пен Берік 6 рет

орындарымен ауысып отырды, Берік пен Дәулет – 5 рет, Андос пен

Дәулет – 4 рет. Спортшылар қандай ретпен жүгіріп келді? Неге?

7.125. Айжан мен Тоғжанның бірге қосылған салмағы 40 кг, Тоғжан

мен Мадина – 50 км, Мадина мен Арман – 90 кг, Арман мен Дулат –

100 кг, Дулат пен Аружан – 60 кг. Аружанның салмағы қандай?

7.126. Төрт оқушы Асқар, Бауыржан, Дәулет және Ғалияның арасында

– біреуі үздік оқушы. Кім үздік оқушы, егер:

1) Асқар, Бауыржан және Дәулеттің арасында бір үздік оқушы;

2) Асқар, Дәулет, Ғалияның арасында бір үздік оқушы;

3) Асқар үздік оқушы емес?

7.127. Отбасында 4 бала бар. Оларға 5, 8, 13, 15 жас. Балалардың

есімдері Анар, Болат, Ғалия және Дәрия. Әр баланаң жасы нешеде,

егер бір қыз балабақшаға барса, Анар Болаттан үлкен және Анар мен

Ғалияның Жастарының қосындысы 3-ке тең бөлінсе?

159

7.128. Аралда екі қала бар, біреуінде тек қана шындықты айтатын

батырлар тұрады, ал екіншісінде - өтірікшілер. Үш адам кездесті А, Б

және С.

А айтады: “Б -өтірікші”

Б айтады: “А және С бір қаладан”

С деген кім?

7.129. Бақта тауықтар және қояндар тұрады. Барлық жануарлардың

бастарының саны 50-ге тең, ал аяқтар саны –160. Бақта қанша тауық

және қоян бар?

7.130. Қарғалар бір-бірден қайынға отыра бастады – бір қайын жетпей

қалды; екі-екіден отырғанда – бір қайын артық болып қалды. Қанша

қарға және қайын ағашы болды?

7.131. Мұғалім Санжарға 6 есеп шығаруға ұсынды. Әр шығарылмаған

есепке, мұғалім қосымша 2 есептен беріп отырды. Нәтижесінде

Санжарға 14 есеп шығаруға тура келді. Санжар неше есепті шығара

алмады?

7. 132. Арман, Болат, Қанат және Мирас футбол ойнады. Біреуі доппен

шыныны сындырды. “Кім оны істеді?” –деген сұраққа Арман, Болат

және Қанат “Мен емес”-деп жауап берді, ал Мирас – “Білмеймін” –

деді. Содан кейін екеуі шындықты, ал екеуі жалған айтқан болып

шықты. Кім шыныны сындырғанын Мирас біле ме?

7.133. 3, 5, 7 цифрларын пайдаланып неше екі таңбалы сан жазуға

болады?

7.134. 1, 2, 3, 4 цифрларын пайдаланып неше екі таңбалы сан

құрастыруға болады?

7.135. 5, 6, 7, 8 цифрларын пайдаланып неше екі таңбалы сан

құрастыруға болады?

7.136. Анчурия президенті өзінің мемлекетінде ту болғанын қалайды,

көлденеңнен үш түстен тұратын: сұр, қоңыр, күлгін. Президенттің

неше таңдау нұсқасы бар?

7.137. Ерлан және Арман математикадан бақылау жұмысын жазды,

әрқайсысы 2, 3, 4, 5 деген баға алуы мүмкін. Олардың баға алуының

қанша нұсқасы бар?

7.138. Түзудің бойында төрт нүкте белгіленген А, Б, С, Д. Қанша

кесінді пайда болды?

7.139. 0, 1, 2 цифрларын пайдаланып, қанша а) екі таңбалы, ә) үш

таңбалы сандар құрастыруға болады?

160

7.140. Турист Рим, Париж, Лондон және Афинада болғысы келеді,

бірақ қадай ретпен баратының білмейді. Оның алдындағы

сапаржелісінің қанша таңдау нұсқасы бар?

8. Прогрессияға арналған қызықты есептер

8.1. Төбесі ашық, табаны шаршы болып келген параллелипипед тәрізді

жәшік берілген. Жәшіктің табанының ауданы оның бүйір бетінің

ауданынан 176 см² артық. Жәшіктің биіктігі 10 см. Жәшіктің

табанының ауданын табыныз.

Шешуі: Табанындағы қабырғаны a деп белгілейік. Онда есептің

2

шарты бойынша S

таб

S б . б.

176,

ал S таб

a , S б . б .

4(10 a)

40a

екенін

2

2

ескерсек, a 40a 176. Бұдан a 40a 176

0 теңдеуін шешіп, a 44,

a 4

екенін табамыз, a 4 есептің шартына қайшы екендігі түсінікті.

Ендеше шаршының қабырғасы 44 см тең. Олай болса, табанының

ауданы

S a

2 44 2 1936

(см²).

Жауабы: 1936 см².

8.2. Арақашықтығы 1 метрден болатын 100 қада қағу керек болады.

Жұмысшы 100 қаданы әкеліп бір жерге жинап қояды да, одан 1 метр

жерге бірінші қаданы қағады. Қайта келіп екінші қаданы алып 2 метр

жерге қағады. Осы ретпен әрлі-берлі жүріп 100 қаданы қағып болғанда

жұмысшы қанша жол жүреді?

Шешуі: Арифметикалық прогрессияны қолданамыз :

a 1 n 100 2a

d n

n

1

S 1

( 1)

100

2

2 1

2(100 1)

2 2 99

d

100

1000

2

2

2 . S

100

100

м.

Жұмысшы 1000 метр немесе 1 км жол жүреді.


8.3. Бақшадағы қауындардың аралары 1 метрден бiр қатарда жатыр.

Қауынды бiрiншi қауыннан 2 метр жерге жинау керек. Бақшашы

қауындарды бiр-бiрлеп тасып жинады. Ол 15 қауынды жинағанда

қанша жол жүрдi?

Шешуі:

Арифметикалық прогрессияны қолданамыз:

a1 4 a15

4 14 2 32

161

4 32

S15 15

270

2

270м-2м=268м

15 қауынды жинағанда 268 м жол жүрді.


8.4. Соғымға жылқы сатып тұрған адам ту биеге бiр мың АҚШ

долларын сұрайды. Алушы қымбатсынады. Сонда жылқы сатушы?

«Егер биенiң тағаларына қағылған шегелердi сатып алсаң биенi тегiн

беремiн. Әр тағада 6 шеге бар. Бiр тағаны шегелерiмен тегiн ала ғой.

Үш тағаны шегелерiмен алсаң болғаны», – дейдi. Соғым сатып алушы

қуанып кетiп келiседi. «Онда, – дейдi сатушы, – бiрiншi шегеге – 1

теңге, екiншiсiне – 2 теңге, үшiншiсiне – 4 теңге, төртiншiсiне – 8 теңге,

яғни әр шегеге алдыңғысынан екi есе артық төлесең бие сенiкi».

Алушы арзанға түстi ғой деп есептеуге кiрiседi.

