Canoni ritmici a mosaico

Introduzione
congettura di Minkowski e la sua soluzione algebrica da parte di Hajós) e la teoria
dei domini spettrali (con la congettura di Fuglede, tuttora aperta).
Molti aspetti di questo problema sono stati affrontati da vari autori (sia matematici
che teorici della musica) con tecniche e soprattutto linguaggi diversi. Uno
degli scopi di questa tesi è dare una visione strutturata e coerente della materia.
Nel primo capitolo si formalizzano i canoni ritmici a mosaico, se ne evidenzia
il legame con particolari tassellazioni degli interi, e se ne danno diverse rappresentazioni.
In particolare si arriva alla rappresentazione in termini di polinomi a coefficienti
0 e 1, le cui proprietà sono studiate nel secondo capitolo; è in termini di tali polinomi
infatti che si esprimono le condizioni (T1) e (T2) di Coven-Meyerowitz, che
sono sufficienti per l’esistenza di canoni ritmici, e delle quali la (T1) è necessaria,
mentre la necessità di (T2) rimane un problema aperto.
Nel terzo capitolo abbiamo trattato una classe particolare di canoni ritmici a
mosaico: i canoni di Vuza. Si tratta di canoni i cui ritmi sono aperiodici (cioè
sottoinsiemi aventi periodicità pari all’ordine del gruppo). Si mostra il legame di
questi canoni con la soluzione algebrica del matematico ungherese G. Hajós della
congettura di Minkowski sulle tassellazione dello spazio euclideo n-dimensionale
attraverso cubi unitari (che nasce in realtà da un problema di teoria dei numeri).
L’esistenza di canoni di Vuza dipende dall’ordine del gruppo ciclico Z/nZ
fattorizzato: si arriva alla divisione della classe dei gruppi ciclici finiti in due
sottoclassi disgiunte, definite in modo esplicito:
• i gruppi di Hajós, per i quali non esistono canoni di Vuza, e i cui ordini sono
nell’insieme
{p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs : α ∈ N, p, q, r, s primi distinti},
• i gruppi non-Hajós, per i quali esistono canoni di Vuza, e i cui ordini sono
del tipo N = nmk con
– (n, m) = 1
– n = n1n2, m = m1m2
– n1, n2, m1, m2, k ≥ 2
Nel quarto capitolo si introduce la congettura di Fuglede sui domini spettrali e
si tratta la sua traduzione in termini di canoni a mosaico da parte di Izabella Łaba,
arrivando a collegare la necessità della condizione (T2) con la congettura di Fuglede
per i canoni a mosaico, entrambi problemi ancora aperti, e si evidenzia il ruolo
giocato dai gruppi non Hajós nella loro soluzione. La teoria dei canoni ritmici a
mosaico diventa quindi un possibile approccio per risolvere la congettura 3 .
3 Rinviamo alla pagina web del seminario MaMuX (Matematica/Musica e relazione con altre
discipline) dell’IRCAM (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique) di Parigi, nella
quale sono raccolti i contributi principali sulla teoria dei canoni ritmici a mosaico:
http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/IrcamTilingResearch.html .
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