Canoni ritmici a mosaico

Università degli Studi di Pisa
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Matematica
Candidata
Giulia Fidanza
Canoni ritmici a mosaico
Anno Accademico 2006 - 2007
Relatori
Prof.ssa Francesca Acquistapace
Dott. Moreno Andreatta

Indice
Introduzione 1
1 I modelli algebrici 5
1.1 Definizione musicale e definizione algebrica . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Rappresentazioni matematiche e grafiche . . . . . . . . . . . . . 17
2 Condizioni di esistenza 21
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Canoni di Vuza 35
3.1 Fattorizzazioni aperiodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós . . . . . . . . . 42
3.2.1 La genesi della congettura . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 La traduzione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Congettura spettrale 55
4.1 Una congettura aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico . . . . . . . 58
5 Trasformazione e generazione di canoni a mosaico 67
5.1 Operazioni sui canoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza . . . . . . . . . . . 73
5.3 Invarianza per affinità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A Polinomi ciclotomici 81
B Algebra combinatoria e teoria musicale 87
B.1 La teoria di Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione . . . . . . . . . . . . . . 94
C Nuovi canoni 99
iii

Introduzione
Matematica e musica hanno da sempre manifestato delle affinità elettive: la storia
mostra infatti come ad ogni epoca, ad eccezione forse dell’epoca romantica, la
musica e la matematica hanno trovato forme di dialogo che hanno contribuito in
maniera determinante allo sviluppo delle due discipline, ed in generale del pensiero
filosofico occidentale.
Dal monocordo di Pitagora all’idea di un’armonia universale basata sul calcolo
combinatorio in Mersenne, dallo speculum musicum di Eulero al concetto di distanza
armonica in Yves Hellegouarch [34], per citare quattro esempi che abbracciano
più di 25 secoli di storia, si vede come le applicazioni della matematica alla musica
non solo hanno radici antiche, ma interessano diversi campi di entrambe.
In effetti molti musicisti e teorici della musica hanno utilizzato metodi matematici
come strumento privilegiato per strutturare l’opera musicale, o per riconoscerne
le proprietà strutturali.
Questo processo ha subito indubbiamente un’accelerazione nel XX secolo, con
lo scardinamento del principio di consonanza e dissonanza degli accordi musicali.
Ne è un esempio la tecnica compositiva dodecafonica, che consiste nell’utilizzo
di tutte e dodici le note della scala cromatica (nel sistema temperato); tale tecnica
fa uso esplicito di particolari strutture algebriche (come i gruppi ciclici e di
permutazioni), che diventano parte integrante dell’atto compositivo.
In questo processo di formalizzazione della teoria musicale, la teoria dei gruppi
ha giocato e gioca tuttora un ruolo centrale, al punto da risvegliare l’interesse da
parte della comunità matematica verso alcuni problemi teorici di natura musicale 1 .
In questa tesi ci occupiano dell’aspetto matematico di un problema musicale
che ha suscitato e suscita tuttora l’interesse di matematici, informatici, teorici della
musica e compositori.
Si tratta della costruzione di canoni ritmici: canoni musicali dei quali interes-
1 La lista delle pubblicazioni, convegni internazionali e seminari di studio dedicati ai rapporti fra
matematica e musica ha conosciuto un vero e proprio boom nell’ultimo decennio, e non è certo possibile
darne una descrizione esaustiva in questa lavoro. Accenniamo unicamente alla pubblicazione
della prima rivista di matematica dedicata ai rapporti fra matematica e musica (Journal of Mathematics
and Music, Taylor & Francis), organo ufficiale della Society of Mathematics and Computation
in Music, un’associazione internazionale che rappresenta il primo passo verso l’istituzionalizzazione
della disciplina matematica/musica.
1

Introduzione
sano unicamente le proprietà ritmiche, prescindendo dalle altezze, e attraverso i
quali il compositore cerca di riempire completamente lo spazio ritmico.
Un profilo ritmico funge da tassello che il compositore cerca di traslare temporalmente
in modo tale da costruire macro-strutture aventi la proprietà di riempire
interamente lo spazio delle pulsazioni, senza quindi alcun silenzio fra l’istante nel
quale una pulsazione ritmica è presente e l’istante successivo, e senza superposizione
fra le diverse voci, che sono quindi fra loro complementari. Un canone
ritmico di questo tipo è anche detto “a mosaico” in quanto realizza una tassellazione
regolare (cioè per traslazione) dello spazio ritmico.
La costruzione di canoni musicali ha da sempre incuriosito i musicisti: si pensi
alle complesse polifonie fiamminghe di compositori come Josquin Desprez o alle
tecniche contrappuntistiche delle quali fa sfoggio Johann Sebastian Bach nelle Variazioni
Goldberg, le cui proprietà formali sono state tradotte in termini algebrici
nel lavoro di Scimemi [68].
Olivier Messiaen è forse il primo teorico e compositore ad aver introdotto e
studiato il concetto di canone ritmico indipendentemente dalle altezze, ovvero dalle
note musicali [51]. In alcune composizioni come Visions de l’Amen (1943) per due
pianoforti, o Harawi (1945) per piano e voce, l’utilizzo dei canoni ritmici anticipa
alcune caratteristiche formali dei canoni a mosaico, benché il compositore non
abbia dato una formalizzazione rigorosa di questo processo compositivo.
Da un punto di vista matematico, la costruzione di canoni ritmici a mosaico è
formalizzabile in termini di fattorizzazioni di gruppi come somma di sottoinsiemi,
un concetto che probabilmente Messiaen, come molti altri compositori del XX
secolo, non conosceva. Un’eccezione è sicuramente Iannis Xenakis, ingegnere,
per un periodo assistente di Le Corbusier, e compositore greco: forse nessuno
come lui ha utilizzato in modo approfondito strumenti matematici per lo sviluppo
e l’organizzazione formale del materiale compositivo 2 .
Ben diversa è la situazione oggi, grazie soprattutto all’utilizzazione dell’informatica
nella composizione musicale (composizione assistita su calcolatore).
Infatti il processo di costruzione di canoni a mosaico, cioè di fattorizzazioni di
un gruppo ciclico finito con sottoinsiemi, può essere implementato (anche se molti
problemi restano aperti, come vedremo nel seguito): il compositore ha così accesso
a delle macro-strutture estremamente complesse che può prendere come architetture
formali alla base di composizioni musicali originali.
Il problema della fattorizzazione di gruppi come somma di due o più sottoinsiemi
costituisce un campo di ricerca estremamente attivo nella matematica
contemporanea.
In questa tesi trattiamo il caso dei gruppi ciclici finiti, ossia dei canoni a mosaico,
che tocca non solo l’algebra ma anche la geometria delle tassellazioni (con la
2 Si veda, ad esempio, il brano Nomos Alpha (1966) per violoncello solo, basato sul gruppo di
rotazioni del cubo nello spazio e su una doppia serie di Fibonacci a valori nel gruppo.
2

Introduzione
congettura di Minkowski e la sua soluzione algebrica da parte di Hajós) e la teoria
dei domini spettrali (con la congettura di Fuglede, tuttora aperta).
Molti aspetti di questo problema sono stati affrontati da vari autori (sia matematici
che teorici della musica) con tecniche e soprattutto linguaggi diversi. Uno
degli scopi di questa tesi è dare una visione strutturata e coerente della materia.
Nel primo capitolo si formalizzano i canoni ritmici a mosaico, se ne evidenzia
il legame con particolari tassellazioni degli interi, e se ne danno diverse rappresentazioni.
In particolare si arriva alla rappresentazione in termini di polinomi a coefficienti
0 e 1, le cui proprietà sono studiate nel secondo capitolo; è in termini di tali polinomi
infatti che si esprimono le condizioni (T1) e (T2) di Coven-Meyerowitz, che
sono sufficienti per l’esistenza di canoni ritmici, e delle quali la (T1) è necessaria,
mentre la necessità di (T2) rimane un problema aperto.
Nel terzo capitolo abbiamo trattato una classe particolare di canoni ritmici a
mosaico: i canoni di Vuza. Si tratta di canoni i cui ritmi sono aperiodici (cioè
sottoinsiemi aventi periodicità pari all’ordine del gruppo). Si mostra il legame di
questi canoni con la soluzione algebrica del matematico ungherese G. Hajós della
congettura di Minkowski sulle tassellazione dello spazio euclideo n-dimensionale
attraverso cubi unitari (che nasce in realtà da un problema di teoria dei numeri).
L’esistenza di canoni di Vuza dipende dall’ordine del gruppo ciclico Z/nZ
fattorizzato: si arriva alla divisione della classe dei gruppi ciclici finiti in due
sottoclassi disgiunte, definite in modo esplicito:
• i gruppi di Hajós, per i quali non esistono canoni di Vuza, e i cui ordini sono
nell’insieme
{p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs : α ∈ N, p, q, r, s primi distinti},
• i gruppi non-Hajós, per i quali esistono canoni di Vuza, e i cui ordini sono
del tipo N = nmk con
– (n, m) = 1
– n = n1n2, m = m1m2
– n1, n2, m1, m2, k ≥ 2
Nel quarto capitolo si introduce la congettura di Fuglede sui domini spettrali e
si tratta la sua traduzione in termini di canoni a mosaico da parte di Izabella Łaba,
arrivando a collegare la necessità della condizione (T2) con la congettura di Fuglede
per i canoni a mosaico, entrambi problemi ancora aperti, e si evidenzia il ruolo
giocato dai gruppi non Hajós nella loro soluzione. La teoria dei canoni ritmici a
mosaico diventa quindi un possibile approccio per risolvere la congettura 3 .
3 Rinviamo alla pagina web del seminario MaMuX (Matematica/Musica e relazione con altre
discipline) dell’IRCAM (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique) di Parigi, nella
quale sono raccolti i contributi principali sulla teoria dei canoni ritmici a mosaico:
http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/IrcamTilingResearch.html .
3

Introduzione
Benché la classificazione dei gruppi di Hajós sia ben conosciuta sin dagli anni
sessanta, il problema di costruire tutte le fattorizzazioni in somma di sottoinsiemi
aperiodici per un gruppo ciclico che non sia un gruppo di Hajós resta un problema
aperto. Ci occupiamo delle tecniche generative nel quinto ed ultimo capitolo,
generalizzando la costruzione di Vuza ed ottenendo nuovi canoni aperiodici.
Seguono tre appendici, la prima sui polinomi ciclotomici, la seconda sulle tecniche
enumerative di Polya e sulla loro applicazione alla teoria musicale, e la terza
con l’elenco dei nuovi canoni di Vuza che abbiamo ottenuto.
4

Capitolo 1
I modelli algebrici
1.1 Definizione musicale e definizione algebrica
Il canone è una forma musicale polifonica, nata nel XIV secolo, tipica della musica
classica. Si tratta di una composizione contrappuntistica formata, cioè, dalla sovrapposizione
progressiva di più voci, ciascuna delle quali esegue uno stesso tema
melodico, o variazioni di esso secondo precise regole tonali.
La cultura popolare ne è ricca; consideriamo ad esempio “Fra’ Martino” cantato da
quattro voci:
Che, a regime, diventa:
Voce 1 Voce 2 Voce 3 Voce 4
Fra’ Martino - - -
campanaro - - -
dormi tu? Fra’ Martino - -
dormi tu? campanaro - -
suona le campane dormi tu? Fra’ Martino -
suona le campane dormi tu? campanaro -
din don dan suona le campane dormi tu? Fra’ Martino
din don dan suona le campane dormi tu? campanaro
Voce 1 Voce 2 Voce 3 Voce 4
Fra’ Martino din don dan suona le campane dormi tu?
campanaro din don dan suona le campane dormi tu?
dormi tu? Fra’ Martino din don dan suona le campane
dormi tu? campanaro din don dan suona le campane
suona le campane dormi tu? Fra’ Martino din don dan
suona le campane dormi tu? campanaro din don dan
din don dan suona le campane dormi tu? Fra’ Martino
din don dan suona le campane dormi tu? campanaro
Emergono chiaramente due caratteristiche fondamentali: ogni voce esegue periodicamente
il medesimo motivo e tali esecuzioni sono temporalmente traslate.
5

Capitolo 1. I modelli algebrici
Nel seguito ci interesseremo al caso in cui il motivo, o pattern, sia puramente
ritmico, possiamo quindi immaginarlo eseguito da uno strumento percussivo, disinteressandoci
della durata e dell’altezza delle singole note.
Musicalmente, un canone ritmico consiste nell’esecuzione di uno stesso motivo
ritmico da parte di diverse voci, ciascuna con un diverso attacco. In questo lavoro
ci interessiamo ad una particolare famiglia di canoni ritmici: supponiamo che le
voci non si sovrappongano e che, eseguite contemporaneamente, diano luogo ad
una pulsazione regolare, cioè in ogni battito del tempo metronomico sia presente
una ed una sola voce. Tali canoni ritmici sono detti a mosaico.
Consideriamo, ad esempio, il pattern ritmico 1
ed il canone:
ˇ “ ˇ “
che a regime diventa 2 :
:
ˇ “ ˇ “
> > > ˇ “
> > > ˇ “
ˇ “ ˇ “
> > > ˇ “
ˇ “ ˇ “
> > > ˇ “
ˇ “ ˇ “
> > > ˇ “
> > >
> > > ˇ “ ˇ “
> > > ˇ “
> > ˇ “
> > > ˇ “ ˇ “
>
Lo scopo di questo capitolo è trovare alcuni modelli matematici dei canoni
ritmici a mosaico, al fine di studiarne le proprietà nei capitoli successivi.
Il primo passo è quindi trovare un modello di un pattern ritmico.
Consideriamo ad esempio il tipico ritmo della samba brasiliana 3 :
4
4 | ˇ “ ˇ “
? ˇ “ ( ? ˇ “ ( | ? ˇ “ ( > ˇ “ ˇ “ |
Poiché stiamo considerando il pattern da un punto di vista esclusivamente ritmico,
ed ogni percussione avviene solo in presenza di una nota, le pause sono ridondanti
nella scrittura precedente, consideriamo quindi una scrittura musicale priva
di pause, ottenuta inglobando ogni pausa nella nota che la precede, come nella
seguente 4 :
1 i simboli “ ˇ “ ” e “ >
8
4 | ˇ “ ˇ “‰ ˇ “ ˇ “ ˇ “‰ ˇ “ ˇ “ |
” indicano rispettivamente la nota e la pausa di durata un quarto (rispetto
al tempo metronomico fissato)
2 i simboli “ | : ” e “ : | ” indicano la ripetizione del segmento musicale racchiuso in essi
3 il simbolo 4 indica che all’interno di una misura (lo spazio racchiuso da due barre verticali
4
consecutive) si trova un gruppo di note e pause sommando le cui durate si ottiene un intero (come
ad esempio sommando le durate di quattro note da un quarto), i simboli “ ˇ “ ( ” e “ ?
” indicano
rispettivamente la nota e la pausa di durata un ottavo (rispetto al tempo metronomico fissato)
4 il punto indica che la durata della nota deve essere incrementata di metà
6
:

1.1 Definizione musicale e definizione algebrica
Abbiamo visto che ad ogni nota è associata una durata, che è un numero razionale.
Supponiamo che la prima percussione avvenga all’istante t0 = 0, allora ogni
percussione successiva avviene all’istante t uguale alla somma delle durate delle
note che precedono la nota della percussione considerata. Ad esempio, nel nostro
caso, la quarta percussione avviene all’istante t = 1 3 1 7
4 + 8 + 4 = 8 .
Il pattern della samba può essere quindi rappresentato dall’insieme:
S := 0, 1
5 7 9 3 7
, , , , , ⊂ Q.
4 8 8 8 2 4
Per Dan Tudor Vuza [78] un ritmo è proprio un sottoinsieme (localmente finito)
dei numeri razionali. Noi adotteremo una definizione leggermente diversa, ma
adottiamo da Vuza la seguente:
1.1.1 Definizione. Sia R ⊂ Q finito. Si definisce divisione minimale di R, dm (R),
il numero razionale dato da:
dm (R) := max { d ∈ Q | d > 0, ∀r, s ∈ R, ∃ n ∈ Z : r − s = nd}.
Possiamo allora associare ad R l’insieme di interi
R
dm (R) .
Nell’esempio della samba brasiliana, dm (S ) = 1
8 , quindi possiamo rappresentare
il ritmo con l’insieme di interi:
8 S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14}.
Osserviamo che, dato un insieme finito di razionali R, ed indicando con m il
minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi elementi (intesi come frazioni
primitive), si ha 1
m | dm (R) , ma, in generale, non vale il viceversa, ad esempio
dm 0, 3
9 3
, , =
8 8 2
3
8 .
Per esprimere la periodicità dell’esecuzione consideriamo tali interi modulo il
periodo del ritmo, nel caso della samba, il periodo è 8/4 (due misure da 4/4), quindi
dobbiamo considerare l’insieme di interi ottenuto modulo 8/4 · 1/dm (S ) = 16:
S := [8 S] 16 = {[0]16, [2]16, [5]16, [7]16, [9]16, [12]16, [14]16}.
Ricapitolando, abbiamo trovato un modello matematico di un pattern ritmico
attraverso i seguenti passi:
1: Considerare la scrittura musicale del pattern priva di pause.
2: Definire l’isieme R ⊂ Q i cui elementi sono le somme progressive delle
durate delle note del pattern, partendo da 0.
7

Capitolo 1. I modelli algebrici
3: Considerare il periodo P del pattern, ossia la somma delle durate di tutte le
sue note, ed il numero naturale
n :=
P
dm (R) .
4: Definire l’insieme R ⊂ Z/nZ, nel seguente modo:
R
R := .
dm (R)
Possiamo quindi definire:
1.1.2 Definizione.
Un ritmo è un sottoinsieme di un gruppo ciclico R ⊂ Z/nZ.
L’ordine n del gruppo è il periodo del ritmo.
Per completare un modello di un canone ritmico a mosaico rimane da esprimere
matematicamente la complementarità delle voci, ossia la concomitanza dei
seguenti fatti:
I : le voci non si sovrappongono, e
II : l’esecuzione del canone, a regime, da luogo ad una pulsazione regolare.
Sia R il ritmo del canone, n il suo periodo. Poiché ogni voce del canone esegue
R traslato nel tempo, l’i- esima voce eseguirà R + [bi]n. Supponendo per semplicità
che la prima voce inizi la propria esecuzione al tempo b0 = 0, possiamo esprimere
matematicamente le diverse voci con i seguenti insiemi di classi di resto modulo n:
A0 = R, A1 = R + [b1]n, . . . , Ak = R + [bk]n ⊂ Z/nZ .
Le due condizioni precedenti di complementarità si esprimono matematicamente
nel seguente modo:
I : Ai ∩ A j = ∅ per ogni i j, i, j = 0, . . . k e
II : A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ Ak = Z/nZ.
Osserviamo che non tutti i ritmi possono verificare tali condizioni: non è sempre
possibile trovare un oppurtuno insieme di entrate B = {bi} k i=1 ⊂ Z/nZ.
Un esempio in tal senso è il ritmo della samba S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14} (mod 16),
come si vede direttamente:
sia A0 = S la prima voce, poiché la seconda voce, A1 = S + [b1]16, non deve intersecare
A0, necessariamente si ha b1 = ±1. Date queste due voci da 7 elementi
ciascuna, rimangono solo 2 elementi in Z/16Z, insufficienti per una terza voce.
Nascono allora due domande fondamentali, alle quali gran parte della letteratura
sull’argomento cerca ancora oggi di dare una risposta:
8
n

1.1 Definizione musicale e definizione algebrica
1. Per quali ritmi è possibile costruire un canone a mosaico?
2. Dato un ritmo che permette di generare un canone a mosaico, come trovare
l’insieme (o gli insiemi) delle entrate corrispondenti?
Siamo arrivati alle definizioni conclusive.
1.1.3 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano, siano A, B ⊂ G. Definiamo
l’applicazione
σ : A × B −→ G
(a, b) ↦−→ a + b
Chiamiamo A + B := Im σ, se σ è iniettiva diciamo che A e B sono in somma diretta,
o, equivalentemente, che Im σ ⊂ G è la somma diretta di A e B e chiamiamo
A ⊕ B := Im(σ).
Dato un elemento c ∈ A ⊕ B, gli unici a ∈ A e b ∈ B tali che c = a + b saranno le
proiezioni di c su A e B rispettivamente, diremo inoltre che a + b (o c = a + b) è
una scrittura di c o, equivalentemente, che c si scrive come a + b (o c = a + b) in
A ⊕ B.
Se B = {b}, A + b := A + {b} = A ⊕ {b} è un traslato di A.
Se G = A ⊕ B, diciamo che G si fattorizza come somma diretta di A e B, e chiamiamo
G = A ⊕ B una fattorizzazione di G.
Chiaramente, se A e B sono in somma diretta, allora σ : A × B → A ⊕ B è
bigettiva, quindi | A ⊕ B |=| A || B |.
Indichiamo convenzionalmente gli elementi del gruppo ciclico Z/nZ con i numeri
interi {0, 1, . . . , n − 1}, cioè con i minimi rappresentanti non negativi delle
classi resto modulo n : {[0]n, [1]n, . . . , [n − 1]n}. Sarà chiaro dal contesto, oppure
specificato, se un dato insieme di interi si intenda come tale o come insieme di
classi modulo n.
Osserviamo che la somma diretta di insiemi, a priori, non ha nessuna struttura
algebrica, ad esempio
A = {1, 3} e B = {2} ⊂ Z/5Z ⇒ A ⊕ B = {0, 3} ⊂ Z/5Z.
Se i sottoinsiemi A e B sono anche sottogruppi di G, la somma diretta di A
e B pensati come insiemi (def. 1.1.3) coincide con l’usuale somma diretta tra
sottogruppi, possiamo quindi parlare di somma diretta senza rischio di ambiguità.
1.1.4 Definizione. Un canone ritmico a mosaico di periodo n è una fattorizzazione
del gruppo ciclico Z/nZ con due suoi sottoinsiemi:
Z/nZ = A ⊕ B
dove A è detto ritmo interno e B ritmo esterno del canone.
9

Capitolo 1. I modelli algebrici
Abbiamo quindi un modello algebrico dei canoni ritmici a mosaico musicali:
gli interi rappresentano i battiti (beat) del tempo metronomico (un tempo quindi
discretizzato), l’insieme A rappresenta il motivo, o pattern, ritmico che viene ripetuto
ciclicamente, con periodo n, da un numero di voci (interpretate da musicisti
diversi o da uno solo, ad esempio un batterista) pari alla cardinalità dell’insieme B,
che rappresenta, appunto, l’insieme delle entrate delle varie voci. I canoni ritmici
a mosaico sono anche detti regolari, poiché il tempo è scandito da battiti regolari,
e complementari, poiché in ogni battito è presente una ed una sola voce 5 .
Poiché in questa tesi ci occuperemo solo di canoni ritmici a mosaico, ci riferiremo
ad essi anche solo con “canoni ritmici”, “canoni a mosaico”, o semplicemente
“canoni”.
Possiamo ora già dare una condizione necessaria affinché un ritmo possa essere
ritmo interno di un canone:
Z/nZ = A ⊕ B ⇒| A || B |= n, in particolare | A | divide il periodo n del canone.
Nel caso della samba brasiliana S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14} (mod 16), abbiamo visto
che non esiste un canone ritmico che abbia S come ritmo interno utilizzando
proprio il fatto che 7 ∤ 16.
Osserviamo che la commutatività dell’addizione nel gruppo ciclico Z/nZ rende
la definizione di canone ritmico simmetrica nei ritmi interno ed esterno (ed infatti
sono entrambi dei ritmi):
se Z/nZ = A ⊕ B è un canone ritmico, anche Z/nZ = B ⊕ A lo è.
Quale sia il ritmo interno e quale il ritmo esterno dipende unicamente dall’ordine
di scrittura, ed in effetti si definisce:
1.1.5 Definizione. Dato un canone a mosaico Z/nZ = A ⊕ B, il canone Z/nZ =
B ⊕ A si dice canone duale, o ottenuto da esso per dualità.
1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi
La teoria dei canoni ritmici si intreccia con la teoria delle tassellazioni, per motivi
storici, come vedremo nella sezione 3.2, e concettuali, come vedremo ora, e anche
nella sezione 4.2.
Cominciamo con qualche definizione.
1.2.1 Definizione. Un insieme A ⊂ Z tassella se esiste un insieme B ⊂ Z tale che
A ⊕ B = Z
e tale fattorizzazione viene detta tassellazione.
Se A tassella si dice, equivalentemente, che A è un tassello o che ha la proprietà di
tassellazione.
5 Benché l’espressione “canone regolare complementare” sia utilizzata in molti studi di teoria
musicale, preferiamo “canone a mosaico” che descrive meglio - a nostro avviso - la natura algebricogeometrica
di queste strutture musicali (si veda, in particolare, la sezione 1.2).
10

1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi
Se A ⊕ B ⊕ nZ = Z, diciamo che A tassella modulo n ed il minimo di tali n è il
periodo della tassellazione, che viene chiamata periodica.
I risultati che presentiamo in questa sezione ruotano attorno ad un famoso teorema
che viene storicamente attribuito a Nicolaas Govert de Bruijn (vedere ad esempio
[14] e [30]). Non siamo riusciti a risalire alla dimostrazione originale, ma
in letteratura ne esistono diverse (più o meno dettagliate), ad esempio:
Hajós, 1950 [30], Newman, 1977 [54] e Tijdemann, 1995 [76].
Per enunciare il teorema di de Bruijn dobbiamo introdurre la definizione di insieme
periodico. Tuttavia, la definizione data da de Bruijn in [14] appare diversa
dalla definizione data da Hajós in [30] ed adottata in seguito dagli studiosi dell’argomento,
compreso lo stesso de Bruijn negli articoli successivi a [14].
Mostriamo di seguito che le due definizioni sono in realtà equivalenti.
1.2.2 Definizione (de Bruijn, [14]).
Sia (G, +) un gruppo abeliano, 0 ∈ G l’identità.
Un insieme A ⊂ G è periodico se e solo se esiste un sottogruppo non vuoto H ⊳ G,
H {0}, tale che A + H = A. In tal caso, A si dice anche periodico modulo H ⊳ G.
1.2.3 Definizione (Hajós, [30]).
Sia (G, +) un gruppo abeliano, 0 ∈ G l’identità.
Un insieme A ⊂ G è periodico se e solo se esiste un elemento g ∈ G, g 0, tale che
g + A = A. In tal caso, A si dice anche periodico modulo g ∈ G.
Come abbiamo anticipato, la diversità è solo apparente:
1.2.4 Proposizione. A ⊂ G è periodico modulo un elemento se e solo se è periodico
modulo un sottogruppo, cioè:
∃ g ∈ G, g 0, tale che g + A = A ⇔ ∃ H ⊳ G, H ∅, {0}, tale che H + A = A.
Dimostrazione:
[⇒] : Basta considerare H = 〈 g〉, il sottogruppo di G generato da g, infatti:
sia A periodico modulo g, allora ng + A = A, ∀n ∈ Z, poiché:
• se n = 0 non c’è nulla da dimostrare,
• se n > 0, A + ng = A + g + (n − 1)g = A + (n − 1)g e la tesi segue per
induzione su n,
• se n = −m < 0, A − mg = (A + g) − mg = A − (m − 1)g e la tesi segue
per induzione su m.
Quindi
〈 g〉 + A = {ng} + A = A.
[⇐] : Un sottogruppo H ⊳ G, H ∅, {0} è sempre periodico modulo ogni suo
elemento, infatti, ∀g ∈ H:
n∈Z
11