Ол биенi сатып алар ма екен? Құны қанша болады?

Шешуі: Бірінші шегеге- 1 теңге, екінші- 2 теңге, үшіншісіне- 4

теңге, төртіншісіне- 8 теңге, яғни әр шегеге алдыңғысынан 2 есе

артық төлесе, геометриялық прогрессияны қолданамыз: 1, 2, 4, 8,

16, ..., q 2 . Үш тағаның шегесінің саны - 18, 18 шегенің құны:

18

1

(1 2 ) 1 262144

S18

262143 теңге болады. Яғни

1 2 1

соғымның құны сатушының алғашқы бағасынан қымбат.


8.5. Алдаркөсе ат тағалатуға ұстаға келедi. Ат тағалатпақ болған

Шығайбай мен ұста келiсе алмай тұр екен. Ұста әр шегенi қағуға 150

теңге сұрайды.

Алдар ұстаның айтқанына келiсiп, атын тағалатады.

Ұстаның бағасын көпсiнген Шығайбай Алдарды оңаша алып шығып:

– Ұстаны көндiрiп арзанға тағалатып бер –деп өтiнiш айтады.

Алдар ұстамен сөлесiп келiседi де:

– Байеке, бiрiншi шегеге – 1 теңге, екiншi шеге – 2 теңге, үшiншiсiне –

4 теңге, төртiншiсiне 8 теңге төлейсiз, – дей бергенде бай:

– Болды! Шарт түсiнiктi, ұста iске кiрiс, – дейдi.

– Осы шартқа келiссеңiз он екiншi шегенi тегiн қағып беремiн, – дейдi

ұста.

Шығайбай екi тағаны қақтыруға неше теңге төледi?

Шешуі: Геометриялық прогрессия қолданамыз:

162

1,2,4,8,… q=2

S

1 (1 2 ) 1 2048

1 2 1

11

2047

Шығайбай 11 шегеге 2047 теңге төледі.

Жауабы: 2047.

8.6. Диқан сатуға қолайлы болу үшiн бидайды 9 қапқа бөлiп салады.

Бiрiншi қапқа 2 пұт бидай салса, келесiлерiнiң әрқайсысының салмағы

1 пұттан артып отырады. Үш адам барлық астықты үш қаптан тең

бөлiп сатып алыпты. Қанша пұт астық бар едi? Диқан астықты қалай

тең бөлiп салып қойған?

Шешуі: Диқан бірінші қапқа екі пұт, одан әрі әрбір қапқа 1 пұттан

артық салып отырғандықтан, бұл жерде арифметикалық прогрессияны

қолданамыз:

a десек, d =1 a a 8d

2 8 1

10

1

2

2 10

S

9

9 54, 54 : 3 18

2

9 1

екенін табамыз. Ендеше 54 пұт астық болған. Диқан астықты 18 пұттан

тең бөліп салған.


8.7. Барлық екі орынды натурал сандардың қосындысын табу керек.

Шешуі: Екі орынды натурал сандар айырмасы d 1, бірінші мүшесі

a1 10, соңғы мүшесі a n

99 тең болатын арифметикалық прогрессияға

құрайды. a n

a1 dn

1

формуласын пайдаланып, мүшелерінің санын

табамыз, яғни 99 10

n 1 1

n 90 . Арифметикалық прогрессияның

қосындысының формуласын пайдаланып, яғни

a1 an

S n ,

10

9990

S

4905 .

n

2

90

2

Жауабы: 4905.

8.8. Қанша мүшесін алса да, қосындысы мүшелерінің квадратының үш

еселенген көбейтіндісіне тең болатын арифметикалық прогрессияны

табу керек.

2

2a1

dn

1 2

Шешуі: Есептің шарты бойынша S n

3n ,

n 3n

n 0

болғандықтан, 2a1

dn d 6n

2a1

d 6

d

n . Есептің шарты бойынша

соңғы теңдеу n -ң кез келген мәнінде қанағаттандыруы керек, алайда

теңдеудің сол жағында n жоқ, онда теңдеудің оң жағы 6 d 0 болғанда

ғана n -ң өзгеруіне байланысты мәнін өзгертеді. Тек 6 d 0 болған

2

163

жағдайда, теңдеудің сол жағы -ге тәуелсіз болады, сондықтан d

болуы керек. Онда 2a 1

d 0 , демек a d 3 a 9, a 6 9 15 ... т.с.с.

164

Жауабы: 3;9;15;21;...

8.9. Үш әртүрлі бүтін сан бүтін еселігі бар геометриялық прогрессия

құрайды. Оларлың қосындысы -3 -ке тең. Осы сандарды табыңыз.

Шешуі: Айталық, b, bq ,

2

bq ізделінді сандар болсын

( bZ,

b 0, q 0, q 1)

. Сонда есептің шарты бойынша

немесе

2

b1

q q 3

(1)

2

b bq bq 3

q -дің кез келген мәнінде 1

q q

2 0 болғандықтан, бірінші теңдеу үшін

мынадай екі теңдеулер жүйесін құрамыз:

b

3

1

q q

b

1

1

q q

2

2

1;

3.

(2)

(3)

(2)-ден q 1, b 3

( q 0 түбірі есептің шартын

қанағаттандырмайды).

Бұл жағдайда геометриялық прогрессия -3; 3; -3 түрде болады,

бірінші және үшінші мүшелері тең болуы есептің шартына қарама -

қайшы болады. (3)-ден q 2, b 1

( q 1

түбірі есеп шартын

қанағаттандырмайды). Бұл жағдайда, ізделінді геометриялық

прогрессия -1; 2; -4 түрінде болады.

Жауабы: -1; 2; -4.

8.10. Бірінші мүшесі 1-ге тең үш бүтін сан арифметикалық

прогрессия құрайды. Егер екінші мүшеге 3-ті қосып, ал үшінші мүшені

квадрат дәрежеге шығарса, онда осы үш сан геометриялық прогрессия

құрайды. Осы сандарды табыңыз.

Шешуі: Айталық, 1, 1

d , 1 2d

- ізделінді сандар болсын ( d - бүтін

2

сан). Есептің шарты бойынша 1, d 4, 1

4d 4d

- геометриялық

прогрессия. Геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі екінші

мүшесінен бастап екі көрші мүшелерінің геометриялық ортасы болып

табылатындықтан, мынадай теңдеу аламыз:

2

2 2

5

d

1

4d

4d

3d

4d

15

0 d 3, d . Екінші түбір есептің

шартын қанағаттандырмайтындықтан,

сандар : 1; 4; 7.

n 6

1

4

1 2

2

d 3

2

3

3

болады. Демек, ізделінді

Жауабы: 1; 4; 7.

8.11. Тізбектелген үш сан геометриялық прогрессия құрайды. Егер

екінші санға 2-ні қосса, онда олар арифметикалық прогрессия

құрайды. Егер бұдан кейін үшінші санға 16-ны қосса, онда олар

қайтадан геометриялық прогрессия құрайды. Осы сандарды табыңыз.

