Canoni ritmici a mosaico

3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
Dimostrazione:
Per definizione, A ⊂ Z/nZ è periodico modulo k se e solo se k + A = A, e si ha la
seguente catena di doppie implicazioni:
k + A = A ⇔ x k A(x) ≡ A(x) (mod x n − 1) ⇔ (x k − 1)A(x) ≡ 0 (mod x n − 1) ⇔
⇔ x n − 1 | (x k − 1)A(x) ⇔ xn − 1
xk
− 1 A(x) .
3.1.6 Osservazione.
Se A Z/nZ è periodico allora il suo periodo divide n.
Infatti, per il corollario 1.2.6, se A è periodico modulo m, allora
A = S ⊕ 〈m〉 = S ⊕ 〈 n
o(m) 〉
poiché in un gruppo ciclico c’è uno ed un solo sottogruppo per ogni divisore dell’ordine
del gruppo.
Alla luce della precedente osservazione, se indichiamo con div(n) l’insieme
{ d ∈ N : d | n}, la proposizione 3.1.5 si può rienunciare come:
3.1.7 Proposizione. Un insieme A ⊂ Z/nZ è aperiodico se e solo se
ossia, se e solo se
per ogni k | n, k n si ha che xn − 1
x k − 1
∤ A(x),
∀ k ∈ div(n) \ {n} ∃ d ∈ div(n) \ div(k) tale che Φd(x) ∤ A(x).
Per i gruppi ciclici il teorema 3.1.4 diventa:
3.1.8 Teorema (de Bruijn - Vuza). Sia N = nmk ∈ N tale che:
1. (n, m) = 1,
2. n = n1n2 , m = m1m2 , ed
3. n1, n2, m1, m2, k > 1.
Allora Z/NZ è non-Hajós
Dimostrazione:
Come prima cosa elenchiamo i risultati generali che applicheremo nella dimostrazione,
indicando con Zn il gruppo ciclico Z/nZ e con Rk l’insieme {0, 1, . . . , k −
1}:
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