Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 2
Condizioni di esistenza
2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Ethan Coven ed Aaron Meyerowitz ([12], 1999) hanno trovato due condizioni sufficienti,
ed in certi casi anche necessarie, affinché un pattern ritmico tasselli. Presentiamo
in questa sezione i loro risultati in maniera dettagliata, avvalendoci della
rappresentazione polinomiale dei canoni ritmici.
Cominciamo con un’osservazione.
2.1.1 Osservazione. Siano A, B ⊂ N insiemi finiti in somma diretta, e siano A(x) e
B(x) i polinomi loro associati. Si ha:
1. | A | = A(1) e
2. (A ⊕ B)(x) = c∈A⊕B x c = a∈A, b∈B x a+b = a∈A x a b∈B x b = A(x)B(x) .
2.1.2 Definizione.
Siano A ⊂ N finito e Φd il d-esimo polinomio ciclotomico (def. A.1), definiamo:
1. RA := { d ∈ Z : d > 0, Φd(x) | A(x)} ed
2. S A := { d ∈ RA : d = p α , p primo, α intero positivo} .
Possiamo ora enunciare il teorema di Coven-Meyerowitz.
2.1.3 Teorema (Coven-Meyerowitz).
Consideriamo le condizioni:
( T1) : A(1) = p α ∈S A p
( T2) : se p1 a1 ak , . . . , pk ∈ S A sono potenze di primi distinti, allora p a1
1 . . . pak
k ∈ RA.
Allora
(1) : Se A soddisfa (T1) e (T2) allora tassella;
(2) : Se A tassella, allora soddisfa (T1);
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