Шешуі: Айталық, b1

, b2, b3

- геометриялық прогрессияның

тізбектелген мүшелері болсын. Онда есептің шарты бойынша, b1

, b 2

2

, b3

- арифметикалық прогрессия, ал b1

, b2 2 , b 3

6 -геометриялық

прогрессия құрайды. Арифметикалық және геометриялық

прогрессиялардың қасиеттерін пайдаланып, теңдеулер жүйесін

құрамыз:

b

b

2

b

2 b b

16

2

2

2

2

b 1

1

b

1

b

3

b

2

1

b

2

1

3

3

1

9

немесе b , b 2

3 немесе b , b 3

9 немесе b 3

.

1

2

Жауабы: — 1;3;9 немесе ; ; .

8.12. Бір пункттен бір уақытта екі спортшы шықты. Бірінші спортшы

алғашқыда 1 минутта 200 метр, одан кейінгі әрбір минутта

алдыңғысына қарағанда 50 метр артық жүгірді. Екінші спортшы

алғашқы минутта 300 метр, кейінгілерінде алдыңғысына қарағанда 60

метр кем жүгірді. Қанша минуттан кейін екеуінің арақашықтығы 260

метр болады?

Шешуі: Әрбір спортшының минутына жүгіріп өтетін метрлерінің

саны арифметикалық прогрессия құрайды. Бірінші спортшы үшін

бірінші мүшесі 200, айырымы 50 болғанда, екінші спортшы үшін

бірінші 300 және айырымы 60 болады. Сондықтан екеуінің ара

қашықтығы 260 метр болғанда кететін минуттардың саны мына

теңдеуден табылады:

200 200 50( n 1)

300 300 60( n 1)

n

n 260 ,

2

55n 2 155n 260 0 11n

2 31n 52

0

n

31

961

2288 31

57

n

211

22

1/

2

1

2

4

, n .

Есептің шарты бойынша оң түбірін аламыз.Демек, 4 минуттан кейін

екеуінің арақашықтығы 4 минут болады.


2

5

9

13

11

25

9

1

9

5

9

25

9

165

8.13. Арифметикалық прогрессия құрайтын үш санның қосындысы

15-ке тең. Егер осы сандарға сәйкес 1, 4, 19 сандарын қоссақ, онда

геометриялық прогрессияның алғашқы үш мүшесі шығады. Осы үш

санды табыңыз.


a1 a2

a3

15 a1 a1

d a1

2d

15

d 5 a1

.

Геометриялық прогрессияның алғашқы үш мүшесі

a1 1, a2 4 , a 3

19

болғандықтан, геометриялық прогрессияның

қасиетін пайдаланып, теңдеу құрамыз:

2

a2 4 a1

1 a3

19. Арифметикалық прогрессия бойынша a 2

a 1

d ,

a3 a1

2d

болғандықтан, теңдеу мына түрге келеді:

2

a1 d 4 a1

1a

1

2d

19

. Бұл теңдеуге d 5 a1

мәнін қойып,

2

2

a1 5 a1

4 a1

1 a1

25

a1

19 a1

28a1

52 0 a1/

2

14

12

a1 26 немесе a

1

2 . Табылған мәндерді орнына қойып, d1 21

, d1 3

екенін анықтаймыз. Сонымен, геометриялық прогрессияның алғашқы

үш мүшесі 26;5;-16 немесе 2;5;8 болады.

Жауабы: 26;5;-16 немесе 2;5;8.

8.14. Тауға қарай көтеріліп бара жатқан турист бірінші сағатта 800 м

биіктікке көтерілді, ал әрбір келесі сағатта, алдыңғы сағаттағыға

қарағанда, 25 м кем биіктікке көтерілді.5700 м биіктікке ол неше

сағатта көтеріледі?

Шешуі: Тауға көтерілген туристің жолы арифметикалық прогрессия

құрайды. Сондықтан оның алғашқы мүшесі 800 м , айырымы (-25 м)

болады. Есептің шарты бойынша a1 800, d 25

, S n

5700

болғандықтан, теңдеу құрамыз:

2800

25n

1

25n

2

2

n 5700

2

1625n

11400

0 n 65n

456 0

n1 8 , n 2

57 .

Есептің шартын n 8 мәні ғана қанағаттандырады. Демек, турист 5700

метр биіктікке 8 сағатта көтеріледі.


8.15. Атыс жөнінен өткізілген жарыста саны 25 атыс сериясында әрбір

мүлт жібергені үшін атқышқа айып ұпай былайша есептеледі: бірінші

рет мүлт жібергенде- 1 айып ұпай, ал келесі әрбіреуі үшін алдыңғыдан

жарты ұпай артық қосылып отырады. Жеті айып ұпай алған атқыш

нысанаға неше рет тигізген?

166

Шешуі: Есептің шарты бойынша n 7 , онда 7 айып ұпай алған

атқыштың қанша оғы тимегенін білу үшін арифметикалық

прогрессияның жалпы мүшесінің формуласын қолданамыз:

a n

a1 n

1d

. Ендеше, a7 1

6

0,5 4 . Демек, жеті айып ұпай алған

атқыш нысанаға 25 4 21 рет дәл тигізген.

Жауабы: 21 рет.


8.16. АВ сәулесінде алғашқы мүшесі а -ға тең, шексіз кемімелі

геометриялық прогрессия құрайтын [AA 1 ], [A 1 A 2 ], ...,[A n-1 A n ] n кесінді

салынған. Осы кесінділердің әрқайсысында диаметрге орналсқандай

жарты шеңбер салынған. Шектеусіз өскен сайын алынған фигураның

5a

контурының ұзындығының шегі

2

-ге тең. Прогрессияның

еселегін табыңыз.

Жауабы: 0,4 .

8.17. Құдықтың алғашқы темір - бетон дөңгелек қалқанын дайындап,

әрі орнату үшін 10 теңге төленді, ал әрбір келесі қалқанды орнатқан

сайын, алдыңғыға қарағанда, 2 теңге артық төленді. Жұмыстың

соңында тағы да 40 теңге төленді. Бір дөңгелек қалқанды дайындау

4

мен орнатудың орташа құны 22 теңгеге түсті. Қанша қалқан

орнатылған?

Жауабы: 9.

8.18. Шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінің

қосындысы осы прогрессияның еселігін 100-ге көбейткенге тең және

оның бірінші мүшесінен 4-ке артық.. Прогрессияны табыңыз.

Жауабы: 1) -24; 4,8; -0,96;....2) 16; 3,2; 0,64;....

8.19. Екінші мүшесінің біріншіден 35-і кем, ал үшінші мүшесінің

төртіншіден 560-ы артық болатындай геометриялық прогрессия

құрайтын 4 санды табыңыз.

2 2 2 2

Жауабы: 7;

28;112;

448

не 11

; 46

; 186

; 746

.

8.20. 3-ке бүтіндей бөлінетін барлық оң жұп екі таңбалы сандардың

қосындысын табыңыздар.

Жауабы: 810.

9

6

3

3

3

3

167

8.21. 3-ке бөлінетін барлық оң жұп үш таңбалы сандардың

қосындысын табыңыздар.