Capitolo 1. I modelli algebrici
g + H ⊆ H, infatti ∀h ∈ H, g + h ∈ H, e
H ⊆ g + H, infatti ∀h ∈ H, h − g ∈ H ⇒ h = g + (h − g) ∈ g + H.
Basta quindi considerare un qualsiasi h ∈ H, h 0, per avere:
h ∈ H ⇒ h + H = H ⇒ h + A = h + H + A = H + A = A.
Nel presente lavoro adottiamo inoltre la seguente:
1.2.5 Definizione. Se A ⊂ Z/nZ è periodico, il periodo di A è la classe del minimo
intero positivo m tale che A è periodico modulo [m]n.
Se B ⊂ Z è periodico, il periodo di B è il minimo intero positivo n tale che B è
periodico modulo n.
Un sottoinsieme di un gruppo abeliano A ⊂ G è aperiodico se e solo se non è
periodico.
Osserviamo che il sottogruppo triviale {0} ⊳ G non è periodico.
1.2.6 Corollario (alla proposizione 1.2.4). Se A ⊂ G è periodico modulo H ⊳ G,
allora A è unione di classi laterali modulo H, cioè esiste un insieme R ⊂ G di
rappresentanti di classi modulo H ( in generale non completo ) tale che
A = R ⊕ H.
In particolare, per la proposizione 1.2.4, se A è periodico modulo g, esiste un
insieme R ⊂ G di rappresentanti di classi modulo 〈 g〉 tale che
A = R ⊕ 〈 g〉.
Dimostrazione: A + H è un insieme di classi laterali modulo H, sia quindi R ⊂ A
un insieme di rappresentanti di A + H, per il quale cioè valga A + H = R ⊕ H. Poiché
A è periodico modulo H, A = A + 〈 g〉 = R ⊕ 〈 g〉.
1.2.7 Osservazione. Nel caso particolare in cui B ⊂ Z, B è periodico se e solo se
esistono un C ⊂ Z finito ed un intero positivo n tali che B = C ⊕ nZ, ed il minimo
di tali n è il periodo di B.
Notiamo inoltre che ogni sottoinsieme di un gruppo abeliano A ⊂ G si può scrivere
come
A = R ⊕ H
con H ⊳ G ed R non periodico, basta considerare H = PA := {g ∈ G | A + g = A}.
PA è un sottogruppo di G, infatti se g, h ∈ PA allora g − h + A = A, quindi per il
Corollario 1.2.6
A = R ⊕ PA,
e tale R deve necessariamente essere aperiodico, infatti, se g + R = R, allora
12
qed
qed

• g + A = A, quindi g ∈ PA, e
• per ogni r ∈ R, esiste un r ′ ∈ R tale che r = r ′ + g,
1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi
quindi ogni r ∈ R ha una doppia scrittura nella somma diretta R ⊕ PA: r = r + 0 =
r ′ + g, quindi g = 0.
Possiamo ora enunciare il teorema di de Bruijn.
1.2.8 Teorema (de Bruijn, [14]).
Sia A ⊕ B = Z una tassellazione con A e B ⊂ Z.
A è finito ⇔ B è periodico.
In verità, in [14] de Bruijn afferma solo una delle due implicazioni, la seguente:
ogni tassellazione degli interi con un tassello finito è periodica.
Dimostrazione:
Dimostriamo che se A è finito allora B è periodico.
Sia A = {a1, a2, . . . , ak} con a1 < a2 < . . . < ak. Consideriamo la funzione indicatrice
di B, χ B, che vale 1 su B e 0 su Z \ B.
Poiché Z = A ⊕ B, allora per ogni n ∈ Z esiste uno ed un solo j ∈ {1, . . . , k} tale che
n − a j ∈ B, cioè
Sia τ := ak − a1. Consideriamo le τ-ple
χ B (n − a1) + χ B (n − a2) + . . . + χ B (n − ak) = 1. (∗)
cn := ( χ B (n + 1), χ B (n + 2), . . . , χ B (n + τ)) ∈ {0, 1} τ .
Vogliamo dimostrare che una τ-pla cn, per un n fissato, determina univocamente
l’intera sequenza { χ B (n)}n∈Z. Lo faremo in tre passi:
1. cn determina univocamente χ B (n + τ + 1).
Poniamo m := a1 + n + τ + 1, dobbiamo determinare χ B (m − a1).
Poiché a1 < a2 < . . . < ak, si ha
n + τ + 1 = m − a1 > m − a2 > . . . > m − ak = n + 1,
quindi ogni χ B (m − a j) compare in cn per j = 2, . . . , k, allora, per (∗),
χ B (m − a1) = 1 −
k
χ B (m − a j).
2. cn determina univocamente χ B(n), la dimostrazione è del tutto simmetrica
alla precedente.
Poniamo m := ak + n, dobbiamo determinare χ B(m − ak).
Poiché a1 < a2 < . . . < ak, si ha
j=2
n + τ = m − a1 > m − a2 > . . . > m − ak = n,
13

Capitolo 1. I modelli algebrici
quindi ogni χ B (m − a j) compare in cn per j = 1, . . . , k − 1, allora, per (∗),
k−1
χ B(m − ak) = 1 − χ B(m − a j).
3. 1 e 2 provano che cn determina univocamente cn+1 e cn−1, quindi, induttivamente,
determina cm per ogni m < n e per ogni m > n, cioè l’intera sequenza
{ χ B (n)}n∈Z.
Poiché cn ∈ {0, 1} τ per ogni n ∈ Z, e | {0, 1} τ |= 2τ , per il principio dei cassetti
esistono n1 ed n2 ∈ Z tali che 0 < N := n2 − n1 ≤ 2τ e cn1 = cn2 .
Allora per ogni k ∈ Z, χ B (n1 + k) = χ B (n2 + k) = χ B (n1 + N + k), cioè per ogni
n ∈ Z, χ B (n) = χ B (n + N), la sequenza { χ B (n)}n∈Z è periodica.
Quindi b ∈ B se e solo se b + N ∈ B, cioè B è periodico modulo N.
L’altra implicazione si deduce facilmente dal seguente:
1.2.9 Lemma. Siano A, B ⊂ Z, sia n un intero positivo.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti, ed implicano che A e B sono finiti:
1. A ⊕ B ⊕ nZ = Z, e
2. A ⊕ B = {r1, . . . , rn} ⊂ Z con ri r j ( mod n) per ogni i, j ∈ {1, . . . , n}, i j.
Dimostrazione:
[1⇒2]: Sia A ⊕ B = {ri | i ∈ I}. Per ogni z ∈ Z, la condizione 1 implica che
z = a + b + nk, quindi z − nk ∈ A ⊕ B, cioè A ⊕ B contiene almeno un rappresentante
per ogni classe resto modulo n, quindi dev’essere | I |≥ n.
D’altra parte, se fosse | I |> n, esisterebbero i, j ∈ I, con i j, tali che ri ≡ r j ( mod n),
cioè ri = r j + kn per un certo k ∈ Z. Poiché ri, r j ∈ A ⊕ B, ri = a1 + b1 ed r j = a2 + b2,
quindi a1 + b1 = ri = r j + kn = a2 + b2 + kn, cioè ri ha due scritture in A ⊕ B ⊕ nZ,
assurdo. Quindi | I |= n.
[2⇒1]: Per ogni z ∈ Z esiste un unico r ∈ A ⊕ B tale che z ≡ r ( mod n), cioè
z = r + kn dove k è univocamente determinato da z ed r, quindi esiste un unica
terna (a, b, kn) tale che z = a + b + kn.
Inoltre 2 implica che | A || B |= n, quindi A e B sono finiti.
Se B è periodico, esistono un C ⊂ Z ed un intero positivo n tali che A ⊕C ⊕ nZ =
Z, allora, per il lemma, A è finito.
1.2.10 Osservazione. Data una tassellazione A ⊕ B = Z con A finito, la dimostrazione
precedente fornisce un limite superiore per il periodo N di B :
j=1
N ≤ 2 max A−min A = 2 l(A)−1 ,
dove l(A) è la lunghezza, o il diametro, dell’insieme A.
14
qed
qed

1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi
Nella sezione precedente abbiamo definito canoni ritmici le fattorizzazioni
di gruppi ciclici finiti attraverso sottoinsiemi, mostriamone ora l’equivalenza con
particolari fattorizzazioni con sottoinsiemi del gruppo ciclico infinito Z.
1.2.11 Corollario. Sia A ⊂ Z finito. A è un tassello di Z se e solo se esiste un
naturale n tale che [A]n è il ritmo interno di un canone ritmico di periodo n.
Inoltre, dato un tassello A, esiste un canone ritmico di ritmo interno [A]n di periodo
n ≤ 2 l(A)−1 .
Dimostrazione: Segue immediatamente dal teorema di de Bruijn, dal lemma 1.2.9
e dall’osservazione 1.2.10.
1.2.12 Osservazione. La proprietà di tassellazione è invariante per traslazioni, infatti:
supponiamo A ⊕ C = Z, per ogni n ∈ Z si ha che n − z ∈ Z, quindi esiste una ed una
sola coppia (a, c) ∈ A × C tale che n − z = a + c, di conseguenza esiste una ed una
sola coppia (a + z, c) ∈ (A + z) × C tale che n = (a + z) + c, cioè (A + z) ⊕ C = Z.
Possiamo allora limitare l’investigazione ai tasselli di minimo elemento 0, o
equivalentemente (cor 1.2.11) ai ritmi contenenti la classe identica.
Vediamo ora alcuni esempi di canoni ritmici.
1.2.13 Esempio. Sia N = nm, con n ed m interi non negativi, allora il canone
triviale su Z/NZ associato alla fattorizzazione N = nm è
{0, 1, . . . , m − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/mnZ .
1.2.14 Esempio. Se p è primo, gli unici canoni possibili su Z/pZ sono i canoni
triviali:
{0} ⊕ Z/pZ = Z/pZ
ed il suo duale.
Nella sezione 2.2 vedremo come trasformare il canone dell’esempio 1.2.13 nel
seguente, per k ≥ 0:
1.2.15 Esempio.
{0, 1, . . . , m − k − 1, nm − k, nm − k + 1, . . . nm − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/mnZ.
Il precedente esempio mostra che
1.2.16 Proposizione. Per ogni intero non negativo n, non primo, esiste un canone
non banale, né duale di un canone banale, di periodo n, il cui ritmo interno ha
lunghezza n (considerato come insieme di minimi rappresentanti non negativi).
Affrontiamo ora un problema ancora aperto:
15
qed

Capitolo 1. I modelli algebrici
1.2.17 Problema. Dato un tassello A ⊂ N, 0 ∈ A, qual è il minimo periodo nA
possibile per un canone di ritmo interno [A]nA ?
Osserviamo innanzitutto esplicitamente che il lemma 1.2.9 implica che se A è
un tassello di periodo n, | A |=| [A]n |, cioè A è un insieme di rappresentanti distinti
modulo n, quindi sicuramente | A | divide n, in particolare | A |≤ nA.
Nel corollario 1.2.11 si osserva che il teorema di de Bruijn fornisce una limitazione
superiore per tale periodo: nA ≤ 2 l(A)−1 = 2 max A .
Quindi una prima stima è:
| A |≤ nA ≤ 2 max A .
Dividiamo ora il problema in due casi:
1. Consideriamo solo canoni di periodo n ≥ l(A), cioè per i quali A sia esattamente
l’insieme dei minimi rappresentanti non negativi delle classi di [A]n.
Abbiamo due possibilità:
• l(A) = 2 max A , che avviene se e solo se A = {0}, {0, 1}, per i quali, rispettivamente,
nA = 1, 2 =| A |= l(A), cioè è verificato il limite inferiore.
• l(A) < 2 max A .
– Per la proposizione 1.2.16, esistono tasselli che verificano il limite
inferiore nA = l(A) ≥| A |.
– Esistono anche tasselli che verificano il limite superiore, ad esempio
A = {0, 2} che ha nA = 4.
2. Consideriamo anche canoni di periodo n < l(A).
• Anche in questo caso esistono tasselli che verificano il limite inferiore
nA =| A |: sono tutti e soli gli insiemi completi di rappresentanti modulo
| A |.
• Inoltre, poiché nA < l(A), il limite superiore diventa l(A) − 2 (perché
con un periodo di l(A) − 1 = max A si avrebbe max A ≡ 0), verificato da
A = {0, 3}, e coincidente con il limite inferiore. Il caso generale, cioè
se esiste un tassello che verifica nA = l(A) − 2 | A |, rimane aperto.
1.2.18 Esempio. In un canone ritmico, sia il ritmo esterno che il ritmo interno
possono essere sottogruppi:
oppure solo uno (cfr. teorema 3.2.14):
oppure nessuno dei due:
{0, 4, 8} ⊕ {0, 3, 6, 9} = Z/12Z,
{0, 4, 8} ⊕ {0, 1, 2, 3} = Z/12Z,
{0, 2, 4} ⊕ {0, 1, 6, 7} = Z/12Z,
in questo terzo caso, per ora, osserviamo solo che B = {0, 1, 6, 7} è periodico di
periodo 6.
16

1.3 Rappresentazioni matematiche e grafiche
Concludiamo osservando che se consideriamo tasselli infiniti abbiamo molta
più libertà nella loro scelta, infatti vale il seguente risultato di Carl Swenson [72]:
1.2.19 Teorema (Swenson). Per ogni coppia di insiemi finiti A, B ⊂ Z che sono in
somma diretta, esiste una coppia di insiemi infiniti A ′ , B ′ ⊂ Z tali che A ′ ⊕ B ′ = Z .
1.3 Rappresentazioni matematiche e grafiche
Ci sono diversi modi per rappresentare un canone ritmico, in questa sezione ne
elenchiamo i principali: le prime due rappresentazioni sono di carattere matematico,
le restanti tre sono grafiche.
Dopo averne data una descrizione generale, mostriamo ciascuna rappresentazione
nel caso del canone Z/9Z = A ⊕ B, con A = {0, 1, 5} e B = {0, 3, 6}.
Rappresentazione insiemistica. Abbiamo visto che un ritmo di un canone, in
quanto insieme di classi resto, si rappresenta convenzionalmente con il tassello
(cor. 1.2.11) dei suoi minimi rappresentanti non negativi. Inoltre, per l’osservazione
1.2.12 abbiamo assunto che ogni tassello abbia come minimo elemento lo 0.
Nel nostro esempio:
{0, 1, 5} ⊕ {0, 3, 6} = Z/9Z.
È la rappresentazione usata negli esempi della sezione precedente.
Rappresentazione polinomiale. Dalla rappresentazione insiemistica si passa in
maniera naturale alla rappresentazione polinomiale attraverso la seguente definizione:
1.3.1 Definizione. Sia A ⊂ N finito, il polinomio associato ad A è definito come
A(x) := x a .
La definizione precedente fornisce una corrispondenza biunivoca tra i sottoinsiemi
finiti dei numeri naturali e l’insieme dei polinomi a coefficienti 0 o 1:
a∈A
{A ⊂ N, | A |< ∞} −→ {0, 1}[x]
A ↦−→ A(x)
{ai | ai = 1} n i=0 ←− n i=0 aix i
Allora i ritmi di un canone possono essere rappresentati dai rispettivi polinomi
associati, nel nostro esempio: A(x) = 1 + x + x 5 e B(x) = 1 + x 3 + x 6 .
Si vedrà nella prossima sezione (lemma 2.1.5) che
Z/nZ = A ⊕ B se e solo se
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) := 1 + x + x 2 + . . . + x n−1 ( mod x n − 1) (∗)
17

Capitolo 1. I modelli algebrici
per noi (∗) è la rappresentazione polinomiale del canone Z/nZ = A ⊕ B.
Nel nostro esempio:
(1 + x + x 5 )(1 + x 3 + x 6 ) ≡ ∆9(x) ( mod x 9 − 1).
Rappresentazione binaria. Si rappresenta il ritmo interno A con una sequenza
indicizzata di 0 e 1, di lunghezza pari al diametro di A, con un 1 nelle posizioni di
indice appartenente ad A e 0 altrimenti, ad esempio
A = {0, 1, 5} = 110001.
Si dispone tale sequenza orizzontalmente all’interno di una griglia bidimensionale
finita in alto e a destra, partendo dalla b-esima casella dell’i-esima riga (numerando
da sinistra a destra e dall’alto in basso con i numeri naturali), dove b è l’i-esimo
elemento del ritmo esterno B, nel nostro esempio:
1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1
Talvolta si trovano rappresentazioni analoghe a questa con simboli diversi, ad
esempio una x al posto dell’1 ed un punto al posto dello 0:
x x . . . x
x x . . . x
x x . . . x
Rappresentazione a griglia. Il principio è lo stesso del caso precedente, con la
variante che la griglia è parzialmente visibile, al posto dell’1 c’è un riquadro nero
e al posto dello 0 rimane il riquadro vuoto, nel nostro esempio:
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
la linea verticale più marcata indica il periodo del canone, in questo modo se ne
evidenzia la struttura: uno stesso pattern ritmico che viene eseguito da varie voci,
con differenti entrate. Ogni voce ripete ciclicamente lo stesso pattern:
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
18
...

1.3 Rappresentazioni matematiche e grafiche
Possiamo quindi rappresentare il canone con una griglia di lunghezza la lunghezza
del canone:
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
in questo secondo modo si evidenzia la complementarità delle voci.
Nota storica: la rappresentazione a griglia è il Box Notation Method sviluppato da
Philip Harland all’Università della California, a Los Angeles, nel 1962, ed è anche
conosciuta come TUBS (Time Unit Box System).
Rappresentazione circolare. Si considera una rappresentazione circolare di
Z/nZ con n punti equidistanti lungo una circonferenza, partendo dal polo e procedendo
in senso orario. Un pattern ritmico è rappresentato dal poligono in tale
circonferenza i cui vertici sono gli elementi del pattern, nel nostro caso:
A = {0, 1, 5}
Le altre voci vengono aggiunte ruotando il pattern come indicato dagli elementi
del ritmo esterno:
19
A = {0, 1, 5}
B = {0, 3, 6}

Capitolo 1. I modelli algebrici
Nota storica: le rappresentazioni circolari vengono anche chiamate diagrammi di
Krenek, poiché furono utilizzate dal compositore e teorico austriaco Ernst Krenek
negli anni trenta. Si veda in particolare il testo teorico Über neue Musik (1937),
nel quale Krenek discute l’importanza di un approccio assiomatico nella teoria
musicale. Stiamo assistendo di fatto alla nascita della teoria algebrico-musicale 6 .
6 Rinviamo allo studio [10] per una discussione più approfondita sull’emergenza delle strutture
algebriche in musica e musicologia del XX secolo.
20

Capitolo 2
Condizioni di esistenza
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Ethan Coven ed Aaron Meyerowitz ([12], 1999) hanno trovato due condizioni sufficienti,
ed in certi casi anche necessarie, affinché un pattern ritmico tasselli. Presentiamo
in questa sezione i loro risultati in maniera dettagliata, avvalendoci della
rappresentazione polinomiale dei canoni ritmici.
Cominciamo con un’osservazione.
2.1.1 Osservazione. Siano A, B ⊂ N insiemi finiti in somma diretta, e siano A(x) e
B(x) i polinomi loro associati. Si ha:
1. | A | = A(1) e
2. (A ⊕ B)(x) = c∈A⊕B x c = a∈A, b∈B x a+b = a∈A x a b∈B x b = A(x)B(x) .
2.1.2 Definizione.
Siano A ⊂ N finito e Φd il d-esimo polinomio ciclotomico (def. A.1), definiamo:
1. RA := { d ∈ Z : d > 0, Φd(x) | A(x)} ed
2. S A := { d ∈ RA : d = p α , p primo, α intero positivo} .
Possiamo ora enunciare il teorema di Coven-Meyerowitz.
2.1.3 Teorema (Coven-Meyerowitz).
Consideriamo le condizioni:
( T1) : A(1) = p α ∈S A p
( T2) : se p1 a1 ak , . . . , pk ∈ S A sono potenze di primi distinti, allora p a1
1 . . . pak
k ∈ RA.
Allora
(1) : Se A soddisfa (T1) e (T2) allora tassella;
(2) : Se A tassella, allora soddisfa (T1);
21

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
(3) : Se A tassella e | A | ha al più due fattori primi, allora A soddisfa (T2).
2.1.4 Osservazione. Nell’articolo di Coven e Meyerowitz [12] la condizione (T1)
è data nella seguente forma:
A(1) = Φpα(1). p α ∈S A
Per la proposizione A.4(5), se p è primo allora Φpα(1) = p per ogni α ≥ 1, dunque
le due forme sono equivalenti.
Introduciamo ora alcuni lemmi che useremo nella dimostrazione del teorema.
2.1.5 Lemma. Siano A(x), B(x) ∈ N[x] ed n un intero positivo. Allora
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) := 1 + x + x 2 + . . . + x n−1 ( mod x n − 1) ( T0)
se e solo se
1. A(x), B(x) ∈ {0, 1}[x] , quindi sono polinomi associati ad insiemi, A e B, e
2. A ⊕ B = {r1, . . . , rn} ⊂ Z con ri r j ( mod n) per ogni i, j ∈ {1, . . . , n}, i j.
Dimostrazione:
[⇒]: Siano A e B gli insiemi degli esponenti che compaiono, rispettivamente,
in A(x) e B(x), allora
a
A(x)B(x) = nax nbx b
= nkx k
a∈A
b∈B
k∈A+B
dove nk = a+b=k nanb .
Per ogni k ∈ A + B consideriamo k ∈ {0, . . . , n − 1} tale che k ≡ k ( mod n), allora,
riducendo A(x)B(x) modulo xn − 1, si ha:
nkx k = 1 + x + x 2 + . . . + x n−1 ,
quindi, necessariamente,
k∈A+B
(a) nk = 1 per ogni k ∈ A + B ,
(b) n =| A + B |=| A + B | e
Dunque
1. per (a), A(x) e B(x) sono polinomi a coefficienti in {0, 1} e gli insiemi A e B
sono in somma diretta, e
2. per (b), A ⊕ B è un insieme completo di rappresentanti modulo n.
22

[⇐]: Per l’osservazione 2.1.1 (2),
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
A(x)B(x) = (A ⊕ B)(x) = {r1, . . . , rn}(x) = x r1 + x r2 + . . . + x rn .
Le classi [r1]n, . . . , [rn]n sono tutte distinte, dunque esistono k0, . . . kn−1 ∈ Z tali che:
e quindi
0 = ri0 − k0n
1 = ri1 − k1n
n − 1 = rin−1
.
− kn−1n
A(x)B(x) = x k0n + x 1+k1n + . . . + x n−1+kn−1n ≡ ∆n(x) ( mod x n − 1).
2.1.6 Lemma. Siano f (x) ∈ Z[x] ed n un intero positivo. I seguenti fatti sono
equivalenti:
1. f (x) ≡ ∆n(x) ( mod x n − 1)
2. (a) f (1) = n e
(b) per ogni d | n con d > 1, si ha Φd(x) | f (x)
Dimostrazione:
Ricordiamo innanzitutto che ∆n(x) = d|n, d>1 Φd(x).
[1⇒2]: La condizione 1 implica che esiste un polinomio g(x) ∈ Z[x] tale che
f (x) = ∆n(x) + g(x)(x n − 1), allora
(a) f (1) = ∆n(1) = n e
(b) poiché ∆n(x) | x n − 1 si ha ∆n(x) | f (x), quindi, per ogni d | n tale che d > 1,
risulta Φd(x) | f (x).
[2⇒1]: La condizione 2 implica che ∆n(x) | f (x), quindi f (x) = ∆n(x)g(x),
inoltre f (1) = n, quindi g(1) = 1. Allora, ponendo g(x) = k i=0 αix i , modulo x n − 1
si ha
f (x) = ∆n(x)g(x) =
k
αix i ∆n(x) ≡
i=0
poiché x i ∆n(x) ≡ ∆n(x) ( mod x n − 1) .
k
αi∆n(x) = g(1)∆n(x) = ∆n(x)
i=0
23
qed
qed

