Canoni ritmici a mosaico

1. per ogni s, t ∈ T con s t si ha che m((Ω + s) ∩ (Ω + t)) = 0 , e
2. t∈T (Ω + t) = R n .
T è l’insieme di traslazione di Ω.
4.1 Una congettura aperta
Le tassellazioni dello spazio euclideo e le tassellazioni degli interi (di cui abbiamo
parlato a partire dalla sezione 1.2) diventano casi particolari delle tassellazioni
di gruppi abeliani, se consideriamo su essi la misura di Haar :
4.1.3 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano localmente compatto (come gruppo
topologico di Hausdorff).
Una misura di Haar su G è una misura h di Borel tale che:
1. h(U) > 0 per U ∅ aperto,
2. h(K) < ∞ per K compatto e
3. h(g + A) = h(A).
Le tassellazioni di gruppi abeliani sono state definite ad esempio da Mihail
Koluntzakis e Máté Matolcsi [40]:
4.1.4 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano localmente compatto, un suo
sottoinsieme A di misura h(A) di Haar positiva e finita tassella (per traslazioni)
G se esiste un insieme T ⊂ G discreto tale che
1. per ogni s, t ∈ T con s t si ha che h((A + s) ∩ (A + t)) = 0 , e
2. t∈T (A + t) = G.
Questa definizione coincide con la 3.2.10 per G = R n ed h = m, con la 1.2.1 per
G = Z ed h uguale alla cardinalità, e con la definizione 1.1.4 di canone ritmico per
G = Z/nZ ed h sempre uguale alla cardinalità.
In virtù di tale coincidenza, non sorprende che le proprietà 1 e 2 della definizione
3.2.10 si trovino talvolta (cfr. ad esempio lo stesso Fuglede, [27], o Izabella Łaba,
[45]) sotto la forma
R n = Ω ⊕ T a meno di insiemi di misura nulla,
ed R n = Ω ⊕ T venga detta tassellazione di R n .
4.1.5 Esempio. Sappiamo (sezione 3.2) che il cubo n- dimensionale C = [0, 1] n
tassella R n se prendiamo come insieme di traslazione il reticolo L = Z n .
Consideriamo l’insieme
BZ n = {eλ}λ∈Z n ⊂ L2 (C) .
Le funzioni di BZn sono ortogonali, infatti, siano λ, µ ∈ Zn , si ha:
〈eλ, eµ〉C = e 2πi〈λ−µ,x〉
dx =
C
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e
C
n j=1 2πi(λ j−µ j)x jdx =