8.22. Үшбұрыштың қабырғалары үдемелі геометриялық прогрессияны

тетелес үш мүшесі болып отыр. Бұл прогрессияның еселігі 2 санынан

артық па, әлде кем бе?

Жауабы: кем.

8.23. Мүшелері оң болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның

алғашқы үш мүшесінің қосындысы 10,5; ал прогрессияның қосындысы

12-ге тең. Прогрессияны жазыңыз.

Жауабы: 6; 3; 1,5.

8.24. Мүшелері оң өспелі геометриялық прогрессияның бірінші және

төртінші мүшелерінің көбейтіндісі 27, ал екінші мен үшінші

мүшелерінің қосындысы 12-ге тең. Екінші мен бесінші мүшелерінің

қосындысын табыңыз.

Жауабы: 84.

8.25. Алғашқы жүз жұп натурал сандардың қосындысын табыңыз.


9 Теңдеулер жүйесін құрып шығаруға арналған мәселе есептер

9.1. Екі құбыр бірігіп жұмыс істегенде бак 12 минутта толады.

Алдымен бір құбыр арқылы бактың жартысын, сонан соң екіншісімен

қалған жартысын толтыру үшін 25 мин қажет болды. Әрбір құбыр

жеке өзі бакты неше минутта толтырар еді.

Шешуі:

1минут екеуі бірге

1

1

І құбыр х мин толады бөлік бөлік

ІІ құбыр у мин толады

1 1 1

х у 12

х

2

1

у

168

бөлік

І құбыр бактың жартысын минутта, ал ІІ құбыр жартысын

х

минутта толтырады. Ендеше екеуі бірге кезектесіп құйғанда 25 минут

уақыт жұмсалады.

12

у

2

1

1 1

x y 12

x y

25

2

2

y 2 – 50y + 600 = 0

12

y 12

x xy

x

y 50

y = 25 625 600 25 5 ;

y1

20,

x1

30,

y

x

30.

20.

Жауабы: 30 мин, 20 мин.

9.2. Екі құбыр бір мезгілде іске қосылғанда бассейн 40 сағ-та толады.

1

Бассейіннің -ін бірінші құбыр, ал қалған бөлігін екінші құбыр

арқылы толтыру үшін 78 сағ керек болар еді. Әр құбыр жеке өзі

бассейнді қанша уақытта толтыра алады?

Шешуі:

1 сағ екеуі бірге

1

1

І құбыр х сағ.

бөлік

ІІ құбыр у сағ.

1

1

x y

2

2

3

1

40

x 2

y 78 x

2y

3 3

x

234 2y

40

y 9360 80 y 234 y 2y

2y 2 – 274y + 9360 = 0

y 2 – 137y + 4680 = 0

D = 18769 – 18720 = 49

137 7

2

} 40 с.

x

50 y

12

y 12(50

y)

(50 y)

y

y = ; y1 = 65, y2 = 72

х

40

y 40 x xy

234

2

x1 = 104, x2 = 90

Жауабы: 65 сағ. 104 сағ. немесе 72 сағ. 90 сағ.

9.3. Екі қаланың аралығы 480 км, сол аралықты жолаушы пойызы жүк

тасушы пойызға қарағанда, 4 сағ жылдамырақ жүріп өтеді. Егер

жолаушы пойызының жылдамдығын сағатына 8 км арттырса, онда

жолаушы пойызы барлық аралықты 10 сағ-та жүріп өтеді. Әрбір

пойыздың жылдамдығын табыңдар.

169

1

у

12

x

50 y

12

y 600 12

y 50 y y

x

234 2y

40

y 40(234 2y)

(234 2y)

y

2

Шешуі:

Жүк поезы х км / сағ

480

сағ.

Жолаушылар поезы у км / сағ сағ.

480 480

4

х у

480 10

у 8

жолаушы поезы у + 8,

480

480

4

x y 480

y 480 x 4xy

480

10

480

10 y 80

y 8

4800

120

x 40 x

y

40

y

40

y

40

160

x 4800 x

30


9.4. Арақашықтығы 180 км А мен В қалаларынан бір уақытта бірбіріне

қарама –қарсы шыққан екі пойыз 3 сағ-тан кейін кездесті. Олар

кездесненен кейін А қаласынан шыққан пойыз 2 сағ жүріп, В қаласына,

ал В қаласынан шыққан пойыз 4 сағ 30 мин жүріп, А қаласына келіп

жетеді. Әр пойыздың жылдамдығын табыңдар.

Шешуі:

Жылдамдығы 3 сағат жүрген жолы

І поезд х км/сағ 3 х км

} 180 км

ІІ поезд у км/сағ 3 у км

І теңдеу. 3x + 3y = 180

x+y = 60

x

y 60

9

2x

y 180

2

x

60 y

5y

120

2x = 3y 2x + 4 y = 180

1

2

4 y = 3x

x

y 60

4x

9y

360

x

60 y

y

24

1

2

х

480

у

120

y 120

x xy

10

y 400

x

60 y

4(60

y)

9y

360

x1

36

y1

24

A C B

3x

3y

x

60 y

240

4y

9y

360

Жауабы:

36 км/сағ, 24 км/сағ.

170

9.5. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің қосындысы 5 см-ге , ал

ауданы 2 см 2 – қа тең. Тікбұрышты үшбұрыштың

B

гипотенузасын табыңдар. Есептің неше шешуі болатынын

анықтаңдар.

a

b 5

a

a

b 5 a

5 b a

5 b

Шешуі: 1

ab 2

2

ab

4

2

b(5

b)

4 5b

b 4

b 2 C в A

– 5b +4=0

5 3

D=25 – 16 = 9, b = ,

c 2 = 1 2 + 4 2 = 17

c =

17

2

b1

1,

a1

4,

Жауабы:

, бір шешімі бар.

9.6. Автобустың А пунктінен шыққан уақытынан жарты сағат

өткенде В пунктінен мотоциклші оған қарсы жүрді. Автобуспен

кездескеннен кейін бір сағат және автобус В пунктіне келіп жетеді. А

мен В пунктінің аралығын 90 км деп алып, автобус пен мотоциклшінің

жылдамдықтарын табыңдар.

Шешуі:

Мотоциклші х км/сағ

90

сағ.

90

х

Автобус у км/сағ сағ.

Автобус 1 сағ көп жұмсады.

90 90

1 у

у

b2

4.

a2

1.

17

A у км C B

1 сағ х

х

2

АС = y км

х 3х

ВС = x + = км

3х

2

90

90

1

x y

3x

y 90

2

y + = 90

2

90

y 90 x xy

2y

3x

180

y = 90 - 1,5 x

90(90 – 1,5x) – 90x = x (90 – 1,5x)

8100 – 270x – 90x = 90x – 1,5x 2

171

1,5x 2 – 315x + 8100=0

x 2 – 210x + 5400 = 0

x = 105 5400

есеп шартын қанағаттандырмайды.