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
2.1.7 Osservazione. Se A ⊕ B = Z/nZ, per il lemma 2.1.5
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) ( mod x n − 1)
e per il lemma 2.1.6, applicato ad f (x) = A(x)B(x), unitamente al fatto che i polinomi
ciclotomici sono irriducibili in Z[x], si ha:
per ogni d | n, con d > 1, si ha Φd(x) | A(x) o Φd(x) | B(x).
I lemmi 2.1.5 e 2.1.6 e l’osservazione 2.1.7 costituiscono il lemma 1.3 di [12].
Siamo pronti per dimostrare la parte (1) del teorema 2.1.3.
Dimostrazione (1):
Siano m := mcm (S A) ed S := {pα : pα | m} \ S A.
Ad ogni s ∈ S associamo l’intero t(s) := max { d : d | m e (d, s) = 1}, e definiamo il
polinomio
B(x) := Φs(x t(s) ) .
Poiché s = p α , per la proposizione A.4 (ai punti (4) ed (1)), si ha che
s∈S
Φs(x t(s) ) = Φp(x t(s)pα−1
) ∈ {0, 1}[x] ,
dunque B(x) ∈ N[x].
Sia n := A(1)B(1) e sia d > 1 un intero tale che d | n, consideriamone la fattorizzazione
in fattori primi d = p α1
1 . . . pαk
k . Abbiamo 2 possibilità:
1. p αi
i ∈ S A per ogni i = 1, . . . , k, allora, per (T2), Φd(x) | A(x) ;
2. esiste un indice i per il quale si = p αi
i S A, quindi Φsi (xt(si) ) | B(x), e, per la
proposizione A.4(6), Φsi (x) | Φsi (xt(si) ) .
Allora, per il lemma 2.1.6, vale la condizione (T0) del lemma 2.1.5, ossia
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) ( mod x n − 1) ,
dunque B(x) è il polinomio associato all’insieme B dei suoi esponenti, ed A ⊕ B
è un insieme completo di rappresentanti modulo n, in particolare A ⊕ B ⊕ nZ = Z,
cioè A tassella.
Per dimostrare la parte (2) del teorema 2.1.3 cominciamo da un lemma.
2.1.8 Lemma. Siano A(x), B(x) ∈ {0, 1}[x], n := A(1)B(1), S = {p α : p α | n}.
Se per ogni intero d > 1 tale che d | n si ha che Φd(x) | A(x)B(x), allora
1. A(1) = s∈S A Φs(1) e B(1) = t∈S B Φt(1)
2. S = S A ∪ S B e S A ∩ S B = ∅
24
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2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Dimostrazione:
Poiché per ogni d | n, d > 1, si ha Φd(x) | A(x)B(x), allora S ⊂ S A ∪ S B.
A(1) ≤ s∈S A Φs(1) e B(1) ≤ t∈S B Φt(1), quindi
n = A(1)B(1) ≤ Φs(1) Φt(1) ≤ Φs(1) = n
s∈S A
t∈S B
L’ultima uguaglianza segue dalla proposizione A.4, punto 5. Quindi
1. A(1)B(1) = s∈S A Φs(1) t∈S B Φt(1), che implica A(1) = s∈S A Φs(1) e B(1) =
t∈S B Φt(1).
2. s∈S A Φs(1) t∈S B Φt(1) = s∈S Φs(1), quindi S A ∪ S B ⊂ S e S A ∩ S B = ∅.
Possiamo ora completare la
Dimostrazione (2): Poiché A tassella, per il teorema di de Bruijn (teorema 1.2.8)
ed il lemma 2.1.5, esiste B ⊂ Z finito tale che A e B verificano la condizione (T0)
del lemma 2.1.5, quindi, per l’osservazione 2.1.7, A(x) e B(x) verificano le ipotesi
del lemma 2.1.8, in particolare A verifica la condizione (T1).
Osserviamo che non vale il viceversa del teorema (2), cioè la condizione (T1)
non è sufficiente affinché A tasselli. Consideriamo ad esempio l’insieme
s∈S
A = {0, 1, 2, 4, 5, 6} = 1 1 1 0 1 1 1,
A chiaramente non tassella, il suo polinomio associato è
A(x) = 1 + x + x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = (1 + x + x 2 )(1 + x 4 ) = Φ3(x)Φ8(x),
S A = {23 , 3}, quindi A verifica la condizione (T1):
A(1) = 6 = 2 · 3 = p .
p α ∈S A
Prima di dimostrare anche il terzo punto del teorema di Coven-Meyerowitz,
vediamo che la proprietà di tassellazione è invariante per trasformazioni affini.
2.1.9 Teorema. Sia A ⊂ N finito. Per ogni t ∈ Z e k ∈ N si ha:
A tassella ⇔ kA + t tassella
Dimostrazione: Per l’invarianza per trazlazioni della proprietà di tassellazione
(osservazione 1.2.12), basta dimostrare che
A tassella ⇔ kA tassella
25
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Capitolo 2. Condizioni di esistenza
[⇒]: Poiché A tassella, esiste C ⊂ Z tale che A ⊕ C = Z è una tassellazione.
Si ha quindi kA ⊕ kC = kZ, e di conseguenza la tassellazione
Z = {0, . . . , k − 1} ⊕ kZ = {0, . . . , k − 1} ⊕ kA ⊕ kC = kA ⊕ ({0, . . . , k − 1} ⊕ kC).
[⇐]: Poiché kA tassella, esiste C ⊂ Z tale che kA ⊕ C = Z.
Ponendo C0 := { c ∈ C | c ≡ 0 ( mod k)}, si ha che
kA ⊕ C0 = kZ.
[⊆]: È chiaro;
[⊇]: Per ogni kz ∈ kZ ⊂ Z, kz = ka + c, di conseguenza c ∈ C0.
Allora A ⊕ C0/k = Z è una tassellazione.
I due prossimi lemmi stabiliscono l’invarianza per trasformazioni affini anche
della proprietà di soddisfare le condizioni (T1) e (T2). Il secondo, in particolare, ci
permetterà di considerare tasselli i cui elementi sono primi tra loro.
2.1.10 Lemma. Siano A ⊂ N finito ed n ∈ N, poniamo A ′ := A + n. Si ha che:
1. A(x) soddisfa (T1) se e solo se A ′ (x) soddisfa (T1)
2. A(x) soddisfa (T2) se e solo se A ′ (x) soddisfa (T2)
Dimostrazione: Basta osservare che | A |=| A ′ | e A ′ (x) = x n A(x), quindi per ogni
polinomio ciclotomico Φd(x) si ha che Φd(x) | A(x) ⇔ Φd(x) | A ′ (x).
2.1.11 Lemma. Siano A ⊂ N e k ∈ N. Poniamo  := kA, si ha:
1. A soddisfa (T1) ⇔ Â soddisfa (T1)
2. A soddisfa (T2) ⇔ Â soddisfa (T2)
Dimostrazione: Cominciamo con una
2.1.12 Osservazione. Sia k = p primo, allora
S Â = {pα+1 : p α ∈ S A} ∪ {q β ∈ S A : q primo p}.
Dimostrazione: Â(x) = A(x k ), quindi, per la proposizione A.4 (7):
R Â = pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n}.
In particolare S Â = {qα ∈ RÂ | q primo } e
1. q α ∈ pRA ⇔ q = p e q α−1 ∈ RA
2. q α ∈ {n ∈ RA : p ∤ n} ⇔ q p e q α ∈ RA
26
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da cui la tesi.
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Utilizzando la precedente osservazione dimostriamo separatamente i due punti
della tesi:
1. Dividiamo in casi:
(a) Se k = p primo la tesi segue dall’osservazione.
(b) Se k = p α , iterando l’osservazione si ha che
S Â = {pα+β : p β ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo p},
ne segue la tesi, come nel caso precedente.
(c) Sia k = p α1
1
S Â =
. . . pαn
n dimostriamo che
n
i=1
{p αi+β
i
In effetti basta considerare
S A =
: p β ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo pi ∀i}.
n
{p βi
i ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo pi ∀i}
i=1
ed iterare l’osservazione precedente, poiché ad ogni passo la moltiplicazione
per il primo pi modifica dell’insieme ottenuto al passo precedente
solo l’esponente di pi, aumentandolo di 1.
Anche in questo caso la tesi segue.
2. Consideriamo il caso k = p primo e definiamo
n ′
pn se p | n
:=
n se p ∤ n
Per la proposizione A.4 (7) si ha:
n ∈ RA ⇔ n ′ ∈ RpA.
Siano p1 a1 a2 , p2 , . . . , pak
k ∈ N, potenze di primi distinti.
Per l’osservazione si ha:
p ai
i ∈ S A ⇔ (p ai
i )′ ∈ S pA.
Allora, poiché (p1 a1 a2 p2 . . . pak
k )′ = (p1 a1 ) ′ a2 (p2 )′ . . . (p ak
k )′ si ha la tesi.
Il caso generale segue iterando il caso precedente per ogni primo p | k.
27
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Capitolo 2. Condizioni di esistenza
Dimostriamo infine un lemma tecnico.
2.1.13 Lemma. Siano A ⊂ N finito tale che A ⊕ C = Z, k è un intero positivo, e
C ⊂ kZ. Poniamo:
Allora
• Ai := {a ∈ A | a ≡ i ( mod k)} per ogni i = 0, . . . , k − 1 ,
• ai := min Ai e
• Ai := {a − ai | a ∈ Ai}/k .
1. A(x) = x a0 A0(x k ) + x a1 A1(x k ) + . . . + x ak−1 Ak−1(x k ) ;
2. Ai ⊕ C/k = Z per ogni i = 0, . . . , k − 1 ;
3. | Ai |=| A | /k per ogni i = 0, . . . , k − 1 ;
4. S A0 = S A1 = . . . = S Ak−1 ;
5. se k = p primo si ha:
(a) S A = {p} ∪ S pA0 e
(b) se Ai(x) soddisfa (T2) per ogni i = 0, . . . , k − 1, allora anche A(x) soddisfa
(T2).
Dimostrazione:
1. Segue dal fatto che A è l’unione disgiunta di tutti gli Ai ed Ai = ai + kAi per
ogni i = 0, . . . , k − 1.
2. Proviamo innanzitutto che Ai ⊕ C = i + kZ.
⊂: Ai ⊂ i + kZ e C ⊂ Z, quindi Ai ⊕ C ⊂ i + kZ,
⊃: se i + kn = a + c allora a ≡ i ( mod k).
Allora, poiché Ai ⊕ C = i + kZ = ai + kZ, si ha che kZ = Ai − ai ⊕ C, dunque
Z = (Ai − ai)/k ⊕ C/k = Ai ⊕ C/k.
3. Per il punto precedente e per il teorema di de Bruijn esiste un insieme B ⊂ Z
finito tale che Ai ⊕ B ⊕ nZ = Z per ogni i, quindi | Ai |= n/ | B | per ogni i.
4. Sempre per il punto 2 e per il teorema di de Bruijn esiste un insieme B ⊂ Z
finito tale che Ai ⊕ B ⊕ nZ = Z per ogni i, quindi, per il lemma 2.1.8, si ha
che S Ai = S \ S B per ogni i, dove S = {p α : p α | n}.
5. Sia k = p primo. Per l’osservazione 2.1.12 si ha che, per ogni i,
S pAi = {pα+1 : p α ∈ S Ai } ∪ {qβ ∈ S : q primo p} .
Ai
28

2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
(a) Poiché pAi(x) = Ai(x p ), per i punti 1 e 4 si ha che S pAi ⊂ S A. Inoltre,
se ρ è una radice primitiva p-esima dell’unità, per la 1 e la 3 si ha:
A(ρ) = ρ a0 A0(ρ p ) + ρ a1 A1(ρ p ) + . . . + ρ ap−1 Ap−1(ρ p ) =
ρ a0 A0(1) + ρ a1 A1(1) + . . . + ρ ap−1 Ap−1(1) =| A | /p Φp(ρ) = 0
allora Φp(x) | A(x), quindi S pAi ∪ {p} ⊆ S A.
D’alta parte, poiché A ed Ai tassellano Z, per il teorema (1) di Coven-
Meyerowitz, verificano la condizione (T1), quindi
| A |= q ≥ q = p q = p | A | /p =| A | ,
q α ∈S A
q α ∈S pAi ∪{p}
q α ∈S pAi
dunque vale anche l’altra inclusione, in particolare per i = 0.
(b) Assumiamo che ogni Ai verifichi la condizione (T2).
Dato un s ∈ S Ai , poniamo
s ′
s
=
ps
se
se
p ∤ s
p | s
Allora, per (a), basta provare che, comunque dati s1, . . . , sm ∈ S Ai , po-
(x) | A(x) e Φps1...sm (x) | A(x).
tenze di primi distinti, si abbia Φs ′ 1 ...s′ m
Per (T2), Φs1...sm | Ai(x) per ogni i, quindi, per l’osservazione 2.1.12 e
la proposizione A.4(4), i polinomi ciclotomici Φs ′ 1 ...s′ (x) e Φps1...sm (x)
m
dividono Ai(x p ) per ogni i, quindi dividono A(x).
Concludiamo con la dimostrazione del teorema (3).
Dimostrazione (3):
Per il teorema 2.1.9 ed i lemmi 2.1.10, 2.1.11, assumiamo 0 ∈ A e MCD(A) = 1.
Per il corollario 5.3.4 al teorema di Tijdeman, esiste una tassellazione A ⊕ C = Z il
cui periodo n è il prodotto di potenze dei primi che dividono | A |.
Dimostriamo il teorema per induzione su n > 0 con al più due fattori primi.
1. Se n = 1, si ha che A = {0}, quindi A(x) = 1 ed S A = RA = ∅. Dunque A
soddisfa (T2) trivialmente.
2. Se n > 1, per il teorema 5.3.5 di Sands, poiché MCD(A) = 1, esiste un primo
p | n tale che C ⊂ pZ.
Consideriamo le notazioni del lemma 2.1.13; per il punto (2) di tale lemma
Ai ⊕ C/p è una tassellazione di periodo n/p.
Per ipotesi induttiva, Ai(x) soddisfa (T2) per ogni i, quindi per il lemma
2.1.13(5) anche A(x) soddisfa (T2).
29
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Capitolo 2. Condizioni di esistenza
2.2 Esempi
In questa sezione mostriamo tre esempi interessanti di canoni ritmici.
Il primo esempio mostra come applicare il teorema di Coven-Meyerowitz per dimostrare
che un ritmo non tassella.
Il secondo ed il terzo esempio seguono una stessa filosofia, che andiamo ad illustrare.
Un semplice algoritmo per costruire canoni ritmici di periodo n utilizza
l’osservazione 2.1.7, e consiste nei seguenti passi:
1. Considerare la fattorizzazione di ∆n in polinomi ciclotomici.
2. Dividere tali fattori ciclotomici in due gruppi il cui prodotto faccia due polinomi
a coefficienti 0 e 1.
3. Considerare gli insiemi associati a tali prodotti (come da oss. 2.1.1).
Sorgono quindi due questioni:
• Tutti i polinomi ciclotomici che dividono A(x) dividono anche x n − 1?
• Tutti i polinomi che dividono A(x) sono ciclotomici?
Ad entrambe le domande rispondiamo negativamente attraverso degli esempi (la
prima nel secondo e la seconda nel terzo).
Dunque l’algoritmo illustrato non è esaustivo.
2.2.1 Esempio.
Consideriamo il ritmo tipico della salsa cubana, la Clave Son (Tres Dos):
C = | ˇ “‰ ˇ “‰ ˇ “ | > ˇ “ ˇ “
> | = {0, 3, 6, 10, 12} ⇒ C(x) = 1 + x 3 + x 6 + x 10 + x 12 .
Dimostriamo che C non tassella.
Supponiamo per assurdo che tasselli, allora, per la condizione (T1) di Coven-
Meyerowitz, si ha:
p = C(1) = 5 ,
p α ∈S C
quindi esiste un intero positivo α tale che S C = {5 α }.
Poiché deg (Φ5 α) = 4 × 5α−1 e deg (C) = 12, l’unica possibilità è α = 1, dunque
Φ5(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 | C(x) .
Esiste quindi un polinomio p(x) = 8 i=0 aix i tale che C(x) = p(x)Φ5(x).
Otteniamo il sistema:
grado 0: 1 = a0
grado 1: 0 = a0 + a1 = 1 + a1 ⇒ a1 = −1
grado 2: 0 = a0 + a1 + a2 = a2
grado 3: 1 = a0 + a1 + a2 + a3 = a3
grado 4: 0 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + a4 ⇒ a4 = −1
30

2.2 Esempi
grado 5: 0 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = −1 + a5 ⇒ a5 = 1
grado 6: 1 = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1 + a6 ⇒ a6 = 0
grado 7: 0 = a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 1 + a7 ⇒ a7 = −1
grado 8: 0 = a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = −1 + a8 ⇒ a8 = 1
grado 9: 0 = a5 + a6 + a7 + a8 = 1 + 0 − 1 + 1 = 1
Siamo arrivati all’assurdo 0 = 1, quindi Φ5(x) non divide C(x), pertanto C non
tassella.
2.2.2 Esempio.
Cerchiamo un canone ritmico di ritmo interno A e periodo n tale che
∃ d ∤ n tale che Φd(x) | A(x).
Riprendiamo l’esempio 1.2.13 di pagina 15 con m = 4 ed n = 2:
Z8 = {0, 1, 2, 3} ⊕ {0, 4} =
Costruiamo un nuovo ritmo interno A a partire dal canone precedente, mescolandone
le voci in modo tale che ogni elemento di {0, 1, 2, 3} venga sostituito da un
elemento di Z8 che appartenga alla sua stessa classe modulo 4, ad esempio:
0 → 0
1 → 5
2 → 2
3 → 7
=
✠ ❅
❅
❅■
❅
❅
❅
❅
abbiamo quindi ottenuto il canone:
Z8 = {0, 2, 5, 7} ⊕ {0, 4} =
31
=

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
Si ha:
1. A = {0, 2, 5, 7} ⇒ A(x) = 1 + x 2 + x 5 + x 7 =
= (1 + x)(1 + x 2 )(1 − x + x 2 − x 3 + x 4 ) = Φ2(x)Φ4(x)Φ10(x)
2. B = {0, 4} ⇒ B(x) = 1 + x 4 = Φ8(x)
A tassella modulo 8 e Φ10(x)|A(x) ma 10 ∤ 8.
Osserviamo che A = {0, 2, 5, 7} ≡ 5{0, 1, 2, 3} (mod 8) e (5, 8) = 1, e infatti A tassella
con lo stesso ritmo interno B = {0, 4} del canone triviale, come si vedrà nel
teorema 5.3.2.
In generale consideriamo il canone triviale
A ⊕ B = {0, 1, . . . , m − 1} ⊕ { 0, m, 2m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ.
Sappiamo (teorema 2.1.9) che per ogni k ∈ N, kA tassella; e se inoltre (k, nm) =
1, si ha che (k, m =| A |) = 1, quindi (teorema 5.3.2) kA ⊕ B = Z/nmZ e per la
proposizione A.4,
(kA)(x) = A(x k ) = ∆m(x k
) = Φd(x k
) = Φdh(x) ,
d|m, d>1
d|m,d>1 h|k
dunque per ogni d, h > 1 tali che d | m e h | k si ha dh ∤ nm e Φdh(x) | (kA)(x).
Notiamo che il ritmo interno B rimane lo stesso, con B(x) = ∆n(x m ).
2.2.3 Esempio.
Cerchiamo un canone ritmico di ritmo interno A e periodo n tale che
∃ p(x) irriducibile e non ciclotomico, tale che p(x) | A(x).
L’idea, come nel caso precedente è quella di partire dal canone
{0, 1, . . . , m − 1} ⊕ { 0, m, 2m, . . . , (k − 1)m} = Z/kmZ.
Questa volta, invece di mescolare le voci, leggeremo il ritmo interno a partire da
t > 0, ad esempio:
per m = 3, k = 2 e t = 1, il pattern {0, 1, 2} letto da 1 diventa il pattern {0, 1, 5}, ed il
canone diventa Z/6Z = {0, 1, 5} ⊕ {0, 3}:
0
1
0 1 2 3 4 5
pattern
letto da 1
−→
0
1
0 1 2 3 4 5
Il pattern così ottenuto è una traslazione di −t ( mod km) del pattern precedente,
quindi tassella (osservazione 1.2.12), e si ha:
32

1. A = {0, 1, 5} ⇒ A(x) = 1 + x + x 5 = (1 + x + x 2 )(1 − x 2 + x 3 ) = Φ3(x)p(x) e
2. B = {0, 3} ⇒ B(x) = 1 + x 3 = (1 + x)(1 − x + x 2 ) = Φ2(x)Φ6(x).
p(x) = (1 − x 2 + x 3 ) non è divisibile per un polinomio ciclotomico, infatti:
(a) p(x) è irriducibile in Z[x] (ha grado 3 e non ha radici)
(b) vale l’osservazione A.2
Analogamente per t = 2:
e si ha
0
1
0 1 2 3 4 5
pattern
letto da 2
−→
0
1
0 1 2 3 4 5
1. A = {0, 4, 5} ⇒ A(x) = 1 + x 4 + x 5 = (1 + x + x 2 )(1 − x + x 3 ) = Φ3(x)p(x) e
2. B è lo stesso di prima.
2.2 Esempi
E, sempre per l’osservazione A.2, il polinomio p(x) non è divisibile per un polinomio
ciclotomico.
In generale consideriamo il canone triviale
{0, . . . , m − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ
letto a partire da k ≤ m, cioè con ritmo interno traslato di −k ( mod mn):
1. A := {0, . . . , m − 1} − k = {−k, −k + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , m − k − 1} ≡
≡ {0, 1, . . . , m − k − 1, nm − k, nm − k + 1, . . . nm − 1} (mod mn) ⇒
⇒ A(x) = 1 + x + . . . + x m−k−1 + x nm−k + . . . + x nm−1 = 1
= ∆m(x)(1 − x m−k + x m − x 2m−k + x 2m + . . . − x (n−1)m−k + x (n−1)m ) =
= ∆m(x)(∆n(x m ) − x m−k ∆n−1(x m ))
2. B(x) = n−1
i=0 xmi = ∆n(x m ).
Poiché ∆m(x) è prodotto di polinomi ciclotomici, ci interessa sapere per quali valori
di n, m, k ∈ N, con nm ≥ 1 e k ≤ m, esista un polinomio non ciclotomico che divida
il fattore R(x) := ∆n(x m ) − x m−k ∆n−1(x m ) di A(x).
Cominciamo scartando i casi triviali:
• Se k = 0 non c’è nessuna traslazione ed il canone rimane quello iniziale, cioè
con A(x) = ∆m(x) (infatti R(x) = 1), quindi gli unici polinomi irriducibili che
dividono A(x) sono ciclotomici.
1 segue dal fatto che se α < β, allora ∆α(x) = ∆β(x) − x α ∆β−α(x), applicandola a β = m ed, in modo
alternato, α = m − k e k
33

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
• Se k = m la traslazione cambia solo l’ordine delle voci, senza alterarne il
motivo, che rimane A, infatti, come prima, R(x) = 1 e quindi A(x) = ∆m(x):
gli unici polinomi irriducibili che dividono A(x) sono ciclotomici.
Sia ora 0 < k < m. Abbiamo due possibilità:
1. m = 2k,
2. m 2k,
corrispondenti alle due proprietà:
1. R(x) è reciproco (definizione A.5),
2. R(x) non è reciproco.
Basta infatti scrivere
R(x) = 1 − x m−k + x m − x 2m−k + x 2m + . . . − x (n−1)m−k + x (n−1)m
per osservare che R(x) è reciproco se e solo se
cioè se e solo se m = 2k.
(n − 1)m − (m − k) = (n − 1)m − k ,
Nel primo caso, si vede facilmente che R(x) = ∆2n−1(−x k ), quindi ogni polinomio
irriducibile che divide R(x) divide anche Φd(−x k ), dove d | 2n − 1 e d > 1.
Poiché 2n − 1 è dispari, anche ogni suo divisore lo è, quindi (per la proposizione
A.4(3)) Φd(−x k ) = Φ2d(x k ). Se ne deduce che i fattori irriducibili di R(x) sono polinomi
ciclotomici, di conseguenza tali sono anche i fattori irriducibili di A(x).
Nel secondo caso, R(x) non è reciproco.
In entrambi i casi, R(x) ha un numero dispari di termini, quindi R(1) 0 (ed anche
R(−1) in verità), e quindi (per la prop. A.6) tutti i polinomi ciclotomici che dividono
R(x) sono reciproci.
Il prodotto di polinomi reciproci è un polinomio reciproco, quindi se per assurdo
tutti i fattori irriducibili di R(x) fossero polinomi ciclotomici, allora R(x) sarebbe
reciproco.
Abbiamo supposto il contrario: quindi deve esistere un polinomio, irriducibile, non
ciclotomico, che divide R(x), e di conseguenza anche A(x).
Ricapitolando, abbiamo dimostrato la seguente
2.2.4 Proposizione. Siano m, n, k ∈ N tali che nm > 0 e k ≤ m.
Sia A il ritmo interno del canone ottenuto traslando di −k il ritmo interno del
canone triviale
{0, . . . , m − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ.
I fattori irriducibili di A(x) sono tutti polinomi ciclotomici se e solo se m = hk con
h ∈ {0, 1, 2}.
34

Capitolo 3
Canoni di Vuza
3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
Abbiamo definito un canone ritmico a mosaico come una fattorizzazione di un
gruppo ciclico finito con due suoi sottoinsiemi; in effetti lo studio di queste strutture
musicali rientra nel problema più generale nello studio delle fattorizzazioni di un
gruppo abeliano con n sottoinsiemi. Tale problema si impose all’attenzione della
comunità matematica quando, nel 1941 [29], il giovane matematico ungherese G.
Hajós risolse la congettura di Minkowski sui ricoprimenti reticolari a cubi, dopo
averla tradotta in un problema di fattorizzazione di gruppi abeliani con sottoinsiemi
(di questa traduzione ci occuperemo nel paragrafo 3.2.2).
Fu infatti Hajós, in un articolo del 1950 [30], a porre la seguemte domanda:
Data una fattorizzazione G = A ⊕ B di un gruppo abeliano con due suoi sottoinsiemi,
si può dedurre che A o B deve essere necessariamente periodico
(definizione 1.2.3)?
Ed egli stesso, nel medesimo articolo, vi rispose negativamente enunciando un
teorema, la generalizzazione del quale (teorema 3.1.4) avrebbe poi permesso di
trovare tutti i gruppi abeliani per i quali la risposta è negativa.
Sempre nel 1950, anche il matematico olandese Nicolaas Goovert de Bruijn,
studiando le basi per l’insieme degli interi [14], e senza essere a conoscenza del
lavoro di Hajós, si pose la stessa domanda e ne congetturò la risposta affermativa
([14], pag. 242, congettura 3). Nonostante questo primo errore, de Bruijn è stato tra
gli studiosi che hanno apportato un contributo determinante per la caratterizzazione
dei gruppi per i quali la risposta alla domanda di Hajós è positiva.
Tra il 1941 ed il 1957, in articoli di Hajós ([29], [30], [31]), Rédei ([57], [58]),
de Bruijn ([15], [16]) e Sands ([61], [64]), vennero esibiti diversi esempi di gruppi
per i quali la risposta è affermativa, e venne generalizzato il già menzionato
risultato di Hajós sui gruppi per i quali è negativa, arrivando ad una completa
caratterizzazione in entrambi i casi.
Successivamente, tra il 1991 ed il 1993, furono pubblicati quattro articoli del
matematico rumeno Dan Tudor Vuza [78] dedicati alla formalizzazione di una par-
35

Capitolo 3. Canoni di Vuza
ticolare classe di canoni ritmici: i canoni RCCM (Regular Complementary Canons
of Maximal Category), oggetto del presente capitolo. L’eccezionalità del lavoro
di Vuza (cfr ad esempio Moreno Andreatta [9]) sta nel fatto che, ignorando completamente
i risultati di Hajós, Redei, de Bruijn e Sands, egli dimostri molti dei
teoremi contenuti negli articoli citati, ed anticipa un importante risultato, attribuito
in seguito a Robert Tijdeman (1995, [76], cfr. teorema 5.3.2).
Cominciamo come di consueto con qualche definizione.
3.1.1 Definizione. Sia G un gruppo abeliano.
Una k-fattorizzazione di G è una sua fattorizzazione in somma diretta di k suoi
sottoinsiemi.
Una k-fattorizzazione G = A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ Ak si dice periodica se esiste un indice
i ∈ {1, 2, . . . , k} tale che Ai è periodico.
Una k-fattorizzazione non periodica si dice aperiodica.
3.1.2 Definizione. Sia G un gruppo abeliano.
G è k-Hajós se ogni sua k-fattorizzazione è periodica.
G è non k-Hajós se non è un gruppo k-Hajós, cioè se esiste una sua k-fattorizzazione
aperiodica.
Per k = 2, si dirà semplicemente di Hajós e non-Hajós.
3.1.3 Definizione. Un canone di Vuza è una 2-fattorizzazione aperiodica di un
gruppo ciclico. L’ordine del gruppo ciclico è il periodo del canone.
Osserviamo che i canoni di Vuza esistono solo per gruppi ciclici non-Hajós.
Notiamo inoltre che un canone di Vuza è un canone ritmico Z/nZ = A ⊕ B nel
quale sia il ritmo interno A che il ritmo esterno B sono aperiodici.
In [15] de Bruijn generalizza il già citato risultato di Hajós in [30], ottenedo il
seguente fondamentale risultato:
3.1.4 Teorema (Hajós - de Bruijn).
Sia G un gruppo abeliano finito, sia H ⊳ G un sottogruppo proprio tale che:
1. H = H1 ⊕ H2 con H1 ed H2 sottogruppi non banali,
2. o(Hi) non è primo, per i = 1, 2, e
3. Hi non è isomorfo a Z/2Z ⊕ Z/2Z, per i = 1, 2.
Allora G è non-Hajós.
Daremo la dimostrazione di questo teorema solo nel caso (dimostrato anche
da Vuza) in cui G sia un gruppo ciclico, utilizzando l’elegante fattorizzazione
suggerita da Franck Jedrzejewski [37] e la seguente proposizione:
3.1.5 Proposizione. Un insieme A ⊂ Z/nZ è periodico modulo k | n, se e solo se
xn − 1
xk
− 1 A(x) .
36

3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
Dimostrazione:
Per definizione, A ⊂ Z/nZ è periodico modulo k se e solo se k + A = A, e si ha la
seguente catena di doppie implicazioni:
k + A = A ⇔ x k A(x) ≡ A(x) (mod x n − 1) ⇔ (x k − 1)A(x) ≡ 0 (mod x n − 1) ⇔
⇔ x n − 1 | (x k − 1)A(x) ⇔ xn − 1
xk
− 1 A(x) .
3.1.6 Osservazione.
Se A Z/nZ è periodico allora il suo periodo divide n.
Infatti, per il corollario 1.2.6, se A è periodico modulo m, allora
A = S ⊕ 〈m〉 = S ⊕ 〈 n
o(m) 〉
poiché in un gruppo ciclico c’è uno ed un solo sottogruppo per ogni divisore dell’ordine
del gruppo.
Alla luce della precedente osservazione, se indichiamo con div(n) l’insieme
{ d ∈ N : d | n}, la proposizione 3.1.5 si può rienunciare come:
3.1.7 Proposizione. Un insieme A ⊂ Z/nZ è aperiodico se e solo se
ossia, se e solo se
per ogni k | n, k n si ha che xn − 1
x k − 1
∤ A(x),
∀ k ∈ div(n) \ {n} ∃ d ∈ div(n) \ div(k) tale che Φd(x) ∤ A(x).
Per i gruppi ciclici il teorema 3.1.4 diventa:
3.1.8 Teorema (de Bruijn - Vuza). Sia N = nmk ∈ N tale che:
1. (n, m) = 1,
2. n = n1n2 , m = m1m2 , ed
3. n1, n2, m1, m2, k > 1.
Allora Z/NZ è non-Hajós
Dimostrazione:
Come prima cosa elenchiamo i risultati generali che applicheremo nella dimostrazione,
indicando con Zn il gruppo ciclico Z/nZ e con Rk l’insieme {0, 1, . . . , k −
1}:
37
qed

Capitolo 3. Canoni di Vuza
(1) per ogni k | n, Rk è un insieme completo di rappresentanti di Zn/kZn, cioè
Zn = Rk ⊕ kZn,
che infatti abbiamo chiamato canone triviale (esempio 1.2.13),
(2) per ogni k ∈ Z ∗ , se Zn = S ⊕ T, allora kZn = kS ⊕ kT;
(3) se Zn = S ⊕ T allora Zn = kS ⊕ T per ogni k tale che (k, | S |) = 1.
I primi due risultati sono triviali, il terzo è il teorema 5.3.2.
Sia dunque N = nmk come nell’enunciato, cerchiamo una fattorizzazione ZN =
A ⊕ B con A e B non periodici.
Cominciamo con il canone triviale:
ZN = Rk ⊕ kZN .
Applicando (1) e (2) in modo alternato, abbiamo le seguenti fattorizzazioni di kZN
:
1. kZN = kRn1 ⊕ kn1ZN
kRn1 ⊕ kn1Rn2 ⊕ kn1n2ZN
kRn1 ⊕ kn1Rn2 ⊕ kn1n2Rm1 ⊕ kn1n2m1ZN , e
2. kZN = kRm1 ⊕ km1ZN
kRm1 ⊕ km1Rm2 ⊕ km1m2ZN
kRm1 ⊕ km1Rm2 ⊕ km1m2Rn1 ⊕ km1m2n1ZN .
Per la (1) e la (3), poiché n1 =| Rn1 | e (m, n1) = 1, risulta
e per la (2) si ha
ZN = mRn1 ⊕ n1ZN ,
kZN = kmRn1 ⊕ kn1ZN ;
analogamente, scambiando i ruoli di n ed m, si ha
Poniamo:
• A := kmRn1 ⊕ knRm1 ,
• C1 := kn1Rn2 ⊕ kn1n2m1ZN ,
• C2 := km1Rm2 ⊕ km1m2n1ZN .
Le due fattorizzazioni allora diventano:
1. kZN = A ⊕ C1 , e
2. kZN = A ⊕ C2
kZN = knRm1 ⊕ km1ZN .
38

