Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
quindi
∆m(x)
n
i=1
∆mi (xai ) ,
e pioché ∆m(x) = d|m Φd(x), e i polinomi ciclotomici sono irriducibili in Z[x],
esiste un indice i ∈ {1, . . . , n} tale che Φm(x) | ∆mi (xai ).
In virtù della proposizione A.4, punto 6(b), si ha:
∆mi (xai
) = Φd(x ai
) = Φde(x)
d|mi
d|mi e|ai, e≥b
dove ai = bc con (c, d) = 1 e per ogni primo p | b, si ha che p | d.
In particolare quindi, esistono un d | mi ed un e | ai, e ≥ b, tali che n = de | miai,
cioè miai = 0.
Concludiamo questo capitolo sottolineando come il lavoro di Hajós abbia indotto
allo studio delle fattorizzazioni di un gruppo abeliano con sottoinsiemi matematici
come de Bruijn, Rèdei, Sands, Fuchs, Tijdeman e molti altri, menzionati
nella bibliografia del presente lavoro. Come abbiamo visto, tale problema è stato
risolto (anche se non in maniera costruttivamente esaustiva) per i gruppi ciclici, che
è il caso di nostro interesse, ma in generale rimane ancora un importante soggetto
di ricerca matematica.
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