Жауабы: Автомобиль жылдамдығы 30 км/сағ

Мотоциклші 45 км/сағ

9.7. Арақашықтығы 112 км А мен В пункттерінен бір мезгілде екі

электр пойызы біріне-бірі қарсы шығып, 56 мин өткенде кездеседі. Сол

жылдамдықпен әрі қарай жүріп, А-дан шыққан пойыз екінші

пойыздың А-ға келген уақытынан 15 мин бұрын В пунктіне жетеді. Екі

пойыздың жылдамдықтарын табыңдар.

Шешуі:

x1

30

x2

180

11025 105 75

x1

30

y2

45

І поезд х км/сағ х км

ІІ поезд у км/сағ у км

14 14

х у 112

15 15

112

х

112

ІІ поезд

у

І поезд сағ 15 мин = сағ - =

сағ

14

15

14

14

x y 112

15 15

14

x 14

y 1680

112 112 1

448

x 448 y xy

y x 4

x

120 y

448(120

y)

448 y y(120

y)

x

y

y 2 – 120y – 896y + 53760=0

y 2 – 568y + 53760=0

y = 284 80656 53312 284 27344

y 2 – 1016y + 53760 =

D = 1032256 – 215040 = 817216

180

90 1,5

180

y = , y 1 = 56, y 2 = 960 емес ,

2

2

14

15

284

1016 904

2

} 112 км

1

4

112

у

x

y 120

448

x 448 y xy

x

120

y

120

112

х

1

4

y1

56

x1

64


172

9.8. Арақашықтығы 80 км А мен В қалаларынан бір мезгілде біріне –

бірі қарсы екі автомобиль жолға шықты. Кездескеннен кейін 20 мин

өткенде автомобильдердің біреуі В қаласына, ал 45 мин өткенде

екіншісі А қаласына келеді. Әрбір автомобильдің жылдамдығын

табыңдар.

Шешуі:

Жылдамдығы

80

1

І автомобиль х км/ сағ. сағ. ВС = х км

ІІ автомобиль у км/ сағ. сағ. АС = у км

І – ші теңдеу

1 3

х у 80

3 4

х

80

у

ІІ автомобиль 25 мин кеш келді деп ІІ – ші теңдеуді құрамыз.

80 80 25 5

у х 60 12

1

3

x y 80

3 4

4x

9y

960

4x

9y

960

80 80 5

960

x 960 y 5xy

192

x 192

y xy

y x 12

960 9y

x

4

192

x 192

y xy

x

240 2,25 y

192(240

2,25 y)

192

y y(240

2,25 y)

46080 – 432у – 192у – 240у + 2,25у 2 = 0

2,25y 2 – 864y + 46080 = 0

y 2 – 384y + 20480 = 0

y = 192 36864 20480 192

16384 192

128

y 1 = 64, y 2 = 320, y < 240

x 1 = 240 – 144 = 96

Жауабы: 96 км/сағ, 64 км/сағ;

9.9. Арақашықтығы 270 км екі қаладан бір мезгілде біріне – бірі қарсы

екі пойыз жолға шығып, 3 сағ-тан кейін кездесті. Олардың біреуі жолға

екіншісіне қарағанда, 1 сағ 21 мин артық уақыт жұмсады. Әр

пойыздың жылдамдығын табыңдар.

3

3

4

173

Шешуі: жолы

І поезд х км/сағ 3 х км

ІІ поезд у км/сағ 3 у км

І поезд сағ 1 сағ 21 мин = 1 +

ІІ поезд

270

х

270

у

сағ

3x

3y

270 x

y 90

270

270 27 10

10 1

x y 20

x y 20

x

90 y

200

y 200(90 y)

y(90

y)

200y – 18000 + 200y - 90y + y 2 = 0

y 2 + 310y - 18000 = 0

y = - 155 18000

155

y 1 = -360 емес


174

} 270

км

1

y 2 = 50, x 2 = 40

Жауабы: 50 км/сағ, 40 км/сағ;

9.10. Екі гир мен үш гантельдің салмағы 47 кг, ал 3 гир 6 гантельден

18 кг-ға ауыр. Гирдің және гантельдің салмақтары қандай?

Жауабы: 16 және 5 кг.

9.11. 8 жылқы мен 15 сиырға күніне 162 кг шөп берілді. Егер 7 сиырға

қарағанда 5 жылқыға күніне 3 кг артық шөп берілсе, онда күнде әр

жылқы мен әр сиырға қанша шөп берілген?

Жауабы: 9 жылқы 6 сиыр.

9.12. Бірінші қамбадағы бидай екінші қамбадағыдан қарағанда 2 есе

көп.Бірінші қамбадан 750 т бидай әкетіліп, ал екінші қамбаға 350 т

бидайды әкеліп құйса, екі қамбадағы бидай бірдей болар еді.

Алғашқыда әр қамбада қанша бидай болған?

Жауабы: 1100т және 2200т

9.13. 42 адамнан тұратын туристік топты 2 және 3 орынды нөмірлерге

орналастырды. Барлығы 16 нөмір болды. Осылардың арасында қанша

екі орынды және үш орынды нөмірлер болды?

Жауабы: 6 екі орынды және 10 үш орынды.

11

60

x

90 y

200

y 200 x xy

24025 42025 155

155

205,

7

20

1

7

20

С.

9.14. 22 метр матадан 4 ерлер және 2 балалар пальтосын тігуге болады.

Егер 26 метр матадан 2 ерлер және 6 балалар пальтосын тігуге болса,

бір ерлер және бір балалар пальтосын тігуге неше метр мата керек

болады?

Жауабы: 4 метр және 3 метр.

9.15. Екі қаланың арасы 150 км. Автобус бұл қашықтықты 3 сағатта

жүріп өтеді. Егер автобус жылдамдығын 25 км/сағ арттырса, онда осы

қашықтықты қанша сағатта жүріп өтеді?


9. 16. Теплоход ара қашықтығы 80 км болатын екі айлақтың арасын 3

сағат 20 минутта ағыспен және 5 сағатта ағысқа қарсы жүзіп өтті.

Өзеннің ағыс жылдамдығы мен теплоходтық меншікті жылдамдығын

табыңыз.

Жауабы: 20 км/сағ және 4 км/сағ.

9.17. Құрамында жезі бар екі құйманың екіншісі біріншісінен 3 кг-ға

ауыр. Бірінші құйманың 10%-ы , екінші құйманың 40%-ы жез. Осы

құймаларды ерітіп, 30%-ы жез болатын құйма дайындалды. Пайда

болған құйманың массасын табыңыз.


9.18. 4 ит пен 3 күшіктің жалпы салмағы 15 кг. Ал 3 ит пен 4 күшіктің

салмағы 13 кг. Барлық үлкен иттердің салмақтары бірдей және

күшіктердің салмағын бірдей деп есептеп, әр ит пен әр күшіктің

салмағын тап.

Жауабы: 3 кг және 1 кг.

9.19. Тең бүйірлі үшбұрыштың периметрі 49 см, оның табаны

бүйірінен 7 см үлкен. Табанының ұзындығын тап.

Жауабы: 21 см.