Ritornando alla fattorizzazione iniziale,
ZN = Rk ⊕ kZN = kZN ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ kZN ,
3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
dove ⊔ indica l’unione disgiunta; utilizziamo per il primo kZN la prima fattorizzazione,
e per il secondo la seconda, cioè:
ZN = A ⊕ C1 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ A ⊕ C2 = A ⊕ (C1 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C2) .
Prendendo allora
• B := C1 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C2 ,
abbiamo il canone ZN = A ⊕ B.
Rimane da vedere che A e B non sono periodici, cominciamo da A:
A(x) = ∆n1 (xkm )∆n2 (xkn ) = xkmn1 − 1
x km − 1
x knm1 − 1
x kn − 1 .
Utilizziamo la proposizione 3.1.7: fissiamo un qualsiasi h ∈ div(N) \ {N} e cerchiamo
un d ∈ div(N) \ div(h) tale che Φd(x) ∤ A(x).
Abbiamo i seguenti casi:
1. km ∤ h, allora Φkm(x) è il polinomio cercato;
2. kn ∤ h, allora Φkn(x) è il polinomio cercato;
non esistono altre possibilità, infatti, se per assurdo avessimo km | h e kn | h, allora
h = αkm = βkn, quindi αm = βn, e poiché (n, m) = 1 seguirebbe α = n e β = m
quindi h = N, assurdo.
Passiamo a B:
B(x) = C1(x) + (x + x 2 + . . . + x k−1 )C2(x) =
= ∆n2 (xkn1 )∆m2 (x N m 2 ) + x∆k−1(x)∆m2 (xkm1 )∆n2 (x N n 2 ) =
= xkn − 1
x kn1 − 1
x N − 1
x N m 2 − 1
+ x∆k−1(x) xkm − 1
xkm1 x
− 1
N − 1
x N n2 − 1
Come per A, dato un qualsiasi h ∈ div(N) \ {N} cerchiamo un d ∈ div(N) \ div(h)
tale che Φd(x) ∤ B(x). Consideriamo i casi:
1. kmn1 ∤ h, allora Φkmn1 (x) è il polinomio cercato, infatti Φkmn1 (x) | x N −1
Φkmn1 (x) ∤ x∆k−1(x) xkm −1
x km 1−1
x N −1
x N n 2 −1
;
x N m 2 −1
2. knm1 ∤ h, allora Φknm1 (x) è il polinomio cercato (simmetricamente al caso
precedente);
39
ma

Capitolo 3. Canoni di Vuza
non esistono altre possibilità, infatti, se per assurdo avessimo kmn1 | h e knm1 | h,
allora h = αkmn1 = βknm1, quindi αm2 = βn2, e poiché (n2, m2) = 1 seguirebbe
α = n2 e β = m2 quindi h = N, assurdo.
Sappiamo quindi ora che esistono canoni di Vuza di periodo N = nmk, come
nelle ipotesi del teorema 3.1.8 di Vuza. Il risultato che segue stabilisce esplicitamente
quali sono i periodi non contemplati nel precedente teorema.
3.1.9 Teorema. Siano
• V := {N ∈ N | N = nmk, con (n, m) = 1, n = n1n2, m = m1m2, ni, mi, k > 1}
l’insieme dei naturali che soddisfano le ipotesi del teorema di Vuza, ed
• H = {p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs : α ∈ N, p, q, r, s primi distinti};
allora N ∗ := {n ∈ N | n > 0} è unione disgiunta di V ed H.
Dimostrazione:
Indichiamo con V c = N ∗ \ V e con H c = N ∗ \ H, basta allora dimostrare le due
inclusioni H ⊂ V c e H c ⊂ V.
H ⊂ V c : Per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2 ∈ N ∗ con (n1n2, m1m2) = 1 ed
n1n2m1m2 | x , proprietà non verificata dagli elementi di H di tipo p α e p α q, con
p, q primi ed α ∈ N . Inoltre, per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2, k ∈ N ∗ tali che
n1n2m1m2k | x , proprietà non verificata dai restanti elementi di H, quelli di tipo
p 2 q 2 , pqr, p 2 qr e pqrs , con p, q, r, s primi.
H c ⊂ V : Sia x = p α1
1 pα2
2 . . . pαh
h ∈ H c , con p1, p2, . . . , ph primi distinti. Dividiamo
in casi, secondo il numero h ≥ 1 dei primi che dividono x .
h = 1 : Non è possibile perché x H.
h = 2 : Poiché x H, si ha che α1 ≥ 3 ed α2 ≥ 2 (o viceversa), quindi basta
considerare (n, m, k) = (p2 1 , pα2 ).
2
, pα1−2
1
h = 3 : Poiché x H, si ha, a meno di permutare i fattori, che:
– α1 = 2, α2 ≥ 2 ed α3 ≥ 1, oppure
– α1 ≥ 3, α2 ≥ 1 e sempre α3 ≥ 1,
in entrambi i casi basta considerare (m, n, k) = (p α1
1
, pα2
2 , pα3
3 ).
h = 4 : Poiché x H, α1 + α2 + α3 + α4 ≥ 5, supponiamo α1 ≥ 2, quindi
basta considerare (n, m, k) = (p α1
1 pα2
2 , pα3
3 pα4
4 , p1 )
h > 4 : Basta considerare (n, m, k) = (p α1
40
1 pα2
2 , pα3
3 pα4
4 , pα5
5 ).
qed
qed

3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
In effetti i gruppi abeliani finiti non Hajós sono completamente caratterizzati
dal teorema 3.1.4 di Hajós - de Bruijn.
Per i gruppi ciclici, abbiamo visto esplicitamente, nel teorema precedente, quali
periodi mancano all’appello. Per la dimostrazione del fatto che tali gruppi sono
tutti di Hajós, rimandiamo agli articoli citati nella seguente tabella:
Periodi Autore/i
p α Hajós [30] e Rédei [58]
p α q de Bruijn [16]
p 2 q 2 Sands [61]
pqr Rédei [58]
p 2 qr Sands [61]
pqrs Sands [61]
dove p, q, r ed s sono primi distinti, ed α ∈ N.
Nel caso non ciclico, i gruppi abeliani finiti di Hajós sono tutti e soli
• i gruppi dei seguenti tipi [64]:
• e tutti i loro sottogruppi,
{p, p}, {2 2 , 2 2 }, {2 λ , 2}, {3 2 , 3}, {p 3 , 2, 2}, {p 2 , 2, 2, 2},
{p, 2 2 , 2}, {p, 2, 2, 2, 2}, {p, q, 2, 2} e {p, 3, 3}
dove p e q sono primi distinti, e ricordiamo che il tipo di un gruppo abeliano finito è
l’insieme degli ordini dei gruppi ciclici di cui è somma diretta. Per le dimostrazioni
si rimanda agli articoli di Rédei [58], de Bruijn [15] e Sands ([62] e [64]).
Osserviamo che tutti gli esempi di canoni ritmici incontrati fino ad ora non sono
canoni di Vuza, hanno infatti periodi troppo piccoli: il minimo periodo necessario
per un canone di Vuza è 72, per il quale cioè (n1, n2, m1, m2, k) = (2, 2, 3, 3, 2).
La dimostrazione del teorema 3.1.8 fornisce la seguente fattorizzazione di Z/72Z:
A =
=
kmRn1 ⊕ knRm1
18 {0, 1} ⊕ 8 {0, 1, 2}
= {0, 8, 16, 18, 26, 34}
B = C1 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C2
= kn1Rn2 ⊕ knm1ZN
=
⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ km1Rm2 ⊕ kmn1ZN
4 {0, 1} ⊕ 〈 24〉 ⊔ {1} ⊕ 6 {0, 1, 2} ⊕ 〈36〉
= {0, 4, 24, 28, 48, 52} ⊔ 1 + {0, 6, 12, 36, 42, 48}
= {0, 1, 4, 7, 13, 24, 28, 37, 43, 48, 49, 52}
41

Capitolo 3. Canoni di Vuza
Osserviamo che la fattorizzazione aperiodica costruita nella dimostrazione è simmetrica
rispetto ad m ed n, quindi come ritmo esterno possiamo considerare anche
B ′ = C2 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C1
= km1Rm2 ⊕ kmn1ZN
=
⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ kn1Rn2 ⊕ knm1ZN
6 {0, 1, 2} ⊕ 〈36〉 ⊔ {1} ⊕ 4 {0, 1} ⊕ 〈 24〉
= {0, 6, 12, 36, 42, 48} ⊔ 1 + {0, 4, 24, 28, 48, 52}
= {0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53}
Z72 = A ⊕ B ′ è in effetti la fattorizzazione mostrata da Laszlo Fuchs in Abelian
Groups [26], e ripresa dal matematico parigino François Le Lionnais, che inserisce
72 in Les Nombres Remarquables [47] proprio perché ≪le groupe cyclique à
soixante-douze éléments se décompose sous la forme S + T non-périodiques≫.
3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
Il teorema di Hajós, che viene considerato uno dei risultati più rilevanti nella teoria
della fattorizzazione di gruppi abeliani, nasce come traduzione algebrica della
congettura di Minkowski sui ricoprimenti reticolari dello spazio euclideo.
In questa sezione raccontiamo la genesi della congettura, partendo dalle considerazioni
dello stesso Hermann Minkowski sul problema dell’approssimazione di reali
con razionali, e ne illustriamo la traduzione algebrica di Hajós.
Non riporteremo alcune dimostrazioni e di altre daremo un’idea solo intuitiva. Lo
scopo della sezione è evidenziare come i concetti di fattorizzazione di un gruppo
abeliano con sottoinsiemi e di tassellazione, che trovano ampio utilizzo nella teoria
dei canoni ritmici, vengono da branche della matematica apparentemente distanti
da questo contesto specifico, come la geometria delle tassellazioni o la teoria dei
numeri.
Per una visione completa si rimanda ai lavori degli stessi Minkowski ([52] e [53])
ed Hajós ([29] e [30]), di Stein [70], Stein e Szabó [71] e Shor [69].
3.2.1 La genesi della congettura
Sia a un numero reale. Per ogni intero y ≥ 1 esiste un intero x tale che
0 ≤ ay − x < 1 ,
basta infatti considerare x = [ay] la parte intera di ay, come mostrato in Figura 3.1.
Consideriamo ora una ratio intera t > 1 e dividiamo l’intervallo [0, 1[ in t
sottointervalli di ampiezza 1/t:
t−1
k k + 1
[0, 1[= , .
t t
k=0
42

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
· · ·
ay
· · ·
−1 0 1 2 · · · [ay] [ay] + 1
Figura 3.1
Al variare di y ∈ {0, . . . , t}, consideriamo un intero x tale che il numero reale
ξ := ay − x
sia in [ 0, 1 [ . Abbiamo così t + 1 numeri reali in t intervalli, quindi, per il principio
dei cassetti, esistono due interi y1, y2 ∈ {0, . . . , t}, y1 y2, tali che i rispettivi
ξ1 = ay1 − x1 e ξ2 = ay2 − x2
sono nello stesso intervallo [ k/t, (k + 1)/t [, come mostrato in Figura 3.2.
si ha
0 1 2 · · · k
t
ξ1 ξ2
Figura 3.2
Supponiamo sia y1 > y2, allora, ponendo
Abbiamo dimostrato il
y := y1 − y2 ed x := x1 − x2,
0 < y ≤ t e | ay − x |< 1
t .
k+1
t−1
t · · · t
3.2.1 Teorema. Per ogni numero reale a e per ogni ratio intera t > 1, esistono due
interi x ed y tali che
0 < y ≤ t e | ay − x |< 1
t .
Consideriamo ora due numeri reali a1 ed a2, ed una ratio intera t > 1.
La suddivisione dell’intervallo [0, 1[ in t sottointervalli di ampiezza 1/t genera una
suddivisione del quadrato unitario (non chiuso) [0, 1[ 2 in t 2 quadrati di lato 1/t:
[0, 1[ 2 =
t−1
k,h=0
k k + 1 h h + 1
, × , .
t t t t
43
1

Capitolo 3. Canoni di Vuza
Al variare di z ∈ {0, . . . , t 2 }, consideriamo due interi x ed y tali che la coppia di
numeri reali (ξ, η) definiti come
ξ := az − x ed η := az − y,
sia nel quadrato unitario [0, 1[ 2 . Abbiamo così t 2 + 1 coppie di numeri reali (ξ, η) in
t 2 quadrati, quindi, per il principio dei cassetti, esistono due interi z1, z2 ∈ {0, . . . , t n },
z1 z2, tali che le rispettive coppie (ξ1, η1) e (ξ2, η2), con
ξ1 = az1 − x1, ξ2 = az2 − x2, η1 = az1 − y1 ed η2 = az2 − y2,
siano nello stesso quadrato, diciamo [ k/t, (k + 1)/t [ × [ h/t, (h + 1)/t [, come mostrato
in Figura 3.3.
1
h
t
.
0 · · · k
t
× h
t
.
h+1
k k+1
t , t
t
η
(ξ, η)
ξ
h+1 , t
Figura 3.3
k+1
t · · · 1
Il precedente argomento si generalizza facilmente in dimensione n qualsiasi,
dimostrando il
3.2.2 Teorema. Per ogni n-upla di numeri reali a1, . . . , an e per ogni ratio intera
t > 1, esistono n + 1 interi x1, . . . , xn, y tali che
0 < y ≤ t n e | aiy − xi |< 1
, per ogni i = 1, . . . , n.
t
Questi ragionamenti hanno indotto Minkowski a porre il seguente problema di
approssimazione simultanea di n reali con n razionali e ratio non necessariamente
intera:
44

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
3.2.3 Problema. Dati n + 1 numeri reali a1, . . . , an, t ∈ R con t > 1, è sempre
possibile trovare n + 1 numeri interi x1, . . . , xn, y ∈ Z tali che
sia verificata?
0 < y < t n e | ai − xi
y
1
|< , per ogni i = 1, . . . , n
ty
Minkowski tenta di risolvere il precedente problema di teoria dei numeri traducendolo
in un problema geometrico.
Consideriamo la matrice reale n + 1 × n + 1
⎛
t 0 . . . 0 −a1t
0 t . . . 0 −a2t
A = .
. .. .
⎜⎝
0 0 . . . t −ant
0 0 . . . 0 1/tn ⎞
⎟⎠
con t > 1, sia C = [−1, 1] n+1 il cubo di vertici (±1, . . . , ±1) ed indichiamo con C ◦ la
sua parte interna. Il problema 3.2.3 diventa:
esiste un vettore a coordinate intere X = (x1, . . . , xn, y) ∈ Z n+1 tale che y > 0 e AX ∈
C ◦ ?
Osservando che det(A) = 1, Minkowski si pose un problema più generale:
3.2.4 Problema. Sia B = (bi j) n i, j=1 una matrice n × n reale di determinante 1 e sia
C = [−1, 1] n . Esiste un vettore non nullo a coordinate intere X = (x1, . . . , xn) ∈ Zn+1 tale che BX ∈ C ◦ ?
Egli stesso si accorse che la risposta è in generale negativa, esibendo come
controesempio la matrice
⎛
⎞
⎜⎝
1 b12 b13
0 1 b23
0 0 1
Infatti, si vede che l’unica soluzione intera del sistema di disuguaglianze
⎟⎠ .
| x1 + b12x2 + b13x3 | < 1
| x2 + b23x2 | < 1
| x3 | < 1
è il vettore nullo (x1, x2, x3) = (0, 0, 0).
Torniamo al caso generale. Sia B la matrice del Problema 3.2.4, poiché B è
invertibile, i vettori colonna v j = (b1 j, b2 j, . . . , bn j), per j = 1, . . . , n, formano una
base di R n e consideiamo l’insieme
L := {BX = x1v1 + . . . + xnvn | X = (x1 . . . , xn) ∈ Z n }.
Introduciamo ora alcune definizioni.
45

Capitolo 3. Canoni di Vuza
3.2.5 Definizione. Sia B = {v1, . . . , vn} una base di Rn e B = (v1, . . . , vn) la matrice
le cui colonne sono i vettori di B. L’insieme
L = {BX | X ∈ Z n ⎧
⎪⎨
n
⎫
⎪⎬
} = ⎪⎩
xivi | xi ∈ Z, vi ∈ B⎪⎭
i=1
di tutte le combinazioni lineari a coefficienti interi dei vettori di B si dice reticolo.
B è la base del reticolo, B la sua matrice, n la sua dimensione.
Se P = BX = n i=1
xivi è un punto del reticolo L, X = (x1, . . . , xn) è il vettore delle
coordinate di P sul reticolo L
Si chiama parallelepipedo fondamentale del reticolo l’insieme
⎧
⎪⎨
n
⎫
⎪⎬
P := ⎪⎩
aivi | ai ∈ [0, 1] ⊂ R per ogni i = 1, . . . , n⎪⎭
.
i=1
Il volume del parallelepipedo fondamentale si chiama determinante del reticolo e
si indica con det(L).
Osserviamo che il volume del parallelepipedo fondamentale di un reticolo è il
determinante della sua matrice:
det(L) = vol(P) =| v1, v2, . . . , vn |= det(B).
3.2.6 Definizione. Un insieme C ⊂ R n si dice a simmetria centrale se e solo se
esiste un punto S ∈ R n tale che C è invariante per la simmetria rispetto ad S .
S è detto centro di simmetria di C.
Siamo pronti per enunciare il risultato fondamentale di Minkowski che risolve
completamente i Problemi 3.2.3 e 3.2.4: il Lattice Point Theorem (teorema del
punto reticolare), brevemente LPT.
3.2.7 Teorema (LPT).
Sia C ⊂ R n compatto, convesso e centralmente simmetrico tale che
1. vol(C) = 2 n d e
2. l’origine è il suo centro di simmetria.
Sia L ⊂ R n un reticolo n-dimensionale di determinante d.
Allora C contiene un punto del reticolo diverso dall’origine.
Per la dimostrazione del teorema 3.2.7 si veda ad esempio [71] o [32].
Abbiamo così la soluzione del Problema 3.2.4:
3.2.8 Teorema. Siano B una matrice reale n × n di determinante 1 e C = [−1, 1] n
il cubo di vertici (±1, . . . , ±1).
Allora esiste un vettore non nullo X ∈ Z n tale che BX ∈ C.
46

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
Dimostrazione: Consideriamo il reticolo L = {BX | X ∈ Z n }. Poiché det(L) =
det(B) = 1 e vol(C) = 2 n , possiamo applicare il Lattice Point Theorem, esiste
quindi un punto P, diverso dall’origine, tale che P ∈ L ∩ C. Sia X ∈ Z n il vettore
delle coordinate di P su L, allora X non è nullo e BX ∈ C.
La risposta al Problema 3.2.4 è quindi positiva se ne indeboliamo la richiesta:
il vettore X ∈ Z n potrebbe individuare un punto P = BX che non si trova nella
parte interna del cubo C, ma sulla sua frontiera ∂C (come si vedrà anche in alcuni
esempi).
Possiamo ora enunciare la soluzione del Problema 3.2.3:
3.2.9 Teorema (Minkowski). Per ogni insieme di n + 1 numeri reali a1, . . . , an, t ∈ R
con t > 1, esistono n + 1 numeri interi x1, . . . , xn, y ∈ Z tali che
0 < y ≤ t n e | ai − xi
y
Dimostrazione:
Consideriamo la matrice reale n + 1 × n + 1
⎛
t 0 . . . 0 −a1t
0 t . . . 0 −a2t
A = .
. .. .
⎜⎝
0 0 . . . t −ant
0 0 . . . 0 1/tn ⎞
⎟⎠
qed
1
|≤ , per ogni i = 1, . . . , n. (∗)
ty
Per il teorema 3.2.8, esiste un vettore non nullo X = (x1, . . . , xn, y) a coordinate
intere tale che AX ∈ C = [−1, 1] n+1 , cioè valgono le seguenti disuguaglianze:
| x1 − ya1 | t ≤ 1
| x2 − ya2 | t ≤ 1
.
| xn − yan | t ≤ 1
| y/t n | ≤ 1
Se fosse y = 0, poiché t > 1, le prime n disequazioni implicherebbero che xi = 0
per ogni i = 1, . . . , n, cioè X sarebbe il vettore nullo, assurdo, quindi y 0. Inoltre,
poiché anche il reticolo L = {AX | X ∈ Z n+1 } è centralmente simmetrico rispetto
all’origine, se X ∈ L ∩ C anche −X ∈ L ∩ C, possiamo quindi assumere y > 0.
Allora il precedente sistema di disuguaglianze, unito ad y > 0, diventa esattamente
(∗), cioè la tesi.
Nelle ipotesi del teorema 3.2.9 abbiamo quindi due possibilità:
47
qed

Capitolo 3. Canoni di Vuza
(N1): esistono n + 1 interi per i quali tutte le disuguaglianze di (∗) sono strette,
(N2): per ogni n + 1 - upla di interi per i quali valga (∗), una delle diseguaglianze è
in realtà una uguaglianza.
Conservando le notazioni fino ad ora utilizzate, indichiamo con A la matrice definita
nella dimostrazione del teorema 3.2.9, con L il reticolo {AX | X ∈ Z n+1 }, associato
ai reali a1, . . . , an, t, con C il cubo [−1, 1] n+1 e con X = (x1, . . . , xn, y) il vettore di
coordinate sul reticolo L di un punto P, diverso dall’origine, contenuto nel cubo.
Le precedenti alternative numeriche corrispondono quindi alle seguenti situazioni
geometriche:
(G1): esiste un punto P ∈ L ∩ C ◦ ,
(G2): per ogni P ∈ L ∩ C, P ∈ ∂C.
Indichiamo ora con CO il cubo unitario1 centrato nell’origine O, CO = [−1/2, 1/2 ] n+1 ,
e con CP il cubo unitario centrato nel punto P, CP = [−1/2, 1/2 ] n+1 + P.
Le precedenti situazioni corrispondono ai seguenti casi:
( ˆG1):
◦ ◦
CO∩
CP ∅,
( ˆG2):
◦ ◦
CO ∩ CP = ∂CO ∩ ∂CP, cioè CO∩
CP = ∅.
Seguono due esempi, con n = 1, che illustrano, rispettivamente, le due possibilità
(N1) ⇔ (G1) ⇔ ( ˆG1) ed (N2) ⇔ (G2) ⇔ ( ˆG2)
(1): Sia a = 1/4 il numero reale da approssimare con ratio t = 2.
Il reticolo L associato ad a e t ha base e matice rispettivamente
B = v = (t, 0) = (2, 0), w = (−at, 1/t) = − 1
1 t −1/2
, e B =
2 2 0 1/2
Come si vede nella Figura 3.4, esiste un punto P del reticolo (P = w), diverso
dall’origine O, che si trova nella parte interna del quadrato C, siamo cioè
nella situazione (G1). X = (x, y) = (0, 1) è il vettore delle coordinate di P su
L. Sostituendo X in (∗), si vede che valgono le disuguaglianze strette:
0 < y = 1 < t = 2 e | a − x 1 1 1
|=| |< =
y 4 2 ty ,
siamo infatti nella situazione (N1).
Consideriamo ora i quadrati unitari sopra definiti CO e CP. Come mostra la
Figura 3.5,
siamo cioè nel caso ( ˆG1).
1 di volume 1
◦ ◦
CP∩
CO
∅ ,
48
.

✻
P
❅■
w❅O
Figura 3.4
3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
✲
v
✲
✻
P
w
❅■
❅O
Figura 3.5
✲
v
(2): Sia a = 1/2 il numero reale da approssimare con ratio t = 2.
Il reticolo L associato ad a e t ha base e matrice rispettivamente
t −1
B = { v = (t, 0) = (2, 0), w = (−at, 1/t) = (−1, 1) } e B =
0 1
Come si vede in Figura 3.6, ogni punto del reticolo, diverso dall’origine, interseca
il quadrato C sulla frontiera, siamo cioè nella situazione (G2). Consideriamo
ad esempio P = w. Il vettore delle coordinate di P sul reticolo L è
X = x, y = (0, 1), e sostituendo X in (∗), si vede che una delle disuguaglianze
è in realtà una uguaglianza:
0 < y = 1 < t = 2 e | a − x 1 1
|=| |=
y 2 ty ,
siamo infatti nella situazione (N2).
Consideriamo ora i quadrati unitari sopra definiti CO e CP. Come mostra la
Figura 3.7,
siamo cioè nel caso ( ˆG2).
◦ ◦
CP∩
CO=
∅ ,
Osserviamo che le situazioni geometriche descritte sono invarianti per traslazioni
poiché i reticoli stessi lo sono:
sia T := {τv : R n → R n | τv(x) = x + v, v ∈ R n } l’insieme delle traslazioni in R n e sia
L ⊂ R n un reticolo di base B; T è un gruppo abeliano rispetto alla composizione di
mappe, L è il gruppo libero generato dai vettori di B, L = 〈B〉Z, e la mappa
L → {τ ∈ T | τ(L) = L}
v ↦→ τv
è un isomorfismo di gruppi.
Quindi, dato un reticolo L di determinante 1 ed un punto Q ∈ L, esiste sempre un
punto P, diverso dall’origine, tale che P ∈ L ∩ [−1, 1] 2 + Q. cioè, indicando con
49
✲
.

