Canoni ritmici a mosaico

da cui la tesi.
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Utilizzando la precedente osservazione dimostriamo separatamente i due punti
della tesi:
1. Dividiamo in casi:
(a) Se k = p primo la tesi segue dall’osservazione.
(b) Se k = p α , iterando l’osservazione si ha che
S Â = {pα+β : p β ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo p},
ne segue la tesi, come nel caso precedente.
(c) Sia k = p α1
1
S Â =
. . . pαn
n dimostriamo che
n
i=1
{p αi+β
i
In effetti basta considerare
S A =
: p β ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo pi ∀i}.
n
{p βi
i ∈ S A} ∪ {q γ ∈ S A : q primo pi ∀i}
i=1
ed iterare l’osservazione precedente, poiché ad ogni passo la moltiplicazione
per il primo pi modifica dell’insieme ottenuto al passo precedente
solo l’esponente di pi, aumentandolo di 1.
Anche in questo caso la tesi segue.
2. Consideriamo il caso k = p primo e definiamo
n ′
pn se p | n
:=
n se p ∤ n
Per la proposizione A.4 (7) si ha:
n ∈ RA ⇔ n ′ ∈ RpA.
Siano p1 a1 a2 , p2 , . . . , pak
k ∈ N, potenze di primi distinti.
Per l’osservazione si ha:
p ai
i ∈ S A ⇔ (p ai
i )′ ∈ S pA.
Allora, poiché (p1 a1 a2 p2 . . . pak
k )′ = (p1 a1 ) ′ a2 (p2 )′ . . . (p ak
k )′ si ha la tesi.
Il caso generale segue iterando il caso precedente per ogni primo p | k.
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