9.20. Ағайынды жігіттердің біріншісі 3 сағат және екіншісі 4 сағат

бойына бірігіп 44 бөлшек жасады. Егер олар бірігіп бір сағатта 13

бөлшек жасаса, онда әрқайсысы қанша бөлшек жасаған.


9. 21. Тік төртбұрыштың периметрі 16,8. Ұзындығы енінен 3 есе артық.

Ауданы неше?


9.22. Бірінші сан екінші саннан 4,6 есе артық. Егер бірінші саннан 4,9

ды алып, ал екінші санға 11,3-ті қоссақ, онда тең нәтиже шығады. Осы


Жауабы: 25,2.

175

9.23. Бір шапан 3 тонға 9 метр мата кетті, ал 2 шапан мен 5 тонға 16

метр мата кетті. Бір шапан мен бір тонға қанша метр мата кетеді?

Жауабы: 2 метр және 3 метр.

Әр түрлі тақырыптағы аралас мәселе есептер

1. Оқушының үйінен мектепке дейін 700 м болады. Оқушының

ағасының адымы інісінің адымынан 20 см артық болғанықтан, ол

үйден мектепке дейін інісінен 400 адым кем аттайды. Оқушы мектепке

дейін неше адым аттайды?

Жауабы: 1400.

2. 20 дана бірінші том мен 30 дана екінші томның бағасы 15000

теңге. Бірінші томның бағасы 15%-ке, ал екінші томды 10%-ке

кеміткеннен соң 13200 теңге төлеу керек. Бірінші томның және екінші

томның бағасын табыңыз.

Жауабы: 300 тг; 300 тг.

3. Факультетте 360 қыз оқиды. Егер ер балалар барлық студенттің

52%-ін құраса, факультетте барлығы қанша студент бар?

Жауабы: 750.

4. Комбайншы жоспарды 15%-ке асыра орындады және 230 га

жердің егінін жинады. Комбайыншы жоспар бойынша қанша га егін

жинау керек еді?


5. Кептірілген жүзім алғашқы салмағының 32% құрайды. 2 кг

кептірілген мейізді алу үшін қанша кептірілмеген жүзім керек?

Жауабы: 6,25 кг .

6. Бір сағатта автоматты станок 240 деталь жасап шығарады. Осы

станокты жаңа өңдеуден өткізгеннен кейін ол сағатына 288 деталь

жасап шығаратын болды. Станоктың жұмыс жасау өнімділігі қанша

процентке артты?

Жауабы: 20 %.

7. 30 ерлер көйлегі мен 25 әйел көйлектеріне 14750 теңге төлеу

керек. Ерлер көйлегі 20%-ке, ал әйелдер көйлегі 10%-ке арзандатылған

176

кейін, әйелдер көйлегі мен ерлер көйлегі үшін төленетін ақшаның

айырмашылығы 3075 теңге болды. әйелдер және ерлер көйлегінің

бағасын анықтаңыз.

Жауабы: 350 теңге; 200 теңге.

8. Рельстен ұзындығының 72%-ін құрайтын бір бөлігі кесіліп

алынды. Қалған бөлігінің салмағы 45,2 кг. Кесіліп алынған бөліктің

салмағын табыңыз.

177

Жауабы:

9. Сағат тілдері секіріссіз қозғалады деп есептесек, сағат 4-ті

көрсеткеннен кейін, қанша уақытта минут тілі сағат тілін қуып жетеді.

9


10. Саяхатқа шығу үшін ақша жинау керек еді. Егер әр саяхатшы 75

теңгеден өткізсе, барлық шығынға 440 теңге жетпейді, егер әрқайсысы

80 теңгеден өткізсе, онда 440 теңге артылып қалған болар еді. Саяхатқа

қанша адам шығады.

Жауабы: 176.

11. Екі бидонда 70 литр сүт бар. Егер бірінші бидоннан екінші

бидонға 12,5% сүт құйсақ, онда екі бидондағы сүт бірдей болады.

Бірінші бидонда неше литр сүт болған еді?


12. Үш санның екіншісі біріншісінен қанша үлкен болса, үшіншісі

екіншісінен сонша үлкен. Егер екі кіші сандардың көбейтіндісі 85-ке

тең, ал екі үлкен сандардың көбейтіндісі 115-ке тең болса, сол үш


Жауабы: 8,5; 10; 11,5 .

13. Үш жұмысшының жалпы табысы 4080 теңге. Бірінші және екінші

1 3

жұмысшының табыстары 7 :1 қатынасындай, ал үшінші

жұмысшының табысы бірінші жұмысшының табысының

2

құрайды. Әр жұмысшының табысын анықтаңыз.

Жауабы: 2448 теңге; 571 теңге 20 тиын; 1060 теңге 80 тиын.

4

116

11

8

35

кг.

1

43 %

3

14. Үш жәшікте барлығы 64,2 кг қант бар. Екінші жәшікте бірінші

4

1

жәшіктегінің -дей, ал үшінші жәшікте екінші жәшіктегінің 42 % -

індей қант бар. Әр жәшікте қанша кг қант бар?

Жауабы: 30 кг, 24 кг, 10,2 кг.

15. Велосипедші бүкіл жолды белгілі жылдамдықпен 2 сағатта жүріп

өтуі керек еді. Ол жылдамдығын 3 км/сағ арттырғандықтан, бүкіл

2

жолды 1 сағатта жүріп өткен. Жолдың ұзындығын табыңыз.

3

5

Жауабы:

30 км.

16. Калькулятордың бағасын алдымен 25%-ке, ал содан соң тағы

65%-ке арттырды. Калькулятордың бағасы қанша есе өсті?


17. Аудандары 80 га және 120 га тең болатын екі участоктен барлығы

7200 ц астық жиналды. Бірінші участок әрбір 3 га-да жиналған

астықтың мөлшері екінші участокта 2 га-да жиналған астық

мөлшерінен 10 ц-ге артық деп алып, әр участоктің 1 га-нан қаншадан

астық жиналғанын табыңыз.

Жауабы: 30 ц; 40 ц.

18. Квадрат формалы қаңылтырдың бетінен ені 3 см болатын жолақ

кесіліп алынды. Сонда қаңылтырдың бетінің қалған бөлігінің ауданы

10 см 2 тең болып шықты. Қаңылтыр бетінің әуелдегі өлшемін табыңыз.

Жауабы: 5 см.

19. Тік бұрыш формалы мектептің спорт алаңының ұзындығы 41,5 м,

ал ені – 25,5 м. Спорт алаңын айналдыра салынған жолдың сыртқы

периметрі 154 м. Бүкіл спорт алаңы бойынша бірдей деп алып, жолдың

енін табыңыз.

Жауабы: 2,5 м.

20. Төрт жәшікке бірдей мөлшерде шай салынған. Әр жәшіктен 9 кгнан

шай алынды. Сонда барлық жәшіктердегі қалған шайды қосып

есептегенде, алғашында бір жәшікке салынған шайдың мөлшеріндей

болып шықты. Әрбір жәшікте неше кг-нан шай болды?


