Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
Osserviamo che la fattorizzazione aperiodica costruita nella dimostrazione è simmetrica
rispetto ad m ed n, quindi come ritmo esterno possiamo considerare anche
B ′ = C2 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C1
= km1Rm2 ⊕ kmn1ZN
=
⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ kn1Rn2 ⊕ knm1ZN
6 {0, 1, 2} ⊕ 〈36〉 ⊔ {1} ⊕ 4 {0, 1} ⊕ 〈 24〉
= {0, 6, 12, 36, 42, 48} ⊔ 1 + {0, 4, 24, 28, 48, 52}
= {0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53}
Z72 = A ⊕ B ′ è in effetti la fattorizzazione mostrata da Laszlo Fuchs in Abelian
Groups [26], e ripresa dal matematico parigino François Le Lionnais, che inserisce
72 in Les Nombres Remarquables [47] proprio perché ≪le groupe cyclique à
soixante-douze éléments se décompose sous la forme S + T non-périodiques≫.
3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
Il teorema di Hajós, che viene considerato uno dei risultati più rilevanti nella teoria
della fattorizzazione di gruppi abeliani, nasce come traduzione algebrica della
congettura di Minkowski sui ricoprimenti reticolari dello spazio euclideo.
In questa sezione raccontiamo la genesi della congettura, partendo dalle considerazioni
dello stesso Hermann Minkowski sul problema dell’approssimazione di reali
con razionali, e ne illustriamo la traduzione algebrica di Hajós.
Non riporteremo alcune dimostrazioni e di altre daremo un’idea solo intuitiva. Lo
scopo della sezione è evidenziare come i concetti di fattorizzazione di un gruppo
abeliano con sottoinsiemi e di tassellazione, che trovano ampio utilizzo nella teoria
dei canoni ritmici, vengono da branche della matematica apparentemente distanti
da questo contesto specifico, come la geometria delle tassellazioni o la teoria dei
numeri.
Per una visione completa si rimanda ai lavori degli stessi Minkowski ([52] e [53])
ed Hajós ([29] e [30]), di Stein [70], Stein e Szabó [71] e Shor [69].
3.2.1 La genesi della congettura
Sia a un numero reale. Per ogni intero y ≥ 1 esiste un intero x tale che
0 ≤ ay − x < 1 ,
basta infatti considerare x = [ay] la parte intera di ay, come mostrato in Figura 3.1.
Consideriamo ora una ratio intera t > 1 e dividiamo l’intervallo [0, 1[ in t
sottointervalli di ampiezza 1/t:
t−1
k k + 1
[0, 1[= , .
t t
k=0
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