Capitolo 3. Canoni di Vuza
✻
❍❨
❍
❍
P
w O
Figura 3.6
✲
✲
v
✻
❍❨
❍
❍
P
w O
Figura 3.7
✲
✲
v
CP = [−1/2, 1/2 ] 2 + P e CQ = [−1/2, 1/2 ] 2 + Q i quadrati unitari centrati in P e Q
rispettivamente, si ha che CP ∩ CQ ∅.
Siamo vicinissimi all’enunciato della congettura, mancano solo delle definizioni.
3.2.10 Definizione. Un insieme E ⊂ R n di misura di Lebesgue finita e positiva
tassella R n per traslazioni se esiste un insieme discreto T ⊂ R n tale che:
1. per ogni s, t ∈ T con s t si ha m((E + s) ∩ (E + t)) = 0 , e
2. t∈T (E + t) = R n , cioè t∈T (E + t) è un ricoprimento di R n .
T è l’insieme di traslazione di E.
3.2.11 Definizione. Dato un insieme E ⊂ R n che tassella per traslazioni con insieme
di traslazione T, il ricoprimento t∈T (E + t) di R n si dice ricoprimento reticolare
se l’insieme di traslazione T è un reticolo.
Un ricoprimento reticolare si dice a cubi (o Latice Cube Tiling) se il tassello del
ricoprimento è il cubo n-dimensionale [0, 1] n ⊂ R n .
Allora, dato un reticolo di determinante 1, il Lattice Point Theorem afferma
che l’unione dei cubi unitari centrati nei punti del reticolo (e con gli spigoli paralleli
agli assi) ricoprono tutto lo spazio, e le precedenti situazioni geometriche
corrispondono alle seguenti alterntive:
1. tale ricoprimento non è un ricoprimento reticolare a cubi,
2. tale ricoprimento è un ricoprimento reticolare a cubi.
Osserviamo che nel primo caso L possiede dei punti sulla frontiera di C, e per tali
punti varrà almeno una uguaglianza in (∗), ma il fatto che ne esiste uno con le
diseguaglianze strette implica che L non può essere l’insieme di traslazione di un
ricoprimento reticolare a cubi.
Le figure 3.8 e 3.9 mostrano due ricoprimenti reticolari, rispettivamente del
piano e dello spazio tridimensionale.
50

Figura 3.8
3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
Figura 3.9
Lo stesso Minkowski ha dimostrato che nei casi bi e tridimensionale tutti i ricoprimenti
reticolari a cubi sono fatti come nelle Figure 3.8 ed 3.9: unione di striscie
nel caso bidimensionale e di tubi a sezione quadrata (che a loro volta formano
lastre), nel caso tridimensionale, ha cioè dimostrato per n = 2, 3 la seguente
3.2.12 Congettura (Minkowski).
Dato un ricoprimento reticolare a cubi dello spazio euclideo n-dimensionale, si
può sempre trovare una coppia di cubi che hanno in comune una faccia di dimensione
n − 1.
Nel prossimo paragrafo vedremo come G. Hajós ha risolto questa congettura.
O. Keller ha poi ipotizzato che si potesse eliminare l’ipotesi reticolare dalla
congettura di Minkowski:
3.2.13 Congettura (Keller). Dato un ricoprimento a cubi dello spazio euclideo n -
dimensionale, si può sempre trovare una coppia di cubi che hanno in comune una
faccia di dimensione n − 1.
La congettura di Keller è stata dimostrata da Oskar Perron [55] per n ≤ 6 e
confutata da John Mackey [48] per n ≥ 8, il caso n = 7 è ancora aperto.
3.2.2 La traduzione algebrica
Consideriamo un ricoprimento reticolare a cubi dello spazio euclideo n - dimensionale.
Come insieme di traslazione del ricoprimento possiamo considerare il
reticolo H formato dai vertici di minor coordinate dei cubi (invece che dai loro
centri, come abbiamo visto nel paragrafo precedente).
Hajós osserva innanzitutto che possiamo assumere senza perdita di generalità
che le coordinate dei punti di H (o, equivalentemente, dei vettori della sua base)
siano razionali. Precisamente, Hajós dimostra (in [29], Satz 8, pag 434) che una
51

Capitolo 3. Canoni di Vuza
piccola perturbazione dei vettori della base del reticolo di un ricoprimento reticolare
a cubi non ne altera la proprietà di essere un controesempio per la congettura
di Minkowski.
Consideriamo gli iperpiani di giacenza delle facce dei cubi. Poiché le coordinate
degli elementi del reticolo sono razionali, ogni cubo è diviso da tali iperpiani in
un numero finito di parallelepipedi n-dimensionali, diciamo mi per l’i-esima coordinata,
i = 1, . . . , n, come si vede in Figura 3.10 (n = 2, m1 = 1, m2 = 3) ed in Figura
3.11 (n = 3, m1 = m2 = 3, m3 = 1).
Figura 3.10
∈ H
, ∈ G
Figura 3.11
Considerando i vertici di minor coordinate di tali parallalapipedi, otteniamo
un reticolo G di cui H è sottogruppo. Nelle Figure 3.10 e 3.11 i dischi neri indicano
i punti del reticolo G, mentre H è indicato solo dai dischi di maggior diametro.
G è anche l’insieme di traslazione del ricoprimento reticolare formato dai
parallelepipedi.
Poiché H contiene l’origine e gli spigoli dei cubi sono paralleli agli assi, esiste
una base {a1, . . . , an} del reticolo G formata da sottomultipli interi della base canonica
{e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)}, cioè tale che
miai = ei per ogni i = 1, . . . , n,
dove, ricordiamo, mi é il numero di (iper)fette in cui viene diviso ogni cubo lungo
l’i-esima coordinata.
Siamo pronti per tradurre algebricamente la congettura di Minkowski.
1. Il fatto che i cubi ricoprono lo spazio implica in particolare che ogni parallelepipedo
D sta in un cubo C, cioè, indicando con g ∈ G il vertice (di minime
coordinate) di D e con h ∈ H il vertice (di minime coordinate) di C:
n
∀ g ∈ G ∃ h ∈ H, k1, . . . kn ∈ {0, . . . , mi − 1} tali che g = h + kiai (∗)
52
i=1

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
2. Il fatto che i cubi si intersecano al più nella frontiera significa che un parallelepipedo
può appartenere ad un solo cubo, cioè, se h, h ′ ∈ H ed ki, k ′ i ∈
{0, . . . , mi − 1}, i = 1, . . . , n, si ha:
h +
n
kiai = h ′ +
i=1
n
k ′ iai ⇒ h = h ′ e ki = k ′ i per ogni i = 1, . . . , n (∗∗)
i=1
3. Dire che due cubi condividono una faccia, significa che il reticolo è formato
da tubi (a sezione ipercubica) lungo la direzione ortogonale a tale faccia,
diciamo l’i-esima. In particolare quindi H contiene l’i-esimo vettore della
base canonica, cioè:
∃ i ∈ {1, . . . , n} tale che miai = ei ∈ H (∗ ∗ ∗)
Consideriamo ora il gruppo quoziente G/H e definiamo, al variare di i = 1, . . . , n,
gli insiemi
Ai := {0, ai, . . . , (mi − 1)ai} ⊂ G/H.
Le condizioni (∗) ed (∗∗) equivalgono a:
e la (∗ ∗ ∗) equivale a:
G/H = A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An
∃ i tale che miai = 0 .
La congettura di Minkowski in questo modo diventa il
3.2.14 Teorema (Hajós).
Sia G un gruppo abeliano finito e siano a1, . . . , an n elementi di G.
Poniamo Ai := {0, ai, 2ai, . . . (mi − 1)ai}, con mi intero positivo per ogni i = 1, . . . , n.
Se
G = A1 ⊕ . . . ⊕ An
allora uno dei fattori Ai è un gruppo, cioè esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che miai = 0,
cioè Ai è periodico.
Hajós ha dimostrato questo teorema in [29].
Per lo studio dei canoni ritmici possiamo limitarci a darne una dimostrazione nel
caso in cui G sia un gruppo ciclico.
Dimostrazione (G = Z/mZ):
Per ipotesi,
Z/mZ = A1 ⊕ . . . ⊕ An
con Ai := {0, ai, 2ai, . . . (mi − 1)ai} per ogni i = 1, . . . , n.
Tradotto in termini di polinomi diventa:
∆m(x) ≡
n
i=1
∆mi (xai ) ( mod x m − 1),
53

Capitolo 3. Canoni di Vuza
quindi
∆m(x)
n
i=1
∆mi (xai ) ,
e pioché ∆m(x) = d|m Φd(x), e i polinomi ciclotomici sono irriducibili in Z[x],
esiste un indice i ∈ {1, . . . , n} tale che Φm(x) | ∆mi (xai ).
In virtù della proposizione A.4, punto 6(b), si ha:
∆mi (xai
) = Φd(x ai
) = Φde(x)
d|mi
d|mi e|ai, e≥b
dove ai = bc con (c, d) = 1 e per ogni primo p | b, si ha che p | d.
In particolare quindi, esistono un d | mi ed un e | ai, e ≥ b, tali che n = de | miai,
cioè miai = 0.
Concludiamo questo capitolo sottolineando come il lavoro di Hajós abbia indotto
allo studio delle fattorizzazioni di un gruppo abeliano con sottoinsiemi matematici
come de Bruijn, Rèdei, Sands, Fuchs, Tijdeman e molti altri, menzionati
nella bibliografia del presente lavoro. Come abbiamo visto, tale problema è stato
risolto (anche se non in maniera costruttivamente esaustiva) per i gruppi ciclici, che
è il caso di nostro interesse, ma in generale rimane ancora un importante soggetto
di ricerca matematica.
54
qed

Capitolo 4
Congettura spettrale
4.1 Una congettura aperta
Nella sezione 3.2 abbiamo seguito Hermann Minkowki, che da un problema di
teoria dei numeri è arrivato ad una congettura riguardante la geometria delle tassellazioni,
ed alla fine ne abbiamo visto la soluzione algebrica di Hajós. In questo
capitolo assistiamo ad un percorso analogo: la congettura di Fuglede nasce da un
problema analitico, il cui sviluppo porta ancora ad una congettura sulla geometria
delle tassellazioni. In dimensione 1, che è il caso che riguarda i canoni ritmici, ne
scopriamo anche un risvolto algebrico.
Ecco il problema posto da I. Segal a Bent Fuglede (1958):
4.1.1 Problema. Per quali domini 1 Ω ⊂ R n esiste una famiglia {H j} n j=1 ⊂ L2 (Ω)
commutativa, di operatori autoaggiunti, restrizione della famiglia {−i ∂
∂x j }n j=1 ?
Fuglede, restringendo il campo d’indagine ai domini Ω di misura di Lebesgue
finita, dimostra che una tale famiglia esiste se e solo se esiste un insieme Λ ⊂ Rn tale che l’insieme {e2πiλx }λ∈Λ è una base ortogonale di L2 (Ω), ed in tal caso Λ risulta
essere lo spettro della famiglia di operatori {H j} n j=1 [27].
Cominciamo richiamando qualche concetto di analisi funzionale.
Consideriamo lo spazio euclideo n- dimensionale Rn . Indichiamo nel seguito con
〈 , 〉 l’usuale prodotto scalare in Rn , con m la misura di Lebesgue e con Ω ⊂ Rn un
insieme misurabile di misura finita positiva.
Sia inoltre
L 2
(Ω) = f : Ω → C : | f |
Ω
2
dm < ∞ /
dove f g ⇔ l’insieme {x ∈ Ω | f (x) g(x)} ha misura nulla.
L2 (Ω) è uno spazio di Hilbert2 con il prodotto scalare
〈 f, g〉Ω = f g dm ,
1 un dominio è un insieme aperto e connesso
2 spazio con prodotto scalare completo rispetto alla norma indotta
Ω
55

Capitolo 4. Congettura spettrale
dove g(x) = g(x) indica la funzione complessa coniugata di g.
Una base ortogonale di L 2 (Ω) è un suo sottoinsieme B = { fλ}λ∈Λ tale che
1. 〈 fλ, fµ〉Ω 0 ⇔ λ = µ (ortogonalità) e
2. per ogni g ∈ L 2 (Ω) si ha che g(x) = λ∈Λ〈g, fλ〉Ω fλ(x) (completezza).
Un risultato classico di analisi funzionale è che qualsiasi base ortogonale di
L 2 (Ω) ha al più una infinità numerabile di elementi (cfr [1]), è quindi ben posta la
seguente:
4.1.2 Definizione. Sia eλ(x) la funzione esponenziale complessa e 2πi〈λ,x〉 . Λ =
{λk}k∈Z ⊂ R n è uno spettro per Ω ⊂ R n se l’insieme delle funzioni a valori complessi
BΛ := {eλ(x)}λ∈Λ è una base ortogonale di L 2 (Ω).
In tal caso Ω è un insieme spettrale e la coppia (Ω, Λ) si dice coppia spettrale.
Osserviamo che la proprietà di essere uno spettro è invariante per traslazioni:
se (Ω, Λ) è una coppia spettrale, e t ∈ R n , allora (Ω, t + Λ) è una coppia spettrale.
Si verifica infatti che BΛ = {eλ+t}λ∈Λ è una base ortogonale di L 2 (Ω):
1. ortogonalità:
〈eλ+t, eµ+t〉Ω =
e
Ω
2πi〈λ+t,x〉 e −2πi〈µ+t,x〉 dx =
quindi 〈eλ+t, eµ+t〉Ω = 0 ⇔ λ = µ ⇔ λ + t = µ + t ;
2. completezza:
notiamo innanzitutto che
e che
Ω
e 2πi〈λ+t−µ−t,x〉 dx = 〈eλ, eµ〉Ω ,
eλ+t(x) = e 2πi〈λ+t,x〉 = e 2πi〈λ,x〉 e 2πi〈t,x〉 = eλ(x)et(x)
〈 f, eλ+t〉Ω =
Ω
f (x) et(x) eλ(x) dx = 〈 f et, eλ〉Ω,
quindi
〈 f, eλ+t〉Ω eλ+t = 〈 f et, eλ〉Ω eλ(x)et(x) =
λ∈Λ
λ∈Λ
et(x) 〈 f et, eλ〉Ω eλ(x) = et(x) f (x)et(x) = f (x).
λ∈Λ
Possiamo quindi assumere senza perdita di generalità che uno spettro contenga
sempre l’origine 0 ∈ R n .
Richiamiamo ora la definizione di tassellazione di uno spazio euclideo introdotta
nella sezione 3.2.
Definizione (3.2.10). Ω ⊂ R n tassella R n per traslazioni se esiste un insieme discreto
T ⊂ R n tale che
56

1. per ogni s, t ∈ T con s t si ha che m((Ω + s) ∩ (Ω + t)) = 0 , e
2. t∈T (Ω + t) = R n .
T è l’insieme di traslazione di Ω.
4.1 Una congettura aperta
Le tassellazioni dello spazio euclideo e le tassellazioni degli interi (di cui abbiamo
parlato a partire dalla sezione 1.2) diventano casi particolari delle tassellazioni
di gruppi abeliani, se consideriamo su essi la misura di Haar :
4.1.3 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano localmente compatto (come gruppo
topologico di Hausdorff).
Una misura di Haar su G è una misura h di Borel tale che:
1. h(U) > 0 per U ∅ aperto,
2. h(K) < ∞ per K compatto e
3. h(g + A) = h(A).
Le tassellazioni di gruppi abeliani sono state definite ad esempio da Mihail
Koluntzakis e Máté Matolcsi [40]:
4.1.4 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano localmente compatto, un suo
sottoinsieme A di misura h(A) di Haar positiva e finita tassella (per traslazioni)
G se esiste un insieme T ⊂ G discreto tale che
1. per ogni s, t ∈ T con s t si ha che h((A + s) ∩ (A + t)) = 0 , e
2. t∈T (A + t) = G.
Questa definizione coincide con la 3.2.10 per G = R n ed h = m, con la 1.2.1 per
G = Z ed h uguale alla cardinalità, e con la definizione 1.1.4 di canone ritmico per
G = Z/nZ ed h sempre uguale alla cardinalità.
In virtù di tale coincidenza, non sorprende che le proprietà 1 e 2 della definizione
3.2.10 si trovino talvolta (cfr. ad esempio lo stesso Fuglede, [27], o Izabella Łaba,
[45]) sotto la forma
R n = Ω ⊕ T a meno di insiemi di misura nulla,
ed R n = Ω ⊕ T venga detta tassellazione di R n .
4.1.5 Esempio. Sappiamo (sezione 3.2) che il cubo n- dimensionale C = [0, 1] n
tassella R n se prendiamo come insieme di traslazione il reticolo L = Z n .
Consideriamo l’insieme
BZ n = {eλ}λ∈Z n ⊂ L2 (C) .
Le funzioni di BZn sono ortogonali, infatti, siano λ, µ ∈ Zn , si ha:
〈eλ, eµ〉C = e 2πi〈λ−µ,x〉
dx =
C
57
e
C
n j=1 2πi(λ j−µ j)x jdx =

Capitolo 4. Congettura spettrale
=
C
n
e 2πi(λ j−µ j)x j (
dx = 3)
j=1
n
j=1
n
⎧
⎪⎨ 1 se λ j = µ j
⎪⎩
se λ j µ j
j=1
e 2πi(λ j −µ j ) −1
2πi(λ j−µ j)
poiché e 2πi(λ j−µ j) = 1 per λ j − µ j ∈ Z.
1
0
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
e 2πi(λ j−µ j)x j dx j =
1 se λ = µ
0 se λ µ
Come si vede, l’insieme BZn è non solo ortogonale ma anche ortonormale. Inoltre
un risultato classico della teoria di Fourier stabilisce che BZn è completo in L2 (C),
ne è quindi una base ortonormale.
Quindi Zn è contemporaneamente uno spettro ed un insieme di traslazione per C.
Siamo pronti per enunciare la
4.1.6 Congettura (Fuglede).
Ω ⊂ R n è spettrale se e solo se tassella R n per traslazioni.
La congettura è stata dimostrata in alcuni casi particolari, se:
1. lo spettro e l’insieme di traslazione di Ω sono reticoli (Fuglede, [27]).
2. Ω ⊂ R 2 è un dominio convesso (Iosevich, Katz e Tao, [35]).
3. Ω ⊂ [0, L] ⊂ R, m(Ω) = 1, L < 3/2 (Koluntzakis e Łaba, [39]).
4. Ω = (a, b) ∪ (c, d) ⊂ R (Łaba, [44]).
È stata inoltre confutata per n ≥ 3 (Tao, [75], Matolcsi, [49], e Koluntzakis e
Matolcsi, [40]).
Una implicazione è tuttavia ancora aperta in tutte le dimensioni: non ci sono
fino ad ora esempi di tassellazioni con insiemi non spettrali (cfr [49]).
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
Il legame della congettura spettrale con i canoni ritmici nasce dalla semplice osservazione
che i canoni ritmici generano tassellazioni della retta reale, infatti:
un insieme finito di naturali A ⊂ N, con 0 ∈ A, tassella Z, e quindi è il ritmo interno
di un canone, se e solo se A + [0, 1] tassella R.
Nasce quindi l’esigenza di capire cosa significa che l’insieme Ω = A + [0, 1], con
0 ∈ A ⊂ N finito, sia spettrale. Si ha la seguente
4.2.1 Proposizione. Sia Ω = A + [0, 1], con 0 ∈ A ⊂ N finito.
Se Ω ha uno spettro Λ allora esiste un insieme Γ ⊂ [0, 1), 0 ∈ Γ, tale che
1. Λ = Γ ⊕ Z,
3 per il teorema di Fubini
58

2. | Γ |=| A | e
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
3. per ogni γ, µ ∈ Γ, con γ µ, il numero complesso e 2πi(γ−µ) è una radice del
polinomio A(x) associato ad A (cfr 1.3.1).
Dimostrazione:
Per invarianza per traslazioni abbiamo assunto che 0 ∈ Λ.
Consideriamo l’insieme Λ + Z di tutte le classi laterali modulo Z degli elementi di
Λ. Per ogni classe esiste uno ed un solo rappresentante in [0, 1), sia Γ l’insieme di
tali rappresentanti. Γ sarà l’insieme richiesto.
Poiché 0 ∈ Λ, chiaramente 0 ∈ Γ, rimangono quindi da dimostrare i punti 1, 2 e 3.
Cominciamo a dimostrare il primo.
Per definizione di Γ, si ha che Λ ⊂ Γ ⊕ Z, dimostriamo ora il viceversa.
Fissiamo un µ ∈ Λ e sia I = [0, 1], consideriamo l’insieme
ΛI := {λ ∈ Λ − µ | eλdx = 0} ∪ {0} .
Per il teorema 2.3.1 di [38] l’insieme {eλ}λ∈ΛI è completo in L2 (I).
Inoltre, se λ 0, si ha
I
eλdx = e2πiλ − 1
2πiλ
I
= 0 ⇔ λ ∈ Z − {0} ,
quindi ΛI ⊂ Z.
Poiché Z stesso è uno spettro per I, in particolare {ez}z∈Z è completo, quindi necessariamente
ΛI = Z. Il punto 1 della tesi segue facilmente:
∀µ ∈ Λ, µ + Z = µ + ΛI ⊂ Λ ⇒ Γ ⊕ Z = Λ + Z ⊂ Λ.
Dimostriamo ora una formula che tornerà utile nel seguito.
Siano λ, µ ∈ Rn , si ha:
⎧
⎪⎨ | A | se λ = µ
〈eλ, eµ〉Ω = ⎪⎩ e2πi(λ−µ) 2πi(λ−µ) A(e2πi(λ−µ) ) se λ µ
Basta svolgere il conto (analogo a quello fatto nell’esempio 4.1.5):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
〈eλ, eµ〉Ω =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a∈A
Ω
e 2πi(λ−µ)x
dx =
a∈A
a+1
1 se λ = µ
e 2πi(λ−µ) −1
2πi(λ−µ) e2πi(λ−µ)a se λ µ
a
e 2πi(λ−µ)x dx =
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
| A | se λ = µ
e 2πi(λ−µ)
2πi(λ−µ)
a∈A e 2πi(λ−µ)a = e2πi(λ−µ)
2πi(λ−µ) A(e2πi(λ−µ) ) se λ µ
59
(∗)

Capitolo 4. Congettura spettrale
Dimostriamo ora contemporaneamente i punti 2 e 3:
Sia A = {a1, . . . , ak}, al variare di γ ∈ Γ consideriamo i vettori
vγ = (e 2πiγa1 , . . . , e 2πiγak ) ∈ C k .
Osserviamo che per ogni γ, µ ∈ Γ, con γ µ, si ha che γ − µ Z, quindi la (∗)
implica che:
〈eγ, eµ〉Ω = 0 ⇔ A(e 2πi(γ−µ) ) = 0,
cioè il punto 3. Inoltre
〈vγ, vµ〉C =
k
e 2πi(γ−µ)a j 2πi(γ−µ)
= A(e ),
j=1
allora {vγ}γ∈Γ è un insieme di vettori ortogonali in C k , quindi può avere al massimo
k elementi, cioè:
| Γ |≤ k =| A | .
Supponiamo per assurdo che | Γ |< k, esiste allora un vettore v = (v1, . . . , vk) ∈
C k \ {0} tale che 〈v, vγ〉C = 0 per ogni γ ∈ Γ, cioè
k
v je −2πiγa j = 0 (∗∗)
Consideriamo ora la funzione
v j se x ∈ [a
g(x) :=
j, a j + 1)
0 altrimenti
j=1
g ∈ L 2 (Ω) e, per ogni λ = γ + n ∈ Λ = Γ ⊕ Z, si ha:
=
k
j=1
〈g, eλ〉Ω =
Ω
g(x)e −2πiλx =
k
j=1
a j+1
e
v j
−2πi(γ+n) − 1
−2πi(γ + n) e−2πi(γ+n)a 1 − e j = −2πi(γ+n)
2πi(γ + n)
= 1 − e−2πiγ
2πi(γ + n)
a j
k
v je −2πiγa j = 0
j=1
v je −2πi(γ+n)x =
k
v je −2πi(γ+n)a j =
perché a j ∈ Z e per la (∗∗). Allora, per la completezza di {eλ}λ∈Λ, si ha:
g(x) = 〈g, eλ〉Ωeλ(x) = 0
cioè v = 0, assurdo.
Quindi | Γ |=| A |.
λ∈Λ
60
j=1

La proposizione 4.2.1 suggerisce la seguente
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
4.2.2 Definizione. Sia A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, e sia k = A(1) =| A |.
Γ ⊂ [0, 1) è uno spettro per A(x) se e solo se
1. 0 ∈ Γ,
2. | Γ |= k e
3. per ogni γ, µ ∈ Γ con γ µ, il numero complesso e 2πi(γ−µ) è una radice di
A(x).
In tal caso, si dice anche che Γ è uno spettro per A, o che A è spettrale.
Con la proposizione 4.2.1 abbiamo trovato un modo algebrico per esprimere il
fatto che un insieme del tipo A ⊕ [0, 1] è spettrale, possiamo quindi riformulare la
congettura spettrale per tasselli di Z:
4.2.3 Congettura (Fuglede).
A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, tassella Z ⇔ A è spettrale.
4.2.4 Teorema (Łaba). Sia A ⊂ N finito con 0 ∈ A.
Se A soddisfa le condizioni (T1) e (T2) di Coven-Meyerowitz, allora è spettrale.
Nella dimostrazione del teorema 4.2.4 useremo il seguente
4.2.5 Lemma. Siano k1, . . . , kn, s1, . . . , sn ∈ N ∗ tali che
1. (ki, si) = 1 per ogni i = 1, . . . , n e
2. (si, s j) = 1 per ogni i, j = 1, . . . , n con i j.
Allora
n
i=1
k1
s1
= k
s ,
dove s = s1 . . . sn e k = k1 s
s + . . . + k1 , è una frazione primitiva, cioè (k, s) = 1.
s1 s1
Dimostrazione:
Sia p un primo tale che p | s, allora esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che p | si, da cui:
1. per l’ipotesi 1, p ∤ ki e
2. per l’ipotesi 2, p ∤ s j per ogni i j e quindi
(a) p ∤ s
si e
(b) p | s
s per ogni i j .
j
61
qed

Capitolo 4. Congettura spettrale
Se, per assurdo p dividesse k, per il precedente punto 2(b), si avrebbe
p | k −
k j
s
ji
j
che è assurdo per i precedenti punti 1 e 2(a).
s s
= ki = ki s j ,
Dimostrazione (del teorema 4.2.4): Siano, come nella definizione 2.1.2:
si
ji
RA = { d ∈ N : d | n e Φd(x) | A(x)} , ed
S A = { d ∈ RA : d = p α , p primo, α ∈ N ∗ } .
Ricordiamo le condizioni di Coven-Meyerowitz definite nel teorema 2.1.3:
( T1) : A(1) = pα∈S p, e A
( T2) : p1 α1 α2 , p2 , . . . , pαk
k ∈ S A ⇒ p α1
1 pα2
2 . . . pαk
k ∈ RA.
Consideriamo l’insieme
⎧
⎪⎨
Γ :=
⎪⎩
s∈S A
ks
s
| ks = 0, . . . , p − 1, ∀s = p α ⎫
⎪⎬
∈ S A
⎪⎭ .
Dimostriamo che Γ è uno spettro per A(x).
Si vede subito che 0 ∈ Γ e, per la condizione (T1),
| Γ | = p = A(1) = | A | .
s=p α ∈S A
Rimane quindi da verificare che se γ, µ ∈ Γ, con γ µ, allora A(e 2πi (γ−µ) ) = 0. Siano
allora
γ =
s∈S A
ks
s
γ − µ =
e µ =
s∈S A
s∈S A
ks − hs
.
s
Siano s1, . . . , sn ∈ S A potenze di primi distiniti tali che
- ksi − hsi 0, e
hs
s ,
- per ogni s ∈ S A tale che ks − hs 0, esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che s | si ,
62
qed

allora esiste un intero k ∈ Z tale che
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
k
γ − µ = .
s1 . . . sn
Per il Lemma 4.2.5, (k, s1 . . . sn) = 1, quindi
ρ = e 2πi k
s 1 ...sn = ζ k s1...sn
è una radice primitiva s1 . . . sn- esima dell’unità, cioè Φs1...sn (ρ) = 0.
Poiché s1, . . . , sn ∈ S A sono potenze di primi distinti, per la condizione (T2), s1 . . . sn ∈
(x) | A(x), quindi A(ρ) = 0.
RA cioè Φs1...sn
Possiamo ora dimostrare due risultati sulla congettura di Fuglede:
4.2.6 Corollario.
1. Se | A | è prodotto di al più due potenze di primi ed A tassella allora è
spettrale.
2. In ogni canone ritmico ottenuto dalla fattorizzazione di un gruppo ciclico di
Hajós, i ritmi sono spettrali.
Dimostrazione:
1. Per il teorema (3) di Coven-Meyerowitz, se A tassella allora valgono le
condizioni (T1) e (T2), quindi, per il teorema 4.2.4, A(x) ha uno spettro.
2. Indichiamo Z/nZ con Zn.
Consideriamo un canone A ⊕ B = Zn, fattorizzazione di un gruppo ciclico di
Hajós.
Sappiamo (paragrafo 3.1) che n appartiene al seguente insieme di naturali:
H = {p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs | p, q, r, s primi distinti , α ∈ N} .
Per il primo punto, se | A | e | B | sono prodotto di al più due potenze di primi,
allora A e B sono spettrali; rimangono da verificare quindi, senza perdita di
generalità, solo i seguenti casi:
(a) | A |= pqr e | B |= p,
(b) | A |= pqr e | B |= s,
con p, q, r, s primi distinti.
In entrambi i casi B è spettrale (sempre per il primo punto), rimane da verificare
che lo è anche A.
Dimostriamo che A verifica la condizione (T2) di Coven-Meyerowitz, e quindi,
per il teorema di Łaba, è spettrale.
Poiché A tassella, per il teorema di Coven-Meyerowitz, verifica la condizione
(T1), quindi i due precedenti casi diventano, rispettivamente:
63
qed

Capitolo 4. Congettura spettrale
(a) i. Φp(x), Φq(x) e Φr(x) sono i soli polinomi ciclotomici di indice la
potenza di un primo che dividono A(x), bisogna quindi dimostrare
che Φpq(x), Φpr(x) e Φqr(x) dividono A(x);
ii. Φ p 2(x), Φq(x) e Φr(x) sono i soli polinomi ciclotomici di indice la
potenza di un primo che dividono A(x), bisogna quindi dimostrare
che Φ p 2 q(x), Φ p 2 r(x) e Φqr(x) dividono A(x);
(b) Φp(x), Φq(x) e Φr(x) sono i soli polinomi ciclotomici di indice la potenza
di un primo che dividono A(x), bisogna quindi dimostrare che
Φpq(x), Φpr(x) e Φqr(x) dividono A(x).
Poiché Zn è di Hajós, B è periodico, quindi (cor. 1.2.6) B è unione di classi
laterali modulo un sottogruppo di Zn. In entrambi i casi | B |= t primo, segue
allora che B = (n/t)Zn, quindi B(x) = Φt(x n t ).
Si ha allora, per la proposizione A.4(6), che:
(a) B(x) = Φp(x pqr ) = Φ p 2(x qr ) = d|qr Φ p 2 d(x) =
= Φ p 2(x)Φ p 2 q(x)Φ p 2 r(x)Φn(x), quindi Φp(x) non divide B(x), allora necessariamente
divide A(x), siamo nel caso (a); inoltre anche Φpq(x),
Φpr(x) e Φqr(x) non dividono B(x), quindi dividono A(x).
(b) B(x) = Φs(x pqr ) = d|pqr Φsd(x), in particolare Φpq(x), Φpr(x) e Φqr(x)
non dividono B(x), quindi dividono A(x).
Riassumiamo i risultati generali di Coven-Meyerowitz (cfr. sezione 2.1) e di
Izabella Łaba:
A tassella ⇒ A(x) verifica (T1)
A(x) verifica (T1) e (T2) ⇒ A tassella
A(x) verifica (T1) e (T2) ⇒ A è spettrale
Rimangono indimostrate le implicazioni
(1) A tassella ⇒ A(x) verifica (T2)
(2) A è spettrale ⇒ A(x) verifica (T2)
e non sono noti controesempi.
Osserviamo che per trovare un controesempio ad (1) basterebbe trovare un tassello
non spettrale, infatti, per il teorema di Łaba, se A tassella (e quindi verifica
(T1) ma A(x) non ha uno spettro, certamente non verifica (T2).
Inoltre, per il corollario 4.2.6, sappiamo che tasselli non spettrali possono esistere
solo in fattorizzazioni di gruppi ciclici
• il cui ordine abbia più di due fattori primi e
64
qed