2

178

21. Тік төртбұрыш формалы бақша участогінің ұзындығы оның

енінен 10 м артық. Осы участогтің ауданы 1200 м 2 болса, онда оның

қоршауының ұзындығы қандай?


22. Тік төртбұрыштың ұзындығы оның енінен екі есе үлкен. Тік

төртбұрыштың енін 3 м арттырғанда, оның 24 м 2 артты. Тік

төртбұрыштың алғашқы ұзындығы мен енін анықтаңыз.

Жауабы: 8 м; 4 м.

23. Тік ұшақтың жылдамдығы автомобильдікінен 85 км/сағ артық.

Олардың жылдамдықтарының қатынасы 35:18 қатынасындай. Тікұшақ

пен автомобильдің жылдамдықтарын анықтаңыз.


24. Әкесі екі баласына 700 м 2 жерді мұраға қалдырды. Кіші ұлының

3

еншісі үлкен ұлының еншісінің бөлігіндей болса, онда үлкен ұлдың

еншісіне қанша жер тиді.

4


25. Егер берілген саннан оның алтыдан бір бөлігін азайтып, осы

айырмаға санның бестен бір бөлігін қоссақ, онда 9,3 саны шығады.

Берілген санды табыңыз.

Жауабы: 9.

26. Ара қашықтығы 500 км екі қаладан бір мезгілде қарама-қарсы

бағытта трактор мен одан жылдамдығы 4 есе артық жүк машинасы

шығып, 4 сағаттан кейін кездесті. Трактордың жылдамдығы қандай?


27. Піл баласынан 480 кг-ға артық, яғни пілдің салмағы баласының

салмағынан 5 есе ауыр. Пілдің салмағы қандай?

Жауабы: 600.

28. Ағаш кесушілердің үш бригадасының жұмысына 36 мың теңге

төленді. Бірінші және үшінші бригадаларға төленген ақша екінші

бригадаға төленген ақшадан 2 есе артық, ал екінші жән еүшінші

179

бригадаларға төленген ақша бірінші бригадаға төленгеннен 3 есе артық

болса, осы бригадалардың әрқайсысына қанша ақша төленді?

Жауабы: 9; 12; 15 мың .

29. Зауыт трубасы көлеңкесінің ұзындығы 40 м, ал уақыттың сол

мезгілінде ұзындығы 1,5 м вертикаль бағанның көлеңкесінің ұзындығы 2

м болды. Зауыт трубасының ұзындығын табыңыз.


30. Бір жүкті тасуға үш тонналық 10 машина керек. Сол жүкті тасу

үшін екі тонналық неше машина керек?

Жауабы: 15.

31. 6 палатка тігу үшін ені 1,2 болатын 120 м брезент керек. Ені 1,5

болатын сондай 4 палатка тігу үшін неше метр брезент керек?

Жауабы: 64 м .

32. Екіншісі біріншісінен қанша артық болса, үшіншісі екіншісінен

сонша артық, кішілерінің көбейтіндісі 85, ал үлкендерінің көбейтіндісі

115 болатын үш санды табыңыз.

Жауабы: 8,5; 10; 11,5.

33. Картоп егілген жердің бір бөлігінің ауданы екіншісіне қарағанда 2

га артық. Бірінші бөліктен 748 тонна, екіншісінен 720 тонна кортоп

жинады. Егер екінші бөліктің 1 гектарынан жиналған картоп бірінші

бөліктің 1 гектарынан жиналған картоптан 4 тоннаға көп болса, онда әр

бөліктің 1 гектарынан қанша картоп жиналды?


34. Бір кооператив өз жерінен 1500 ц, ал екінші кооператив одан 20 га

кем жерден 1600 ц бидай жинады. Екінгі кооператив біріншісіне

қарағанда әр гектардан 5 ц көп бидай жинаған болса, онда бірінші

кооператив әр гектардан қанша бидай жинайды.

Жауабы: 15.

35. Үш үйдің көлемдері: 2410 м 3 , 1790 м 3 және 1050 м 3 . Бұл үйлерді

жылытуға жұмсалған 2625 мың теңгені олардың көлемдеріне

пропорционал етіп бөліңіз.

Жауабы: 1205 мың теңге; 895 мың теңге; 525 мың теңге.

Клуб залында неше қатар болса, әр қатарда сонша орындық бар. Егер

қатар санын 2 есе арттырып, әр қатардағы орын санын 10-ға азайтсақ,

залда орын саны 300-ге көбейеді. Залда қанша қатар бар?

Жауабы: 30 қатар.

180

36. Бір кесек металдың массасы 880 г, ал екіншісінікі 858 г және

бірінші кесектің көлемі екіншісінен 10 см 3 кем. Біріншісінің

тығыздығы екіншісінің тығыздығынан 1 г/см 3 артық. Металлдың әр

кесегінің тығыздығын табыңыз.

Жауабы: 7,8 г/см 3 , 8,8 г/см 3 .

37. Аэропортта 880 жолаушы ұшақ күтіп отыр. Олардың 35%-і

еркектер. Әйелдер мен балалардың жалпы санының 75%-ін әйелдер

құрайды. Аэропортқа қанша әйел және қанша бала болғанын табыңыз.

Жауабы: 429 әйел, 143 бала.

Үш санның екіншісі біріншіден қанша үлкен болса, үшіншісі

екіншісінен сонша үлкен. Егер екі кіші сандардың көбейтіндісі 85-ке

тең, ал екі үлкен сандардың көбейтіндісі 115-ке тең болса, сол үшін


Жауабы: 8,5; 10; 11,5.

38. Калькулятордың бағасын алдымен 25%-ке, ал содан соң тағы да

65%-ке арттырды. Калькулятордың бағасы қанша есе өсті?


39. Ізделінген санды 2,5 есе арттырып, одан ізделінді санның

жартысын шегерген кезде, ізделінді саннан 1,99-ға артық болатындай

сан шықты. Ізделінді санды табыңыз.

Жауабы: 1,99.

40. Жүзім кептірілген кезде өзінің массасының 65%-н жоғалтады. 40

кг таза жүзімнен қанша килограмм кептірілген жүзім алуға болады?


41. 3 саннын үш қосылғышқа жіктеді, сонша екінші қосылғыш

біріншіден 25%-ке кем, ал үшіншісі екіншіден 1-і кем. Бірінші

қосылғышты табыңыз.

Жауабы: 1,6.

42. Тік төртбұрыштың периметрі 20 см, ал оның ауданы 24 см 2 . осы

төртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 6 және 4 см.

181

43. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтарының

қосындысы 14 см, ал ауданы 24 см 2 . катеттерінің ұзындықтарын

табыңыз.

Жауабы: 6 және 8 см.

44. Үйден мектепке дейін 400 м. Жоғары сынып оқушысы төменгі

сынып оқушысына қарағанда бұл жолға 300 адым аз жұмсайды, себебі

оның адымы төмен сынып оқушысының адымына қарағанда 30 см

үлкен. Әрбір баланың адымының ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 0,5 м және 0,8 м.

45. Бөлшектің алымын бірге кемітсе, онда -ге тең болатын бөлшек

шығады, ал оның бөлімін бірге кемітсе, онда бөлшек

-ге тең болады.

