Canoni ritmici a mosaico

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
· · ·
ay
· · ·
−1 0 1 2 · · · [ay] [ay] + 1
Figura 3.1
Al variare di y ∈ {0, . . . , t}, consideriamo un intero x tale che il numero reale
ξ := ay − x
sia in [ 0, 1 [ . Abbiamo così t + 1 numeri reali in t intervalli, quindi, per il principio
dei cassetti, esistono due interi y1, y2 ∈ {0, . . . , t}, y1 y2, tali che i rispettivi
ξ1 = ay1 − x1 e ξ2 = ay2 − x2
sono nello stesso intervallo [ k/t, (k + 1)/t [, come mostrato in Figura 3.2.
si ha
0 1 2 · · · k
t
ξ1 ξ2
Figura 3.2
Supponiamo sia y1 > y2, allora, ponendo
Abbiamo dimostrato il
y := y1 − y2 ed x := x1 − x2,
0 < y ≤ t e | ay − x |< 1
t .
k+1
t−1
t · · · t
3.2.1 Teorema. Per ogni numero reale a e per ogni ratio intera t > 1, esistono due
interi x ed y tali che
0 < y ≤ t e | ay − x |< 1
t .
Consideriamo ora due numeri reali a1 ed a2, ed una ratio intera t > 1.
La suddivisione dell’intervallo [0, 1[ in t sottointervalli di ampiezza 1/t genera una
suddivisione del quadrato unitario (non chiuso) [0, 1[ 2 in t 2 quadrati di lato 1/t:
[0, 1[ 2 =
t−1
k,h=0
k k + 1 h h + 1
, × , .
t t t t
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