• non Hajós.
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
Quindi per i primi due ordini di gruppi non Hajós (72 = 2 3 3 2 e 108 = 2 2 3 3 ), i
ritmi sono spettrali, ad esempio:
4.2.7 Esempio.
Consideriamo il già citato canone di Vuza di periodo n = 72 con i ritmi:
A = {0, 8, 16, 18, 26, 34} , e
B = {0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53} .
(cfr. fine paragrafo 3.1).
72 = 2332 è prodotto di potenze di due primi, quindi A e B sono spettrali.
Esibiamo ad esempio gli spettri costruiti nella dimostrazione del teorema di Łaba.
Dobbiamo innanzitutto trovare S A ed S B.
Per il lemma 2.1.8(2), sappiamo che S A ∪ S B = {2, 4, 8, 3, 9} e S A ∩ S B = ∅.
Con un semplice calcolo si verifica che Φ4(x) e Φ3(x) dividono A(x), e per la condizione
(T1) non ce ne sono altri, quindi S A = {4, 3} ed S B = {2, 8, 9}.
Allora gli spettri sono:
ΓA = 1
{0, 3, 4, 7, 8, 11} e
12
ΓB = 1
{0, 4, 8, 9, 13, 17, 18, 22, 26, 27, 31, 35}.
36
65

Capitolo 5
Trasformazione e generazione di
canoni a mosaico
In quest’ultimo capitolo descriviamo alcune tecniche per la costruzione di canoni
a mosaico a partire da altri canoni o semplicemente dall’ordine del gruppo da
fattorizzare.
Iniziamo illustrando alcune operazioni che generano nuovi canoni da canoni
esistenti. Dimostriamo che tali operazioni conservano la condizione (T2) ed
evidenziamo il ruolo centrale dei canoni di Vuza in questo tipo di costruzione.
Nella seconda sezione mostriamo un algoritmo utilizzato per la generazione
dei canoni di Vuza di periodo dato. Tale algoritmo non è esaustivo, e ne diamo una
versione migliorata, i cui risultati sono in appendice C.
Infine proviamo l’invarianza per affinità della proprietà di tassellazione, utile
per la generazione di nuovi canoni da canoni esistenti, e motivazione fondamentale
dello studio delle azioni di gruppo introdotte nell’appendice B. Tali azioni legano
la teoria musicale all’algebra combinatoria e forniscono uno strumento utile alla
stesura delle liste di canoni a mosaico, come i nuovi canoni di Vuza che abbiamo
elencato in appendice C.
5.1 Operazioni sui canoni
Dato un canone ritmico, ci sono molti modi per generare nuovi canoni, usati (e
spesso ideati) dai compositori stessi. Vediamo l’importanza matematica di tali
manipolazioni.
5.1.1 Definizione. Siano Ai ⊕ B = Z/nZ, per i = 0, . . . , k − 1, k canoni di medesimo
ritmo esterno. Il loro intreccio è il canone
k−1
(i + kAi) ⊕ kB = Z/(kn)Z.
i=0
67

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
Si vede facilmente che la precedente definizione è ben posta, infatti, dati k
canoni Ai ⊕ B ⊕ nZ = Z, i = 0, . . . , k − 1, si ha:
k−1
k−1
k−1
Z = (i + kZ) = (i + kAi ⊕ kB ⊕ knZ) = (i + kAi) ⊕ kB ⊕ knZ .
i=0
i=0
5.1.2 Esempio. Consideriamo i seguenti canoni di ordine 36:
i=0
{0, 3, 6, 18, 21, 24} ⊕ {0, 4, 8, 9, 13, 17} = Z/36Z
la cui rappresentazione a griglia (vedi sezione 1.3) è in in figura 5.1(a), e
{0, 2, 12, 14, 24, 26} ⊕ {0, 4, 8, 9, 13, 17} = Z/36Z
la cui rappresentazione a griglia è in figura 5.1(b).
L’intreccio dei precedenti canoni è il canone di Vuza di ordine 72
{0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53} ⊕ {0, 8, 16, 18, 26, 34} = Z/72Z
duale (def. 1.1.5) del canone visto nell’esempio 4.2.7 e la cui rappresentazione a
griglia è in figura 5.1(c).
(a)
(b)
(c)
Figura 5.1
5.1.3 Osservazione. Per il lemma 2.1.13, ogni canone A ⊕ B = Z/nZ tale che k | n
e B ⊂ kZn è l’intreccio dei k canoni Ai = A ∪ (i + kZn) per i = 0, . . . , k − 1.
L’intreccio di k copie dello stesso canone è:
5.1.4 Definizione. Il k-zoom di un canone ritmico A ⊕ B = Z/nZ è il canone ritmico
ottenuto dall’intreccio di k copie di partenza:
(kA ⊕ {0, 1, . . . , k − 1}) ⊕ kB = Z/(kn)Z.
Si dice anche che (kA ⊕ {0, 1, . . . , k − 1}) ⊕ kB è ottenuto per dilatazione da A ⊕ B.
68

5.1 Operazioni sui canoni
5.1.5 Definizione. La k-concatenazione del canone ritmico A ⊕ B = Z/nZ è il
canone ritmico:
(A ⊕ {0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}) ⊕ B = Z/(kn)Z.
Si dice anche che (A ⊕ {0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}) ⊕ B è ottenuto per concatenazione da
A ⊕ B.
Si vede facilmente che la precedente definizione è ben posta:
per ogni z ∈ Z e per ogni r = s + tk, con 0 ≤ s < k, si ha
z = a + b + rn ⇔ z = (a + sn) + b + t(kn) .
5.1.6 Definizione. Diciamo che il canone A ⊕ B = Z/nZ verifica la condizione (T2)
se almeno uno tra i ritmi A e B la verifica.
Diciamo che il canone A ⊕ B = Z/nZ è spettrale se almeno uno tra i ritmi A e B lo
è.
Osserviamo trivialmente che i ritmi di un canone verificano sempre la condizione
(T1) (per il teorema 2.1.3(1) di Coven-Meyerowitz), in particolare quindi la
condizione (T1) è invariante per concatenazione.
Cosa accade alla condizione (T2)?
5.1.7 Proposizione. L’intreccio conserva la condizione (T2).
Dimostrazione: Sia A = k−1
i=0 (i + kAi) il ritmo interno dell’intreccio di k canoni di
ritmo interno Ai e di medesimo ritmo esterno B. Se B verifica (T2), la verifica anche
kB (lemma 2.1.11(2)), quindi non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo che B non
verifichi (T2), allora ogni Ai la verifica. Procediamo per induzione sul numero di
primi (non necessariamente distinti) che dividono k.
1. Se k = p primo, la tesi segue immediatamente dal lemma 2.1.13(5).
2. Sia k = pk ′ , quindi I = {1, . . . , k} = {1, . . . , k ′ } ∪ {k ′ + 1, . . . , 2k ′ } ∪ . . . ∪ {(p −
1)k ′ , . . . , pk ′ } = I1 ∪ . . . ∪ Ip. Consideriamo i canoni di ritmo interno A ′ j =
i∈I j (i + k′ Ai) e medesimo ritmo esterno B ′ = k ′ B, allora A k−1 i=0 (i + kAi) =
p i=0 (i + pA′ i ) e kB = pB′ , quindi, per ipotesi induttiva, se gli Ai verificano
(T2), anche A la verifica.
5.1.8 Proposizione. La concatenazione conserva la condizione (T2).
Dimostrazione: Chiamiamo ∆k := {0, . . . , k − 1}. Osserviamo che
{0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}(x) = (n∆k)(x) = ∆k(x n ) = xkn − 1
x n − 1 =
69
d|kn, d∤n
Φd(x) ,
qed

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
allora Rn∆k = {d | kn : d ∤ n} ed S n∆k = {pα | kn : pα ∤ n , p primo }.
Per ogni p α1,
. . . , pαm m ∈ S n∆k
1
potenze di primi distinti, pα1
1
. . . pαm
m ∈ RA, cioè n∆k
verifica la condizione (T2).
Poiché (A ⊕ {0, n, 2n, . . . , (k − 1)n})(x) = A(x)∆k(x n ) ed i polinomi ciclotomici sono
irriducibili, si ha che RA⊕n∆k = RA ∪ Rn∆k ed S A ∪ S n∆k .
Vediamo che anche A ⊕ n∆k verifica la condizione (T2):
, . . . , pαm m ∈ S A⊕n∆k sono potenze di primi distinti, ci sono tre possibilità:
se p α1
1
1. p αi
i ∈ S A ∀i = 1, . . . , m ⇒ m i=1 p αi
i ∈ RA perché, per ipotesi, A verifica la
condizione (T2), quindi m i=1 p αi
i ∈ RA⊕n∆k .
2. p αi
i ∈ S n∆k ∀i = 1, . . . , m ⇒ m i=1 p αi
i ∈ Rn∆k perché, come abbiamo visto, n∆k
verifica la condizione (T2), quindi m i=1 p αi
i ∈ RA⊕n∆k .
3. p αi
i ∈ S A ∀i = 1, . . . , h e p α j
j ∈ S n∆k ∀ j = h + 1, . . . , m, allora ∀i, j si ha che
p αi
i | n, p α j
j | kn e p α j
j ∤ n, quindi, poiché si tratta di potenze di primi distinti,
mi=1 p αi
i | kn e ∤ n, cioè m i=1 p αi
i ∈ Rn∆k ⊂ RA⊕n∆k .
5.1.9 Definizione. Un canone ritmico è collassabile (o riducibile) ad un altro canone
ritmico se può essere ottenuto da esso per concatenazione e/o dualità (def.
1.1.5).
Ad esempio in figura 5.2 si vede il collasso del canone
{0, 2, 4, 12, 14, 16} ⊕ {0, 1, 6, 7} = Z/24Z
al canone triviale {0} ⊕ {0} = {0}, attraverso le seguenti trasformazioni:
(a) {0, 2, 4, 12, 14, 16} ⊕ {0, 1, 6, 7} = Z/24Z
↑ 2-concatenazione
(b) {0, 2, 4} ⊕ {0, 1, 6, 7} = Z/12Z
↑ dualità
(c) {0, 1, 6, 7} ⊕ {0, 2, 4} = Z/12Z
↑ 2-concatenazione
(d) {0, 1} ⊕ {0, 2, 4} = Z/6Z
↑ dualità
(e) {0, 2, 4} ⊕ {0, 1} = Z/6Z
↑ 3-concatenazione
(f) {0} ⊕ {0, 1} = Z/2Z
↑ dualità
(g) {0, 1} ⊕ {0} = Z/2Z
↑ 2-concatenazione
(h) {0} ⊕ {0} = {0}
70
qed

Figura 5.2: esempio di collasso
71
5.1 Operazioni sui canoni

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
La figura 5.2 mostra uno dei possibili utilizzi di OpenMusic, un linguaggio di
programmazione grafica concepito e sviluppato dall’équipe rappresentazioni musicali
dell’IRCAM (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique).
OpenMusic è basato su CommonLisp e permette all’utilizzatore di avere a disposizione
la ricchezza espressiva di un linguaggio di programmazione funzionale
(lambda calcolo).
Vediamo ora come i canoni di Vuza diventino fondamentali per lo studio dei
canoni ritmici.
5.1.10 Teorema (Amiot, [3], teorema 11). Ogni canone ritmico è riducibile al
canone triviale {0} ⊕ {0} = {0} o ad un canone di Vuza.
Dimostrazione: Consideriamo il canone A ⊕ B = Z/nZ.
Dimostriamo la tesi per induzione su n ≥ 1.
1. Per n = 1 abbiamo il canone triviale e non c’è nulla da dimostrare.
2. Per n > 1, se il canone è di Vuza non c’è nulla da dimostrare, supponiamo
quindi che uno dei due ritmi sia periodico. Se il ritmo interno A non fosse
periodico lo sarebbe il ritmo esterno B, allora il canone si ridurrebbe (per
dualità) ad un canone con ritmo interno periodico. Sia quindi A periodico,
cioè (cor. 1.2.6) esiste un k | n tale che A = A ′ ⊕ 〈 k〉 = A ′ ⊕ k{0, . . . , (n/k) − 1},
quindi
A ⊕ B = A ′ ⊕ k{0, . . . , (n/k) − 1} ⊕ B = Z/nZ
che si ottiene per (n/k)-concatenazione dal canone
A ′ ⊕ B = Z/kZ
che, per ipotesi induttiva, si riduce al canone triviale o ad un canone di Vuza.
5.1.11 Corollario.
1. Se un canone ritmico non soddisfa la condizione (T2) è possibile collassarlo
ad un canone di Vuza che non soddisfa la condizione (T2).
2. Se un canone non è spettrale, allora è possibile collassarlo ad un canone di
Vuza che non soddisfa la condizione (T2).
Dimostrazione:
1. Il canone triviale verifica banalmente la condizione (T2) ed il collasso la
conserva, quindi, per il teorema 5.1.10 di Amiot, si ha la tesi.
2. Segue immediatamente dal punto precedente e dal teorema 4.2.4 di Łaba.
72
qed
qed

5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza
Édouard Gilbert [28] dimostra che se un canone non è spettrale, allora è possibile
collassarlo ad un canone di Vuza non spettrale, assumendo però una definizione
di spettro apparentemente più restrittiva della definizione 4.2.2, precisamente:
5.1.12 Definizione (Gilbert).
Sia A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, il ritmo interno di un canone di periodo n.
Γ ⊂ [0, 1) è uno spettro per A(x) se e solo se
1. Γ è uno spettro nel senso della definizione 4.2.2,
2. ogni γ ∈ Γ si può scrivere nella forma q/n.
Osserviamo che non ogni spettro ha questa forma; consideriamo ad esempio il
seguente canone di periodo 16:
{0, 5, 10, 15} ⊕ {0, 4, 8, 12} = Z/16Z
si vede subito che A(x) = ∆4(x 5 ) = Φ2(x)Φ4(x)Φ10(x)Φ20(x) (proposizione A.4(6)),
e che A(x) possiede uno spettro secondo la definizione 4.2.2 che non soddisfa la
seconda condizione della definizione 5.1.12:
Γ =
0, 1
1 3
, ,
20 10 20
Sottolineamo però che tutti i ritmi che soddisfano la condizione (T2) hanno uno
spettro della forma richiesta da Gilbert, basta considerare lo spettro trovato da Łaba
nella dimostrazione del teorema 4.2.4.
Torniamo quindi al problema aperto della necessità della condizione (T2): se fosse
provata, allora le definizioni 4.2.2 e 5.1.12 sarebbero equivalenti.
Abbiamo visto che il problema della necessità della condizione (T2) si riduce
all’investigazione dei canoni di Vuza; molti matematici e teorici della musica hanno
cercato di trovare un algoritmo costruttivo ed esaustivo per la generazione di
tutti i canoni di Vuza di periodo dato.
In OpenMusic è stato implementato un algoritmo che permette di generare un insieme
di canoni di Vuza di un dato periodo; Harald Fripertinger [25] mostra che
tale algoritmo è esaustivo per il primo periodo possibile, N = 72, ma non esaustivo
già dal secondo, N = 108.
Nella prossima sezione vedremo come sia possibile migliorare l’algoritmo implementato
in OpenMusic.
5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza
L’algoritmo di generazione di OpenMusic è l’implementazione della fattorizzazione
che si trova nella dimostrazione del teorema di Vuza (teorema 3.1.8) ad opera
di Vuza stesso (proposizione 2.2 di [78], part one).
73

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
Tale fattorizzazione è un caso particolare di quella che si trova nella dimostrazione
del teorema di Hajós-de Bruijn (teorema 3.1.4) ad opera di de Bruijn stesso (teorema
1 di [15]), e che sviluppa un’idea di Hajós in [31] (in cui egli assume anche
l’ipotesi non necessaria (k, nm) = 1).
Concludiamo questo lavoro descrivendo il metodo di de Bruijn e mostrando
che il metodo di Vuza ne è un caso particolare.
Ricordiamo che, dato un gruppo abeliano G ed un suo sottogruppo H, un insieme
completo di rappresentanti di G/H è un insieme R ⊂ G composto da uno ed
un solo elemento per ogni classe laterale modulo H.
Siano d, m, n ∈ N ∗ tali che d | m | n. Indichiamo con Rn(d | m) un insieme completo
e aperiodico di rappresentanti di dZn/mZn, e se d = 1 scriviamo Rn(m), quindi si
ha che:
1. dZn = Rn(d | m) ⊕ mZn
2. | Rn(d | m) | = | dZn/mZn | = | dZn | / | mZn | = (n/d)/(m/n) = m/d
3. Rn(d | m) = dRn/d(m/d)
Osserviamo che un tale insieme di rappresentanti esiste sempre, basta prendere ad
esempio {0, d, . . . , ( m
d − 1)d}.
Sia ora N = nmk = n1n2m1m2k come nell’enunciato del teorema di Vuza, poniamo
Ih = {0, 1, . . . , h − 1} ⊂ ZN, siano
• A = RN(kn | knm1) ⊕ RN(km | kmn1) = k (nRm(m1) ⊕ mRn(n1)) e
• B = C ∪ [(R \ kZN) ⊕ D] dove:
- R è un insieme completo di rappresentanti di ZN/kZN ,
- dato x ∈ knZN \ knm1ZN, si definisce:
C = [{x} ∪ (kmn1ZN \ {0})] ⊕ knm1ZN
- dato y ∈ kmZN \ kmn1ZN, si definisce:
D = [{y} ∪ (knm1ZN \ {0})] ⊕ kmn1ZN
dove, se β | α, abbiamo identificato βZα e Zα/β. Osserviamo inoltre che
| A |= n1m1 e | B |= kn2m2
Si dimostra [15] che A e B sono aperiodici e che ZN = A ⊕ B.
La costruzione di Vuza è un caso particolare della precedente, infatti si ottiene
prendendo n2 = p1 ed m2 = p2 primi.
5.2.1 Definizione. Chiamiamo Vuza-costruibili i canoni ottenuti con la fattorizzazione
precedente.
74

5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza
I primi due ordini per i quali esistono canoni di Vuza ed esiste una fattorizzazione
(come nell’enunciato del teorema di Vuza) con n2 ed m2 non necessariamente
primi sono 144 e 216.
Nell’appendice C si trovano, per tali ordini, i cataloghi dei canoni vuza-costruibili
che si ottengono dalle fattorizzazioni con almeno uno tra n2 ed m2 non primo.
Tali canoni non possono essere costruiti con altre fattorizzazioni, come si può vedere
da una verifica diretta.
Precisamente, a meno di traslazione,
• per 144 = 2 · 4 · 3 · 3 · 2 e 144 = 3 · 3 · 2 · 4 · 2 si ottengono gli stessi 72 nuovi
canoni (6 nuovi ritmi interni e 12 nuovi ritmi esterni),
• per 216 si ottengono 3186 nuovi canoni:
– per 216 = 2 · 4 · 3 · 3 · 3 si ottengono 1296 nuovi canoni (6 nuovi ritmi
interni e 216 nuovi ritmi esterni)
– per 216 = 3 · 3 · 2 · 4 · 3 si ottengono 1728 nuovi canoni (6 nuovi ritmi
interni, gli stessi del punto precedente poiché la costruzione di A è
simmetrica rispetto ad n ed m, e 288 nuovi ritmi esterni);
– per 216 = 2 · 2 · 3 · 9 · 2 e 216 = 3 · 9 · 2 · 2 · 2 si ottengono gli stessi 162
nuovi canoni (27 nuovi ritmi interni e 6 nuovi ritmi esterni).
Sottolineamo che anche questa costruzione più generale rimane non esaustiva,
infatti per n = 108 coincide con la costruzione di Vuza che non esaurisce tutti i
possibili canoni aperiodici, come mostra Harald Fripertinger nel già citato [25].
Mostriamo ora che un canone Vuza-costuibile di periodo N = knm si può vedere
come intreccio di k canoni di periodo nm.
Siano A e B i ritmi Vuza-costruiti, poniamo
A ′ = A/k , B0 = C/k , e, per ogni i + αik ∈ R , 0 < i < k , Bi = (αik + D)/k .
Allora si ha
A = kA ′ k−1
e B = (i + Bi) .
cioè A ⊕ B = ZN è (il duale del) l’intreccio dei (duali dei) k canoni A ′ ⊕ Bi = Znm.
5.2.2 Esempio. Consideriamo il canone Vuza-costruibile dell’esempio 4.2.7 e mostrato
in figura 5.3(c):
{0, 8, 16, 18, 26, 34} ⊕ {0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53} = Z/72Z
Come si è visto nell’esempio 5.1.2, il precedente canone è (il duale del) l’intreccio
dei (duali dei) seguenti canoni:
i=0
75

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
(a)
(b)
(c)
Figura 5.3
(C1) {0, 4, 8, 9, 13, 17} ⊕ {0, 3, 6, 18, 21, 24} = Z/36Z in figura 5.3(a)
(C2) {0, 4, 8, 9, 13, 17} ⊕ {0, 2, 12, 14, 24, 26} = Z/36Z in figura 5.3(b)
Notiamo infine che i canoni di periodo nm di cui è intreccio il canone Vuzacostruibile
di periodo knm non sono canoni di Vuza, poiché, per ogni i = 0, . . . , k −
1, il canone A ′ ⊕ Bi ha ritmo esterno periodico:
Bi = 1
k (αik + D) = 1
k [{y} ∪ (knm1ZN \ {0})] ⊕ mn1Zmn
Nell’esempio 5.2.2 infatti si ha
(C1) {0, 3, 6, 18, 21, 24} = {0, 3, 6} ⊕ 〈18〉36
(C2) {0, 2, 12, 14, 24, 26} = {0, 2} ⊕ 〈12〉36
5.3 Invarianza per affinità
Trattiamo in questa sezione un importante risultato dovuto a Robert Tijdeman [76],
riportandone la dimostrazione di Ethan Coven ed Aaron Meyerowitz [12], e, come
conseguenza, dimostriamo il teorema di Sands [67].
5.3.1 Definizione. Se A ⊂ Z, k ∈ Z definiamo
• kA := {ka : a ∈ A} e
• se k | a ∀a ∈ A, A/k := {a/k : a ∈ A}.
76

5.3 Invarianza per affinità
5.3.2 Teorema (Tijdeman). (Teorema 1 di [76], pag 267)
Se A ⊕ B = Z/nZ è un canone ritmico, allora anche kA ⊕ B = Z/nZ per ogni intero
positivo k tale che (k, | A |) = 1.
Per la dimostrazione abbiamo bisogno del seguente
5.3.3 Lemma. (Lemma 3.1 di [12], pag 8) A, B ⊂ N finiti, A(x), B(x) i polinomi
associati, n := A(1)B(1), p primo tale che p ∤ A(1), allora:
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1) ⇒ A(x p )B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1).
Dimostrazione: Consideriamo le congruenze:
A(x p ) ≡ (A(x)) p (mod p) ∗ ,
(A(x)) p B(x) = (A(x)) p−1 A(x)B(x) ≡ (A(x)) p−1 ∆n(x) (mod x n − 1),
x i ∆n(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1) ∗∗ ,
quindi
(A(x)) p−1 ∆n(x) ≡ (A(1)) p−1 ∆n(x) (mod x n − 1),
(A(1)) p−1 ≡ 1 (mod p) ∗∗∗ ,
in conclusione:
A(x p )B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1, p)
Dove gli asterischi indicano le motivazioni delle congruenze:
∗: perché p è primo,
∗∗: la moltiplicazione per xi permuta gli elementi di ∆n(x),
∗ ∗ ∗: Piccolo Teorema di Fermat, qui si usa l’ipotesi p ∤ n.
Sia ora r(x) = n−1 i=0 rixi il resto della divisione di A(xp )B(x) per xn − 1; per quanto
detto r(x) ≡ ∆n(x) (mod p), cioè ri ≡ 1 (mod p), ed essendo r(1) = A(1)B(1) = n si
ha ri = 1 per ogni i = 0, . . . , n − 1, cioè la tesi.
Dimostrazione (del teorema di Tijdeman): A(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod xn − 1). Osserviamo
innanzitutto che per ogni h ∈ N (hA)(x) = A(xh ), in particolare (hA)(1) =
A(1). Consideriamo la fattorizzazione di k, k = p α1
1 pα2
2 . . . pαm m , (k, | A |) = 1 ma allora
per ogni i = 1, . . . m, (pi, | A |) = 1, possiamo quindi iterare l’applicazione del
lemma 5.3.3 ed ottenere
cioè (kA) ⊕ B = Z/nZ, la tesi.
(kA)(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1),
5.3.4 Corollario. Sia A ⊂ Z, | A |= p α1
1 pα2
2 . . . pαk
k .
Se A tassella allora tassella con periodo p β1
1 pβ2
2
77
. . . pβk
k .
qed
qed

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
Dimostrazione: Sia A ⊕ C = Z una tassellazione con periodo n.
Per ogni k > 1 tale che k | n e (k, | A |) = 1, per il teorema 5.3.2, kA ⊕ C = Z,
quindi, posto C0 := {c ∈ C | c ≡ 0 ( mod k)}, kA ⊕ C0 = kZ, allora A ⊕ C0/k = Z è una
tassellazione di periodo n/k.
Dal teorema di Tijdeman segue anche il seguente teorema sulle tassellazioni
degli interi:
5.3.5 Teorema (Sands). Se A ⊕ C = Z è una tassellazione di periodo n tale che A
è finito ed n ha al più due fattori primi, allora esiste un primo p che divide n tale
che A ⊂ pZ oppure C ⊆ pZ.
Per dimostrare il teorema di Sands utilizziamo il seguente
5.3.6 Lemma. Siano A e B tali che A ⊕ B ⊕ nZ = Z, con A, B {0}; definiamo
A − A = {a − a ′ | a, a ′ ∈ A} e analogamente B − B. Allora almeno una delle seguenti
è vera:
1. per ogni a ∈ A − A, (a, | B |) > 1
2. per ogni b ∈ B − B, (b, | A |) > 1
Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che siano entrambe false. Allora esistono
a = a1 − a2 ∈ A − A e b = b1 − b2 ∈ B − B tali che, per il teorema 5.3.2,
bA ⊕ aB ⊕ nZ = Z. Allora esiste un elemento in bA ⊕ aB che si scrive in due modi
differenti:
assurdo.
a1b1 − a2b2 = (b1 − b2)a1 + (a1 − a2)b2 = ba1 + ab2
= (b1 − b2)a2 + (a1 − a2)b1 = ba2 + ab1
Dimostrazione (del teorema di Sands): Per il teorema di de Bruijn, C = B ⊕ nZ.
Siano p ed eventualmente q i primi che dividono n. Se valesse la prima affermazione
del lemma, allora A ⊂ A − A ⊂ pZ ∪ qZ. Se, per assurdo, A non fosse contenuto
né in pZ, né in qZ, esisterebbero due interi a1, a2 ∈ A tali che a1 ∈ pZ \ qZ e
a2 ∈ qZ \ pZ. Allora a1 − a2 ∈ A − A è coprimo con | B |, assurdo, quindi A ⊂ pZ
oppure A ⊂ qZ.
Analogamente, se valesse la seconda affermazione si avrebbe B ⊂ pZ oppure B ⊂
qZ, dunque C ⊆ pZ oppure C ⊆ qZ.
Dato un canone ritmico A ⊕ B = Z/nZ, consideriamo l’insieme delle trasformazioni
A-affini Aff A := { f : Zn → Zn | f (x) = kx + t, (| A |, k) = 1, t ∈ Zn}.
Il teorema di Tijdeman, unitamente all’invarianza per traslazioni, stabilisce che:
78
qed
qed
qed