Осы бөлшек санды табыңыз.

6

Жауабы:

25 .

46. Сырттай жанасатын екі дөңгелектің аудандарының қосындысы

2

1300см

. Егер олардың центрлерінің ара қашықтығы 14 см-ге тең болса,

онда олардың радиустары неге тең?


47. Бірінші сан екіншісінің 80%-ін құрайды, ал екінші санның

9

үшінші санға қатынасы 0,5: тең. Бірінші мен үшінші сандардың

20

қосындысы екінші саннан 70-ке артық. Осы үш санды табыңыз.

Жауабы: 80; 100; 90.

48. Екі қапты бірге алғанда 140 кг ұн бар. Егер бірінші қаптан

екіншісіне 12,5% ұнды аударса, онда екі қаптағы ұнның мөлшері

бірдей болады. Әрбір қапта қанша килограмм ұн бар?


49. Жас саңырауқұлақта салмағының 90%-і, ал кептірілгеннің 12%-і

су болады. 22 кг жас саңырауқұлақтан қанша килограмм кептірілген

саңырауқұлақ алуға болады?


1

5

1

4

182

50. Пропорцияның алғашқы үш мүшесінің қосындысы 58-ге тең.

2

3

Үшінші мүшесі бірінші мүшесінің -сін, екіншісі -ін құрайды.

Пропорцияның төртінші мүшесін табыңыз.

Жауабы: 12.

51. Көлемдері 2 см 3 -тан болатын үш затты араластырғанда 16 г қоспа

пайда болды. Екінші заттың 4 грамының алтын көлемі үшінші заттың

4 грамының алтын көлемінен 0,5 см 3 артық. Егер қоспада екінші

заттың массасы бірінші заттың массасынан екі есе артық болса, онда

үшінші заттың тығыздығы неге тең?

Жауабы: 4 г/см 3 .

52. Бөлшектің бөлімі алымының квадратынан 1-ге кем. Егер

1

алымына да, бөліміне де 2-ні қосса, онда бөлшектің мәні -ден көп, ал

егер бастапқы бөлшектің алымынан да, бөлімінен де 3-ті шегерсе,

1

бөлшектің мәні -ге тең болады. Сол бөлшекті табыңыз.

12

183

Жауабы: .

55. XXI ғасыр қандай күннен басталады?

Жауабы: 1 қаңтар 2001 жыл.

56. Жылдың қанша айында 5 жұма бар?

Жауабы: 5 ай, егер 1 қаңтар жұма болса.

57. Жылдың неше айында 30 күн бар?

Жауабы: ақпан айынан басқа барлық айларда.

58. Тәулігінді неше рет сағаттың сағаттық және минуттік тілі

бұрыш жасайды?

Жауабы: 44.

59. Петя айтады, мен алдыңғы күні 10 жаста болдым, ал келесі жылы

мен 13-ке толамын. Ондай болу мүмкін бе?

Жауабы: Петя 1 қаңтарда айтқан, оның туған күні 31 желтоқсанда

және ол 11 жасқа келді. Келесі жылы ол 13 жасқа келеді, себебі осы

жылы ол 12 жасқа келеді.

60. Қаңтар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20-сы

аптаның қандай күні болды?

Жауабы: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі

болады.

61. Анасы 47 жаста, ал оның ұлдарының жастары сәйкесінше 10, 12

және15 жаста. Қашан ұлдардың жастарының қосындысы анасының

жасына тең болады?

3

4

4

4

15

Жауабы: Анасының жасына қуып жету үшін балаларға 10:2 = 5 жыл

қажет.

62. 2 жыл бұрын ағасының жасы нешеде болса, қарындасының жасы

сонша есе ағасынан кіші болды. Қарындасы неше жаста?

Жауабы: 2 жыл бұрын қарындасы 1 жаста болған, ал қазіргі уақытта

оның жасы 3 жаста.

63. Әкесі 36 жаста, ал ұлы 7 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы

ұлының жасынан екі есе артық болады?

Жауабы: Ұлы 29 жасқа кіші әкесінен, 22 жылдан кейін ұлы 29 жасқа

келеді. Онда әкесінің жасы 36+22=58 жаста жәнеде ұлының жасынан

екі есе артық.

64. Екі жыл бұрын ағасының жасы қарындасының жасынан екі есе

артық болды, ал 8 жыл бұрын 5 есе артық. Ағасы неше жаста және

қарындасы неше жаста?

Жауабы: Ағасы 18 жаста, қарындасы 10 жаста.

65. 1998 жылы тұған адамның жасы, туған жылдың цифрларының

қосындысына тең. Ол неше жаста?

Жауабы: 18 жаста.

66. Қандай сағат тәулігінде екі рет қана дұрыс уақыт көрсетеді?

Жауабы: тұрған сағат.

67. Анасы мен қызының қосылған жасы –28. Анасы қызынан 22 жасқа

үлкен. Қызы неше жаста?

Жауабы: 3 жаста.

184

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Сборник методических статей «Преподавание математики в

сельской школе». – Москва: «Просвещение», 1984.

2. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам

решения задач по математике. – Москва: «Наука», 1984.

3. Математика. Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына

арналған оқулық. Т.А.Алдамұратова, Т.С. Байшоланов. – Алматы:

«Атамұра», 2006.

4. Сборник задач для поступающих во втузы под редакцией М.И.

Сканави. – Москва: «Просвещение», 1984.

5. Ә.Қ. Мұқашев. 5-6 кластарда математиканы оқыту

методикасының кейбір мәселелері. – Алматы: “Рауан”, 1991.

6. И.М. Шапиро. Использование задач с практическим содержанием

в преподавании математики. – Москва: “Просвещение”, 1990.

7. В.А. Далингер. Методика реализации внутрипредметных связей

при обучении математике. – Москва: “Просвещение”, 1991.

8. В.Н.Литвиненко Практикум по решению задач школьной

математики. – Москва: “Просвещение”, 1982.

9. Ж.Ж.Жаңабеков, Ғ.Ә.Ақпанбек, А.А.Темірбекова. Қазақтың

байырғы есептері. – Жезқазған, 2008.

10. Ә.Н. Шыныбеков. Алгебра. Жалпы білім беретін мектептің 9-

ыншы сыныбына арналған оқулық. – Алматы: «Атамұра», 2005.

11. Математика под редакцией А.А.Женсыкбаева. – Алматы:

«Атамұра», 1992.

12. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры и начала анализа. – Москва: “Просвещение”, 1990.

13. С.Д.Дүйсенбай. Математика 2016., “Tengri Ltd”. – Қарағанды,

2015. - 360 б.

185

Тілеулесова А.Б., Жайнибекова М.А.

МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ ТӘСІЛДЕРІ

оқу құралы

Мазмұнына автор жауапты

Таралымы 50 дана.

Қаріп түрі «Тimes New Roman»

Тапсырыс 15270.

Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті,

010008, Астана қ., Қажымұқан к., 13/1.

186

есептер 1.Тлеулесова А (1)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?