(I1) A ⊕ B = Z/nZ ⇒ f (A) ⊕ B = Z/nZ ∀ f ∈ Aff A .
5.3 Invarianza per affinità
Questa proprietà dipende chiaramente dal ritmo interno A del canone.
Allora, per ogni canone ritmico si ha:
(I2) A ⊕ B = Z/nZ ⇒ f (A) ⊕ B = Z/nZ ∀ f ∈ Aff n ,
dove Aff n = { f : Zn → Zn | f (x) = kx + t, (n, k) = 1, t ∈ Zn} è il gruppo affine di
grado n, come definito in B.12, ed Aff n ⊂ Aff A.
In particolare quindi i canoni sono invarianti per trasposizione ed inversione,
cioè per l’azione (def. B.1) dei gruppi di permutazioni Zn e Dn, come definiti
nell’appendice B.
5.3.7 Esempio. Consideriamo il seguente canone di periodo 12:
{0, 1, 6, 7} ⊕ {0, 2, 4} = Z/12Z
e consideriamo le trasformazioni f1 ∈ Aff 12 ed f2 ∈ Aff A date da:
f1(x) = 5x ed f2(x) = 3x
Il ritmo interno A = {0, 1, 6, 7} diventa, rispettivamente,
come mostrato in figura 5.4.
A1 = 5A = {0, 5, 6, 11} ed A2 = 3A = {0, 3, 6, 9}
Confrontiamo ora il teorema di Tijdeman con il teorema
Teorema (2.1.9). Sia A ⊂ N finito. Per ogni t ∈ Z e k ∈ N si ha:
A tassella ⇔ kA + t tassella .
Dato un tassello, A, quindi, anche kA è un tassello per ogni k ∈ N.
Se (k, | A |) = 1 possiamo considerare per kA lo stesso ritmo esterno di A, se invece
(k, | A |) > 1 può accadere che il ritmo esterno considerato per A non dia luogo ad
un canone ritmico con ritmo interno kA, come si vede nel prossimo esempio.
5.3.8 Esempio. Consideriamo il canone dell’esempio 5.3.7:
{0, 1, 6, 7} ⊕ {0, 2, 4} = Z/12Z
e la trasformazione f (x) = 4x. Il ritmo interno A = {0, 1, 6, 7} diventa A ′ = {0, 4}
che non è in somma diretta con B = {0, 2, 4}.
A ′ è comunque un tassello, basta infatti considerare B ′ = {0, 1, 2, 3} per generare un
canone a mosaico di periodo 8, come mostrato in figura 5.5.
79

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
A = {0, 1, 6, 7}
B = {0, 2, 4}
✑ ✑✑✸
◗ ◗◗
Figura 5.4
Figura 5.5
80
A1 = {0, 5, 6, 11}
B = {0, 2, 4}
A2 = {0, 3, 6, 9}
B = {0, 2, 4}

Appendice A
Polinomi ciclotomici
Riporto alcune definizioni e proprietà che riguardano i polinomi ciclotomici. Non
riporto molte delle dimostrazioni che possono essere trovate in un buon testo di
algebra, come ad esempio Algebra di Serge Lang [46].
Consideriamo n ∈ N ed il polinomio x n − 1 ∈ Z[x].
Alcune definizioni e fatti noti preliminari:
1. Una radice ζ ∈ C di x n − 1 si dice radice n-sima dell’unità.
2. L’insieme di tutte le radici n-sime dell’unità verrà indicato con µn.
3. µn = {ζ ∈ C : ζn = 1} = {eiθ : θ = k 2π
n , k = 0, . . . , n − 1}.
4. Ponendo ζn := e i 2π n , µn è un gruppo ciclico di ordine n generato da ζ k n per
ogni k tale che (k, n) = 1.
5. Le ζ k n, (k, n) = 1, vengono dette radici primitive n-esime dell’unità, ed il loro
numero è calcolato dalla funzione φ di Eulero:
| {ζ k n : (k, n) = 1} | = | {k < n : (k, n) = 1} | = φ(d),
6. Per ogni d|n, µd è un sottogruppo di µn (l’unico di ordine d).
A.1 Definizione. Dati n ∈ N e ζn radice primitiva n-sima dell’unità, chiamiamo
polinomio ciclotomico di ordine n (o n-simo polinomio ciclotomico) il polinomio:
Φn(x) :=
k< n, (k, n)=1
(x − ζ k n)
le cui radici sono le radici primitive n-sime dell’unità.
Elenchiamo alcune ben note proprietà dei polinomi ciclotomici:
1. Φd(x) ∈ Z[x]
2. Φn(x) è irriducibile in Q[x] (e quindi in Z[x] per il lemma di Gauss).
81

Appendice A. Polinomi ciclotomici
3. Φn(x) è il polinomio minimo di ζn su Q (e quindi su Z, vedi punto 2).
4. Φd(x) = o(ζ)=d(x − ζ)
5. deg Φn = φ(n)
6. x n − 1 = d|n Φd(x), e quindi ∆n(x) := 1 + x + . . . + x n−1 = d|n, d1 Φd(x)
A.2 Osservazione. deg Φn(x) è pari se e solo se n > 2.
Infatti, Φ1(x) = 1 − x, Φ2(x) = 1 + x, e se n = p α1
1 pα2
2
che è pari.
deg Φn(x) = φ(n) = p α1−1
1
. . . pαn
n ≥ 3, si ha:
(p1 − 1)p α2−1
(p2 − 1) . . . p αn−1
(pn − 1)
A.3 Definizione. Dato un polinomio a coefficienti interi
f (x) = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ Z[x],
chiamiamo contenuto del polinomio il massimo comun divisore dei suoi coefficienti:
cont f (x) := MCD{ a0, a1, . . . , an}
A.4 Proposizione.
Siano p primo ed n ∈ N, allora:
1. Φp(x) = 1 + x + x 2 + . . . + x p−1 .
2. n = p α1
1 pα2
2 . . . pαn
2
n , pi primo ∀i = 1, . . . , n ⇒ Φn(x) = Φp1...pn (xpα 1−1 1
3. n dispari > 1 ⇒ Φ2n(x) = Φn(−x).
4. Φn(x p
Φpn(x) ⇔ p | n
) =
Φn(x) Φpn(x) ⇔ p ∤ n
5. Φn(1) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 ⇔ n = 1
p ⇔ n = p α
1 altrimenti
n
...p αn−1
n ).
6. Sia m un intero positivo e sia k := max { d | m : (d, n) = 1}, allora, ponendo
m = hk, si ha:
Φn(x m ) =
Φdn(x).
d|m, h|d
In particolare, se (m, n) = 1 si ha: Φn(x m ) = d|m Φdn(x).
7. Siano A(x) ∈ Z[x], Â(x) := A(xp ), RA ed RÂ come nella definizione 2.1.2,
allora
RÂ = pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n}.
82

Dimostrazione:
1. (x − 1)(x p−1 + . . . + 1) = x p − 1 = d|p Φd(x) ⇒ Φp(x) = x p−1 + . . . + 1.
2. Poiché
si ha:
ζ pα 1−1 1 ...p αn−1
n
n
= e i 2π n pα 1−1 1 ...p αn−1
n = e i2π pα1−1 1
Φp1...pn (ζ pα 1−1 1 ...p αn−1
n
n
Φn(x) è il polinomio minimo di ζn, quindi
inoltre
deg Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
e
...p αn−1
n
p α1 1 pα2 2 ...pαn n = e i 2π n p1...pn = ζp1...pn
) = 0.
Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) | Φn(x),
n ) = p α1−1
1
(p1 − 1) . . . p αn−1
n (pn − 1) = φ(n) = deg Φn(x)
cont Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) = cont Φn = 1,
quindi Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) = Φn(x).
3. n dispari ⇒ deg Φ2n(x) = φ(2n) = φ(n) = deg Φn(−x), inoltre cont Φ2n(x) =
cont Φn(−x) = 1, quindi, poiché Φ2n è il polinomio minimo di ζ2n, basta vedere
che Φn(−ζ2n) = 0, cioè che −ζ2n è una radice primitiva n-sima dell’unità,
e infatti:
• ζ 2n
2n = 1 ⇒ ζn 2n = −1 ⇒ (−ζ2n) n = 1 e
• se m < n:
– m pari ⇒ (−ζ2n) m = ζm 2n 1,
– m dispari ⇒ (−ζ2n) m = −ζm 2n e se fosse = 1 si avrebbe ζm 2n = −1 ⇒
= 1 con 2m < 2n, assurdo.
ζ 2m
2n
4. • p | n, sia α ∈ N tale che pα | n ma pα+1 ∤ n, n = pα+1m. Poiché p ∤ m
si ha: deg Φpn(x) = φ(pn) = φ(pα+1m) = pα (p − 1)φ(m) = ppα−1 (p −
1)φ(m) = pφ(n) = deg Φn(x p ), e cont Φpn(x) = cont Φn(x p ) = 1. Φpn(x)
è il polinomio minimo delle radici pn-sime dell’unità, quindi basta dimostrare
che Φn(ζ p pn) = 1, ma questo è vero perché ζ p 2π i
pn = e pn p = ei 2π n =
ζn.
• p ∤ n, quindi
deg Φn(x p ) = pφ(n) = φ(n) + (p − 1)φ(n) =
= deg Φn(x) + deg Φpn(x) = deg (Φn(x)Φpn(x)),
83

Appendice A. Polinomi ciclotomici
inoltre
cont Φn(x p ) = 1 = cont Φn(x)cont Φpn(x) = cont (Φn(x)Φpn(x)),
quindi basta vedere che Φn(x p ) si annulla sulle radici di Φn(x) e di
Φpn(x), cioè sulle radici primitive n-sime e pn-esime dell’unità:
(n) (p, n) = 1 ⇒ l’automorfismo di Frobenius ζ ↦→ ζ p di µn conserva
i sottogruppi delle radici primitive: se ζ è una radice primitiva
n-sima dell’unità anche ζ p lo è, quindi Φn(ζ p ) = 0.
(pn) Una radice primitiva np-esima dell’unità ζ ha la forma ζk 2π ik
pn = e pn ,
(k, np) = 1, quindi (ζk pn) p 2π ik
= e pn p = eik 2π n = ζn (poiché (k, n) = 1),
segue immediatamente che Φn(ζ p ) = 0.
5. • (n = 1): Φ1(x) = x − 1 ⇒ Φ1(1) = 0.
• (n = pα pα−1
): Φpα(x) = Φp(x ) per il punto 2, Φp(x) = 1 + x + . . . + xp−1 per il punto 1, quindi Φpα(1) = Φp(1) = p
• (n 1, pα ): sia n = p α1
e 4 si ha:
1 pα2
2
Φn(1) = Φp1...pn
6. Supponiamo (m, n) = 1. Sia m = p α1
k ≥ 1:
. . . pαn
n , pi primo ∀i = 1, . . . , n, per i punti 2
Φp1...pn−1 (1)
(1) = = 1.
Φp1...pn−1 (1)
1 pα2
2
• (k = 1): Procedo per induzione su α ≥ 1:
. . . pαk
k , procedo per induzione su
(α = 1): per il punto 4,
Φn(x p
) = Φn(x)Φpn(x) = Φdn(x)
(α ⇒ α + 1): per il punto 4,
Φn(x pα+1
) = Φn(x pα
)Φpn(x pα
) = Φn(x pα
)Φpα+1n(x) =
per ipotesi induttiva
⎛ ⎞
= ⎜⎝
Φdn(x) ⎟⎠ Φpα+1 ⎛
⎞
n(x) = ⎜⎝
Φpβn(x) ⎟⎠ Φpα+1n(x) =
d|p α
0≤β≤α+1
84
Φ p β n(x) =
0≤β≤α
d|p α+1
d|p
Φdn(x),

• (k ⇒ k + 1): suppongo la tesi vera per m = p α1
1 pα2
2 . . . pαk
k , la dimostro
per mpα , con p ∤ m. Per il passo base dell’induzione,
Φn(x mpα
) = Φn((x m ) pα
) = Φdn(x m ) =
d|pα h|m
d|p α
per ipotesi induttiva
= Φhdn(x) = Φdn(x).
d|mp α
Quindi la tesi è dimostrata nel caso (m, n) = 1.
Consideriamo ora il caso generale. Sia k = max { d | m : (k, n) = 1} ed m = hk,
allora per ogni primo p | h si ha che p | n, quindi
- (h, k) = 1 e,
- per il punto 4, ed il caso già dimostrato (m, n) = 1, si ha:
Φn(x m ) = Φnh(x k
) = Φnhd(x) =
Φnd(x).
7. Dimostro le due inclusioni:
d|k
d|m, h|d
• pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n} ⊆ R Â :
∀n ∈ RA, Φn(x) | A(x) ⇒ Φn(x p ) | Â(x), per il punto 4:
– p | n ⇒ Φpn(x) | Â(x) ⇒ pn ∈ R Â ,
– p ∤ n ⇒ Φn(x)Φpn(x) | Â(x) ⇒ n, pn ∈ R Â .
• R Â ⊆ pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n}:
∀n ∈ R Â , Φn(x) | Â(x) ⇒ Â(ζn) = A(ζ p n ) = 0 quindi:
– p | n ⇒ n = pm e ζ p pm = ζm ⇒ Φm(x) | A(x) ⇒ m ∈ RA,
– p ∤ n ⇒ ζ p n è ancora una radice primitiva n-sima dell’unità ⇒
Φn(x) | A(x) ⇒ n ∈ RA.
A.5 Definizione. Un polinomio p(x) = n i=0 a1x i ∈ Z[x] è reciproco se e solo se la
sequenza dei suoi coefficienti è palindroma, cioè:
ai = an−i per ogni i = 0, . . . , n.
A.6 Proposizione. Φn(x) è reciproco se e solo se n > 1.
Dimostrazione:
osserviamo innanzitutto che Φ1(x) = x − 1 non è reciproco.
Per n = 2 si ha che Φ2(x) = x + 1, che è reciproco.
Rimane quindi da vedere che Φn(x) è reciproco per ogni n > 2, cioè che, indicando
85
qed

Appendice A. Polinomi ciclotomici
con ch il coefficiente del termine di grado h, per ogni h = 0, . . . , k si abbia ch = ck−h.
Poniamo k := deg Φn(x) = φ(n), sia ζh := ei 2π n h l’h-sima radice n-sima primitiva
dell’unità ed indichiamo con Ph l’insieme {S ⊂ {1, . . . , n} : | S |= h}.
Allora, se h > 0, per la definizione A.1, si ha:
ch = − ζs .
S ∈Ph s∈S
Si vede subito che c0 = 1 = ck.
Ricordiamo che, per n > 2, φ(n) = k è pari (oss. A.2), quindi è sufficiente dimostrare
che ch = ck−h per ogni h = 1, . . . , k/2.
Dato S ∈ Ph, sia S −1 := {r ∈ {1, . . . , k} : ζ−1 r ∈ S }.
Consideriamo la mappa f : Ph → Pk−h tale che f (S ) = (S −1 ) c
.
f è surgettiva, infatti dato T ∈ Pk−h, basta prendere S = (T c ) −1 per avere f (S ) = T,
inoltre | Ph |=| Pk−h |, quindi f è una bigezione.
osserviamo inoltre che per ogni S ∈ Ph,
ζs = ( ζr) −1
e ζs = ( ζt) −1
s∈S
r∈S −1
s∈S
t∈S c
quindi s∈S ζs = t∈ f (S ) ζt, allora, per ogni h = 1, . . . , k/2, si ha:
ch = − ζs = −
S ∈Ph s∈S
S ∈Ph r∈ f (S )
ζr = −
T∈Pk−h t∈T
ζt = ck−h .
A.7 Definizione. Si chiama funzione di Möbius la mappa µ : N → {−1, 0, 1} definita
da:
⎧
⎪⎨
0
µ(n) =
⎪⎩
⇔ ∃p primo : p2 (−1)
|n
m 1
⇔ n = p1 . . . pm primi distinti
⇔ n = 1
Se µ è la funzione di Möbius si ha:
Φn(x) = (x n/d − 1) µ(d) , e
d|n
µ(d) =
d|n
1 ⇔ n = 1
0 ⇔ n > 1
86
qed

Appendice B
Algebra combinatoria e teoria
musicale
In questa appendice vogliamo mostrare un utilizzo della teoria enumerativa di
Pólya in ambito musicale per la classificazione degli accordi (che si vedrà nella
sezione B.2) e dei ritmi (utilizzata nella stesura dei cataloghi nell’appendice C).
Sottolineiamo il fatto che la struttura di gruppo ciclico è adatta alla rappresentazione
e allo studio della parte ritmica delle composizioni tanto quanto alla parte tonale
(e in realtà anche a quella espressiva, ma non ci addentreremo in quest’ultimo
studio).
B.1 La teoria di Pólya
Indichiamo con G un gruppo, con X un insieme e con
il gruppo delle permutazioni di X.
SX = { f : X → X | f è bigettiva }
B.1 Definizione. Un’azione di G su X è un omomorfismo di gruppi
L’azione è fedele se ker(α) = {e}.
α : G −→ SX .
Nel seguito considereremo solo azioni fedeli, identifichiamo quindi G con la
sua immagine α(G) < SX e scriviamo gx invece di g(x). In particolare, se X è finito,
e G agisce su X, allora anche G è finito.
B.2 Definizione. Data un’azione di G su X, chiamiamo
Gx := {gx | g ∈ G} l’orbita di x ∈ X;
Gx := {g ∈ G | gx = x} lo stabilizzatore di x ∈ X;
87

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Xg := {x ∈ X | gx = x} l’insieme dei punti fissi di g ∈ G.
Indichiamo con ∼G la relazione di equivalenza su X indotta dall’azione di G:
x ∼G y ⇔ ∃ g ∈ G : y = gx ,
e con G \\X l’insieme quoziente X / ∼G = {Gx | x ∈ X }, che, come si vede, coincide
con l’insieme delle orbite.
Fissato un x ∈ X, si verifica facilmente che Gx < G e che la mappa
G/Gx → X
gGx ↦→ gx
è iniettiva ed ha come immagine l’orbita Gx, quindi, se G è finito, si ha
| Gx |=| G/Gx |=
| G |
| Gx | .
Se X è finito e | X | = n, allora SX è isomorfo ad Sn, il gruppo simmetrico di
grado n. Richiamiamo alcuni risultati su Sn:
1. | Sn | = n!
2. Un ciclo è una permutazione ρ ∈ Sn tale che l’azione di 〈 ρ〉 su {1, . . . , n}
induce al più una sola orbita di cardinalità maggiore di 1.
3. Ogni permutazione π ∈ Sn è prodotto di cicli disgiunti e la decomposizione
standard in cicli di π è:
dove:
(a) c(π) è il numero dei cicli di π,
π = ◦ c(π)
i=1 (ai, π(ai), . . . , π ki−1 (ai))
(b) ki è la lunghezza dell’i-esimo ciclo,
(c) 1 = a1 < a2 < . . . < ac(π) ≤ n, ed ai è il più piccolo elemento dell’i-esimo
ciclo.
4. Il tipo della permutazione π ∈ Sn è l’n-upla λ(π) = (λ1(π), . . . , λn(π)) dove
λi(π) è il numero dei cicli di lunghezza i nella decomposizione standard di π.
B.3 Definizione. Dati un insieme X ed un anello R contenente Q, una funzione
peso è una funzione w : X → R, l’immagine w(x) ∈ R è il peso di x, l’inventario di
X è la somma
IX := w(x) .
88
x∈X

B.1 La teoria di Pólya
Se G < S(X) ed una funzione peso w : X → R è costante sulle orbite, possiamo
definire il peso di un’orbita come il peso di un qualsiasi suo elemento: w(Ω) =
w(x) con x ∈ Ω. In tal caso, il prossimo lemma fornisce un modo per calcolare
l’inventario dell’insieme quoziente G \\X.
B.4 Lemma.
Sia X finito, G < SX, e w : X → R una funzione peso costante sulle orbite. Si ha:
IG \\X =
Ω∈G \\X
Dimostrazione: Basta osservare che
w(Ω) = 1
| G |
w(x) .
g∈G x∈Xg
{(g, x) | g ∈ G, x ∈ Xg} = {(g, x) | g ∈ G, x ∈ X, gx = x} = {(g, x) | x ∈ X, g ∈ Gx} ,
quindi si ha:
w(x) = w(x) = | Gx | w(x) =
x∈X
g∈G x∈Xg
| G |
= w(x) = | G |
| Gx |
x∈X g∈Gx
Ω∈G \\X x∈Ω
x∈X
w(Ω)
| Ω |
= | G |
Ω∈G \\X
w(Ω) .
Il lemma B.4 è la versione “pesata” del lemma di Cauchy-Frobenius (o di
Burnside):
B.5 Lemma (Cauchy-Frobenius).
Sia X finito e G < SX. Si ha:
| G \\X |= 1
| Xg | .
| G |
g∈G
Dimostrazione:
Basta considerare come funzione peso la funzione costantemente 1 ed applicare il
lemma B.4.
B.6 Definizione. Data un’azione di G su X finito, si chiama ciclindice il polinomio
PG (z) := 1
| G |
g∈G
z λ(g) = 1
| G |
|X|
g∈G i=1
z λi(g)
i
dove λ(g) = (λ1(g), . . . , λ|X|(g)) è il tipo di g e z = (z1, . . . , z|X|).
89
qed
qed

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Dati X ed Y finiti, ed un’azione di G su X, consideriamo l’azione indotta di G
su Y X data da (g f )(x) = f (g −1 x). Sia W : Y → R una funzione peso.
Allora la funzione
w : Y X → R
f ↦→ x∈X W( f (x))
è una funzione peso su Y X ed è costante sulle orbite rispetto all’azione di G indotta,
infatti:
w(g f ) = W( f (g −1
x)) = W( f (x)) = w( f ) ,
x∈X
poiché g è una permutazione di X.
Possiamo ora enunciare il
B.7 Teorema (Pólya). Dati X, Y, G, W e w come sopra, l’inventario di G \\Y X è:
IG \\Y X =
⎛
w(Ω) = PG ⎜⎝
W(y), W(y) 2
, . . . , W(y) |X|
⎞
⎟⎠
Ω∈G \\Y X
y∈Y
x∈X
Dimostrazione: Per il lemma B.4 basta dimostrare che
⎛
|X|
w( f ) = ⎜⎝
W(y) i
⎞
⎟⎠
f ∈Y X g
i=1
Osserviamo che f ∈ Y X g se e solo se f è costante sui cicli di g, cioè sulle orbite
dell’azione di 〈g〉 su X, quindi possiamo identificare Y X g e Y 〈g〉 \\X e si ha:
w( f ) = W( f (x)) =
W( f (Ω)) |Ω| = (∗)
dove:
f ∈Y X g
=
f ∈Y X g
x∈X
Ω∈〈g〉\\X y∈Y
(∗): Partiamo dal secondo membro:
y∈Y
y∈Y
W(y) |Ω| = (∗∗)
|X|
Ω∈〈g〉\\X y∈Y
λi(g)
f ∈Y 〈g〉 \\X Ω∈〈g〉\\X
i=1
⎛
⎜⎝
y∈Y
W(y) |Ω| =
W(y) i
⎞
⎟⎠
y∈Y
λi(g)
= (W(y1) |Ω1| + . . . + W(ym) |Ω1| ) . . . (W(y1) |Ωk| + . . . + W(ym) |Ωk| ) =
=
poiché la mappa
k
(i1,...,ik)∈{1,...,m} k j=1
W(yi j )|Ω j| =
f ∈Y 〈g〉 \\X Ω∈〈g〉\\X
{1, . . . , m} k → Y 〈g〉 \\X
(i1, . . . , ik) ↦→ f
tale che f (Ω j) = yi j è una corrispondenza biunivoca.
90
W( f (Ω)) |Ω| ,

B.1 La teoria di Pólya
(∗∗): Le orbite dell’azione di 〈g〉 sono esattamente gli insiemi permutati ciclicamente
da g, quindi ci sono esattamente λi(g) orbite di cardinalità i per ogni
i = 1, . . . , | X |.
Sia ora X = Z/nZ che indichiamo convenzionalmente con Zn o {0, 1, . . . , n}.
Consideriamo tre diverse azioni di gruppo su Zn.
B.8 Esempio. Consideriamo la permutazione τ = (1, 2, . . . , n) ∈ Sn, e l’omomorfismo
di gruppi
α : Zn → Sn
k → τ k
Si ha α(Zn) = 〈τ〉 < Sn, consideriamo quindi l’azione di Zn su sé stesso e calcoliamone
il ciclindice:
1 n−1
PZn (z) := z
n
λ(τk )
Abbiamo bisogno di calcolare il tipo della rotazione τk .
Per ogni a ∈ Zn, a sta in un ciclo di τk di lunghezza l se e solo se (τk ) l (i) = a e
(τk ) h (i) a per ogni h < l, cioè se e solo se l è la minima soluzione positiva della
congruenza a + kx = a (mod n), ossia kx = 0 (mod n), quindi l = n/(k, n).
Poiché l non dipende da a se ne deduce che τk si decompone esattamente in (k, n)
cicli di lunghezza n/(k, n), cioè
λi(τ k
(k, n) se i = n/(k, n)
) =
0 se i n/(k, n)
Quindi
k=0
PZn (z1, . . . , zn) := 1 n−1
n
k=0
z (k,n)
n/(k,n)
Inoltre per ogni k ∈ {0, . . . , n − 1}, si ha (k, n) | n, e per ogni d | n si ha | {k ∈ {0, . . . , n −
1} : (k, n) = d} |= φ(n/d), quindi
PZn (z1, . . . , zn) := 1
n
φ(n/d)z d n/d .
B.9 Esempio. Consideriamo la permutazione σ ∈ Sn così definita:
n−1 n+3 n+1
(1, n)(2, n − 1) . . . (
σ =
2 , 2 )( 2 ) se n è dispari
(1, n)(2, n − 1) . . . ( n n
2 , 2 + 1) se n è pari
Il gruppo diedrale è il sottogruppo generato da τ e σ, Dn = 〈τ, σ〉 < Sn.
Poiché τ n = σ 2 = id e τσ = στ −1 , si ha
d|n
Dn = {τ i σ j | i = 0, . . . , n − 1 e j = 0, 1} .
91
qed

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Calcoliamo il ciclindice dell’azione di Dn su Zn:
1 1 n−1
PDn (z) :=
2n
j=0 i=0
z λ(τiσ j n−1
) 1
= PZn (z) +
2
i=0
z λ(τi σ)
Dobbiamo quindi calcolare il tipo della permutazione τ i σ.
Poiché (τ i σ) 2 = id, nella decomposizione di τ i σ ci saranno solo cicli di lunghezza
1 o 2, basta quindi calcolare il numero dei cicli di lunghezza 1, cioè il numero dei
punti fissi della permutazione.
(τ i σ)(x) = x ⇔ n + 1 − x + i ≡ x (mod n) ⇔ 2x ≡ i + 1 (mod n), che ha soluzione se e
solo se (2, n) | i + 1 ed in tal caso esistono esattamente (2, n) soluzioni.
Se ne deduce quindi che
1. se n è dispari, esiste un solo punto fisso ed n−1
2 trasposizioni,
2. se n è pari ci sono 2 possibilità:
Quindi:
(a) se i + 1 è pari, esistono 2 punti fissi ed n−2
2 trasposizioni,
(b) se i + 1 è dispari, non esistono punti fissi, e ci sono n/2 trasposizioni.
PDn
(z) = 1
2
⎧
⎪⎨
PZn (z) + ⎪⎩
1 (n−1)/2
2z1z 2
1
4 (z2 1z(n−2)/2 2
se n è dispari
+ z n/2
2 ) se n è pari
Per l’ultimo esempio abbiamo bisogno di introdurre la seguente
B.10 Definizione. Dati A ⊂ N n e B ⊂ N m finiti, consideriamo i polinomi
P(z1, . . . , zn) =
Q(z1, . . . , zm) =
e definiamo il prodotto
con:
n
αa
a=(a1,...,an)∈A i=1
m
βb
b=(b1,...,bn)∈B j=1
z ai
i
z b j
j
∈ Q[z1, . . . , zn] e
∈ Q[z1, . . . , zm]
⊙ : Q[z1, . . . , zn] × Q[z1, . . . , zm] → Q[z1, . . . , znm]
P(z1, . . . , zn) ⊙ Q(z1, . . . , zm) :=
dove ⎛⎜⎝
e
n
i=1
z ai
i
⎞
⎟⎠ ⊙
⎛
m
⎜⎝
j=1
z b j
j
⎞
a∈A b∈B
⎟⎠ :=
n
i=1
αaβb
m
j=1
z ai
i ⊙ zb j
j := z aib jMCD(i, j)
mcm (i, j)
92
⎛ n
⎜⎝
i=1
z ai
i
z ai
i ⊙ zb
j
j
⎞
⎟⎠ ⊙
⎛
m
⎜⎝
j=1
z b j
j
⎞
⎟⎠

B.1 La teoria di Pólya
B.11 Lemma. Siano X ed Y insiemi finiti con | X |= n e | Y |= m.
Date due azioni G < S(X) e H < S(Y) , consideriamo l’azione G × H < S(X × Y)
data da (g, h)(x, y) = (gx, hy), naturamente indotta da G e H.
Il ciclindice di tale azione è
Dimostrazione: Si ha
PG×H(z1, . . . , znm) =
PG×H(z1, . . . , znm) = PG(z1, . . . , zn) ⊙ PH(z1, . . . , zm)
1
| G × H |
nm
(g,h)∈G×H k=1
PG(z1, . . . , zn) ⊙ PH(z1, . . . , zm) = 1
| G |
g∈G
1 1
| G | | H |
Bisogna quindi dimostrare che
nm
k=1
n
z λk(g,h)
k = 1
| G |
m
g∈G h∈H i=1 j=1
z λk(g,h)
k
=
n
i=1
m
j=1
n
i=1
1
| H |
z λi(g)
i ⊙ 1
| H |
h∈H
z λi(g)λ j(h)MCD(i, j)
mcm (i, j)
z λi(g)λ j(h)MCD(i, j)
mcm (i, j)
Questa relazione si deduce direttamente dalle seguenti osservazioni:
nm
g∈G h∈H k=1
m
j=1
z λ j(h)
j
z λk(g,h)
k
1. x appartiene ad un ciclo di g di lunghezza i ed y appartiene ad un ciclo di h
di lunghezza j se e solo se (x, y) appartiene ad un ciclo di (g, h) di lunghezza
mcm (i, j), quindi
λk(g, h) 0 ⇔ ∃i, j : mcm (i, j) = k, λi(g) 0 e λ j(h) 0
2. date un’orbita 〈g〉x di cardinalità i, ed un’orbita 〈h〉y di cardinalità j, l’insieme
〈(g, h)〉 \\〈g〉x × 〈h〉y ha cardinalità i j/mcm (i, j) = MCD(i, j), quindi, fissati
i e j tali che mcm (i, j) = k, esistono esattamente λi(g)λ j(h)MCD(i, j) cicli di
lunghezza mcm (i, j).
B.12 Esempio. Il gruppo affine di grado n è definito da
Aff n := { f : x ↦→ ax + b | a ∈ Z ∗ n, b ∈ Zn} < Sn
dove Z∗ n = {m ∈ Zn | (m, n) = 1} è l’insieme degli elementi invertibili in Zn.
Si ha chiaramente | Aff n |= nφ(n).
Sia n = p α1
1 . . . pαk
k , consideriamo l’isomorfismo
ψ : Zn Z p α 1
1
× . . . × Z p α k
k
93
=
qed

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
dato da
ψ(m) = (m mod p α1
1 , . . . , m mod pαk
k ) = (ψ1(m), . . . , ψk(m)).
Esso induce l’isomorfismo
dato,per f (x) = ax + b, da:
Ψ : Aff n Aff p α 1
1
× . . . × Aff p α k
k
Ψ( f )(x) = ψ(a)x + ψ(b) = (a mod p αi
i )x + (b mod pαi
i ) k
i=1
Il ciclindice dell’azione di Aff n su Zn è quindi il ciclindice dell’azione di k i=1 Aff α
p i
i
su k i=1 Z α
p i , cioè:
i
dove PAff p α i
i
PAff n (z1 . . . , zn) =
k
i=1
PAff p α i
i
(z1 . . . , z α
p i )
i
(z1 . . . , z α
p i ) è il ciclindice dell’azione di Aff α
i
p i
i
su Z α
p i .
i
B.13 Esempio. Osserviamo che dato un insieme X, esiste una funzione biunivoca
P(X) ↔ {0, 1} X
A ↦→ χ A
f −1 (1) ← f
dove χA è la funzione caratteristica di A ( χA(x) = 1 ⇔ x ∈ A).
Una azione G < SX su X induce quindi l’azione G < SP(X), tale che gA = {ga |
a ∈ A}. Consideriamo ora la funzione peso W : Y = {0, 1} → Q[z] tale che W : 0 ↦→ 1
ed 1 ↦→ z, allora risulta definita la funzione peso su P(X) w(A) = z |A| costante sulle
orbite (g è biunivoca!) ed il teorema di Pólya diventa,
IG \\P(X) = z |A| = PG(zi = 1 + z i ) .
Ω∈G \\P(X)
B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
In questa sezione ci occupiamo dell’azione su P(Z/nZ) (cfr esempio B.13) dei
seguenti gruppi di permutazioni:
1. il gruppo delle rotazioni, o trasposizioni, Zn 〈τ〉, dove τ = (1, 2, . . . , n) ∈ Sn
(cfr esempio B.8);
2. il gruppo diedrale Dn = 〈τ, σ〉, dove σ ∈ Sn è l’inversione definita da
n−1 n+3 n+1
(1, n)(2, n − 1) . . . (
σ =
2 , 2 )( 2 ) se n è dispari
(1, n)(2, n − 1) . . . ( n n
2 , 2 + 1) se n è pari
(cfr esempio B.9);
94

B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
3. il gruppo affine Aff n = { f : x ↦→ ax + b | a ∈ Z ∗ n, b ∈ Zn} < Sn, dove Z ∗ n è
l’insieme delle unità di Zn (cfr esempio B.12).
Come si evince dalla terminologia musicale utilizzata nei primi due casi, tali
gruppi di permutazioni sono spesso utilizzati in un contesto tonale, piuttosto che
ritmico, a patto di considerare un temperamento equabile, nel quale cioè la proporzione
tra le frequenze di due note successive della scala cromatica è costante.
Nella musica occidentale, ad esempio, la scala cromatica è composta da 12 note
(fig. B.1) e la proporzione tra le frequenze di due note successive è 12√ 2 : scompare
la differenza tra semitono diatonico e semitono cromatico del temperamento
naturale.
Figura B.1: scala cromatica occidentale
In quest’ottica Z/nZ è il modello utilizzato per esprimere la ciclicità tonale
della scala cromatica, ed i sottoinsiemi di Z/nZ, a meno di traslazione, vengono
chiamati accordi (talvolta anche modi); ad esempio l’accordo semidiminuito e la
scala maggiore vengono rappresentati dai diagrammi di Krenek nelle figure B.2 e
B.3, rispettivamente.
Utilizzando la teoria enumerativa di Pólya (appendice B), ci proponiamo di
contare il numero di accordi, o di ritmi, di periodo e cardinalità fissata.
Iniziamo quindi considerando l’azione di Z/nZ su sé stesso e l’azione indotta
su P(Z/nZ) come descritto negli esempi B.8 e B.13.
Figura B.2: do-7(♭5) Figura B.3: scala maggiore di do
95

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Il numero di classi di traslazione di sottoinsiemi di Z/nZ di cardinalità k fissata
è il coefficiente di z k nel polinomio:
d|n
i=0
IZn \\P(Zn) = 1
n
= 1 n/d
n/d
n i
φ(n/d)(1 + z (n/d) ) d =
d|n
φ(n/d)z id =
⎡
n 1
⎢⎣ n
k=0
j|(n,k)
n/ j
φ( j)
k/ j
⎤⎥⎦ zk
Possiamo osservare subito che il numero degli accordi di cardinalità k è uguale
al numero degli accordi di cardinalità n − k, quindi, per ogni n ∈ N, si ha
Ad esempio, per n = 12 si ha:
cardinalità 0 1 n-1 n
numero accordi 1 1 1 1
cardinalità 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
numero accordi 1 1 6 19 43 66 80 66 43 19 6 1 1
Consideriamo ora l’azione di Dn su Z/nZ, e l’azione indotta su P(Z/nZ) come
descritto negli esempi B.9 e B.13.
Il numero di classi di accordi di cardinalità k fissata, a meno di inversione, è il
coefficiente di z k nel polinomio:
=
= 1
2 IZn \\P(Zn) +
n
k=0
z k
⎛
1
2n
⎜⎝
j|(n,k)
IDn \\P(Zn)(z) =
1
2 (1 + z)(1 + z2 ) (n−1)/2 se n è dispari
1
4 ((1 + z)2 (1 + z 2 ) (n−2)/2 + (1 + z 2 ) n/2 ) se n è pari
n/ j
φ( j)
k/ j
⎧
⎪⎨
+
Ad esempio, per n = 12 si ha:
⎪⎩
1
2
1
2
1
2
(n − 1)/2
⌊k/2⌋
n/2
k/2
n/2 − 1
⌊k/2⌋
se n è dispari
se n e k sono pari
se n è pari e k è dispari
=
cardinalità 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
numero accordi 1 1 6 12 29 38 50 38 29 12 6 1 1
Consideriamo infine l’azione di Aff n su Z/nZ, e l’azione indotta su P(Z/nZ)
come descritto negli esempi B.12 e B.13.
96
⎫⎞
⎪⎬
⎪⎭
⎟⎠

B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
Sia n = p α1
1 . . . pα1
1 , allora il numero di classi di accordi di cardinalità k fissata,
a meno di inversione, è il coefficiente di zk nel polinomio (lemma B.11):
dove PAff p α i
i
IAff n \\P(Zn)(z) =
k
i=1
PAff α (zi = 1 + z
p i
i
i , i = 1, . . . , p αi
i )
(z1 . . . , z α
p i ) è il ciclindice (def. B.6) dell’azione di Aff α
i
p i
i
è definito in B.10.
Ad esempio, per n = 12 si ha:
su Z p α i
i
IAff 12 \\P(Z12)(z1, . . . , z12) = PAff 4 (zi = 1 + z i , i = 1, . . . , 4) ⊙ PAff 3 (zi = 1 + z i , i = 1, 2, 3)
Calcoliamo i fattori del prodotto ⊙:
1. PAff 4 (z1, . . . , z4) = 1
4φ(4)
f ∈Aff 4
4i=1 z λi( f )
i
= 1
8 (z4 1 + 3z2 2 + 2z4 + 2z 2 1 z2), e
2. PAff (z1, z2, z3) = 3 1 3i=1 3φ(3) f ∈Aff z 3
λi( f )
i = 1
6 (z3 1 + 2z3 + 3z1z2).
Allora
PAff (z1, . . . , z12) = 12 1
4
(z1 + 3z
48
2 2 + 2z4 + 2z 2 1z2) ⊙ (z 3 1 + 2z3 + 3z1z2) =
1
12
z1 48
+ 12z6 2 + 2z4 3 + 8z3 4 + 6z2 6 + 4z12 + 2z 6 1z3 2 + 3z4 1z4 2 + 6z2 1z5 2 + 4z2 3z6
e sostituendo zi con 1 + zi si ha:
12 2 6 3 4
(1 + z) + 12(1 + z ) + 2(1 + z ) +
IAff 12 \\P(Z12)(zi = 1 + z i ) = 1
48
+8(1 + z 4 ) 3 + 6(1 + z 6 ) 2 + 4(1 + z 12 ) + 2(1 + z) 6 (1 + z 2 ) 3 +
+3(1 + z) 4 (1 + z 2 ) 4 + 6(1 + z) 2 (1 + z 2 ) 5 + 4(1 + z 3 ) 2 (1 + z 6 ) =
= 1 + z + 5z 2 + 9z 3 + 21z 4 + 25z 5 + 34z 6 + 25z 7 + 21z 8 + 9z 9 + 5z 10 + z 11 + z 12
Si ottiene quindi il seguente catalogo delle orbite affini nel caso della divisione
dell’ottava in 12 parti uguali:
cardinalità 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
numero accordi 1 1 5 9 21 25 34 25 21 9 5 1 1
La figura B.4 mostra l’architettura “paradigmatica” nella quale i tre gruppi
evocati precedentemente (ciclico, diedrale e affine) permettono di analizzare gli
accordi di un brano musicale riconducendoli ad uno dei tre cataloghi di base.
L’approccio paradigmatico può essere generalizzato con l’aggiunta di altri gruppi,
come per esempio il gruppo simmetrico Sn in figura B.4, la cui azione sulle
strutture intervallari permette di ridurre il catalogo degli accordi a 77 rappresentanti.
Questo catalogo, introdotto dal compositore messicano Julio Estrada,
equivalente all’insieme delle 77 partizioni di 12. L’algebra combinatorica diventa
in questo modo uno strumento estremamente versatile per la teoria, l’analisi e la
composizione assistita su calcolatore.
97
e ⊙

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Figura B.4
98

Appendice C
Nuovi canoni
Consideriamo i seguenti periodi, con le relative fattorizzazioni:
N n1 n2 m1 m2 k fattorizzazione
144 2 2 3 3 4 vecchia
144 3 3 2 2 4 vecchia
144 2 4 3 3 2 nuova
144 3 3 2 4 2 nuova
216 2 2 3 3 6 vecchia
216 3 3 2 2 6 vecchia
216 2 4 3 3 3 nuova
216 3 3 2 4 3 nuova
216 2 2 3 9 2 nuova
216 3 9 2 2 2 nuova
Dove “vecchia” indica che la fattorizzazione nelle colonne centrali rientra in
quelle considerate da Vuza (nelle quali, ricordiamo, n2 ed m2 sono primi), e “nuova”
indica che non vi rientra.
Osserviamo che la costruzione del ritmo interno A è simmetrica in ni ed mi,
i = 1, 2, e, se k = 2, anche la costruzione di B è simmetrica in ni ed mi, i = 1, 2, a
meno di traslazione.
È quindi sufficiente considerare solo le seguenti fattorizzazioni:
Definiamo
N n1 n2 m1 m2 k
144 2 4 3 3 2
216 2 4 3 3 3
216 3 3 2 4 3
216 2 2 3 9 2
99

Appendice C. Nuovi canoni
C.1 Definizione. Dato un ritmo A = {0 = a0 < a1 < . . . < ak−1} ⊂ Z/nZ, definiamo
la sua struttura intervallare come la k-upla:
SI(A) = (a1, a2 − a1, . . . , ak−1 − ak−2, n − ak−1)
Abbiamo visto nell’appendice B che i gruppi ZN, DN ed Aff N agiscono su
P(Z/NZ) (esempi B.8, B.9 e B.12), partizionando quindi l’insieme dei ritmi in
orbite, rispettivamente, traslazionali, diedrali ed affini. Riportiamo di seguito, per
ogni fattorizzazione considerata e per ognuna delle tre azioni, le liste delle strutture
intervallari di un insieme completo di rappresentanti di tali orbite.
N n1 n2 m1 m2 k
144 2 4 3 3 2
ORBITE TRASLAZIONALI
ritmi interni ritmi esterni
(10 22 32 26 32 22) (11 1 5 3 3 1 23 1 5 6 1 8 4 11 6 6 1 12 8 3 1 5 6 13)
(16 10 54 10 16 38) (9 3 3 5 1 3 21 3 3 6 3 8 4 9 6 6 3 12 8 1 3 3 6 15)
(16 58 16 16 22 16) (7 5 1 6 1 4 19 5 1 6 5 8 4 7 6 6 5 12 7 1 4 1 6 17)
(14 18 14 18 62 18) (5 6 1 5 3 4 17 6 1 5 7 8 4 5 6 6 7 12 5 3 3 1 5 19)
(16 46 18 46 16 2) (3 6 3 3 5 4 15 6 3 3 9 8 4 3 6 6 9 12 3 5 1 3 3 21)
(16 94 16 2 14 2) (1 6 5 1 7 4 13 6 5 1 11 8 4 1 6 6 11 12 1 6 1 4 1 23)
(4 7 1 5 6 1 23 1 4 1 6 1 12 11 6 6 1 4 8 11 1 5 6 13)
(4 5 3 3 6 3 21 3 3 1 5 3 12 9 6 6 3 4 8 9 3 3 6 15)
(4 3 5 1 6 5 19 5 1 3 3 5 12 7 6 6 5 4 8 7 5 1 6 17)
(4 1 6 1 5 7 17 6 1 4 1 7 12 5 6 6 7 4 8 5 6 1 5 19)
(3 1 5 3 3 9 15 6 3 3 1 8 12 3 6 6 9 4 8 3 6 3 3 21)
(1 3 3 5 1 11 13 6 5 1 3 8 12 1 6 6 11 4 8 1 6 5 1 23)
ORBITE DIEDRALI
ritmi interni ritmi esterni
(10 22 32 26 32 22) (11 1 5 3 3 1 23 1 5 6 1 8 4 11 6 6 1 12 8 3 1 5 6 13)
(16 10 54 10 16 38) (9 3 3 5 1 3 21 3 3 6 3 8 4 9 6 6 3 12 8 1 3 3 6 15)
(16 58 16 16 22 16) (7 5 1 6 1 4 19 5 1 6 5 8 4 7 6 6 5 12 7 1 4 1 6 17)
(14 18 14 18 62 18) (5 6 1 5 3 4 17 6 1 5 7 8 4 5 6 6 7 12 5 3 3 1 5 19)
(16 46 18 46 16 2) (3 6 3 3 5 4 15 6 3 3 9 8 4 3 6 6 9 12 3 5 1 3 3 21)
(16 94 16 2 14 2) (1 6 5 1 7 4 13 6 5 1 11 8 4 1 6 6 11 12 1 6 1 4 1 23)
ORBITE AFFINI
ritmi interni ritmi esterni
(10 22 32 26 32 22) (11 1 5 3 3 1 23 1 5 6 1 8 4 11 6 6 1 12 8 3 1 5 6 13)
(9 3 3 5 1 3 21 3 3 6 3 8 4 9 6 6 3 12 8 1 3 3 6 15)
(7 5 1 6 1 4 19 5 1 6 5 8 4 7 6 6 5 12 7 1 4 1 6 17)
(5 6 1 5 3 4 17 6 1 5 7 8 4 5 6 6 7 12 5 3 3 1 5 19)
(3 6 3 3 5 4 15 6 3 3 9 8 4 3 6 6 9 12 3 5 1 3 3 21)
(1 6 5 1 7 4 13 6 5 1 11 8 4 1 6 6 11 12 1 6 1 4 1 23)
100

itmi interni
N n1 n2 m1 m2 k
216 2 2 3 9 2
ORBITE TRASLAZIONALI
(10 54 10 54 34 54) (34 40 14 40 34 54) (16 34 54 58 16 38)
(40 10 54 58 40 14) (10 40 14 40 58 54) (34 16 38 16 58 54)
(16 10 54 82 16 38) (26 14 40 82 40 14) (10 16 38 16 82 54)
(2 14 40 106 16 38) (2 38 16 106 40 14) (2 54 26 54 26 54)
(2 54 50 54 2 54) (16 16 130 16 16 22) (32 2 54 74 32 22)
(32 26 54 50 32 22) (32 50 54 26 32 22) (32 74 54 2 32 22)
(32 98 32 22 10 22) (8 32 122 8 32 14) (8 2 54 98 8 46)
(8 26 54 74 8 46) (8 50 54 50 8 46) (8 74 54 26 8 46)
(8 98 54 2 8 46) (8 122 32 8 14 32) (8 146 8 8 38 8)
ritmi esterni
(4 11 9 3 1 11 9 3 1 5 6 9 3 1 11 9 3 1 20 3 1 11 9 3 1 11 6 3 3 1 11 9 3 1 11 9)
(4 9 11 1 3 9 11 1 3 3 6 11 1 3 9 11 1 3 20 1 3 9 11 1 3 9 6 5 1 3 9 11 1 3 9 11)
(4 7 12 1 4 7 12 1 4 1 6 12 1 4 7 12 1 4 19 1 4 7 12 1 4 7 6 6 1 4 7 12 1 4 7 13)
(4 5 12 3 4 5 12 3 3 1 5 12 3 4 5 12 3 4 17 3 4 5 12 3 4 5 6 6 3 4 5 12 3 4 5 15)
(4 3 12 5 4 3 12 5 1 3 3 12 5 4 3 12 5 4 15 5 4 3 12 5 4 3 6 6 5 4 3 12 5 4 3 17)
(4 1 12 7 4 1 12 6 1 4 1 12 7 4 1 12 7 4 13 7 4 1 12 7 4 1 6 6 7 4 1 12 7 4 1 19)
ritmi interni
ORBITE DIEDRALI
(10 54 10 54 34 54) (34 40 14 40 34 54) (16 34 54 58 16 38)
(40 10 54 58 40 14) (16 10 54 82 16 38) (26 14 40 82 40 14)
(2 14 40 106 16 38) (2 54 26 54 26 54) (2 54 50 54 2 54)
(16 16 130 16 16 22) (32 2 54 74 32 22) (32 26 54 50 32 22)
(32 98 32 22 10 22) (8 32 122 8 32 14) (8 2 54 98 8 46)
(8 26 54 74 8 46) (8 50 54 50 8 46) (8 146 8 8 38 8)
ritmi esterni
(4 11 9 3 1 11 9 3 1 5 6 9 3 1 11 9 3 1 20 3 1 11 9 3 1 11 6 3 3 1 11 9 3 1 11 9)
(4 7 12 1 4 7 12 1 4 1 6 12 1 4 7 12 1 4 19 1 4 7 12 1 4 7 6 6 1 4 7 12 1 4 7 13)
(4 5 12 3 4 5 12 3 3 1 5 12 3 4 5 12 3 4 17 3 4 5 12 3 4 5 6 6 3 4 5 12 3 4 5 15)
ritmi interni
ORBITE AFFINI
(10 54 10 54 34 54) (16 34 54 58 16 38)
ritmi esterni
(4 11 9 3 1 11 9 3 1 5 6 9 3 1 11 9 3 1 20 3 1 11 9 3 1 11 6 3 3 1 11 9 3 1 11 9)
(4 7 12 1 4 7 12 1 4 1 6 12 1 4 7 12 1 4 19 1 4 7 12 1 4 7 6 6 1 4 7 12 1 4 7 13)
N n1 n2 m1 m2 k
216 2 4 3 3 3
101

Appendice C. Nuovi canoni
In quest’ultimo caso, riportiamo solo la lista per le orbite affini poiché le orbite
traslazionali e diedrali sono eccessivamente lunghe (216 e 108 elementi rispettivamente).
ritmi interni
(15 33 48 39 48 33 )
ritmi esterni
ORBITE AFFINI
(9 8 1 13 4 5 7 2 4 1 9 9 13 4 5 9 4 1 9 2 6 1 13 9 9 4 1 9 8 1 11 2 4 5 9 5 )
(9 5 4 10 4 5 7 2 4 4 9 9 10 4 5 9 4 4 8 1 5 4 10 9 9 4 4 9 5 4 8 2 4 5 9 8 )
(9 2 7 7 4 5 7 2 4 7 9 9 7 4 5 9 4 7 5 4 2 7 7 9 9 4 7 9 2 7 5 2 4 5 9 11 )
(8 1 9 4 4 5 7 2 4 10 9 9 4 4 5 9 4 10 2 6 1 9 4 9 9 4 10 8 1 9 2 2 4 5 9 14 )
(5 4 9 1 4 5 7 2 4 13 9 9 1 4 5 9 4 12 1 5 4 9 1 9 9 4 13 5 4 8 1 1 4 5 9 17 )
(2 7 7 2 2 5 7 2 4 16 9 7 2 2 5 9 4 12 4 2 7 7 2 7 9 4 16 2 7 5 2 2 2 5 9 20 )
(9 8 1 16 1 8 4 5 1 1 9 9 16 1 8 9 1 1 9 2 6 1 16 9 9 1 1 9 8 1 11 5 1 8 9 2 )
(9 5 4 13 1 8 4 5 1 4 9 9 13 1 8 9 1 4 8 1 5 4 13 9 9 1 4 9 5 4 8 5 1 8 9 5 )
(9 2 7 10 1 8 4 5 1 7 9 9 10 1 8 9 1 7 5 4 2 7 10 9 9 1 7 9 2 7 5 5 1 8 9 8 )
(8 1 9 7 1 8 4 5 1 10 9 9 7 1 8 9 1 10 2 6 1 9 7 9 9 1 10 8 1 9 2 5 1 8 9 11 )
(5 4 9 4 1 8 4 5 1 13 9 9 4 1 8 9 1 12 1 5 4 9 4 9 9 1 13 5 4 8 1 4 1 8 9 14 )
(2 7 9 1 1 8 4 5 1 16 9 9 1 1 8 9 1 12 4 2 7 9 1 9 9 1 16 2 7 5 4 1 1 8 9 17 )
L’implementazione delle funzioni che hanno generato tali liste è stata fatta in
Common Lisp. Il codice sorgente è disponibile su richiesta scrivendo a
giulia.fidanza@yahoo.it
102

Bibliografia
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http://www.dm.unipi.it/˜acquistp/anafun.pdf
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[3] Emmanuel Amiot, À propos des canons rythmiques. Gazette des Mathématiciens
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[4] Emmanuel Amiot, Rhythmic canons and Galois Theory. Grazer. Math. Ber.
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Di prossima pubblicazione in Mosaïques et pavages en musique, Moreno
Andreatta e Carlos Agon (ed.), Les Monographies MaMuX, Collection
Musique/Science, IRCAM/Delatour (2008).
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Indice analitico
RA, 21
S A, 21
accordo, 95
automorfismo di Frobenius, 84
azione di gruppo, 87
base di un reticolo, 46
battito, 10
beat, 10
box notation method, 19
canone
duale, 10
ritmico, 9
complementare, 10
regolare, 10
triviale, 15
vuza costruibile, 74
ciclindice, 89
collasso, 70
common lisp, 72
concatenazione, 69
condizione
(T0), 22
(T1), 21
(T2), 21, 69
congettura
di Fuglede, 58, 61
di Keller, 51
di Minkowski, 51
spettrale, 58, 61
contenuto di un polinomio, 82
coppia spettrale, 56
decomposizione standard in cicli, 88
determinante di un reticolo, 46
109
diagrammi di Krenek, 20, 95
diametro di un insieme, 14
dilatazione, 68
dimensione di un reticolo, 46
divisione minimale, 7
dualità, 10
fattorizzazione
k-, 36
periodica, 36
funzione
di Eulero, 81
di Möbius, 86
peso, 88
gruppo
k-Hajós, 36
delle permutazioni, 87
di Hajós, 36
non k-Hajós, 36
non-Hajós, 36
simmetrico di grado n, 88
insieme
aperiodico, 12
centralmente simmetrico, 46
dei punti fissi, 87
di traslazione, 50, 56
periodico, 11
spettrale, 56
traslato, 9
intreccio, 67
invarianza per traslazioni, 15
inventario, 88
IRCAM, 72
lambda calcolo, 72

INDICE ANALITICO
lattice point theorem, 46
lemma
di Burnside, 89
di Cauchy-Frobenius, 89
lunghezza di un insieme, 14
misura
di Haar, 57
modo, 95
OpenMusic, 72
orbita, 87
parallelepipedo fondamentale di un reticolo,
46
periodo
di un insieme, 12
di una tassellazione, 10
peso, 88
polinomio
associato ad un insieme, 17
ciclotomico, 81
contenuto di un, 82
reciproco, 85
radice n-esima dell’unità, 81
primitiva, 81
rappresentazione
a griglia, 18
binaria, 18
circolare, 19
insiemistica, 17
polinomiale, 17
reticolo, 46
ricoprimento reticolare, 50
riduzione, 70
ritmico
canone, 9
motivo, 10
pattern, 6, 10
ritmo, 8
esterno, 9
interno, 9
sequenza palindroma, 85
110
somma diretta, 9
sottogruppo generato da un elemento, 12
spettro
di un insieme, 56
di un polinomio, 61, 73
stabilizzatore, 87
struttura intervallare, 100
t.u.b.s., 19
tassellare, 10
modulo n, 10
per traslazioni, 50, 56
tassellazione, 10
di un gruppo abeliano, 57
periodica, 10
proprietà della, 10
tassello, 10
tempo metronomico, 10
teorema
di Łaba, 61
di Amiot, 72
di Coven-Meyerowitz, 21
di de Bruijn, 13
di Hajós, 53
di Pólya, 90
di Swenson, 17
LPT, 46
time unit box system, 19
tipo
di un gruppo abeliano finito, 41
di una permutazione, 88
zoom, 68